200 bai lien quan KSHS LTDH nam 2012

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.51 MB, 85 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TRẦN SĨ TÙNG 
---- ›š & ›š ----

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A. Kiến thức cơ bản

Giả sử hàm số y f x= ( ) có tập xác định D.

· Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ " ẻ0, x D v yÂ =0 ch xy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.

· Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ " ẻ0, x D v yÂ =0 ch xy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.

· Nếu y'=ax2+bx c a+ ( ¹0) thì:
 + y' 0, " ẻ ớ Êx R ỡ >aD 00

ợ +

a
y' 0,£ " Ỵ Û í £x R ì <D 00

ỵ
· Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x( )=ax2+bx c a+ ( ¹0):
+ Nếu D < 0 thì g x( ) ln cùng dấu với a.

+ Nếu D = 0 thì g x( ) ln cùng dấu với a (trừ x b
a
2

= - )

+ Nếu D > 0 thì g x( ) có hai nghiệm x x1, 2 và trong khoảng hai nghiệm thì g x( ) khác dấu
với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g x( ) cùng dấu với a.

· So sánh các nghiệm x x1, 2 của tam thức bậc hai g x( )=ax2+bx c+ với số 0:

+ x x P

S
1 2

0 0

0
D
ì ³
ï
£ < Ûí >

ï <
ỵ

+ x x P

S
1 2

0 0

0
D
ì ³
ï
< £ Ûí >

ï >
ỵ

+ x1< <0 x2Û <P 0
·

a b

g x m x a b g x m

( ; )

( )£ ," Ỵ( ; )Ûmax ( )£ ;

a b

g x m x a b g x m

( ; )
( )³ ," Ỵ( ; )Ûmin ( )³

B. Một số dạng câu hỏi thường gặp

1. Tìm điều kiện để hàm số y f x= ( ) đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng 
xác định).

· Hàm số f đồng biến trên D Û yÂ " ẻ0, x D v yÂ =0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.

· Hàm số f nghịch biến trên D Û yÂ Ê " ẻ0, x D v yÂ =0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.

· Nếu y'=ax2+bx c a+ ( ¹0) thì:
 + y' 0,³ " Ỵ Û í £x R ỡ >aD 00

ợ +

a
y' 0,Ê " ẻ ớ £x R ì <D 00

ỵ

2. Tìm điều kiện để hàm số y f x= ( )=ax3+bx2+cx d+ đơn điệu trên khoảng ( ; )a b .
Ta có: y¢= f x¢( ) 3= ax2+2bx c+ .

a) Hàm số f đồng biến trên ( ; )a b Û y¢ ³ " Ỵ0, x ( ; )a b và y¢ =0 chỉ xảy ra tại một số hữu
hạn điểm thuộc ( ; )a b .

Trường hợp 1:

· Nếu bất phương trình f x¢( ) 0³ Ûh m( )³g x( ) (*)

thì f đồng biến trên ( ; )a b Û h m g x

( ; )
( ) max ( )³

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

· Nếu bất phương trình f x¢( ) 0³ Ûh m( )£g x( ) (**)
thì f đồng biến trên ( ; )a b Û h m g x

( ; )
( ) min ( )£

a b

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f x¢( ) 0³ khơng đưa được về dạng (*) thì đặt t x= -a .
Khi đó ta có: y g t¢ = ( ) 3= at2+2(3aa+b t) 3+ aa2+2ba+c.

– Hàm số f đồng biến trên khoảng ( ; )-¥a Û g t( ) 0,³ " <t 0 Û

a
a

S
P

0 0

0
D
D

ì >
ïï
ì > Ú >
í £ í >

ỵ ï

³
ïỵ
– Hàm số f đồng biến trên khoảng ( ;a +¥) Û g t( ) 0,³ " >t 0 Û

a
a

S
P

0 0

0
D
D

ì >
ïï
ì > Ú >
í £ í <

ỵ ï

³
ïỵ

b) Hàm số f nghịch biến trên ( ; )a b yÂ " ẻ0, x ( ; )a b và y¢ =0 chỉ xảy ra tại một số hữu
hạn điểm thuộc ( ; )a b .

Trường hợp 1:

· Nếu bất phương trình f x¢( ) 0£ Ûh m( )³g x( ) (*)
thì f nghịch biến trên ( ; )a b Û h m g x

( ; )
( ) max ( )³

a b
· Nếu bất phương trình f x¢( ) 0³ Ûh m( )£g x( ) (**)
thì f nghịch biến trên ( ; )a b Û h m g x

( ; )
( ) min ( )£

a b

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f x¢( ) 0£ khơng đưa được về dạng (*) thì đặt t x= -a .
Khi đó ta có: y g t¢ = ( ) 3= at2+2(3aa+b t) 3+ aa2+2ba+c.

– Hàm số f nghịch biến trên khoảng ( ; )-¥a Û g t( ) 0,£ " <t 0 Û

a
a

S
P

0 0

0
D
D

ì <
ïï
ì < Ú >
í £ í >

ỵ ï

ïỵ
– Hàm số f nghịch biến trên khoảng ( ;a +¥) Û g t( ) 0,£ " >t 0 Û

a
a

S
P

0 0

0
D
D

ì <
ïï
ì < Ú >
í £ í <

ỵ ï

³
ïỵ

3. Tìm điều kiện để hàm số y f x= ( )=ax3+bx2+cx d+ đơn điệu trên khoảng có độ dài

bằng k cho trước.

· f đơn điệu trên khoảng ( ; )x x1 2 Û y¢ =0 có 2 nghiệm phân biệt x x1 2, Û ì ¹í >aD 00
ỵ (1)
· Biến đổi x1-x2 =d thành (x1+x2)2-4x x1 2=d2 (2)

· Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
· Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
4. Tìm điều kiện để hàm số y ax bx c a d

dx e
2

(2), ( , 0)
+ +

= ¹

+
a) Đồng biến trên ( ; )-¥a .

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

c) Đồng biến trên ( ; )a b .
Tập xác định: D R e
d
\ỡ- ỹ

= ớ ý

ợ ỵ,

(

)

(

)

adx aex be dc f x
y

dx e dx e

2 2

2 ( )

'= + + - =

+ +

5. Tìm điều kiện để hàm số y ax bx c a d
dx e

(2), ( , 0)
+ +

= ¹

+
a) Nghịch biến trên ( ; )-¥a .
b) Nghịch biến trên ( ;a +¥).
c) Nghịch biến trên ( ; )a b .
Tập xác nh: D R e

d
\ỡ- ỹ

= ớ ý

ợ ỵ,

(

)

(

)

adx aex be dc f x
y

dx e dx e

2 2

2 ( )

'= + + - =

+ +

Trường hợp 1 Trường hợp 2

Nếu: f x( ) 0³ Ûg x( )³h m i( ) ( ) Nếu bpt:f x( ) 0³ không đưa được về dạng (i)
thì ta đặt: t x= -a.

Khi đó bpt:f x( ) 0³ trở thành: g t( ) 0³ , với:
g t( )=adt2+2 (a da+e t ad) + a2+2aea+be dc-

a) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )-¥a

e
d

g x( ) h m( ), x
a

a

ì-ï ³
Û í

ï ³ " <
ỵ

e
d

h m g x

( ; ]
( ) min ( )

a
a
-Ơ
ỡ- 
ù

ớ
Ê
ù
ợ

a) (2) ng bin trên khoảng ( ; )-¥a
e

d

g t( ) 0, t 0 ( )ii
a

ì-ï ³
Û í

ï ³ " <
ỵ
a
a
ii S
P
0
0 0

( ) 0 0

0
ì >

ïï
ì > D >

Ûí Ú í

D £ >

ỵ ï

³
ïỵ

b) (2) đồng biến trên khoảng ( ;a +¥)

e
d

g x( ) h m( ), x
a

a

ì-ï £
Û í

ï ³ " >
ỵ

e
d

h m g x

[ ; )
( ) min ( )

a
a
+Ơ
ỡ- Ê
ù
ớ
Ê
ù
ợ

b) (2) ng bin trờn khong ( ;a +¥)
e

d

g t( ) 0, t 0 ( )iii
a

ì-ï £
Û í

ï ³ " >
ỵ
a
a
iii S
P
0
0 0

( ) 0 0

0
ì >
ïï
ì > D >
ÛíD £ Ú í <

ỵ ï

³
ïỵ
c) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )a b

( )

e

d

g x h m x
;

( ) ( ), ( ; )
a b
a b

ỡ-ù ẽ
ớ

ù " ẻ
ợ

( )

e

d

h m g x

[ ; ]
;

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Trường hợp 1 Trường hợp 2

Nếu f x( ) 0£ Ûg x( )³h m i( ) ( ) Nếu bpt:f x( ) 0³ khơng đưa được về dạng (i)
thì ta đặt: t x= -a.

Khi đó bpt:f x( ) 0£ trở thành: g t( ) 0£ , với:
g t( )=adt2+2 (a da+e t ad) + a2+2aea+be dc-
a) (2) nghịch biến trên khoảng ( ; )-¥a

e

d

g x( ) h m( ), x
a

a

ì-ï ³
Û í

ï ³ " <
ợ

e
d

h m g x

( ; ]
( ) min ( )

a
a

-Ơ

ỡ- ³
ï
Û í

£
ï
ỵ

a) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )-¥a
e

d

g t( ) 0, t 0 ( )ii
a

ì-ï ³
Û í

ï £ " <
ỵ

a
a

ii S

P
0

0 0

( ) 0 0

0
ì <
ïï
ì < D >

Ûí Ú í

D £ >

ỵ ï

³
ïỵ

b) (2) nghịch biến trên khoảng ( ;a +¥)

e
d

g x( ) h m( ), x
a

a

ì-ï £
Û í

ï ³ " >
ỵ

e
d

h m g x

[ ; )
( ) min ( )

a
a

+Ơ

ỡ- Ê
ù
ớ

Ê
ù
ợ

b) (2) đồng biến trên khoảng ( ;a +¥)
e

d

g t( ) 0, t 0 ( )iii
a

ì-ï £
Û í

ï £ " >
ỵ

a
a

iii S

P
0

0 0

( ) 0 0

0
ì <
ïï
ì < D >

Ûí Ú í

D £ <

ỵ ï

³
ïỵ
c) (2) đồng biến trong khoảng ( ; )a b

( )

e

d

g x h m x
;

( ) ( ), ( ; )
a b

a b

ì-ï Ï
Û í

ï ³ " ẻ
ợ

( )

e

d

h m g x

[ ; ]
;

( ) min ( )
a b
a b
ì- Ï
ï
Û í

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Câu 1. Cho hàm số y 1 ( 1)m x3 mx2 (3m 2)x
3

= - + + - (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m=2.

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.
· Tập xác định: D = R. y¢=(m-1)x2+2mx+3m-2.

(1) đồng biến trên R Û y¢³ "0, x Û m³2

Câu 2. Cho hàm số y x= 3+3x2-mx-4 (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=0.

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( ;0)-¥ .
· Tập xác định: D = R. y¢=3x2+6x m- . y¢ có D¢ =3(m+3).

+ Nu mÊ -3 thỡ DÂ Ê0 ị yÂ ³ "0, x Þ hàm số đồng biến trên R Þ m£ -3 thoả YCBT. 
+ Nếu m> -3 thì DÂ >0 ị PT yÂ =0 cú 2 nghim phõn biệt x x x1 2, ( 1<x2). Khi đó hàm số 
đồng biến trên các khoảng ( ; ),( ;-¥ x1 x2 +¥).

Do đó hàm số đồng biến trên khong ( ;0)-Ơ 0Êx1<x2 P
S

0
0
0
DÂ
ỡ >
ù

ớ
ù >
ợ

mm 30
2 0
ì >
-ï

- ³
í
ï- >

ỵ

(VN) 
Vậy: m£ -3.

Câu 3. Cho hàm số y=2x3-3(2m+1)x2+6 (m m+1)x+1 có đồ thị (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2;+¥)

· Tập xác định: D = R. y' 6= x2-6(2m+1)x+6 (m m+1) có D=(2m+1)2-4(m2+m) 1 0= >
x m

y' 0= Û ê = +é =x m 1

ë . Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; ), (-¥ m m+ +¥1; )
Do đó: hàm số đồng biến trên (2;+¥ Û) m+ £1 2Û m£1

Câu 4. Cho hàm sốy x= 3+ -(1 2 )m x2+ -(2 m x m) + +2.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng K=(0;+¥).

· Hàm ng bin trờn (0;+Ơ) yÂ=3x2+2(1 2 )- m x+ -(2 m) 0 vi " ẻx ( ;0 +Ơ)

f x x m

x
x
2 2

3
( )

4 1
2
+

Û =

+
+

vi " ẻx ( ;0 +Ơ)

Ta cú: f x x x x x x x

x
2

2
2

6(2 1) 1 1

( ) 0 2

(4 1) 0 1; 2

¢ = + - = Û + - = = - =

+ Û

Lập BBT của hàm f x( ) trên (0;+¥), từ đó ta đi đến kết luận: f 1 m 5 m

2 4

æ ử

ỗ ữ

ố ứ .

Cõu hi tng t:

a) y 1 ( 1) (2 1)m x3 m x2 3(2m 1)x 1
3

= + - - + - + (m¹ -1), K = -¥ -( ; 1). ĐS: m 4
11
³
b) y 1 ( 1) (2 1)m x3 m x2 3(2m 1)x 1

= + - - + - + (mạ -1), K =(1;+Ơ). S: m0
c) y 1 ( 1) (2 1)m x3 m x2 3(2m 1)x 1

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Câu 5. Cho hàm số y 1 (m2 1)x3 (m 1)x2 2x 1
3

= - + - - + (1) (m¹ ±1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K= -¥( ;2).

· Tập xác định: D = R; y¢ =(m2-1)x2+2(m-1)x -2.

Đặt t x= –2ta được: y g t¢ = ( ) (= m2-1)t2+(4m2+2m-6)t+4m2+4m-10
Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng ( ;2)-¥ Ûg t( ) 0,£ " <t 0

TH1: ì <íD £a 00

ỵ Û

m

m m

2
2 1 0

3 2 1 0

ìï - <
í

- - £

ïỵ TH2:

a
S
P

0
0
0
0
ì <
ïïD >
í >
ï

³
ïỵ

Û 
m

m m

m
m

2
2

1 0

3 2 1 0

4 4 10 0

2 3 0

1
ì - <
ï

- - >
ïï

í + - £

ï
-ï >

ï +

ỵ
Vậy: Với 1 m 1

3
- £ <

thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng ( ;2)-¥ .

Câu 6. Cho hàm số y 1 (m2 1)x3 (m 1)x2 2x 1
3

= - + - - + (1) (m¹ ±1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K=(2;+¥).

· Tập xác định: D = R; y¢ =(m2-1)x2+2(m-1)x -2.

TH1: ì <íD £a 00

ỵ Û

m

m m

2
2 1 0

3 2 1 0

ìï - <
í

- - £

ïỵ TH2:

a
S
P

0
0
0
0
ì <
ïïD >
í <
ï

³
ïỵ

Û 
m

m m

m
m

2
2
2

1 0

3 2 1 0

4 4 10 0

2 3 0

1
ì - <
ï

- - >
ïï

í + - £

ï
-ï <

ï +

ỵ
Vậy: Với - < <1 m 1 thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (2;+¥)

Câu 7. Cho hàm số y x= 3+3x2+mx m+ (1), (m là tham số).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3.
2) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
· Ta có y' 3= x2+6x m+ có D¢ = -9 3m.

+ Nếu m ≥ 3 thỡ yÂ " ẻ0, x R ị hm số đồng biến trên R Þ m ≥ 3 khơng thoả mãn.

+ Nếu m < 3 thì y¢ =0 có 2 nghiệm phân biệt x x x1 2, ( 1<x2). Hàm số nghịch biến trên đoạn 
x x1 2;

é ù

ë û với độ dài l x= 1-x2 . Ta có: x1+x2 = -2;x x1 2=m3 . 
YCBT Û l=1 Û x1-x2 =1 Û (x1+x2)2-4x x1 2=1 Û m 9

4
= .

Câu 8. Cho hàm số y= -2x3+3mx2-1 (1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; )x x1 2 với x2-x1=1.
· y'= -6x2+6mx, y' 0= Û = Ú =x 0 x m.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

+ Nếu m¹0, yÂ " ẻ0, x (0; )m khi m>0 hoc yÂ " ẻ0, x ( ;0)m khi m<0. 
Vy hàm số đồng biến trong khoảng ( ; )x x1 2 với x2-x1=1

Û x xx x1 2 mm
1 2

( ; ) (0; )
( ; ) ( ;0)

é =

ê =

ë và x2-x1=1 Û

m m

m0 1 1

0 1

é - = Û = ±
ê - =

ë .

Câu 9. Cho hàm số y x= 4-2mx2-3m+1 (1), (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2).

· Ta có y' 4= x3-4mx=4 (x x2-m)

+ mÊ0, yÂ " ẻ +Ơ0, x (0; ) ị mÊ0 tho món. 
+ m>0, yÂ=0 cú 3 nghim phân biệt: - m m, 0, .

Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) Û m£ Û < £1 0 m 1. Vy mẻ -Ơ ỷ

(

;1ự.

Cõu hi tng t:

a) Với y x= 4-2(m-1)x2+ -m 2; y đồng biến trên khoảng (1;3). ĐS: m£2.

Câu 10. Cho hàm số y mx
x m

4
+
=

+ (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m= -1.

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng ( ;1)-¥ .
· Tập xác định: D = R \ {–m}. y m

x m
2

2
4

( )

-¢=

+ .

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Û y¢< Û - < <0 2 m 2 (1) 
Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng( ;1)-¥ thì ta phải có - ³ Û £ -m 1 m 1 (2) 
Kết hợp (1) và (2) ta được: - < £ -2 m 1.

Câu 11. Cho hàm số y x x m
x
2

2 3 (2).

1
- +
=

Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng ( ; 1)-¥ - .
· Tập xác định: D R {= \ 1}. y x x m f x

x x

2 2

2 4 3 ( )

' .

( 1) ( 1)

- +

-= =

-Ta có: f x( ) 0³ Û £m 2x2-4x+3. Đặt g x( ) 2= x2-4x+3 Þg x'( ) 4= x-4
Hàm số (2) đồng biến trên ( ; 1)-¥ - y x m g x

( ; 1]
' 0, ( ; 1) min ( )

- " ẻ -Ơ - Ê
Da vo BBT ca hm s g x( )," ẻ -Ơ -x ( ; 1] ta suy ra m£9. 
Vậy m£9thì hàm số (2) đồng biến trên ( ; 1)¥

-Câu 12. Cho hàm số y x x m
x
2

2 3 (2).

1
- +
=

Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (2;+¥).
· Tập xác định: D R {= \ 1}. y x x m f x

x x

2 2

2 4 3 ( )

' .

( 1) ( 1)

- +

-= =

[2; )
' 0, (2; ) min ( )

+¥

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Dựa vào BBT của hàm số g x( )," ẻ -Ơ -x ( ; 1] ta suy ra m£3. 
Vậy m£3 thì hàm số (2) đồng biến trên (2;+¥).

Câu 13. Cho hàm số y x x m
x
2

2 3 (2).

1
- +
=

Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (1;2).
· Tập xác định: D R {= \ 1}. y x x m f x

x x

2 2

2 4 3 ( )

' .

( 1) ( 1)

- +

-= =

-Ta có: f x( ) 0³ Û £m 2x2-4x+3. Đặt g x( ) 2= x2-4x+3 Þg x'( ) 4= x-4
Hàm số (2) đồng biến trên (1;2) y x m g x

[1;2]
' 0, (1;2) min ( )
Û ³ " Ỵ Û £

Dựa vào BBT ca hm s g x( )," ẻ -Ơ -x ( ; 1] ta suy ra m£1. 
Vậy m£1 thì hàm số (2) đồng biến trên (1;2).

Câu 14. Cho hàm số y x mx m
m x

2 2 3 2

(2).
2

- +

Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng ( ;1)-¥ .
· Tập xác định: D R { m}= \ 2 . y x mx m f x

x m x m

2 2

4 ( )

' .

( 2 ) ( 2 )

- +

-= =

- - Đặt t x= -1. 
Khi đó bpt:f x( ) 0£ trở thành: g t( )= - -t2 2(1 2 )- m t m- 2+4m- £1 0

Hàm số (2) nghịch biến trên ( ;1)-¥ y' 0,Ê " ẻ -Ơx ( ;1) ớỡ2g t( ) 0,m>1 t 0 ( )i
£ " <
ỵ

i S

P

' 0

( ) 0

0
éD =
êìD >
ê
Û ï >êí

ï ³
êỵ
ë

m
m

m
m2 m

0
0

4 2 0

4 1 0
ộ =

ờỡ ạ
ờ

ù - >
ớ

ờ
ù

ờợ - + 
ở

m
m

0
2 3
é =
Û ê ³ +

Vậy: Với m³ +2 3thì hàm số (2) nghịch biến trên ( ;1)-¥ .

Câu 15. Cho hàm số y x mx m
m x

2 2 3 2

(2).

- +

Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng (1;+¥).
· Tập xác định: D R { m}= \ 2 . y x mx m f x

x m x m

2 2

4 ( )

' .

( 2 ) ( 2 )

- +

-= =

- - Đặt t x= -1. 
Khi đó bpt:f x( ) 0£ trở thành: g t( )= - -t2 2(1 2 )- m t m- 2+4m- £1 0

Hàm số (2) nghch bin trờn (1;+Ơ) y' 0,Ê " ẻ +Ơ íx (1; ) ì2g t( ) 0,m<1 t 0 ( )ii
£ " >
ỵ

ii S

P
' 0

' 0

( ) 0

0
éD =
êìD >
ê
Û ù <ờớ

ù
ờợ
ở

m
m

m
m2 m

4 2 0

4 1 0
ộ =

ờỡ ạ
ờ

ï - <
í

ê
ï

êỵ - + ³
ë

m 2 3

Û £

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Dạng 1: Cực trị của hàm số bậc 3: y f x= ( )=ax3+bx2+cx d+
A. Kiến thức cơ bản

· Hàm số có cực đại, cực tiểu Û phương trình y¢ =0 có 2 nghiệm phân biệt.
· Hoành độ x x1 2, của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình y¢ =0.

· Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng
phương pháp tách đạo hàm.

– Phân tích y f x q x= ¢( ). ( )+h x( ).
– Suy ra y1=h x y( ),1 2=h x( )2 .

Do đó phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là: y h x= ( ).
· Gọi a là góc giữa hai đường thẳng d y k x b d y k x b1: = 1 + 1, 2: = 2 + 2 thì k k

k k
1 2

1 2

tan
1

a

B. Một số dạng câu hỏi thường gặp

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.

1. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vng

góc) với đường thẳng d y px q: = + .

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.

– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Giải điều kiện: k p= (hoặc k

p

1
= - ).

2. Tìm điều kiện đểđường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng

d y px q: = + một góc a .

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.

– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Giải điều kiện: k p

kp tan

1
- =

+ a . (Đặc biệt nếu dº Ox, thì giải điều kiện: k =tana )
3. Tìm điều kiện đểđường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy

tại hai điểm A, B sao cho DIAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước).

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.

– Viết phương trình đường thẳng Dđi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Tìm giao điểm A, B của D với các trục Ox, Oy.

– Giải điều kiện SDIAB =S.

4. Tìm điều kiện đểđồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho DIAB có diện tích S 
cho trước (với I là điểm cho trước).

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.

– Viết phương trình đường thẳng Dđi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Giải điều kiện SDIAB =S.

5. Tìm điều kiện đểđồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d

cho trước.

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.

– Viết phương trình đường thẳng Dđi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Gọi I là trung điểm của AB.

– Giải iu kin: ỡ ^ớ ẻI dD d

ợ .

5. Tỡm điều kiện đểđồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d cho

trước.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

– Giải điều kiện: d A d( , )=d B d( , ).

6. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B và khoảng cách giữa hai

điểm A, B là lớn nhất (nhỏ nhất).

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.

– Tìm toạđộ các điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm
cực trị).

– Tính AB. Dùng phương pháp hàm sốđể tìm GTLN (GTNN) của AB.

7. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực trị thoả hệ

thức cho trước.

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-et.

8. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị trên khoảng K1= -¥( ; )a hoặc K2 =( ;a +¥).

y'= f x( ) 3= ax2+2bx c+ .

Đặt t x= -a . Khi đó: y'=g t( ) 3= at2+2(3aa+b t) 3+ aa2+2ba+c

9. Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x x1 2, thoả:

a) x1< <a x2 b) x1<x2 <a c) a <x1<x2
y'= f x( ) 3= ax2+2bx c+ .

Đặt t x= -a . Khi đó: y'=g t( ) 3= at2+2(3aa+b t) 3+ aa2+2ba+c

Hàm số có cực trị thuộc K1= -¥( ; )a Hàm số có cực trị thuộc K2=( ;a +¥)

Hàm số có cực trị trên khoảng ( ; )-¥a
f x( ) 0

Û = có nghiệm trên ( ; )-¥a .
g t( ) 0

Û = có nghiệm t < 0
P

S
P

0
' 0

0
0
é <
êìD ³
ê
Û ï <êí

ï ³

êỵ
ë

Hàm số có cực trị trên khoảng ( ;a +¥)

f x( ) 0

Û = có nghiệm trên ( ;a +¥).
g t( ) 0

Û = có nghiệm t > 0
P

S
P

0
' 0

0
0
é <
êìD ³
ê
Û ï >êí

ï ³
êỵ
ë

a) Hàm số có hai cực trị x x1 2, thoả x1< <a x2
g t( ) 0

Û = có hai nghiệm t t1 2, thoả t1< <0 t2 Û <P 0
b) Hàm số có hai cực trị x x1 2, thoả x1<x2<a

g t( ) 0

Û = có hai nghiệm t t1 2, thoả t1< <t2 0 S
P

' 0
0

0
ìD >
ï
Ûí <

ï >
ỵ
c) Hàm số có hai cực trịx1, x2 thoả a <x1<x2

g t( ) 0

Û = có hai nghiệm t t1 2, thoả 0< <t1 t2 S
P

' 0
0

0
ìD >
ï
Ûí >

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Câu 1. Cho hàm số y= - +x3 3mx2+3(1-m x m2) + 3-m2 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1) khi m=1.

2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
· y¢= -3x2+6mx+3(1-m2).

PT yÂ=0 cú D= > "1 0, m ị th hàm số (1) ln có 2 điểm cực trị ( ; ), ( ; )x y1 1 x y2 2 . 
Chia y cho y¢ ta được: y 1x m y 2x m2 m

3 3

ổ ử Â

=ỗ - ữ + - +

è ø

Khi đó: y1=2x m1- 2+m; y2 =2x2-m2+m

PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là y=2x m- 2+m. 
Câu 2. Cho hàm số y x= 3+3x2+mx m+ -2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị hàm số khi m = 3.

2) Xác định mđể (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.
· PT hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành:

x3+3x2+mx m+ - =2 0 (1) Û x

g x x2 x m

( ) 2 2 0 (2)

é =

-ê = + + - =

(Cm) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox ÛPT (1) có 3 nghiệm phân biệt 
Û (2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 Û m

g( 1)3 m 3 00

D

ì ¢= - >
í

- = - ạ

ợ m<3

Cõu 3. Cho hm s y= - +x3 (2m+1)x2-(m2-3m+2)x-4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị hàm số khi m = 1.

2) Xác định mđể (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
· y¢= -3x2+2(2m+1)x m-( 2-3m+2).

(Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung Û PT y¢ =0 có 2 nghiệm trái 
dấu Û 3(m2-3m+ <2) 0 Û 1< <m 2.

Câu 4. Cho hàm số y 1x3 mx2 (2m 1)x 3
3

= - + - - (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị hàm số khi m = 2.

2) Xác định mđể (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.
· TXĐ: D = R ; y x¢= 2-2mx+2m-1.

Đồ thị (Cm) có 2 điểm CĐ, CT nằm cùng phía đối với trục tung Û y¢=0 có 2 nghiệm phân 
biệt cùng dấu Û m m

m

2 2 1 0

2 1 0

D

ì ¢ = - + >
ớ

- >

ợ

m
m

1
1
2
ỡ ạ
ù
ớ >

ùợ .

Câu 5. Cho hàm số y x= 3-3x2-mx+2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị hàm số khi m = 1.

2) Xác định mđể (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y x= -1.
· Ta có: y' 3= x2-6x m- .

Hàm số có CĐ, CT Ûy' 3= x2-6x m- =0 có 2 nghiệm phân biệt x x1 2;

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Gọi hai điểm cực trị là A x

(

1;y1

) (

;B x2;y2

)

Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: y 1x 1 y' 2m 2 x 2 m

3 3 3 3

ổ ử ổ ử ổ ử

=ỗ - ữ +ỗ - ữ +ỗ + ữ

ố ứ ố ứ ố ứ

ị y1 y x1 2m 2 x1 2 m;y2 y x2 2m 2 x2 2 m

3 3 3

) )

( ổỗ - ửữ + + ( ổỗ - ửữ + +

ố ø

è
=

= =

Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D:y 2m 2 x 2 m

3 3

æ ử

=ỗ - ữ + +

ố ứ

Cỏc im cực trị cách đều đường thẳng y x= - Û1 xảy ra 1 trong 2 trường hợp:

TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng y x= -1

m m

2 2 1 9

3 - = Û =2

Û (không thỏa (*))

TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y x= -1

I I

(

)

(

)

x m x x m x x

m

y
m
y
y

m
x

x 2

1 2 1 2

1 2 1 2 2 2 2 2

3 3

1
2 .2 2

1
2

0 0

3 3

ỉ ư ỉ ư

- + + + = +

-ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ

ổ ử

ỗ - ữ + ỗ + ữ= Û =

è ø è

Û = - Û = - Û

Vậy các giá trị cần tìm của m là: m=0.

Câu 6. Cho hàm số y x= 3-3mx2+4m3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị hàm số khi m = 1.

2) Xác định mđể (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
· Ta có: y¢ =3x2-6mx; y¢ = Û ê =0 é =xx 02m

ë . Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ¹ 0.

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) Þ ABuuur=(2 ; 4 )m - m3
Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3)

A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x ỡớ ẻI dAB d^

ợ

m m

3
3

2 4 0

ìï - =

í
=

ïỵ Û m

2
2
= ±

Câu 7. Cho hàm số y= - +x3 3mx2-3m-1.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với
nhau qua đường thẳng d: x+8y-74 0= .

· y¢= -3x2+6mx; y¢= Û = Ú =0 x 0 x 2m.

Hàm số có CĐ, CT Û PT yÂ=0 cú 2 nghim phõn bit mạ0.

Khi đó 2 điểm cực trị là: A(0; 3- m-1), (2 ;4B m m3-3m-1) Þ uuurAB m m(2 ;4 )3

Trung điểm I của AB có toạ độ: I m m( ;2 3-3m-1)

Đường thẳng d: x+8y-74 0= có một VTCP ur=(8; 1)- . 
A và B đối xứng với nhau qua d ỡ ẻớI dAB d^

ợ

m m m

AB u
3

8(2 3 1) 74 0

. 0

ìï + - - - =

í
=

ïỵuuur r Û m=2

Câu hỏi tương tự:

a) y x3 3x2 m x m d y2 , : 1x 5

2 2

= - + + = - . ĐS: m=0.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 0.

2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng
với nhau qua đường thẳng d: x-2y- =5 0.

· Ta có y x= 3-3x2+mxÞ =y' 3x2-6x m+

Hàm số có cực đại, cực tiểu Û y¢=0 có hai nghiệm phân biệt ÛD¢= -9 3m> Û <0 m 3

Ta có: y 1x 1 y 2m 2 x 1m

3 3 3 3

ổ ử Â ổ ử

=ỗ - ữ +ỗ - ữ +

ố ứ ố ứ

ị ng thng D đi qua các điểm cực trị có phương trình y 2m 2 x 1m

3 3

ổ ử

=ỗ - ữ +

ố ø

nên D có hệ số góc k1 2m 2
3

= - .

d: x-2y- =5 0 y 1x 5

2 2

Û = - Þ d có hệ số góc k2 1

Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d ^D 
Þ k k1 2 1 1 2m 2 1 m 0

2 3

ổ ử

= - ỗ - ÷= - Û =

è ø

Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là 
I(1; –2). Ta thấy I Ỵ d, do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d.

Vậy: m = 0

Câu 9. Cho hàm số y x= 3-3(m+1)x2+9x m+ -2 (1) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với
nhau qua đường thẳng d: y 1x

2
= .
· y' 3= x2-6(m+1)x+9

Hàm số có CĐ, CT Û D' 9(= m+1)2-3.9 0> ẻ -Ơ - -m ( ; 1 3) ( 1È - + 3;+¥)

Ta có y 1x m 1 y 2(m2 2m 2)x 4m 1

3 3

ổ + ử Â

=ỗ - ÷ - + - + +

è ø

Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là A x y B x y( ; ), ( ; )1 1 2 2 , I là trung điểm của AB. 
y1 2(m2 2m 2)x1 4m 1

Þ = - + - + + ; y2 = -2(m2+2m-2)x2+4m+1

và: xx x1 x2 m
1 2

2( 1)

. 3

ì + = +

í =

ỵ

Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là y= -2(m2+2m-2)x+4m+1

A, B đối xứng qua (d): y 1x

= Û AB d

I d

ỡ ^

ớ ẻ

ợ m=1.

Cõu 10. Cho hm s y x= 3-3(m+1)x2+9x m- , với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm sốđã cho ứng với m=1.
2) Xác định m để hàm sốđã cho đạt cực trị tại x x1 2, sao cho x1-x2 £2.
· Ta có y' 3= x2-6(m+1)x+9.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

m
m

m

2 1 3

' ( 1) 3 0

1 3

D é > - +

Û = + - > Û ê

-ë (1)

+ Theo định lý Viet ta có x1+x2 =2(m+1);x x1 2=3. Khi đó:

(

)

(

)

x1-x2 £ Û2 x1+x2 2-4x x1 2£ Û4 4 m+12-12 4£ Û(m+1)2£ Û - £ £4 3 m 1 (2) 
+ Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là - £ < - -3 m 1 3 và - +1 3< £m 1.

Câu 11. Cho hàm số y x= 3+ -(1 2 )m x2+ -(2 m x m) + +2, với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm sốđã cho ứng với m=1.
2) Xác định m để hàm sốđã cho đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x1 x2 1

3
- > .

· Ta có: y' 3= x2+2(1 2- m x) + -(2 m)

Hàm số có CĐ, CT Ûy' 0= có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 (giả sử x1<x2) 
m

m m m m

m

2 2 5

' (1 2 ) 3(2 ) 4 5 0 4

D éê >

Û = - - - = - - > Û

ê <
-ë

(*) 
Hàm số đạt cực trị tại các điểm x x1 2, . Khi đó ta có: x1 x2 (1 2 )m ;x x1 2 2 m

3
2

-+ = - =

x1 x2 1

(

x1 x2

) (

2 x1 x2

)

2 x x1 2

1
4

Û - = + - >

- >

4(1 2 )m 2 4(2 m) 1 16m2 12m 5 0 m 3 29 m 3 29

8 8

-Û - - - > Û - - > Û > Ú <

Kết hợp (*), ta suy ra m 3 29 m 1
8

> Ú <

-Câu 12. Cho hàm số y 1x3 mx2 mx 1
3

= - + - , với m là tham số thực.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm sốđã cho ứng với m=1.

2) Xác định m để hàm sốđã cho đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x1-x2 ³8.
· Ta có: y'=x2-2mx m+ .

Hàm số có CĐ, CT Ûy' 0= có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 (giả sử x1<x2) 
Û D¢ =m2- >m 0 Û m

m 10
é <
ê >

ë (*). Khi đó: x1+x2 =2 ,m x x1 2=m.

x1-x2 ³8 Û (x1-x2)2 ³64 Û m2- -m 16 0³ Û m
m

1 65

é

-£
ê
ê

ê ³
êë

(thoả (*))

Câu 13. Cho hàm số y 1x3 (m 1)x2 3(m 2)x 1

3 3

= - - + - + , với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm sốđã cho ứng với m=2.
2) Xác định m để hàm sốđã cho đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x1+2x2 =1.
· Ta có: y x¢= 2-2(m-1)x+3(m-2)

Hàm số có cực đại và cực tiểu Û y¢=0có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Khi đó ta có: xx x1 x2 mm
1 2

2( 1)

3( 2)

ì + =

-í =

-ỵ Û

(

)

x m

x22 x2 m

3 2

1 2 3( 2)

ì =
-ï

í - =

-ïỵ

m2 m m 4 34

8 16 9 0

4
- ±

Û + - = Û = .

Câu 14. Cho hàm số y=4x3+mx2-3x.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm mđể hàm số có hai điểm cực trị x x1, 2 thỏa x1= -4x2.

Ã yÂ=12x2+2mx-3. Ta cú: DÂ =m2+36 0,> "m ị hm số ln có 2 cực trị x x1, 2. 
Khi đó: x1 4 ;x x2 1 x2 m;x x1 2 1

6 4

= - + = - =

-í

ỵ m

9
2
Þ = ±

Câu hỏi tương tự:

a) y x= 3+3x2+mx+1; x1+ 2x2=3 ĐS: m= -1 50 . 
Câu 15. Cho hàm số y 1x3 ax2 3ax 4

= - - + (1) (a là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi a = 1.

2) Tìm ađể hàm số (1) đạt cực trị tạix1,x2 phân biệt và thoả mãn điều kiện:

x ax a a

a x ax a

2 2

1 2

2 2

2 1

2 9 2

2 9

+ +

+ =

+ + (2)

· y¢ =x2-2ax-3a. Hàm số có CĐ, CT Û y¢ =0 có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2

a2 a

4 12 0

D

Û = + > Û é < -ê >aa 03

ë (*). Khi đó x1+x2 =2a, x x1 2= -3a.

Ta có: x12+2ax2+9a=2a x

(

1+x2

)

+12a=4a2+12a>0

Tương tự: x22+2ax1+9a=4a2+12a>0

Do đó: (2) Û a a a

a a a

2 2

4 12 2

4 12

+ + =

a a

a
2

4 +12 1

Û = Û3a a

(

)

=0 Û = -a 4

Câu 16. Cho hàm số y=2x3+9mx2+12m x2 +1 (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số khi m = –1.

2) Tìm các giá trị của mđể hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x2CÑ =xCT.
· Ta có: y¢ =6x2+18mx+12m2=6(x2+3mx+2 )m2

Hàm số có CĐ và CT Û y¢ =0 có 2 nghiệm phân biệt x x1 2, ÛD = m2 > 0 Û m¹0

Khi đó: x1 1

(

3m m x

)

, 2 1

(

3m m

)

2 2

= - - = - + .

Dựa vào bảng xét dấu y¢, suy ra xCĐ =x x1, CT =x2
Do đó: x2CĐ =xCT Û m m m m

3 3

2 2

ỉ- - ư - +

ỗ ữ

ố ứ m= -2.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

2) Tìm các giá trị của mđể các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm sốđã cho có hoành độ
là các số dương.

· Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương

ÛPT y' 3(= m+2)x2+6x m = + 0 có 2 nghiệm dương phân biệt 
a m

m m m m m

m m m m

P

m m m

S
m

( 2) 0

' 9 3 ( 2) 0 ' 2 3 0 3 1

0 0 3 2

3( 2) 2 0 2

3 0

D D

ì = + ¹

ï = - + > ì = - - + > ì- < <

ïï ï ï

Ûí = > Ûí < Ûí < Û < <
-+

ï ïỵ + < ïỵ <

-ï = >

ï +

ỵ

Câu 18. Cho hàm số y 1x3 1mx2 (m2 3)x

3 2

= - + - (1), m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số khi m = 0.

2) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có các điểm cực trị x x1 2, với x1>0,x2 >0 và
x12 x22 5

2
+ = .

· y¢ =x2-mx m+ 2-3; y¢ = Û0 x2-mx m+ 2- =3 0 (2) 
YCBT Û PS

x12 x22

0
0
0

5
2

D

ì >
ï >
ï

í
ï

+ =

ï
ỵ

Û m m

m

3 2 14

14 2

2
ì < <

ï Û =

í
= ±

ïỵ .

Câu 19. Cho hàm số y x= 3+ -(1 2 )m x2+ -(2 m x m) + +2 (m là tham số) (1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị hàm số (1) khi m = 2.

2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời

hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.

· y¢=3x2+2(1 2 )- m x+ - =2 m g x( )

YCBT Û phương trình y¢=0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2thỏa mãn: x1<x2<1.

Û g m mm

S m

4 5 0

(1) 5 7 0

2 1 1

2 3

D

ì ¢ = - - >
ïï = - + >

í

-ï = <
ïỵ

Û 5 m 7

4< <5.

Câu 20. Cho hàm số y mx3 (m 2)x2 (m 1)x 2
3

= + - + - + (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm mđể hàm số có cực đại tại x1, cực tiểu tại x2 thỏa mãn x1<x2<1.
·Ta có: y mx¢ = 2+2(m-2)x m+ -1; y¢ = Û0 mx2+2(m-2)x m+ - =1 0 (1)

Hàm số có CĐ ,CT thỏa mãn x1<x2<1 khi m > 0 và (1) có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 1 
Đặt t x= -1 Þ x t= +1, thay vào (1) ta được:

m t( 1)+ 2+2(m-2)( 1)t+ + - =m 1 0 Ûmt2+4(m-1) 4t+ m- =5 0

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

m
P
S
0
0
0
0
D
ỡ >
ù Â
ù >
ớ >ù

<
ùợ

m

5 4

4 3

Û < < .

Câu 21. Cho hàm số y x= 3+ -(1 2 )m x2+ -(2 m x m) + +2 (Cm). 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm mđể hàm số có ít nhất 1 điểm cực trị có hồnh độ thuộc khoảng ( 2;0)- .
· Ta có: y¢ =3x2+2(1 2 )- m x+ -2 m; y¢ = Û0 3x2+2(1 2 )- m x+ - =2 m 0 (*)

Hàm số có ít nhất 1 cực trị thuộc ( 2;0)- Û(*) có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 và có ít nhất 1 
nghiệm thuộc ( 2;0)- xx x x

x x

1 2

2 0 (1)

2 0 (2)

2 0 (3)

é- < < <
ê

Û - <ê < £
£ - < <
êë

Ta có:

(

)(

)

m m

m m m

x x
m
m m
x x
m
x x
2
2
1 2
1 2
1 2

4 5 0

' 4 5 0 2 1

2 0

3 10

2 0

(1) 2 (2 1) 2 1

4 0

2 2 0 3 3

0 0

3
4
2

D ì - - >

ì = - - > ï

-ï + ï- < <

ï ï

ï- < < ï

Ûí Ûí - - Û - < <

-+ + >

ï + + > ï

ï > ï

-ï ï
ỵ >
ïỵ

( )

(

) (

)

(

)(

)

(

)

m m

m m m

f m m

m
x x
m
m
x x

2
2
1 2
1 2

4 5 0

' 4 5 0 2

0 2 0 2 1

(2) 2 2 0 2 2

4 2 1

2 2 0 4 0

3 3

D ì - - >

ì = - - > ï ³

ï = - £ ï

ï ï

-Ûí + + + > Ûí > - Û ³

ï ï

-ï + + > ï

-ỵ ïỵ + + >

( )

m m

m m m

f m m m

x x
m
x x
2
2
1 2
1 2

4 5 0

' 4 5 0 3 5 0

2 10 6 0 2 1

(3) 0 1

0 3

0 0

D ì - - >

ì = - - > ï + ³

ïï - = + £ ïï

-Ûí Ûí < Û £ <

-+ <

ï ï

-ï > ï

ỵ ïỵ >

Tóm lại các giá trị m cần tìm là: m 5; 1 2;

)

é ư ộ

ẻ - - ẩờ ữ ở +Ơ

ở ứ

Cõu 22. Cho hàm số y x= 3-3x2+2 (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1).

2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y=3x-2sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực
trị nhỏ nhất.

· Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2). 
Xét biểu thức g x y( , ) 3= x y- -2 ta có:

A A A A B B B B

g x y( , ) 3= x -y - = - <2 4 0; ( , ) 3g x y = x -y - = >2 6 0

Þ 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d: y=3x-2.

Do đó MA + MB nhỏ nhất Û 3 điểm A, M, B thẳng hàng Û M là giao điểm của d và AB. 
Phương trình đường thẳng AB: y= -2x+2

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: yy 3x2x 22 x 4;y 2

5 5

ì = - = =

ớ = - + ớ

ợ ợ ị M

4 2;
5 5

ổ ử

ỗ ữ

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Cõu 23. Cho hàm số y x= 3-3mx2+3(m2-1)x m- 3+m (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

2) Tìm mđể hàm số (1) có cực trịđồng thời khoảng cách từđiểm cực đại của đồ thị hàm số
đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từđiểm cực tiểu của đồ thị hàm sốđến gốc tọa
độ O.

· Ta có y¢=3x2-6mx+3(m2-1). Hàm số (1) có cực trị Û PT y¢=0 có 2 nghiệm phân biệt 
x2 2mx m2 1 0

Û - + - = có 2 nhiệm phân biệt Û = > "D 1 0, m

Khi đó: điểm cực đại A m( -1;2 2 )- m và điểm cực tiểu B m( + - -1; 2 2 )m

Ta có OA OB m m m

m

2 3 2 2

2 6 1 0

3 2 2
é = - +

= Û + + = Û ê

-ë .

Câu 24. Cho hàm số y x= 3-3x2-mx+2 có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm mđể (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song
song với đường thẳng d: y= -4x+3.

·Ta có: y' 3= x2-6x m- . Hàm số có CĐ, CT Ûy' 0= có 2 nghiệm phân biệt x x1 2,

ÛD' 9 3= + m> Û0 m> -3 (*) 
Gọi hai điểm cực trị là A x

(

1;y1

) (

;B x2;y2

)

Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: y 1x 1 y' 2m 2 x 2 m

3 3 3 3

ỉ ư ỉ ư ỉ ử

=ỗ - ữ -ỗ + ữ +ỗ - ữ

ố ứ è ø è ø

Þ y1 y

( )

x1 2m 2 x1 2 m ;y2 y

( )

x2 2m 2 x2 2 m

3 3 3 3

ỉ ư ỉ ư ỉ ư ỉ ử

- + + - - + +

= = ỗ ữ ỗ ữ = = ỗ ữ ỗ - ữ

ố ứ è ø è ø è ø

Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D:y 2m 2 x 2 m

3 3

ổ ử ổ ử

= -ỗ + ữ +ỗ - ữ

ố ứ ố ứ

D // d: y= -4x+3

m

m
m

2 2 4

3 3

2 3

ỡ ổ ử

- + =

-ù ỗ ữ

ù ố ứ

ớổ =

ử
ù -ỗ ữạ

ùố ứ

ợ

(tha món (*)) 
Câu hỏi tương tự:

a) y 1x3 mx2 (5m 4)x 2
3

= - + - + , d x: 8 +3y+ =9 0 ĐS: m=0;m=5. 
Câu 25. Cho hàm số y x= 3+mx2+7x+3 có đồ thị là (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 5.

2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị
vng góc với đường thẳng d: y=3x-7.

·Ta có: y' 3= x2+2mx+7. Hàm số có CĐ, CT Û y¢ =0 có 2 nghiệm phân biệt x x1 2, . 
 ÛD'=m2-21 0> Û m > 21 (*)

Gọi hai điểm cực trị là A x

(

1;y1

) (

;B x2;y2

)

Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: y 1x 1 y' 2(21 m x2) 3 7m

3 9 9 9

ỉ ư ỉ ử

=ỗ + ữ + - +ỗ - ữ

ố ứ ố ø

Þ y1 y x( )1 2(21 m x2) 1 3 7m

9 9

ổ ử

= = - +ỗ - ữ

ố ứ;

m
y2 y x( )2 2(21 m x2) 2 3 7

9 9

ổ ử

= = - +ỗ - ữ

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

ị Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D:y 2(21 m x2) 3 7m

9 9

= - +

-D ^ d: y= -4x+3Û m

m2

2 (21 ).3 1

9
ì >
ï

í - =

-ïỵ Û m

3 10
2
= ± .

Câu 26. Cho hàm số y x= 3-3x2-mx+2 có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo
với đường thẳng d: x+4y- =5 0 một góc a =450.

·Ta có: y' 3= x2-6x m- . Hàm số có CĐ, CT Ûy' 0= có 2 nghiệm phân biệt x x1 2;

ÛD' 9 3= + m> Û0 m> -3 (*) 
Gọi hai điểm cực trị là A x

(

1;y1

) (

;B x2;y2

)

Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: y 1x 1 y' 2m 2 x 2 m

3 3 3 3

ỉ ư ỉ ử ổ ử

=ỗ - ữ -ỗ + ữ +ỗ - ữ

ố ứ ố ứ ố ứ

ị y1 y

( )

x1 2m 2 x1 2 m ;y2 y

( )

x2 2m 2 x2 2 m

3 3 3 3

ỉ ư ỉ ư ỉ ö æ ö

- + + - - + +

= = ỗ ữ ỗ ữ = = ỗ ữ ỗ - ữ

ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ

ị Phng trỡnh đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D:y 2m 2 x 2 m

3 3

ổ ử ổ ử

= -ỗ + ữ +ỗ - ữ

ố ứ ố ứ

t k 2m 2
3

ổ ử

= -ỗ + ữ

ố ứ. ng thng d: x+4y- =5 0 có hệ số góc bằng 
1
4
- .

Ta có: k k k k m

k k k m

k

1 1 1 1 3 39

4 4 4 5 10

tan 45 1 1 5 1

1 1

1 4 4 3

2
4

é é

+ ê + = - ê = ê =

-= Ûê Ûê Ûê

ê ê

ê + = - + = - =

-- ê ê ê

ë ë ë

o

Kết hợp điều kiện (*), suy ra giá trị m cần tìm là: m 1

2
= - .

Câu hỏi tương tự:

a) y x= 3-3(m-1)x2+(2m2-3m+2)x m m- ( -1), d y: 1x 5
4

-= + , a =450. ĐS: m 3 15

2
±
=

Câu 27. Cho hàm số y x= 3-3x2+2 (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số .

2) Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C) tiếp xúc với đường trịn (S) có
phương trình (x m- )2+ - -(y m 1)2=5.

· Phương trình đường thẳng D đi qua hai điểm cực trị 2x y+ - =2 0. 
(S) có tâm I m m( , +1) và bán kính R= 5.

D tiếp xúc với (S) Û 2m m 1 2 5
5

+ +

-= Û 3m- =1 5 m 2;m 4

-Û = = .

Câu 28. Cho hàm số y x= 3-3mx+2 (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m=1.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

· Ta có y' 3= x2-3m. Hàm số có CĐ, CT Û PT y' 0= có hai nghiệm phân biệt Ûm>0

Vì y 1 . 2x y mx 2

3 ¢

= - + nên đường thẳng D đi qua các điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số có 
phương trình là: y= -2mx+2

Ta có d I

( )

m R
m2

2 1

, 1

4 1

D = - < =

+ (vì m > 0) Þ D ln cắt đường trịn tâm I(1; 1), bán kính R

= 1 tại 2 điểm A, B phân biệt. 
Với m 1

¹ : D khơng đi qua I, ta có:S ABI 1IA IB. .sinAIB 1R2 1

2 2 2

D = £ =

Nên SDIAB đạt GTLN bằng 1

2 khi sin·AIB=1 hay DAIB vuông cân tại I

R

IH 1

2 2

Û = =

m

m
m2

2 1 1 2 3

2
2

4 1

- ±

Û = Û =

+ (H là trung điểm của AB)

Câu 29. Cho hàm số y x= 3+6mx2+9x+2m (1), với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm m đểđồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ gốc toạđộ O đến
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng 4

5 .

· Ta có: y¢ =3x2 +12mx+9. Hàm số có 2 điểm cực trị Û PT y¢ =0 có 2 nghiệm phân biệt

m2 m 3

' 4 3 0

D

Û = - > Û > hoặc m 3

-< (*)

Khi đó ta có: y x 2m .y (6 8 )m x2 4m

3 3

ổ ử Â

=ỗ + ữ + -

-è ø

Þ đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) có PT là: D:y= -(6 8 )m x2 -4m
m

d O m m

m

4 2

2 2

4 4

( , ) 64 101 37 0

(6 8 ) 1

D = - = Û - + =

- +

m

m loại

37 ( )
8

é = ±
ê
Û

ê = ±
êë

Û m= ±1.

Câu 30. Cho hàm số y x= 3-3x2+(m-6)x m+ -2 (1), với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 2.

2) Tìm m đểđồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từđiểm A(1; 4)- đến
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng 12

265.

· Ta có: y¢ =3x2-6x m+ -6. Hàm số có 2 điểm cực trị Û PT y¢ =0 có 2 nghiệm phân biệt 
Û D¢ =32-3(m- > Û <6) 0 m 9 (*)

Ta có: y 1(x 1).y 2m 6 x 4m 4

3 3 3

ỉ ư

= - +ỗ - ữ +

-ố ứ

ị PT ng thng qua 2 điểm cực trị D: y 2m 6 x 4m 4

3 3

ổ ử

=ỗ - ữ +

-ố ứ

ị d A m

m2 m

6 18 12

( , )

265

4 72 333

D = - =

- + Û

m
m

1
1053

249
é =
ê

=
ê
ë

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Câu 31. Cho hàm số y x= 3-3x2+mx+1 (1), với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 0.

2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm I 1 11;
2 4

ổ ử

ỗ ữ

ố ứ

n ng thng i qua hai điểm cực trị là lớn nhất.

· Ta có: y¢ =3x2-6x m+ . Hàm số có 2 điểm cực trị Û PT y¢ =0 có 2 nghiệm phân biệt 
Û D¢ > Û <0 m 3.

Ta có: y x 1 y 2m 2 x m 1

3 3 3 3

ổ ử Â ổ ử

=ỗ - ữ +ỗ - ữ + +

è ø è ø

Þ PT đường thẳng qua hai điểm cực trị là: :y 2m 2 x m 1

3 3

D =ổỗ - ửữ + +

ố ø .

Dễ dàng tìm được điểm cố định ca D l A 1;2

ổ ử

-ỗ ữ

ố ứ. AI
3
1;

4
ổ ử
= çè ÷ø

uur

. 
Gọi H là hình chiếu vng góc của I trên D.

Ta có d I( , )D =IH IA£ . Dấu "=" xảy ra Û IA^D Û 1 2m 2 .3 0 m 1

3 4

ổ ử

+ỗ - ÷ = Û =

è ø .

Vậy max( ( , ))d I 5

D = khi m=1.

Câu 32. Cho hàm số y x= 3+3(m+1)x2+3 (m m+2)x m+ 3+3m2 (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 0.

2) Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị (Cm) ln có 2 điểm cực trị và khoảng cách giữa 2
điểm cực trị là khơng đổi.

· Ta có: y¢ =3x2+6(m+1)x+6 (m m+2); y¢ = Û ê = -0 é = - -xx m2 m

ë .

Đồ thị (Cm) có điểm cực đại A( 2- -m;4) và điểm cực tiểu B m(- ;0) Þ AB=2 5. 
Câu 33. Cho hàm số y=2x2-3(m+1)x2+6mx m+ 3.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm mđểđồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho AB= 2.

· Ta có: y¢ =6(x-1)(x m- ). Hàm số có CĐ, CT Û y¢ =0 có 2 nghiệm phân biệt Û m¹1. 
Khi đó các điểm cực trị là A m(1; 3+3m-1), ( ;3 )B m m2 .

AB= 2 Û (m-1)2+(3m2-m3-3m+ =1) 2Û m=0;m=2 (thoả điều kiện). 
Câu 34. Cho hàm số y x= 3-3mx2+3(m2-1)x m- 3+4m-1 (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1) khi m= -1.

2) Tìm mđểđồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho DOAB vng tại O.
· Ta có: y¢=3x2-6mx+3(m2-1); y¢= Û ê = - Þ = +0 é = + Þ = -x mx m 11 y my m 13

ë

Þ A m( +1;m-3), B m( -1;m+1) Þ OAuuur=(m+1;m-3), OBuuur=(m-1;m+1). 
DOAB vuông tại O Û OA OBuuur uuur. =0 Û 2m2-2m- = Û ê =4 0 é = -mm 21

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Câu 35. Cho hàm số y=2x2-3(m+1)x2+6mx m+ 3 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1) khi m=1.

2) Tìm mđểđồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC vng tại
C, với C(4;0).

DABC vuông tại C Û uuur uuurAC BC. =0 Û (m+1)ëém m2( 2- + +m 1) 3m2-5m+4ùû=0 
Û m= -1

Câu 36. Cho hàm số y x= 3+3x2+m (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1) khi m= -4.

2) Xác định mđểđồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho ·AOB=1200.
Ã Ta cú: yÂ=3x2+6x; yÂ= ờ = ị =0 é = - Þ = +xx 0 2 y my m 4

Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(-2 ; m + 4) 
OAuuur=(0; ),m OBuuur= -( 2;m+4). Để ·AOB=1200thì cosAOB 1

2
=

-(

)

(

)

m

m m m m m m

m m

2 2

4 0

( 4) 1 4 ( 4) 2 ( 4)

2 3 24 44 0

4 ( 4)

ì- < <
+

Û = - Û + + = - + Û í

+ + =

ỵ

+ +

m

m
m

4 0 12 2 3

12 2 3 3

ì- < < - +
ï

Ûí - ± Û =

=
ïỵ

Câu 37. Cho hàm số y x= 3-3x2+m2- +m 1 (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

2) Tìm mđểđồ thị hàm số (1) có hai điểm cực đại, cực tiểu là A và B sao cho diện tích tam
giác ABC bằng 7, với điểm C(–2; 4 ).

· Ta có y' 3= x2-6x; y' 0= Û3x2-6x= Û =0 x 0;x=2 Þ Hàm số ln có CĐ, CT. 
Các điểm CĐ, CT của đồ thị là: A m(0; 2- +m 1), B m(2; 2- -m 3) , AB= 22+ -( 4)2 =2 5

Phương trình đường thẳng AB: x 0 y m2 m 1

2 4

- - +

- Û x y m m

2 + - + - =1 0

ABC m m

S 1d C AB AB( , ). 1. 2 1.2 5 m2 m 1 7

2 2 5

D = = - + = - + = Û ê = -é =ëmm 32. 
Câu hỏi tương tự:

a) y x= 3-3mx+2, (1;1),C S= 18. ĐS: m=2.

Câu 38. Cho hàm số y x= 3-3(m+1)x2+12mx-3m+4 (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm sốm = 0.

2) Tìm m để hàm số có hai cực trị là A và B sao cho hai điểm này cùng với điểm
C 1; 9

ổ ử

-ỗ ữ

ố ứlp thnh tam giỏc nhn gốc tọa độO làm trọng tâm.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

DABC nhận O làm trọng tâm Û m m

m3 m2 m

2 2 1 0 1

4 12 6 4 0 2

2
ì + - =

ï Û =

-í- + + + - =

ïỵ (thoả (*)).

Câu 39. Cho hàm số y f x= ( ) 2= x3+3(m-3)x2+ -11 3m (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 2.

2) Tìm m để (Cm) có hai điểm cực trị M M1, 2 sao cho các điểmM M1, 2và B(0; –1) thẳng
hàng.

· y¢ =6x2+6(m-3). y¢ =0 Û é =ê = -xx 03 m

ë . Hàm số có 2 cực trị Û m¹3 (*).

Chia f x( ) cho f x¢( ) ta được: f x( ) f x( ) 1x m 3 (m 3)2x 11 3m

3 6

ổ - ử

= ỗ + ữ- - +

-ố ứ

ị phng trỡnh đường thẳng M1M2 là: y= -(m-3)2x+11 3- m
M M B1, 2, thẳng hàng Û B M MỴ 1 2 Û m=4 (thoả (*)).

Câu 40. Cho hàm số y 1x3 mx2 (m2 1)x 1 (Cm)
3

= - + - + .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m=2.
2) Tìm mđể hàm số có cực đại, cực tiểu và yCĐ+yCT >2.
· Ta có: y¢ =x2-2mx m+ 2-1. y¢ = Û ê = -0 é = +x mx m 11

ë .

CÑ CT

y +y >2 Û 2m3-2m+ > Û ê >2 2 é- < <m1 1m 0

ë .

Câu 41. Cho hàm số y 1x3 (m 1)x2 4(m 1)3

3 3

= - + + + (1) (m là tham số thực).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm m để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (1) nằm về 2 phía (phía trong và phía
ngồi) của đường trịn có phương trình (C): x2+y2-4x+ =3 0.

· y¢ =x2-2(m+1)x. y¢ = Û ê =0 é =xx 02(m 1)
+

ë . Hàm số có cực trị Û m¹ -1 (1)

Gọi hai điểm cực trị của đồ thị là: A 0; (4 m 1)3
3

ổ + ử

ỗ ữ

ố ứ, B m(2( +1);0).

(C) có tâm I(2; 0), bán kính R = 1. IA 4 16(m 1)6
9

= + + , IB= 4m2 .

A, B nằm về hai phía của (C) Û (IA2-R IB2)( 2-R2) 0< Û 4m2 1 0 1 m 1

2 2

- < Û - < < (2)

Kết hợp (1), (2), ta suy ra: 1 m 1

2 2

- < < .

Câu 42. Cho hàm số y x= 3-3mx2+3(m2-1)x m- 3 (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1) khi m= -2.

2) Chứng minh rằng (Cm) ln có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi
đường thẳng cốđịnh.

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Điểm cực đại M m( -1;2 3 )- m chạy trên đường thẳng cố định: ì = - +í = -xy 2 31 tt

ỵ

Điểm cực tiểu N m( + - -1; 2 m)chạy trên đường thẳng cố định: ì = +í = - -xy 12 3t t

ỵ

Câu 43. Cho hàm số y 1x3 mx2 x m 1 (Cm)
3

= - - + + .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm mđểđồ thị (Cm) có 2 điểm cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm cực trị là nhỏ nhất.
· Ta có: y¢ =x2-2mx-1; y¢ =0 có D¢ =m2+ > "1 0, m Þ hàm số ln có hai điểm cực trị

x x1 2, . Giả sử các điểm cực trị của (Cm) là A x y B x y( ; ), ( ; )1 1 2 2 . 
Ta có: y 1(x m y). 2(m2 1)x 2m 1

3 ¢ 3 3

= - - + + +

Þ y1 2(m2 1)x1 2m 1

3 3

= - + + + ; y2 2(m2 1)x2 2m 1

3 3

= - + + +

Do đó: AB2 (x2 x1)2 (y2 y1)2 (4m2 4) 1 4(m2 1)2 4 1 4

9 9

é ù ỉ ư

= - + - = + ờ + + ỳ ỗ + ữ

ở û è ø

Þ AB 2 13

³ . Dấu "=" xảy ra Û m=0. Vậy minAB 2 13

= khi m=0. 
Câu 44. Cho hàm số y x= 3-3x2-mx+2 (1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1) khi m = 0.

2) Tìm mđể hàm số (1) có 2 cực trị và đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số
tạo với hai trục toạđộ một tam giác cân.

· y¢ =3x2-6x m- . Hàm số có 2 cực trị Û y¢ =0 có 2 nghiệm phân biệt Û m> -3. 
Ta có: y 1(x 1).y 2m 2 x 2 m

3 3 3

ổ ử

= - + -ỗ - ữ +

-ố ứ ị ng thng D i qua 2 điểm cực trị của đồ

thị có phương trỡnh: y 2m 2 x 2 m

3 3

ổ ử

= -ỗ - ÷ +

-è ø .

D cắt Ox, Oy ti A m
m 6 ;0

2( 3)

ổ - ử

ỗ + ữ

ố ứ,

m
B 0;6

ổ - ử

ỗ ữ

ố ứ (m ¹ 0).

Tam giác OAB cân Û OA = OB Û 2(mm-63) = 6-3m

+ Û m m m

9 3

6; ;

2 2

= = - = - .

Đối chiếu điều kiện ta có m 3

2
= - .

Câu 45. Cho hàm số : y = 1x3 mx2 (m2 m 1)x 1
3 - + - + + (1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm mđể hàm số có cực trị trong khoảng ( ;1)-¥ .

· Tập xác định D = R. y¢ =x2-2mx m+ 2- +m 1.

Đặt t x= - Þ = +1 x t 1 ta được : y'=g t( )= +t2 2 1

(

-m t m

)

+ 2-3m+2

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Ûg t( ) 0= có nghiệm t<0 
P

S
P

0
' 0

0
0
é <
êìD ³
ê
Û ï <êí

ï ³
êỵ
ë

m m

m
m

m m

3 2 0

1 0

2 2 0

3 2 0

é - + <
êì - ³
ê

Û ï - <
êí

êïỵ - + ³
ë

m

1 2

Û < <

Vậy: Với 1< <m 2thì hàm số (1) có cực trị trong khoảng ( ;1)-¥

Câu 46. Cho hàm số : y = 1x3 mx2 (m2 m 1)x 1

3 - + - + + (1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm mđể hàm số có cực trị trong khoảng (1;+¥).

· Tập xác định D = R. y¢ =x2-2mx m+ 2- +m 1.

Đặt t x= - Þ = +1 x t 1 ta được : y'=g t( )= +t2 2 1

(

-m t m

)

+ 2-3m+2

Hàm số(1) có cực trị trong khoảng (1;+¥) Û f x( ) 0= có nghiệm trong khoảng(1;+¥). 
 Ûg t( ) 0= có nghiệm t>0

P
S
P

0
' 0

0
0
é <
êìD ³
ê
Û ï >êí

ï ³
êỵ
ë

m m

m
m

m m

3 2 0

1 0

2 2 0

3 2 0

é - + <
êì - ³
ê

Û ï - >
êí

êïỵ - + ³
ë

Û <1 m
Vậy: Với m>1 thì hàm số (1) có cực trị trong khoảng (1;+¥)

Câu 47. Cho hàm số : y = 1x3 mx2 (m2 m 1)x 1
3 - + - + + (1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm mđể hàm số có hai cực trị x x1 2, thoả mãn x1< <1 x2.
· Tập xác định D = R. y¢ =x2-2mx m+ 2- +m 1.

Đặt t x= - Þ = +1 x t 1 ta được: y'=g t( )= +t2 2(1-m t m) + 2-3m+2

(1) có hai cực trị x x1 2, thoả x1< <1 x2 Ûg t( ) 0= có hai nghiệm t t1 2, thoả t1< <0 t2
P 0

Û < Ûm2-3m+ <2 0 Û < <1 m 2

Vậy: Với 1< <m 2thì hàm số (1) có hai cực trị x x1 2, thoả mãn x1< <1 x2.
Câu 48. Cho hàm số : y = 1x3 mx2 (m2 m 1)x 1

3 - + - + + (1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm mđể hàm số có hai cực trị x x1 2, thoả mãn x1<x2<1.
· Tập xác định D = R. y¢ =x2-2mx m+ 2- +m 1.

Đặt t x= - Þ = +1 x t 1 ta được : y'=g t( )= +t2 2 1

(

-m t m

)

+ 2-3m+2

(1) có hai cực trị x x1 2, thoả x1<x2<1 Ûg t( ) 0= có hai nghiệm t t1 2, thoả t1< <t2 0

S
P

' 0
0

0
ìD >
ï
Ûí <

ï >
ỵ

m

m m m

m

2 1 03 2 0

2 2 0

ì - >
ï

Ûí - + > Û ẻặ

ù - <

ợ

. Vy: Khụng cú giỏ tr no ca m nào thoả YCBT.

Câu 49. Cho hàm số : y = 1x3 mx2 (m2 m 1)x 1
3 - + - + + (1).

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

· Tập xác định D = R. y¢ =x2-2mx m+ 2- +m 1.

Đặt t x= - Þ = +1 x t 1 ta được : y'=g t( )= +t2 2 1

(

-m t m

)

+ 2-3m+2

(1) có hai cực trị x x1 2, thoả 1<x1<x2 Ûg t( ) 0= có hai nghiệm t t1 2, thoả 0< <t1 t2
S

P

' 0
0

0
ìD >
ï
Ûí >

ï >
ỵ

m

m m m

m

2 1 03 2 0 2

2 2 0

ì - >
ï

Ûí - + > Û >
ï - >

ỵ

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Dạng 2: Cực trị của hàm số trùng phương: y f x= ( )=ax4+bx2+c

A. Kiến thức cơ bản

· Hàm số luôn nhận x=0 làm 1 điểm cực trị.

· Hàm số có 1 cực trịÛ phương trình y¢ =0 có 1 nghiệm.

· Hàm số có 3 cực trịÛ phương trình y¢ =0 có 3 nghiệm phân biệt.

· Khi đồ thị có 3 điểm cực trị A c B x y C x y(0; ), ( ; ), ( ; )1 1 2 2 thì DABC cân tại A.

B. Một số dạng câu hỏi thường gặp

1. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân 
hoặc tam giác đều.

– Tìm điều kiện để phương trình y¢ =0 có 3 nghiệm phân biệt.

– Tìm toạđộ các điểm cực trị A, B, C. Lập luận chỉ ra DABC cân tại A.
– Giải điều kiện: DABC vuông tại A Û AB ACuuur uuur. =0

DABC đều Û AB BC=

2. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện 
tích S cho trước.

– Tìm điều kiện để phương trình y¢ =0 có 3 nghiệm phân biệt.

– Tìm toạđộ các điểm cực trị A, B, C. Lập luận chỉ ra DABC cân tại A.
– Kẻđường cao AH.

– Giải điều kiện: S SABC 1AH BC.
2

= = .

Câu 50. Cho hàm số y x= 4-2(m2- +m 1)x2+ -m 1.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số .

2) Tìm mđểđồ thị (C) có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.
· y¢ =4x3-4(m2- +m 1)x; y x

x m2 m

0
0

1
é =

¢ = Û ê

= ± - +

êë .

Khoảng cách giữa các điểm cực tiểu: d = m m m
2

2 1 3

2 1 2

2 4

ỉ ư

- + = ỗố - ữứ +

ị mind= 3 Û m = 1

2.

Câu 51. Cho hàm số y 1x4 mx2 3

2 2

= - + (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1) khi m=3.

2) Xác định mđểđồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại.
· y¢=2x3-2mx=2 (x x2-m). y x

x2 m

0 é =

¢= Û ê =
ë

Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại Û PT y¢=0 có 1 nghiệm Û m£0

Câu 52. Cho hàm số y= -x4+2mx2-4 (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số khi m=2.

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

· Ta có: y¢ = -4x3+4mx; y x
x2 m

0 é =

¢ = Û ê =

ë .

+ Nếu m£0 thì đồ thị có 1 điểm cực trị duy nhất (0; 4)- ỴOy.

+ Nếu m>0 thì (Cm) có 3 điểm cực trị A(0; 4), (- B - m m; 2-4), (C m m; 2-4). 
Để A, B, C nằm trên các trục toạ độ thì B, C Ỵ Ox Û m m

m2

0 2

4 0

ì > Û =
í - =

ỵ .

Vậy: m£0 hoặc m=2.

Câu 53. Cho hàm số y x= 4+(3m+1)x2-3 (với m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m= -1.

2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác
cân sao cho độ dài cạnh đáy bằng 2

3 lần độ dài cạnh bên.

· Ta có: y' 4= x3+2(3m+1)x; y' 0 x 0,x2 3m 1

2
+

= Û = = - .

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị m 1

Û < - (*). Ba điểm cực trị là:

A(0; 3)- ;B 3m 1 (3; m 1)2 3

2 4

ổ - - - + ử

-ỗ ữ

ố ứ;

m m

C 3 1 (3; 1)2 3

2 4

æ - - - + ử

-ỗ ữ

ố ứ

ABC

D cõn ti A;BC 2AB m m m

3

3 1 3 1 (3 1)

9.4 4

2 2 16

æ ử

ổ- - ử - - +

= ỗ ữ= ỗ + ÷

è ø è ø m

5
3

Û = - , thoả (*).

Câu 54. Cho hàm số y f x= ( )=x4+2(m-2)x2+m2-5m+5 (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) hàm số khi m = 1.

2) Tìm các giá trị của mđểđồ thị (Cm) của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1
tam giác vng cân.

· Ta có f x x m x x

x m

2 0

( ) 4 4( 2) 0

2
é =

¢ = + - = Û ê

=
-ë

Hàm số có CĐ, CT Û PT f x¢( ) 0= có 3 nghiệm phân biệt Û m<2 (*)

Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A

(

0;m2-5m+5 ,

) (

B 2-m;1-m C

) (

, - 2-m;1-m

)

Þ uuurAB=

(

2-m m;- 2+4m-4 ,

)

uuurAC= -

(

2-m m;- 2+4m-4

)

Do DABC ln cân tại A, nên bài tốn thoả mãn khi DABC vuông tại A 
Û uuur uuurAB AC. = Û0 (m-2)3= - Û =1 m 1 (thoả (*))

Câu 55. Cho hàm số y x= 4+2(m-2)x2+m2-5m+5

( )

Cm
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời
các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.

·Ta có f x x m x x

x m

2 0

( ) 4 4( 2) 0

é =

¢ = + - = Û ê

=
-ë

Hàm số có CĐ, CT Û PT f x¢( ) 0= có 3 nghiệm phân biệt Û m<2 (*)

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Do DABC ln cân tại A, nên bài tốn thoả mãn khi µA=600 Û cosA 1

2
=

Û AB AC
AB AC

. 1

. =

uuur uuur

uuur uuur Û m= -2 33.

(Chú ý: Có thể dùng tính chất: DABC đều Û AB = BC = CA). 
Câu hỏi tương tự:

a) y x= 4-2mx2+2m m+ 4. ĐS: m=33 
b) y x= 4-4(m-1)x2+2m-1. ĐS: m 1 33

2
= +

c) y x= 4-4(m-1)x2+2m-1

Câu 56. Cho hàm số y x= 4-2mx2+2m m+ 4 có đồ thị (Cm) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị
đó lập thành một tam giác có diện tích S=4.

· Ta có y x mx x

g x x m
3

' 4 4 0

( ) 0

é =

= - = Û ê

= - =

Hàm số có 3 cực trịÛy' 0= có 3 nghiệm phân biệtÛDg = > Û >m 0 m 0 (*)

Với điều kiện (*), phương trình y¢=0có 3 nghiệm x1= - m x; 2=0; x3 = m. Hàm số đạt 
cực trị tại x x x1 2 3; ; . Gọi A(0;2m m B m m+ 4);

(

; 4-m2+2 ;m C

) (

- m m; 4-m2+2m

)

là 3 điểm 
cực trị của (Cm) .

Ta có: AB2 =AC2 =m4+m BC; 2=4mÞDABC cân đỉnh A

Gọi M là trung điểm của BCÞM(0;m4-m2+2 )m ÞAM m= 2 =m2
Vì DABC cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đó:

ABC

S AM BC m m m m m

2 2 5 5

1 . 1. . 4 4 4 16 16

2 2

D = = = Û = Û = Û = . Vậy m=516.

Câu hỏi tương tự:

a) y x= 4-2m x2 2+1, S = 32. ĐS: m= ±2 
b) y 1x4 2mx2 m

= - + , S=32 2. ĐS: m=2

c) y x= 4-2m x2 2+m4+m, S = 32. ĐS: m= ±2

d) y x= 4-2mx2+2m2-4,S=1. ĐS: m=1

Câu 57. Cho hàm số y x= 4+2mx2+m2+m có đồ thị (Cm) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = –2.

2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị
đó lập thành một tam giác có một góc bằng 1200.

· Ta có y¢ =4x3+4mx; y x x m x

x m

2 0

0 4 ( ) 0 é =

¢ = Û + = Û ê

= ±

-êë (m < 0)

Khi đó các điểm cực trị là: A m(0; 2+m B),

(

-m m C;

) (

, - -m m;

)

AB=( - -m m; 2)

uuur

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

µA=120o A AB AC m m m

m m

AB AC

4
4

1 . 1 . 1

cos

2 . 2 2

- - - +

Û = - Û = - Û =

-uuur -uuur
uuur uuur

m loại

m m m m m m m m

m

m m

4 4 4

0 ( )

1 2 2 3 0 1

3
é =

+ ê

Û = - Þ + = - Û + = Ûê =

-- êë . Vậy m 3

1
3
= - .

Câu 58. Cho hàm số y x= 4-2mx2+ -m 1 có đồ thị (Cm) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị
đó lập thành một tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng 1.

· Ta có y x mx x x m x

x m

3 2

2 0

4 4 4 ( ) 0 é =

¢= - = - = Û ê

=
ë

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị ÛPT y¢=0 có ba nghiệm phân biệt và y¢ đổi dấu khi x
đi qua các nghiệm đó Û >m 0. Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị (Cm) là:

A m(0; -1),B

(

- m m;- 2+ -m 1 ,

) (

C m m;- 2+ -m 1

)

ABC B A C B

S 1 y y .x x m m2

= - - =

V ; AB AC= = m4+m BC, =2 m

ABC

m

AB AC BC m m m

R m m

S m m m

3
2

. . 1 ( )2 1 2 1 0

5 1

4 4

2
é =

+ ê

= = Û = Û - + = Û

-ê =
êë

V

Câu hỏi tương tự:

a) y x= 4-2mx2+1 ĐS: m 1,m 1 5

2
- +

= =

Câu 59. Cho hàm số y x= 4-2mx2+2 (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m=1.

2) Tìm các giá trị của m để (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường trịn
ngoại tiếp đi qua điểm D 3 9;

5 5

ổ ử

ỗ ữ

ố ứ.

Ã Ta cú: y x mx y x
x m
3

2 0

4 4 ; 0 é =

¢= - ¢= Û ê
=

ë . Hàm số có 3 điểm cực trị Û m>0.

Khi đó các điểm cực trị của (Cm) là: A(0;2), (B - m m;- 2+2), (C m m;- 2+2). 
Gọi I x y( ; ) là tâm của đường tròn (P) ngoại tiếp DABC.

Ta có:

IA ID
IB IC
IB IA

2 2

ì =

í =

ï =

ỵ

Û

x y

x m x m

x m 2 y m2 2 x2 y 2

3 1 0

2 2

( ) ( 2) ( 2)

ì - + =
ï

=
-í

ï + + + - = +

-ỵ

Û xy
m

0
1
1
ì =
ï

=
í
ï =
ỵ

. Vậy m=1.

Câu 60. Cho hàm số y x= 4-2(1-m x2) 2+ +m 1 (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m=0.

2) Tìm mđểđồ thị (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất.
· y¢ =4x3-4(1-m x2) ; y x

x2 m2

0
0

1
é =
¢ = Û ê =

-ë . Hàm số có 3 cực trị Û - < <1 m 1.

Khi đó các điểm cực trị của (Cm) là:

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Ta có: SABC 1 ( , ).d A BC BC (1 m2 2) 1
2

= = - £ . Dấu "=" xảy ra Û m=0. 
Vậy maxSABC = Û =1 m 0.

Câu 61. Cho hàm số y 1x4 (3m 1)x2 2(m 1)
4

= - + + + (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m=0.

2) Tìm mđểđồ thị (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc toạđộ
O.

· y¢ =x3-2(3m+1)x; y x

x2 m

0
0

2(3 1)
é =

¢ = Û ê = +

ë . Hàm số có 3 cực trị Û m
1
3
> - (*)

Khi đó toạ độ 3 điểm cực trị là:

A(0;2m+2), ( 6B - m+ -2; 9m2-4m+1), ( 6C m+ -2; 9m2-4m+1)
DABC có trọng tâm O Û 18m2 6m 4 0 m 2;m 1

3 3

- - + = Û = - =
Đối chiếu với điều kiện (*), suy ra m 1

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

KSHS 03: SỰ TƯƠNG GIAO

Dạng 1: Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 3: y f x= ( )=ax3+bx2+cx d a+ ( ¹0)
A. Kiến thức cơ bản

· Cho hai đồ thị (C1): y f x= ( ) và (C2): y g x= ( ). Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và
(C2) ta giải phương trình: f x( )=g x( ) (*) (gọi là phương trình hồnh độ giao điểm).

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị.

· Số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số bậc ba: y f x= ( )=ax3+bx2+cx d+ với trục hoành
bằng số nghiệm của phương trình ax3+bx2+cx d+ =0 (1)

B. Một số dạng câu hỏi thường gặp

1. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) và trục hồnh có 1 điểm chung duy nhất.

CĐ CT

f khơng có cực trị
f có cực trị
y .y2 0
é

êì

êí >
êỵ

Û Phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất

2.Tìm đièu kiện để đồ thị (C) và trục hồnh có 2 điểm chung phân biệt.

Û (C) tiếp xúc với Ox Û

CĐ CT

f có cực trị
y .y2 0
ì

í =

ỵ Û Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm

3.Tìm đièu kiện để đồ thị (C) và trục hồnh có 3 điểm chung phân biệt.

CĐ CT

f có cực trị
y .y2 0
ì

í <

ỵ Û Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

4. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ dương.
Û CĐ CT

CĐ CT

f có cực trị
y y

x x

a f hay ad

. 0

0, 0

. (0) 0 ( 0)
ì

ï <
ï

í > >
ï

< <
ïỵ

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

5. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ âm.
Û CĐ CT

CĐ CT

f có cực trị
y y

x x

a f hay ad

. 0

0, 0

. (0) 0 ( 0)
ì

ï <
ï

í < <
ï

> >
ïỵ

Û Phương trình (1) có 3 nghiệm âm phân biệt.

6. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ tạo 
thành một cấp số cộng.

a b c, , lập thành một cấp số cộng Û a c+ =2b 
– Giả sử (1) có 3 nghiệm x x x1 2 3, , lập thành cấp số cộng.

– Viết (1) dưới dạng: ax3+bx2+cx d+ =0 Û a x x x x x x( - 1)( - 2)( - 3) 0=

Û a xëé 3-(x1+x2+x x3) 2+(x x1 2+x x2 3+x x x x x x3 1) - 1 2 3ùû=0
– x x x1 2 3, , lập thành cấp số cộng Û x1+x3=2x2 Þ x b

a

2 = -3 là 1 nghiệm của (1).

– Thế x b

a

2 = -3 vào (1) để suy ra điều kiện cần tìm.

Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được.

7. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ tạo 
thành một cấp số nhân.

a b c, , lập thành một cấp số nhân Û ac b= 2 
– Giả sử (1) có 3 nghiệm x x x1 2 3, , lập thành cấp số nhân.

– Viết (1) dưới dạng: ax3+bx2+cx d+ =0 Û a x x x x x x( - 1)( - 2)( - 3) 0=

Û a xëé 3-(x1+x2+x x3) 2+(x x1 2+x x2 3+x x x x x x3 1) - 1 2 3ùû=0
– x x x1 2 3, , lập thành cấp số nhân Û x x1 3=x22 Þ x d

a

2 = - là 1 nghiệm của (1).

– Thế x d

a

2 = - vào (1) để suy ra điều kiện cần tìm.

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Câu 1. Cho hàm số y x= 3+mx+2 có đồ thị (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = –3.
2) Tìm mđểđồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

· PT hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành: x3+mx+ =2 0 m x x

x

2 2 ( 0)

Û = - - ¹

Xét hàm số: f x x f x x x

x x x

3
2

2 2

2 2 2 2

( )= - - Þ '( )= -2 + =- +
 Ta có bảng biến thiên:

f x¢( )
f x( )

-¥ +¥

-¥
+¥

-¥ -¥

x

Đồ thị (Cm) cắt trục hồnh tại một điểm duy nhất Ûm> -3. 
Câu 2. Cho hàm số y f x= ( )=x3-mx2+2m (Cm) ( m là tham số).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 3.
2) Tìm mđểđồ thị (Cm) cắt trục hồnh tại một điểm duy nhất.

· Ta có: y¢ =3x2-2mx x x= (3 -2 )m

+ Khi m = 0 thỡ yÂ =3x2 ị0 (1) ng bin trờn R ị tho yờu cu bi toỏn. 
+ Khi mạ0thỡ (1) có 2 cực trị x1 0 ,x2 2m

= = . Do đó đồ thị cắt Ox tại duy nhất 1 điểm khi

( )

f x f x( ).1 2 >0 2m m2 4m3 0 4m2 1 2m2 0

27 27

æ ử ổ ử

ỗ - ữ> ỗ - ữ>

ố ø è ø

m

3 6 3 6

2 2

ì ¹
ï

Û í- < <
ùợ

Kt lun: khi m 3 6 3 6;

2 2

ổ ử

ẻ -ỗ ữ

ố ứ thỡ th (Cm) ct Ox ti duy nhất một điểm.

Câu hỏi tương tự:

a) y x= 3+3(m+1)x2+3(m2+1)x+1 ĐS: m RỴ . 
Câu 3. Cho hàm số y=2x3-3(m+1)x2+6mx-2 có đồ thị (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm mđểđồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

· y¢ =6x2-6(m+1)x+6m; Dy¢ =' 9(m+1)2-36m=9(m-1)2.

+ Nếu m=1 thì y¢ ³ "0, x Þ hàm số đồng biến trên R Þđồ thị cắt trục hoành tại 1 điểm 
duy nhất Þ m=1 thoả mãn YCBT.

+ Nếu m¹1 thì hàm số có các điểm cực trị x x1, 2 (x x1, 2 l cỏc nghim ca PT yÂ =0) 
ị x1+x2= +m 1;x x1 2=m.

Lấy y chia cho y¢ ta được: y x m 1 y (m 1)2x 2 m m( 1)

3 6

ổ + ử Â

=ỗ - ữ - - - + +

è ø .

Þ PT đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: y= -(m-1)2x- +2 m m( +1)
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất Û yCÑ CT.y >0

Û

(

-(m-1)2x1- +2 m m( +1) . (

) (

- m-1)2x2- +2 m m( +1)

)

>0

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Câu 4. Cho hàm số y x= 3-3m x2 +2m có đồ thị (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm mđểđồ thị (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt.

·Để (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân bit thỡ (Cm) phi cú 2 im cc tr

ị yÂ=0 có 2 nghiệm phân biệt Û3x2-3m2=0 có 2 nghiệm phân biệt Û m¹0

Khi đó y' 0= Û = ±x m.

(Cm) cắt Ox tại đúng 2 điểm phân biệt ÛyCĐ = 0 hoặc yCT = 0

Ta có: + y m(- ) 0= Û2m3+2m= Û =0 m 0 (loại) 
+ y m( ) 0= Û -2m3+2m= Û = Ú = ±0 m 0 m 1

Vậy: m= ±1

Câu 5. Cho hàm số y x= 3-3x2+1.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm m để đường thẳng (D): y ( m= 2 -1)x-4m-1 cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân
biệt.

· Phương trình hồnh độ giao của (C) và (D): x3-3x2-( m2 -1)x+4m+ =2 0

Û (x-2)(x2- -x 2m- =1) 0 x

f x x2 x m

( ) 2 1 0 (1)

é =

Û ê = - - - =

(D) cắt (C) tại đúng 2 điểm phân biệt Û (1) phải có nghiệm x x1, 2 thỏa mãn: x x1 xx2

1 2

2
2
é ¹ =
ê = ¹

ë

Û ba

f

0
2

0
(2) 0
D
D

ộỡ =ù
ờớ
ờ -ùợ ạ
ờ

ờỡ >
ớ
ờợ =
ở

m
m
m

8 5 0

1 2
2

8 5 0

2 1 0

ộỡù + =
ờớ

ờùợ ạ
ờ

ờỡ + >
í

ê - + =ỵ
ë

Û m

m

5
8
1
2
é

=
-ê
ê
ê =
êë

. Vậy: m 5

= - ; m 1

2
= .

Câu 6. Cho hàm số y x= 3-6x2+9x-6 có đồ thị là (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Định mđểđường thẳng ( ) :d y mx= -2m-4 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.

· PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): x3-6x2+9x- =6 mx-2m-4

Û (x-2)(x2-4x+ -1 m) 0= Û x

g x x2 x m

( ) 4 1 0

é =

ê = - + - =

(d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt Û PT g x( ) 0= có 2 nghiệm phân biệt khác 2 Û m> -3

Câu 7. Cho hàm số y x= 3-3mx2+3(m2-1)x m-( 2-1) (m là tham số) (1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1) khi m=0.

2) Tìm các giá trị của mđểđồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ
dương.

·Đồ thị (1) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ dương Û CĐ CT
CĐ CT

có cực trị
y y

x x

a y

(1) 2

. 0

0, 0

. (0) 0
ì

ï <
ï

í > >

<
ïỵ

(*)

+ y¢ =3x2-6mx+3(m2-1) + Dy¢ =9(m2-m2+ = > "1) 9 0, m + CÑ
CT

x m x

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Suy ra: (*)

m
m

m

m m m m

m

2 2 2

2
1 0
1 0

3 1 2

( 1)( 3)( 2 1) 0

( 1) 0
ì - >
ï + >
ï

Ûí Û < < +

- - - - <

ï- - <
ỵ

Câu 8. Cho hàm số y 1x3 mx2 x m 2

3 3

= - - + + có đồ thị (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = –1.

2) Tìm mđể (Cm)cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có tổng bình phương các hồnh độ lớn
hơn 15.

· YCBT Û 1x3 mx2 x m 2 0

3 - - + + =3 (*) có 3 nghiệm phân biệt thỏa x12+x22+x32 >15.

Ta có: (*) Û(x-1)(x2+ -(1 3 )m x- -2 3 ) 0m = Û x

g x x2 m x m

( ) (1 3 ) 2 3 0

é =

ê = + - - - =

YCBT Û g x( ) 0= có 2 nghiệm x x1, 2 phân biệt khác 1 và thỏa x12+x22>14 Û m >1

Câu hỏi tương tự:

a) Với y x= 3-3mx2-3x+3m+2

Câu 9. Cho hàm số y x= 3-3x2-9x m+ , trong đó m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm sốđã cho khi m=0.

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hồnh tại 3 điểm
phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng.

·Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng 
ÛPhương trình x3-3x2-9x m+ =0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng 
ÛPhương trình x3-3x2-9x= -m có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

ÛĐường thẳng y= -m đi qua điểm uốn của đồ thị (C) Û - = - Ûm 11 m=11.
Câu 10. Cho hàm số y x= 3-3mx2+9x-7 có đồ thị (Cm), trong đó m là tham số thực.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm sốđã cho khi m=0.

2) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng.

· Hồnh độ các giao điểm là nghiệm của phương trình: x3-3mx2+9x- =7 0 (1) 
Gọi hoành độ các giao điểm lần lượt là x x x1 2 3; ; ta có: x1+x2+x3=3m

Để x x x1 2 3; ; lập thành cấp số cộng thì x2=m là nghiệm của phương trình (1) 
Þ -2m3+9m- =7 0 Û

m
m
m

1 15
2
1 15

2
é =
ê - +
ê =
ê

ê

-=
ê
ë

. Thử lại ta có m 1 15

-= là giá trị cần tìm.

Câu hỏi tương tự:

a) y x= 3-3mx2+2 (m m-4)x+9m2-m. ĐS: m=1. 
Câu 11. Cho hàm số y x= 3-3mx2-mx có đồ thị (Cm), trong đó m là tham số thực.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm sốđã cho khi m=1.

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

· Xét phương trình hồnh độ giao điểm của (Cm) và d:

x3-3mx2-mx x= + Û2 g x( )=x3-3mx2-(m+1)x- =2 0

Đk cần: Giả sử (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ x x x1 2 3; ; lần lượt lập thành cấp 
số nhân. Khi đó ta có: g x( ) (= x x x x x x- 1)( - 2)( - 3)

Suy ra:

x x x m

x x x x x x m

x x x

1 2 3
1 2 2 3 1 3
1 2 3

1
2

ì + + =

ï + + =

-ớ

ù =

ợ

Vỡ x x1 3=x22ịx23= ị2 x2=32 nờn ta có: m 1 4 32.3m m 3 5

3 2 1

- - = + Û =

-+
Đk đủ: Với m 3 5

3 2 1
=

-+ , thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn. 
Vậy: m 3 5

3 2 1
=

-+ . 
Câu hỏi tương tự:

a) y x= 3-(3m+1)x2+(5m+4)x-8, d Oxº . ĐS: m=2. 
Câu 12. Cho hàm số y x= 3-3x2+2.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm các giá trị của tham sốmđểđường thẳng d y m x: = ( - -2) 2 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm
phân biệt A(2; –2), B, D sao cho tích các hệ số góc của tiếp tuyến tại B và D với đồ thị (C)
đạt giá trị nhỏ nhất.

· PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x3-3x2+ =2 m x( - -2) 2

Û x

g x x2 x m

( ) 2 0 (1)

é =

ê = - - - =

ë .

(C) cắt d tại 3 điểm phân biệt A(2; –2), B, D Û g(2)9 4mm 00 9 m 0
4

D

ì = + > Û - < ạ
ớ = - ạ

ợ (*)

Vi iu kin (*), gọi x x1 2, là các nghiệm của (1) thì x1+x2 =1,x x1 2= - -2 m. 
Ta có: k y x y x= ¢( ). ( ) (31 ¢ 2 = x12-6 )(3x1 x22-6 )x2 = 9(m+1)2- ³ -9 9 với 9 m 0

- < ¹ . 
Dấu "=" xảy ra Û m= -1. Vậy giá trị m cần tìm là m= -1. Khi đó kmin= -9. 
Câu 13. Cho hàm số y= -2x3+6x2+1 (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (C) của hàm số.

2) Tìm mđểđường thẳng d y mx: = +1 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho B
là trung điểm của đoạn thẳng AC.

· PT hoành độ giao điểm của (C) và d: -2x3+6x2+ =1 mx+1 Û é =ê2xx20 (-6yx m=+ =1) 0 (1)
ë

d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C Û (1) có 2 nghiệm phân biệt x x1 2, ạ0

m 00 m 9;m 0

DÂ ỡ

ỡ > <ớ ạ

ớ ạ ợ

ợ . Khi ú B x mx( ;1 1+1), ( ;C x mx2 2+1). 
Vì B là trung điểm của AC nên x2 =2x1 (2). Mặt khác: xx x1 x2m

1 2
3
2
ì + =
ï

í =

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Câu 14. Cho hàm số y x= 3-6x2+9x (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số (1).

2) Tìm m để đường thẳng d y mx: = cắt (C) tại 3 điểm O(0; 0), A, B phân biệt. Chứng tỏ
rằng khi m thay đổi, trung điểm I của đoạn AB luôn nằm trên một đường thẳng song song
với trục tung.

· PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x3-6x2+9x mx= Û x y

x2 x m

0 ( 0)

6 9 0 (1)

é = =

ê - + - =

d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt O(0; 0), A, B Û (2) có 2 nghiệm phân biệt x xA, B khỏc 0 
 ỡ >ớ - ạ9DÂ m0 0 < ạ0 m 9 (*)

ợ . Vỡ I là trung điểm của AB nên

A B
I

x x

x 3

2
+

= =

ị I ẻD: x=3 (D // Oy).

Cõu 15. Cho hm số y x= 3-3mx2+(m-1)x m+ +1 (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m=1.

2) Tìm các giá trị của mđểđường thẳng d y: =2x m- -1 cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm phân biệt
có hồnh độ lớn hơn hoặc bằng 1.

· PT hoành độ giao điểm của (Cm) và d: x3-3mx2+(m-1)x m+ + =1 2x m- -1 (1) 
Û é =êxx2+ -1(1 3 )m x-2m- =2 0 (2)

YCBT Û (1) có 3 nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng 1 Û (2) có 2 nghiệm phân biệt lớn 
hơn 1

Xét PT (2) ta có: D=9m2+2m+ > "9 0, m Þ (2) ln có 2 nghiệm phân biệt x x1 2, . 
Do đó: (2) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1 Û1<x1<x2 Û 0<x1- <1 x2-1 (*) 
Đặt t x= -1. Khi đó (2) Û t2+3(1-m t) 5- m=0 (3)

(*) Û (3) có 2 nghiệm dương phân biệt Û S m

P m

3( 1) 0

5 0

D

ì >
ï

= - >
í

ï = - >
ỵ

(vơ nghiệm) 
Kết luận: khơng có giá trị m thoả YCBT.

Câu 16. Cho hàm số y x= 3-3x+2.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho
A

x =2 và BC=2 2.

· Với xA =2 Þ yA=4. PT đường thẳng d đia qua A(2; 4) có dạng: y k x= ( - +2) 4.

PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x3-3x+ =2 k x( - +2) 4 Û é =êg xx( )2=x2+2x k- + =1 0

ë
d cắt (C) tại 3 điểm phân bit ớỡgD(2) 0Â>0 ớỡkk>90

ạ ạ

ợ ợ . Khi ú toạ độ của B x y C x y( ; ), ( ; )1 1 2 2
thoả hệ phương trình: x x k

y kx k

2 2 1 0 (1)

2 4 (2)

ì + - + =
í = - +
ỵ

Ta có: (1) Þ x1-x2 =2 k ; (2) Þ y1-y2 = k x( 1-x2) 2= k k

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Câu 17. Cho hàm số y=4x3-6mx2+1 (C) (m là tham số).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số khi m=1.

2) Tìm các giá trị của m đểđường thẳng d y: = - +x 1 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm A(0; 1), B, C
phân biệt sao cho B, C đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất.

· PT hoành độ giao điểm của (C) và d: 4x3-6mx2+ = - +1 x 1 Û x

x2 mx

4 6 1 0 (1)

é =

ê - + =

d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C Û (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

Û m

m

2
3
2
3
é

<
-ê
ê
ê >
êë

(*). Khi đó giả sử B x( ;1 - +x1 1), ( ;C x2 - +x2 1).

B, C đối xứng nhau qua đường thẳng y x= Û xy1 yx2
1 2

ì =
í =

ỵ Û

x x

x12 x21

1
1
ì = - +
í = - +

ỵ Û x1+x2 =1

Û 3m 1 m 2

2 = Û =3 (khơng thoả (*)). Vậy khơng có giá trị m thoả YCBT. 
Câu 18. Cho hàm sốy x= 3+2mx2+(m+3)x+4 có đồ thị là (Cm) (m là tham số).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1.

2) Cho đường thẳng (d): y x= +4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của mđể (d) cắt (Cm) tại

ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2.

· Phương trình hồnh độ giao điểm của (Cm) và d là: x3+2mx2+(m+3)x+ = +4 x 4

x y

g x x2 mx m

0 ( 4)

( ) 2 2 0 (1)

é = =

Û ê = + + + =

(d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C Û(1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.

m m

m

g m

/ 2 2 0 1 2

(0) 2 0

D

ì = - - > ì < - Ú >

Ûí Ûí ¹

-= + ¹ ỵ

ỵ (*)

Khi đó: xB+xC = -2 ;m x xB C. = +m 2. Mặt khác: d K d( , ) 1 3 4 2
2

- +

= = . Do đó:

KBC

S 8 2 1BC d K d. ( , ) 8 2 BC 16 BC2 256
2

D = Û = Û = Û =

B C B C

x x 2 y y 2

( ) ( ) 256

Û - + - = Û(xB-xC)2+((xB+ -4) (xC+4))2 =256

B C B C B C

x x 2 x x 2 x x

2( ) 256 ( ) 4 128

Û - = Û + - =

m2 m m2 m m 1 137

4 4( 2) 128 34 0

2
±

Û - + = Û - - = Û = (thỏa (*)). Vậy m 1 137

2
±

= .

Câu hỏi tương tự:

a) y x= 3+2mx2+3(m-1)x+2, d y: = - +x 2, K(3;1), (0;2),A S=2 2. ĐS: m=0,m=3 
Câu 19. Cho hàm số y x= 3-3x2+4 có đồ thị là (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi dk là đường thẳng đi qua điểm A( 1;0)- với hệ số góc k (kỴ¡). Tìm k để đường
thẳng dk cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ
độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.

· Ta có: d y kx kk: = + Û kx y k- + =0

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

x3-3x2+ =4 kx k+ Û(x+1) (ëé x-2)2-kûù= Û = -0 x 1 hoặc (x-2)2=k

k

d cắt (C) tại 3 im phõn bit ớ ạỡ >kk 09

ợ (*)

Khi đó các giao điểm là A( 1;0), 2- B

(

- k k k k C;3 -

) (

, 2+ k k k k;3 +

)

.

k k

BC k k d O BC d O d

k

2 1 , ( , ) ( , )

= + = =

+
OBC k

S k k k k k k

k

2 3

1 . .2 . 1 1 1 1 1

2 1

D = + = Û = Û = Û =

+ (thoả (*))

Câu hỏi tương tự:

a) y x= 3-3x2+4; ( 1;0),A - SOBC=8. ĐS: k=4.

Câu 20. Cho hàm số y= -(2 m x) 3-6mx2+9(2-m x) -2 (Cm) (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm mđểđường thẳng d y: = -2 cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 2)- , B và C sao cho
diện tích tam giác OBC bằng 13.

· Phương trình hồnh độ giao điểm là: (2-m x) 3-6mx2+9(2-m x) - = -2 2 (1)

x

m x2 mx m

(2 ) 6 9(2 ) 0 (2)

é =

Û ê - - + - =

d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(0; –2), B, C Û (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 
Û íì2D- ¹=m9m20-9(2-m)2 > Û0 í ¹ì >mm 12

ỵ

ỵ (*). Giả sử B x( ; 2), ( ; 2)B - C xC - (xB¹xC). 
Khi đó: B C

B C

m
x x

m
x x

6
2
9
ì

ï + =

-ï =

ỵ

. Ta có: S OBC 1 ( , ).d O BC BC 13
2

D = =

(

B C

)

B C

BC 13 x x 2 4x x 13

Þ = Û + - = Û mm m

m

2 14

6 36 13

2 14

ộ

ổ ử ờ =

- =

ỗ - ữ ê

è ø ë = (thoả (*)). 
Câu 21. Cho hàm số y x= 3-3x2+2 có đồ thị là (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại
ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2.

· Ta có: E(1; 0). PT đường thẳng D qua E có dạng y k x= ( -1). 
PT hoành độ giao điểm của (C) và D: (x-1)(x2-2x- -2 k) 0=

D cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û x2-2x- - =2 k 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 Û k> -3
OAB

S 1 ( , ).d O AB k k 3
2

D = D = + Þ k k+ =3 2 Û é = -ê = - ±kk 11 3
ë

Vậy có 3 đường thẳng thoả YCBT: y= - +x 1;y= - ±

(

1 3 (

)

x-1). 
Câu 22. Cho hàm số y x= 3+3x2+mx+1 (m là tham số) (1)

1) Khảo sát và vẽđồ thị hàm số khi m = 3.

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

· PT hoành độ giao điểm của (1) và d: x3+3x2+mx+ = Û1 1 x x( 2+3x m+ ) 0=
d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C Û m 9 ,m 0

4
< ¹

Khi đó: x xB, C là các nghiệm của PT: x2+3x m+ =0 Þ xB+xC = -3;x xB C. =m

Hệ số góc của tiếp tuyến tại B là k1=3xB2+6xB+m và tại C là k2 =3xC2 +6xC +m

Tiếp tuyến của (C) tại B và C vng góc với nhau Û k k1 2. = -1 Û 4m2-9m+ =1 0

Û m 9 65 m 9 65

8 8

- +

= Ú =

Câu 23. Cho hàm số y x= 3-3x+1 có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y mx m= + +3.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm m để (d) cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vng góc
với nhau.

· Phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và (d): x -(m3 +3)x m- - =2 0

Û (x+1)(x2- - - =x m 2) 0 Û x y

g x x2 x m

1( 3)

( ) 2 0

é = - =

ê = - - - =

d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt M(–1; 3), N, P Û m 9 ,m 0
4
> - ¹

Khi đó: x xN, P là các nghiệm của PT: x2- - - =x m 2 0 Þ xN +xP =1;x xN P. = - -m 2

Hệ số góc của tiếp tuyến tại N là k1=3xN2 -3 và tại P là k2 =3xP2 -3

Tiếp tuyến của (C) tại N và P vng góc với nhau Û k k1 2. = -1 Û 9m2+18m+ =1 0

Û m 3 2 2 m 3 2 2

3 3

- +

-= Ú =

Câu 24. Cho hàm số y x= 3-3x2+4 (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại ba
điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vng góc với nhau.

· PT đường thẳng (d): y k x= ( -2)

+ PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): x3-3x2+ =4 k x( -2)

Û (x-2)(x2- - -x 2 k) 0= Û x xA

g x x2 x k

( ) 2 0

é = =

ê = - - - =

+ (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N Û PT g x( ) 0= có 2 nghiệm phân biệt, khác 2

Û f(2) 00 9 k 0
4

ỡD > - < ạ

ớ ạ

ợ (*)

+ Theo định lí Viet ta có: M N
M N

x x

x x k

1
2

ì + =

í =

-ỵ

+ Các tiếp tuyến tại M và N vng góc với nhauÛ y x¢( M). ( )y x¢ N = -1

Û (3xM2 -6xM)(3x2N -6 )xN = -1 Û 9k2+18k+ =1 0 k 3 2 2

3
- ±

Û = (thoả (*)) 
Câu 25. Cho hàm số y x= 3-3x (C)

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (d): y m x= ( + +1) 2 luôn cắt đồ thị (C) tại
một điểm M cốđịnh và xác định các giá trị của mđể (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P
sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vng góc với nhau.

· PT hoành độ giao điểm (x+1)(x2- - -x 2 m) 0= (1) Û x

x2 x m

1 0

2 0 (2)

é + =

ê - - - =

ë

(1) luôn có 1 nghiệm x= -1 (y=2) Þ (d) ln cắt (C) tại điểm M(–1; 2). 
(d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û (2) có 2 nghiệm phân biệt, khác –1

Û m 9 ; 0m

> - ¹ (*)

Tiếp tuyến tại N, P vng góc Û y x'( ). '( )N y xP = -1 Û m 3 2 2

3
- ±

= (thoả (*))

Câu 26. Cho hàm số y 1x3 x2 3x 8

3 3

= - - + .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị (C) tại hai điểm

phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại O (O là gốc toạđộ).

· Giả sử phương trình đường thẳng d: y = m.

PT hồnh độ giao điểm của (C) và d: 1x3 x2 3x 8 m

3 - - + =3 Ûx3-3x2-9x+ -8 3m=0(1) 
Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho DOAB cân tại O thì (1) phải có 2 nghiệm

x x1, 2= -x1(x1,–x1 là hoành độ của A, B) Þ x1, x2 là các nghiệm của phương trình:

x2 x12 x x2

( - )( - ) 0= Û x3-x x2 2-x x x x12 + 1 22 =0 (2) 
Đồng nhất (1) và (2) ta được:

x
x

x x m

2
2
1
2
1 2

3
9

8 3
ì =

ï =
í

ï =

-ỵ

Û xx

m

1
2

3
3

19
3
ì = ±
ïï =
í
ï =
-ïỵ

. Kết luận: d: y 19

3
= - .

Câu 27. Cho hàm số y x= 3-5x2+3x+9 (1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số (1).

2) Gọi D là đường thẳng đi qua A( 1;0)- và có hệ số góc k. Tìm k để D cắt đồ thị (C) tại ba
điểm phân biệt A B C, , sao cho tam giác OBC có trọng tâm G(2;2) (O là gốc toạđộ).

·PT đường thẳng D: y k x= ( +1). PT hoành độ giao điểm của (C) và D:

x3-5x2+3x+ =9 k x( +1) Û é = -ê - =(xx 3)12 k
ë

D cắt (C) tại ba điểm phân biệt Û(x-3)2 =k có hai nghiệm phân biệt khác -1 Û ì >í ¹kk 160
ỵ
Khi đó toạđộ các giao điểm là: A( 1;0)- , B

(

3+ k k; 4

(

+ k

)

, C

(

3- k k; 4

(

- k

)

. 
Do đó tọa độ trọng tâm DOBC: G

G

x
k
y

8 2

3
ì =
ï

í = =

ïỵ Û k

3
4

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Dạng 2: Sự tương giao của đồ thị hàm số trùng phương: y f x= ( )=ax4+bx2+c a( ¹0)
A. Kiến thức cơ bản

Số giao điểm của (C): y ax= 4+bx2+c với trục Ox = số nghiệm của ax4+bx2+ =c 0 (1)

ax bx c t x t

at bt c

4 2

2 , 0
0 (1)

0 (2)
ìï = ³

+ + = Û í

+ + =
ïỵ

Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng.
· (1) vô nghiệm Û vô nghiệmcó nghiệm kép âm

có nghiệm âm

(2)
(2)
(2) 2
é

ê
ê
ë

· (1) có 1 nghiệm Û éêë(2)(2)có nghiệm kép bằngcó nghiệm bằng1 0,nghiệm còn lại âm0
· (1) có 2 nghiệm Û éêë(2)(2)có nghiệm kép dươngcó nghiệm dương và nghiệm âm1 1
· (1) có 3 nghiệm Û (2)có nghiệm bằng1 0,nghiệm còn lại dương

· (1) có 4 nghiệm Û (2)có nghiệm dương phân biệt2
B. Một số dạng câu hỏi thường gặp

1. Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại k điểm phân biệt.

Dựa vào các trường hợp nêu trên.

2. Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hồnh độ lập 
thành một cấp số cộng.

Û ax4+bx2+ =c 0 (1) có 4 nghiệm phân biệt.

Û at2+ + =bt c 0 (t x= 2) (2) có 2 nghiệm dương phân biệt t t1 2, (giả sử t t1< 2)
– Khi đó các nghiệm của (1) là: - t2;- t1; t1; t2 .

– Vì - t2;- t1; t1; t2 lập thành cấp số cộng nên t2 - t1 = t1- -

( )

t1 Û =t2 9t1.

– Giải điều kiện:

b
t t

a
c
t t

a

t t

1 2
1 2
1 92

+ =

-ï

í =

ï
ï =
ỵ

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Câu 28. Cho hàm số y x= 4-mx2+ -m 1 có đồ thị là

( )

Cm

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số khi m=8.
2) Định mđểđồ thị

( )

Cm cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

· PT hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành: x4-mx2+ - =m 1 0 (1) 
Đặt t x t= 2, ³0. Khi đó: (1) Û t2-mt m+ - =1 0 (2) Û é =ê = -tt m1 1

YCBT Û (1) có 4 nghiệm phân biệt Û (2) có 2 nghiệm dương phân biệt Û 0< - ạm 1 1
 ỡ >ớ ạmm 12

ợ

Cõu 29. Cho hàm số y x= 4-2(m+1)x2+2m+1 có đồ thị là

( )

Cm .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm sốđã cho khi m=0.

2) Định m để đồ thị

( )

Cm cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số
cộng.

· Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x4-2(m+1)x2+2m+ =1 0 (1) 
Đặt t x t= 2, ³0 thì (1) trở thành: f t( )= -t2 2(m+1) 2t+ m+ =1 0.

Để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì f t( ) 0= phải có 2 nghiệm dương phân biệt

(

)

m

S m

m

P m

' 0 1

2 1 0 2

2 1 0

D

ì = > ì

ï ï >

-Ûí = + > ớ
ù = + > ù ạợ
ợ

(*)

Vi (*), gi t1<t2 là 2 nghiệm của f t( ) 0= , khi đó hồnh độ giao điểm của (Cm) với Ox lần

lượt là: x1= - t x2; 2 = - t x1 3; = t x1; 4= t2

x x x x1, , ,2 3 4 lập thành cấp số cộng Ûx2-x1=x3-x2 =x4-x3 Û =t2 9t1

(

)

(

)

m m m

m m m m m m

m m m

5 4 4

1 9 1 5 4 1 5 4 4 4

9
é =

é = + ê

Û + + = + - Û = + Ûê- = Û

+ ê =

-ë ë (tho (*)) 
Vy m 4; 4

ỡ ỹ

=ớ - ý

ợ ỵ

Cõu hỏi tương tự:

a) Với y= -x4+2(m+2)x2-2m-3 ĐS: m 3,m 13

9
= = - .
Câu 30. Cho hàm số y x= 4-(3m+2)x2+3m có đồ thị là (Cm), m là tham số.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 0.

2) Tìm mđể đường thẳng y= -1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hồnh độ nhỏ
hơn 2.

· Phương trình hồnh độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y= -1:

x4-(3m+2)x2+3m= -1 Û x4-(3m+2)x2+3m+ =1 0Û x 
x2 m

3 1 (*)

é = ±

ê = +

Đường thẳng y= -1cắt (Cm) tại 4 điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi

phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác ±1 và nhỏ hơn 2

Û m

m

0 3 1 4

3 1 1

ì < + <
ù

ớ

+ ạ

ùợ m m

1 1; 0

3
ỡ

- < < ¹
í

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Câu 31. Cho hàm số y x= 4-2(m+1)x2+2m+1 có đồ thị là (Cm), m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 0.

2) Tìm mđểđồ thị (Cm) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt đều có hồnh độ nhỏ hơn 3.

· Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x4-2(m+1)x2+2m+ =1 0 (1) 
Đặt t x t= 2, ³0 thì (1) trở thành: f t( )= -t2 2(m+1) 2t+ m+ =1 0.

(Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ hơn 3

( )

f t

Û có 2 nghiệm phân biệt t t1 2, sao cho: tt1 t2 t

1 2

0 3

é = < <
ê < < £
ë

m
m

f m

f m hoặc m m

S m

P m

2 0 0

1
(3) 4 4 0

(0) 2 1 0 1

2
2( 1) 0

2( 1) 3

2 1 0

D

D ì ¢ = >

ì ¢ = > ï

ï ï = - £

Ûí = + = í Û = - Ú ³

= + >

ï = + < ï

ỵ ïỵ = + >

Vậy: m 1 m 1
2

= - Ú ³ .

Câu 32. Cho hàm số y x= 4-2m x2 2+m4+2m (Cm), với m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m=1..

2) Chứng minh đồ thị (Cm) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi m<0.

· PT hoành độ giao điểm của (Cm) với trục Ox: x4-2m x2 2+m4+2m=0 (1) 
Đặt t x t= 2 ( ³0), (1) trở thành : t2-2m t m2 + 4+2m=0 (2)

Ta có : D = -' 2m>0 và S=2m2>0 với mọi m>0. Nên (2) có nghiệm dương

Þ (1) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt Þ đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai 
điểm phân biệt.

Câu 33. Cho hàm số y x= 4+2m x2 2+1 (m là tham số) (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Chứng minh rằng đường thẳng y x= +1 luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt
với mọi giá trị của m.

· Xét PT hoành độ giao điểm:

x4+2m x2 2+ = +1 x 1Û x x

(

3+2m x2 - =1 0

)

Û x

g x x3 m x2

( ) 2 1 0 (*)

é =

ê = + - =

ë

Ta có: g x¢( ) 3= x2+2 0m2³ (với mọi x và mọi m ) Þ Hàm số g(x) luôn đồng biến với mọi 
giá trị của m.

Mặt khác g(0) = –1 ¹0. Do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất khác 0.

Vậy đường thẳng y x= +1 luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị
của m.

Câu 34. Cho hàm số y x= 4-(m2+2)x2+m2+1 (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m=2.

2) Tìm các giá trị của mđể (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới
hạn bởi (Cm) với trục hồnh phần phía trên trục hồnh có diện tích bằng 96

15.

· PT hồnh độ giao điểm của (Cm) với trục Ox: x4-(m2+2)x2+m2+ =1 0Û x

x m2

1
1
é = ±

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Þ (Cm) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt Û m ¹ 0 (*).

Khi đó: diện tích hình phẳng giới hạn bởi (Cm) với trục hồnh phần phía trên trục hồnh
là: S 1 x4 m2 x2 m2 dx

( ( 2) 1)

ò

- + + + Û 20m152+16 96=15 Û m= ±2 (thoả (*)).

Câu 35. Cho hàm số y x= 4-4x2+m (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m=2.

2) Tìm các giá trị của mđể (Cm) cắt trục hồnh tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới
hạn bởi (Cm) với trục hồnh có diện tích phần phía trên trục hồnh bằng diện tích phần dưới
trục hoành.

· PT hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành: x4-4x2+ =m 0(1) 
Û t x t

t t m

2 4, 0 0 (2)

ìï = ³
í

- + =

ïỵ

(Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt Û (1) có 4 nghiệm phân biệt Û (2) có 2 nghiệm dương 
phân biệt Û S m m

P m

4 0

4 0 0 4

0
D¢

ì = - >
ï

= > Û < <
í

ï = >
ỵ

(*).

Giả sử (2) có nghiệm t t1 2, (0< <t1 t2). Khi đó (1) có 4 nghiệm phân biệt theo thứ tự tăng dần 
là: x1= - t x2; 2 = - t x1 3; = t x1; 4= t2 . Do tính đối xứng của (Cm) nên ta có:

x x

x

x x m dx x x m dx

3 4

4 2 4 2

( -4 + ) = (- +4 - )

ò

Û x54 x34 mx x4 x2 m

4 4 4

0 3 20 15 0

5 - 3 + = Û - + =

Suy ra x4 là nghiệm của hệ: x x m

x x m

4 2

4 4

4 2

4 4

4 0 (3)

3 20 15 0 (4)

ì - + =

ï
í

- + =

ïỵ Û

m
m

0
20

9
é =
ê

=
ê
ë

. 
Đối chiếu điều kiện (*) ta suy ra m 20

9
= .

Câu 36. Cho hàm số y x= 4-2(m+1)x2+2m+1 (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m=1.

2) Tìm các giá trị của mđể (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D có hồnh độ
lần lượt là x x x x1 2 3 4, , , (x1<x2<x3<x4) sao cho tam giác ACK có diện tích S=4, biết

K(3; 2)- .

· PT hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành: x4-2(m+1)x2+2m+ =1 0 (1) . 
Đặt t x t= 2, ³0. (1) trở thành: t2-2(m+1) 2t+ m+ =1 0 (2)

(Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt Û (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

Û S mm m

P m

( 1) (2 1) 0
2( 1) 0

2 1 0

D

ì ¢ = + - + >
ï

í = + >
ï = + >
ỵ

Û m

m

1
2
0
ỡù >
-ớ

ù ạ
ợ

Khi ú (Cm) ct Ox ti 4 điểm phân biệt có hồnh độ theo thứ tự là: - t1;- t2; t2; t1, với

t1>t2.

Ta có: SACK 1AC d K AC. ( , )
2

= (3), với d K AC( , )= yK =2.

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

Dạng 3: Sự tương giao của đồ thị hàm số: y f x ax b
cx d

( ) +

= =

Câu 37. Cho hàm số y x

x

2 1
2
+
=

+ có đồ thị là (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Chứng minh rằng đường thẳng d: y= - +x m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,
B. Tìm mđểđoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

· PT hoành độ giao điểm của (C) và d:

x x m

x

2 1
2
+

= - +

+ Û

x

f x x2 m x m

( ) (4 ) 1 2 0 (1)

ì ¹

-í = + - + - =

ỵ

Do (1) có D=m2+12 0> và f( 2) ( 2)- = - 2+ -(4 m).( 2) 1 2- + - m= - ¹ "3 0, m

nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B. 
Ta có: yA = -m x yA; B= -m xB nên AB2 =(xB-xA)2+(yB-yA)2 =2(m2+12)

Suy ra AB ngắn nhất Û AB2 nhỏ nhất Û m=0. Khi đó: AB= 24. 
Câu hỏi tương tự:

a) y x
x

2
1

-=

- ĐS: m=2 b)

x
y

x

1
2

-= ĐS: m 1

2
=

Câu 38. Cho hàm số y x
x 31

+ .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I( 1;1)- và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N
sao cho I là trung điểm của đoạn MN.

· Phương trình đường thẳng d y k x: = ( + +1) 1

d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N x kx k
x

3 1

-Û = + +

+ có 2 nghiệm phân biệt khác -1.

Û f x( )=kx2+2kx k+ + =4 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1Û k k k
f

4 0 0

( 1) 4 0
D

ì ¹

ï = - > Û <
í

ï - = ạ
ợ

Mt khỏc: xM +xN = - =2 2xI I là trung điểm MN với " <k 0. 
Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm là y kx k= + +1 với k<0.

Câu 39. Cho hàm số y x

x

2 4

1
+
=

- (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k. Tìm kđể (d) cắt (C) tại hai điểm M, 
N sao cho MN =3 10.

· Phương trình đường thẳng ( ) :d y k x= ( - +1) 1.

Bài tốn trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm ( ; ), ( ; )x y1 1 x y2 2 phân biệt 
sao cho

(

x2-x1

) (

2+ y2-y1

)

2 =90 (a)

x k x

x
y k x

2 4 ( 1) 1

( 1) 1

ì + = - +

ï
- +
í

ï = - +

ỵ

(I). Ta có: I kx k x k
y k x

2 (2 3) 3 0

( )

( 1) 1

ìï - - + + =

Û í

= - +

ïỵ

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

Û k 0,k 3.
8
¹ <

Ta biến đổi (a) trở thành: (1+k2)

(

x2-x1

)

2 =90Û +(1 k2)éëê

(

x2+x1

)

2-4x x2 1ùúû=90 (c) 
Theo định lí Viet cho (b) ta có: x x k x x k

k k

1+ 2 =2 -3, 1 2= +3, thế vào (c) ta có phương

trình: 8k3+27k2+8k- = Û3 0 (k+3)(8k2+3k- =1) 0

k 3; k 3 41; k 3 41

16 16

- +

-Û = - = = .

Kết luận: Vậy có 3 giá trị của k thoả mãn như trên. 
Câu 40. Cho hàm số y x

x

2 2

1

-=

+ (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm m để đường thẳng (d): y=2x m+ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

AB= 5.

· PT hoành độ giao điểm: x x m
x

2 2 2

- = +

+ Û x mx m x

2 + + + =2 0 ( ¹ -1) (1) 
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B Û (1) có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 khác –1

Û m2-8m-16 0 > (2) 
Khi đó ta có:

m
x x

m

x x

1 2
1 2

2
2
2
ì

+ =
-ïï

í +

ï =

ïỵ

. Gọi A x x

(

1;2 1+ m B x

) (

, 2;2x2+ m

)

.

AB2 = 5 Û (x1-x2)2+4(x1-x2)2 =5 Û (x1+x2)2-4x x1 2=1 Û m2-8m-20 0=
 Û é =ê = -mm 102

ë (thoả (2)) 
Vậy: m=10;m= -2.

Câu hỏi tương tự:

a) y x d y x m AB

x

2 1, : , 2 2

-= = + =

+ . ĐS: m= -1;m=7.

Câu 41. Cho hàm số y x
x m

1

-=

+ (1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1) khi m=1.

2) Tìm các giá trị của tham sốm sao cho đường thẳng (d): y x= +2 cắt đồ thị hàm số (1) tại
hai điểm A và B sao cho AB=2 2.

· PT hoành độ giao điểm: x x x m

x m x2 m x m

1 2

( 1) 2 1 0 (*)

ì ¹

-= + Û í

+ ỵ + + + + =

d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B phân biệt Û (*) có hai nghiệm phân biệt khác -m

m m

m m

x m m m

0 6 3 0 3 2 3 3 2 3

1
1

D ì ì

ì > - - > < - Ú > +

Ûí Ûí Ûí

¹ - ¹ - ạ

-ợ ợ ợ (**)

Khi ú gi x x1, 2 là các nghiệm của (*), ta có xx x1 x2 m m
1 2

( 1)

. 2 1

ì + = - +

í = +

ỵ

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Theo giả thiết ta được 2(m2-6m- = Û3) 8 m2-6m- = Û ê =7 0 é = -mm 71
ë
Kết hợp với điều kiện (**) ta được m=7 là giá trị cần tìm. 
Câu 42. Cho hàm số y x

x

2 1
1
+
=

+ .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm các giá trị của tham sốk sao cho đường thẳng (d): y kx= +2k+1 cắt đồ thị (C) tại hai
điểm phân biệt A và B sao cho các khoảng cách từ A và B đến trục hoành là bằng nhau.

· PT hoành độ giao điểm: x kx k x

x kx2 k x k

2 1 2 1

1 (3 1) 2 0 (*)

ì ¹
-+

= + + Û í

+ ỵ + - + =

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B Û (*) có 2 nghiệm phân biệt Û k

k2 k

6 1 0
D

ì ¹

í = - + >
ợ

ỡ ạớ < -kk 3 2 20 > +k 3 2 3

ỵ (**). Khi đó: A x kx( ;1 1+2k+1), ( ;B x kx2 2+2k+1). 
Ta có: d A Ox( , )=d B Ox( , ) Û kx1+2k+ =1 kx2+2k+1 Û k x( 1+x2) 4+ k+ =2 0
Û k = -3 (thoả (**).

Câu 43. Cho hàm số y x
x

2
1
=

- .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm m để đường thẳng d y mx m: = - +2 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho độ
dài AB ngắn nhất.

· PT hoành độ giao điểm: x mx m
x

2 2

1= - +

- Û

x

g x mx2 mx m

( ) 2 2 0 (2)

ỡ ạ

ớ = - + - =

ợ

d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B Û (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 Û m>0

Khi đó: A x mx m( ;1 1- +2), ( ;B x mx2 2- +m 2) Þ AB2 = +(1 m x) (2 2-x1)2

Theo định lí Viet, ta có: x x x x m
m

1+ 2 =2; 1 2= -2 Þ AB2 =8ổỗốm+m1 ửữứ16

Du "=" xy ra m=1. Vy minAB=4 khi m=1.

Câu 44. Cho hàm y x

x

2 2

+
=

- .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm m để đường thẳng d y x m: = + cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

OA2 OB2 37

+ = .

· PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x x m
x

2 2

= +

-x

g x x2 m x m

( ) 2 (2 3) 2( 1) 0
ì ¹

Û í = + - - + =

ỵ .

Vì g m m m

g

4 4 25 0,

(1) 3 0
D

ìï = + + > "
í

= ¹

ïỵ nên d ln cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. 
Gọi A x x m B x x( ;1 1+ ), ( ;2 2+m). Theo định lí Viet, ta có: x x m

x x m

1 2 2 2 3
( 1)

-ï + =
-í

ï = - +

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Ta có: OA2 OB2 37

+ = Û 1(4m2 2m 17) 37

2 + + = 2 Û m= -5;2 m=2.

Câu 45. Cho hàm y x

x

1
=

- .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm m để đường thẳng d y mx m: = - -1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho

AM2+AN2 đạt giá trị nhỏ nhất, với A( 1;1)- .

· PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x mx m x

x mx2 mx m

1
1

1 2 1 0 (2)

ỡ ạ
= - - ớ

- ợ - + + =

d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt Û (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 Û m<0. 
Gọi I là trung điểm của MN Þ I(1; 1)- cốđịnh.

Ta có: AM2 AN2 2AI2 MN2

+ = + . Do đó AM2+AN2nhỏ nhất Û MN nhỏ nhất

MN x x m m

m

2 2 2

2 1 4

( ) (1 ) 4 8

= - + = - - ³ . Dấu "=" xảy ra Û m= -1. 
Vậy: min(AM2+AN2) 20= khi m= -1.

Câu 46. Cho hàm số y x
x

2 1
1

-=

- (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm m để đường thẳng d: y x m= + cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho DOAB
vuông tại O.

· PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x2+(m-3)x+ - =1 m 0, x¹1 (*) 
(*) có D=m2-2m+ > " Ỵ5 0, m R và (*) khơng có nghiệm x = 1.

Þ (*) ln có 2 nghiệm phân biệt là x xA, B. Theo định lí Viét: A B
A B

x x m

x x. 13m

ì + =

-í =

-ỵ
Khi đó: A x x

(

A; A+m B x x

) (

, B; B+m

)

OAB

D vng tại O thì OA OBuuur uuur. = Û0 x xA B+

(

xA+m x

)(

B+m

)

Û2x xA B+m x

(

A+xB

)

+m2 = Û0 m= -2

Vậy: m = –2.

Câu 47. Cho hàm số y f x x
x

2 1
( )

1
+

= =

- .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng (d): y x m= + cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M,
N sao cho diện tích tam giác IMN bằng 4 (I là tâm đối xứng của (C)).

· Tâm đối xứng của (C) là I(1; 2). Xét phương trình hồnh độ giao điểm của (d) và (C):

x

x x m

x f x x2 m x m

1
2 1

1 ( ) ( 3) 1 0

ỡ ạ

+ ù

= + ớ

- ùợ = + - - - =

d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N Û f x( ) 0= có hai nghiệm phân biệt x xM, N khác 1

m m

f

2 2 13 0
(1) 3 0
D

ìï = - + >
Û í

= - ¹

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

M N M N

MN= 2 (ëé x +x )2-4x x ûù = 2(m2-2m+13); d d I d( , ) m 1
2

-= =

IMN

S 4 1MN d. 4 m 1 . m2 2m 13 8
2

= Û = Û - - + = Û m=3;m= -1.

Câu 48. Cho hàm số y x m
x 2
- +
=

+ có đồ thị là (Cm) (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m=1.

2) Tìm các giá trị của m đểđường thẳng d x: 2 +2y- =1 0 cắt (Cm) tại hai điểm A và B sao
cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 (O là gốc tọa độ).

· PT hoành độ giao điểm của d và (Cm): x m x x x m x

x 2

1 2 2 0 (1), 2

2 2

- + = - Û - + - = ¹

d cắt (Cm) tại 2 điểm A, B Û (1) có 2 nghiệm phân biệt khác –2 Û 2 m 9

8
- ¹ < (*) 
Khi đó các giao điểm là: A x1;1 x1 ,B x2;1 x2

2 2

ổ ử ổ ử

-ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ø. AB= 2(9 8 )- m
OAB

S 1AB d O d. ( , ) 1 2(9 8 ).m 1 1 9 8m 1 m 7

2 2 2 2 4 8

= = - = - = Û = - (thảo (*)).

Câu 49. Cho hàm số y x
x

2 1
1

+
=

- có đồ thị là (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm các giá trị m đểđường thẳng y= - +3x m cắt (C) tại A và B sao cho trọng tâm của
tam giác OAB thuộc đường thẳng d x: -2y- =2 0 (O là gốc tọa độ).

· PT hoành độ giao điểm: x x m
x

2 1 3

1
+

= - +

- x m x m

3 (1 ) 1 0

Û - + + + = (1), (x¹1) 
d cắt (C) tại A và B Û (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 Û ê < -é >mm 111

ë (*)

Gọi x x1 2, là các nghiệm của (1). Khi đó A x( ; 31 - x1+m B x), ( ; 32 - x2+m)

Gọi I là trung điểm của AB xI x1 x2 1 m,yI 3xI m m 1

2 6 2

+ +

-Þ = = = - + =

Gọi G là trọng tâm tam giác OAB OG 2OI G 1 m m; 1

3 9 3

ỉ + - ư

Þ = ị ỗ ữ

ố ứ

uuur uur

m m

G d 1 2. 1 2 0 m 11

9 3 5

ỉ ư

-Ỵ Û - ỗ ữ = =

-ố ứ (tho (*)). Vậy m
11

5
= - .

Câu 50. Cho hàm số y x
x

3
2
+
=

- (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm mđểđường thẳng d y: = - + +x m 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho ·AOB

nhọn.

· PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x x m
x

3 1

+ = - + +

-

Û x2-(m+2)x+2m+ =5 0 (x¹2) (1)

(1) có 2 nghiệm phân biệt Û x m m m

m m

2
2

0 4 16 0

2 2 2( 2) 2 5 0

D ìï

ì > Û - + > Û "

í ¹ í

- + + + ¹

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

Gọi A x( ;1 - + +x1 m 1), ( ;B x2 - + +x2 m 1) là các giao điểm của (C) và d.

Ta có: ·AOB nhọn Û AB2<OA2+OB2 Û 2(x2-x1)2 < - + +( x1 m 1)2+ - + +( x2 m 1)2
Û -2x x1 2+(m+1)(x1+x2) (- m+1)2 <0 Û m> -3.

Câu 51. Cho hàm số y x
x

3 2
2
+
=

+ (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Đường thẳng y x= cắt (C) tại hai điểm A, B. Tìm mđểđường thẳng d y x m: = + cắt (C)
tại hai điểm C, D sao cho ABCD là hình bình hành.

· Hồnh độ các điểm A, B là các nghiệm của PT: x x xx
x

3 2 1

2
2

+ é =

-= Û ê -=

+ ë

Þ A( 1; 1), (2;2)- - B ÞAB=3 2 Þ CD=3 2.

PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x x m x m x m

x 2

3 2 ( 1) 2 2 0

+ = + Û + - + - =

+ (*)

d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt Û m m

x

2 10 9 0
2

D

ì = - + >
ớ ạ

-ợ

m
m

0 1

9
ộ ạ <
ờ >

ở .

Khi đó các giao điểm là C c c m D b b m( ; + ), ( ; + ) với a, b là các nghiệm của PT (*)

CD=3 2Û 2(c d- )2 =3 2 Û m2-10m= Û ê =0 é =mm 100 (loại)
ë

Vậy: m=10.

Câu 52. Cho hàm số y x
x

3
2
+
=

+ .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm m để đường thẳng d y: =2x+3m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

OA OBuuur uuur. = -4 với O là gốc toạđộ.

· PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): x x m
x 23 2 3

= +
+

Û 2x2+3(1+m x) +6m- =3 0 (1) (x¹2)

d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt Û (1) có 2 nghiệm phân biệt x x1 2, khác –2

Û m m m

m m

9 30 33 0

8 6(1 ) 6 3 0
D

ì = - + > Û "
í - + + - ¹
ỵ

Khi đó: A x x( ;21 1+3 ), ( ;2m B x2 x2+3 )m . OA OB. 4 12m 15 4
2

-= - Û =

-uuur -uuur

Û m 7

12
= .

Câu 53. Cho hàm số: y x
x

2
2
+
=

- .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Chứng minh rằng với mọi giá trịm thì trên (C) ln có cặp điểm A, B nằm về hai nhánh
của (C) và thỏa A A

B B

x y m

0
0

ì - + =

í - + =

ỵ .

· Ta có: A A A A

B B B B

x y m y x m A B d y x m

x y m y x m

0 , ( ) :

ỡ - + = ỡ = + ị ẻ = +

í - + = í = +

ỵ ỵ

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

x

x m f x x m x m x

x 2

2 ( ) ( 3) (2 2) 0 ( 2)

2
+

+ = Û = + - - + = ¹

- (*).

(*) có D=m2+2m+17 0,> "m Þ (d) ln cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. 
Và 1. (2)f = - < Þ4 0 xA< <2 xB hoặc xB< <2 xA (đpcm).

Câu 54. Cho hàm số y x
x

2
1
+
=

- .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1; 0) và có hệ số góc k. Tìm k để d cắt (C) tại hai
điểm phân biệt M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho AM=2AN.

· PT đường thẳng d: y k x= ( -1). PT hoành độ giao điểm của (C) và d:

x k x

x

2 ( 1)
1

-- Û kx2-(2k+1)x- =2 0 (x¹1) (1)

Đặt t x= - Û = +1 x t 1. Khi đó (1) trở thành kt2- - =t 3 0 (2)

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N thuộc hai nhánh khác nhau Û (1) có 2 nghiệm x x1 2, 
thoả x1< <1 x2 Û (2) có 2 nghiệm t t1 2, thoả t1< <0 t2 Û -3k< Û >0 k 0 (*).

Vì A ln nằm trong đoạn MN và AM =2ANnên uuurAM= -2AN Þ x1+2x2=3 (3) 
Áp dụng định lí Viet cho (1) ta có: x x k x x k

k k

1+ 2 =2 +1(4), 1 2= -2 (5).

Từ (3), (4) Þ x k x k

k k

1= +2; 2= -1. Thay vào (5) ta được: k=23 (thoả (*)).

Câu 55. Cho hàm số y x m
mx

2
1

-=

+ (m là tham số) (1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số khi m=1.

2) Chứng minh rằng với mọi m¹ 0, đồ thị của hàm số (1) cắt đường thẳng d y: =2x-2m tại
hai điểm phân biệt A, B thuộc một đường (H) cố định. Đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy
lần lượt tại các điểm M, N. Tìm mđể SDOAB=3SDOMN.

· PT hồnh độ giao điểm của (C) và (d): x m x m
mx

2 2 2

-=
-+

Û mx m x m x

m

2 2 1

2 -2 - =0 (2), ¹ - Û f x x mx x

m

2 1

( ) 2= -2 - =1 0 (*), ¹
-Xét PT (*) có m

f

m m

2
2
2 0

1 2 1 0

D

ì ¢ = + >
ï

ỉ ư

í - = + ạ

ỗ ữ

ù ố ứ
ợ

"mị d luụn ct (C) ti 2 điểm phân biệt A, B.

Ta có:

A B
A B
A A
B B

x x m

x x

y x m

1
.

2 2

ỡ + =

ù =

-ớ

ù =

-ù =

-ợ

ị A A

B
B

y
x
y

x

1
1
ỡ

=
ùù
ớ
ù =
ùợ

ị A, B nm trờn ng (H): y
x

= cốđịnh.

m

h d O d( , ) 2 2 m

5 5

-= = = , AB= 5. m2+2, M m( ;0), (0; 2 )N - m

Þ SOAB 1 .h AB m m2 2
2

= = + , SOMN 1OM ON m. 2
2

= = ; SOAB=3SOMN Û m 1

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

KSHS 04: TIẾP TUYẾN 
A. Kiến thức cơ bản

· Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y f x= ( ) tại điểm x0 là hệ số góc của
tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M x f x0

(

0; ( )0

)

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M x f x0

(

0; ( )0

)

là:
y y– 0= f x¢( ).( – )0 x x0

(

y0 = f x( )0

)

· Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y f x= ( ) và (C2): y g x= ( ) tiếp xúc nhau là hệ
phương trình sau có nghiệm:

ìíf xf x'( )( )==g xg x( )'( )

ỵ (*)

Nghiệm của hệ (*) là hồnh độ của tiếp điểm của hai đường đó.
· Nếu (C1):y px q= + và (C2): y ax= 2+bx c+ thì

(C1) và (C2) tiếp xúc nhau Û phương trình ax2+bx c px q+ = + có nghiệm kép.

B. Một số dạng câu hỏi thường gặp

1. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y f x= ( ) tại điểm M x y( ; ) ( )0 0 Ỵ C :

· Nếu cho x0 thì tìm y0 = f x( )0 .

Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trình f x( )=y0.

· Tính y¢= f x¢( ) . Suy ra y x¢( )0 = f x¢( )0 .

· Phương trình tiếp tuyến D là: y y– 0 = f x¢( ).( – )0 x x0 .

2. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y f x= ( ), biết D có hệ số góc k cho trước. 
Cách 1: Tìm toạđộ tiếp điểm.

· Gọi M x y( ; )0 0 là tiếp điểm. Tính f xÂ( )0 .

ÃD cú h s gúc kị f x¢( )0 =k (1)

· Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0= f x( )0 . Từđó viết phương trình của D.
 Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

· Phương trình đường thẳng D có dạng: y kx m= + .

·D tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
ìíf xf x( )'( )==kx mk +

ỵ (*)

· Giải hệ (*), tìm được m. Từđó viết phương trình của D.

Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến D có thểđược cho gián tiếp như sau:
+ D tạo với trục hồnh một góc a thì k =tana.

+ D song song với đường thẳng d: y ax b= + thì k a=
+ D vng góc với đường thẳng d y ax b a: = + ( ¹0) thì k

a
1

=
+ D tạo với đường thẳng d y ax b: = + một góc a thì k a

ka tan

1 a

-=
+

3. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y f x= ( ), biết Dđi qua điểm A x y( ; )A A . 
 Cách 1: Tìm toạđộ tiếp điểm.

· Gọi M x y( ; )0 0 là tiếp điểm. Khi đó: y0 = f x y x( ), ( )0 ¢ 0 = f x¢( )0 .

· Phương trình tiếp tuyến D tại M: y y– 0 = f x¢( ).( – )0 x x0
·Dđi qua A x y( ; )A A nên: yA–y0 = f x¢( ).(0 xA– )x0 (2)

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

· Phương trình đường thẳng Dđi qua A x y( ; )A A và có hệ số góc k: y y– A =k x x( – )A

·D tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

f x k x xA yA

f x( )'( ) k( )

ì = - +

í =

ỵ (*)

· Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từđó viết phương trình tiếp tuyến D.

4. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y f x= ( ), biết D tạo với trục Ox một góc a.

· Gọi M x y( ; )0 0 là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc k f x= ¢( )0 .

· D tạo với trục Ox một góc a Û f x¢( ) tan0 = a . Giải phương trình tìm được x0.
· Phương trình tiếp tuyến D tại M: y y– 0 = f x¢( ).( – )0 x x0

5. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y f x= ( ), biết D tạo với đường thẳng d:

y ax b= + một góc a.

· Gọi M x y( ; )0 0 là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc k f x= ¢( )0 .
· D tạo với d một góc a Û k a

ka tan

1 a

+ . Giải phương trình tìm được x0.
· Phương trình tiếp tuyến D tại M: y y– 0 = f x¢( ).( – )0 x x0

6. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y f x= ( ), biết D cắt hai trục toạđộ tại A và B 
sao cho tam giác OAB vng cân hoặc có diện tích S cho trước.

· Gọi M x y( ; )0 0 là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc k f x= ¢( )0 .
· DOAB vuông cân Û D tạo với Ox một góc 450 và O Ï D.(a)
· SDOAB = ÛS OA OB. =2S. (b)

· Giải (a) hoặc (b) tìm được x0. Từđó viết phương trình tiếp tuyến D.

8. Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị ( ) :C1 y f x C= ( ), ( ) :2 y g x= ( ) . 
 a) Gọi D: y ax b= + là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).

u là hoành độ tiếp điểm của D và (C1), v là hoành độ tiếp điểm của D và (C2).

·D tiếp xúc với (C1) và (C2) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

f u au b

f u a

g v av b

g v a

( ) (1)

'( ) (2)

( ) (3)

'( ) (4)

ì = +

ùù =

ớ = +

ù
=
ùợ

Ã T (2) v (4) ị f uÂ( )=g vÂ( )ịu h v= ( ) (5)

· Thếa từ (2) vào (1) Þ b k u= ( ) (6)

· Thế (2), (5), (6) vào (3) ÞvÞaÞuÞb. Từđó viết phương trình của D.

b) Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc nhau tại điểm có hồnh độ x0 thì một tiếp tuyến chung
của (C1) và (C2) cũng là tiếp tuyến của (C1) (và (C2)) tại điểm đó.

9. Tìm những điểm trên đồ thị (C): y f x= ( ) sao cho tại đó tiếp tuyến của (C) song song 
hoặc vng góc với một đường thẳng d cho trước.

· Gọi M x y( ; )0 0 Î (C). D là tiếp tuyến của (C) tại M. Tính f x¢( )0 .

· Vì D // d nên f x¢( )0 =kd (1)
hoặc D^ d nên

d

f x
k

0 1

( )

¢ = - (2)

· Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x0. Từđó tìm được M x y( ; )0 0 Ỵ (C).

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

Giả sử d ax by c: + + =0 . M x y( M; M)Ỵd .

· Phương trình đường thẳng D qua M có hệ số góc k: y k x x= ( – M)+yM

·D tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

f x k x xM yM

f x k

( ) ( ) (1)

'( ) (2)

ì = - +

í =

ỵ

· Thếk từ (2) vào (1) ta được: f( )x =( –x xM). (f x¢ M)+yM (3)

· Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)

11. Tìm những điểm mà từđó có thể vẽđược 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y f x= ( ) và 2 
tiếp tuyến đó vng góc với nhau.

Gọi M x y( M; M).

· Phương trình đường thẳng D qua M có hệ số góc k: y k x x= ( – M)+yM
·D tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

f x k x xM yM

f x( )'( ) k( ) (1) (2)

ì = - +

í =

ỵ

· Thếk từ (2) vào (1) ta được: f( )x =( –x xM). (f x¢ M)+yM (3)

· Qua M vẽđược 2 tiếp tuyến với (C) Û (3) có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2.

· Hai tiếp tuyến đó vng góc với nhau Û f x f x¢( ). ( ) –11 ¢ 2 =
Từđó tìm được M.

Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục
hồnh thì f x f xcó nghiệm phân biệt

1 2

(3) 2

( ). ( ) 0

í <

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

Dạng 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số bậc ba y ax= 3+bx2+cx d+ 
Câu 1. Cho hàm số y=2x3-3x2+1.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có
tung độ bằng 8.

· Giả sử M x y( ; ) ( )0 0 Ỵ C ị y0=2x03-3x02+1. Ta cú: yÂ =3x2-6x. 
PTTT D tại M: y=(6x20-6 )(x x x0 - 0) 2+ x03-3x02+1.

D đi qua P(0;8)Û 8= -4x30+3x02+1 Û x0 = -1. Vậy M( 1; 4)- - .

Câu 2. Cho hàm số y x= 3-3x2+1 có đồ thị (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với
nhau và độ dài đoạn AB = 4 2.

· Giả sử A a a( ; 3-3a2+1), ( ;B b b3-3b2+1) thuộc (C), với a b¹ . 
Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau nên:

y a¢( )=y b¢( ) Û 3a2-6a=3b2-6bÛa2-b2-2(a b- ) 0= Û(a b a b- )( + - =2) 0

Û a b+ - = Û = -2 0 b 2 a. Vì a b¹ nên a¹ - Û ¹2 a a 1

Ta có: AB= (b a- )2+(b3-3b2+ -1 a3+3a2-1)2= (b a- )2+(b3-a3-3(b2-a2 2))

b a2 b a3 ab b a b a b a 2

( ) é( ) 3 ( ) 3( )( )ù

= - +ë - + - - - + û

b a2 b a 2 b a2 ab 2

( ) ( ) (é ) 3 3.2ù

= - + - ë - + - û

b a2 b a 2 b a 2 ab 2

( ) ( ) (é ) 6ù

= - + - ë + - - û = (b a- )2+ -(b a) ( 22 - -ab)2

2

AB =(b a- ) 1 ( 22ëé + - -ab)2ûù= -(2 2 ) 1 (a 2ëé + a2-2a-2)2ùû

a 2 a 2 2 a 2 a 4 a 2

4( 1) 1 (é é 1) 3ù ù 4( 1) (é 1) 6( 1) 10ù

= - êë +ë - - û úû= - ë - - - + û

a 6 a 4 a 2

4( 1) 24( 1) 40( 1)

= - - - +

-Mà AB=4 2 nên 4(a-1)6-24(a-1)4+40(a-1)2=32

a 6 a 4 a 2

( 1) 6( 1) 10( 1) 8 0

Û - - - + - - = (*)

Đặt t=(a-1) ,2 t>0. Khi đó (*) trở thành:

t3-6t2+10 8 0t- = Û -( 4)(t t2- +2 2) 0t = Û =t 4 Þ(a-1)2 = Û ê = - Þ =4 é = Þ = -aa 31 bb 31

Vậy 2 điểm thoả mãn YCBT là: A(3;1), ( 1; 3)B - - . 
Câu hỏi tương tự:

a) Với y x= 3-3x2+2;AB=4 2. ĐS: A(3;2), ( 2; 2)B - - .

Câu 3. Cho hàm số y f x= ( )=x3+6x2+9x+3 (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm tất cả các giá trị k, để tồn tại 2 tiếp tuyến với (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k,

đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương

ứng tại A và B sao cho OA=2011.OB.

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

f x¢( )0 = Ûk 3x20+12x0+ - =9 k 0 (1)

Để tồn tại 2 tiếp tuyến phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt 
Û D¢ = +9 3k > Û > -0 k 3 (2)

Þ Toạđộ các tiếp điểm ( ; )x y0 0 của 2 tiếp tuyến là nghiệm của hệ:

y x x x

x x k

3 2
0 0 0 0

2
0 0

6 9 3

3 12 9

ì = + + +
ï
í
+ + =
ïỵ Û 
k k
y x

x x k

0 0

2
0 0

6 2 9

3 3

3 12 9

ì -
-= +
ï
í
ï + + =
ợ
.

ị Phng trỡnh ng thng d i qua các tếp điểm là: y k 6x 2k 9

3 3

-= +

Do d cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho: OA=2011.OB nên có thể xảy ra: 
+ Nếu A Oº thì B Oº . Khi đó d đi qua O Þ k 9

= . 
+ Nếu A O¹ thì DOAB vng tại O. Ta có: ·OAB OB

OA

tan = =2011 Þ k 6 2011
3

-= ±

Þ k=6039 (thoả (2)) hoặc k = -6027 (không thoả (2)). 
Vậy: k 9 ; 6039k

= = .

Câu 4. Cho hàm số y x= 3+ -(1 2 )m x2+ -(2 m x m) + +2 (1) (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số (1) với m = 2.

2) Tìm tham sốmđểđồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:x y+ + =7 0

góc a, biết cos 1
26

a = .

· Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến Þ tiếp tuyến có VTPT nr1=( ; 1)k

-Đường thẳng d có VTPT nr2=(1;1).

Ta có n n k k k k k

n n k

1 2 2

2
1 2

. 1 1 3 2

cos 12 26 12 0

2 3

. 26 2 1

a = Û = - Û - + = Û = Ú =

r r
r r

YCBT thoả mãn Û ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm: 
y

y
3
2
2
3
é ¢=
ê
ê
ê ¢=
êë

Û x m x m

x m x m

2
2

3
3 2(1 2 ) 2

2
2
3 2(1 2 ) 2

3
é
+ - + - =
ê
ê

ê + - + - =
êë

Û /1

/
2
0
0
D
D
é ³
ê
³
êë Û
m m
m m
2
2

8 2 1 0

4 3 0

é - - ³

- - ³
êë

Û m m

m m

1; 1

4 2

3 ; 1
4
é
£ - ³
ê
ê
ê £ - ³
êë

Û m 1

£ - hoặc m 1
2

Câu hỏi tương tự:

a) Với y x3 3mx 2; :d x y 7 0; cos 1

a

= - + + + = = . ĐS: m 2

³ - .

Câu 5. Cho hàm số y f x( ) 1mx3 (m 1)x2 (4 3 )m x 1
3

= = + - + - + có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm các giá trịm sao cho trên đồ thị (Cm) tồn tại một điểm duy nhất có hồnh độ âm mà
tiếp tuyến tại đó vng góc với đường thẳng (d): x+2y- =3 0.

· (d) có hệ số góc 1
2

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

f x'( ) 2= Ûmx2+2(m-1)x+ -(4 3 ) 2m = Ûmx2+2(m-1)x+ -2 3m=0 (1) 
YCBT Û (1) có đúng một nghiệm âm.

+ Nếu m=0 thì (1)Û -2x= - Û =2 x 1 (loại)

+ Nếu m¹0thì dễ thấy phương trình (1) có 2 nghiệm là x hay x= m
m
2 3

Do đĩ để (1) cĩ một nghiệm âm thì m m hoặc m
m

2 3 0 0 2

- < Û < >

Vậy m 0hay m 2
3

< > .

Câu 6. Cho hàm số y 1mx3 (m 1)x2 (4m 3)x 1
3

= + - + - + (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số khi m=1.

2) Tìm các giá trị m sao cho trên (Cm) tồn tại đúng hai điểm có hồnh độ dương mà tiếp
tuyến tại đó vng góc với đường thẳng d x: +2y- =3 0.

· Ta có: y mx¢ = 2+2(m-1)x+ -4 3m; d y: 1x 3

2 2

= - + .

YCBT Û phương trình y¢ =2 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt 
Û mx2+2(m-1)x+ -2 3m=0 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt

Û 
m
S
P

0
0
0

D
ỡ ạ
ù Â
ù >
ớ >
ù

>
ùợ

m

m
1
0

1 2

2 3

ộ

< <
ê

ê < <
êë

. Vậy m 0;1 1 2;

2 2 3

ổ ử ổ ử

ẻỗ ữ ỗẩ ữ
ố ứ ố ø.

Câu 7. Cho hàm số y x= 3-mx m+ -1 (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số khi m=3.

2) Tìm mđể tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm M có hồnh độx= -1 cắt đường trịn (C) có
phương trình (x-2)2+ -(y 3)2 =4 theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

· Ta có: yÂ =3x2-m ị yÂ - = -( 1) 3 m; y( 1) 2- = m-2. (C) có tâm I(2;3), R = 2. 
 PTTT d tại M( 1;2- m-2): y= -(3 m x m) + +1 Û (3-m x y m) - + + =1 0

m m

m

d I d R

m m m

2 2 2

1 (3 ) 2. (3 ) 1
4

( , ) 2

(3 ) 1 (3 ) 1 (3 ) 1

+ - - +

-= = £ = <

- + - + - +

Dấu "=" xảy ra Û m=2. Dó đó d I d( , ) đạt lớn nhất Û m=2

Tiếp tuyến d cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho AB ngắn nhất Û d I d( , ) đạt lớn nhất Û m=2
Khi đó: PTTT d: y x= +3.

Câu hỏi tương tự:

a) y x3 mx m 1;xM 1;( ) : (C x 2)2 (y 3)2 1
5

= - + - = - + - = . ĐS: m 1;m 5

= = .

Câu 8. Cho hàm số y=3x x- 3 (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên đường thẳng (d): y= -x các điểm M mà từ đó kẻđược đúng 2 tiếp tuyến phân
biệt với đồ thị (C).

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

D là tiếp tuyến của (C) Û hệ PT sau có nghiệm: x x k x m m

x k

3
2

3 ( ) (1)

3 3 (2)

ìï - = -

-í

- =

ïỵ (*)

Thay (2) vào (1) ta được: 2x3-3mx2+4m=0 Û m x
x

3
2

3 4

- (**)

Từ M kẻđược đúng 2 tiếp tuyến với (C) Û (**) có 2 nghiệm phân biệt 
Xét hàm số f x x

x

3
2

2
( )

3 4

- . Tập xác định D R

2 3 2 3

\ ;

3 3

ỡ ỹ

ớ ý

-ợ ỵ

x x

f x
x

4 2
2 2

6 24
( )

(3 4)

-¢ =

- ;

x
f x¢( ) 0= Û ê = ±é =x 02

Dựa vào BBT, (**) có 2 nghiệm phân biệt Û é = -ê =mm 22

ë . Vậy: M( 2;2)- hoặc M(2; 2)- .

Câu 9. Cho hàm số y x= 3-3x+2.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên đường thẳng d y: =4 các điểm mà từđó kẻđược đúng 2 tiếp tuyến với (C).
· Gọi M m( ;4)Ỵd. PT đường thẳng D qua M có dạng: y k x m= ( - ) 4+

D là tiếp tuyến của (C) Û hệ PT sau có nghiệm: x x k x m

x k

2 3 2 ( ) 4 (1)

3 3 (2)

ìï - + = - +

- =

ïỵ (*)

Thay (2) vào (1) ta được: (x+1) 2ëé x2-(3m+2)x+3m+2ùû=0 (3)
Û é = -ê2xx2-1(3m+2)x+3m+ =2 0 (4)

YCBT Û (3) có đúng 2 nghiệm phân biệt

+ TH1: (4) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng –1 Û m= -1
+ TH2: (4) có nghiệm kép khác –1 Û m 2 m 2

= - Ú =

Vậy các điểm cn tỡm l: ( 1;4)- ; 2 ;4
3

ổ- ử

ỗ ÷

è ø; (2;4).

Câu 10. Cho hàm số y x= 3-2x2+(m-1)x+2m (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số khi m=1.
2) Tìm mđể từđiểm M(1;2) kẻđược đúng 2 tiếp tuyến với (Cm).

· PT đường thẳng D qua M có dạng: y k x= ( - +1) 2. D là tiếp tuyến của (Cm) Û hệ PT sau 
có nghiệm: x x m x m k x

x x m k

3 2

2 2 ( 1) 2 ( 1) 2

3 4 1

ìï - + - + = - +

ớ

- + - =
ùợ

ị f x( ) 2= x3-5x2+4x-3(m- =1) 0 (*)

Để qua M kẻđược đúng hai tiếp tuyến đến (Cm) thì (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt 
Ta có f x( ) 6x2 10x 4 f x( ) 0 x 1;x 2

Â = - + ị Â = = =

Þ Các điểm cực trị của (Cm) là: A(1;4 3 ),m B 2 109; 3m
3 27

ổ ử

- ỗ - ÷

è ø.

Do đó (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt Û B OxA Ox m

m

4
3
109

é
=
ê
é Ỵ Û ê
ê Î

ë ê =

êë

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

Câu 11. Cho hàm số y= - +x3 3x2-2 (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từđó kẻđược 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ

thị (C).

· Gọi M m( ;2) ( )Ỵ d . PT đường thẳng Dđi qua điểm M có dạng : y k x m= ( - ) 2+
D là tiếp tuyến của (C) Û hệ PT sau có nghiệm x x k x m

x x k

3 2

2 3 2 ( ) 2 (1)

3 6 (2)

ìï- + - = - +

- + =

ïỵ (*).

Thay (2) và (1) ta được: 2x3-3(m+1)x2+6mx- = Û4 0 (x-2) 2ëé x2-(3m-1)x+2ùû=0

Û x

f x x2 m x (3)

( ) 2 (3 1) 2 0

é =

ê = - - + =

Từ M kẻđược 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)Û hệ (*) có 3 nghiệm x phân biệt

Û(3) có hai nghiệm phân biệt khác 2 f m m
m

0 1

(2) 0 2

D ìï

ì > < - Ú >

Ûí ớ

ạ

ợ ù ạợ .

Vy t cỏc im M(m; 2) Ỵ (d) với m m
m

5
1

3
2

ỡù < - >
ớ

ù ạ
ợ

cú th kc 3 tiếp tuyến với (C). 
Câu hỏi tương tự:

a) y= - +x3 3x2-2,d Oxº . ĐS: M m( ;0) với m
m
2

2
1

é >
ê

¹ <
-ê

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

Dạng 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số trùng phương y ax= 4+bx2+c 
Câu 12. Cho hàm số y f x= ( )=x4-2x2.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hồnh độ lần lượt là a và b. Tìm điều kiện đối
với a và bđể hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.

· Ta có: f x'( ) 4= x3-4x

Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là kA = f a'( ) 4= a3-4 ,a kB = f b'( ) 4= b3-4b
Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là:

y f a x a= ¢( )( - +) f a( )Û =y f a x f a af a¢( ) + ( )- ¢( )
y f b x b= ¢( )( - +) f b( )Û =y f b x f b bf b¢( ) + ( )- ¢( )

Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi:

3 3

A B

k =k Û4a -4a = 4b -4bÛ(a b a- )( 2+ab b+ 2- =1) 0 (1) 
Vì A và B phân biệt nên a b¹ , do đó (1) Û a2+ab b+ 2- =1 0 (2) 
Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau khi và chỉ khi:

a ab b a b a ab b

a a b b

f a af a f b bf b

2 2 2 2

4 2 4 2

1 0 ( ) 1 0

3 2 3 2

( ) ( ) ( ) ( )

ì ì

ï + + - = ï + + - =

Ûí ¹ Ûí

¢ ¢ - + = - +

- = - ï

ï ỵ

ỵ

Giải hệ này ta được nghiệm là ( ; ) ( 1;1)a b = - hoặc ( ; ) (1; 1)a b = - , hai nghiệm này tương ứng 
với cùng một cặp điểm trên đồ thị là ( 1; 1)- - và (1; 1)

-Vậy điều kiện cần và đủđể hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau là:

a ab b

a a b

2 2 1 0

ì + + - =
í ¹ ± ¹
ỵ

Câu 13. Cho hàm số y x= 4-2mx2+m (1) , m là tham số.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số khi m = 1.

2) Gọi A là một điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hồnh độ bằng 1. Tìm mđể khoảng cách từ

điểm B 3 ;1

ỉ ử

ỗ ữ

ố ứ n tip tuyn ca th hm số (1) tại A là lớn nhất .
Ã A Cmẻ( ) nờn A(1;1-m). y' 4= x3-4mxịy'(1) 4 4= - m

Phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại A: y- -(1 m)=y¢(1).(x-1) Û (4 4 )- m x y- -3(1-m) 0=

Khi đó d B

m 2
1

( ; ) 1

16(1 ) 1

D = - £

- + , Dấu ‘=’ xảy ra Û khi m = 1.

Do đó d B( ; )D lớn nhất bằng 1 khi và chỉ khi m = 1.

Câu 14. Cho hàm số y=

(

x +1 .

) (

2 x -1

)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Cho điểm A a( ;0). Tìm ađể từ A kẻđược 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).
· Ta có y x= 4-2x2+1. PT đường thẳng d đi qua A a( ;0) và có hệ số góc k : y k x a= ( - )
d là tiếp tuyến của (C) Û hệ phương trình sau có nghiệm: x x k x a I

x x k

4 2
3

2 1 ( ) ( )

4 4

ì - + =

-ï
í

- =

ïỵ

Ta có: I k A

x2
0

( ) ( )

1 0

ì =
Û í - =

ỵ hoặc

x x k B

f x x ax

2
2

4 ( 1) ( )

( ) 3 4 1 0 (1)

ìï - =

= - + =

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

+ Từ hệ (A), chỉ cho ta một tiếp tuyến duy nhất là d y1: =0.

+ Vậy để từ A kẻđược 3 tiếp tuyến phân biệt với (C) thì điều kiện cần và đủ là hệ (B) phải 
có 2 nghiệm phân biệt ( ; )x k với x¹ ±1, tức là phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt 
khác ±1 Û a

f

4 3 0

( 1) 0

D

ỡ Â = - >
ớ ạ

a hoặc a

3 3

1 1

2 2

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

Dạng 3: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số nhất biến y ax b
cx d

+
=

+

Câu 15. Cho hàm số y x
x
2 3

+
=

+ có đồ thị là (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại những điểm thuộc đồ thị có khoảng cách

đến đường thẳng d x: 3 +4y- =2 0 bằng 2.
· Giả sử M x y( ; ) ( )0 0 ẻ C ị y x

x0
0
0
2 3
1
+
=
+ .

Ta có: d M d x0 y0

2 2

3 4 2

( , ) 2 2

3 4

-= Û =

+ Û3x0+4y0-12 0= hoặc 3x0+4y0+ =8 0

· Với x y x x

x0

0 0 0

2 3

3 4 12 0 3 4 12 0

1
ỉ + ư
+ - = Û + ỗỗ ữữ- =
+
ố ứ
x M
x M
0 1
0 2
0 (0;3)
1 1 11;

3 3 4

é = Þ
ê ỉ ư
ê = ị ỗ ữ
ờ ố ứ
ở

Ã Vi 3x0+4y0+ =8 0 x x
x0

2 3

3 4 8 0

1
ỉ + ư
Û + çç ÷÷+ =
+
è ø
x M
x M
0 3
0 4
7
5 5;
4

4 4; 1

3 3
ộ ổ ử

= - ị ỗ- ữ
ờ ố ứ
ờ
ổ ử
ờ = - ị ỗ- - ữ
ờ ố ứ
ở

ị PTTT tại M1(0;3) là y= - +x 3; PTTT ti M2 1 11;
3 4

ổ ử

ỗ ữ

ố ứ l y x

9 47
16 16

= - + ; 
PTTT tại M3 5;7

æ ử

-ỗ ữ

ố ứ l y x

1 23
16 16

= - + ; PTTT ti M4 4; 1
3

ổ ử

-ỗ ÷

è ø là y= -9x-13.

Câu 16. Cho hàm số y x
x
2 1
1

-=
- .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từđiểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng

· Tiếp tuyến của (C) tại điểm M x f x( ; ( )) ( )0 0 Ỵ C có phương trình:

y f x x x= '( )(0 - 0)+ f x( )0 Û x+(x0-1)2y-2x02+2x0- =1 0 (*) 
Khoảng cách từđiểm I(1; 2) đến tiếp tuyến (*) bằng 2 x

x
0
4
0
2 2
2
1 ( 1)

-Û =

+ - Û

x
x00 20

é =
ê =
ë

Các tiếp tuyến cần tìm : x y+ - =1 0 và x y+ - =5 0

Câu 17. Cho hàm số y x

x

2
2

+ (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ

thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.

· Tiếp tuyến (d) của đồ thị (C) tại điểm M có hồnh độ a¹ -2 thuộc (C) có phương trình: 
a

y x a x a y a

a
a

2 2
2

4 ( ) 2 4 ( 2) 2 0

2
( 2)

= - + Û - + + =

+
+

Tâm đối xứng của (C) làI

(

-2;2

)

. Ta có:

a a a

d I d

a

a 4 a 2

8 2 8 2 8 2

( , ) 2 2

2 2 2
16 ( 2) 2.4.( 2)

+ + +

= £ = =

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

d I d( , ) lớn nhất khi (a+2)2 = Û ê = -4 é =aa 04

ë .

Từđó suy ra có hai tiếp tuyến y x= và y x= +8. 
Câu hỏi tương tự:

a) Với y x
x 1

- . ĐS: y= -x y; = - +x 4.

Câu 18. Cho hàm số y x
x
2 1

+
=

+ .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến cách đều hai điểm

A(2; 4), B(-4; -2).

· Gọi x0 là hồnh độ tiếp điểm (x0 ¹ -1).

PTTT (d) là y x x x

x
x

0
0
2

0
0

2 1

1 ( )

1
( 1)

= - +

+ Û x x y x x

2 2

0 0 0

( 1) 2 2 1 0

- + + + + =

Ta có: d A d( , )=d B d( , ) Û 2 4(- x0+1)2+2x02+2x0+ = - +1 4 2(x0+1)2+2x02+2x0+1

Û x0= Ú1 x0 = Ú0 x0 = -2

Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: y 1x 5; y x 1; y x 5

4 4

= + = + = +

Câu 19. Cho hàm số y x
x
2 1

- .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C)
tại M vng góc với đường thẳng MI.

· Giao điểm của hai tiệm cận là I(1; 2). Gi M(a; b) ẻ (C) ị b a
a
2 1

- (a ¹ 1)

PTTT của (C) tại M: y x a a
a

a 2

1 ( ) 2 1

1
( 1)

-= - - +

-PT đường thẳng MI: y x

a 2

1 ( 1) 2
( 1)

= - +

-Tiếp tuyến tại M vng góc với MI nên ta có:

a 2 a 2

1 . 1 1

( 1) ( 1)

- =

-- - Û

a b

a 0 (2 (b 1)3)

é = =

ê = =

Vậy có 2 điểm cần tìm M1(0; 1), M2(2; 3)

Câu 20. Cho hàm số y m x m
x

(2 1)
1

- .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số khi m = –1.
2) Tìm mđểđồ thị của hàm số tiếp xúc với đường thẳng y x= .
· TXĐ: D = R \ {1}.

Đểđồ thị tiếp xúc với đường thẳng y x= thì:

m x m x

x
m

x

2
2
2

(2 1) (*)

( 1) 1 (**)

( 1)

ì -

-=
ï

-í

-ï =

ï 
-ỵ

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

· Với x = m, thay vào (*) ta được: 0m=0 (thoả với mọi m). Vì x ¹ 1 nên m ¹ 1.

· Với x = 2 – m, thay vào (*) ta được: (2m-1)(2-m m)- 2 = -(2 m)(2- -m 1)

Û 4(m-1)2 =0 Û m=1 Þ x = 1 (loại)

Vậy với m ¹ 1 thì đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y x= .

Câu 21. Cho hàm số: y x
x

2
1

+
=

- (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Cho điểm A a(0; ). Tìm ađể từ A kẻđược 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm
tương ứng nằm về 2 phía của trục hồnh.

· Phương trình đường thẳng d đi qua A a(0; ) và có hệ số góc k: y kx a= +

d là tiếp tuyến của (C) Û Hệ PT

x kx a

x

k
x 2
2
1
3
( 1)
ì + = +
ïï
-í 
-=
ï
ï
-ỵ

có nghiệm

Û PT: (1-a x) 2+2(a+2)x a- +( 2) 0= (1) có nghiệm x¹1.

Để qua A có 2 tiếp tuyến thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2

a aa

a

1 1

2
3 6 0

D

ỡ ạ ỡ ạ

ớ Â= + > í > 
-ỵ

ỵ (*)

Khi đó ta có: x x a x x a

a a

1+ 2=2( -+12); 1 2= +-12 và y1 x y2 x

1 2

3 3

1 ; 1

1 1

= + = +

-Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía đối với trục hồnh thì y y1 2. <0

Û

x1 x2

3 3

1 . 1 0

1 1

ỉ ư ỉ ử

+ + <

ỗ - ữ ỗ - ữ

ố ứ ố ø Û

x x x x

x x1 21 2 x11 x22

. 2( ) 4

. ( ) 1

+ + +

- + + Û 3a+ >2 0 Û a

2
3

-Kết hợp với điều kin (*) ta c: a
a

2
3
1

ỡù >
-ớ
ù ạ
ợ

.

Cõu 22. Cho hàm số y = x

x
2
1

+
+ .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận, D là một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị (C). d là
khoảng cách từ I đến D. Tìm giá trị lớn nhất của d.

· y
x 2
1
( 1)

-¢ =

+ . Giao điểm của hai đường tiệm cận là I(–1; 1). Giả sử

x

M x C

x0
0
0
2
; ( )
1
æ + ử
ẻ
ỗ ữ
ỗ + ữ
ố ứ

Phng trỡnh tip tuyn D với đồ thi hàm số tại M là:

(

)

x

y x x

x
x
0
0
2
0
0
2

1 ( )

1
1
+

-= - +
+

+ x

(

x

)

y x

(

x

)(

x

)

0 1 0 0 1 0 2 0

Û + + - - + + =

Khoảng cách từ I đếnD là d =

(

)

x
x
0
4
0
2 1
1 1
+
+ +
=

(

x

)

(

x

)

2
0
2
0
2 2
1 1
1
£
+ +
+

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

Câu 23. Cho hàm số y x
x

1
2 1

- +
=

- .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng d y x m: = + luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
A, B. Gọi k k1 2, lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng

k k1+ 2 đạt giá trị lớn nhất.

· PT hoành độ giao điểm của d và (C): x x m
x

1
2 1

- +
= +

- Û

x

g x x2 mx m

1
2

( ) 2 2 1 0 (*)

ỡ
ạ
ù
ớ

ù = + - - =

ợ

Vỡ g m m m

g

2 2 2 0,

1 0

D

ì ¢ = + + > "
ù

ớ ổ ử
ạ
ỗ ữ
ù ố ứ
ợ

nờn (*) luụn có 2 nghiệm phân biệt x x1 2, .

Theo định lí Viet ta có: x1 x2 m x x; 1 2 m 1
2

-+ = - = . Giả sử: A x y B x y( ; ), ( ; )1 1 2 2 . 
Tiếp tuyến tại A và B có hệ số góc là: k k

x x

1 2 2 2

1 2

1 ; 1

(2 1) (2 1)

= - =

-Þ k k1+ 2 = -4(m+1)2- £ -2 2. Dấu "=" xảy ra Û m= -1. 
Vậy: k k1+ 2 đạt GTLN bằng -2 khi m= -1.

Câu 24. Cho hàm số y x
x

2
2 3

+
=

+ (1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số (1).

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hồnh, trục
tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.

· Gọi ( ; )x y0 0 là toạđộ của tiếp điểm Þ y x

x

0 2

( ) 0

(2 3)

-¢ = <

DOAB cân tại O nên tiếp tuyến D song song với đường thẳng y= -x (vì tiếp tuyến có hệ số

góc âm). Nghĩa là: y x

x

0 2

( ) 1

(2 3)

-¢ = =

-+ Þ

x y

0 0

1 1

2 0

é = - Þ =
ê

= - Þ =

êë

+ Với x0= -1;y0 =1 ÞD: y- = - + Û = -1 (x 1) y x (loại) 
+ Với x0= -2;y0=0 ÞD: y- = - +0 (x 2)Û = - -y x 2 (nhận) 
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y= - -x 2.

Câu 25. Cho hàm số y = x

x

2 1

-- .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần
lượt tại các điểm A và B thoả mãn OA = 4OB.

· Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M x y( ; ) ( )0 0 Î C cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho OA=4OB. 
Do DOAB vuông tại O nên A OB

OA
1
tan

= = Þ Hệ số góc của d bằng 1
4 hoặc

1
4

- .

Hệ số góc của d là y x

x x

0 2 2

0 0

1 1 1

( ) 0

( 1) ( 1)

Â = - < ị - =

-- - Û

x y

0 0
0 0

1 ( )

2
5

3 ( )

= - =

ê
ê

ê = =

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

Khi đó có 2 tiếp tuyến thoả mãn là: y x y x

y x y x

1( 1) 3 1 5

4 2 4 4

1( 3) 5 1 13

4 2 4 4

é é

= - + + = - +

ê ê

ê = - - + ê = - +

ê ê

ë ë

.

Câu 26. Cho hàm số y x
x

2
2

- .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A
và B sao cho AB OA= 2.

· Gọi M x y( ; ) ( ),0 0 ẻ C x0 ạ2. PTTT tại M: y x x x
x
x

0
0

4 ( )

2
( 2)

-= - +

-Tam giác vng OAB có AB OA= 2 nên DOAB vng cân tại O. Do đó d vng góc với 
một trong hai đường phân giác d y x d y1: = ; 2: = -x và không đi qua O.

+ Nếu d d^ 1 thì x

x0 2 0

4 1 4

( 2)

- = - Û =

- Þ d y: = - +x 8.

+ Nếu d d^ 2 thì

x0 2

4 1

( 2)

- =

- Þ vơ nghiệm.

Vậy PTTT cần tìm là: y= - +x 8.

Câu 27. Cho hàm số y x
x

2 1

+
=

- .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất một điểm M Ỵ (C) mà tiếp tuyến của (C)
tại M tạo với hai trục toạđộ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng d y: =2m-1.
· Gọi M x y( ; ) ( )0 0 Ỵ C . PTTT tại M: y x x y

x0 2 0 0

3 ( )

(2 1)

-= - +

-Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến với trục hồnh và trục tung Þ yB x x
x

2
0 0

2
0

2 4 1

(2 1)

- .

Từđó trọng tâm G của DOAB có: yG x x
x

2
0 0

2
0

2 4 1

3(2 1)

- . Vì G Ỵ d nên

x x

m
x

2
0 0

2
0

2 4 1

2 1

3(2 1)

-Mặt khác: x x x x x

x x x

2 2 2 2

0 0 0 0 0

2 2 2

0 0 0

2 4 1 6 (2 1) 6

1 1

(2 1) (2 1) (2 1)

+ - -

-= = ³

-- -

-Do đó để tồn tại ít nhất một điểm M thoả YCBT thì 2m 1 1 m 1

3 3

- ³ - Û ³ . 
Vậy GTNN của m là 1

3.

Câu 28. Cho hàm số y x

x
2 3

- (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và
tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho cơsin góc ·ABI bằng 4

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

· I(2; 2). Gọi M x x C
x 0
0
0
2 3
; ( )
2
ổ - ử
ẻ
ỗ ữ
ỗ - ữ

ố ứ , x0 ¹2

Phương trình tiếp tuyến D tại M: y x x x

x
x
0
0
2
0
0
2 3

1 ( )

2
( 2)

-= - - +

--

Giao điểm của D với các tiệm cận:A x
x00

2 2
2;
2
æ - ử
ỗ ữ
ỗ - ữ

ố ứ, B x(2 0-2;2).

Do cos·ABI 4
17

= nên ·ABI IA

IB
1
tan

= = Û IB2 =16.IA2 Û (x0-2)4 =16 Û xx0
0
0
4
é =
ê =
ë

Kết luận: Ti M 0;3
2

ổ ử
ỗ ữ

ố ứ phng trỡnh tip tuyến: y x

1 3

4 2

= - +

Tại M 4;5
3

ổ ử
ỗ ữ

ố ứ phng trỡnh tip tuyn: y x

1 7

4 2

= - +

Câu hỏi tương tự: 
a) y x ·BAI

x

3 2;cos 5

1 26

-= =

+ . ĐS: D: y=5x-2 hoặc D: y=5x+2.

Câu 29. Cho hàm số y x
x
2 3

- có đồ thị (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại
A, B sao cho AB ngắn nhất.

· Ly im M m
m
1
; 2
2
ổ ử
+
ỗ - ữ

ố ứẻ

( )

C . Ta có: y m m 2

( )

( 2)

¢ =

-Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình: y x m

m

m 2

1 ( ) 2 1

2
( 2)

= - - + +

-Giao điểm của (d) với tiệm cận ng l: A

m
2
2;2
2
ổ + ử

ỗ - ữ
ố ứ

Giao im của (d) với tiệm cận ngang là: B m(2 -2;2)
Ta có: AB m

m

2 2

4 ( 2) 8

( 2)

é ù

= ê - + ú³

-ê ú

ë û . Dấu “=” xảy ra Û

m
m 13

é =
ê =
ë

Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là: M(3;3) hoặc M(1;1)

Câu 30. Cho hàm số

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi M là điểm bất kì trên (C), I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tiếp tuyến d của
(C) tại M cắt các đường tiệm cận tại A và B. Tìm toạ độđiểm M sao cho đường trịn ngoại
tiếp tam giác IAB có diện tích bằng 2p .

· Ta có: I(2; 2). Gọi M x x C x
x 0

0 0

2 3

; ( ), 2

ỉ - ư

Ỵ ạ

ỗ ữ

ỗ - ữ

ố ứ . PTTT d:

x

y x x

x
x
0
0
2
0
0
2 3

1 ( )

2
( 2)

-= - +

-d cắt 2 tiệm cận tại A x B x

x00 0

2 2

2; , (2 2;2)

2
ổ - ử

-ỗ ữ
ỗ - ữ
ố ứ . 
IAB

D vuông tại I và SIAB x xx MM

x

2 0

( ) 0 2

0
0

1 (1;1)
1

2 ( 2) 2 3 (3;3)

( 2)

p é = Þ

= Û - + = Û ê = Þ

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

Câu 31. Cho hàm số y x
x
2 3
2

-=
- .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C)
tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạđộ điểm M sao cho đường
trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.

· Giả sử M x x C x

x0

0 0

2 3

; ( ) 2

ổ - ử

ẻ ạ

ỗ ữ

ỗ - ÷

è ø , y x0

(

x0

)

1
'( )
2

-=

-Phương trình tiếp tuyến (D) với ( C) tại M:

(

)

x

y x x

x
x
0
0
2
0
0
2 3

1 ( )

2
2

-= - +

-Toạđộ giao điểm A, B của (D) với hai tiệm cận là: A x B x

(

)

x00 0

2 2

2; ; 2 2;2

ổ - ử

-ỗ ữ
ỗ - ÷
è ø

Ta thấy xA xB x0 x xM

2 2 2

2 2

= = = , yA yB x yM

x00

2 3

2 2

= =

- Þ M là trung điểm của AB.

Mặt khác I(2; 2) và DIAB vuông tại I nên đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích

S = IM x x x

x x

2 2 0 2

0 0 2

0 0

2 3 1

( 2) 2 ( 2) 2

2 ( 2)

p =pờộờ - +ỗỗổ - - ữữử úùú=pêé - + ùú³ p

- ê - ú

è ø ë û

ë û

Dấu “=” xảy ra khi x xx

x
2 0
0 2
0
0
1
1

( 2) 3

( 2)

é =

- = Û ê =

- ë

Do đó điểm M cần tìm là M(1; 1) hoặc M(3; 3). 
Câu hỏi tương tự:

a) Với y x
x
3 2

+
=

+ . ĐS: M(0;1), ( 4;5)M - .

Câu 32. Cho hàm số y mx
x m
2 +3

- .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số khi m = 1.

2) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Tìm mđể tiếp tuyến tại một diểm bất kì của
(C) cắt hai tiệm cận tại A và B sao cho DIAB có diện tích S=64.

· (C) có tiệm cận đứng x m= , tiệm cận ngang y=2m. Giao điểm 2 tiệm cận là I m m( ;2 ).

Gọi M x mx C

x 0m

0
0
2 3
; ( )
ổ + ử
ẻ

ỗ ữ
ỗ - ữ

ố ø . PTTT D của (C) tại M:

mx
m

y x x

x m
x m
2
0
0
2
0
0
2 3

2 3 ( )

( )
+
+
= - +

-- .

D cắt TCĐ tại A m mx m

x m

2
0

2 2 6

;

ổ + + ử

ỗ ữ

ỗ - ữ

ố ø, cắt TCN tại B x(2 0-m m;2 ).

Ta có: IA m

x m

2
0

4 +6

+ ; IB=2 x0-m Þ SIAB =1 .2IA IB=4m2+ =6 64Û m

58
2

= ± .

Câu 33. Cho hàm số y x
x 1

=
- .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với 2 đường tiệm cận của (C)
một tam giác có chu vi P=2 2

(

+ 2

)

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

Gọi M x x C x
x 0

0 0

; ( ) ( 1)

ổ ử

ẻ ạ

ỗ ữ

ỗ - ữ

ố ứ . PTTT D của (C) tại M:

x

y x x

x
x

0
0
2

0
0

1 ( )

1
( 1)

= - - +

-- .

D cắt TC ti A x
x00

1
1;

ổ + ử

ỗ ữ

ỗ - ữ

ố ứ, cắt TCN tại B x(2 0-1;1).

Ta có: PIAB IA IB AB x x

x 0 0 2 x 2

0 0

2 2 1 2 ( 1) 1

1 ( 1)

= + + = + - + - +

- - ≥ 4 2 2+

Dấu "=" xảy ra Û x xx0
0

0
1 1 é =1

- = Û ê =ë .

+ Với x0=0 Þ PTTT D: y= -x; + Với x0=2 Þ PTTT D: y= - +x 4.

Câu 34. Cho hàm số y x
x
2 1

+
=

- có đồ thị (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại
M cắt 2 tiệm cận tại A và B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.

· Giao điểm của 2 tiệm cn l I(1;2). Gi M x
x

0
0

3
;2

ổ ử

ỗ ữ

ỗ - ữ

ố øỴ (C).

+ PTTT tại M có dạng: y x x

x

x0 2 0 0

3 ( ) 2 3

1
( 1)

-= - + +

-+ Toạđộ các giao điểm của tiếp tuyến vi 2 tim cn: A

x0
6
1;2

ổ ử

ỗ ữ

ỗ - ữ

ố ứ, B(2x0-1;2)

+ Ta có: S IAB IA IB x

x0 0

1 . 1 6 2 1 2.3 6

2 2 1

D = = × - × - = = (đvdt)

+ DIAB vuông có diện tích khơng đổi Þ chu vi DIAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA= IB

Û x x

x0 0 x00

1 3

6 2 1

1 1 3

é = +

= - Þ ê

- êë =

-Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện M1

(

1+ 3;2+ 3

)

, M2

(

1- 3;2- 3

)

Khi đó chu vi DAIB = 4 3 2 6+ .

Chú ý: Với 2 số dương a, b thoả ab = S (khơng đổi) thì biểu thức P = a b+ + a2+b2 nhỏ

nhất khi và chỉ khi a = b.

Thật vậy: P = a b+ + a2+b2 ³ 2 ab+ 2ab =(2+ 2) ab=(2+ 2) S . 
Dấu "=" xảy ra Û a = b.

Câu hỏi tương tự: 
a) y x

x
2 1

- . ĐS: M1(0; 1),- M2(2;3).

Câu 35. Cho hàm số y x
x

2
1

+ .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến cắt 2 tiệm cận tại A và B sao cho bán
kính đường trịn nội tiếp tam giác IAB là lớn nhất, với I là giao điểm của 2 tiệm cận.

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

Gi M x x C
x0

0
0

; ( )

ổ - ử

ẻ

ỗ ữ

ỗ + ÷

è ø . PTTT D của (C) tại M:

x

y x x

x
x

0
0
2

0
0

3 ( )

1
( 1)

-= - +

+ .

D cắt hai tiệm cận tại A x B x

x00 0

1; , (2 1;1)
1

ổ - ử

- +

ỗ ữ

ỗ + ữ

ố ứ . Ta có: IA x0 IB x0

6 ; 2 1

= = +

+ .

Þ SIAB 1 .IA IB 6
2

= = . Gọi p, r là nửa chu vi và bán kính đường trọn nội tiếp của DIAB.

Ta có: S pr r S

p p

= Þ = = . Do đó r lớn nhất Û p nhỏ nhất. Mặt khác DIAB vuông tại I nên: 
p IA IB AB IA IB IA2 IB2 IA IB IA IB

2 = + + = + + + ³2 . + 2 . =4 3 2 6+ . 
Dấu "=" xảy ra Û IA IB= Û (x0+1)2 = Û3 x0= - ±1 3.

+ Với x= - -1 3 Þ PTTT D: y x= +2 1

(

+ 3

)

+ Với x= - +1 3 Þ PTTT D: y x= +2 1

(

- 3

)

Câu 36. Cho hàm số y x
x
2 1

+
=

- .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên hai nhánh của đồ thị (C), các điểm M, N sao cho các tiếp tuyến tại M và N cắt
hai đường tiệm cận tại 4 điểm lập thành một hình thang.

· Gọi M m y( ; M), ( ; ) N n yN là 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C). Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận 
tại A, B. Tiếp tuyến tại N cắt hai tiệm cận tại C, D.

PTTT tại M có dạng: y y m x m= ¢( ).( - )+yM Þ A m B m
m

2 4

1; , (2 1;2)
1

ổ + ử

-ỗ - ữ

ố ứ .

Tng t: C n D n
n

2 4

1; , (2 1;2)
1

ổ + ử

-ỗ - ÷

è ø .

Hai đường thẳng AD và BC đều có hệ số góc: k

m n

3
( 1)( 1)

- - nên AD // BC.

Vậy mọi điểm M, N thuộc 2 nhánh của (C) đều thoả mãn YCBT.

Câu 37. Cho hàm số y x
x

3
1

+
=

- .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Cho điểm M x yo( ; )o o thuộc đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại M0 cắt các tiệm cận của (C)
tại các điểm A và B. Chứng minh Mo là trung điểm của đoạn thẳng AB.

· M x yo( ; )o o ẻ (C) ị y

x

4
1

= +

- . PTTT (d) tại M0 : y y0 x 2 x x0
0

4 ( )

( 1)

- = -

-Giao điểm của (d) với các tiệm cận là: A x(2 0-1;1), (1;2B y0-1).

Þ xA xB x yA yB y
0; 0

2 2

+ +

= = Þ M0 là trung điểm AB.

Câu 38. Cho hàm số : y x
x

2
1

+
=

- (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

· Giả sử M a a
a
2
;
1
ổ + ử

ỗ - ữ

ố ứ ẻ (C).

PTTT (d) của (C) tại M: y y a x a a
a
2
( ).( )
1
+
¢
= - +
- Û
a a
y x
a a
2
2 2

3 4 2

( 1) ( 1)

- +

-= +

-Các giao điểm của (d) với các tiệm cận là: A a

a
5
1;
1
ổ + ử
ỗ - ữ

ố ứ, B a(2 -1;1).

IA
a
6
0;
1
đ ổ ử
= ỗ - ữ

ố ứ ịIA a

6
1

- ; IB (2a 2;0)

= - ị IB=2a-1
Din tớch DIAB: SDIAB= 1 .IA IB

2 = 6 (đvdt) ÞĐPCM. 
Câu hỏi tương tự:

a) y x
x
2 4

+ ĐS: S = 12.

Câu 39. Cho hàm số y x
x
2 1
1

-=
- .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận, A là điểm trên (C) có hồnh độ là a. Tiếp
tuyến tại A của (C) cắt hai đường tiệm cận tại P và Q. Chứng tỏ rằng A là trung điểm của
PQ và tính diện tích tam giác IPQ.

· I A a a

a
2 1
(1; 2), ;

ổ - ử

- ỗ ữ

-ố ứ. PT tiếp tuyến d tại A:

a

y x a

a
a 2

1 ( ) 2 1

1
(1 )

-= - +

-Giao điểm của tiệm cận ng v tip tuyn d: P a
a
2
1;
1
ổ ử
ỗ - ÷
è ø

Giao điểm của tiệm cận ngang và tiếp tuyến d: Q a(2 - -1; 2)
Ta có: xP+ xQ=2a=2xA. Vậy A là trung điểm của PQ.

IP = a

a a

2 2 2

1- + = 1- ; IQ = 2(a-1). Suy ra: SIPQ =

2IP.IQ = 2 (đvdt)

Câu 40. Cho hàm số y x
x
2 1
1

-=
+ .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C). Tìm trên đồ thị (C), điểm M có hồnh

độ dương sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị (C) cắt hai đường tiệm cận tại A và B thoả

mãn: IA2+IB2 =40.

· (C) có TCĐ: x= -1; TCX: y=2 Þ I(–1; 2). Giả sử M x x
x0
0
0
2 1
;
1
ổ - ử
ỗ ữ
ỗ + ữ

ố ứ ẻ (C), (x0 > 0).

PTTT với (C) tại M: y x x x
x
x
0
0
2

0
0
2 1

3 ( )

1
( 1)

-= - +
+
+ Þ
x
A

x00

2 4
1;
1
ỉ - ử

-ỗ ữ
ỗ + ữ

ố ứ, B

(

(2x0+1;2

)

.

IA2+IB2 =40 x x

x

2
0
2
0
0

36 4( 1) 40

( 1)
0
ì + + =
ï
+
í
ï >
ỵ

Û x0 =2 (y0 = 1) Þ M(2; 1).

Câu 41. Cho hàm số y x
x

1
1

+
=

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên Oy tất cả các điểm từđó kẻđược duy nhất một tiếp tuyến tới (C).
· Gọi M(0; )yo là điểm cần tìm. PT đường thẳng qua M có dạng: y kx y= + o (d)

(d) là tiếp tuyến của (C) o o o o

x kx y y x y x y

x

x k

k x

x

2
2
2

1 ( 1) 2( 1) 1 0 (1)

1 2

2 1;

( 1)
( 1)

ì + = + ì - - + + + =

ïï - ï

Ûí - ớ ạ - =

ù ù

-ợ
ù

-ợ

(*) 
YCBT Û hệ (*) có 1 nghiệmÛ(1) có 1 nghiệm khác 1

o o

o

o o o o

y y x y k

x y 2 y y x y k

1 1 1; 1 8

1 ' ( 1) ( 1)( 1) 0 2

0; 1 2

2 D

ì = ì ¹ é

ï ï ê = = Þ =

-Ûí Ú í Û

= ï = + - - + =

ù ợ = = ị =

-ỵ ë

Vậy có 2 điểm cần tìm là: M(0; 1) và M(0; –1).

Câu 42. Cho hàm số y x
x

3
1

+
=

- (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên đường thẳng d y: =2x+1 các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới
(C).

· Gọi M m m( ;2 + Ỵ1) d. PT đường thẳng D qua M có dạng: y k x m= ( - ) 2+ m+1
PT hoành độ giao điểm của D và (C): k x m m x

x
3

( ) 2 1

- + + =

-

Û kx2-

[

(m+1)k-2m x

] [

+ mk-(2m+4)

]

=0 (*) 
D tiếp xuc với (C) Û (*) có nghiệm kép Û

[

]

[

]

k

m k m 2 k mk m

( 1) 2 4 (2 4) 0

D
ì ¹
ï
í

= + - - - + =

ùợ

ớỡ ạkg k( ) (0= m-1)2 2k -4(m2- -m 4)k+4m2 =0
ỵ

Qua M m m( ;2 + Î1) d kẻđược đúng 1 tiếp tuyến đến (C)

Û g k( ) 0= có đúng 1 nghiệm k¹0 Û

m m g m

m k k

2 2

32( 2) 0; (0) 4 0
32( 2) 0; (0) 4 0

1
1 0 16 4 0

D
D

é ¢ = - - - > = =

¢ = - - - > = =

ê
ê

- = Þ + = Þ =
-êë

Û

m M

0 (0;1)
1 ( 1; 1)
2 (2;5)
1 (1;3)

é = Þ

ê = Þ

-ê = Þ

= Þ

êë

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

KSHS 05: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Câu 1. Cho hàm số y= - +x3 3x2+1.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm mđể phương trình x3-3x2= m3-3m2 có ba nghiệm phân biệt.

· PT x3-3x2= m3-3m2 Û - +x3 3x2+ = -1 m3+3m2+1. Đặt k= -m3+3m2+1

Số nghiệm của PT bằng số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng d: y k=

Dựa vào đồ thị (C) ta có PT có 3 nghiệm phân biệt Û1< <k 5 Û mỴ -( 1;3) \ 0;2}{
Câu 2. Cho hàm số y x= 3-3x2+2.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x x m
x

2 2 2

- - =

- .

· Ta có x x m

(

x x

)

x m x

x

2 2 2 2 2 2 1 , 1.

- - = Û - - - = ¹

- Do đó số nghiệm của phương trình

bằng số giao điểm của y=

(

x2-2x-2

)

x-1 , ( ')C và đường thẳng y m x= , ¹1.

Với y=

(

x2-2x-2

)

x- = í-1 ìf x( )f x khi x( ) khi x>11

ỵ nên

( )

C' bao gồm:

+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x=1.

+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x=1 qua Ox. 
Dựa vào đồ thị ta có:

m < –2 m = –2 –2 < m < 0 m ≥ 0

vô nghiệm 2 nghiệm kép 4 nghiệm phân biệt 2 nghiệm phân biệt

Câu 3. Cho hàm số y x= 4-5x2+4 có đồ thị (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm mđể phương trình x4-5x2+ =4 log12m có 6 nghiệm.

· Dựa vào đồ thị ta có PT có 6 nghiệm Û m m

9
4
4
12 9

log 12 144 12

= Û = = .

Câu 4. Cho hàm số: y x= 4-2x2+1.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x4-2x2+ +1 log2m=0 (m > 0)

· x4-2x2+ +1 log2m=0 Û x4-2x2+ = -1 log2m (*)

+ Số nghiệm của (*) là số giao điểm của 2 đồ thị y x= 4-2x2+1 và y= -log2m

+ Từđồ thị suy ra:

m 1

< < m 1

= 1 m 1

2< < m=1 m>1

2 nghiệm 3 nghiệm 4 nghiệm 2 nghiệm vô nghiệm

Câu 5. Cho hàm số y f x= ( ) 8= x4-9x2+1.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

x x m

4 2

8cos -9cos + =0 với xỴ[0; ]p

· Xét phương trình: 8cos4x-9cos2x m+ =0 với xỴ[0; ]p (1)

Đặt t=cosx, phương trình (1) trở thành: 8t4-9t2+ =m 0 (2)

Vì xỴ[0; ]p nên tỴ -[ 1;1], giữa x và t có sự tương ứng một đối một, do đó số nghiệm của 
phương trình (1) và (2) bằng nhau.

Ta có: (2)Û8t4-9t2+ = -1 1 m (3)

Gọi (C1): y=8t4-9t2+1 với tỴ -[ 1;1] và (d): y= -1 m. Phương trình (3) là phương trình

hồnh độ giao điểm của (C1) và (d).

Chú ý rằng (C1) giống nhưđồ thị (C) trong miền - £ £1 x 1.

Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau:

m<0 m=0 0< <m 1 1 m 81

£ < m 81

= m 81

>
vô nghiệm 1 nghiệm 2 nghiệm 4 nghiệm 2 nghiệm vô nghiệm

Câu 6. Cho hàm số y x

x

3 4

- (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm các giá trị của mđể phương trình sau có 2 nghiệm trên đoạn 0;2
3

p

é ù

ê ú

ë û:

x x m ( x x

6 6 4 4

sin +cos = sin +cos )

· Xét phương trình: sin6x+cos6x m (= sin4x+cos )4x (*)

x m x

2 2

3 1

1 sin 2 1 sin 2

4 2

ổ ử

- = ỗ - ữ

ố ứ Û x m x

2 2

4 3sin 2- =2 (2 sin 2 )- (1)

Đặt t=sin 22 x. Với x 0;2
3

p

é ù

Ỵ ê ú

ë û thì tỴ

[ ]

0;1 . Khi đó (1) trở thành:

t
m

t

3 4
2

- với tỴ ë ûé0;1ù

Nhận xét : với mỗi tỴ ë ûé0;1ùta có : x t x t

x t

sin2 sin2

sin2

é =

-Û =

=
ë

Để (*) có 2 nghiệm thuộc đoạn 0;2
3

p

é ù

ê ú

ë ûthì t t

3;1 3;1

2 4

ộ ử ộ ử

ẻờ ữữị ẻờ ÷

ë ø

êë ø

Dưa vào đồ thị (C) ta có: y(1) 2m y 3 1 2m 7

4 5

ỉ ư

< £ ỗ ữ < Ê

ố ứ m

1 7

2< Ê10.

Cõu 7. Cho hàm số y x

x 1.1

+
=

-1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x m

x

1
.
1

+
=

-· Số nghiệm của x m
x

1
1

- bằng số giao điểm của đồ thị (C¢):

x
y

x

1
1

+
=

- và y m= .
Dựa vào đồ thị ta suy ra được:

m< -1;m>1 m= -1 - < £1 m 1

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

KSHS 06: ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ

Kiến thức cơ bản:

1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB = (xB-xA)2+(yB-yA)2

2) Khoảng cách từđiểm M x y( ; )0 0 đến đường thẳng D: ax by c+ + =0:

d M d ax by c

a b

0 0
2 2
( , )= + +

Đặc biệt: + Nếu D: x a= thì d M( , )D = x0-a

+ Nếu D: y b= thì d M( , )D = y0-b

+ Tổng các khoảng cách từ M đến các trục toạđộ là: x0 + y0 .
3) Diện tích tam giác ABC: S = 1AB AC. .sinA 1 AB AC2. 2

(

AB AC.

)

2 =2

-uuur -uuur
4) Các điểm A, B đối xứng nhau qua điểm I Û IA IBuur uur+ =0 Û A B I

A B I

x x x

y y 22y
ì + =
í + =
ỵ

5) Các điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng D Û ìí ỴABI D^D

ỵ (I là trung điểm AB).

Đặc biệt: + A, B đối xứng nhau qua trục Ox Û B A
B A

x x

y y

ì =
í = 
-ỵ

+ A, B đối xứng nhau qua trục Ox Û B A
B A

x x

y y

ì =
í = 
-ỵ

6) Khoảng cách giữa đường thẳng D với đường cong (C) bằng khoảng cách nhỏ nhất giữa
một điểm M Î D và một điểm N Î (C).

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

Câu 1. Cho hàm số y= - +x3 3x+2 (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua tâm M(–1; 3).
· Gọi A x y

(

0 0;

)

, B là điểm đối xứng với A qua điểm M( 1;3)- ịB

(

- -2 x0;6-y0

)

A B C, ẻ( ) y x x

y x x

0 0 0

3 2

6 ( 2 ) 3( 2 ) 2

ì = - + +
ï

- = - - - + - - +
ïỵ

(

)

(

)

x30 x0 x0 3 x0 x20 x0

6 3 2 2 3 2 2 6 12 6 0

Û = - + + - - - + - - + Û + + = Û x0 = - Þ1 y0 =0

Vậy 2 điểm cần tìm là: ( 1;0)- và ( 1;6)

-Câu 2. Cho hàm số y x3 x2 3x 11

3 3

= - + + - .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung.
· Hai điểm M x y N x y( ; ), ( ; ) ( )1 1 2 2 Ỵ C đối xứng nhau qua Oy Û x x

y21 y21

ì = - ¹
ï

í =
ïỵ

Û

x x

x x x x2

2 1

3 3

2 3

1 2

1 1 2

11 11

3 3

3 3 3 3

ì = - ¹
ï

- + + - = - + +
-ï

ỵ

Û x

x21

3
3

ì =
ï
í =

-ïỵ hoặc 
x

x12

3
3

ì =
-ï
í =
ïỵ 
Vậy hai điểm thuộc đồ thị (C) và đối xứng qua Oy là: M 3;16 ,N 3;16

3 3

ỉ ư ỉ- ử
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ.

Cõu 3. Cho hàm số y= - +x3 3x+2 (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d: 2x y- + =2 0.
· Gọi M x y N x y

(

1 1;

) (

; 2 2;

)

thuộc (C) là hai điểm đối xứng qua đường thẳng d 
I là trung điểm của AB nên I x1 x y2; 1 y2

2 2

æ + + ử

ỗ ữ

ố ứ, ta cú I dẻ
Cú: y y

(

x x

) (

x x

)

x x

3 3

1 1 2 2

1 2 3 2 3 2 2. 1 2 2

2 2 2

- + + + - + +

+ +

= = +

(

x x

)

x x x

(

x

) (

x x

) (

x x

)

x x

x x x x

3 1 2

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2
0

3 3 2

é + =

Þ - + + + + + = + Þ ê

- + =

êë

Mặt khác: MN d^ Þ

(

x2-x1

) (

.1+ y2-y1

)

.2 0=

(

x2 x1

) (

x2 x1

)

(

x12 x x1 2 x22

)

x12 x x1 2 x22 7

7 2 0

Þ - - - + + = Þ + + =

- Xét x1+x2 =0 x1 7;x2 7

2 2

Þ = ± =m

- Xét x x x x x x

x x x x x x

2 2

1 2
1 1 2 2

2 2

1 1 2 2 1 2
9
1

7 5

2 4

ì - + = ï + =

ù ù ị

ớ ớ

+ + =

ù ù =

ợ ùợ

vụ nghiệm

Vậy 2 điểm cần tìm là: 7;2 1 7 ; 7;2 1 7
2 2 2 2 2 2

æ ử ổ ử

- - +

ỗ ữ ỗ ữ

ỗ ữ ỗ ÷

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

Câu 4. Cho hàm số y 1x3 x2 3x 5

3 3

= + - + .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi A, B là các giao điểm của (C) với trục Ox. Chứng minh rằng trên đồ thị (C) tồn tại
hai điểm cùng nhìn đoạn AB dưới một góc vng.

· PT hồnh độ giao điểm của (C) với trục hoành: 1x3 x2 3x 5 0 xx 15

3 3

é =
+ - + = Û ê =

-ë

Þ A( 5;0), (1;0)- B . Gọi M a a;1 3 a2 3a 5 ( ),C M A B,

3 3

æ ử

+ - + ẻ ạ

ỗ ữ

ố ứ

ị AM a 5;1a3 a2 3a 5

3 3

ổ ử

=ỗ + + - + ữ

ố ứ

uuur

, BM a 1;1a3 a2 3a 5

3 3

ổ ử

=ỗ - + - + ÷

è ø

uuur

AM BM^ Ûuuur uuurAM BM. =0 Û (a 5)(a 1) 1(a 5) (2 a 1)4 0
9

+ - + + - =

Û 1 1(a 1) (3 a 5) 0
9

+ - + = Û a4+2a3-12a2+14a+ =4 0 (*)

Đặt y a= 4+2a3-12a2+14a+ =4 0, có tập xác định D = R.

y¢ =4a3+6a2-12a+14; y¢ =0 có 1 nghiệm thực a0 7 y0 2043

2 16

» - Þ »
-Dựa vào BBT ta suy ra (*) ln có 2 nghiệm khác 1 và –5.

Vậy luôn tồn tại 2 điểm thuộc (C) cùng nhìn đoạn AB dưới một góc vng.

Câu 5. Cho hàm số y x= 4-2x2+1.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm toạđộ hai điểm P, Q thuộc (C) sao cho đường thẳng PQ song song với trục hoành và

khoảng cách từđiểm cực đại của (C) đến đường thẳng PQ bằng 8.

·Điểm cực đại của (C) là A(0;1). PT đường thẳng PQ có dạng: y m m= ( ³0).

Vì d A PQ( , ) 8= nên m=9. Khi đó hồnh độ các điểm P, Q là nghiệm của phương trình: 
x4-2x2- = Û = ±8 0 x 2.

Vậy: P( 2;9), (2;9)- Q hoặc P(2;9), ( 2;9)Q - .

Câu 6. Cho hàm số y x= 4+mx2- -m 1 (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số khi m = –2.

2) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (Cm) ln ln đi qua hai điểm cốđịnh A, B. Tìm m

để các tiếp tuyến tại A và B vng góc với nhau.

· Hai điểm cốđịnh A(1; 0), B(–1; 0). Ta có: y¢ =4x3+2mx.

Các tiếp tuyến tại A và B vng góc với nhau Û y¢(1). ( 1)y¢ - = -1 Û (4 2 )+ m 2 =1

Û m 3;m 5

2 2

= - = - .

Câu 7. Cho hàm số y x

x

2
2 1

+
=

- .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2; 0) và B(0; 2).
· PT đường trung trực đọan AB: y x= .

Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hồnh độ là nghiệm của PT:

x x

x

2
2 1

+ =

- Û x2 x x x

1 5 1 5

1 0 ;

2 2

- +

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

Hai điểm cần tìm là: 1 5 1, 5 ; 1 5 1, 5

2 2 2 2

ỉ - - ư ỉ + + ử

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ

Cõu 8. Cho hàm số y x

x

3 4
2

- (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm các điểm thuộc (C) cách đều 2 tiệm cận.

· Gọi M x y( ; )Ỵ (C) và cách đều 2 tiệm cận x = 2 và y = 3.

Ta có: x y x x x x

x x

3 4

2 3 2 2 2

2 2

-- = -- Û -- = - Û - =

-x x x

x

x 2 ( 2) é =14

Û = ± - Û ê =

- ë

Vậy có 2 điểm thoả mãn đề bài là : M1( 1; 1) và M2(4; 6)

Câu 9. Cho hàm số y x

x
2 1
1
+
=
+ (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất.
· Gọi M x y( ; )0 0 Ỵ (C), (x0¹ -1) thì y x

x0 x

0 0

2 1 2 1

1 1

= =

-+ +

Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì:

MA x MB y

x

0 0

0
1

1 , 2

= + = - =
+

Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: MA MB MA MB x
x

0
0

2 . 2 1 . 2

+ ³ = + =

+
Þ MA + MB nhỏ nhất bằng 2 khi x xx

x 0
0
0
0
0
1
1 2
1
é =
+ = Û ê = 
-+ ë . 
Vậy ta có hai điểm cần tìm là (0; 1) và (–2; 3).

Câu hỏi tương tự: 
a) y x

x

2 1
1

+ ĐS: x0= - ±1 3 b) 
x
y
x
3 5
2

-=

- ĐS: M(1;2), (3;4)M

Câu 10. Cho hàm số y x

x

2 1
1

+ (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và
giao điểm hai đường tiệm cận có tích các hệ số góc bằng –9.

· Giao điểm 2 tiệm cận là I( 1;2)- .

Gọi M I

IM

M I

y y

M x C k

x x x x

0 2

0 0

3 3

;2 ( )

1 ( 1)

-æ - ửẻ ị = =

-ỗ + ữ

ố ứ

+ Hệ số góc của tiếp tuyến tại M:

(

)

M

k y x

x
0 2
0
3
( )
1
¢
= =
+
+ YCBT Ûk kM IM. = -9 Û xx0

0
0

é =
ê =

-ë . Vậy có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; –3) và M(–2; 5)

Câu 11. Cho hàm số y x

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d x y: 2 + - =2 0 bằng

k 6 5

= .

Ã Gi M m m C

m
2
; ( )
1
ổ + ửẻ
ỗ - ÷

è ø . Ta có: d M d m m m

2
6 5

( , ) 2 3 4 6 1
5

= Û - + = -

Û m 2;m 5;m 2;m 1

2 2

= = = - = Þ M(2;4);M 5;3 ; ( 2;0);M M 1; 5

2 2

ỉ ư - ổ - ử

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ.

Cõu hỏi tương tự:.

a) y x d x y k

x

3 1; : 3 4 1 0; 12

2 5

-= - + = =

- . ĐS: M M M M

16 15 7 11
(1; 2); ; ; 2; ; ;6

3 4 4 3

ổ ử ổ ử ổ ử

- ỗ ữ ỗ- ữ ỗ ữ
ố ứ

ố ứ ố ứ.

Cõu 12. Cho hm số y x

x
2 1
1
+
=
+ .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d x: -4y+ =8 0

là ngắn nhất.

· Gọi D là tiếp tuyến của (C) song song với d

Þ PTTT của (C) là 1:y x 5

4 4

D = + hoặc 2:y x 13

4 4
D = + 
Các tiếp điểm tương ứng: M1 1;3 ,M2 3;5

2 2

ỉ ư ổ- ử
ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ. Ta tớnh được d M( , )1 D <d M( 2, )D .

ị M1 1;3
2

ổ ử
ỗ ữ

ố ứ l im cn tìm. 
Cách 2: Giả sử M x x C

x
2 1
; ( )

1
ổ + ửẻ
ỗ + ữ

ố ứ . Tớnh f d M d= ( , ). Sử dụng phương pháp hàm sốđể tìm 
f

min .

Câu 13. Cho hàm số y x

x
2 1
1

-=
+ .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm tọa độđiểm M Ỵ (C) sao cho khoảng cách từđiểm I( 1; 2)- tới tiếp tuyến của (C) tại
M là lớn nhất.

· Giả sử M x C

x

0
0

; 2 ( )
1

ổ ử

- ẻ

ỗ ữ

ỗ + ữ

ố ứ . PTTT D của (C) tại M là:

y x x

x x 2 0

0 0

3 3

2 ( )

1 ( 1)

- + =

-+ + Û x x x y x

0 0 0

3( - ) (- +1) ( - -2) 3( + =1) 0

Khoảng cách từ I( 1;2)- tới tiếp tuyến D là:

(

)

x x x

d

x

x x

x

0 0 0

4 4 2

0 2 0

3( 1 ) 3( 1) 6 1 6

9
9 ( 1)

9 1 ( 1)

( 1)
- - - + +
= = =
+ +
+ + + +
+
.

Theo BĐT Cô–si: x
x

2
0
2
0

9 ( 1) 2 9 6

( +1) + + ³ = Þ d£ 6.

Khoảng cách d lớn nhất bằng 6 khi x x x
x

2 2

0 0 0

2
0

</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

Vậy có hai điểm cần tìm là: M

(

- +1 3;2- 3

)

hoặc M

(

- -1 3;2+ 3

)

Câu 14. Cho hàm số y x

x

2 4
1

+ .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(–3; 0) và N(–1; –1).
· MNuuuur=(2; 1)- Þ Phương trình MN: x+2y+ =3 0.

Phương trình đường thẳng (d) ^ MN có dạng: y=2x m+ . 
Phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và (d):

x x m

x

2 4 2
1

- = +

+ Û 2x2+mx m+ + =4 0 (x¹ -1) (1) 
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B Û D=m2-8m-32 0> (2) 
Khi đó A x x( ;21 1+m B x), ( ;22 x2+m) với x x1, 2 là các nghiệm của (1) 
Trung điểm của AB là I x1 x2 x x m

1 2
;
2

æ + ử

+ +

ỗ ữ

ố ứ

m m

I ;

4 2

ổ ử

-ỗ ữ

ố ø (theo định lý Vi-et) 
A, B đối xứng nhau qua MN Û I Ỵ MN Û m= -4

Suy ra (1) Û 2x2-4x= Û ê =0 é =xx 20

ë Þ A(0; –4), B(2; 0).

Câu 15. Cho hàm số y x

x
2

=
- .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC vuông cân tại

đỉnh A với A(2; 0).

· Ta có C y

x
2

( ) : 2

= +

- . Gọi B b b C c c

2 2

;2 , ;2

1 1

+ +

-ổ ử ổ ử

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ vi b< <1 c. 
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C lên trục Ox.

Ta có: AB AC BAC= ;· =900 Þ·CAK BAH+· =900=·CAK ACK+· · ·ÞBAH ACK=
và: · ·BHA CKA ABH CAK

{

AH CK

HB AK

90 D D =

= = Þ = Þ

Hay:

{

b

b
c

c
c

b

2 2

2 3

2 2

- = +

-- Û

+ =

-ì
ïï
í
ï
ïỵ

. 
Vậy B( 1;1), (3;3)- C

Câu 16. Cho hàm số y x

x

3
1

+ .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên hai nhánh của đồ thị (C) hai điểm A và B sao cho AB ngắn nhất.
· Tập xác định D = R {\ -1}. Tiệm cận đứng x= -1.

Giả sử A a B b

a b

4 4

1 ;1 , 1 ;1

æ- - + ử ổ- + - ử

ỗ ữ ỗ ữ

ố ø è ø (với a>0,b>0) là 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C)

AB a b a b ab ab

a b a b a b ab

2 2 2

2 2 2 2

1 1 16 16 64

( ) 16ỉ ư ( ) 1ộ ự 4 ộ1 ự 4 32

= + + ỗ + ÷ = + ê + ú³ ê + ú= + ³

è ø ë û ë û

H K

B

A

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84>

AB nhỏ nhất Û AB a b a b a b

ab a

ab

4
4

4 2 4 16 4

4
ì = ì =
ï
= Ûí Ûí Û = =
= ỵ =
ïỵ

Khi đó: A

(

- -1 44;1+464 ,

) (

B - +1 44;1-464

)

. 
Câu hỏi tương tự:

a) y x
x

4 9
3

- . ĐS: A

(

3- 3;4- 3 ,

) (

B 3+ 3;4+ 3

)

Câu 17. Cho hàm số y x

x
1

2
- +
=
- .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên đồ thị (C), các điểm A, B sao cho độ dài đoạn AB bằng 4 và đường thẳng AB
vng góc với đường thẳng d y x: = .

· PT đường thẳng AB có dạng: y= - +x m. PT hoành độ giao điểm của (C) và AB:

x x m

x

1
2

- +

= - +

- Û g x x m x m x

( )= -( +3) +2 + =1 0 (1) ( ¹2)

Để có 2 điểm A, B thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2 Û g

g
0
(2) 0
D
ì >
ớ ạ
ợ

ỡớ - +(4 (m+m3)23).2 2-4(2mm+ >1) 01 0

+ + ạ

ợ "m. 
Ta cú: A B

A B

x x m

x x. 2m 13

ì + = +

í = +

ỵ . Mặt khác yA = -xA+m y; B = -xB+m

Do đó: AB = 4 Û (xB-xA)2+(yB-yA)2=16 Û m2-2m- =3 0 Û é = -ê =mm 31

ë . 
+ Với m=3, thay vào (1) ta được: x x x y

x y

2 6 7 0 3 2 2

3 2 2

é = + Þ =
-- + = Û ê

= - Þ =
ë

Þ A(3+ 2;- 2), (3B - 2; 2) hoặc A(3- 2; 2), (3B + 2;- 2)

+ Với m= -1, thay vào (1) ta được: x x x y

x y

2 2 1 0 1 2 2 2

1 2 2 2

é = + Þ =
-- - = Û ê

= - Þ = - +
ë

Þ A(1+ 2; 2- - 2); (1B - 2; 2- + 2) hoặc A(1- 2; 2- + 2); (1B + 2; 2- - 2)

Câu 18. Cho hàm số y x x

x

3 5 14
6 1

+ +
=

+ có đồ thị (C).

Tìm tất các các điểm trên (C) có toạđộ nguyên.
· Ta có: y x

x

1 2 3 53

4 6 1

ổ ử

= ỗ + + ữ
+

ố ø.

Điểm M x y( ; ) ( )Ỵ C có toạđộ nguyên Û
x Z

y x Z

x

1 2 3 53

4 6 1

ỡ ẻ
ù
ổ ử
ớ = ỗ + + ữẻ
ù ố + ứ
ợ

x Z
x Z
x
x
x
53
2 3
6 1
53

2 3 4

6 1
ỡ ẻ
ùổ ử
ùỗ + + ữẻ
ớố + ứ
ùổ ử
+ +
ùỗ + ữ
ố ứ
ợ M

x Z
Z
x
x
x
53
6 1
53

2 3 4

6 1
ỡ ẻ
ù
ù ẻ
ớ +
ùổ ử

+ +
ỗ ữ
ùố + ứ
ợ M

x Zx x

x

6 1 1 6 1 53
53

2 3 4

</div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>

Û é = Þ =ê = - Þ = -xx 09 yy 144

ë . Vậy có hai điểm thoả YCBT: (0;14), ( 9; 4)- - .

Câu 19. Cho hàm số y x x

x

2 3 6
2

- +
=

- có đồ thị (C).

Tìm những cặp điểm trên đồ thị (C) i xng nhau qua im I 1 ;1
2

ổ ử

ỗ ÷

è ø.
· Gọi M x y N x y( ; ), ( ; ) ( )1 1 2 2 Î C đối xứng nhau qua điểm I 1 ;1

æ ử

ỗ ữ

ố ứ.

Khi ú ta cú: yx1 yx2 xy2 xy1 N x1 y1

1 2 2 1

1 1 (1 ;2 )

2 2

ì + = ì =

-Û Þ -

-í + = í =

-ỵ ỵ .

Vì M x y N x y( ; ), ( ; ) ( )1 1 2 2 Ỵ C nên ta có:

x x

y

x

x x

y

x

1 1

1
2
1 1
1

3 6
2

4
2

ì - +

ï =

-ï

- +
ï - =

ï

-ỵ

Û xx1 yy1

1 1

2; 4
3; 6

é = - =

-ê = =

ë .

Vậy trên (C) có đúng một cặp điểm thoả YCBT: M( 2; 4), (3;6)- - N .

Câu 20. Cho hàm số y x x

x

2 1
1

+ +
=

+ có đồ thị (C).

Tìm những cặp điểm trên đồ thị (C) đối xứng nhau qua đường thẳng d:16x+17y+33 0= .

·ĐS: A 5; 21 ,B 3;13

4 4

ổ- - ử ổ ử

ỗ ữ ỗ ÷

è ø è ø.

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.

</div>

200 bai lien quan KSHS LTDH nam 2012

<b>TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG</b>

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

(

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

( )

(

) (

)

(

)(

)

(

)

( )

)

(

) (

)

( )

( )

(

) (

)

(

) (

)

( )

( )

( )

-(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(