Chuyen de mat cau

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (292.67 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

V

ăn Phong

M

ặt cầu trong không gian Oxyz

(1)

M

ẶT CẦU TRONG KHƠNG GIAN Oxyz

 Phương tr

ình m

ặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R có dạng:



D

ạng 1: (x

– a)

+ (y – b)

+ (z – c)

= R



D

ạng 2: x

+ y

+ z

– 2a.x – 2b.y – 2c.z + d = 0.

Trong đó: R =

a2 b2c2 d

, điều kiệ

n:

a



b



c



d



0 .



V

ị trí tương đối của mặt phẳng (



) và m

ặt cầu (S):



d



I

;

(



)





R



(



)

không c

ắt mặt cầu (S).



d



I

;

(



)





R



(



)

ti

ếp xúc mặt cầu (S).



d



I

;

(



)





R



(



)

c

ắt mặt cầu (S) tạ

o ra giao tuy

ến l

à m

ột đường tr

ịn.

 Đường tr

ịn trong khơng gian:

G

ọi

K là tâm c

ủa đường tr

òn trong không gian.

R là bán kính c

ủa đường tr

ịn.



Tâm K là hình chi

ếu của I xuống mp(



).

(vi

ết pt đt d qua I v

à



(



)

; tìm giao

điểm K của d v

à

(



)

).



Bán kính

r R2 IK2

, trong đó:

IK



d



I

;

(



)



.

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Lập phương tr

ình m

ặt cầu thỏa m

ãn

điều kiện K

Đối với những b

ài toán v

ới những điều kiện đơn giản, cơ bản th

ì d

ựa vào điều kiện K ta t

ìm

được tọa

độ tâm I(a,

b, c) và bán kính R c

ủa mặt cầu => phương tr

ình m

ặt cầu.

D

ạng 2: Măt cầu (S) tiếp xúc với

m

ặt phẳng (P) v

à th

ỏa m

ãn

điều kiện K

+ Gi

ả sử mặt cầu (S) có tâm I(a, b, c) v

à bán kính R

+ Do (S) ti

ếp xúc với (P) n

ên: d(I, (P)) = R

+ Do điều kiện K



tâm I và bán kính R

+ V

ậy phương tr

ình m

ặt cầu (S) l

à: (x – a)

+ (y – b)

+ (z – c)

= R

Trường hợp (S) tiếp xúc với (P) tại điểm M(x

0, y0, z0):

+ Tâm I

d:















(P)

d

n

u

M

qua

t

ọa độ của I

+ (S) ti

ếp xúc với (P) n

ên IM = R => t

ọa độ I

D

ạng 3:

L

ập phương tr

ình m

ặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tr

òn (C) th

ỏa

mãn

điều kiện K

+ Gi

ả sử mặt cầu (S) có tâm I(a, b, c) v

à bán kính R

+

(

S

)



(

P

)



(

C

)

nên

r R2IK2

+ Do điều kiện K n

ên ta tìm

được tọa độ tâm I v

à bán kính R

D

ạng 4: Lập phương tr

ình m

ặt cầu (S)

có tâm I(a, b, c) ti

ếp xúc với đường thẳng d

+ Gi

ả sử bán kính mặt cầu l

à R

+ Xác đinh tọa độ h

ình chi

ếu I’ của I l

ên d

R

I

I
K

R
r

R

I

P

R

I
K

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

V

ăn Phong

M

ặt cầu trong khơng gian Oxyz

(2)

+ Ta có II’ = R

+ V

ậy phương tr

ình m

ặt cầu (S) l

à: (x – a)

+ (y – b)

+ (z – c)

= R

D

ạng 5:

L

ập phương tr

ình m

ặt cầu (S) tiếp xú

c v

ới đường thẳng d tại điểm A(x

A

, y

A

, z

A

) và th

ỏa

mãn

điều kiện K

+ (S) ti

ếp xúc với d tại A n

ên tâm I











d

A

qua

P)

(

+ Do điều kiện K => tâm I

+ (S) ti

ếp xúc với d n

ên IA = R

+ V

ậy phương tr

ình m

ặt cầu (S) l

à: (x – a)

+ (y – b)

+ (z – c)

= R

D

ạng 6:

L

ập phương tr

ình m

ặt cầu (S) tiếp xúc với d

1

và d

2

c

ắt nhau v

à th

ỏa m

ãn

điều kiện K

+ Do m

ặt cầu (S) tiếp xúc với d

1 và d2 c

ắt nhau n

ên tâm I thu

ộc mặt phân giác (P) của góc tạo bởi d

và d

.

+ L

ập phương tr

ình (P)



Tìm C = d

xd



L

ấy A



d

(

A



C

)



Tìm B th

ỏa m

ãn: AC = BC



Khi đó:

(P)













AB

n

C

qua

P)
(

+ Do điều kiện K => tâm I

+ Tính bán kính R

+ V

ậy phương tr

ình m

ặt cầu (S) l

à: (x – a)

+ (y – b)

+ (z – c)

= R

D

ạng 7: Lập phương tr

ình m

ặt cầu (S) tiếp xúc với d

1

và d

2

song song nhau và th

ỏa m

ãn

điều kiện K

+ Tương tự dạng 6 với (P) l

à m

ặt phẳng song song và cách đều d

và d

.

Cách xác định (P) như



L

ấy A



d1.



Tìm hình chi

ếu B của A l

ên d2

=> trung điểm M của AB.



Khi đó: (P)













AB

n

M

qua

P)
(

I
K

R
r

B C

P
d1

R
I

M(x0,y0,z )0

d
R

I
K

d2
A

B
M

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

V

ăn Phong

M

ặt cầu trong không gian Oxyz

(3)

D

ạng 8: Lập phương tr

ình m

ặt cầu (S) cắt đường thẳng d tại 2 điểm A v

à B sao cho AB = c và th

ỏa

mãn

điều kiện K

+ Gi

ả sử mặt cầu (S) có tâm I v

à bán kính R

+ Do điều kiện K suy ra tâm I

+ G

ọi H l

à hình chi

ếu vng góc của I l

ên d => H => IH

+ Do AB = c nên => R =

4 IH

c



+ V

ậy phương tr

ình m

ặt cầu (S) l

à: (x – a)

+ (y – b)

+ (z – c)

= R

D

ạng 9: Lập phương tr

ình m

ặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

+ Gi

ả sử mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R.

+ Do m

ặt cầu đi qua các đỉnh của khối đa diện n

ên ta có h

ệ phương tr

ình. T

ừ đó t

ìm

được tâm I v

à R

+ Vi

ết phương tr

ình m

ặt cầu

.

D

ạng 10: Lập phương tr

ình m

ặt cầu (S) nội tiếp khối đa diện

+ Gi

ả sử mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R.

+ Do m

ặt cầu (S) tiếp xúc với các mặt của khối đa diện n

ên ta có h

ệ phương tr

ình. T

ừ đó t

ìm

được tâm

I và R

+ Vi

ết phương tr

ình m

ặt cầu.

D

ạng 11: Vị trí tương đối của điểm v

à m

ặt cầu, của đường thẳng v

à m

ặt cầu, của mặt phẳng v

à m

ặt

c

ầu.

Các em áp d

ụng những kiến thức của các dạng trên để giải các b

ài toán v

ề vị trí tương đối n

ày.

M

ỘT SỐ B

ÀI T

ẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua A(1, 3, 7), B(5, 1, 3), C(5, 2, 4) và có bán kính R =

17

Bài 2. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1, 2, 3) và đi qua A(5, 7, 3)

Bài 3. Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua A(1, 2, 3), B(-1, 2, 5), C(4, 2, -2) và có tâm nằm trên mặt phẳng (P):

x = 2y – 3x + 5 = 0

Bài 4.Cho hai đường thẳng có phương trình: d1:

















t
z

t
y

t
x

2
4

3
2
2

và d2:















0
3
3
2

z
y
x

a. CMR d1 và d2 chéo nhau
b. Tính khoảng cách giữa d1 và d2

c. Lập phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vng góc chung của d1 và d2

Bài 5. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1, 3, 5) và tiếp xúc với mặt phẳng x + 2y – z – 4 = 0

Bài 6. Lập phương trình mặt cầu bán kính R = 2, tiếp xúc với mặt phẳng x + y – z + 4 = 0 tại điểm M(1, 1, 6)

Bài 7. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với 2 mặt phẳng (P) và (Q) biết:















0
2
4
3

0
3
3

z

y
x

z
y

x (P): 2x + y – 3z + 5 = 0 (Q): -x + 2y – 4z + 7 = 0

Bài 8. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng d và cắt (P) theo thiết diện là một đường tròn có
diện tích bằng 21 (dvdt) biết:















0
4
5

0
3
3
2

z
y
x

z
y

x (P): 2x + 3y – 7z + 3 = 0

Bài 9. Lập phương trình mặt cầu có tâm nằm trên (P), bán kính bằng 4 và tiếp xúc với d biết:
R

A H B

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

V

ăn Phong

M

ặt cầu trong không gian Oxyz

(4)

d:












0
2
4
3
0
3
3
z
y
x
z
y
x

(P): 2x + y – 3z + 5 = 0

Bài 10. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên (P) và tiếp xúc với d1 và d2:
d1:














t
z
t
y
t
x
2
1
2
2
2

và d2:











0
3
3
2
0
z
y
x
z
y
x

(P): 2x – 2y + 3z – 4 = 0

Bài 11. Cho mặt cầu (S): (x – 2)2+ (y + 1)2 + (z – 2)2 = 16 và điểm A(7, 9, 5). Viết phương trình đường thẳng

qua A và cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm A và B sao cho tam giác ABI đều với I là tâm mặt cầu.
Bài 12.Cho điểm A(2, 1, 4) và đường thẳng d:













0
5
3
2
0
3
z
y
x
z
y

x . Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt (S) tại 
2 điểm B và C sao cho BC = 3

Bài 13. Cho điểm I(2, 3, -1) và đường thẳng d có phương trình:












0

8
4
3
0
20
3
4
5
z
y
x
z
y
x

a. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua I và vng góc với d

b. Tính khoảng cách từ I đến d từ đó suy ra phương trình mặt cầu (S) có tâm I sao cho (S) cắt d tại A và B
sao cho AB = 40.

Bài 14. Trong không gian Oxyz cho A(1, 2, 5), B(4, 1, 0), C(-1, 3, 0), D(3, 7, 0)
a. Chứng minh rằng ABCD lập thành một tứ diện

b. Tính đường cao của tứ diện kẻ từ A.

c. Lập phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện.

Bài 15. Trong khơng gian Oxyz cho hình chóp S.ABCD với S(5, 5, 6), A(1, 3, 0), B(-1, 1, 4), C(1, -1, 4), D(3,
1, 0)

a. Lập phương trình các mặt của hình chóp
b. Xác định tọa độ trọng tâm G của hình chóp

c. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Bài 16. Cho mặt cầu (S): (x – 2)2+ (y + 1)2 + (z – 2)2 = 16 và mặt phẳng (P): 3x + 4y – 6z + 8 = 0.
Tìm điểm M trên (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) là:

a. Lớn nhất

b. Nhỏ nhất

c. Viết phương trình mặt cầu tâm I(9, 12, 5) tiếp xúc với mặt cầu (S).

Bài 17.(ĐHKA 2010) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; −2) và đường thẳng Δ:
2
3
3
2
2
2 




 y z

x . Tính khoảng cách từ A đến Δ. Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt Δ tại hai điểm B và C

sao cho BC = 8.

Bài 18. (ĐHKD 2011) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 3

2 4 1

x y z

  và mặt phẳng

(P) có phương trình 2x  y + 2z = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng , bán kính bằng 1 và
tiếp xúc với mặt phẳng (P).

Bài 19. (ĐHKA 2012) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:

1
2
2
1
1 


 y z

x và điểm I(0,

0, 3). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt d tại A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I.
Bài 20. (ĐHKB 2012) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:

2
1

2
1



 y z

x và hai điểm:

A(2, 1, 0) và B(-2, 3, 2). Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d.
Bài 21. (ĐHKD 2012)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 10 = 0 và điểm I(2, 1, 3). Viết
phương trình mặt cầu tâm I và cắt (P) theo một đường trịn có bán kính bằng 4?

Chúc các em cùng gia đình sức khỏe và hạnh phúc! 
 Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao!

</div>

Chuyen de mat cau

<i><b>V</b></i>

<i><b>ăn Phong </b></i>

<i><b>M</b></i>

<i><b>ặt cầu trong không gian Oxyz </b></i>

<i><b>(1) </b></i>

<b>M</b>

<b>ẶT CẦU TRONG KHƠNG GIAN Oxyz</b>

 Phương tr

<b>ình m</b>

<b>ặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R có dạng:</b>



D

ạng 1: (x

– a)

+ (y – b)

+ (z – c)

= R



D

ạng 2: x

+ y

+ z

– 2a.x – 2b.y – 2c.z + d = 0.

Trong đó: R =

, điều kiệ

n:

<i>a</i>



<i>b</i>



<i>c</i>



<i>d</i>



0

.



<b>V</b>

<b>ị trí tương đối của mặt phẳng (</b>

<i></i>

<b>) và m</b>

<b>ặt cầu (S): </b>



<i>d</i>



<i>I</i>

;

(

<i></i>

)





<i>R</i>



(

<i></i>

)

không c

ắt mặt cầu (S).



<i>d</i>



<i>I</i>

;

(

<i></i>

)





<i>R</i>



(

<i></i>

)

ti

ếp xúc mặt cầu (S).



<i>d</i>

