Chuyen de DAI SO PHAN I

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (350.42 KB, 27 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

phần i-PHƯƠNG PHáP PHÂN TíCH CáC ĐA THứC THàNH NHÂN Tử

1. Phơng pháp đặt nhân tử chung

Phơng pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối với phép
cộng (theo chiều ngợc).

Bµi 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by)

Gi¶i: Ta cã : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by)

= 2x2 (ax + 2by + ax – by)

=2x2(2ax + by)

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tö

P = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)

Gi¶i: Ta cã: P = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)

= (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax))

= (5y + 2b)(- 4a2 + ax)

= (5y + 2b)(x 4a)a
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tö

B = 3x2(y – 2z ) – 15x(y – 2z)2

Giải: Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là y – 2z

Do đó : B = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2

= 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z))
=3x(y – 2z)(x – 5y + 10z)
Bài 4 : phân tích đa thức sau thành nhân tö

C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d)

Gi¶i: Ta cã: C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d)

= (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax)

= (5c + 2d)(ax – 4a2)

= a(5c + 2d)(x 4a)
Bài 5: phân tích đa thức sau thành nhân tử

Q = 3x3y 6x2y 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy

Gi¶i: Ta cã: Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy

= 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1)

= 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2))

= 3xy((x – 1)2 – (y + z)2)

= 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + 9 y+ z))
= 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1)

Bµi 6 : Phân tích đa thức thành nhân tử:
A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z)

Gi¶i: Ta cã : A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z)

= (y – 2z)(16x2 10y)

Bài 7 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x3 + 3x2 + 2x + 6

Giải: Ta cã : B = x3 + 3x2 + 2x + 6

= x2(x + 3) + 2( x + 3)

= (x2 + 2)(x + 3)

Bài 8 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 6z3 + 3z2 + 2z +1

Gi¶i: Ta cã : A = 6z3 + 3z2 + 2z +1

= 3z2(2z + 1) + (2z + 1)

= (2z + 1)(3z2 + 1)

2 . Phơng pháp nhóm các hạng tử

Phng phỏp ny vn dụng một cách thích hợp tính chất giao hốn, tính chất kết hợp của
phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân tử chung, rồi sau đó vận dụng
tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng. Sau đây là một số ví dụ :

Bµi 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2

Gi¶i: Ta cã : B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2

= (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

= x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z)

= (y – z)((x(y + z) – yz – x2))

= (y – z)((xy – x2) + (xz – yz)

= (y – z)(x(y – x) + z(x – y))
= (y – z)(x – y)(z x)

Bài 10 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A= 4x5 +6x3 +6x2 +9

Giải: Ta có : A= 4x5 +6x3 +6x2 +9

= 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3)

= (2x3 + 3)(2x2 + 3)

Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x6 + x4 + x2 + 1

Gi¶: Ta cã : B = x6 + x4 + x2 + 1

= x4(x2 + 1) + ( x2 + 1)

= (x2 + 1)(x4 + 1)

Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tư
B = x2 + 2x + 1 – y2

Gi¶i: Ta cã: B = x2 + 2x + 1 – y2

= (x2 + 2x + 1) – y2

= (x + 1)2 – y2

=(x +1 – y)(x + 1 + y )

Bài 13 : Phân tích đa thức sau thành nh©n tư
A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz

Gi¶i: Ta cã : A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz

= (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz)

= (x + y)2 – z(x + y)

= (x + y)(x + y z)

Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = 2xy + z + 2x + yz

Gi¶i: Ta cã : P = 2xy + z + 2x + yz
= (2xy + 2x) + (z + yz)
= 2x(y + 1) + z(y + 1)
= (y + 1)(2x + z)

Bµi 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = xm + 4 + xm + 3 – x - 1

Gi¶i: Ta cã : A = xm + 4 + xm + 3 – x – 1

= xm + 3(x + 1) – ( x + 1)

= (x + 1)(xm + 3 1)

Bài 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x2(y z) + y2(z - x) + z2(x – y)

Gi¶i: Khai triển hai số hạng cuối rồi nhóm các số hạng lµm xt hiƯn thõa sè chung y - z 
Ta cã : P = x2(y – z) + y2z – xy2 + xz2 – yz2

= x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2 – z2)

= x2(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z)

= (y – z)((x2 + yz – x(y + z))

= (y – z)(x2 + yz – xy – xz)

= (y – z)(x(x – y) – z(x – y))
= (y – z)(x – y)(x – z)

NhËn xÐt : dÔ thÊy z – x = -((y – z) + (x – y)

nªn : P = x2(y – z) - y2((y – z) + (x – y)) + z2(x – y)

=(y – z)(x2 – y2) – (x – y)(z2 – y2)

= (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y)
= (y – z) (x – y)(x + y – (z + y))

= (y – z) (x – y)(x – z)

Bµi 17: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc

Gi¶i: Ta cã : A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

= ( a + b)(bc + ca + ab) + c2( a + b)

= ( a + b)(bc + ca + ab + c2)

= ( a + b)( c(b + c) + a(b + c))
= ( a + b)(b + c)(c + a)

Bài 18: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc

Gi¶i: Ta cã : Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc

= (a2b + ab2 + abc) + (b2c +bc2 +abc) + (c2a + ca2 + abc)

= ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c)
= ( a + b + c)(ab + bc + ca)

Bài 19: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = 2a2b + 4ab2 a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc

Gi¶i: Ta cã : A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc

= (2a2b + 4ab2) – (a2c + 2abc) + (ac2+ 2bc2) – (4b2c+ 2abc)

= 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2(a + 2b) – 2bc(a + 2b)

= (a + 2b)(2ab – ac + c2 – 2bc)

= (a + 2b)(a(2b – c) – c(2b –c))
= (a + 2b)(2b – c)(a – c)

Bµi 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z)

Gi¶i: Ta cã : P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z)

= 4x2y2(2x + y) + z2(y2(z – y) – 4x2(2x + z)

= 4x2y2(2x + y) + z2( y2z – y3 – 8x3 – 4x2z)

= 4x2y2(2x + y) + z2(z(y2 – 4x2) – (y3 + 8x3))

= 4x2y2(2x + y) + z2(z(y – 2x)(y + 2x) – (y + 2x)(y2 – 2xy + 4x2))

= (2x + y)( 4x2y2 + z3 – 2xz3 – z2y2 + 2xyz2 – 4x2z2)

= (2x + y)(4x2(y2 – z2) – z2y (y – z) +2xz2( y – z))

= (2x + y)(y – z)(4x2y + 4x2z – z2y + 2xz2)

= (2x + y)( y – z)(y(4x2 – z2) + 2xz(2x + z))

= (2x + y)( y – z) (2x + z)(2xy – yz + 2xz)

3. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ

Phơng pháp này dùng hằng đẳng thức để đa một đa thức về dạng tích, hoặc luỹ thừa bậc
hai, bậc ba của một đa thức khác.

Các hằng đẳng thức thờng dùng là :
A2 + 2AB + B2 = (A + B)2

A2 - 2AB + B2 = (A - B)2

A2 - B2 = (A + B) (A - B)

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3

A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2)

A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2)

Sau đây là một số bài tập cụ thể:

Bài 21: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x4 + x2y2 + y4

Gi¶i: Ta cã : A = x4 + x2y2 + y4

= (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2

= (x2 + y2)2 - x2y2

= (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 – xy)

Bài 22: Phân tích đa thức sau thành nhân tö
B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4

Gi¶i: Ta cã : B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4

= (a6 – b6) + (a4 + a2b2 + b4 )

= (a3 + b3) (a3 - b3) + (a4 + a2b2 + b4 )

= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) + (a4 + 2a2b2 + b4) – a2b2

= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 + b2 )2– a2b2

= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )

= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1))

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài 23: Phân tích đa thức sau thành nhân tö
M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2

Gi¶i: Ta cã : M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2

= (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2

= (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2

= (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2

= (x2 – x + 1) (x2 + x + 1 + x2 – x + 1)

= 2(x2 – x + 1)(x2 + 1)

Bài 24: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2

Gi¶i: Ta cã: A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2

= (x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2 + 2y2z2) – 4y2z2

= (x2 – y2 – z2)2 – 4y2z2

= (x2 – y2 – z2 – 2yz) (x2 – y2 – z2 + 2yz)

= (x2 – (y + z)2 )( x2 – (y - z)2 )

= (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z)
Bµi 25: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = (x + y)3 +(x - y)3

Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách khác giải nh
sau :

C¸ch 1: A = (x + y)3 +(x - y)3

= ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y)

= 8x3 – 3.2x(x2 – y2)

= 2x(4x2 – 3(x2 – y2))

= 2x(x2 + 3y2)

C¸ch 2: A = (x + y)3 +(x - y)3

= ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2

= 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2))

= 2x(x2 + 3y2)

Bµi 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 16x2 + 40x + 25

Gi¶i: Ta cã: A = 16x2 + 40x + 25

= (4x)2 + 2.4.5.x + 52

= (4x + 5)2

Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3

Gi¶i: DƠ thÊy : x – y =(x – z) + (z – y)

Từ đó ta có : (x - y)3 = (x – z)3 + (z – y)3 + 3(x – z)(z – y)((x – z) + (z – y))

= - (z - x)3 - (y - z)3 + 3(z – x)(y – z)(x – y)

= 3(z – x)(y z)(x y)

Bài 27: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (a + b+ c) (a3 + b3+ c3)

Gi¶i: Ta cã: A = (a + b+ c) –(a3 + b3+ c3)

= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3)

= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3 + b3+ c3)

= 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c)

= 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc)

= 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b)

= 3(b + c)(a + b)(a + c)
Bài 28: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

P = x8 28

Giải: Ta có : P = x8 – 28

= (x4 + 24) (x4 - 24)

= (x4 + 24)((x2)2 – (22)2 )

= (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22)

= (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2)

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Gi¶i: Ta cã: Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3)

= (x – 1)(x2 + x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1)

= (x – 1)( x2 + x + 1 + 5x + 5 + 3)

= (x – 1)( x2 + 6x + 9)

= (x – 1)(x + 3)2

4. Phơng pháp thực hiện phép chia:

Nu a l mt nghim của đa thức f(x) thì có sự phân tích f(x) = (x – a).g(x) ,g(x) là
một đa thức. Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a). Sau đó li phõn tớch tip g(x).

Sau đây là một số ví dụ cụ thể:

Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
f(x) = x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + 8

Gi¶i:

DƠ thÊy: f(-2) = (-2)5 + 6(-2)4 + 13(-2)3 + 14(-2)2 + 12(-2) + 8 = 0

Nên chia f(x) cho (x + 2), ta đợc:

f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) = (x + 2).g(x)

DÔ thÊy: g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 cã g(-2) = 0

Nên chia g(x) cho (x + 2), ta đợc:
g(x) = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2)

Đặt h(x) = x3 + 2x2 + 2x + 2. Ta cã: h(-2) = 0

Nên chia h(x) cho(x + 2), đợc: h(x) = (x + 2)(x2 + 1)

VËy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x2 + 1)

= (x + 2)3(x2 + 1)

Khi thực hiện phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne để
thực hiện phép chia đợc nhanh hơn.

VÝ dô chia f(x) cho (x + 2) nh sau :

1 6 13 14 12 8

-2 1 4 5 4 4 0

VËy f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4)

Chia x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 cho (x + 2) nh sau :

1 4 5 4 4

-2 1 2 2 2 0

VËy x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2)

Chia x3 + 2x2 + 2x + 2 cho (x + 2) nh sau :

1 2 2 2

-2 1 0 1 0

VËy x3 + 2x2 + 2x + 2 = (x + 2)(x2 + 1)

VËy h(x) = (x + 2)3(x2 + 1)

Bài 31: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x4 2x3 11x2 + 12x + 36

Giải: Tìm nghiệm nguyên của đa thøc (nÕu cã) trong c¸c íc cđa 36 : ± 1; ± 2; ± 3;

± 4; ± 6 ; ± 9; ± 12; ± 18; ± 36.
Ta thÊy : x = -2

P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = 0
Ta cã: P = x4 + 2x3 – 4x3 – 8x2 – 3x2 – 6x + 18x + 36

= x3 (x + 2) – 4x2(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2)

= (x + 2)(x3 4x2 3x + 18)

Lại phân tÝch Q = x3 – 4x2 – 3x + 18 thành nhân tử

Ta thấy: Q(-2) = (-2)3 4(-2)2 – 3(-2) + 18 = 0

Nên chia Q cho (x + 2), ta đợc :
Q = (x + 2)(x2 – 6x + 9)

= (x + 2)(x – 3)2

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

5. Phơng pháp đặt ẩn phụ

Bằng phơng pháp đặt ẩn phụ (hay phơng pháp đổi biến) ta có thể đa một đa thức với ẩn
số cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa thức này sẽ dễ dàng phân tích
đợc thành nhân tử. Sau đây là một số bài toán dựng phng phỏp t n ph.

Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12

Giải: Đặt : y = x2 + x , đa thức đã cho trở thành :

A = y2 + 4y – 12

= y2 – 2y + 6y – 12

= y(y – 2) + 6(y – 2)
= (y – 2)(y + 6) (1)
Thay : y = x2 + x vào (1) ta đợc :

A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6)

= (x – 1)(x + 2)(x2 + x – 6)

Bài 33: Phân tích đa thức sau thành nhân tö
A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12

Gi¶i: A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12

Đặt y = (x2 + x + 1). Đa thức đã cho trở thành :

A = y(y + 1) – 12
= y2 + y – 12

= y2 – 3y + 4y – 12

= y(y – 3) + 4(y – 3)
= (y – 3)(y + 4) (*)
Thay: y = (x2 + x + 1) vào (*) ta đợc :

A = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4)

= (x2 + x – 2) (x2 + x + 6)

= (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6)

Bài 34: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x12 3x6 + 1

Giải: B = x12 3x6 + 1

Đặt y = x6 (y 0 )

Đa thức đã cho trở thành :
B = y2 – 3y + 1

= y2 – 2y + 1 – y

= (y – 1)2 – y

= (y – 1 - √y )(y + 1 + √y ) (*)
Thay : y = x6 vào (*) đợc :

B = (x6 – 1 -

√

x6

¿(y+1+

√

x6)
= (x6 – 1 – x3)(x6 + 1 + x3)

Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tö
A = x3 - 3

√2 x2 + 3x +

√2 - 2
Giải: Đặt : y = x - 2 , ta cã x = y + √2

A = (y + √2 )3 - 3

√2 (y + √2 )2 + 3(y +

√2 ) + √2 - 2
= y3 + 3y2

√2 + 3y.2 + 2 √2 - 3 √2 (y2 + 2

√2 y + 2) + 3(y + √2 ) + √2 - 2
= y3 - 3y – 2

= y3 - y – 2y – 2

= y(y2 – 1) – 2(y + 1)

= y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1)
= (y + 1)(y(y – 1) – 2)
= (y + 1)(y2 – y – 2)

= (y + 1)(y + 1)(y – 2)
= (y + 1)2(y – 2) (*)

Thay : y = x - √2 vào (*), đợc :

A = (x - √2 + 1)2(x -

√2 - 2)
Bµi 36: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
Gi¶i: Ta cã:

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

= ((x + 1)( x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15
= (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15

Đặt : y = (x2 + 8x + 7). Đa thức đã cho trở thành :

M = y(y + 8) + 15
= y2 + 8y + 15

= y2 + 3y + 5y + 15

= y(y + 3) + 5(y + 3)
= ( y + 3)(y + 5)

Thay : y = (x2 + 8x + 7), ta đợc :

M = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12)

= (x2 + 8x + 10)( x2 + 2x + 6x + 12)

= (x2 + 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2))

= (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6)

Nhận xét: Từ lời giải bài toán trên ta có thể giải bài toán tổng quát sau : phân tích đa thức
sau thành nhân tử :

A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m
Nếu a + d = b + c . Ta biến đổi A thành :

A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1)

Bằng cách biến đổi tơng tự nh bài 36, ta đa đa thức (1) về đa thức bậc hai và từ đó
phân tích đợc đa thức A thành tích các nhân t.

Bài 37: Phân tích đa thức sau thành nhân tö
A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1

Gi¶i: Gi¶ sư x 0 , ta viÕt ®a thøc díi d¹ng :
A = x2((x2 + 1

x2 ) + 6( x -
1

x ) + 7 )

Đặt y = x - 1

x th× x2 +
1
x2 = y

2 + 2

Do đó : A = x2(y2 + 2 + 6y + 7)

= x2( y + 3)2

= (xy + 3x) 2

Thay y = x - 1

x , ta đợc

A =

[

x(x −1

x)+3x

]

= (x2 + 3x – 1)2

Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0
Nhận xột :

Từ lời giải bài tập này, ta có thể giải bài tập tổng quát sau : Phân tích đa thức sau
thành nhân tử :

A = a0x2n + a1xn – 1 +…….+ an – 1xn – 1 +anxn + an – 1xn – 1 + …..+ a1x + a0

Bằng cách đa xn làm nhân tử của A, hay :

A = xn(a

0xn + a1xn – 1 + …….+ an – 1x + an +

an −1

x +…..+
a1
xn −1 +

a0
xn

Sau đó đặt y = x + 1

x ta sẽ phân tích đợc A thnh nhõn t mt cỏch d dng nh bi

tập trên.

Bài 38: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12

Gi¶i: Ta cã: A = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12

= (x + y)2 – (x + y) – 12

- Đặt X = x + y, đa thức trên trë thµnh :
A = X2 – X – 12

= X2 - 16 – X + 4

= (X + 4)(X - 4) - (X - 4)
= (X - 4)(X + 4 - 1)
= (X - 4)(X + 3) (1)

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

A = (x + y – 4)( x + y + 3)

Bµi 39: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2

Gi¶i: A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2

Đặt : x2 + y2 + z2 = a

xy + yz + zx = b

⇒ ( x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = a + 2b

Đa thức A trở thành :
A = a(a + 2b) + b2

= a2 + 2ab + b2

= (a + b)2 (*)

Thay : a = x2 + y2 + z2

b = xy + yz + zx vào (*) ta đợc :
A = (x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)2

Bài 40: Phân tích đa thức sau thành nhân tö
P = (x – y)3 + (y – z)3 + (z x)3

Giải: Đặt : A = x – y ; B = y – z; C = z – x
Ta cã : A + B + C = 0. Nªn

A + B = - C
LËp ph¬ng hai vÕ :

(A + B)3 = - C3

↔ A3 + 3AB(A + B) + B3 = - C3

↔ A3 + B3 + C3 = - 3AB(A + B)

↔ A3 + B3 + C3 = 3ABC

Thay : A = x – y ; B = y – z; C = z – x, ta đợc :

(x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x)

6. Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ ( tách số hạng)

Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ là phơng pháp thêm, bớt các hạng tử trong đa
thức để làm xuất hiện các đa thức có thể đa về hằng ng thc ỏng nh.

Sau đây là một số ví dụ :

Bài 41: Phân tích đa thức sau thành nhân tư
A = x2 – 6x + 5

Gi¶i: Ta cã thĨ giải bài toán trên đây bằng một số cách nh sau:
C¸ch 1: A = x2 – 6x + 5

= x2 – x – 5x + 5

= x(x – 1) – 5(x – 1)
= (x 1)(x 5)

Chú ý: Để phân tích ®a thøc ax2 + bx + c (c 0) b»ng phơng pháp tách số hạng ta làm nh

Bớc 1 : lÊy tÝch a.c = t

Bíc 2 : ph©n tÝch t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trờng hợp) t = pi.qi

Bơc 3 : tìm trong các cặp nhân tử pi, qi một cặp pa, qa sao cho : pa + qa = b

Bíc 4 : viÕt ax2 + bx + c = ax2 + p

ax + qax + c

Bớc 5 : từ đây nhóm các số hạng và đa nhân tủ chung ra ngoài dấu ngoặc.
Bài 42: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

B = x4 + 2x2 - 3

Giải: B = x4 + 2x2 - 3

= x4 – x2+ 3x2 – 3

= x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1)

= (x2 – 1) (x2 + 3)

= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)

Bµi 43: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x4 + x2 + 1

Gi¶i: A = x4 + x2 + 1

= (x4 + 2x2 + 1) - x2

= (x2 + 1)2 - x2

= (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Gi¶i: F = 5x2 + 6xy + y2

= (5x2 + 5xy) + (xy + y2)

= 5x(x + y) + y(x + y)
= (x + y)(5x + y)

Bài 44: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x4 + x2y2 + y4

Giải:P = x4 + x2y2 + y4

= (x4 + 2x2y2 + y4) – x2y2

= (x2 + y2)2 – (xy)2

= (x2 + y2 – xy)(x2 + y2 + xy)

Bài 45: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2

Gi¶i: Ta cã : A = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2

= x4 + (x2 – x + 1) + (x2 – x + 1)2 + x

= (x2 – x + 1)(x2 – x + 2) + x(x + 1)(x2 – x + 1)

= (x2 – x + 1)((x2 – x + 2) + x(x + 1))

= (x2 – x + 1)(2x2 + 2)

Bµi 46: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = 4x4 + 81

Gi¶i: Ta cã : P = 4x4 + 81

= 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2

= (2x2 + 9)2 – (6x)2

=(2x2 + 9 – 6x)(2x2 + 9 + 6x)

Bài 47: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = 3x3 7x2 + 17x - 5

Gi¶i: Ta cã : Q = 3x3 – 7x2 + 17x - 5

= 3x3 – x2 – 6x2 + 2x + 15x – 5

= x2(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5(3x – 1)

= (3x 1)(x2 2x + 5)

Bài 48: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x3 x2 – x - 2

Gi¶i: Ta cã : A = x3 – x2 – x - 2

= x3 – 1 – (x2 + x + 1)

= (x – 1)(x2 + x + 1) - (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)(x – 1 – 1)

= (x2 + x + 1)(x 2)

Bài 49: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x3 + x2 x + 2

Giải: Ta cã : B = x3 + x2 – x + 2

= (x3 + 1) + (x2 - x + 1)

= (x + 1)(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1)

= (x2 - x + 1)(x + 1+ 1)

= (x2 - x + 1)(x + 2)

Bµi 50: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
C = x3 – 6x2 – x + 30

Gi¶i: Ta cã : C = x3 – 6x2 – x + 30

= x3 + 2x2 – 8x2 – 16x + 15x + 30

= x2(x + 2) – 8x(x + 2) + 15 ( x + 2)

= (x + 2)(x2 – 8x + 16 – 1)

= (x + 2)((x – 4)2 – 1))

= (x + 2)(x – 4 – 1)(x – 4 + 1)
= (x + 2)(x – 5)(x – 3)

7. Phơng pháp hệ số bất định

Phơng pháp này dựa vào định nghĩa hai đa thức bằng nhau, ta có thể tính đợc các hệ số
của sự biểu diễn đòi hỏi bằng cách giải một hệ phng trỡnh s cp.

Sau đây là một số ví dụ :

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Giải: Biểu diễn đa thức dới dạng :

x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)

x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd

Đồng nhất hai đa thức, ta đợc hệ điều kiện :

¿
a+c=−16

ac+b+d=12

ad+bc=−14

bd=3

¿{ { {

XÐt bd = 3 víi b, d Z , b {1;3} víi b = 3; d = 1
Hệ điều kiện trở thành :

a+c=−6

ac=8

a+3c=−14

¿{ {

Suy ra 2c = - 14 + 6 = - 8, Do đó c = - 4 , a = -2
Vậy M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3

= (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1)

Bài 52: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư
A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10

Giải: Biểu diễn đa thức dới d¹ng :
A = ( ax + by + c )( dx + ey + g )

= adx2 + aexy + agx + bdxy + bey2 + bgy + cdx + cey + cg

= adx2 + ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey2 + ( bg + ce )y + cg

= 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10

Đồng nhất hai đa thức, ta đợc hệ điều kiện :

¿
ad=3

ae+bd=22

ag+cd=11

be=7

bg+ce=37

cg=10

¿{ {{ { {

⇒

¿
a=3

b=1

c=5

d=1

e=7

g=2

¿{ { { { {

VËy A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10

= ( 3x + y + 5 )( x + 7y + 2 )
Bµi 53: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

B = x4 – 8x + 63

Gi¶i: Ta cã thĨ biĨu diƠn B díi d¹ng :
B = x4 – 8x + 63

= (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)

= x4 + (a+ c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd

Đồng nhất hai đa thức ta đợc hệ điều kiện:

a+c=0

ac+b+d=0

ad+bc=−8

bd=63

¿{ { {

⇔
¿

a=−4

b=7

c=4

d=9

¿{ { {

¿
VËy : B = x4 – 8x + 63 = (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9)

8. Phơng pháp xét giá trị riêng

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Sau đây là một số ví dụ :

Bài 54: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x2(y z) + y2(z x) + z2(x – y)

Gi¶i: Thư thay x bëi y th× P = y2(y – z) + y2(z – y) = 0

Nh vËy P chøa thõa sè x – y

Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P khơng đổi ( ta nói đa thức
P có thể hốn vị vịng quanh x → y → z → x . Do đó nếu P chứa thừa số x – y thì
cũng chứa thừa số y – z, z – x . Vậy P có dạng :

k(x – y)(y – z)(z – x)

Ta thấy k phải là hằng số, vì P có bậc đối với tập hợp các biến x, y, z, còn các tích (x
– y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z.

Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng

với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2; y = 1; z = 0
(*), ta đợc:

4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2)
2 = -2k

k = -1

VËy P = -1(x – y)(y – z)(z – x)
= (x – y)(y – z)(x – z)

Chú ý: (*) các giá trị của x, y, z có thể chọn tuỳ ý chỉ cần chúng đôi một khác nhau để (x
– y)(y – z)(z x) 0.

Bài 55: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

P = x2y2(y x) + y2z2(z – y) + z2x2(y – z)

Gi¶i: Thay x = y th× P = y2z2(z – y) + z2x2(y – z) = 0

Nh vËy P chøa thõa sè x – y.

Ta thấy đa thức P có thể hốn vị vòng quanh x → y → z → x. Do đó nếu P chứa
thừa số x – y thì cũng chứa thừa số y – z, z – x . Vậy P có dạng :

k(x – y)(y – z)(z – x)

Mặt khác P là đa thức bậc ba đối với x, y, z, nên trong phép chia A cho
(x – y)(y – z)(z – x) thơng là hằng số k, nghĩa là :

P = k(x – y)(y – z)(z – x) , k là hằng số.
Cho : x = 1; y = -1; z = 0 ta đợc :

12.(-1)2.(-2) + (-1)2.0.(0 + 1) + 02.12.(1 – 0) = k. 2.(-1).(-1)

-2 = 2k
k = -1
VËy P = -1(x – y)(y – z)(z – x)

= (x – y)(y – z)(x – z)

Bài 56: Phân tích đa thức sau thành nhân tö
A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)
Gi¶i:

Nhận xét: Nếu hốn vị vịng quanh a, b, c, thì A khơng thay đổi. Thay a=b vào A ta có:
A = 0 + bc(b – c) + cb(c – b) = 0

Do đó A ⋮ (a – b)

Suy ra A ⋮ (b – c) và A ⋮ (c – a). Từ đó :
A ⋮ (a – b)(b – c)(c – a)

Mặt khác A là đa thức bậc ba đối với a, b, c, nên trong phép chia A cho
(a – b)(b – c)(c – a) thơng là hằng số k, nghĩa là :

A = k(a – b)(b – c)(c – a)

Cho a = 1; b = 0; c = 1 ta đợc 2 = -2k hay k = - 1
A = -1(a – b)(b – c)(c – a)

= (a – b)(b – c)(a – c)

Bµi 57: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3)

Gi¶i:

Nhận xét: Nếu hốn vị vịng quanh x, y, z thì P khơng thay đổi. Thay z = y vào P ta có:
P = 0 + z(z3- x3) + z(x3 –z3) = 0

Do đó : P ⋮ (y – z)

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Mặt khác P là đa thức bậc ba đối với x, y, z nên trong phép chia P cho
(y – z)(z – x)(z – x)đợc thơng là hằng số k, nghĩa là :

P = k(y – z)(z – x)(z – x)
Cho : x = 2; y = 1; z = 0, ta đợc :

2.13 + 1.(-2)3 + 0 = k.1.(-2)

- 6 = - 2k
k = 3

VËy P = 3(y – z)(z – x)(z – x)

Hay x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) = 3(y – z)(z – x)(z – x)

Bài 58: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư

M = a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2 + (a + b – c)(b +c – a)(c +a – b)

Giải: Nếu hốn vị vịng quanh a, b, c, thì M khơng thay đổi.
Thay a = 0 vào M ta có :

M = 0 + b(c – b)2 + c(b – c)2 + (b – c)(b + c)(c – b) = 0

Do đó M ⋮ a

Suy ra M ⋮ b và M ⋮ c. Từ đó :
M ⋮ abc

Mặt khác M là đa thức bậc ba đối với a, b, c nên trong phép chia M cho abc thơng là hằng
số k, nghĩa là :

M = k.abc

Cho a = b = c = 1, ta đợc :

1.12 + 1.12 + 1.12 + 1.1.1 = k.1.1.1

k = 4
VËy M = 4.abc

Hay: a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2+ (a +b – c)(b +c – a)(c +a b) =

4abc

phần iI-BấT ĐẳNG THứC, GTNN-GTLN

I.BT NG THC Cễ - SI VÀ CÁC HỆ QUẢ
A.Một số ví dụ:

1. Chứnh minh : (Với a , b  0) (BĐT Cô-si)

Giải:

( a - b ) = a - 2ab + b  0  a + b  2ab .Đẳng thức xảy ra khi a = b

2. Chứng minh: . (Với a , b  0)

Giải:

( a+b ) = (a - 2ab + b )+ 4ab = (a-b) + 4ab  0 + 4ab  ( a + b )  4ab

.Đẳng thức xảy ra khi a = b.

3. Chứng minh: (Với a , b  0)

Giải:

2(a + b) - ( a+b ) = a-2ab+b = (a-b)  0  2(a + b)  ( a+b ). Đẳng thức

xảy ra khi a = b.

4. Chứng minh: .(Với a.b > 0)

Giải:

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

5. Chứng minh: .(Với a.b < 0)

Giải:

+ = - .Do  2  -  -2. Hay +  - 2. Đẳng thức xảy ra khi a = -b.

6. Chứng minh: . (Với a , b > 0)

Giải:

+ - = =  0  +  . Đẳng thức xảy ra khi a = b.

7. Chứng minh rằng: .

Giải:

2(a +b +c) - 2(ab+bc+ca) =(a-b) +(b-c) +(c-a)  0

 2(a +b +c)  2(ab+bc+ca) .Hay a +b +c  ab+bc+ca . Đẳng thức xảy

ra khi a = b;b = c;c = a  a = b= c.

 A B  A B 0

 Cần lưu ý tính chất: A2≥0

 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = 0

 Có thể nhân hai vế bất đẳng thức với một số khác 0 thích hợp

B.Bài tập vận dụng:

Chứng minh các bất đẳng thức sau

1. a2 + 4b2 + 4c2 4ab - 4ac + 8bc

2. a2

+b2+c2+d2+e2≥ a(b+c+d+e)

3. (x −1)(x −3) (x −4)(x −6)+10≥1

4. a2 + 4b2 + 3c2 > 2a + 12b + 6c – 14

5. 10a2 + 5b2 +12ab + 4a - 6b + 13 0

6. a2 + 9b2 + c2 + 19

2 > 2a + 12b + 4c

7. a2 – 4ab + 5b2 – 2b + 5 4

8. x2 – xy + y2 0

9. x2 + xy + y2 -3x – 3y + 3 0

10. x2 + xy + y2 -5x - 4y + 7 0

11. x4 + x3y + xy3 +y4 0

12. x5 + x4y + xy4 +y5 0 với x + y 0

13. a4 + b4 +c4 a2b2 + b2c2 + c2a2

14. (a2 + b2).(a2 + 1) 4a2b

15. ac +bd bc + ad với ( a b ; c d )

16. a2+2b2≥

(

a+b
2

)

17. a2+b32+c2≥

(

a+b+c
3

)

18. ab+b

c+
c
a≤

b
a+

a
c+

c

b (với a b  c > 0)

19. a+b ≥12 ab

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

20. bca + b

ca+
c
ab ≥

1
a+

b+

c (Với a,b,c > 0)

===========o0o===========
HƯỚNG DẪN:

Bài 1: Gọi VT của bất đẳng thức là A và VP của bất đẳng thức là B (Nếu
khơng nói gì thêm qui ước này được dùng cho các bài tập khác).Với
các BĐT có dấu

 

;

thì cần tìm điều kiện của các biến để đẳng
thức xảy ra.

A – B = (a+2c −2b)2

Bài 2: 4A – 4B = (a −2b)2+(a−2c)2+(a−2d)2+(a−2e)2

Bài 3: A – 1 = (x −1)(x −3) (x −4)(x −6)+9 = (Y+3)2

Bài 4: A – B = (a −1)2+(2b −3)2+3(c −1)2+1

Bài 5: A = ( a – 1)2 + (3a – 2b)2 + (b + 3)2

Bài 6: A–B = ( a – 1)2 +(3b – 2)2 + (c - 2)2 + 1

Bài 7: A – B = (a −2b)2+(b −1)2

Bài 8: x2 – xy + y2 =

(

x − y
2

)

2
+3y

Bài 9: .x2 – xy + y2 -3x – 3y + 3 =

(x −1)2−(x −1) (y −1)+(y −1)2 .
Biến đổi tiếp như bài 8

Bài 10: Tương tự bài 9

Bài 11: x4 + x3y + xy3 +y4 = (

x2−xy+y2)(x+y)2

Bài 12: Tương tự bài 11

Bài 13: Xem ví dụ 7

Bài 14: A – B = (a2 + b2).(a2 + 1) - 4a2b

Bài 15: A - B = ac + bd - bc - ad với ( a b ; c d )

= (c − d) (a −b)

Bài 16: A - B = 2(a2

+b2)−(a+b)2

4 .

Bài 17: Xem bài tập 16

Bài 18: A - B = (a-c)(b-a)( .

(Với a b c 0)

Bài 19: A - B = b(a −3)2+a(b −3)2

9+ab
( Với a,b > 0)

Bài 20: A - B = (ab−bc)2+(bc−ac)2+(ac−ab)2

abc

(Với a,b,c > 0)

===========o0o===========

II- TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
 I: DẠNG

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

--- Nếu a > 0 :

2
2

2 4ac-b

ax + bx +c =

4a 2

b

P a x

a

 

    

  Suy ra

4ac-b
=

MinP

Khi

x=-2a

 Nếu a < 0 :

2
2

2 4 a c+b

ax + bx +c =

4 a 2

b

P a x

a

 

    

 

Suy ra

2
4 a c+b
ax

4 a

M P

Khi
b
x=

2 a

Một số ví dụ:
1. Tìm GTNN của A = 2x2 + 5x + 7

Giải:A = 2x2 + 5x + 7 =

2 5 25 25

2( 2. ) 7

4 16 16

x  x  

2 2 2

5 25 56 25 5 31 5
2( ) 7 2( ) 2( )

4 8 8 4 8 4

x  x x

         

.
Suy ra

31 5

8 4

MinA Khi x
.

2. Tìm GTLN của A = -2x2 + 5x + 7

Giải: A = -2x2 + 5x + 7 =

-2 5 25 25

2( 2. ) 7

4 16 16

x  x  
=

2 2 2

5 25 56 25 5 81 5

2( ) 7 2( ) 2( )

4 8 8 4 8 4

x  x x

         

 .

Suy ra

81 5

8 4

MinA Khi x

3. Tìm GTNN của B = 3x + y - 8x + 2xy + 16.

Giải: B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) + 8  8.

 MinB = 8 khi :  .

4. Tìm GTLN của C = -3x - y + 8x - 2xy + 2.

Giải: C = -3x - y + 8x - 2xy + 2 = 10 -  10.

 GTLNC = 10 khi:  .

BÀI TẬP:
5. Tìm GTNN A=x2−5x+2008

6. Tìm GTLN B = 1 + 3x - x2

7. Tìm GTLN D = 2007− x2−5x

8. Tìm GTNN của F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1.

9. Tìm GTNN của G = x4−10x3

+25x2+12

10.Tìm GTNN của M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y.

11.Tìm GTNN C = (3x −1)2−4|3x −1|+5

12. Tìm GTNN của N = (x +1) + ( x - 3)

13.Tìm GTNN của K = x + y - xy +x + y

HƯỚNG DẪN

5. A = x - 5x + 2008 = (x - 2,5)2 + 2001,75 
 MinA = 2001,75 khi x = 2,5

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

7. D = 2007 - x - 5x = 2004,5 - ( x + 2,5)2

8. F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 = (x +x+1) = .

9. G = x - 10x +25x + 12 = x(x - 5) + 12

10. M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y = (x - y + 1) + (y - 4) -16.

11.C = (3x −1)2−4|3x −1|+5

* Nếu x  . C = (3x - 3) + 1

* Nếu x < .C = (3x + 1) + 6

12. N = (x +1) + ( x - 3) = 2(x- 1) + 8

13. K = x + y - xy +x + y = ( x - y) + (x + 1) + (y + 1) - 1.

* Một trong những phương pháp thường dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để

chứng minh một bất đẳng thức khác.Tuy nhiên khi sử dụng ,ngồi hai bất đẳng thức Cơ-si
và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski

. Các bất đẳng thức khác khi sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để
tiện theo dõi, tôi sẽ liệt kê các bất đẳng thức vào dưới đây.

1. a2+b2≥2 ab (a,b>0). (BĐT Cô-si)
2. (a+b)2≥4 ab

3. 2(a2+b2)≥(a+b)2
4. ab+b

a≥2;a , b>0

5. 1a+1

b≥
4

a+b;a ,b>0
6. a2

+b2+c2≥ab+bc+ca

7. (ax+by)2≤(a2+b2) (x2+y2) ( Bu nhi a cop xki)
8. a2

x +
b2

y≥

(a+b)2

x+y
9. a2

x +
b2

y+
c2

z ≥

(a+b+c)2

x+y+z

Ví dụ 9:Chứng minh abc +bc

a +
ca

b ≥ a+b+c (Với a,b,c > 0)

Giải:2A - 2B = 2ab
c +2

a +2

b −2a−2b −2c

= a

(

b
c+

c

b−2

)

+b

(

a
c+

c

a−2

)

+c

(

b
a+

a
b−2

)

Áp dụng bất đẳng thức ab+b

a≥2;a , b>0 .Ta có:2A - 2B a(2−2)+b(2−2)+c(2−2)≥0 .Vậy

A B.Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0

Ví dụ 10: Cho các số dương x , y thoả mãn x + y = 1. Chứng minh rằng : xy1 + 2

x2

+y2≥8 .
Giải: xy1 + 2

x2

+y2=

2
2 xy+

2
x2

+y2=2

(

1
2 xy+

1
x2

+y2

)

≥2

4
x2

+2 xy+y2

¿ 8

(x+y)2=8 .Đẳng thức xảy ra khi x=y=

1
2

Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức : a2

b2+
b2
c2+

c2
a2≥

a
c+
c
b+
b
a

Giải: a2

b2+

b2

c2≥2

a
b.

b
c=2.

a
c ;

b2
c2+

c2
a2≥2 .

b
c .

c
a=2 .

b
a ;

c2
a2+

a2

b2≥2 .

c
a.

a
b=2 .

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:

(

a

b2+

b2

c2+

c2

a2

)

≥2

(

a
c+
c
b+
b
a

)

⇒a2

b2+
b2
c2+

c2
a2≥

a
c+
c
b+
b
a

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c..

Bài tập:

1. Cho a,b,c là 3 số dương.Chứng minh rằng (a+b+c)

(

a+
1
b+

1
c

)

≥9

2. Cho các số dương a,b,c biết a.b.c = 1. Chứng minh rằng: (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8

3. Cho các số a,b biết a + b = 1. Chứng minh rằng

a) a + b  b) a + b 

4. Cho 3 số dương a,b,c và a + b + c = 1. Chứng minh: + +  9

5. Cho x , y , z  0và x + y + z  3 . Chứng minh rằng:

+ +   + +

6. Cho 2 số dương a , b có tổng bằng 1 .Chứng minh rằng
a. +  6

b. +  14

7. Cho 2 số dương a , b có tổng bằng 1 .Chứng minh rằng
(a + ) + (b + ) 

8. Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi a,b,c>0

1
a+3b+

1
b+3c+

1
c+3a≥

1
a+2b+c+

1
b+2c+a+

1
c+2a+b,

9. Cho a,b,c là 3 số dương.

Chứng minh :  a

bc+
b
ac+
c
ab ≥
1
a+
1
b+
1
c .

10. Cho a,b,c là 3 số dương.
Chứng minh rằng : a2

b+c+

b2

a+c+

c2

b+a≥

a+b+c

2 .

11. Chứng minh: a + b  với a + b  1

12. Chứng minh: ba
+c+

b
c+a+

c
a+b≥

2 Với a,b,c > 0

13. Chứng minh: a4+b4+c4≥abc(a+b+c)

14. Bài 28: Cho x ≥0; y ≥0; z ≥0;

Chứng minh rằng :(x + y).(y + z).(z + x)  8xyz

15. Cho A = n1
+1+

n+2+.. .+

1
2n+1+

2n+2+. ..+

3n+1 Chứng minh rằng A>1

HƯỚNG DẪN:

1. A = 3+

(

a

b+
b
a

)

(

a
c+

c
a

)

(

b
c+

c

a

)

≥3+2+2+2=9

2. Áp dụng (a + 1)  2a

3. a) A - B = a + b - =2( a + b) - (a + b)  0.

b) Áp dụng câu a.

4. Xem bài 1

5. + +  + + = + + = .

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

6. A = + = ( + ) +  + = 6 ( vì 2ab  (a+b) )

B = + = 3( +) +

7. (a + ) + + (b + ) + = +  5(a + ) + 5(b + )

= 5( a + b) + 5( + )  5( a + b) + 5. = 25

Suy ra: (a + ) + (b + ) 
8. +  ; +  ; + 

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta được Đpcm

9. Ta có: + = ( + )  2.

 b

ac +
c
ab=

1
a

(



b
c+

c
b

)

≥2 .

1
a

 c

ab+
a

bc=

1
b

(



c
a+

a
c

)

≥2.

1
b

Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được đpcm. Đẳng thức xáy ra khi và chỉ khi a = b =
c.(Hãy kiểm tra lại)

10.Áp dụng BĐT a2

x +
b2

y+
c2

z ≥

(a+b+c)2

x+y+z

11. a + b  ( a + b )  

12. ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) = + +

= (a+b+c) ( + + )  (a+b+c) . = Suy ra:
a

b+c+

b
c+a+

c
a+b≥

3
2

13.Áp dụng BĐT ở ví dụ 6 cho 3 số a4+b4+c4 rồi tiếp tục áp dụng lần nửa cho 3 số

a2b2 + b2c2 + c2a2 ta có đpcm.

14.Áp dụng BĐT (x+y)2≥4 xy .Nhân từng thừa số của 3 BĐT suy ra ĐPCM

15.A có 2n + 1 số hạng (Kiểm tra lại !).Áp dụng BĐT 1a+1

b≥
4

a+b;a ,b>0 Với từng
cặp số hạng thích hợp sẽ có đpcm

IV- GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

I.Dạng: Tìm GTLN A =  Tìm GTNN của ax2 + bx +c

Ví dụ: Tìm Max của A = 5

x2−2x −5

Giải: B = x2 - 2x - 5 = (x - 1)2 - 6  MinB = -6 khi x = 1 MaxA = - 
khi x = 1.

II.Dạng: Tìm GTLN(GTNN) A =  Tìm GTNN(GTLN) của

Ví dụ: Tìm GTNN của B =

Giải: B = 1 - .Đặt C =  = (x + ) + 2  4  Min = 4 khi x = 1. 

MaxC =  MinB = khi x = 1.

Tìm GTNN của các biểu thức sau:

1. với x > 0

2. với x > -2

3. x -x + 4 +

4.
5.

6. x2−4x+1

x2

7. 4x

−6x+1
(2x −1)2

8. 2x2−16x+41

x2−8x
+22

9. x

6
+512

x2+8

10. 3

− x2

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

11. 3x2

x2
+1

Tìm GTLN của các biểu thức sau:

1.
2.

3. 3

x2+3x+1

4.

5. x

(x+2008)2

6. I = (Với x ≠ 0)

DẠNG :Có mối quan hệ giữa các biến

1. Cho 3x + y = 1

a.Tìm GTNN của A = 3x + y
b.Tìm GTLN của B = xy

2. Cho a , b > 0 và a + b = 1 .Tìm

GTNN của C = (1+ ) + (1 + )

3. Tìm GTLN của các Biểu thức:
a.D = 2x(16 - 2x) với 0 < x < 8
b. E = với x > 0; y > 0; x + y = 10.

4. Cho x + 2y = 1.Tìm GTNN của x2 + 
2y2

5. Cho 4x - 3y = 7.

Tìm GTNN của 2x2 + 5y2

6. Cho xy = 1 Tìm GTNN của |x+y|

7. Cho : 7x2 + 8xy + 7y2 = 10. 
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn
nhất của : x2 + y2

8. Cho x và y là các số nguyên dương
thoả mãn : x + y = 2009 .
Tìm GTNN và GTLN của A = x.y

9. Tìm GTNN của P = x + y + x + y
với x + y = 1.

10.Tìm GTLN của Q = xy +yz + zx
Với x + y + z = 3.

11. Cho x + 2y = 3.

Tìm GTNN của R = x + 2y

12. Cho x + 2 + z = 3. Tìm GTNN
của H = x + y + z + xy +yz + zx

Tìm GTNN và GTLNcủa các biểu thức sau:

1.
2.

3. A=27−12x

x2+9

4. B=8x+3

4x2+1

5. C=2x+1

x2+2

6. D=3x
2−2x

x2+1

7. E=4x+1

x2
+5

12. = 17 + 4x +

13. =

14.x -x + 4 +

15.
16.

17. x2−4x+1

x2

18. 4x

2−6x
+1
(2x −1)2

19. 2x2−16x+41

x2−8x
+22

20. x6+512

x2+8

21. 3

− x2

+2x −4

22. 3x2

x2+1

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Bài 7: Tìm GTNN của các biểu thức
1. A=2x2+y2−2 xy−2x+3

2. B=x2−2 xy+2y2+2x −10y+17
3. C=x2−xy+y2−2x −2y

4. D=x2+xy+y2−3x −3y
5. E=2x2+2 xy+5y2−8x −22y
6. F=2x2+y2−2 xy−2x+7
7. G=x2+y2+z2−2x −2y −2z+3
8. H=x2+y2+z2−xy−yz−zx

Bài 8:

4. Cho x + 2y = 1. Tìm GTNN của x2 + 2y2
HD: Viết (x + 2y )2 = (x.1 +

√2y.√2 )2

5. Cho 4x - 3y = 7. Tìm GTNN của 2x2 + 
5y2

HD: Viết :4x - 3y = ( √2x. 4

√2+√5y.

(

−3

√5

)

6. Cho xy = 1 Tìm GTNN của |x+y|

HD: (x + y)2 2xy ⇒ |x+y|≥2

7. Cho : 7x2 + 8xy + 7y2 = 10. Tìm giá trị nhỏ
nhất và giá trị lớn nhất của : x2 + y2

HD: 7(x2 + y2 ) = 10 - 8xy 10 -4(x2 + y2 ) 
⇒ 11(x2 + y2 ) 10 ⇒ Min (x2 + y2 ) = 
10/11

8. Cho x và y là các số nguyên dương thoả
mãn :

x + y = 2009 .Tìm GTNN và GTLN của
A = x.y

HD:4xy = (x + y)2 -(x - y)2 = 20092 - (x - y)2 .
*xy lớn nhất khi và chỉ khi (x - y) = 1

*xy nhỏ nhất khi và chỉ khi (x - y) ln nht

phần IIi-PHƯƠNG PHáP gi i phƯƠng trinh vÔ ta i

1. Phng phỏp nõng lờn lũy thừa

a) Dạng 1: f (x) g(x) 

g(x) 0
f (x) [g(x)]








Ví dụ. Giải phương trình: x 1 x 1   (1)

Giải: (1) 

x 1 x 1 x 1

x 3

x 3x 0

x 1 x 1

 

   



 

  


 

  

  



Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 3

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Ví dụ. Giải phương trình: x 3 5   x 2 (2)
Giải. Với điều kiện x ≥ 2. Ta có:

(2)  x 3  x 2 5 

 2x 1 2 (x 3)(x 2) 25    

 (x 3)(x 2) 12 x   

 2 2

2 x 12 2 x 12

x 6
25x 150

x x 6 144 x 24x

   

 

  

 



     



Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 6
c) Dạng 3: f (x) g(x)  h(x)

Ví dụ. Giải phương trình: x 1  x 7  12 x (3)
Giải: Với điều kiện 7 ≤ x ≤ 12. Ta có:

(3)  x 1  12 x  x 7
 x 1 5 2 (12 x)(x 7)    

 2 19x x 2 84 x 4

 4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16
 76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 = 0
 5x2 – 84x + 352 = 0









2 2

84 352 42 1764 1764 352

5 x x 5 x 2 x

5 5 5 25 25 5

42 4 44

5 x 5 5 x 8 x (x 8) 5x 44

5 25 5

   

       

   

   

   

            

   

 x1 =
44

5 ; x2 = 8

Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm x1 =
44

5 ; x2 = 8

d) Dạng 4: f (x) g(x) h(x) k(x)

Ví dụ. Giải phương trình: x x 1  x 4  x 9 0  (4)
Giải: Với điều kiện x ≥ 4. Ta có:

(4)  x 9  x  x 1  x 4

 2x 9 2 x(x 9) 2x 5 2 (x 4)(x 1)       

 7 x(x 9)  (x 1)(x 4) 



2 2

49 x 9x 14 x(x 9)  x  5x 4

 45 + 14x + 14 x(x 9) = 0

Với x ≥ 4  vế trái của phương trình ln là một số dương  phương trình vơ nghiệm
2) Phương pháp trị tuyệt đối hóa

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Với điều kiện x ≤ 8. Ta có:
(1)  |x – 2| = 8 – x

– Nếu x < 2: (1)  2 – x = 8 – x (vô nghiệm)

– Nếu 2 ≤ x ≤ 8: (1)  x – 2 = 8 – x  x = 5

HD: Đáp số: x = 5.

Ví dụ 2. Giải phương trình x 2 2 x 1    x 10 6 x 1   2 x 2 2 x 1   (2)
Giải: (2)  x 1 2 x 1 1     x 1 2.3 x 1 9 2 x 1 2 x 1 1        

 x 1 1 | x 1 3 | 2.| x 1 1|       

Đặt y = x 1 (y ≥ 0)  phương trình đã cho trở thành:

y 1 | y 3 | 2 | y 1|    

– Nếu 0 ≤ y < 1: y + 1 + 3 – y = 2 – 2y  y = –1 (loại)

– Nếu 1 ≤ y ≤ 3: y + 1 + 3 – y = 2y – 2  y = 3

– Nếu y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiệm)
Với y = 3  x + 1 = 9  x = 8

Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm là x = 8

3) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức

a) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, khi đó phương trình vơ nghiệm

Ví dụ 1. Giải phương trình x 1  5x 1  3x 2
Cách 1. điều kiện x ≥ 1

Với x ≥ 1 thì: Vế trái: x 1  5x 1  vế trái luôn âm

Vế phải: 3x 2 ≥ 1  vế phải ln dương
Vậy: phương trình đã cho vơ nghiệm

Cách 2. Với x ≥ 1, ta có:
x 1  5x 1  3x 2

 x 1 8x 3 2 (5x 1)(3x 2)     

 2 7x 2 (5x 1)(3x 2)   

Vế trái luôn là một số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥ 1  phương trình vơ nghiệm
b) Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế

Ví dụ 2. Giải phương trình: 3x26x 7  5x210x 14 4 2x x    2 (1)

Giải: Ta có (1) 

2 4 2 9 2

3 x 2x 1 5 x 2x 1 (x 2x 1) 5

3 5

   

          

   

   



2 2 2

3(x 1) 4 5(x 1) 9 5 (x 1)  

Ta có: Vế trái ≥ 4 9 2 3 5   . Dấu “=” xảy ra  x = –1

Vế phải ≤ 5. Dấu “=” xảy ra  x = –1

Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1

c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm sớ (tìm mợt nghiệm, chứng minh nghiệm đó là duy
nhất)

Ví dụ 1. Giải phương trình:

x 7

8 2x 2x 1

x 1


   

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Giải: điều kiện x ≥
1
2

Dễ thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình
– Nếu

x 2

2  : VT =

1 8 8 3

x 1

   

 . Mà: VP > 8 3
– Nếu x > 2: VP = 2x2 + 2x 1 > 2.22 + 3 = 8 3. VT < 8 3

x 2 x 1 2 1

6 6

1 1 3

x 1 2 1

    

   

 

Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2

Ví dụ 2. Giải phương trình: 3x2  7x 3  x2  2  3x2  5x 1  x2  3x 4

Giải: Thử với x = 2. Ta có:

2 2 2

3.4 7.2 3 2 2 3.2 5.2 1 2 3.2 4

1 2 3 6

         

   

(1)  (3x2  5x 1) 2(x 2)    (x2  2) 3(x 2)   3x2  5x 1  x2  2

Nếu x > 2: VT < VP
Nếu x < 2: VT > VP

Vậy: x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ 3. Giải phương trình:

6 8

6
3 x  2 x 
Giải : ĐK: x < 2. Bằng cách thử, ta thấy x =

2 là nghiệm của phương trình. Ta cần chứng
minh đó là nghiệm duy nhất. Thật vậy: Với x <

3
2:

6
2

3 x  và 
8

4
2 x  

6 8

6
3 x  2 x  .

Tương tự với
3

2 < x < 2:

6 8

6
3 x  2 x 

Ví dụ 4. Giải phương trình: 3x(2 9x2 3) (4x 2)(1   1 x x ) 0  2  (1)

Giải : (1)









2 2

3x 2 (3x) 3 (2x 1) 2 (2x 1) 3 0

        









3x 2 (3x) 3 (2x 1) 2 (2x 1) 3

       

Nếu 3x = –(2x + 1)  x =

1
5


thì các biểu thức trong căn ở hai vế bằng nhau. Vậy x
=

1
5


là một nghiệm của phương trình. Hơn nữa nghiệm của (1) nằm trong khoảng

; 0
2

 



 

 . Ta chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Với

1 1

2 5

   

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

 (3x)2 > (2x + 1)2  2 (3x)2 3 2  (2x 1) 2 3

Suy ra:









2 2

3x 2 (3x) 3 (2x 1) 2  (2x 1) 3 0

 (1) khơng có nghiệm trong

khoảng này. Chứng minh tương tự, ta cũng đi đến kết luận (1) khơng có nghiệm khi

1 1

2 5

   

d) Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức khơng chặt

Ví dụ. Giải phương trình

x 4x 1

2
x

4x 1



 


Giải: điều kiện

1
x

4


Áp dụng bất đẳng thức
a b

b a  với ab > 0
Với điều kiện

x x 4x 1 0

   

. Nên:

x 4x 1

2
x

4x 1



 

 . Dấu “=” xảy ra  x 4x 1  x2 4x 1 0 
 x2 4x 4 3 0   (x 2) 2  3 x 2  3 x 2  3

4. Phương pháp đưa về phương trình tích

Ví dụ 1. Giải phương trình: 2x 1  x 2  x 3

Giải. ĐK: x ≥ 2. Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + 3. Do đó, nhân lượng liên hợp vào hai
vế của phương trình:

(x 3)( 2x 1   x 2 1) 0   

x 3 0

2x 1 x 2 1
 




   

  PT vơ nghiệm

Ví dụ 2. Giải phương trình: x 1 2(x 1) x 1      1 x 3 1 x   2 (1)

Giải. ĐK: | x | ≤ 1: (1) 



x 1  1 x 2 x 1

 

  1 x 1 



0

 x1 = 0; x2 =
24
25


Ví dụ 3. Giải phương trình: x 1  x3 x2 x 1 1   x4 1 (1)
Giải. Chú ý: x4 – 1 = (x – 1)(x3 + x2 + x + 1).

(1) 









3 2

x 1 1 1   x x x 1 0

 x = 2
5) Phương pháp đặt ẩn phụ

a) Sử dụng một ẩn phụ

Ví dụ 1. Giải phương trình: x2  x 1 1  (1)

Giải. Đặt x 1 = y (y ≥ 0)

y2 = x + 1  x = y2 – 1  x2 = (y2 – 1)2

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Từ đó suy ra tập nghiệm của phương trình là:

1 5

0; 1;
2

  

 



 

 

 

Ví dụ 2. Giải phương trình:





x 1 1  2 x 1 2 x  
(1)
HD: ĐK: x ≥ 1. Đặt x 1 1  = y

(1) 



 



3 2

x 1 1   x 1 1   2 0

 y3 + y2 – 2 = 0

 (y – 1)(y2 + 2y + 2) = 0  y = 1  x = 1

b) Sử dụng hai ẩn phụ

Ví dụ 1. Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 x3 1 (3)

Giải. Đặt u = x 1 , v = x2  x 1 (ĐK: x ≥ 1, u ≥ 0, v ≥ 0). Khi đó:
u2 = x + 1, v2 = x2 – x + 1, u2v2 = x3 + 1.

 (3)  2(u2 + v2) = 5uv  (2u  v)(u  2v)

= 0

Giải ra, xác định x. Kết quả là: x 

5 37 5 37

;

2 2

   

 

 

 

 

Ví dụ 2. Giải phương trình:









x 5  x 2 1  x 7x 10 3
(1)
Giải. ĐK: x ≥ –2. (1) 



x 5  x 2 1

 

 (x 5)(x 2) 



3

Đặt: x 5 = u, x 2 = v (u, v ≥ 0) u2 – v2 = 3. (1)

 (a – b)(1 + ab) = a2 – b2
 (a – b)(1 – a + ab – b) = 0  (a – b)(1 – a)(1 – b) = 0

Giải ra: x = –1 là nghiệm duy nhất

Ví dụ 3. Giải phương trình: x 1  3x 2x 1 (1)

Giải. ĐK: x ≥ 0. Đặt x 1 = u, 3x = v (u, v ≥ 0): (1)  b – a = a2 – b2  (a – b)(a + b +
1) = 0

Mà a + b + 1 > 0  a = b  x =

2 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Ví dụ 4. Giải phương trình:

4 1 5

x x 2x

x   x    x (1)
Giải. Đặt

1
x

x


= u,

5
2x

x


= v (u, v ≥ 0)
(1) 

1 5 1 5

x 2x x 2x 0

x x x x

   

          

   

   u – (v2 – u2) – v = 0

 (u – v)(1 + u + v) = 0. Vì 1 + u + b > 0 nên: u = v. Giải ra ta được: x = 2
c) Sử dụng ba ẩn phụ

Ví dụ 1 Giải phương trình: x2 3x 2  x 3  x 2  x2 2x 3 (1)

Giải. ĐK: x ≥ 2. (1)  (x 1)(x 2)   x 3  x 2  (x x)(x 3) 

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

 a = 1 hoặc b = c. Thay ngược trở lại ta được x = 2 là nghiệm duy nhất của phương

trình

Ví dụ 2. Giải phương trình : x 2 x. 3 x   3 x. 5 x   2 x. 5 x 
Giải. Đặt : u 2 x ; v 3 x ; t 5 x (u ; v ; t ≥ 0)

 x = 2 − u2 = 3 − v2 = 5 − t2 = uv + vt + tu

Từ đó ta có hệ:

(u v)(u t) 2 (1)
(v u)(v t) 3 (2)

(t u)(t v) 5 (3)

  


  

   


Nhân từng vế của (1), (2), (3) ta có : [ (u + v)(v + t)(t + u) ]2 = 30 
Vì u ; v ; t ≥ 0 nên: (u v)(v t)(t u)    30 (4)

Kết hợp (4) với lần lượt (1) ; (2) ; (3) dẫn đến:
30

v t (5)
2
30

u t (6)
3

30
u v (7)

5

 





 



 




Cộng từng vế của (5) ; (6) ; (7) ta có:

31 30 31 30

2(u v t) u v t

30 60

      

(8)
Kết hợp (8) với lần lượt (5) ; (6) ; (7) ta có:

2
30

u
60

11 30 30 239
v x 2

60 60 120
19 30
t
60




  

      
  
 







d) Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ phương trình

Ví dụ 1. Giải phương trình x 1  2x 1 5 

Cách 1: Giải tương tự bài 1. Ta được x = 5

Cách 2: Đặt x 1 u 0   và 2x 1 v  . Ta có hệ: 2 2

u v 5
v 2u 1

 


 
 
u 2
u 12


 

  x = 5.
Ví dụ 2Giải phương trình: 8 x  5 x 5

Giải. ĐK: 0 ≤ x ≤ 25. Đặt 8 x = u , 5 x v (u, v ≥ 0):

 2 2

u v 5
u v 13

 




 



u 2 u=3
v
v 3 v=2



 

  



  Giải ra ta có x = 1 là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 3. Giải phương trình: 25 x 2  9 x 2 2

Giải. ĐK: –3 ≤ x ≤ 3: Đặt 25 x 2 = u, 9 x 2 = v (u, v ≥ 0)

 2 2

u v 2
u v 16

 




 

 

u v 2 u 5

u v 8 v 3

  

 



 

  

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Giải. ĐK: – 4 ≤ x ≤ 1. Đặt 1 x u ; 4 x v (u, v ≥ 0)

 2 2

u v 3

u v 5

 




 

 

x 0

x 3









Ví dụ 5. Giải phương trình: 2 x  2 x  4 x 2 2
Giải. ĐK: –2 ≤ x ≤ 2: Đặt 2 x u, 2 x v (u, v ≥ 0) 

(u v) 2uv 4
(u v) uv 2

   



  



Giải ra ta được: (a, b) = {(0 ; 2), (2 ; 0)}. Từ đó thế ngược trở lại: x = ±2
Ví dụ 6. Giải phương trình: 497 x 4 x 5 (1)

Giải. Đặt 4 97 x = u, 4 x = v (u, v ≥ 0)

 (1)  4 4

u v 5 u 2 u 3 x 81

v 3 v 2 x 16

u v 97

    

   

  

      

    



Ví dụ 7. Giải phương trình:3x 3 2x 3 312(x 1)
Giải. Đặt 3 x u, 2x 33  v (1)

 u v 3 4(u3v )3  u3v33uv(u v) 4(u  3v )3

2 2 2 u v

3.(u v).(u 2uv v ) 0 3.(u v).(u v) 0

u v



          



</div>

Chuyen de DAI SO PHAN I

<b>phần i-PHƯƠNG PHáP PHÂN TíCH CáC ĐA THứC THàNH NHÂN Tử</b>

√

√

[

]

<b>phần iI-BấT ĐẳNG THứC, GTNN-GTLN</b>

(

)

(

)

 

;

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)



































 

















 













 



Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về