De tai Tim GTLN va GTNN

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>MỤC LỤC</b>

A. PHẦN MỞ ĐẦU...2

<i>I. Lí do chọn đề tài :</i>...2

<i>II. Mục đích nghiên cứu của đề tài</i>...3

III. Phạm vi nghiên cứu- Đối tượng nghiên cứu :...4

IV. Các phương pháp nghiên cứu và tiến hành :...4

<i>1. Phương pháp nghiên cứu :</i>...4

<i>2.Phương pháp tiến hành :</i>...4

B- NỘI DUNG ĐỀ TÀI...4

I/ Cơ sở lý luận:...4

II/ Tình hình thực tế...5

III/ Nội dung và phương pháp tiến hành...5

1.Các khái niệm :...5

2. Các phép biến đổi đại số:...8

3. Giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất(GTNN):...16

4. Bài soạn:...24

4. Kết quả...26

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

A. PHẦN MỞ ĐẦU

<i>I. Lí do chọn đề tài : </i>

Tốn học là mơn học có ứng dụng trong hầu hết trong tất cả các
ngành khoa học tự nhiên cũng như trong các lĩnh vực khác của đời sống xã
hội.

Vì vậy tốn học có vị trí đặc biệt trong việc phát triển và nâng cao
dân trí .Tốn học không chỉ cung cấp cho học sinh (người học )những kiến
thức cơ bản,những kĩ năng tính tốn cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu
rèn luyện kĩ năng tư duy logic,một phương pháp luận khoa học .

Trong việc dạy học tốn thì việc tìm ra phương pháp dạy học và giải
bài tập tốn địi hỏi người giáo viên phải chọn lọc hệ thống, sử dụng đúng
phương pháp dạy học góp phần hình thành và phát triển tư duy của học
sinh .Đồng thời thơng qua việc học tốn học sinh được bồi dưỡng và rèn
luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để tiếp cận kiến thức mới,
đặc biệt là phần “Biểu thức đại số ” ở THCS.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

dẫn đến học sinh khi mới gặp bài toán về “Biểu thức đại số ” là lúng túng
hoặc chưa biết cách giải hoặc giải được nhưng chưa chặt chẽ mà cịn mắc
nhiều sai lầm về tìm tập xác định, khi nâng lên luỹ thừa, đưa biểu thức ra
ngồi dấu giá trị tuyệt đối … .

Vì vậy phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai
thác dạy học “Biểu thức đại số ” là cần thiết cho nên tơi xin được trình bày
một phần nhỏ để khắc phục tình trạng trên, góp phần nâng cao chất lượng

học mơn tốn của học sinh ở trường THCS.

<i>II. Mục đích nghiên cứu của đề tài </i>

- Trang bị cho học sinh một số kiến thức về “Biểu thức đại số ” nhằm
nâng cao năng lực học mơn tốn,giúp các em tiếp thu bài một cách chủ
động sáng tạo và là công cụ giải quyết những bài tập có liên quan đến
“Biểu thức đại số ” .

- Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK , sách tham
khảo giúp học sinh giải được một số bài tập .

- Giải đáp được những thắc mắc, sữa chữa được những sai lầm hay gặp
khi học về “Biểu thức đại số ” trong quá trình dạy học .

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i><b>III. Phạm vi nghiên cứu- Đối tượng nghiên cứu :</b></i>

- Phát triển năng lực, tư duy của học sinh thơng qua các bài tốn về
biểu thức đại số đối với chương trình tốn lớp 7 -THCS.

- Đề tài áp dụng đối với học sinh lớp 7 -THCS

<i><b>IV. Các phương pháp nghiên cứu và tiến hành : </b></i>
<i><b>1. Phương pháp nghiên cứu :</b></i>

-Tham khảo thu thập tài liệu
-Phân tích,tổng kết kinh nghiệm .

<i><b>2.Phương pháp tiến hành : </b></i>

Thông qua các kiến thức cơ bản về “Biểu thức đại số ” đưa ra phương
pháp dạy phù hợp và khắc phục những sai lầm hay gặp của học sinh, các
dạng bài tập tự giải .

<b> B- NỘI DUNG ĐỀ TÀI</b>

<i><b>I/ Cơ sở lý luận:</b></i>

Trong đề tài được đưa ra một số khái niệm cơ bản và các tiếp cận
phù hợp với trình độ của học sinh lớp 7 THCS.

Trang bị cho học sinh một số phương pháp thực hiện các phép toán
về Biểu thức đại số, các bài tốn về tìm GTLN, GTNN của các biểu thức,
áp dụng để làm bài tập .

Rút ra một số chú ý khi làm từng phương pháp .

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Vận dụng giải các bài toán có liên quan đến biểu thức đại số.

Tơi hi vọng đề tài này sẽ giúp ích cho học sinh ở trường THCS trong
việc học và giải các bài toán liên quan đến biểu thức đại số. Qua đó các em
có phương pháp giải đúng, tránh được tình trạng định hướng giải bài tốn
sai hoặc cịn lúng túng trong việc trình bày lời giải, giúp học sinh làm việc
tích cực hơn đạt kết quả cao trong kiểm tra.

<i><b>II/ Tình hình thực tế</b></i>

Đây là kiến thức mới lạ đối với học sinh, học sinh bắt đầu được trang
bị các khái niệm mới, nên việc nhận thức còn hạn chế và nhiều khi còn
nhầm lẫn dẫn đến kết quả rất thấp và đặc biệt đối với học sinh trung bình

các em càng khó giải quyết.

<i><b>III/ Nội dung và phương pháp tiến hành</b></i>

<b>1.Các khái niệm :</b>

<b>a. Khái niệm về biểu thức đại số:</b>

- Giáo viên thông qua những biểu thức số quen thuộc đã được học ở
lớp dưới để dẫn dắt học sinh đến tìm các ví dụ về biểu thức đại số.

- Cho học sinh hiểu là ta có thể dùng các chữ thay cho các số( Xuất
phát từ nhu cầu thực tiễn cuộc sống ).

- Các phép toán thực hiện trên các chữ cũng giống như thực hiện trên
các số.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i>* Khái niệm: Các kí hiệu tốn học có dấu các phếp toán ( cộng, trừ, </i>
<i>nhân, chia, nâng lên lũy thừa) thực hiện trên các số và các chữ đại diện </i>
<i>gọi là biểu thức đại số. </i>

* Ví dụ: Các công thức: 3x(x+y) ; 2R ;
3<i>a</i>

<i>t</i> _{; 3x}2_{y... gọi là các biểu}

thức đại số.

<b>b. Hằng số, biến số:</b>

Một biểu thức cố thể chứa một hay nhiều chữ:

- Các số đại diện cho một số không đổi gọi là hằng số(gọi tắt là hằng)
thường kí hiệu bằng các chữ cái ở đầu bảng chữ cái như a, b, c,.. để chỉ các
hằng số.

- Các chữ đại diện cho một tập hợp số nào đó được gọi là biến số ( gọi tắt
là biến), thường kí hiệu bằng các chữ cái đứng cuối bảng chữ cái như: x,
y,z, t,…để chỉ các biến số.

<b>c. Biểu thức nguyên, biểu thức phân:</b>

- Biểu thức đại số không chứa biến ở mẫu gọi là biểu thức nguyên.
+ Ví dụ: 3x(x+y) ; 3x2_{y ;... gọi là các biểu thức phân.}

- Biểu thức đại số có chứa biến ở mẫu gọi là biểu thức nguyên.

+ Ví dụ: 2

2 1

2 1

<i>x</i>
<i>xy</i>



 _; 2

1

<i>x y</i> _; 2
1

1

<i>x</i>  ….

*Chú ý : Để cho tiện ta dùng các chữ cái in hoa cạnh ngoặc tròn chỉ
các chữ là biến của biểu thức.

VD : P(x;y)=
3ax-2<i>xy</i>

<i>x b</i> ; để chỉ x,y là biến, các chữ còn lại là hằng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

* Phương pháp :Mỗi lần cho các biến của biểu thức đại số các giá trị cho
trước rồi thực hiện phép tính ta được <i>Giá trị của một biểu thức đại số</i> đó
tại giá trị tương ứng của biến.

* Ví dụ :

Ví dụ 1: Tìm giá trị của biểu thức đại số : P(x ;y)=
1

2_x2_+xy-2y2 _;

tại x=-2 ;y=1.

Ta có : P(-2 ;1)=
1

2_(-2)2_+(-2).1-212 _{= -2 ; Khi đó -2 gọi là giá trị của}

P(x ;y) tại x=-2 ;y=1. Ta viết P(-2 ;1) =-2 ;

Ví dụ 2: Tìm giá trị của biểu thức đại số : Q(x ;y)=
2

3 4 1

( 1).( 3)

<i>x</i> <i>xy</i>

<i>x</i> <i>y</i>

 

  _{tại x=1 ;}

y=2.

Q(1 ;2)=
2

3.1 4.1.2 1
(1 1).(2 3)

 

  _=-6.

* Bài tập tương tự:Tìm giá trị của biểu thức đại số

1. A=

2 2 ₂
<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i>

<i>x y</i>

 

 _{với x=2; y=1,5.}

2.B= 2  2
4<i>xy</i>

<i>x y</i>  <i>x y</i> _{với x=2;y=-0,75.}

3. C=(x2_+11y2_)(11x+2y)(x4_+y)(x2_{+y) với x=0,2; y=0,04.}

4.D=4x3_-2x2_{+3x+1 với}

1
2

<i>x</i> 

.

<b>e. Miền xác định của biểu thức đại số:</b>
* phương pháp:

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

- Miền xác định của biểu thức phân là tất cả các giá trị của biến làm cho
mẫu khác 0.

* các ví dụ:

VD1. Miền xác định của: 2
4

9

<i>x</i>  là:<i>x</i>2 90 hay <i>x</i>3.

VD2. Miền xác định của:      
2

3 4 1

;

1 3

<i>x</i> <i>xy</i>
<i>Q x y</i>

<i>x</i> <i>y</i>

 



 

 ; 

<i>Q x y</i> _{xác định khi:} <i>x</i>1 <i>y</i> 3 0_và<i>_y</i>_ _{3 0}_ _hay<i>_x</i> _₁_và<i>_y</i> _₃_.
Vậy: Miền xác định của <i>Q x y</i> ;  là: <i>x</i> 1 và <i>y</i> 3.

* Các bài tập tương tự: Tìm MXĐ của các biểu thức:

1. 5 1

<i>x</i>

<i>x</i> ; 2.

4 4
2
<i>x</i>
<i>x</i>

 ;
3.
3
5

<i>x</i> ; 4.

 

   

3 4 5

;

1 2

<i>xy</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>P x y</i>

<i>x</i> <i>y</i>

 



  _;

<b>2. Các phép biến đổi đại số:</b>
<b>a. Đơn thức:</b>

<b>a.1.Khái niệm:</b>

* <i>Khái niệm: </i>Đơn thức là Biểu thức đại số trong đó các phép toán thực

hiện trên các biến chỉ là phép nhân và lũy thừa với số mũ khơng âm.

- Ví dụ: 9; 3/5; x; y;2x3_{y; -xy}2_z5 _{; 3/4x}3_y2_{xz ; ... là những đơn thức.}

* Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến, mà
mỗi biến đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương.

- Ví dụ : 3x2 _{y ; 10xy}5 _;

5 4
3
4 <i>x y z</i>


. Các số :3 ; 10 ;-3/4 gọi là các hệ số ; x2 _{y ;}

xy5 _;<i>_{x y z}</i>5 4

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

* <i>Khái niệm :</i> Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả
các biến có trong đơn thức đó.

VD1 : - Đơn thức : 2x5_y3_{z có bậc là (5+3+1)=9.}

- Đơn thức :
3

4_x4_y2_{có bậc là (4+2)=6.}

<i>* Nhân hai đơn thức :</i>

Ví dụ 1: Cho A=32_.167_. _B=34_.166_.

Ta có: A.B= (32_.167₎₍₃4_.166₎₌₍₃2_.34₎₍₁₆7_.166₎₌₃6_.1613_;

VD2 : (2x2_y)(9xy4_)=(2.9)(x2_.x)(y.y4_{)= 18.x}3_.y5 _;

* Nhận xét :

- Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau và nhân các phần
biến với nhau.

- Mỗi đơn thức đều có thể viết thành đơn thức thu gọn.
* Bài tập : Tìm tích của các đơn thức.

a,
1
4


x3_{và -8xy}2_; _b,

2
1
3 <i>x y</i>


và 2<i>xy</i>3_;

c,
1

4


x3_{y và -2x}2_y5_;

<b>a.3. Đơn thức đồng dạng : </b>

* <i>Khái niệm:</i> Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và
có cùng phần biến.

- Ví dụ: Các đơn thức: 2x3_y2 _{; -5x}3_y2 _;

1
4


x3_y2_{là những đơn thức đồng}

dạng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>a.4. Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng:</b>

<i>* Phương pháp: </i>Cộng (hay trừ) đơn thức đồng dạng, ta cộng hay trừ các
hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

* <i>Ví dụ: </i>Cộng ,trừ các đơn thức sau:

a,
5xy-1

3
xy+xy=(5-1

3_+1)xy=
17

3 _xy.
b, 7x2_y3_z+(-7x2_y3_{z)=(7+(-7))7x}2_y3_z=0.

<i>* Bài tập:</i>

1. Tính giá trị của biểu thức :

A=

5 5 5

1 3

2<i>x y</i> 4<i>x y x y</i> _{tại x=1 ; y=-1 ;}

2. Tính tổng các đơn thức sau, rồi tìm bậc của đơn thức nhận được :

a,
3

4_xyz2₊

1
4



xyz2₊

1

2_xyz2_;

b,
12

15_x4_y2₊

5
9_x4_y2_;

<b>b. Đa thức:</b>

<b>b.1: Khái niệm: </b>Đa thức là tổng của những đơn thức, mỗi đơn thức trong
tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

VD:  

2 2 5 2

, 3 7

3

<i>P x y</i>  <i>x</i>  <i>y</i>  <i>xy</i>  <i>x</i>

là một đa thức.

<b>-</b> Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn
của đa thức đó.

Chẳng hạn: đa thức ở ví dụ trên đa thức có bậc là: 3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

VD: 1, 3x2_+2x2

-1

2_x2

=(2+3-1
2₎₌

9

2_x2_{; có bậc là 2.}

2, 3x2_+7x3_{- 3x}2_-3x3_+6x3_-1=10x3_{-1; có bậc là 3.}

3, x6_-y5_+x4_y4_{+1 có bậc là 8.}

<b>b.2. Cộng trừ hai đa thức.</b>
<i>* Phương pháp :</i>

- Muốn cộng 2 đa thức ta viết liên tiếp các hạng tử của hai đa thức đó
cùng với dấu của chúng, sau đó thu gon các hạnh tử đồng dạng.

- Muốn trừ một đa thức cho một đa thức ta viết các hạnh tử của đa
thức bị trừ và viết tiếp các hạng tử của đa thức trừ với dấu ngược lại sau đó
thu gọn các hạng tử đồng dạng.

<i>* Ví dụ :</i> 1) Tính (3xy2_{- x}2_{y + x -2) + (7xy}2_{+xyz – 3x +1)}

= 3x3_y2 _{- x}2_{y+x – 2 + 7xy}2_{+xyz – 3x +1}

= 3x3_y+(7-1)x2_{y+xyz+(1-3)x – 2 +1}

=3x3_{y + 6x}2_{y + xyz – 2x - 1 ;}

2) Thực hiện phép trừ :

a) (5x2_y2_{- x}2_{y + xy}2_{-1) - (4 x}2_{y - xy}2_{- xy}2_{-2x -3)}

= 5x2_y2_{- x}2_{y + xy}2_{- 1 - 4 x}2_{y + xy}2_{+ xy}2_{- 2x - 3}

= 5 x2_y2_{+ (-1-4) x}2_{y + (1+1)xy}2_{- 2x +(-1+3)}

= 5xy2_{- 5 x}2_{y + 2 xy}2_{- 2x + 2.}

b) (5x2_{y - 4xy}2_{+5x -3) - ( xyz - 4 x}2_{y + xy}2_{+ 5x -}₂

1
)

= 5x2_{y - 4xy}2_{+ 5x -3 - xyz + 4 x}2_{y - xy}2_{- 5x +}₂

1

= (5x2_{y + 4x}2_{y ) + ( -4xy}2_{- xy}2_{) + (5x - 5x) - xyz + ( -3+}₂

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

= 9x2_{y - 5xy}2_{- xyz -}₂

5
;

<i> * Bài tập :</i> 1) Tính tổng của các đa thức sau.
a) P =4x2_y-7xy2_{– 5y}3_{và Q=x}3_-6x2_y+4xy2_.

b) M=x2_{+ xy – 2y +1 và N = -x}2_y2_{– xy + 3y ;}

2) Cho : M = 3xyz - 3x2_{+ 5xy - 1}

N = 5x2_{+ xyz - 5xy +3 - y}

Tính : M-N ; N - M
<i>*Nhận xét : </i>

- Khi công hai đa thức ta cần lưu ý cho học sinh các tính chất giao hốn,
kết hợp với cộng với 0 số đối như trong tập hợp số nguyên :

- Đa thức không là đa thức mà là tất cả các hạng tử của nó đều có hệ số
bằng 0. Kí hiệu 0

+ Đa thức khơng coi là đa thức khơng có bậc và ln có giá trị bằng khơng.
<b>b.3. Đa thức một biến</b> ; cộng trừ đa thức một biến :

<i>*Khái niệm :</i>

Một tổng đại số các đơn thức có một chữ là biến ( các chữ khác nếu có, là
hằng số) là đa thức một biến.

VD : f(x) = 2x4 - 7x3 + 2

1

x - 1 có bậc là 3
g(x) = 3x2 + x6 + 5x +1 có bậc là 6

<i>* Nhận xét :</i>

- Một số thực khác 0 là đa thức bậc 0
- Số 0 là đa thức không có bậc.

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Một đa thức một biến sau khi đã thu gọn có thể sắp theo luỹ thừa giảm dần
của biến.

VD : f(x) = 2x4 - 7x3 + 2

1

x +1.

Ta cũng có thể sắp xếp các hạng tử theo luỹ thừa tăng dần của biến.

VD : f(x) = 1 + 2

1

x - 7x3_{+ 2x}4_.

<i>* Hệ số, giá trị của một đa thức :</i>

Trong một đa thức, hệ số của đơn thức có bậc cao nhất gọi là hệ số
cao nhất, hạng tử không phụ thuộc vào biến( tức là hạng tử bậc 0) được cọi
là hệ số tự do.

VD : f(x) = 2x4 - 7x3 + 2

1

x +1 có hệ số cao nhất là 2.
Hệ số tự do là 1.

* Giá trị của đa thức f(x) tại x = a được kí hiệu là f(a).

VD : f(x) = 2x4 - 7x3 + 2

1

x +1 có giá trị tại x= 2 là :

f(2) = 2.24-7.23 + 2

1

.2 +1 = -22

<i>*Cộng, trừ đa thức một biến :</i>

Ta áp dụng quy tắc cộng, trừ đa thức, như phần cộng, trừ đa thức. Hoặc ta
có thể đặt phép tính với các hạng tử đồng dạng xếp trên cùng một cột.
VD :

f(x) = 2x4 - 7x3 + x +1

g(x) = 3x3 - 2x2 + 3x +4+

2x4 - 4x3 - 2x2 + x+5

f(x) = 2x4 - 7x3 + x
+1

g(x) = 3x3 - 2x2 + 3x
+4

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<i>*Bài tập:</i>

1. Cho các đa thức:

f(x) = 5x3 - 2x2 + x - 3

g(x) = 2x3 - 5x2 + 4

h(x) = 4x3 + 5x

Tính : f(x) + g(x) - h(x) .

2. Cho đa thức : f(x) = 6x3 - 3x2 +x -5.

g(x) = 3x3 - 4x2 +4.

h(x) = 4x3 +8x.

Tính :

<b>a)</b> f(x) + g(x) - h(x) .

<b>b)</b> f(x) -g(x) + h(x)

<b>c)</b> g(x) + h(x) - f(x) .

3. Tìm x , biết :
a) (5x+3) - (x+1) = 1

b) (3x-2) - (5x+4) = (x-3) -(x+5).
c) ( x2_{-4x +5) - (x}2_{-2x +1) = 3}

d) (4x3_-5x2_{+3x - 1) + ( 3 - 5x + 5x}2_{- 4x}3_{) = 2.}

4. Cho đa thức :

f(x) = 3 + 2x5 - x3 +12x + 4x3 - 2x2 +1 + x5 + x4 - 5x.

tính : f(2).

5. Cho đa thức : f(x) = x4 - 3x2 -4.

f(x) = 2x4 - 7x3 + x
+1

g(x) = 3x3 - 2x2 + 3x
+4

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

xét các số : -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 số nào là nghiệm của đa thức f(x) .

6. tìm tất cả các nghiệm của đa thức<b> :</b>

a) f(x) = x3 - 4x. b) g(x) = 3x3 + x2 .

<i>*) Nghiệm của đa thức một biến.</i>

* Nếu x=a ; đa thức một biến f(x) có giá trị bằng 0 ta bảo a là một nghiệm

của f(x) .

X= a là nghiệm của f(x)  f(a) = 0.

- Một đa thức có thể có 1, 2, 3,...,n nghiệm hoặc khơng có nghiệm nào.
<b>* Ví dụ: </b>

- Đa thức 2x-5 có một nghiệm là x = .

- Đa thức: 4x2_{-1 có 2 nghiệm : x= - và x =}

- Đa thức : x2_{+3 khơng có nghiệm.}

<b>3. Giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất(GTNN):</b>
<b>a: Cơ sở lí thuyết></b>

Định nghĩa:

* Cho hàm số f(x) xột trờn miền D.Ta nói rằng M là giá trị lớn nhất của
f(x) trên D, nếu như thỏa món hai điều kiện sau đây :

1/ f(x)  M với mọi x D

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

* Số m gọi là giá trị bé nhất của f(x) trên D ,nếu như đồng thời thỏa món 2
điều kiện sau đây :

1/ f(x)  M với mọi x D

2/Tồn tại x  D , sao cho f(x) = m .Khi ấy ta sẽ kớ hiệu M = min f(x)
với x D

<i>* Chỳ ý :</i>

Khi ta nói đến giá trị lớn nhất hoặc giá trị bé nhất của một hàm số,bao
giờ ta cũng phải xác định nó xác định trên tập hợp nào.Cùng một hàm
số f(x),nhưng nếu xác đỡnh trờn cỏc tập khỏc nhau,thỡ núi chung cỏc
giỏ trị lớn nhất (nhỏ nhất) tương ứng là khác nhau.

<b>b: Vận dụng vào THCS:</b>
<i>* Phương pháp:</i>

Một biểu thức có thể có giá trị nhỏ nhất. Chẳng hạn xét biểu thức x2_{. Biểu}

thức này có giá trị dương khi x<b>≠</b> 0, như vậy x2_{có giá trị nhỏ nhất bằng 0}

khi x= 0 . Biểu thức này khơng có giá trị lớn nhất. Thật vậy , giả sử x2_có

giá trị lớn nhất là m tại x1 thì x2 cũng bằng m tại x2 là đối số của x1. Giả sử

x1 >0 , ta sẽ chứng tỏ rằng tồn tại giá trị x3 mà x32>m. Ta chọn x3>x1>0 khi

đó x32>x12. Mà x12 = m lên x32 >m, trái với điều giả sử m là giá trị lớn nhất

của biểu thức.

Muốn tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x) , ta phải thực hiện hai yêu cầu:

Chứng tỏ rằng f(x)> m ( m là hằng số) với mọi x rồi chỉ ra rằng dầu “=”

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Muốn tìm giá trị lớn nhất của biểu thức f(x) , ta cần chứng tỏ rằng f(x)< m( m

là hằng số) với mọi x rồi chỉ ra rằng dầu “ =” được xảy ra.

Nếu chỉ chứng minh được yêu cầu thứ nhất thì chưa đủ kết luận về giá trị
nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của biểu thức. Chằng hạn ta có ( x2_{+ x}3_{) > 0}

. Muốn xảy ra dấu đẳng thứcphải có x2_{+3 = 0, điều này khơng xảy ra vì x}2

+ 3 >3 với mọi x. Như vậy mặc dù ta có (x2_{+3)>0 nhưng số 0 khơng phải}

là giá trị nhỏ nhất của biểu thức(x2_{+3), giá trị nhỏ nhất của biểu thức này}

là 9 khi x = 0.

Ta lấy một ví dụ khác: xét biểu thức x2_+(x-2)2_{. Ta cũng có x}2_{+ ( x-2)}2_{> 0}

, nhưng dấu đẳng thức không xảy ra. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức này là
2 khi x=1.

Để chứng tỏ f(x) >m ( m là hằng số) , ta thường dùng đến các bất đẳng thức:

x2 _{>0, |x| >0}

Để chứng tỏ f(x) < m ( m là hằng số) , ta thường dùng đến các bất đẳng

thức:

-x2_<0,-|x|<0

<b>b.1.Tỡm cửực trũ cuỷa bieồu thửực laứ ủa thửực baọc hai.</b>

Muoỏn tỡm GTNN cuỷa bieồu thửực daựng ax2_{+ bx+c (a, b, c laứ caực}

soỏ, a0) ta bieỏn ủoồi bieồu thửực veà daựng (a’x+b’)2+c’, khi ủoự

GTNN cuỷa bieồu thửực laứ c’.

Muoỏn tỡm GTLN cuỷa bieồu thửực ax2_{+ bx+c ta bieỏn ủoồi bieồu thửực}

veà daựng – (a’x+b’)2_{+c’, khi ủoự GTLN cuỷa bieồu thửực laứ c’.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Giải:

Với mọi x ta có (x+3)2_{>0 suy ra 2(x+3)}2_{>0 do đó 2(x+3) - 5>5.}

Giá trị nhỏ nhất của A = 5 khi và chỉ khi x= -3.

<i>Chú ý:</i> có những biểu thức khơng có cả giá trị nhỏ nhất lẫn giá trị lớn nhất,
chẳng hạn A = 4x, B = .

Tuy nhiên nếu xét giá trị của biến trong một tập hợp hẹp hơn, biểu thức lại
có thể có giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất. Chẳng hạn xét x  R, x  Q
hoặc x  z thì biểu thức x=3 khơng có giá trị nhỏ nhất , nhưng nếu x  N
thì biểu thức đó có giá trị nhỏ nhất bằng 3 với x = 0.

VD 2: Tỡm GTNN cuỷa caực bieồu thửực sau:

a) x2_+4x+9 _{b) 4x}2_-12x+12

c) 2x2_-x-13 _{d) 3x}2_{+4x -5}

<b>Chửựng minh</b>

a) x2_{+4x+9= x}2_{+4x+4+5=(x+2)}2₊₅





2
2

v (x 2) 0 nên x 2 5 5. vậy GTNN của biểu thức là 5 và biểu thức có
GTNN khi x=-2

<i>ì</i>     

b) 4x2_{-12x+12 = (2x)}2_{-12x+9+3=(2x-3)}2_+3.

2 2

vì (2x-3) 0 nên (2x-3) 3 3 do đó GTNN của biểu thức là 3 và biểu thức có
3

GTNN là 3 khi 2x-3=0 x= . ₂

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

2 2

2 1 105 1

)  2x x 13 2 - vì 2 0 neân
8

2 2 2 2

<i>c</i>   _ <i>x</i> _ _ <i>x</i> _  <i>với mọi x</i>

   

2

1 105 105 105

2 - vậy GTNN của biểu thức là và biểu thức có

8 8 8

2 2

<i>x</i> <i>với mọi x</i>

 

 

 

 

1
GTNN khi x= .₄

 

2
2

2 2 4 19 2 19 19

 d) 3x 4x 5= 3 2. 3 . 3 với mọi x

3 3 3 3

3 3

19 2

vậy GTNN của biểu thức là và biểu thức có GTNN khi x= .

3 9

<i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i> 

     _  _  

 




V D 3: Tỡm GTLN cuỷa caực bieồu thửực sau:

a) 4x-x2₊₅ _{b) -2x}2_+2x-15

<b>Chửựng minh </b>

2 2 2 2

a) 4x x 5=-(x 4 5) (x 4 4) 9 ( 2) 9 9 với mọi x do đó
GTLN của biểu thức là 9 và biểu thức đạt GTLN khi x=2.

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

           





2 1 1 29

2 2

b)  2x 2x 15 = - (2x 2 15) 2 2. 2 . _{2 2}

2
2

1 29 29 29

2 ₂ ₂ với mọi x do đó GTLN của biểu thức là ₂

2

1
biểu thức đạt GTLN khi x= .

2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
<i>vaø</i>
 
 
 
 
 

 
 
        
    

VD 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P = 4x2_{+ y}2_+2xy+3x+5

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>





2





2

2 ₂ 2 ₂ 2 _{4 2} 2 ₃ ₂ ₁ 2 ₃ 2 ₃

<i>P x</i>  <i>xy y</i>  <i>x</i>  <i>x</i> <i>x x</i>   <i>x y</i>  <i>x</i> <i>x x</i>    <i>x x</i>

Với mọi
x

Mà

2

2 ₃ 1 11 11

2 4 4

<i>x</i>  <i>x</i> _<i>x</i> _  

 

Nên Min P =

11

4 _{khi x =}
1

2_{và x +y = 0 nên y =}
-1
2

Ta thấy lời giải này sai lầm ở chỗ dấu bằng khơng xảy ra đồng thời . Khi

x =
1

2_{thì (x-1)}2 _₀

<b>Lời giải 2 :</b> Ta có





2
2

2 ₂ 2 ₃ 2 1 17 ₃ 1 17 17

4 4 2 4 4

<i>P x</i>  <i>xy y</i>  _<i>x</i>  <i>x</i> _  <i>x y</i>  _<i>x</i> _  

   

Vậy Min P =
17

4 _Khi

1
0
2
1
1
0
2
2

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>

<i>x</i>
<i>y</i>

  
 _
 

 
 
  _
 _
 

<b>Baứi taọp tửù giaỷi:</b>

<b>Baứi 1:</b> Tỡm GTNN cuỷa caực bieồu thửực sau:

a) 12x2_-4x+22 _{b) 7x}2_+6x-11

<b>Baứi 2:</b> Tỡm GTLN cuỷa bieồu thửực:

a) 16x-4x2₊₁₂ _{b) -5x}2_+24x+35

<b>Bài 3:</b> Tỡm GTNN của biểu thức: x(x+1)(x+2)(x+3).

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<i>ãm, c laứ mõt soỏ hoaởc bieỏn ủoồi về dáng - A(x,y)+c (neỏu laứ</i>
<i>baứi toaựn tỡm GTLN) trong ủoự A(x,y) khõng ãm, c laứ mõt soỏ.</i>

<b>Baứi taọp tửù giaỷi: </b>

Tỡm GTNN cuỷa caực bieồu thửực sau:
B= x2_y2_+2x2_{+24xy+16x+191.}

C=x2_+2y2_+9z2_{-2x+12y+6z+24.}

<b>b.2. Tỡm cực trị của một số biểu thức phõn.</b>

VD1. Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức D = có giá trị lớn nhất?
Tìm giá trị đó.

Giải:

Biến đổi D = = 1 + . D lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất.

xét x>4 thì < 0. (1)

xét x<4 thì >0 . Phân số có tử và mẫu đều dương, tử khơng đổi nên có giá
trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Mẫu 4-x là số nguyên dương, nhỏ nhất khi
4-x=1 tức là x=3. khi đó = 10 . (2)

So sánh (1) và (2) , ta thấy lớn nhất bằng 10. Vậy giá trị lớn nhất của D =
11 khi và chỉ khi x = 3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

2

2 2 2 2

2

2
2

7

T m GTNN của biểu thức .
10 3

7 7 7 7

.

10 3 ( 10 3) ( 10 25 28) ( 5) 28
7

thức ( 5) 28 có GTLN là 28. biểu thức có GTNN khi
10 3

( 5) 28 có GTLN, GTNN củ

<i>ì</i>

<i>x x</i>
<i>ta có</i>

<i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>Bieåu</i> <i>x</i>
<i>x x</i>
<i>x</i>
 
  
           
  
 

   a biểu thức 7 ₂ và biểu thức có giá trị7

28
10 3

nhỏ nhất khi x=5.

<i>là</i>
<i>x x</i> 

<i>Coự khi ủeồ tỡm GTNN cuỷa moọt bieồu thửực hoaởc chửựng minh moọt</i>
<i>baỏt ủaỳng thửực ta phaỷi taựch háng tửỷ hoaởc thẽm vaứ bụựt vaứo</i>
<i>bieồu thửực cuứng moọt bieồu thửực khaực</i>

VD 3:

2
2

5 4 4

T m GTNN cua bieu th c <i>ì</i> <i>û</i> <i>å</i> <i>ứ A</i> <i>x</i> <i>x</i> .
<i>x</i>

 


Giaỷi





2

2 2 2

2 2 2

2

5 4 4 4 4 4 _{1 1 với mọi x}

vậy GTNN của A là 1 và biểu thức A có GTNN khi x=2

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>A</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>



    

    

<i>Coự khi giaỷi baứi toaựn cửùc trũ cuỷa bieồu thửực phaõn ta phaỷi ruựt</i>
<i>gón bieồu thửực phãn ủoự ẹeồ ủửụùc bieồu thửực ủụn giaỷn, sau ủoự</i>
<i>mụựi tỡm cửùc trũ cuỷa baứi toaựn.Sau ủaõy laứ vớ dú về baứi toaựn</i>
<i>nhử vaọy:</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

  
  

  
  



3 2 8 12

Tìm GTNN của biểu thức B= ₃ ₂ .

3 4 12

3 2

: ta nhận thấy x= 3 là một nghiệm của đa thức 8 12

3 2

một nghiệm của đa thức 3 4 12. Do đó ta có

(
B=

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>Giải</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>và nó cũng là</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>   

 

  

2 2

3)( 4 4) ( 2) _{0 với mọi x.vậy GTNN của biểu thức B là 0 và}

2 2

( 3)( 4) ( 4)

biểu thức B có GTNN khi x=-2.

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

VD 5: Tỡm GTLN cuỷa caực bieồu thửực sau:

2 2

2

3 6 13 _B=5 17

2 4 2

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>A</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  



  

2 2

2 2 2

2

3 6 13 3( 2 4) 1 1 1

Giai : 3 . Biểu thức A đạt GTLN khi

2 4 2 4 2 4 2 4

GTLN suy ra 2 4 coù GTNN.

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>û A</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>đạt</i> <i>x</i> <i>x</i>

    

   

       

 

2 2 2

2

2 4 =(x+1) 3 3 với mọi x suy ra GTNN của 2 4 là 3

3 6 13 1

vậy GTLN của là 3 .

3
2 4

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>
<i>A</i>
<i>x</i> <i>x</i>

     
 

 
2 2
2 2

2 2 2

5 17 5( 2) 7 ₅ 7 _{. B đạt GTLN thì} _{2 có GTNN.GTNN của} _{2 là 2.}

2 2 2

7

vậy GTLN của B là 5 khi x=0.
2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>B</i> <i>Để</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  

     

  

<b>Baứi taọp tửù giaỷi:</b> tỡm GTLN cuỷa caực bieồu thửực sau:

2 3 2

4
2 2

4 1_B= 1

5 3 4 5

1 

(1 )

<i>x</i> <i>x</i>

<i>A</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

4. Bài soạn:

<b>CHƯƠNG IV:</b>

<b>BIỂU THỨC ĐẠI SỐ</b>

<b> Ngày giảng:</b>

<b>Tiết 53:GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ</b>

<b>I. Mục tiêu:</b>

- HS biết tính giá trị cả một biểu thức đại số, biết cách trỡnh bày lời giải
loại toỏn này.

- Rèn luyện kĩ năng tính tốn.

- Rốn luyện tớnh cản thận chớnh xỏc khi tớnh toỏn.
<b>II. Chuẩn bị TL-TBDH:</b>

*GV: sgk, sbt, MTBT, bảng phụ.

*HS: sgk, sbt, ụn tập về thứ tự thực hiện cỏc phộp tớnh, MTBT.
<b>III.Tiến trình tổ chức dạy học :</b>

<b>1. Tổ chức:</b> KT s/số: 7A:
7B:
<b>2. Kiểm tra bài cũ: </b>

- HS1: Nêu khái niệm biểu thức đại số. Làm bài tập 4<sgk>
- HS2: Làm bài tập 5<sgk>

GV: cho a=500000 và m=100000 hóy tớnh tiền lương nhận được của
người đó

trong 1 quý?
<b>3.Dạy học bài mới</b>:

<b>Hoạt động của thầy và trò</b> <b>Nội dung kiến thức cần đạt</b>
-GV: cho HS đọc ví dụ 1 trong

sgk.

GV giới thiệu: 18,5 là giỏ trị của
biểu thức:

2m + n tại m = 9; n = 0,5.

-GV: yờu cầu HS làm vớ dụ 2
trong sgk. Gọi 2 HS lờn bảng
trỡnh bày.

<b>1. Giỏ trị của biểu thức đại số</b>
a)Vớ dụ 1: <sgk>

b) Vớ dụ 2:<sgk>
Giải:

+ Thay x = -1 vào biểu thức ta cú:





2





3. 1  5. 1 1 9  

Vậy giỏ trị của biểu thức 3x2_{-5x +1}

tại x = -1 là 9

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

-GV: cho HS nhận xột chữa bài.

-GV : Vậy muốn tớnh giỏ trị của

biểu thức đại số khi biết giỏ trị
của cỏc biến trong

biểu thức đó cho ta làm thế nào?

GV : cho HS làm ?1 SGK
Gọi 2 HS lờn bảng thực hịờn

GV hướng dẫn HS nhận xột chữa
bài.

-GV: cho HS làm ?2 sau đó gọi
HS nêu kết quả.

2

1 1 1 1

3. 5. 1 3. 5. 1

2 2 4 2

 

    

 
 

3 5 3

1

4 2 4

   

Vậy giỏ trị của biểu thức tại x = ẵ là -ắ
c) Kết luận:

<i>Để tớnh giỏ trị của biểu thức đại số tại </i>
<i>những giỏ trị cho trước của cỏc biến ta </i>
<i>thay cỏc giỏ trị cho trước đó vào biểu </i>
<i>thức rồi thực hiện phộp tớnh.</i>

<b>2. Áp dụng</b>

?1<sgk>: + Thay x = 1 vào biểu thức

2 2

3<i>x</i>  9<i>x</i>3.1  9.16

+ Thay x = 1/3 vào biểu thức

2

2 1 1

3 9 3. 9.

3 3

1 2

3 2

3 3

<i>x</i>  <i>x</i>  _ _ 

 

  

<b>4. Củng cố - Luyện tập:</b>

- GV: Cho HS làm bài tập 6 <sgk>: Cho HS thi giải toán nhanh giữa
các tổ, tính giá trị các biểu thức rồi điền các chữ cái vào ô trống, đội
nào tính đúng và nhanh thỡ thắng cuộc.

-GV: giới thiệu thêm về nhà toán học Lê Văn Thiêm.
<b>5. Hướng dẫn về nhà:</b>

- ễn kĩ bài, nắm chắc cỏch tính giá trị của biểu thức đại số.
- Làm BT: 7-9 <sgk>; 6-11 <sbt>

- Đọc phần có thể em chưa biết.
- Xem trước bài 3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

4. Kết quả.
<b>4.1. Nhận xét:</b>

Trên đây tôi giới thiệu với các bạn về cỏc khỏi niệm về biểu thức
đại số,các phép biến đổi đại số,giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và một số
bài toỏn ỏp dụng , kết quả thu được rõ ràng đã có thể vận trong nhiều dạng
tốn, và ứng dụng của các bài tốn này khơng phải là ít. Nếu như rèn luyện
cho học sinh dạng toán này thì chúng ta đã trang bị cho các em lượng kiến
thức khơng phải là nhỏ. Trong chương trình tốn phổ thơng của chúng ta
cịn rất nhiều phương pháp nữa. Trên đây tơi chỉ trình bày một số phương
pháp thơng dụng trong chương trình trung học cơ sở. Tuy nhiên với dạng
tốn này thì khơng phải đối tượng nào cũng tiếp thu một cách dễ dàng, vì
vậy giáo viên phải khéo léo lồng vào các tiết dạy nhằm thu hút và phát huy
sự sáng tạo cho học sinh. Đây là một vấn đề hồn tồn khó,trừu tượng và
hết sức khó khăn cho học sinh ở mức trung bình và khỏ giáo viên nên cho
các em làm quen dần. Dạng toán này có tác dụng tương hỗ, cao dần từ
những kiến thức rất cơ bản trong sách giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu
kiến thức biết tư duy lụ gớch và sáng tạo, biết tìm cách giải dạng tốn mới,
tập trung “Sáng tạo” ra các vấn đề mới.

<b>4.2. Kết quả sau khi áp dụng đề tài </b>

Sau khi áp dụng đề tài tôi thấy rằng chất lượng qua kiểm tra đã được nâng lên
đáng kể, đặc biệt là đối tượng HS trung bình chất lượng được nâng lên rõ rệt.

<b>Điểm dưới 5 Điểm 5 - 6</b> <b>Điểm 7 - 8</b> <b>Điểm 9 - 10</b>

SL % SL % SL % SL %

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

C. KẾT LUẬN :

Trên đây là các khái niệm về biểu thức đại số,các phép biến đổi đại
số,giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và một số bài toỏn liờn quan mà tôi đã
áp dụng giảng dạy trên thực tế hiện nay ở trường THCS cho học sinh đại
trà cũng như trong q trình ơn luyện , bồi dưỡng học sinh giỏi .Tôi cùng
các đồng nghiệp đã thu được kết quả sau :

* Học sinh tiếp thu bài nhanh dễ hiểu hơn, hứng thú tích cực trong học tập
và u thích bộ mơn tốn .

* Học sinh tránh được những sai sót cơ bản, và có kĩ năng vận dụng thành
thạo cũng như phát huy được tính tích cực của học sinh .

Tuy nhiên để đạt được kết quả như mong muốn , đòi hỏi người giáo
viên cần hệ thống, phân loại bài tập thành từng dạng, giáo viên xây dựng từ
kiến thức cũ đến kiến thức mới từ cụ thể đến tổng quát, từ dễ đến khó và
phức tạp ,phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh .

Người thầy cần phát huy chú trọng tính chủ động tích cực và sáng
tạo của học sinh từ đó các em có nhìn nhận bao qt, tồn diện và định
hướng giải toán đúng đắn. Làm được như vậy là chúng ta đã góp phần
nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường.

Trong đề tài này chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế nhất
định .Vậy tôi rất mong được sự giúp đỡ cũng như những góp ý của các
thầy ,cơ giáo cho tơi để tơi rút kinh nghiệm trong q trình giảng dạy
những năm học sau.

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

cô giáo trong tổ tốn trờng THCS Đơng Thành ,đặc biệt là sự giúp đỡ tận
tình của thầy giáo,giáo sư,tiến sỹ Đỗ Đức Thái trực tiếp hướng dẫn tơi
hồn thành đề tài này.

Tôi xin chân thành cảm ơn !

<b>Người thực hiện:</b>

<b>Bựi Hồng Giang.</b>
<b>D. tài liệu tham khảo</b>

- SGK Toán 7 tập2, SGV Toán 7 tập 2 -Nhà xuất bản GD 2003
- Kiến thức cơ bản và nâng cao toán 7- Nhà xuất bản Hà Nội 2004.
- Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 7 -Nhà xuất bản GD 2006.
- Nâng cao và phát triển toán 7- Nhà xuất bản GD 2005.

</div>

<!--links-->