Bài giảng toán cao cấp 2 (giải tích) chương 3 vi phân hàm nhiều biến

Bài giảng

TỐN CAO CẤP A2, C2
Thạc sĩ Nguyễn Cơng Nhựt
Video />
Ngày 27 tháng 5 năm 2021

Thac si Nguyen Cong Nhut

Toán cao cấp A2, C2

Ngày 27 tháng 5 năm 2021

1 / 51


Nội dung

1

Giới thiệu mơn học Tốn cao cấp A2, C2

2

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

3

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN

4

VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
3.1. Giới hạn và liên tục
3.2 Vi phân hàm nhiều biến
3.3 Cực trị hàm nhiều biến
Bài tập ơn tập chương 3

Thac si Nguyen Cong Nhut

Tốn cao cấp A2, C2

Ngày 27 tháng 5 năm 2021

2 / 51


Nội dung

1

Giới thiệu mơn học Tốn cao cấp A2, C2

2

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

3

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN

4

VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
3.1. Giới hạn và liên tục
3.2 Vi phân hàm nhiều biến
3.3 Cực trị hàm nhiều biến
Bài tập ơn tập chương 3

Thac si Nguyen Cong Nhut

Tốn cao cấp A2, C2

Ngày 27 tháng 5 năm 2021

3 / 51


Nội dung

1

Giới thiệu mơn học Tốn cao cấp A2, C2

2

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

3

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN

4

VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
3.1. Giới hạn và liên tục
3.2 Vi phân hàm nhiều biến
3.3 Cực trị hàm nhiều biến
Bài tập ơn tập chương 3

Thac si Nguyen Cong Nhut

Tốn cao cấp A2, C2

Ngày 27 tháng 5 năm 2021

4 / 51


Nội dung

1

Giới thiệu mơn học Tốn cao cấp A2, C2

2

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

3

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN

4

VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
3.1. Giới hạn và liên tục
3.2 Vi phân hàm nhiều biến
3.3 Cực trị hàm nhiều biến
Bài tập ơn tập chương 3

Thac si Nguyen Cong Nhut

Tốn cao cấp A2, C2

Ngày 27 tháng 5 năm 2021

5 / 51


VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
NỘI DUNG

3-1 Giới hạn và liên tục
3-2 Vi phân hàm nhiều biến
3-3 Cực trị hàm nhiều biến

Thac si Nguyen Cong Nhut

Toán cao cấp A2, C2

Ngày 27 tháng 5 năm 2021

6 / 51


3.1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
NỘI DUNG

1

Giới thiệu không gian Euclide n chiều

2

Hàm nhiều biến

3

Các mặt cong thông dụng

4

Giới hạn của hàm nhiều biến

5

Hàm số liên tục
Thac si Nguyen Cong Nhut

Toán cao cấp A2, C2

Ngày 27 tháng 5 năm 2021

7 / 51


3.1.1. Giới thiệu không gian Euclide n chiều

♥ = 2, ❞ (P , ◗ ) =

(①1 − ②1 )2 + (①2 − ②2 )2

♥ = 3, ❞ (P , ◗ ) = (①1 − ②1 )2 + (①2 − ②2 )2 + (①3 − ②3 )2
R♥ = {(①1 , ①2 , . . . , ①♥ ) |①k ∈ R, ∀❦ = 1, 2, . . . , ♥ }
P (①1, ①2, . . . , ①♥ ) , ◗ (②1, ②2, . . . , ②♥ ) ∈ R♥
❞ (P , ◗ ) = ||P − ◗ || =
Thac si Nguyen Cong Nhut

(①1 − ②1 )2 + (①2 − ②2 )2 + . . . + (①♥ − ②♥ )2

Toán cao cấp A2, C2

Ngày 27 tháng 5 năm 2021

8 / 51


3.1.2. Hàm nhiều biến

Định nghĩa

Ánh xạ ❢ : R♥ → R gọi là hàm số ♥ biến thực, hay gọi tắt là hàm
♥ biến có thể chỉ xác định trên một tập hợp con ❉ (❢ ) ⊂ R♥ .
● (❢ ) = (① , ② , ❢ (① , ② )) ∈ R3 : (① , ② ) ∈ ❉ (❢ )

♥ biến. Hàm

Ví dụ 1.
Đồ thị hàm

③=

Thac si Nguyen Cong Nhut

1 − ① 2 − ② 2 là nửa trên mặt cầu tâm O, bán kính 1.

Hình:

Tốn cao cấp A2, C2

Ngày 27 tháng 5 năm 2021

9 / 51


3.1.3. Các mặt cong thông dụng

1. Mặt phẳng
Mặt phẳng là đồ thị của hàm hai biến tuyến tính ③ = ❛① + ❜② + ❝ , hay mặt
phẳng (tức là tập các điểm) có phương trình là ❆① + ❇② + ❈③ + ❉ = 0.

2. Mặt bậc 2 suy biến
1

Tập rỗng: chẳng hạn có phương trình

2

Một điểm:

3
4
5

① 2 = −1

①2 + ②2 + ③2 = 0
Một đường thẳng: ① 2 + ② 2 = 0
Hai mặt phẳng song song: ① 2 = 1
Hai mặt phẳng giao nhau: ①② = 0.
Thac si Nguyen Cong Nhut

Toán cao cấp A2, C2

Ngày 27 tháng 5 năm 2021

10 / 51


3.1.3 Các mặt cong thơng dụng
3. Ellipsoid

Ellipsoid là mặt có phương trình, dạng chính tắc, là ①❛2 + ②❜2 + ❝③ 2 = 1
2

2

2

Hình:

Thac si Nguyen Cong Nhut

Tốn cao cấp A2, C2

Ngày 27 tháng 5 năm 2021

11 / 51


3.1.3 Các mặt cong thông dụng
4. Paraboloid elliptic

①2 + ②2 =
❛2
❜2

③

Hình:
Thac si Nguyen Cong Nhut

Tốn cao cấp A2, C2

Ngày 27 tháng 5 năm 2021

12 / 51


3.1.3 Các mặt cong thông dụng
5. Paraboloid hyperbolic (mặt yên ngựa)

①2 − ②2 =
❛2
❜2

③

Thac si Nguyen Cong Nhut

Toán cao cấp A2, C2

Ngày 27 tháng 5 năm 2021

13 / 51


3.1.3 Các mặt cong thông dụng
6. Hyperboloid một tầng

①2 + ②2 − ③2 = 1

❛2
❜2
❝2

Hình:
Thac si Nguyen Cong Nhut

Tốn cao cấp A2, C2

Ngày 27 tháng 5 năm 2021

14 / 51


3.1.3 Các mặt cong thông dụng
7. Hyperboloid hai tầng

① 2 + ② 2 − ③ 2 = −1
❛2
❜2
❝2

Hình:
Thac si Nguyen Cong Nhut

Toán cao cấp A2, C2

Ngày 27 tháng 5 năm 2021

15 / 51

3.1.3 Các mặt cong thông dụng

8. Mặt trụ bậc hai
Mặt trụ elliptic ①❛2 + ②❜2 = 1
2

2

9. Mặt nón bậc hai
①2 + ②2 − ③2 = 0
❛2
❜2
❝2

Thac si Nguyen Cong Nhut

Toán cao cấp A2, C2

Ngày 27 tháng 5 năm 2021

16 / 51


3.1.4 Giới hạn của hàm nhiều biến

Định nghĩa: Giới hạn của của dãy điểm trong R2

Ta nói dãy điểm {▼❦ (①❦ , ②❦ )}❦ =1,2,... ⊂ R2 dần đến

vô cùng nếu lim ❞ (▼❦ , ▼0 ) = 0.

▼0 (①0, ②0 ) khi ❦ dần ra

❦ →∞
Kí hiệu: lim (①❦ , ②❦ ) = (①0 , ②0 )
❦ →∞

Định nghĩa: Giới hạn của hàm số
Hàm ❢ (① , ② ) có giới hạn là ❛ khi ▼ tiến đến ▼0 ta viết ❢ (▼ ) → ❛ khi
▼ → ▼0 nếu
∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀▼ ∈ ❉ , 0 < ❞ (▼ , ▼0 ) < δ ⇒ |❢ (▼ ) − ❛ | < ε.
Kí hiệu: ①lim
❢ (① , ② ) = ❛
→①
0

② → ②0

Thac si Nguyen Cong Nhut

Toán cao cấp A2, C2

Ngày 27 tháng 5 năm 2021

17 / 51


3.1.4. Giới hạn của hàm nhiều biến
Giới hạn của hàm số

Ví dụ 2.
Tính các giới hạn sau (nếu có)
1

2

② = 1+0 = 1
lim ①①2 +
+② 2
12 +02

① →1
② →0

lim

(① ,② )→(0,0)

①②

①2 + ②2

|①② |
Ta có 0 ≤ √ 2

①

+② 2

= |① | √ |②2 |

① +② 2

≤ |① | → 0 khi

① →0

Theo nguyên lý giới hạn kẹp suy ra: lim(① ,② )→(0,0) √ ①②
=0
① 2 +② 2
Thac si Nguyen Cong Nhut

Toán cao cấp A2, C2

Ngày 27 tháng 5 năm 2021

18 / 51


3.1.4. Giới hạn của hàm nhiều biến
Giới hạn của hàm số

Ví dụ 3.
Tìm

①②
▲ = ①lim
2 +② 2
①

→0
② →0

Ta chứng minh khơng tồn tại giới hạn nói trên.
Thật vậy, xét hai dãy điểm cùng hội tụ đến điểm (0, 0) khi ♥ → ∞ là:
{▼♥ } ; ▼♥ = ♥1 , ♥1 và {▼♥ } ; ▼♥ = ♥1 , ♥2
thì lim♥ →∞ ❢ (▼♥ ) = 21 ; lim♥ →∞ ❢ (▼♥ ) = 25
Ta có với: ❢ (① , ② ) = ① 2①②
+② 2
Như vậy với hai dãy điểm khác nhau cùng tiến về điểm (0, 0) thì hai giới hạn
tương ứng của hai dãy giá trị hàm số khơng bằng nhau. Vậy khơng tồn tại giới
hạn nói trên.
Thac si Nguyen Cong Nhut

Toán cao cấp A2, C2

Ngày 27 tháng 5 năm 2021

19 / 51


3.1.5. Hàm số liên tục

Định nghĩa:
Cho hàm số ② = ❢ (① , ② ) xác định trên tập ❉ ⊂ R2 và (①0 , ②0 ) ∈ ❉ . Ta nói
❢ (① , ② ) liên tục tại (①0, ②0 ) nếu ①lim
❢ (① , ② ) = ❢ (①0, ②0 )
→①
0

② → ②0

Thac si Nguyen Cong Nhut

Toán cao cấp A2, C2

Ngày 27 tháng 5 năm 2021

20 / 51


3.1.5. Hàm số liên tục

Tính chất
1

2

3

4

lim

[❢ (① , ② ) ± ❣ (① , ② )] =

lim

[❢ (① , ② ) · ❣ (① , ② )] =

(① ,② )→(❛ ,❜ )
(① ,② )→(❛ ,❜ )

lim

(① ,② )→(❛ ,❜ )

lim

(① ,② )→(❛ ,❜ )

❢±

❢·

lim

(① ,② )→(❛ ,❜ )

lim

(① ,② )→(❛ ,❜ )

❣

❣

lim
❢ (① ,② )
(① ,② )→(❛ ,❜ )

❢ ( ① ,② )
lim
=
lim
❣ =0
lim
❣ (① ,② ) , nếu (① ,② )→(
(① ,② )→(❛ ,❜ ) ❣ (① ,② )
❛ ,❜ )
(① ,② )→(❛ ,❜ )

Nếu ❢ (① , ② ) ≤ ❣ (① , ② ) ≤ ❤ (① , ② ) và
lim
❢ = lim ❤ = ▼ , thì
(① ,② )→(❛ ,❜ )

Thac si Nguyen Cong Nhut

(① ,② )→(❛ ,❜ )

lim

(① ,② )→(❛ ,❜ )

Toán cao cấp A2, C2

❣ =▼
Ngày 27 tháng 5 năm 2021

21 / 51

3.1.5. Hàm số liên tục

Ví dụ 4.
Tìm

❛ để hàm số liên tục tại (0,0) ❢ (① , ② ) =

①② 2

① 2 +② 2

❛

①②
nếu (① , ② ) = (0, 0)

, nếu ( , ) = (0, 0)
,

Ta có 0 ≤ ① 2 +② 2 ≤ ② 2 = |① |, mà lim ① →0 |① | = 0 do đó
② →0
lim ① →0 ❢ (① , ② ) = 0 Vậy để hàm số liên tục tại (0, 0) thì ❛ = 0.
①② 2

①② 2

② →0

Thac si Nguyen Cong Nhut

Toán cao cấp A2, C2

Ngày 27 tháng 5 năm 2021

22 / 51


3.2. VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
NỘI DUNG

1

Đạo hàm riêng và vi phân hàm hai biến

2

Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân cấp cao

Thac si Nguyen Cong Nhut

Toán cao cấp A2, C2

Ngày 27 tháng 5 năm 2021

23 / 51


3.2.1 Đạo hàm riêng và vi phân hàm hai biến

Đạo hàm riêng

Định nghĩa
Cho hàm số ③ = ❢ (① , ② ) xác định trên tập mở
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

❉ ⊂ R2 và (①0, ②0 ) ∈ ❉ .

❢ (①0 + ∆① , ②0 ) − ❢ (①0, ②0 )
∆①
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm riêng theo biến ① của hàm số ❢ (① , ② ) tại
(①0 , ②0 ), kí hiệu
∂③
❢ (①0 + ∆① , ②0 ) − ❢ (①0, ②0 )
(①0 , ②0 ) = ❢① (①0 , ②0 ) = lim
∂①
∆①
∆① →0
lim
∆① →0

Thac si Nguyen Cong Nhut

Toán cao cấp A2, C2

Ngày 27 tháng 5 năm 2021

24 / 51

3.2.1 Đạo hàm riêng và vi phân hàm hai biến
Đạo hàm riêng

Định nghĩa

② của hàm số ❢ (① , ② ) tại (①0, ②0 ) là
∂③
❢ (①0, ②0 + ∆② ) − ❢ (①0, ②0 )
(①0 , ②0 ) = ❢② (①0 , ②0 ) = lim
∂②
∆②
∆② →0

Tương tự, đạo hàm riêng theo biến

Ví dụ 5.

1

2

❢ (① , ② ) = 3① 2② + ② 3 + ① 2
∂❢
∂❢
∂① (① , ② ) = 6①② + 2① , ∂① (1, 0) = 2
∂❢
∂② (

① , ② ) = 3① 2 + 3② 2, ∂∂②❢ (1, 0) = 3

Thac si Nguyen Cong Nhut

Toán cao cấp A2, C2

Ngày 27 tháng 5 năm 2021

25 / 51