De tai Dinh ly Viet

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (267.47 KB, 34 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Mục lục

Trang

Phần I. Mở đầu...02

1. Lý do chọn đề tài:...02

2. Mục đích nghiên cứu:...03

3. NhiƯm vơ nghiªn cøu:...03

4. Phạm vi và đối tợng nghiên cứu:...03

5. Phơng pháp nghiên cứu:...03

Phần II: Nội dung...04

Ch¬ng I: C¬ së lý ln vµ thùc tiƠn...04

Chơng II: Các biện pháp 
 (Giải pháp) s phạm cần thực hiện...04

BiƯn ph¸p 1:...04

BiƯn ph¸p 2:...04

Chơng III: Thực nghiệm s phạm...31

1. Mục đích thực nghiệm...31

2. Néi dung thùc nghiÖm...31

3. Kết quả thực nghiệm...37

Phần III: Kết luận...38

Tài liệu tham khảo...39

Phn I. M u
1.Lý do chn tài:

Hiện nay đất nớc ta đang trên đà phát triển. Để có thể đổi mới và hội nhập
với các nớc trên thế giới thì cần phải có đội ngũ tri thức trẻ năng động, nhiệt
tình. Vì vậy, giáo dục là vấn đề đợc quan tâm hàng đầu – nhằm nâng cao chất
lợng giáo dục toàn diện ở các cấp học. Mục tiêu dạy học ở các trờng Trung học
cơ sở là hình thành những cơ sở ban đầu và trọng yếu của con ngời mới phát
triển toàn diện, phù hợp với yêu cầu, điều kiện và hoàn cảnh của đất nớc Việt
Nam.

Trong chơng trình bộ mơn tốn ( Bộ mơn Đại số 9 ) ở THCS có một định
lý đã nói rõ mối quan hệ giữa các nghiệm số của một phơng trình bậc hai:

ax2 + bx + c = 0 (a  0) với các hệ số của nó. Đó là định lý do nhà tốn

học nổi tiếng ngời Pháp Prăng xoa Vi-ét (F. Viete) (1540- 1603) tìm ra đợc mang
tên ơng: Định lý Vi-vét.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Việc dạy định lý Vi-ét và nêu ra các ứng dụng của nó trong chơng trình
Đại số 9 có ý nghĩa đặc biệt ở chỗ là: làm cho HS hiểu sâu sắc hơn về các
nghiệm số của một phơng trình bậc 2; nêu đợc quan hệ định tính, định lợng của

các nghiệm số với các hệ số của phơng trình bậc 2. Có thể nói: “Các nghiệm số
của phơng trình bậc 2 dới lăng kính của địmh lý Vi-ét đã ánh lên các sắc màu
rực rỡ”.

Trong chơng trình bộ mơn Tốn 9 có rất nhiều bài tập, đặc biệt là thi vào
THPT xuất hiện nhiều dạng toán liên quan đến hệ thức Viét, nhng thời lợng
ch-ơng trình dành cho học và vận dụng hệ thức Viét khơng nhiều. Vì vậy, muốn học
sinh đọc hiểu và có khả năng vận dụng kiến thức nói chung hay hệ thức Viét nói
riêng vào giải các bài tập phụ thuộc vào lòng say mê công việc, không ngừng suy
nghĩ khai thác các đơn vị kiến thức hệ thống các dạng bài tập để học sinh nhận
diện ra phơng pháp giải và rèn kỹ năng vận dụng kiến thức vào giải dạng bài tập
đó.

Chính vì nhận thấy tầm quan trọng của việc khai thác có hệ thống các đơn
vị kiến thức theo dạng bài tập cơ bản liên quan, tôi mạnh dạn đi sâu suy nghĩ
khai thác đề tài: “

ứ

ng dụng định lý Viét để giải bài toán bậc hai ”với các ứng
dụng cơ bn sau:

+Tính tổng và tích các nghiệm phơng trình bậc hai mà không cần giải

ph-ơng trình ấy.

+ Tính nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai.
+ Tìm hai số biÕt tỉng b»ng S vµ tÝch bµng P.

+ áp dụng hệ thức Viét vào tìm giá trị của tham số m để phơng trình thoả
mãn điều kiện T cho trớc.

+ Lập phơng trình bậc hai một ẩn sử dụng định lý Viột o.

+ Phân tích đa thức ax2 + bx + c (a0) thành nhân tử.

+ Xét dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai.
+ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

+ Gii phng trỡnh v h phng trình nhờ định lý Viét
+ Hệ thức Viét trong sự tơng giao hàm số.

2. Mục đích nghiên cứu:

- Góp phần nâng cao chất lợng dạy học ở bậc THCS, đặc biệt là thi vào
cấp THPT.

- Cung cÊp cho häc sinh một cách có hệ thống nội dung và phơng pháp
của hƯ thøc ViÐt víi c¸c øng dơng phong phó cđa nó.

- Bồi dỡng và ôn luyện cho học sinh lớp 9 thi vào lớp 10 THPT.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Tìm hiểu nội dung dạy học định lý Viét ( Đại số 9 ).

- Tìm hiểu các ứng dụng của định lý Viét trong sách giáo khoa và trong
sách nõng cao.

- Điều tra thực trạng:

Thng xuyờn nghiờn cu các dạng bài tập liên quan đến hệ
thức Viét trong sách giáo klhoa, sách bài tập và sách nâng
cao.

 Thờng xuyên kiểm tra, đánh giá để nhận sự phản hồi của học
sinh. Từ đó giáo viên tự điều chỉnh cách dạy của mình, tìm ra
những phơng pháp dạy phù hợp với đối tợng học sinh của
mình nhằm nâng cao chất lợng dạy và học.

4. Phạm vi và đối t ợng nghiên cứu:

Khi viết đề tài này tôi đã nghiên cứu tại trờng THCS Tuy Lộc –
Huyện Cẩm Khê- Tỉnh Phú Thọ đối với một số học sinh giỏi khối 9.

Phạm vi: 10 em học sinh khá giỏi với các bài tập ở mức độ nâng cao
và bồi dỡng học sinh gii.

5. Ph ơng pháp nghiên cứu:

- Quan sát.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

PhÇn II. Néi dung

Ch ơng I : Cơ sở lý luận và mục đích của chuyên đề.

 Nghị quyết TW II khoá VIII đã khẳng định: “ Phải đổi mới giáo dục đào
tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành thạo nếp t duy
sáng tạo của ngời học. Từng bớc áp dụng phơng pháp tiên tiến và phơng
tiện hiện đại vào quá trình dạy học”

 Luật giáo dục đã khẳng định “ Phơng pháp giáo dục phổ thơng phải phát
huy tính tích cực , tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc
điểm của tong lớp học, môn học”.

 Vận dụng kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa về định lý Viột v cỏc
ng dng ca nú.

Phơng pháp giải một số dạng toán cơ bản và nâng cao.

Phõn tích các dạng tốn, phân loại từng dạng rồi đa ra phơng pháp làm phù
hợp với từng dạng tốn đó.

 Giúp học sinh phát huy năng lực học toán của mình thông qua việc tổng
hợp các phơng pháp.

Thực trạng:
Thuận lợi:

- Đợc sự quan tâm và ủng hộ của BGH cùng đồng nghiệp đóng góp ý
kiến thơng qua các tiết dạy.

- Đa số học sinh có tinh thần hăng say học tập, phát biểu ý kiến xây
dung bài, có tinh thần ham học hỏi các tri thức nâng cao.

- Giáo viên tâm huyết với nghề. Luôn có ý thức tự nâng cao, hoàn thiện
tri thức cho bản thân.

Khó khăn:

- Trng THCS Tuy Lộc là một trờng thuộc vùng núi của tỉnh Phú thọ.
Điều kiện kinh tế gia đình nhiều em cịn khó khăn nên gia đình cha có
sự đầu t cao cho con em mình.

- Nhiều học sinh cha nắm vững đợc các phép tính cơ bản của mơn Tốn.

Ch ¬ng II. C¸c biƯn pháp ( giải pháp) s phạm nâng cao
chất lợng.

1) Biện pháp 1: Điều tra thực nghiệm

- Tìm hiểu lòng say mê học Toán của học sinh líp 9.

- Kiểm tra kiến thức và kỹ năng tính tốn của học sinh về giải phơng
trình bậc hai, cách tìm nghiệm của phơng trình bậc hai theo biệt thức 
, hệ thức Viét đối với phơng trình bậc hai.

2) Biện pháp 2: Hớng dẫn theo từng chủ đề

- Nhắc lại các kiến thức cơ bản liên quan đến hệ thức Viét.

- Đa ra một hệ thống các ứng dụng, mỗi ứng dụn đều có phơng pháp
giải, bài tập từ cơ bản đến nâng cao và bài tập đề nghị cho học sinh về
nhà làm.

Chủ đề 1: Định lý Viet
I. Định lý Viet thuận:

Nếu phơng trình bậc hai dạng : ax2 + bx + c = 0 ( a≠0) cã

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

x1=−b+√Δ

2a
x2=− b −2a√Δ

(Δ≥0) hc

x1=− b
'

√

Δ'
a
x2=−b

'
+√Δ
a
(Δ'≥0)

Trong đó Δ=b2−4 ac ( hoặc Δ'=b'2−ac ; b chẵn ; b =
2b’)

Ta tính đợc tổng 2 nghiệm và tích 2 nghiệm theo các hệ số
a,b,c và biệt thức Δ ( hoặc ' )

Các kết quả tính toán ấy cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa các
nghiệm của phơng trình bËc hai d¹ng ax2 + bx + c = 0 (a0) với hệ số

a,b,c của phơng trình ấy.

Mi liờn h đã đợc Vi- ét, nhà toán học pháp phát hiện vào đầu
thế kỷ XVII và đợc phát biểu thành định lý mang tờn ụng

Định lý Viét: Nếu x1;x2 là hai nghiệm của phơng trình

ax2 + bx + c =0 (a≠0) th×:

¿
x1+x2=−b

a
x1.x2=c
a
¿{

II. Định lý Viet đảo:

NÕu cã 2 sè x1, x2 tho¶ m·n

¿
x1+x2=S

x1.x2=P

¿{

thì chúng là nghiệm số của phơng trình

bậc hai: X2 - SX + P = 0

(§iỊu kiƯn  2 sè x1, x2 lµ S2 – 4P  0)
Chó ý:

 Trớc khi áp dụng hệ thức Viet cần tìm điều kiện để phơng trình có 2

nghiƯm 

¿
a ≠0
Δ≥0(Δ' ≥0)

¿{
¿

Chủ đề 2: Các ứng dụng của định lý Viét để giải bài toán
bậc hai.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

*)Ph ¬ng ph¸p:

 Trớc khi áp dụng hệ thức Viet cần tìm điều kiện để phơng trình có 2

nghiƯm 

¿
a ≠0
Δ≥0(Δ' ≥0)

¿{

 ¸p dơng hệ thức Viét ta có:

x1+x2=b

a
x1.x2=c
a
{

*)Bài tập áp dụng:

Bài 1: Không giải phơng trình hÃy tính tổng và tích ( nếu có ) của các phơng
trình sau đây : a) x2 – 7x +4 = 0

b) x2 – mx -3 = 0 (Èn x)

Gi¶i:

a) x2 – 7x + 4 = 0 (a=1,b=-7,c=4)

Δ = (-7)2- 4.1.4=49-16 = 33>0, phơng trình có hai nghiƯm

ph©n biƯt x1,x2. Theo vi Ðt ta cã:

x1+x2=7

1=7
x1.x2=4

1=4
¿{

¿
b) x2-mx-3=0 ( a=1,b =-m,c=-3)

Δ = b2 – 4ac = (-m)2 - 4.1.(-3) = m2 +12 > 0 ( m )

Phơng trình có hai nghiệm x1,x2. Theo vi ét ta có :

x1+x2=m

x1.x2=3

{

Bài 2: Cho phơng trình :(m + 1)x2 + (2m – 1)x -2 = 0 (1) (ẩn x)

Giả sử x1,x2 là các nghiệm của phơng trình (1);không giải

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Giải: Ta ph¶i cã

¿
m+1≠0

Δ≥0

⇔

¿m ≠−1(∗)
b2−4 ac≥0(**)

¿{
¿

Gi¶i(**): ⇔ (2m -1)2 – 4(m + 1).(-2) 0

⇔ 4m2 - 4m + 1 + 8m + 8 0

⇔ 4m2 +4m +1 + 8 0

⇔ (2m + 1)2 + 8 > 0 ( ∀m )

Tõ (*) vµ (**) suy ra PT (1) cã 2 nghiƯm ph©n biƯt x1,x2 víi

∀m 1

Theo định lý vi ét ta có :

x1+x2=−(2m−1)

m+1
x1.x2= −2

m+1
¿{

¿
MỈt : x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2

(

−(2m −1)
m+1

)

−2. −2
m+1 =

m+1¿2
¿
4m2+5

¿
Tơng tự ta cũng tính đợc x13+ x23

*)Bài tập đề nghị:

Bµi 1: Không giải phơng trình hÃy tính tổng và tích ( nếu có ) của các
phơng trình sau đây :

1. 4x2 + 2x – 5 = 0

2. 9x2 - 12x +4 = 0

3. 5x2 +2x +2 = 0

4. 159x2 - 2x – 1 = 0

5. 2x2 - 5x + 3 = 0

Bài 2: Tìm giá trị của m để phơng trình có nghiệm, rồi tính tổng và
tích các nghiệm theo m.

a) x2 - 2x + m = 0

b) x2 + 2(m-1)x + m2 = 0

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

*)Ph ơng pháp:

1) cho PT bậc 2:ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1).

PT (1) cã 2 nghiÖm x1 =1, x2 = c

a ⇔ a + b + c = 0
Chøng minh:

*PhÇn thuËn

: NÕu x1 =1, x2 = c

a ⇒ a + b + c = 0
ThËt vËy : Do x1 = 1 là nghiệm của phơng trình nên,ta có :

a.12 + b.1 + c = 0 hay a + b +c = 0

x2= c

a cịng lµ nghiệm của phơng trình nên:

2 2

. . 0 0

0( )

( ) 0 0

c c c bc ac

a b c

a a a a a

c loai

c a b c a b c

a b c
 

      

 
 




         

  


VËy: NÕu x1 =1, x2 = c

a ⇒ a + b + c = 0.

Phần đảo

: Nếu a + b + c = 0 ⇒ x1= 1, x2=ca

ThËt vËy : Do a+b+c = 0 ⇒ a = -(b+c), Thay vµo PT (1) ta
đ-ợc:

2 2 2

( ) 0 ( ) (1 ) 0

1 1

1 0

(1 ) ( ) 0

( ) 0

( )

b c x bx c b x x c x

x x

x

x b c x c x c c

b c x c x

b c a

         



  

 

  

        

  

   



 

 


VËy: NÕu a + b + c = 0 ⇒ x1= 1, x2=

c
a .
b) Cho PT: ax2 + bx + c = 0 (a 0) (2).

PT (1) cã 2 nghiÖm x1 =-1, x2 = - c

a ⇔ a - b + c = 0
(Chøng minh t¬ng tự nh trên)

*) Bài tập áp dụng:

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

b) 11x2 – 13x – 24 = 0

c) 11x2 – 13x – 24 = 0

Gi¶i:

a) PT x2 – 6x + 8 = 0 cã   ' ( 3)2 8 1 0 

PT cã 2 nghiÖm x1;x2 tho· m·n

¿
x1+x2=6

x1.x2=8

⇔

¿x1=2
x2=4

¿{
¿

b) PT 11x2 + 13x -24 = 0 cã a + b + c = 11 + 13 + (-24) = 0

Nªn PT cã nghiƯm x1=1; nghiƯm x2= c

a=
−24
11

c) PT 11x2 - 13x -24 = 0 cã a - b + c = 11 + 13 + (-24) = 0

Nªn PT cã nghiƯm x1= -1; nghiƯm x2= c

a =
24
11
Bài tập 2: Cho phơng trình.

x2+ (2m+1)x+ m2-5= 0 (1),(Èn x).

Xác định m để PT(1) có 2 nghiệm x1; x2 sao cho x1=1.Tìm

nghiƯm còn lại?
Giải :
Ta có: 2m+1

24

(m25)=4m+21
=b24 ac=

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

⇔

Δ≥0
a+b+c=0

⇔

¿4m+21≥0
1+2m+1+m2−5=0

⇔

¿m≥ −21
4
m=1

¿
m=−3

¿
¿⇔

¿
¿
m=1

¿
m=−3

¿
¿{

¿
¿
¿

+) m=1 PT(1) cã 2 nghiÖm x1=1; x2=-4

+) m=-3 PT(1) cã 2 nghiÖm x1=1; x2= 4

*) Bài tập đề nghị: Tính nhẩm nghiệm của các phơng trình sau:
1) 7x2 – 9x + 2 = 0

2) 23x2 – 9x - 32 = 0

3) 1975x2 + 4x -1979 = 0

4) (5 + 2)x2 + (5 - 2)x -10 = 0

5) 31,1x2 – 50,9x + 19,8 = 0

øng dụng 3: Tìm hai số biết tổng bằng S và tích bàng P.

*)phơng pháp:

Gọi 1 số là x,số còn lại lµ S-x.Theo bµi ra ta cã PT:
(S-x)x = P ⇔ x2 – Sx + P = 0 (1)

NÕu − S¿2−4P≥0

Δ=¿ thì PT(1) có 2 nghiệm. Các nghiệm đó là các
nghiệm cần tìm.

Tỉng qu¸t: Nếu gọi 2 số cần tìm lần lợt là u,v sao cho:

u+v=S
u.v=P

{

thì
u,v là 2 nghiệm của PT: x2- Sx + P = 0 (§K: S2- 4P 0 )

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

VÝ dơ 1: a)T×m hai sè u,v biÕt : u + v = 2; u.v = 9
Gi¶i:

XÐt S2 - 4P = (22) - 4.9 = -32 < 0

⇒ kh«ng cã hai sè u,v nào thoÃ mÃn bài toán
b) Tìm hai số u,v biÕt u + v = 32; u.v = 231

Gi¶i:

XÐt S2 - 4P = 322 - 4.231 = 100>0. VËy u,v lµ ngiƯm cđa PT :

x2 - 32x + 231 =0

3224 .1 .231=100

=

Vậy 2 số cần tìm là :

u=21

v=9
{

hoặc

u=9
v=21

{

Bài tập 2:

a) Tìm 2 cạnh 1 hình chữ nhật có chu vi là 6a; Diện tích là 2a2.

* Gọi 2 cạnh hình chữ nhật là u vµ v (u > 0; v > 0).

Ta cã:

¿
2u+2v=6a
uv=2a2

¿{
¿



u+v=3a
vu=2a2

¿{
¿

Do (3a)2 - 4 . 2a2 = a2 > 0 nên u, v là nghiệm của phơng trình bậc 2.

t2 - 3at + 2a2 = 0 giải đợc t

1 = a ; t2 = 2a

Vậy độ dài 2 cạnh hỡnh ch nht l a v 2a.

b) Tìm phơng trình bËc 2 nhËn x1; x2 lµ nghiƯm vµ

¿
x12+x22=13

x1x2=6

¿{

(*)

Biến đổi hệ (*) ta có:

x1+x2¿

−2x1x2=13

¿
x1x2=6

¿
¿
¿



x1+x2=5
¿
x1+x2=−5

¿
¿x1x2=6

¿
¿{

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

x1+x2=5
x1.x2=6

x1+x2=5

x1.x2=6

c) Giải hệ phơng trình:

x+3 y=4(1)
xy=27(2)

{

(Ta quy về t×m x, y sao cho
¿
x+y=5
xy=P

¿{

)

Tõ (1) cã 3

√x+√3 y=4⇔x+y+3√3xy(√3 x+√3 y)=64⇔x+y=28

VËy hƯ (1) (2) cã d¹ng

¿
x+y=28
xy=27

¿{
¿

do 282 - 4 . 27 > 0 nªn x, y lµ nghiƯm cđa

ph-ơng trình: t2 - 28t + 27 = 0. Giải đợc t

1 = 1 ; t2 = 27. Hệ có 2 nghiệm:

x=1
y=27

{

;

x=27

y=1
{

d) Giải phơng trình: x

(

5 x

x+1

)

(

x+
5 x

x+1

)

=6 (Đ/K: x -1)
Đặt: u=x

(

5− x

x+1

)

; v =

(

x+
5− x

x+1

)

=6 (§/K: x  -1)

u + v = 5 (2) Tõ (1) và (2) ta quy về tìm u, v sao cho:

u+v=5

u.v=6
{

Do 25 - 24 > 0. Nên u, v là nghiệm phơng trình t2 - 5t + 6 = 0  t

1 = 3; t2 = 2.

Từ đó có:

u1=3

v1=2

{

hoặc

u2=2

v2=3

{

x1 , x2 là nghiệm phơng trình: x2 - 5x + 6 = 0

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Phơng trình đã cho 

x2−2x+3=0
¿
x2−3x+2=0

¿
¿x ≠ −1

¿
¿{

¿
¿
¿

giải đợc x1 = 1; x2 = cho (tho món)

e) Cho phơng trình: x2 +ax + b = 0 cã 2 nghiƯm lµ x và d; phơng trình :

x2 + cx + d= 0 có 2 nghiệm là a và b. Tính a, b, c, d biết rằng chúng đều  0.
Giải:áp dụng định lý Viet vào 2 phơng trình đã cho có:

c + d = - a (1) c . d = b (2)
a + b = - c (3) a . b = d (4)
Tõ (1)  a + c = - d

(3)  a + c = - b

Tõ (2)  c =1 (V× b = d  0)

Tõ (4)  a = 1 (Chia 2 vÕ cho b = d  0)
Thay a = c = 1 vµo (1)  d = - 2  b = - 2

VËy (a, b, c, d) = (1; - 2; 1; - 2)

*)Bài tập đề nghị: Tìm hai số u và v trong mỗi trờng hợp sau đây:
1) u + v = -7; u.v = 12

2) u + v = -5; u.v = -24
3) u - v = 10; u.v = 24
4) u2 + v2 = 85; u.v = 18

5) u + v =

2; u.v = 
1
16

ứng dụng 4: áp dụng hệ thức Viét vào tìm giá trị của tham số m để phơng
trình thoả mãn điều kin T cho trc.

*) Phơng pháp: Có thể thực hiện c¸c bíc:

- B ớc 1: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình đã cho có nghiệm x1, x2.

- B íc 2: ¸p dơng hƯ thøc Viet, ta cã:
¿

x1+x2=f(m)

x1.x2=g(m)
¿{

(*)

- B ớc 3: Kết hợp (*) với điều kiện (Hệ thức cho trớc) suy ra phơng trình có ẩn là
tham số từ đó tìm đợc tham số.

(Chú ý cần đối chiếu tham số cần tìm đợc với iu kin phng trỡnh

đầu có nghiệm số).

*) Các dạng toán cơ bản:

Cho phng trỡnh: ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m.

¿
}

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Yêu cầu bài toán đặt ra: Tìm điều kiện của m để phơng trình (1) cú 2 nghim x1;

x2 thoả mÃn một trong các ®iỊu kiƯn:

a) x1x2  b)

2 2

1 2

x x k

c) 1 2

1 1

n

x x  d) 2 2

1 2

x x h
e)

3 3
1 2

x x t
Phơng pháp giải:

iu kiện chung:  0 (*). Theo định lý Viét ta có:

1 2

(1)

. (2)

b
x x S

a
c
x x P

a



  







a) Trờng hợp: x1x2 (3)

Giải hệ:

1 2

x x S
x x

  

 




 

  x x1; 2

Thay các giá trị của x1; x2 vào (2) m. Chọn các giá trị của m thoả m·n (*)

b)Trêng hỵp:

2 2
1 2

x x k  (x1x2)2 2x x1 2k

Thay 1 2
b
x x

a



 

= S; 1. 2
c
x x P

a
 

ta cã: S2- 2P = k (4). Gi¶i (4)  m

Chän m tho¶ m·n (*)

c)Trêng hỵp: 1 2

1 1

n

x  x   x1x2 nx x1 2  b nc (5)

Gi¶i (5). Chọn m thoả mÃn (*)
d) Trờng hợp:

2 2
1 2

x x h S2 2P h 0

    (6)

Giải bất phơng trình (6). Chọn m thoả mÃn (*)
e) Trêng hỵp:

3 3
1 2

x x t S3 3PS t

   (7). 
Gi¶i (7). Chän m tho¶ m·n (*).

*)Bài tập áp dụng:

Bi tp 1: Xỏc nh cỏc giỏ trị của tham số m để phơng trình:
x2 – (m+5)x – m + 6 = 0

Cã 2 nghiÖm x1; x2 thoả mÃn một trong 2 điều kiện sau:

a) Nghim này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị.
b) 2x1+ 3x2 = 13

Gi¶i:

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Ta cã:  (m5)2 4(m6)m214m1

Tam thøc m214m1 có hai nghiệm phân biệt là:

1 2

7 4 3; 7 4 3

14 1 ( 7 4 3)( 7 4 3)

m m

m m m m

   

  

Điều kiện phơng trình có nghiệm là: 0

Giả sử: x2 > x1. Ta có hệ:

2 1
1 2
1 2

1(1)

5(2) ( )
6(3)

x x

x x m I
x x m

 


  

  


Céng (1) vµ (2) vÕ theo vÕ ta cã: 2x2 = m + 6
2
6
2
m
x 
 

Trõ (2) cho (1) vÕ theo vÕ ta cã: 2x1 = m + 4
1
4
2
m
x 
 

Thay 1

4
2

m
x  

vµ 2

6
2

m
x  

vµo (3):

2 2

4 6

. 6 ( 4)( 6) 4( 6) 10 24 4 24 14 0(**)

2 2

m m

m m m m m m m m m

 

             

m

hoặc m = -14. Các giá trị này của m thoả mÃn (*)
Vây: m = 0 hoặc m=-14

Đối với học sinh khá:

Không cần lập .

Giải (I)  m214m 0 m = 0 hc m = -14
Thư l¹i:

+) Khi m = 0: Ta cã: x2 5x + 6 = 0 phơng trình có 2 nghiƯm lµ 2 vµ 3

đúng điều kiện: x2 – x1= 1

+) Khi m = -14 ta cã: x2 + 9x +20 = 0. Phơng trình có 2 nghiệm là -5 và -4

thoả mÃn điều kiện x2 x1= -4 (-5) = 1.

Vậy : Các giá trị m phải tìm là: m = 0, m = -14.

a) Theo giả thiÕt, ta cã:

'
1 2

1 2
1 2

2 3 13(1 )
5(2)

. 6(3)

x x
x x m
x x m

  

  

  


Từ (1’) và (2)  x1 2 3 ;m x2  3 2m. Thay x1 2 3 ;m x2  3 2m vào (3) ta đợc:

(2+3m)(3-2m) = - m+6  6m260 0  m2 m0 ( Rót gän cho - 6 )
 m = 0 hc m = 1, tho¶ m·n (*)

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Bài tập 2: Cho phơng trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0. Tìm m để phơng

tr×nh cã 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mÃn 1

x1

+ 1
x2

=x1+x2
5

Bài giải:

Ta phải có:

(m2)2(m2+2m3)>0

x1.x20

'

(1) ' = m2 - 4m + 4 - m2 - 2m + 3 = - 6m + 7 > 0  m < 7

6
(2)  m2 + 2m - 3  0  (m - 1)(m + 3)  0  m  1; m  - 3

(3)  x1+x2

x1.x2

=x1+x2

5 ⇔(x1+x2)(5− x1.x2)=0

 Trêng hỵp: x1 + x2 = 0  x1 = - x2 m = 2 không thoả mÃn điều kiƯn

(1)

 Trêng hỵp: 5 - x1.x2 = 0  x1.x2 = 5

Cho ta: m2 + 2m - 3 = 5  (m - 2)(m + 4) = 0

m=2 (loại)

m=4 (thoảmÃn ĐK)

Vy vi m = - 4 phơng trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn
1

x1

+ 1

x2

=x1+x2

Bµi tËp 3:

a) Tìm m để phơng trình: 3x2 + 4 (m - 1)x + m2 - 4m + 1 = 0 có 2 nghiệm phân

biƯt x1. x2 tho¶ m·n:

1
x1

+ 1
x2

2(x1+x2)

Gi¶i:

* Tríc hÕt phơng trình phải có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 0 nên phải có:

> 0 4 (m - 1)2 - 3 (m2 - 4m + 1) > 0  m2 + 4m + 1 > 0.

 m < - 2 - √3 hc m > -2 + √3 (*)
* Theo hÖ thøc Viet ta cã:

x1+x2=4(1−m)

3 ; x1.x2=m

2−4m+1

3
(m2 - 4m + 1  0)  m  2 

√3 (**)
Tõ hÖ thøc cña x1, x2 ta cã:

x1+x2
x1x2

=x1+x2

2 ⇔(x1+x2)

(

x1
1x2

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

 x1 + x2 = 0 (1) hc

1
x1x2−

2=0 (2)

- Tõ (1) cã: 4

3(1−m)=0⇔m=1
- Tõ (2) cã: 3

m2−4m+1=

2  m2 - 4m + 1 = 6

 m2 - 4m - 5 = 0 

m=−1
¿
m=5

¿
¿
¿
¿

* Kết hợp các giá trị của m với điều kiện: (*) (**) ta đợc m = 1 ; m = 5.
Nh vậy: Với m = 1 hoặc m = 5 thì phơng trình đã cho thoả mãn đầu bài
(Chú ý: Có thể tìm m từ hệ hỗn hợp sau:

¿
Δ' ≥0
x1+x2=4(1− m)

3
x1.x2=

m2−4m+1

3 ≠0

1
x1+

1
x2=

2(x1+x2)

¿{ { {
¿
Khi đó: x1+x2

x1x2

=x1+x2

2 nÕu chia cho x1 + x2 sẻ làm mất nghiệm)

b) Cho phơng trình: x2 + bx + c = 0 cã c¸c nghiƯm x

1, x2; phơng trình:

x2 - b2x + bc = 0 cã c¸c nghiƯm x

3, x4. BiÕt x3 - x1 = x4 - x2 = 1. Tìm b và c.
Giải:

* Tríc hÕt ph¶i cã:

¿
b2−4c ≥0
b4−4 bc≥0

¿{
¿

(*)

* Theo gi¶ thiÕt vµ theo hƯ thøc Viet cã:
¿

x1+x2=− b

x1.x2=c

x3+x4=b
2

x3.x4=bc
¿{ { {



x1+x2=−b

x1.x2=c

(1+x1)+(1+x2)=b
2

(x1+1) (x2+1)=bc

¿{ { {
¿

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Tõ (1) vµ (3) cã: b2 + b - 2 = 0  (b - 1) (b + 2) = 0 

b=1
¿
b=−2

¿
¿
¿
¿
Tõ (4) cã: x1x2 + x1 + x2 + 1 =bc c - b + 1 = bc (5)

Với b = 1 thì (5) đúng khi đó pt : x2 + bx + c = 0 trở thành x2 + x + c = 0

Cã nghiÖm nÕu  = 1 - 4c  0  c ≤1
4

Pt: x2 - b2x + bc = 0 trë thµnh x2 - x + c = 0 cịng cã nghiƯm nÕu c ≤1

4 :
- Víi b =- 2 (5) trë thµnh c + 3 = - 2c  c = - 1

Khi đó phơng trình: x2 - b2x + bc = 0 trở thành x2 - 4x + 2 = 0 cú nghim l

22 .

Phơng trình: x2 + bx + c = 0 trë thµnh x2 - 2x - 1 = 0 cã nghiƯm lµ 1±
√2
* KÕt ln: (b = 1 ; c ≤1

4 ) hc (b = - 2 ; c = - 1)
(Vì các giá trị này thoả mÃn điều kiện (*))

c) Tìm các số p và q của phơng trình: x2 + px + q = 0 sao cho các nghiệm của nó

thoả mÃn:

x1 x2=5

x13 x23=35
{

Giải: * Trớc hết phải có điều kiện: > 0  p2 - 4q > 0

Gi¶i hƯ sau:

x1+x2=− p

¿
x1.x2=q

x1− x2=5

¿
x13− x23=35

{ {
¿
¿ ¿

(1)
(2)
(3)
(4)

Tõ (3) cã: (x1 - x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 = p2 - 4q = 25 (5)

Tõ (4) cã: x13− x
2
3

=(x1− x2)(x12+x1x2+x22)=5

[

(x1+x2)2− x1x2

]

=35
 (x1 + x2)2 - x1x2 = p2 - q = 7 (6)

Kết hợp (5) và (6) ta cã:

¿
p2−4q=25

p2−q=7

¿{
¿

(*)

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

NghiƯm cđa hƯ (*) lµ:
¿
p=1
q=−6

¿{
¿

;

p=1
q=6

{

thoả mÃn điều kiện: p2 - 4q > 0

Kết luận:

p=1
q=6

{

hoặc

p=1
q=6

{

*) Bi tp ngh:

Bài 1: Cho phơng trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1)

Tìm giá trị của tham số m để phơng trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2.

Bài 2: Cho phơng trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm.

b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm,
nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?

c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phơng trình thoả mãn: x1 + 4x2 = 3.

d) T×m mét hƯ thøc giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m.

ng dng 5: Lập phơng trình bậc hai một ẩn sử dụng nh lý Viột o.

*) Phơng pháp:

Ta thiết lập 1 phơng trình bậc 2 nhận các số x1; x2 là các nghiệm dựa trên

c s (nh lý Viet o).

Nếu x1 + x2 = S ; x1.x2 =p th× x1, x2 là nghiệm của phơng trình

x2 - Sx + P = 0 (S2 - 4P 0)
*) Bài tập áp dơng:

Bµi tËp 1: Cho x1 = √3+1

2 ; x2 =
1
1+√3
LËp phơng trình bậc hai có nghiệm là: x1; x2

Ta có: x1 = √3+1

2 ; x2 =
1

1+√3 =

1−√3

(1+√3) (1−√3)=

√3−1
2

Nªn x1.x2 = √3+1

2 .
1

1+√3 =
1
2
x1 + x2 = √3+1

2 +
1

1+√3 = √3

VËy phơng trình bậc hai có 2 nghiệm: x1; x2 là x2 - √3 x+ 1

2 = 0
Hay 2x2 - 2

√3 x + 1 = 0

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Kh«ng giải phơng trình (1), h·y lËp một phơng trình bậc hai có các
nghiệm là luỹ thừa bậc bốn của các nghiệm phơng trình (1)

Cách gi¶i:

Gọi x1; x2 là các nghiệm của phơng trình đã cho theo hệ thức viét, ta có:

x1 + x2 = -5; x1.x2 = - 1

Gọi y1; y2 là các nghiệm của phơng trình phải lập, ta có:

y1 + y2 = x14+x24

y1..y2 = x14.x24

Ta cã:

¿
x14

+x24
¿

= (x12+ x22)2 - 2x12.x22 = 729 – 2 = 727

x14.x24 = (x1.x2)4 = (- 1)4 = 1

Vậy phơng trình cần lập là: y2 - 727y + 1 = 0
*) Bài tp ngh:

Bài 1: Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiƯm lµ √3 + √2 vµ 1

3+2
Bài 2: Lập phơng trình bậc hai thoả mÃn điều kiƯn:

Cã tÝch hai nghiƯm: x1.x2 = 4 vµ

x1
x1−1

+ x2
x2−1

= k

−7
k2−4

Bài 3: Xác định có số m, n của phơng trình: x2 + mx + n = 0

Sao cho các nghiệm của phơng trình làm m và n.

Bài 4: Gọi , là các nghiệm của phơng trình: 3x2 + 7x + 4 = 0 không

phải phơng trình hÃy thành lập phơng trình bậc 2 với hệ số bằng số mà các
nghiệm của nó lµ: α

β −1 vµ

β
α −1 .

Bµi 5: Cho a lµ sè thùc sao cho a + 1 0. Lập phơng trình bậc 2 có 2
nghiệm x1; x2 thoả mÃn các hệ thức:

4x1x2 + 4 = 5 (x1+ x2) (1)

(x1 - 1) (x2 - 1) = 1

a+1 (2)

ứng dụng 6: Phân tích đa thức ax2 + bx + c (a0) thành nhân tử.
*) Phơng pháp:

Bài toán: Cho PT: ax2 + bx + c = 0 (a≠0) (1)

Chøng tá r»ng: NÕu PT cã 2 nghiƯm x1; x2 th× :

ax2 + bx+ c = a(x - x

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Gi¶i: PT (1) cã nghiƯm ⇔Δ ≥0 . Gi¶ sư x1, x2 lµ nghiƯm cđa PT(1),

theo vi Ðt ta cã:

¿
x1+x2=−b

a
x1.x2=c

a
¿{

⇒ ax2 + bx + c = a(x2+ b

ax+
c
a¿ =

a

[

x2−

(x1+x2)x+x1x2

]

= a(x2-x.x1- x.x2+ x1.x2) = a(x-x1)(x-x2)

VËyPT ax2+bx+c = 0 cã 2 nghiƯm x

1,x2 th× ax2+bx+cx = a(x-x1)(x-x2)

Kết luận: ax2+bx+c = a(x-x

1)(x-x2)

a 0
0
{

Đặc biÕt nÕu

¿
a
¿Δ=0

¿{0|

th× ax2+bx+cx =

[

a(x x0)

]

*) Bài tập áp dụng:

Bài tập1: Phân tích đa thức 2x2 - 5x + 3 thành nhân tử ?

Xét PT bậc hai tơng ứng: 2x2 -5x + 3 = 0. Ta cã: 2+(-5)+3=0 nªn cã

nghiÖm x1=1; x2= 3

2 suy ra 2x2-5x +3 =
2(x-1)(x-3
2 )
Bài tập 2: Chứng minh rằng đa thức 5x2 +2

10 .x + 2 viết dợc về
dạng bình phơng một nhị thức?

Giải: Xét phơng trình bậc hai tơng ứng 5x2 +2

10 .x + 2 = 0

√10¿2−2. 5=0
Δ'

=¿ PT cã nghiÖm kÐp x1 = x2 =

−√10

5 .Do đó ta
có: 5x2 +2

√10 .x + 2 = 5

x+√10
5 ¿

[

√5(x+√10
5 )

]

(x+√10
5 )(x+√

10
5 )=5¿

Bµi tËp 3: Rót gän biĨu thøc: a

9a2+8
2a45a2+3

Điều kiện Ta phải có 2a4 - 5a2 +3 0

Đặt a2 = y ta có 2y2 -5y +3 = 0 
⇒

y1=1

y2=3

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

VËy 2y2 -5y +3 ≠ 0

⇔

y1≠1

y2≠32

⇒2a4−5a2+3
¿a2≠1

a2≠3
2

⇔

¿{

a ≠ ±1 vµ a ≠ ±

√

3
2

Víi a2=y ta cã a

−9a2+8
2a4−5a2+3=

y2−9y+8
2y2−5y+3

XÐt y2 - 9y + 8 = 0 cã 2 nghiÖm y

1=1;y2=8 ⇒y2−9y+8=(y −1)(y −8)

2y2- 5y + 3 = 0 cã 2 nghiƯm y

1=1;y2= 2

⇒2y2−5y

+3=(y −1)(y −3
2)

VËy víi y≠1 và y 32 thì

y29y+8
2y25y+3=

(y 1)(y 8)
2(y −1)(y −3
2)

= y −8
2(y −3

Do đó với
¿
a ≠±1
a ≠

2
{

thì

a49a2

+8
2a45a2+3=

(a21)(a28)
2(a21)(a23
2)

= a

28

(a22
3)

Việc phân tích đa thức f(x) = ax2 + bx + c (1) (a  0) thành nhân tử

nh trờn c dựng xột dấu đa thức bậc 2.Nghiệm của đa thức (1)

chÝnh lµ nghiệm của phơng trình bậc hai tơng ứng ax2 + bx + c = 0.

øng dông 7: XÐt dÊu các nghiệm của phơng trình bậc hai.

*) Phơng pháp:

Cho phơng tr×nh bËc 2 ax2+bx+c = 0 (a≠0) cã 2 nghiƯm x

1;x2 ( x1≤ x2¿

Gäi x1 + x2 = S x1.x2 = P. Ta cã:

a) NÕu P < 0 th× x1 < 0 < x2 ( 2 nghiƯm tr¸i dÊu)

b) NÕu
¿
Δ≥0
P>0
S>0
¿{ {

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

c) NÕu
¿
Δ≥0
P>0
S<0
¿{ {

th× x1≤ x2<0 x1 (2 nghiƯm ©m)

d) NÕu
¿
Δ≥0
S ≥0

⇒

¿{
¿

phơng trình có 1 nghiệm dơng( S = 0 có 2 nghiệm đối

nhau)

e) NÕu
¿
Δ>0
P=1
¿{

⇔ phơng trình có 2 nghiệm là nghịch đảo của nhau

*) Bài tập áp dụng:

Bi tp 1: Tỡm m m phơng trình x2-2x(m+2)+m2+2m+3 = 0(1) có

Ýt nhÊt 1 nghiƯm d¬ng

Giải: Phơng trình (1) có nghiệm dơng

'0
b

a 0

[(m+2)]2(m2+2m3)0
2(m+2)0

m7
2
m 2

m 2
{

Vậy m 2 thì phơng trình (1) có ít nhất 1 nghiệm dơng.
Bài tập 2: Cho phơng trình: mx2 - 2(3 - m)x + m - 4 = 0 (1)

Xác định m để phơng trình: - Có đúng 1 nghiệm õm
- Cú 2 nghim i nhau.

Giải: Xét 2 trờng hợp:

* TH1: Víi m =0 ta cã: (1)  - 6x - 4 = 0 x=2

3 là nghiệm âm duy

nhất của phơng trình.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

x1<0 x2

x1=x2<0

x1<0=x2

x1<0<x2

x1=x2<0



f(0)=0 vµS<0
¿
p<0

¿
Δ=0 vµ− b

2a<0
¿
¿
¿
¿



m=4
¿
0<m<4

¿
m=9

2
¿
¿
¿
¿
VËy m  (0; 4] hc m = 9

2 thì phơng trình có đúng 1 nghiệm âm.
Bài tập 3: Cho phơng trình: 2x2 - (m - 1)x + m2 - 4m + 3 = 0 (1)

* Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm.

* Xác định dấu của các nghiệm x1, x2 (x1  x2) với các giá trị tìm đợc của m.
Giải: * Vì (1) là phơng trình bậc 2 ẩn x tham số m có nghiệm số

 ’  0  (m - 1)2 - 2 (m2 - 4m + 3)  0  - m2 + 6m - 5  0

 m2 - 6m + 5  0  (m - 1) (m - 5)  0  1  m  5.

* Theo hÖ thøc Viet cã: P = x1x2 = m

−4m+3
2
S = x1 + x2 = m - 1

- XÐt dÊu cña P = x1.x2.

Ta cã: m2 - 4m + 3 = 0  m = 1 hc m = 3

m 1 3

x1x2 + 0 - 0 +

NÕu m = 1 th× p = 0 vµ s = 0  x1 = x2 = 0

NÕu m = 3 th× p = 0 ; s > 0  0 = x1 < x2

NÕu 3 < m  5 th× p > 0 ; s > 0  0 < x1 < x2

Nếu 1 < m < 3 thì p < 0  x1 < 0 < x2.
*)Bài tập đề nghị:

Bài tập 1: Tìm giá trị của m để phơng trình: (m - 1)x2 + 2x + m = 0 (1)

cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm không âm.

Bài tập 2: Cho PT x4 - 5x2 + 4 = 0(1). Không giải phơng trình hÃy xét

xem PT (1) có bao nhiêu nghiệm.

Bài tập 3: Cho phơng tr×nh x2 +2(m-2)x - 2m +3 = 0.

a) Giải phơng trình khi m = -1

b) Xác định m để phơng trình cú 2 nghim dng.

ứng dụng 8: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

*) Phơng pháp:

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

- Nếu S = x1 + x2 (khơng đổi) cịn P = x1 . x2 thay đổi.

Do S2 - 4P  0  P  S

4
P = S2

4  x1 = x2 =
− b

2a=
S
2
 maxP = S

4  x1 = x2 =
S

2 (V× x2 - Sx + P = 0 cã nghiÖm kÐp)

KL: Hai số có tổng khơng đổi tích lớn nhất  2 số bằng nhau.

- Nếu x1 > 0; x2 > 0 và x1 x2 = P (Khơng đổi)

Cịn S = x1 + x2 (thay đổi)

Do: S2 - 4P  0  (S −2

√P) (S+2√P)≥0

 S - 2√P  0 ; S = 2√P  x1 = x2 = √P

KL: 2 số dơng có tích khơng đổi tổng nhỏ nhất khi chúng bằng
nhau.

*) Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình:

x2 - (2m - 1)x + m – 2 = 0

Tìm m để x1
2

+x22 có giá trị nhỏ nhất
Bài giải:

Xét: = 4m2 - 4m + 1 - 4m + 8 = 4m2 - 8m + 9 = 4(m - 1)2 + 5 > 0

Nên phơng trình đã cho có hai nghiệm với mọi m
Theo định lý Viét ta có: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m - 2

 x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (2m - 1)2 - 2(m - 2)

=4m2 - 6m + 5 = (2m - 3

2 )2 +
11

4 
11

4
DÊu “=” x¶y ra khi m = 3

4
VËy Min(x12 + x22) = 11

4 khi m =
3
4

Bµi tËp 2: Gọi x1; x2 là nghiệm của phơng trình:

2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2

Cách giải:

phng trỡnh ó cho cú nghiệm thì:

' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5)  0 - 5  m 

- 1 (*)

Khi đó theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = - m – 1;x1 .x2 = m

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Do đó: A =  m

+8m+7

2 

Ta cã: m2 + 8m + 7 = (m + 1)(m + 7) víi ®iỊu kiƯn (*) th×: (m + 1)(m + 7)  0.

Suy ra: A = − m

+8m−7

2 =

m+4¿2
¿
9−¿

 9
2
DÊu b»ng x¶y ra khi (m + 4)2 = 0 hay m = - 4

Vậy A đạt giá trị lớn nhất là: 9

2 khi m = - 4, giá trị này thoả mÃn điều kiện (*).

*) Bài tập đề nghị:

Bµi 1: Gäi x1, x2 lµ các nghiệm của phơng trình.

x2 + 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0

Tìm m để
¿
x12

+x22
¿

cã gi¸ trị nhỏ nhất.
Bài 2: Cho phơng trình: x2 - m + (m - 2)2 = 0

Tìm giá trị lớn nhất vµ nhá nhÊt cđa biĨu thøc
A = x1x2 + 2x1 + 2x2

Bài 3: Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m lµ tham số). Tìm

m sao cho 2 nghiệm x1; x2 của phơng trình thoả mÃn 10x1x2 +

x1

+x22

t giỏ tr
nh nht. Tỡm giá trị đó.

ứng dụng 9: Giải phơng trình và hệ phng trỡnh nh nh lý Viột

*) Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Giải phơng trình: x

(

5 x

x+1

) (

x+
5− x

x+1

)

=6
Híng dÉn: §KX§: {xR  x  - 1}

Đặt:

{

u=x.5 x
x+1
=x+5 x

x+1

{

u+=?
u.=?
Tớnh: u, v, ri t ú tớnh x.

Bài giải:

ĐKXĐ: {x R x - 1}

Đặt:

{

u=x.5 x
x+1
=x+5 x

x+1

(*) 

{

u+ν=

(

x.5− x
x+1

)

(

x+

5− x
x+1

)

u.ν=

(

x.5− x

x+1

)

(

x+
5− x

x+1

)

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

u, v là nghiệm của phơng trình: x2 - 5x + 6 = 0

Ta cã:  = 25 – 24 = 1> 0 suy ra: x1 = 5+1

2 = 3; x2 =
5−1

2 = 2
u = 3 thì v = 2 hoặc u = 2 th× v = 3

NÕu:

{

u=3

ν=2 th× (*) trë thµnh: x2 - 2x + 3 = 0

Ta cã: ' = 1 – 3 = - 2 < 0 Phơng trình vô nghiệm:
Nếu:

{

u=2

=3 thì (*) trở thành: x2 - 3x + 2 = 0. Suy ra: x1 = 1; x2 = 2

VËy ph¬ng trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2.

Bài tËp 2: Gi¶i hƯ :

{

x+y+yx=7
xy2

+x2y=12

Giải: Đặt x + y = S và xy = P. Ta có hệ:

{

S+P=7
S.P=12
Khi đó S và P là hai nghiệm của phơng trình: t2 – 7t + 12 = 0.

Giải phơng trình này đợc t = 4 và t = 3.

+ Nếu S = 4 thì P = 3 khi đó x, y là nghiệm của phơng trình:
u2 - 4u + 3 = 0  u = 1 và u = 3

Suy ra (x = 1; y = 3) vµ (x = 3; y = 1)

+ Nếu S = 3 thì P = 4 khi đó x, y là nghiệm của phơng trỡnh:
v2 3v + 4 = 0

Phơng trình này vô nghiƯm v×  = 9 - 16 = - 7 < 0

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm số là:(x = 1; y = 3) và (x = 3; y =1)

*) Bi tp ngh:

Bài 1: Giải phơng trình: x3 + 9x2 + 18 + 28 = 0

Bài2: Giải các hệ phơng trình sau:
a)

x+y=9
+y

=4
x2

b)

{

x+y=3

x4

+y4=17

ứng dụng 10: Hệ thức Viét trong sự tơng giao hàm số.

*) Phơng pháp:

Ph ơng trình đ ờng thẳng (d): y = ax + b (a  0) víi Parabol (P):

y = mx2 (m  0):

1. Dạng 1: Lập phơng trình đờng thẳng y = ax + b (a  0) đi qua 2 điểm A (xA;

yA); B (xB; yB) thuéc Parabol y = mx2 (m  0)

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Từ đó theo Viet ta có:

¿
xA+xB=a

m
xA.xB=− b

m
¿{

(*)

Tõ (*) t×m a vµ b  PT (d)

2. Dạng 2:Lập phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với Parabol (P) tại điểm M (xM; yM)

* Cơ sở lý luận: Do (d) và (P) có duy nhất 1 giao điểm nên phơng trình:
mx2 - ax - b = 0 cã nghiÖm kÐp: x

1 = x2. VËn dơng hƯ thøc Viet, ta cã:

¿
x1+x2=a

x1x2=−bm

¿{
¿

 a vµ b

 phơng trình tiếp tuyến.

*) Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Cho parabol (P) có phơng trình: (P): y = x2.

Gọi A và B là 2 điểm  (P) có hồnh độ lần lợt là xA = - 1 ; xB = 2. Lp

ph-ơng trình dờng thẳng đi và A và B.

* Giải: (Ta có thể ứng dụng hƯ thøc Viet).

* Giả sử phơng trình đờng thẳng (AB): y = ax + b

Phơng trình hồnh độ giao điểm của (AB) và (P) là: x2 = ax + b

 x2 - ax - b =0 (*).

Ta cã: xA = - 1 ; xB = 2 lµ nghiƯm của phơng trình (*).

Theo Viet ta có:

xA+xB=a
xAxB= b

{

a=1
b=2
{

Vy phng trình đờng thẳng (AB) là: y = x + 2
Bài tập 2: Cho (P): y=x

4 ; A  (P) có hồnh độ xA = 2 lập phơng trình đờng
thẳng tiếp xúc với (P) tại A.

Gi¶i:

Giả sử phơng trình tiếp tuyến tại A là (d): y = ax + b. Phơng trình hồnh
độ giao điểm của (d) và (P) là: x

4 = ax + b  x

2 - 4ax - 4b = 0 (*)

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Theo Viet ta có:

x1+x2=4a

x1x2=4b

{

a=1
b=1

{

Vậy phơng trình tiếp tuyến (d) là: y = x 1

Chơng III. Thực nghiệm s ph¹m
1.

Mục đích thực nghiệm:

- Kiểm tra hiệu quả của đề tài nghiên cứu.

- Tìm ra những thiếu sót cần khắc phục để cho đề tài đợc hồn thiện hơn.

2. Néi dung thùc nghiƯm:

Gi¸o ¸n 1 :

hƯ thức vi-ét và ứng dụng

Ngày soạn:20/12/2010
Ngày giảng:23/12/2010

A.Mục tiêu :

1.Kin thức: HS nắm vững các hệ thức Viét. HS vận dụng đợc những ứng

dơng cđa hƯ thøc Vi Ðt nh:

- BiÕt nhẩm nghiệm của pt bậc hai trong các trờng hợp:

a + b + c = 0 ; a - b + c = 0 hoặc trờng hợp tổng và tích của hai nghiệm
là những số nguyên với giá trị tuyệt đối không quá lớn.

- Tìm đợc hai số biết tổng và tích của chúng.

2.Kỹ năng: HS vận dụng thành thạo để giải bài tập.

3.Thái độ: Giáo dục ý thức suy luận logic.

B.ChuÈn bÞ:

- GV: Bảng phụ, máy tính bỏ túi.

- HS: Ôn tập công thức nghiệm tổng quát của pt bậc hai.

C.Tiến trình dạy học:

I. Tổ chức:
II. Kiểm tra:

? Gii pt: 2x2 – 9x + 2 = 0 sau đó tính tổng, tích 2 nghiệm?

III. Bµi míi:

Giáo viên giới thiệu: Ta đã biết cách tìm nghiệm của phơng trình bậc hai bằng
công thức nghiệm (  và '). Vậy, nếu khơng cần giải phơng trình bậc hai 
liệu có thể tính đợc tổng và tích hai nghiệm của phơng trình bậc hai hay
khơng? Để biết đợc điều đó chúng ta đi tìm hiểu bài học ngày hơm nay.

Hoạt động của GV Hoạt động của HS
1. Hệ thức Vi-ét.

- GV §V§ vµo bµi:

Nêu công thức nghiệm tổng quát
của pt bậc hai nếu  > 0 ;  = 0 cỏc
cụng thc ny cú ỳng khụng ?

- Yêu cầu HS lµm ?1.

TÝnh x1 + x2 ; x1. x2.

- GV nhËn xÐt bµi lµm cđa HS rồi nêu:
Nếu x1 và x2 lµ 2 nghiƯm cña pt:

ax2 + bx + c = 0 (a  0) th×:

{

x1+x2=−b
a
x1.x2=c

a

- Yêu cầu HS hoạt động nhóm ?2, ?3.
Nửa lớp làm ?2, nửa lớp làm ?3.

HS:
x1+x2 =

b
a


.
x1.x2 =

c
a

- HS đọc lại hệ thức SGK.
?2. 2x2 - 5x + 3 = 0

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

a + b + c = 2 - 5 + 3 = 0
b) Thay x1 = 1 vµo pt:

Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Đại diện các nhóm lên trình bày.

- GV ®a tổng quát lên bảng phụ.

GV: Yêu cầu làm ?4.

2.12 - 5.1 + 3 = 0

 x1 = 1 lµ 1 nghiƯm cđa pt.

c) Theo hƯ thøc Vi Ðt:
x1. x2 = c

a , cã x1 = 1  x2 =
c
a =
3

2 .

?3. Cho pt: 3x2 + 7x + 4 = 0

a) a = 3 ; b = 7 ; c = 4.
a - b + c = 3 - 7 + 4 = 0
b) Thay x1 = - 1 vµo pt:

3. (-1)2 + 7. (-1) + 4 = 0

 x1 = -1 lµ 1 nghiƯm cđa pt.

c) Theo hƯ thøc Vi Ðt: x1. x2 = c

a ;
cã x1 = -1  x2 = - c

a
=-4
3
?4:

a) -5x2 + 3x + 2 = 0

cã a + b + c = -5 + 3 + 2 = 0
 x1 = 1 ; x2 = c

a = -
2
5 .
b) 2004x2 + 2005x + 1 = 0

a - b + c = 2004 - 2005 + 1 = 0
 x1 = -1 ; x2 = - c

a = -
1
2004 .
2.T×m hai sè biÕt tổng và tích của chúng.

?Tìm hai số biết tổng của chóng b»ng
S vµ tÝch cđa chóng b»ng P.

Chọn ẩn số và lập phơng trình bài
toán.

- Nghiệm của pt là hai số cần tìm.
Vậy: Kết luận SGK.

- Yêu cầu HS đọc VD SGK.
- Làm ?5. (trả lời miệng).

- Yêu cầu HS hoạt động nhóm VD2
rồi áp dụng làm bài 27 SGK.

Gäi sè thø nhÊt lµ x thì số thứ hai là
(S - x)

TÝch hai sè b»ng P, ta cã pt:
x. (S - x) = P

 x2 - Sx + P = 0.

pt cã nghiÖm nÕu  = S2 - 4P  0

- Yêu cầu HS đọc kết luận SGK.
?5. Hai số cần tìm là nghiệm của pt:
x2 - x + 5 = 0.

 = - 19 < 0 vô nghiệm.
không có số nào.

IV. Cđng cè: - Ph¸t biĨu hƯ thøc ViÐt, viÕt c«ng thøc nghiƯm cđa hƯ thøc
ViÐt.

V. H íng dÉn : - Häc thc hƯ thøc ViÐt vµ cách tìm 2 số biết tổng và tích.
Nắm vững cách nhÈm nghiƯm.Lµm BT: 25, 28, 29 SGK ; 35, 36 /SBT.

Gi¸o ¸n 2:

Mét sè øng dơng kh¸c cđa hƯ thøc viét

Ngày soạn:20/12/2010
Ngày giảng:25/12/2010

A.Mục tiêu :

1.Kin thc: HS nắm vững các hệ thức Vi ét. HS vận dụng đợc những ứng

dơng cđa hƯ thøc Vi Ðt nh:

- Tìm giá trị của tham số m để phơng trình thoả mãn điều kiện T
cho trớc.

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

- XÐt dÊu c¸c nghiƯm của phơng trình bậc hai.

2.K nng: HS vn dng thành thạo hệ thức Viét để giải bài tập.

3.Thái độ: Giáo dục ý thức suy luận logic.

B.ChuÈn bÞ:

- GV: Bảng phụ, máy tính bỏ túi.

- HS: Ôn tập công thức nghiệm tổng quát của pt bậc hai và hệ thức Viét.

C.Tiến trình dạy học:

I. Tổ chức:

II. Kiểm tra: ? Viết công thức hệ thức Viét
III. Bài míi:

Giáo viên giới thiệu: Ta đã biết một số ứng dụng của định lý Viét nh: Khơng
giải phơng trình tính tổng và tích hai nghiệm, tìm hai số biết tổng và tích của
chúng,…Bài học ngày hơm nay chúng ta sẽ đi tìm hiểu thêm một vài ứng
dụng khác của định lý Viét nhằm phục vụ cho việc ôn thi vào THPT đợc tốt
hơn.

Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Hoạt động 1. Kiến thức cần nh.

GV: Yêu cầu HS nhắc lại nội dung của

nh lý Viét? *) Định lý Viét: Nếu xnghiệm của phơng trình: ax1;x2 là hai 2 + bx + c =

0 th×:

1 2

1. 2

b
S x x

a
c
P x x

a


  



  



Hoạt động 2. Một số ứng dụng của định lý Viét:
1. ứng dụng 1: Tìm điều kiện của tham

số m để bài tốn thoả mãn đều kiện T
nào đó.

GV: §a ra nội dung dạng toán
Bài tập 1: Cho pt:

x2+(4m+1)x+2(m-4)=0 (1)

Tìm m để pt có 2 nghiệm x1; x2 thoả

HS: Ghi bµi

Hoạt động của GV Hoạt động của HS
mãn điều kiện: x2 – x1 = 17?

? Điều kiện để phơng trình có nghiệm
là gì?

? TÝnh tỉng vµ tÝch 2 nghiƯm cđa pt?
? LËp hƯ pt gåm tỉng vµ tích hai
nghiệm, kết hợp với yêu cầu bài toán
đa ra?

GV: Hớng dẫn HS làm?

? Từ (1) và (2) tìm x1 và x2 theo m?

? Th x1 v x2 vừa tìm đợc vào (3) để

t×m m?

GV: Gọi 1 HS lên bảng làm?

2. ứng dụng 2: Tìm hệ thức liên hệ
giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào
m.

Bài tập 2: Cho pt:

x2-2(m+3)x+4m-1=0

Tìm 1 hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm
không phụ thuộc vào m?

GV: hớng dÉn:

Ta cã:  = 16m2+33 > 0 m. nªn pt

ln có 2 nghiệm phân biệt.
Khi đó:

1 2
1 2

(4 1)
. 2( 4)

x x m
x x m

  





 



Theo đề bài ra ta có:

2 1
1 2
1 2

17(1)

(4 1)(2)
. 2( 4)(3)

x x

x x m
x x m

 


  

  


Từ (1) và (2) ta đợc:
x1=-2m-9; x2=-2m+8

thế vào (3) đợc: 4m2 – 64 = 0

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

? Tìm điều kiện để pt có 2 nghiệm?

? Tính tổng và tích 2 nghiệm rồi lập hệ
gồm tổng và tích 2 nghiệm ú?

? Từ hệ trên triệt tiêu m bàng cách
nào?

? HÃy nhận xét về phơng pháp giải bài
toán tổng quát trên?

Giải:

0 (m+3)2-(4m-1)0

2 2 10 0 ( 1)2 9 0

m m m m

        

 pt lu«n cã 2 nghiƯm x1; x2
Ta cã hÖ pt:

2( 3) 2 4 12

4 1 4 1

S m S m

P m P m

   
 

 
   
 

Trừ từng vế 2 đẳng thức ta đợc:
2S – P = 13 hay: 2(x1+x2)-x1x2=13

Râ rµng: HƯ thøc liên hệ giữa hai
nghiệm này không phụ thuộc m.
*) Phơng pháp giải:

vit c h thc gia hai nghiệm
không phụ thuộc m ta làm theo 2 bớc:
- Bớc 1: Theo hệ thức Viét viết các hệ
thức của S và P theo m.

- Bớc 2: Dùng quy tắc cộng hoặc quy
tắc thế để khử m.

Hoạt động của GV Hoạt động của HS
3. ứng dụng 3: Xét dấu các nghiệm của

pt bËc hai.

GV: §a ra néi dung bài toán:
Bài toán 3: Cho pt:

3mx2 + 2(2m+1)x+m=0

Xỏc nh m để pt có 2 nghiệm âm?
GV: hớng dẫn:

? §Ĩ pt có 2 nghiệm âm trớc tiên phải
cần điều kiện gì?

? Để pt có 2 nghiệm âm thì dấu cđa
tỉng vµ dÊu cđa tÝch 2 nghiƯm nh thÕ
nào?

? Giải hệ

0
0
0
0
m
S
P

tỡm m?

GV: lu ý cho häc sinh:

Trớc khi xét dấu các nghiệm của pt
bậc hai cần chú ý điều kiện có nghiệm
của pt. Sau đó dựa vào yêu cầu dấu các
nghiệm mà đề bài cần yêu cầu để xét
xem tổng hai nghiệm và tích hai
nghiệm mang dấu gì?

Ph©n tích:

Để pt có 2 nghiệm âm trớc tiên phải
cần ®iỊu kiƯn : m0;  0

§Ĩ pt cã 2 nghiƯm âm thì dấu của tổng
và dấu của tích 2 nghiệm:

S < 0 và P > 0

Giải:

pt ó cho có 2 nghiệm âm thì:

0 4 1 0

0 2 3

0 3 0

0 2(2 1)
0
3

m

m m m

m
m

P m m

S m

m




   

  
 
 
 
   
  
 
   
 



IV. cñng cè:

- Định lý Viét. Điều kiện để định lý Viét tồn tại ( 0)

- Các ứng dụng của định lý Viét và phơng pháp trình bày, những chú ý
khi làm các dạng bài tập đó.

V. H íng dÉn:

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

- Hệ thống lại các ứng dụng của định lý Viét và các phơng pháp giải.
- Bài tập: Xác định tham số m sao cho pt:

a) 2x2-3(m+1)x+m2-m-2 cã 2 nghiÖm trái dấu?

b) mx2-2(m-2)x+3(m-2)=0 có 2 nghiệm cùng dấu?

3. Kết quả thùc nghiƯm:

Bµi tËp kiĨm tra.

( Thêi gian: 90 phót)
Bµi tËp 1: Tìm 2 số u và v trong mỗi trờng hỵp sau:

a) u + v = 4; u.v = 19
b) u + v = -8; u.v = -105

Bài tập 2: Tìm giá trị của m để phơng trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các
nghiệm theo m.

a) x2- 2x + m = 0

b) x2 +2(m-1)x + m2 = 0

Bài tập 3:Cho pt: x2 + mx -5 = 0. Tìm giá trị của m để tổng bình phơng các

nghiƯm lµ 11?

Bài tập 4: Tìm giá trị của m để phơng trình:
(m-1)x2 + 2x + m = 0

Cã Ýt nhất một nghiệm không âm?

Bài tập 5: Cho pt: x2 + (4m+1)x + 2( m- 4) = 0 (1)

a)Tìm m để biểu thức A = (x1 – x2)2 có giá tr nh nht?

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc m?

Kết quả kiểm tra.

STT Họ Và TÊN Lớp điểm

1 Trơng Huy Chiến 9A1 7.5

2 Hoàng Thu Giang 9A1 4.25

3 Hà Thị Hiền 9A1 8.0

4 LÃ Thu Huyền 9A2 7.25

5 Cù Tiến Mẫn 9A2 5.5

6 Hà Thị Kim Ngân 9A2 5.25

7 Nguyễn Thị Hồng Nhung 9A2 4.5

8 Nguyễn Thị Ngọc Huyền 9A2 7.5

9 Đỗ Thị Hồng Thuý 9A3 8.0

10 Nguyễn Thị Thu 9A3 4.5

Thống kê.

- Điểm từ 5 trở lên: 7 / 10 em ( Đạt 70%)
- Điểm dới trung bình: 3 / 10 em ( Đạt 30%)
- Điểm giỏi: 2 / 10 em ( Đạt 20%)

Nhận xÐt:

- Trong q trình làm đề tài này tơi đã cố gắng phân loại từng ứng dụng,
mỗi ứng dụng đều có phơng pháp làm cụ thể. Vì thế, đã giúp các em
rất nhiều trong quá trình lĩnh hội kiến thức, giúp các em phân biệt đợc
các dạng toán và làm khá thành thạo các dạng toán trên.

- Các kiến thức trên đã góp phần rất quan trọng để các em có kiến thức
vững vàng ơn thi vào lớp 10 và cả quá trình học sau này cho các em.

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

- Với các ứng dụng phong phú, đa dạng, định lý Viet đã có 1 vị trí quan
trọng trong chơng trình đại số 9 và giá trị sử dụng của nó vẫn cịn có ý nghĩa với
các lớp trên.

- Khai thác các ứng dụng của định lý Viet thuận và đảo vào các bài toán
đại số lớp 9, đã làm phong phú và đa dạng các bài tập về phơng trình bậc 2, bậc
3. Giúp cho ngời học rèn luyện các thao tác t duy đặc biệt là khả năng suy luận
và tính linh hoạt trong q trình học tập mơn toán.

- Cung cấp cho HS 1 cách có hệ thống các nội dung và phơng pháp của
hệ thức Viet và các ứng dụng phong phú của nó đã giúp HS hiểu sâu mối quan hệ
giữa nghiệm số với các hệ số của 1 phơng trình bậc 2. Từ đó hình thành ở HS 1
thói quen học định lý, thấy rõ vai trò của các định lý tốn học trong chơng trình

tốn. giúp cho các em rèn luyện đợc các phẩm chất trí tuệ: Độc lập, sáng tạo,
mềm dẻo, linh hoạt và độc đáo trong suy nghĩ.

- Nêu ra đợc phơng pháp giải từng loại tốn ứng dụng định lý Viet. Giúp
HS có đợc phơng hớng giải quyết vấn đề có cơ sở lý luận. Xây dựng cho HS một
niềm tin trong học tập, chống t tởng ngại khó, sợ tốn, giúp các em hăng say học
tập, hứng thú tìm tịi cái mới, cái hay trong q trình học trốn.

- Góp phần quan trọng vào thời kỳ đổi mới phơng pháp giáo dục. Đó là:
việc đi tìm chân lý tốn học khơng chỉ dừng ở chân lý mà cái quan trọng phải
thấy đợc giá trị của chân lý đó, nhằm nâng cao chất lợng dạy và học theo hớng
phát huy tích cực của HS..

Trên đây là các ứng dụng phong phú của một định lý toán học (định lý
Vi-ét) đợc xây dựng một cách có hệ thống và cơ sở lý luận, bớc đầu đã đợc thực
nghiệm và cho kết quả nhất định, nhất là việc bồi dỡng HS khá giỏi.

Tuy nhiên do hạn chế cá nhân nên bản sáng kiến kinh nghiệm nói trên
cũng khơng tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Vì vậy tơi kính mong sự quan
tâm của q Thầy Cơ góp ý chân thành cho đề tài cuat tơi đợc hồn mỹ hơn.
Tôi xin chân thành cm n!

Tài liệu tham khảo

SGK Toán 9- Tập II Phan Đức Chính (Chủ biên) Nhà xuất bàn Giáo
Dục năm 2005.

Phng phỏp gii 36 b đề Toán 9 – Võ Đại Mau – Nhà xuất bn tr
nm 1997.

Bài tập Toán 9 Tập II Tôn Thân (Chủ biên) Nhà xuất bản Giáo
Dục năm 2007.

Bi tp nõng cao và một số chuyên đề Toán 9 – Bùi Văn Tuyên – Nhà
xuất bản Giáo Dục Việt Nam – năm 2009.

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34></div>

De tai Dinh ly Viet

<i><b>ứ</b></i>

√

(

)

<i>*PhÇn thuËn</i>

<i>Phần đảo</i>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

[

]

<sub>[</sub>

]

[

]

[

]

√

(

) (

)

{

{

{

{

(

)

(

)

(

)

(

)

{

{

{

{

{

<b>hƯ thức vi-ét và ứng dụng</b>

{

<b>Mét sè øng dơng kh¸c cđa hƯ thøc viét</b>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về