chuyen de phuong phap ham so giai phuong trinh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (189.88 KB, 11 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề I: Ứng Dụng Đạo Hàm Trong Các Bài Toán Đại Số
I.Các vài toán liên quan đến nghiệm của pt-bpt:

Định lí 1: Số nghiệm của pt f(x)=g(x) chính là số giao điểm của hai đồ thị y=f(x) và 
y=g(x)

Định lí 2: Nếu hàm số y=f(x) lt trên D và mmin ( )x D f x , M Mx Dax ( )f x thì pt: f(x)=k có

nghiệm khi và chỉ khi m k M 

Định lí 3: Bất phương trình f x( )g x( )nghiệm đúng mọi x thuộc D khi và chỉ khi

( ) ( )

x D x D

Min f x Max g x

 



Các ví dụ:

Bài 1:Tìm m để pt sau có nghiệm: x2  x 1 x2  x 1 m (HSG Nghệ an 2005)

Lời giải: Xét hàm số f x( ) x2 x  1 x2  x1 có tập xác định là D=R

 





 

    

   

      

   

           

   

2 2

2 1 2 1

'( ) ' 0

2 1 2 1

(2 1) 1 2 1 1 (1)

1 [( - )1 3] 1 [( 1) 3] 0 thay vào (1)ta thấy không

2 2 4 2 2 4

thỏa mãn. Vậy f'(x)=0 vô nghiệm, mà f'(0)=1>0, do

x x

f x f x

x x x x

x x x x x x

x x x x x

 

    

 

 

    

  

2 2

x +
x +

đó f'(x)>0 x
2

Mặt khác: Lim ( ) = Lim 1; Lim ( ) 1

1 1

Vậy pt đã cho có nghiệm -1 1

x

R
x

f x f x

x x x x

m

Bài 2:Tìm tất cả các giá trị của a để pt: ax2  1 cosx có đúng một nghiệm

0;
2

x  

 

(Đề thi HSG tỉnh Hải Dương Lớp 12 năm 2005)
Giải: Ta thấy để pt có nghiệm thì a0







 

  

      

 

 
 
 

    

      

   

2 2

sin

cos 1 2 sin

Khi đó pt =a -2 . Xét hàm số ( ) với t 0;
4
2

cos
-.cos sin

ta có '( ) = 0 với t 0; ( ) ngb trên 0;

4 4

x

x a f t t

t

x x

t t tgt

t t t

f t f t

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

 

  



 



        

 
 
 

         

2 2

sin

2 2 2 2 8 2

Maø f( )= vaø ( ) 1 ( ) 1 1 (0; )

4 2

8 1 4

Vậy pt đã cho có đúng 1 nghiệm (0; ) 2 1

2 2

t

x

Lim f t f t x

x

x a a

Bài 3: Cho phương trình x6 3x5  6x4  ax3  6x2 3x 1 0. Tìm tất cả các giá trị 
của tham số a, để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt. (HSG Nam Định 2004)
Giải: Vì x 0khơng phải là nghiệm pt. Chia hai vế pt cho x3 ta được

      

         

      



3 2

2 2 3 2

2 2

1 1 1 1

( ) 3( ) 6( ) a=0 (1). Đặt t= ta thu được pt
( 3) 3( 2) 6 3 9 6 (1')

Từ cách đặt t ta có: 1 0 (2)pt này có = - 4 0 2. Từ đây ta có
*Nếu 2 thì pt

x x x x

x x

t t t t a t t t a

x tx t t

t



 

đã cho có một nghiệm

*Nếu 2 thì với mỗi giá trị của cho tương ứng hai giá trị của x

Nên pt (1) có đúng hai nghiệm phân biệt pt(1') có đúng hai nghiệm t= 2
hoặc (1') có đúng

t t



 


  

 




 3  2    2    

1nghiệm thỏa mãn 2

2 6

1: Nếu (1') có đúng hai nghiệm t= 2 vô nghiệm
22 6

2 : (1') có đúng một nghiệm 2

Xét hàm số ( ) 3 9 với 2, ta có '( ) 3 6 9 3( 1

t t

a
TH

a

TH t

f t t t t t f t t t t )(t3)

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng bt ta thấy pt(1’) có đúng một nghiệm t 2 khi và chỉ khi
      

2 a 6 22 4 a 16

f(t)
f’(t)

x -3 -2 1 2

0 - 0 +

2
22

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài 4:Cho hàm số y  x  (x a x b )(  ) với a,b là hai số thực dương khác nhau cho
trước.Cmr với mỗi số thực s



0;1



đếu tồn tại duy nhất số thực

     

 

0 : ( )

2
s s s

a b

f

( HSG QG bảng A năm 2006)

Giải: Trước hết ta cos BĐT :

 

( )

2 2

s s

s

a b a b

(1) ta có thể cm (1) bằng hàm số hoặc
bằng BĐT Bécnuli

Áp dụng BĐT Cơsi và (1) ta có :

( )

2 2

s s

s

a b a b

ab    

(*) (do a b )

Mặt khác ta có:

2 2 ( )( )

'( )

2 ( )( )

x a b x a x b

f x

x a x b

    



  ta dễ dàng cm được f’(x) >0 mọi

x>0 suy ra f(x) đồng biến với x>0 nên 0

( ) ( ) ( )

2
x

x

a b
Lim f x ab f x Lim f x

  





   

(**)
Vì f(x) liên tục khi x>0 nên từ (*) và (**) ta có điều phải cm

Bài tập:

1. Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất thuộc

[0; ]

 3     2   

(4 6 )sinm x 3(2m 1)sinx 2(m 2)sin cosx x (4m 3)cosx 0

2.Tìm m để số nghiệm của pt: 15x2 2(6m21)x 3m42m20khơng nhiều hơn số
nghiệm của pt: (3m 1) 122 x 2x3 6x(36m 9) 28m 0,25 (HSG Nghệ an 1998)
3. Tìm tất cả các giá trị a để bpt: ln(1x) x ax2 nghiệm đúng  x 0

4. a)Cmr nếu a >0 là số sao cho bpt: ax  1 x đúng với mọi x0 thì a e

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

II.Giải pt bằng phương pháp hàm số:

Định lí 1:Nếu hàm số y=f(x) ln đb (hoặc ln ngb) thì số nghiệm của pt : f(x)=k
Không nhiều hơn một và f(x)=f(y) khi và chỉ khi x=y

Định lí 2: Nếu hàm số y=f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và hàm số y=g(x) luôn ngb (hoặc 
ln đb) trên D thì số nghiệm trên D của pt: f(x)=g(x) khơng nhiều hơn một

Định lí 3:Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp n và pt f( )k ( ) 0x  có m nghiệm, khi 
đó pt f(k1)( ) 0x  có nhiều nhất là m+1 nghiệm

Các ví dụ:

Bài 1:Giải pt:3 (2x  9x23) (4 x2)( 1 x x2 1) 0
(Olympic 30-4 ĐBSCL 2000)

Giải: Ta thấy pt chỉ có nghiệm trong

1
( ;0)







2 2

3 (2 ( 3 ) 3) (2 1)(2 (2 1) 3)
(2 3) (2 3) (1)

pt x x x x

u u v v

         

     

Với u=-3x, v=2x+1; u,v>0. Xét hàm số f t( ) 2 t t4 3t2 với t>0

Ta có

4 2

2 3

'( ) 2 0 0 ( ) ( )

t t

f t t f u f v u v

t t



        



(1) u=v  -3x=2x+1

1
5

x
 

là nghiệm duy nhất của pt

Bài 2: Giải pt:

 

 

   

 

osx=2 với - ;
2 2
tg x

e c x

(HSG Lớp 12 Nam Định 2006)

Giải: Xét hàm số :

 

 

    

 

( ) osx với - ;
2 2
tg x

f x e c x

, ta có

  

 

  

 

 

2 tg 3

2 3

1 2e os

'( ) 2 . sin sin

cos os

x

tg x c x

f x tgx e x x

x c x

Vì 2etg x2  2 cos3x 0

Nên dấu của f’(x) chính là dấu của sinx. Từ đây ta có f x( )f(0) 2
Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=0

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Giải: Xét hàm số : f x( ) 2003 x 2005x  4006x  2
Ta có: f x'( ) 2003 ln2003 2005 ln2005 4006 x  x 

     

 

2 2

''( ) 2003 ln 2003 2005 ln 2005 0 "( ) 0 vô nghiệm
f'(x)=0 có nhiều nhất là một nghiệm f(x)=0 có nhiều nhất là hai nghiệm

x x

f x x f x

Mà ta thấy f(1)=f(0)=0 nên pt đã cho có hai nghiệm x=0 và x=1
Bài 4: Giải pt: 3x   1 x log (1 2 )3  x (TH&TT)

Giải: Đk: x>-1/2

 3x   1 2 log (1 2 )3   3x log 33 x  1 2 log (1 2 )3 

pt x x x x x (1)

Xét hàm số: f t( ) t log3t ta có f(t) là hàm đồng biến nên

         

(1) f(3 )x f(1 2 )x 3x 2x 1 3x 2x 1 0 (2)

Xét hàm số: f x( ) 3 x  2x 1 f x'( ) 3 ln3 2 x   f x"( ) 3 ln 3 0 x 2 

 f x( ) 0 có nhiều nhất là hai nghiệm, mà f(0)=f(1)=0 nên pt đã cho có hai nghiệm

x=0 và x=1

Bài 5: Giải hệ pt:













sinx-siny=3x-3y (1)
x+y= (2)

, 0 (3)

x y

Giải: Từ (2) và (3) ta có :




, (0; )
5

x y



(1) sinx-3x=siny-3y. Xét hàm số f(t)=sint-3t với t(0; )5 ta có f(t) là hàm nghịch

biến nên f(x)=f(y) x=y thay vào (2) ta có


 

x y

là nghiệm của hệ

Bài 6: Giải hệ:

  





    




(1)
1 1 8 (2)

tgx tgy y x

y x y

(30-4 MOĐBSCL 2005)

Giải: Đk:







 




1
8

y

x y (*)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

             

 

 

 

         

        

 2  2

1 8 2 8 1 8 4 4 8

8 8

3 3

3 8 4 8 8

9 48 64 16 128 9 64 64 0

y y y y y y y y

y y

y y y

y y y y y

Vậy x y 8 là nghiệm duy nhất của hệ đã cho

HỆ HỐN VỊ VỊNG QUANH:

Định nghĩa:Là hệ có dạng:




 






 



1 2

2 3

( ) ( )
( ) ( )
...

( )n ( )

f x g x

f x g x (I)

Định lí 1: Nếu f,g là các hàm cùng tăng hoặc cùng giảm trên A và ( , ,..., )x x1 2 xn là 
nghiệm của hệ trên A thì x1x2  ... xn

Định lí 2:Nếu f,g khác tính đơn điệu trên A và ( , ,..., )x x1 2 xn là nghiệm của hệ trên A 
thì x1x2  ... xnnếu n lẻ và



  




  



1 3 1

2 4

...
...

n
n

x x x

x x x nếu n chẵn

Bài 7:Giải hệ:

      



     




     




3 2

3 3 ln( 1)
3 3 ln( 1)
3 3 ln( 1)

x x x x y

y y y y z

z z z z x

Giải:Ta giả sử (x,y,z) là no của hệ. Xét hàm số      

3 2

( ) 3 3 ln( 1)

f t t t t t

ta có:



   

 

2 1

'( ) 3 3 0

2 1

t

f t t

t t nên f(t) là hàm đồng biến

Ta giả sử: x=Max{x,y,z} thì y f x ( )f y( ) z z f y ( )f z( )x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài 8:Giải hệ:

    




   




   




3
2

2 6 log (6 )

2 6 log (6 )
2 6 log (6 )

x x y x

y y z y

z z x z

(HSG QG Bảng A năm 2006)

Giải: Hệ 


  

  






 

      

 

  




  

  



3 2

log (6 )

2 6 ( ) ( )

log (6 ) ( ) ( )

2 6 ( ) ( )
log (6 )

2 6

x
y

x x f y g x

y

z f z g y

y y f x g z

z
x

z z

Trong đó

3 2

( ) log (6 ) ; ( )

2 6

t

f t t g t

t t

  

  với t  ( ;6)

Ta có f(t) là hàm nghịch biến,





3
2

'( ) 0 ( ;6)

2 6

t

g t t

t t



      

 

g(t) là hàm đb
Nên ta có nếu (x,y,z) là nghiệm của hệ thì x=y=z thay vào hệ ta có:

3 2

log (6 )

2 6

x
x

x x

 

  pt này có nghiệm duy nhất x=3
Vậy nghiệm của hệ đã cho là x=y=z=3

Bài tập:

3 2 3 2 10 10

3 3

2 2 cosx osx

3 2

81
1. 2 1 2 1 2 ; 2. 81sin os

256

3. (x-1)(x+2)=(x 2) ; 4. 3 2 osx; 5. (1 )(2 4 ) 3.4
x 3 2 5

6. 3 2 5 (HSG QG 2006)
3 2 5

x x c x x

x x x x x c x

e xe c x

x x y

y y y z

z z z x



       

      

    




   




   




</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

2 3 2

1 2 2 2

2 3 2

2 3 3 3

2 3 2

1 1 1

4 ax

4 ax
...

4 ax
n

x x x

   



  






  



8. Tìm m để các pt sau có nghiệm:

6 6

2 2

) 12 ( 5 4 ); b) 3+x 6 (3 )(6 )
cos sin

) cot ( cotgx)+3=0; d) . 2
os sin

a x x x m x x x x x m

x x

c tg x g x m tgx m tg x

c x x

+ + = - + - + - - + - =

+ + + =

-III. Các bài toán cực tri- chứng minh BĐT:

Bài 1: Cho 4 số thực a,b,c,d thoả mãn: a2+b2=1; c-d=3. Cmr:
9 6 2

F ac bd cd    

(HSG Nghệ an 2005)

Giải: ta có: F  (a2b2)(c2 d2)  cd  2d2 6d  9 d2  3d f d( )

Ta có

3 9

1 2( )

2 2

'( ) (2 3)

2 6 9

d

f d d

d d

  

 

  vì

3 9

1 2( )

2 2 0

2 6 9

d

d d

  



  nên

3 9 6 2
( ) ( )

2 4

f d f   

ta có đpcm

Bài 2: Cho 0 x y z 1.:3x2y z 4.Tìm gtln F 3x22y2z2(TH&TT)
Giải: Từ gt ta có:

4 2
3

y z
x  

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

2 2 2

1 2 1 1

( ) (4 4 ( 2) 10 16 16) ( ) (9 12 20) ( )

3 2 3 3

y

F f y  z  z y  y  y f   y  y  g y

Ta xét

3  y (vì y<2/3 thì Max khơng xảy ra), khi đó

2
( ) ( ) 16

g y g 

16
3

F

 

dấu “=” có khi

2 1

;

3 3

z y x

Vậy

16
3

Max F 

Bài 3: Cho x  y z 0.CMR:

x z y x y z
z y x  y z x

Giải: Xét hàm số : ( )

x z y x y z
f x

z y x y z x

 

       

  Với đk đã cho x  y z 0

Ta có: 2 2 2

1 1 1 1

'( ) ( ) ( y z ) ( )( ) 0

f x y z

z y x x yz x

        

f(x) là hàm đồng biến

( ) ( ) 0
f x f y

    đpcm

Bài 4:Cho a>b>c>0. CMR: a b3 2b c3 2c a3 2 a b2 3b c2 3c a2 3

Giải: Xét hàm số:





3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3

( )

f a a b b c c a  a b b c c a

Ta có : f a'( ) 3 a b2 22ac3 2ab3 3a c2 2 . Tiếp tục lấy đạo hàm:

2 2 3 3 2 2

"( ) 6 6 2 2 2( )[3 ( ) - ] 0

f a  ab  ac  c  b  b c a b c b  c  bc  do a>b>c>0

'( )
f a

 là hàm đb f a'( )f b'( )b42bc3 3b c2 20 (ta có thể cm được nhờ Côsi)

Như vậy do f'(a) >0 nên f(a) đồng biến hay là f(a)>f(b)=0 như vậy ta có đpcm

Bài 5:Cho x y z o, ,  Cmr: x4y4z4xyz x y z(   )xy x( 2y2)yz y( 2z2)zx z( 2x2)

Giải: Khơng mất tính tổng qt ta giả sử: x y z  . Xét hàm số

4 4 4 2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x x y z xyz x y z   xy x y  yz y z  zx z x

Ta có : f x'( ) 4 x3 3 (x y z2  )xyz yz x y z (   ) ( y3z3) f x"( ) 12 x2 6 (x y z ) 2 yz

"( ) 0
f x

  (do x y z  )  f x'( )f y'( )z y z2  3z y z2(  ) 0 nên f(x) là hàm đb

4 3 2 2 2 2

( ) ( ) 2 ( ) 0

f x f y z z y y z z z y

         đpcm

Bài 6: Cho n,k là các số nguyên dương n7;2 k n. Cmr: kn 2nk
(HSG QG bảng B 96-97)

Giải : Bđt  n k kln  lnnln 2 n k kln  lnn ln 2

Xét hàm số f x( )n x x nln  ln  ln 2 với x[2; -1]n '( ) ln '( ) 0 ln

n n

f x n f x x

x n

      

2 7

n

e n n

n     . Xét hàm số g x( )ex x2 g x'( )ex 2x g x"( )ex 2 0

7 7

'( ) '(7) 14 0 ( ) (7) 49 0

g x g e g x g e

         

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

* f(2) 0  2n1n2 ta dễ dàng cm được bằng quy nạp hoặc đạo hàm

1 1

( 1) 0 ( 1)n 2 n 2(1 ) t 6

f n n n t t

t



         

(*) trong đó t=n-1
Ta có

1 1

(1 )t e 3 2(1 )t 6 t

t t

       

(*) đúng
Vậy ta có đpcm

Bài 7: Cho 0a b c  .CMR:

2 2 2 ( )

( )

a b c c a

b c c a a b a c a



   

   

Giải:Đặt

b

a  và 
c

x

a  ĐK : 1  x. Khi đó bđt cần cm trở thành

2 2 2 4 1 2 ( 1)

1 (2 2 )

1 1 1 1

x x x x x x

x x

x x x x



   
   
        
     

Xét hàm số

2 1 2 ( 1)

( ) 1 (2 2 )

x x x

f x x x

x 

 

 

     

  với 1  x

Ta có: 2 2

2(2 1) 1 2x+1 2

'( ) 2 1 2 ( 1)[ ] 0

1 ( ) +1 ( )

x
f x x

x x


   
 
       

   do 1  x

Như vậy hàm f(x) là đồng biến do đó

2 1

( ) ( ) 3 3

f x f   



    

Nhưng

2 2 2

1 1 1

'( ) 2 3 3 3 . . 3 0

f      

  

         

( ) ( ) (1) 0
f x f  f

    đpcm

Bài 8: cho a,b,c>0. Cmr:

3
2

a b c

a b b c c a     

Giải: Đặt , , 1

b c a

x y z xyz

a b c

    

và bđt đã cho

1 1 1 3

1 x 1 y 1 z 2

   

  

Giả sử z 1 xy1 nên ta có:

1 1 2 2

1 1 1 1

z

x y  xy  z

   

1 1 1 2 1 2 1

( )

1 1 1 1 1 1 1

z t

f t

x y z z z t t

       

       với t z1

Ta có: 2 2 2 2 2

2 2 2(1 ) 3

'( ) 0 ( ) (1) 1

(1 ) (1 ) (1 )

t t

f t f t f t

t t t



         

   đpcm

Nhận xét:Từ bài toán trên ta dễ dàng giải quyết được bài toán sau:
Cho a,b,c>0. Cmr:

3 3 3 3

( ) ( ) ( )

a b c

a b  b c  c a  (chọn đội tuyển thi IMO 2005)

Bài tập áp dụng:
1.



          

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

2. Cho x y R,  và 2x y 2.Tìm gtnn của P x2(y 3)2  x2(y1)2

(HSG QG Bảng B năm 1998)

</div>

chuyen de phuong phap ham so giai phuong trinh

 













<b>II.Giải pt bằng phương pháp hàm số:</b>

<b> </b>









<b>-III. Các bài toán cực tri- chứng minh BĐT:</b>





Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về