skkn giai bai toan quy tich

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (238.22 KB, 21 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Giải một bài tốn quỹ tích như thế nào?

I: Đặt vấn đề

Trong chương trình sách giáo khoa chỉnh lí của mơn hình học, khơng
những chỉ có từ quỹ tích được sử dụng trở lại mà các kiến thức về quỹ tích
cũng đã được trả về vị trí xứng đáng của nó. Điều này cũng có lí do chính
đáng. Khơng thể phủ nhận được ý nghĩa và tác dụng to lớn của quỹ tích trong
việc rèn luyện tư duy tốn học nói riêng và đối với việc rèn luyện tư duy linh
hoạt nói chung, một phẩm chất rất cần thiết cho các hoạt động sáng tạo của
con người. Tuy vậy, cũng phải nhận rằng đây cũng là phần khó, nếu khơng
muốn nói là khó nhất của chương trình, khó đối với học sinh trong việc tiếp
nhận các kiến thức và phương pháp, và càng khó hơn trong việc vận dụng các
phương pháp ấy vào việc giải bài tập. Đối với các thầy, cơ giáo dạy tốn thì
cái khó tiềm ẩn trong khả năng phân tích, dẫn giải để giúp cho học sinh hiểu
được một cách rõ ràng, nắm chắc chắn những gì mà thầy cơ giáo muốn truyền
đạt cho họ.

Bài tốn quỹ tích được chính thức giới thiệu ở chương III- Góc với đường
trịn - trong phần hình học lớp 9, cịn gọi là bài tốn tìm tập hợp điểm mà các
học sinh khá giỏi đã được làm quen ở lớp 8 với các kiến thức thuộc chương
trình hình học lớp 7 và lớp 8. Khi gặp dạng tốn quỹ tích học sinh giải tốn
rất kém, nhiều học sinh khá cũng khơng biết bắt đầu giải bài toán như thế
nào?

Học sinh giải các bài tốn quỹ tích cịn nhiều hạn chế. Vì:

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

- Một số giáo viên có áp dụng phương pháp mới, đưa ra các tình huống
có vấn đề để hướng học sinh giải quyết nhưng khơng giúp học sinh
hình thành kỹ năng phân tích và giải bài tốn quỹ tích.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

II- Nội dung nghiên cứu
1. Định nghĩa quỹ tích.

Một hình (H) được gọi là quỹ tích của những điểm M có một tính chất

α (hay tập hợp của những điểm M có tính chất α ) khi nó chứa và chỉ
chứa những điểm có tính chất α .

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn tính chất

α là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất α đều thuộc hình H.

Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất α .

Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm có tính chất α là hình H.

2. Những thao tác tư duy cần thiết cho việc chuẩn bị giải một bài tốn
quỹ tích.

Việc giải một bài tốn quỹ tích về thực chất là chứng minh một dãy liên
tiếp các mệnh đề toán học. Nhưng khác với các bài tốn chứng minh hình học,
trong phần lớn các bài tốn quỹ tích, đầu tiên ta phải tìm ra cho được cái ta
cần phải chứng minh. Những thao tác tư duy chuẩn bị sẽ giúp ta định hướng
được suy nghĩ, hình dung ra được quỹ tích cần tìm là một hình như thế nào và
trong một chừng mực nào đó, nó giúp ta biết phải chứng minh phần thuận,
phần đảo, giới hạn v.v.... như thế nào? Dưới đây tơi xin trình bày kĩ những
thao tác tư duy chuẩn bị cơ bản nhất.

2.1 Tìm hiểu kĩ bài tốn

Tìm hiểu kĩ bài tốn tức là nắm chắc được những yếu tố đặc trưng cho bài
tốn. Trong một bài tốn quỹ tích thường có 3 loại yếu tố đặc trưng:

a) Loại yếu tố cố định: thông thường là các điểm.

b) Loại yếu tố không đổi: như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, diện tích
hình v.v...

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

c) Loại yếu tố thay đổi: thơng thường là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích
hoặc các đoạn thẳng, các hình mà trên đó có điểm mà ta cần tìm quỹ
tích. Các yếu tố thay đổi thường cho kèm theo nhóm từ: “di động”, “di
chuyển”, “chạy”, “thay đổi” v.v....

Ví dụ 1: Cho một góc vng xOy cố định và một đoạn thẳng AB có độ dài
cho trước; đỉnh A di chuyển trên cạnh Ox, đỉnh B di chuyển trên cạnh Oy.
Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB.

Trong bài tốn này thì:

+ Yếu tố cố định: Đỉnh O của góc xOy.
+ Yếu tố không đổi: độ dài đoạn thẳng AB.

+ Yếu tố thay đổi: điểm A, điểm B và do đó kéo theo trung điểm M của
AB cũng thay đổi.

Cần chú ý là trong một bài tốn có thể có nhiều yếu tố cố định, nhiều
yếu tố khơng đổi, nhiều yếu tố thay đổi. Do vậy, ta chỉ tập trung vào những
yếu tố nào liên quan đến cách giải của ta mà thôi.

Cũng cần biết rằng các yếu tố cố định, không đổi, thay đổi không phải
lúc nào cũng được cho một cách trực tiếp mà đôi khi phải được hiểu một cách
linh hoạt. Chẳng hạn khi nói: “Cho một đường trịn cố định...” thì ta hiểu rằng
tâm của đường trịn là một điểm cố định và bán kính của đường trịn là một độ
dài khơng đổi, hay như trong ví dụ 2 sau đây.

Ví dụ 2: Cho một đường thẳng b và một điểm A cố định không thuộc đường
thẳng b. Một tam giác ABC có đỉnh B di chuyển trên đường thẳng b sao cho
nó ln ln đồng dạng với chính nó. Tìm tập hợp đỉnh C.

Trong ví dụ này ta dễ dàng thấy:

+ Yếu tố cố định: đỉnh A, đường thẳng b.
+ Yếu tố thay đổi: đỉnh B, đỉnh C.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

khơng thể giải được bài tốn. Do vậy, ta phải cụ thể hố giả thiết tam giác
ABC ln tự đồng dạng ra như sau:

- Các góc A, B, C có độ lớn khơng đổi; tỉ số các cạnh, chẳng hạn ACAB là
một số không đổi.

Như vậy, việc tìm hiểu kĩ bài tốn cũng địi hỏi phải suy nghĩ, chọn lọc
để tìm được những yếu tố cố định, yếu tố khơng đổi, yếu tố thay đổi thích
hợp, giúp cho việc tìm ra cách giải bài tốn.

2.2 Đốn nhận quỹ tích

Thao tác tư duy đốn nhận quỹ tích nhằm giúp HS hình dung được hình
dạng của quỹ tích (đường thẳng, đoạn thẳng, cung trịn, đường trịn), nhiều

khi cịn cho HS biết cả vị trí và kích thước của quỹ tích nữa. Để đốn nhận
quỹ tích ta thường tìm 3 điểm của quỹ tích. Muốn vậy nên xét 3 vị trí đặc biệt,
tốt nhất là sử dụng các điểm giới hạn, với điều kiện vẽ hình chính xác, trực
giác sẽ giúp ta hình dung được hình dạng quỹ tích.

- Nếu 3 điểm ta vẽ được là thẳng hàng thì có nhiều khả năng quỹ tích là
đường thẳng.

- Nếu 3 điểm ta vẽ được là không thẳng hàng thì quỹ tích cần tìm là
đường trịn.

Ta sẽ làm sáng tỏ điều này trong ví dụ sau:

Ví dụ 3: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB=2R. Một điểm M di
chuyển trên nửa đường tròn. Nối AM và đặt trên tia AM một đoạn AN = BM.
Tìm tập hợp các điểm N.

Đoán nhận quỹ tích

- Khi M → B thì BM → O
do vậy AN → O hay N → A.
Vậy A là một điểm của quỹ tích.

- Khi M đến vị trí điểm I, điểm chính giữa của cung AB, thì do AI=BI nên N

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

A O B
I

N

M
B'

- Khi M → A thì dây cung AM đến vị trí của tiếp tuyến At với đường tròn
tại điểm A và do BM=BA nên điểm N sẽ dần đến vị trí điểm B’ trên tiếp
tuyến At sao cho AB’=AB=2R; B’ là một điểm của quỹ tích.

Do 3 điểm A, I, B’ không thẳng hàng nên ta dự đoán rằng điểm N sẽ nằm
trên đường tròn đi qua 3 điểm A, I, B’, tức là đường trịn đường kính AB’.
Ví dụ 4: Cho góc vng xOy. Một điểm A chạy trên Ox, một điểm B chạy
trên Oy. Người ta dựng hình chữ nhật OAMB. Tìm tập hợp điểm M sao cho
chu vi hình chữ nhật OAMB bằng một độ dài 2p cho trước.

Đốn nhận quỹ tích

Dễ thấy MA +MB = p

Khi A → O thì B → D trên
Oy, mà OD = p

Khi B → O thì A → C
trên Ox, mà OC = p.

Dự đoán tập hợp của M là
đoạn thẳng CD.

B M

A
D

o

Ví dụ 5: Cho một góc vng xOy và một điểm A cố định nằm trong góc đó.
Một góc vng tAz, đỉnh A, quay xung quanh đỉnh A; cạnh At cắt Ox ở B và
Az cắt Oy ở C.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Dự đốn quỹ tích

- Khi B → O thì điểm C
sẽ dần đến vị trí điểm C1

thuộc Oy và điểm M đến
vị trí M1 sao cho

M1O=M1C1=M1A

⇒ M1 nằm trên đường

trung trực của OA.

M1

M2
M

x
y

- Khi C → O thì điểm B sẽ dần đến vị trí B1 thuộc Ox và điểm M đến vị trí

M2 sao cho M2O=M2B1=M2A

⇒ M2 nằm trên đường trung trực của OA.

Dự đốn quỹ tích là đoạn M2M1 thuộc đường trung trực của đoạn thẳng 
OA, phần nằm trong góc xOy.

3. Giải bài tốn quỹ tích như thế nào?

Cần làm cho học sinh hiểu, giải một bài tốn quỹ tích là tiến hành chứng
minh phần thuận (bao gồm cả phần giới hạn quỹ tích) và chứng minh phần
đảo. Sau đây tôi sẽ đi sâu hơn vào các phần này.

3.1 Chứng minh phần thuận

Một trong những phương hướng để chứng minh phần thuận là đưa việc tìm
quỹ tích về các quỹ tích cơ bản. Trong chương trình học ở trường Phổ thông
cơ sở, học sinh đã được giới thiệu các quỹ tích (các tập hợp điểm) cơ bản sau:

1) Tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định là đường trung trực của
đoạn thẳng nối hai điểm ấy.

2) Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác
của góc ấy.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

4) Tập hợp tất cả những điểm cách một điểm cố định O một khoảng
không đổi r là đường trịn tâm O, bán kính r.

5) Tập hợp các điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho
trước một góc AMB có số đo bằng α ( α khơng đổi) là hai cung
trịn đối xứng nhau qua AB (gọi là cung chứa góc α vẽ trên đoạn
AB).

Trường hợp đặc biệt: Tập hợp các điểm M ln nhìn hai điểm cố định
A, B dưới một góc vng là đường trịn đường kính AB.

Muốn vậy, ta tìm cách thay việc tìm quỹ tích những điểm M có tính
chất α bằng việc tìm quỹ tích điểm M có tính chất α ’ và quỹ tích của
những điểm thoả tính chất α ’ là một trong những quỹ tích cơ bản mà ta đã

biết. (như vậy α ’ có thể là “cách đều hai điểm cố định”; “cách một điểm cố
định một đoạn không đổi”; “ cách một đường thẳng cố định một đoạn không
đổi” v.v...). Như vậy ta thay việc xét mệnh đề M( α ) bằng việc xét mệnh đề
M( α ’) mà M( α ) ⇒ M( α ’)

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC và một điểm D di chuyển trên cạnh đáy BC. Tìm
quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng AD.

Đốn nhận quỹ tích

 Nếu D → B thì M → P, mà AP=BP. P là một điểm thuộc quỹ tích.
 Nếu D → C thì M → Q, mà AQ=QC. Q là một điểm thuộc quỹ tích.
 Nếu D → H (với AH BC tại H) thì M → I, mà IH=AH. H là một

điểm thuộc quỹ tích.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Phân tích phần thuận

Từ M kẻ MK BC và kẻ
đường cao AH của Δ ABC.
Dễ thấy MK= AH2 .

Δ ABC cố định nên AH
không đổi suy ra MK không
đổi.

H
D

P Q

- Vậy điểm M luôn luôn cách BC một đoạn không đổi bằng AH2 . Ta có
thể thấy ở đây là:

M( α ): M là trung điểm của AD.

M( α ’): M cách BC một đoạn không đổi.

Như vậy là ta thay việc tìm quỹ tích điểm M, trung điểm của đoạn thẳng AN,
bằng việc tìm quỹ tích của điểm M luôn cách cạnh BC một đoạn không đổi
bằng AH2 , mà quỹ tích này thì ta đã biết tìm, là dạng bài tốn quỹ tích cơ
bản thứ 3.

Ví dụ 7: Cho một tam giác cố định ABC. Một điểm D di chuyển trên cạnh đáy
BC. Qua D người ta kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB ở E
và đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC ở F. Tìm quỹ tích trung
điểm M của đoạn thẳng EF.

Phân tích phần thuận

B D C

P Q

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

M của đoạn thẳng AD.
- Tính chất α ở đây là: M( α ) ⇔ M là trung điểm của EF.
- Tính chất α ’ ở đây là: M( α ’) ⇔ M là trung điểm của AD.

Và ta đã thay việc tìm quỹ tích trung điểm của EF bằng việc tìm quỹ tích
trung điểm của AD, mà quỹ tích này thì ta đã có cách đưa về quỹ tích cơ bản
trong ví dụ 6.

Cần lưu ý là khi thay các điểm M( α ) bằng các điểm M( α ’) mà M(

α ) ⇒ M( α ’) thì tập hợp các điểm M( α ) chỉ là một tập hợp con (một
bộ phận) của tập hợp các điểm M( α ’), như trong ví dụ 6 tập hợp các điểm
M( α ’) là hai đường thẳng song song và cách đường thẳng BC một đoạn

2 , còn tập hợp các điểm M( α ) là đường trung bình PQ song song với
cạnh BC của tam giác ABC mà thôi.

Trong nhiều trường hợp ta không thành cơng trong việc đưa về các quỹ
tích cơ bản mà nhờ vào thao tác dự đốn quỹ tích ta thấy quỹ tích có thể là
một đường cố định nào đó. Trong trường hợp này ta tìm cách chứng minh
hình chứa các điểm của quỹ tích là một hình cố định.

Ví dụ 8: Cho nửa đường trịn đường kính AB và một điểm P di động trên nửa
đường tròn. Tiếp tuyến tại P cắt đường thẳng song song với AP, kẻ từ tâm O
của nửa đường tròn, tại điểm M. Tìm tập hợp các điểm M.

Phân tích phần thuận

Nối MB; do OM//AP nên

∠O1=∠A (đồng vị)
∠O2=∠P1 (so le trong)

Mặt khác ∠A=∠P1 (vì

OA=OP)

A B

1
2

Vậy ∠O1=∠O2

∠O1=∠O2

OP=OB
OM chung

}

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

⇒ ∠OBM=∠OPM mà ∠OPM=900 (góc giữa tiếp tuyến với bán kính đi

qua tiếp điểm). Vậy ∠OMB=900⇒BM⊥AB

AB cố định, điểm B cố định mà MB AB ⇒ M luôn chạy trên tia At
vng góc với AB tại B.

Qua các ví dụ trên đây, ta thấy để tiến hành việc chứng minh phần
thuận, ta cần tìm ra cho được mối liên hệ giữa điểm cần tìm tập hợp với các
điểm cố định, tìm cách sử dụng các yếu tố không đổi và việc biểu diễn các
liên hệ đó.

- Nếu trong đầu bài có một điểm cố định, ta có thể nghĩ đến tập hợp
điểm cần tìm là một đường trịn.

- Nếu trong đầu bài có hai điểm cố định A, B thì ta nối điểm cần tìm tập
hợp M với A, B và thử tính góc AMB hoặc thử chứng minh MA=MB.
- Nếu trong đầu bài xuất hiện một đường thẳng cố định thì ta thử tính

khoảng cách từ điểm cần tìm quỹ tích đến đường thẳng cố định ấy.
- Nếu trong đầu bài xuất hiện hai đường thẳng song song thì hãy liên

tưởng đến tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng song song

Ví dụ 9: Cho một đường trịn tâm O, bán kính R và một điểm P ở ngồi
đường trịn, một điểm N di chuyển trên đường trịn. Tìm tập hợp trung điểm
M của đoạn thẳng PN.

Phân tích phần thuận

P cố định, O cố định, suy
ra trung điểm I của OP
cũng cố định. Nối IM.
Trong tam giác PON thì
IM= 12ON=1

2R =không
đổi. - Vậy M thuộc
đường trịn tâm I bán kính

O
N

P I

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

1
2R .

Trong nhiều bài tập, khi chứng minh phần thuận, ta tìm được hình (H’)
chứa các điểm M có tính chất α , nhưng do những điều kiện hạn chế khác
của bài toán, tập hợp các điểm M cần tìm là hình (H) chỉ là một bộ phận của
hình (H’). Trong trường hợp này, ta phải thức hiện thêm một công việc nữa:
giới hạn quỹ tích.

Có nhiều cách nhìn nhận vị trí của phần giới hạn quỹ tích. Ta có thể coi
phần giới hạn là một bộ phận của việc chứng minh phần thuận. Ta cũng có thể
đặt phần giới hạn vào phần đảo, hoặc tách phần giới hạn thành một phần
riêng biệt, ngang với phần thuận và phần đảo.

Trong quá trình dạy học sinh, tơi đặt giới hạn vào trong phần thuận. Làm
như vậy sẽ tránh được việc chọn nhầm phải những điểm khơng thuộc quỹ tích
khi tiến hành chứng minh phần đảo. Thơng thường, ta tìm các điểm giới hạn
của quỹ tích bằng cách xét các điểm của quỹ tích trong các trường hợp giới
hạn, như trong ví dụ sau:

Ví dụ 10: Cho một góc vng xOy, đỉnh O. Trên cạnh Ox có một điểm A cố
định và trên cạnh Oy có một điểm B cố định. Một điểm C thay đổi di chuyển
trên đoạn thẳng OB. Gọi H là hình chiếu của điểm B trên tia AC. Tìm tập hợp
các điểm H.

Giải

1) Phần thuận.

Vì H là hình chiếu của B trên

AC nên BH⊥AC

⇒∠BHA=900

Hai điểm A, B cố định. Điểm H
luôn luôn nhìn hai điểm A, B
dưới một góc vng nên H nằm
trên đường trịn đường kính AB.
Chú ý: Đường trịn này cũng đi

A
C

y

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

qua đỉnh O của góc vng xOy.

Giới hạn: Vì điểm C di chuyển trong đoạn OB nên điểm H khơng thể di
chuyển trên cả đường trịn đường kính AB. Ta phải tìm giới hạn.

 Khi điểm C đến vị trí điểm B thì điểm H cũng đến vị trí điểm B.

 Khi điểm C đến vị trí điểm O, đầu mút của đoạn thẳng OB, thì điểm H

cũng đến vị trí điểm O.

- Vậy khi điểm C di chuyển trên đoạn OB thì điểm H di chuyển trên cung
OHB của đường trịn đường kính AB.

Như vậy, để tìm giới hạn quỹ tích điểm C, vì điểm C chỉ di chuyển trong
đoạn thẳng OB nên ta xét các điểm của quỹ tích khi điểm C dần đến các đầu
nút của đoạn thẳng OB, tức là khi C → B và khi C → O.

Ví dụ 11: Cho một hình vng cố định ABCD và một điểm P di động trên
cạnh AB. Trên tia CP và bên ngoài đoạn thẳng CP ta lấy một điểm M sao cho:

∠MAB =∠PCB .

Tìm tập hợp các điểm M.

Phần thuận

Ta có: ∠MAB =∠PCB

1 P

P 

 (đối đỉnh)

⇒∠MAB+∠P2=∠PCB +∠P1=900

⇒∠AMP=900 hay

∠AMC=900

A B

M
P 1
2

Điểm M nhìn hai điểm cố định A,C dưới một góc vng nên M nằm trên
đường trịn đường kính AC (cũng là đường tròn ngoại tiếp hình vng
ABCD).

Giới hạn. Khi P → B thì M → B
Khi P → A thì M → A

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Qua các ví dụ trên đây, như ví dụ 10, ta thấy hình (H) tìm được trong khi
chứng minh phần thuận (đường trịn đường kính AB) chứa tất cả những điểm
nhìn hai điểm cố định A, B dưới một góc vng nhưng chỉ có những điểm
thuộc cung OHB mới là hình chiếu của điểm B trên tia AC mà thơi. Việc tìm
giới hạn giúp chúng ta loại bỏ được những điểm không thuộc về quỹ tích cần
tìm.

3.2 Chứng minh phần đảo

Thơng thường điểm di động cần tìm quỹ tích M phụ thuộc vào sự di động
của một điểm khác, điểm P chẳng hạn. Trong phần đảo ta làm như sau: Lấy
một vị trí P’ khác của P và ứng với nó ta được điểm M’ trên hình H mà trong
phần thuận ta đã chứng minh được đó là hình chứa những điểm M có tính
chất α . Ta sẽ phải chứng minh M’ cũng có tính chất α .

Ví dụ 10: 
2) Phần đảo.

Lấy một điểm C’ bất kì trên đoạn
OB. Nối AC’ và tia AC’ cắt cung
OHB tại một điểm H’. Nối BH’ góc
BH’A là góc nội tiếp trong nửa

đường tròn nên

∠BH' A=900⇒BH'⊥AC'⇒H ' là

hình chiếu của điểm B trên tia AC’.

O
B

A
C

H C'
H'

y

x

 Kết luận: Tập hợp các hình chiếu H của điểm B trên tia AC là cung

OB thuộc đường trịn đường kính AB (phần thuộc nửa mặt phẳng
khơng chứa tia Ox, bờ là đường thẳng Oy).

Ví dụ 11: Cho một hình vng cố định ABCD và một điểm P di động trên
cạnh AB. Trên tia CP và bên ngoài đoạn thẳng CP ta lấy một điểm M sao cho:

∠MAB=∠PCB .

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Phần đảo

Lấy một điểm P’ bất kì thuộc
cạnh AB của hình vng. Tia
CP’ cắt cung nhỏ AB của đường
trịn đường kính AC tại điểm M’.

D
A B
C
M'
P' 1
2

Ta có ∠AM' C=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) và ∠P'

1=∠P '2

suy ra ∠M 'AB =∠P 'CB

 Kết luận: Tập hợp các điểm M là cung AB (khơng chứa đỉnh C) của

đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD.

Lưu ý: Tuy vậy, trong nhiều bài tốn, ta chứng minh phần đảo bằng
cách lấy một điểm M’ thuộc hình (H), ứng với nó ta có một vị trí khác
của các yếu tố chuyển động mà M’ phụ thuộc, sau đó ta chứng minh
trong những điều kiện ấy M’ có tính chất α . Chúng ta sẽ xét ví dụ cụ
thể sau đây.

Ví dụ 12: Cho một góc vng xOy. Một điểm A chạy trên cạnh Ox, một điểm
B chạy trên cạnh Oy sao cho độ dài đoạn thẳng AB ln bằng một đoạn l cho
trước. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB.

Giải

Phần thuận: Nối OI. Tam giác
AOB vuông mà OI là trung tuyến
nên OI=1

2AB=

l

2 = không đổi.
Điểm O cố định, điểm I cách điểm O

một đoạn không đổi 2l nên I nằm
trên đường trịn tâm O bán kính 2l
.

O I0

I1
A
B
A'
B'
I'
I
A0
B0
y
x

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

- Khi điểm A đến trùng với điểm O thì điểm B đến vị trí Bo và điểm I

đến vị trí I1trung điểm của đoạn thẳng OB0.

- Khi điểm B đến trùng với điểm O thì điểm A đến vị trí Ao và điểm I

đến vị trí I0 trung điểm của đoạn thẳng OA0.

- Vậy khi đoạn thẳng AB di chuyển trong góc xOy thì điểm I nằm trên cung
trịn I0I1 thuộc đường trịn tâm O bán kính 2l , tức là cung phần tư đường

trịn nằm trong góc xOy.

Phần đảo: Lấy điểm I’ thuộc cung phần tư I0I1. Quay cung trịn tâm I’, Bán

kính 2l , cắt Ox ở A và Oy ở B’.

Ta có ΔOI' A ' cân nên ∠I 'OA'=∠I ' A ' O

Do vậy ∠OI' A '=1800−2∠I 'OA'

Tương tự ∠OI' B '=1800−2∠I 'OB'

⇒∠OI' A '+∠OI' B '=3600−2 .900=1800

Suy ra ba điểm A’, I’, B’ thẳng hàng. Ta lại có I ' A '=I ' A '=l

2⇒A ' B '=l và
I’ là trung điểm của A’B’.

 Kết luận: Quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB là cung I0I1 thuộc

đường trịn tâm O, bán kính 2l (phần nằm trong góc xOy).

Ví dụ 13: Cho một góc vng xOy, hai điểm A, B cố định trên cạnh Ox và
một điểm M di động trên cạnh Oy. Đường thẳng vng góc với MA kẻ từ A
cắt đường thẳng vng góc với MB kẻ từ B tại điểm N. Tìm tập hợp các
điểm N.

Giải
Phần thuận.

- Kẻ NH Ox.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

MN. Do IA=IB(= 12 MN) nên I
nằm trên trung trực của đoạn
thẳng AB. Nếu gọi K là trung
điểm của AB thì IK AB.

O
M

A B

N
I

K H

x
z

Ta lại có IK//OM//NH mà I là trung điểm của MN nên K là trung điểm của
OH ⇒ OH=2OK=không đổi. Vậy điểm N di chuyển trên tia Hz vng góc
với cạnh Ox tại điểm H sao cho OH=2OK.

Phần đảo.

Lấy điểm M’ trên Oy, nối M’A. Đường vng góc với M’A kẻ từ A cắt tia
Hz tại N’. Nối N’B và M’b.

Ta cần chứng minh: N’B M’B
Gọi I’ là trung điểm của M’N’.
Ta có: I ' A=1

2 M ' N ' (1) (I’A là trung tuyến ứng với cạnh huyền M’N’
của tam giác vuông M’AN’)

Mặt khác I’ là trung điểm của M’N’, K là trung điểm của OH nên I’K//M’O

⇒ I’K AB mà K là trung điểm của AB nên I’K là đường trung trực của
AB, cho ta I’A=I’B (2)

Từ (1) và (2) suy ra

I ' B=1

2M ' N ' =I’M’=I’N’
Hay tam giác M’BN’ vng góc
tại B. Vậy N’B M’B

O
M'

A B

N'
I'

K H

x
z

 Kết luận: Tập hợp các điểm N là tia Hz nằm trong góc xOy, vng góc

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Lưu ý: Trong bài toán này, liên hệ giữa hai điểm M và N phải thông
qua các giả thiết: M∈Oy,∠MAN=1v ,∠MBN=1v và N là giao điểm

của hai đường vng góc kẻ từ A với MA, kẻ từ B với MB. Do vậy ta
phải chọn một trong ba phương hướng sau đây để chứng minh phần
đảo:

 Chứng minh M’ Oy

 Chứng minh ∠M 'AN'=900

- Nếu chú ý rằng cách dựng các điểm M, N là như nhau thì ngay từ đầu ta
đã có thể dự đốn tập hợp của N phải là một tia tương tự như Oy và trong khi
chứng minh phần đảo, sau khi lấy một điểm N’ Hz, và dựng lại điểm M’,
giao điểm của các đường vng góc với N’A kẻ từ A với đường vng góc
với N’B kẻ từ B, thì việc chứng minh M’ Oy có thể được lặp lại y hệt như
phần thuận.

Như vậy, việc lựa chọn giả thiết để xây dựng “kế hoạch” chứng minh phần
đảo là rất quan trọng. Nếu khéo chọn, nhiều khi sẽ giảm bớt được các khó

khăn trong việc chứng minh và có thể cho ta những lời giải hay.

 Tổng quát: khi chứng minh phần đảo của bài toán quỹ tích, sau khi lấy

điểm M bất kì thuộc hình vừa tìm được, ta phải chứng minh rằng điểm
M có tính chất T nêu trong đề bài. Tính chất T này thường được tách
làm hai nhóm tính chất T1 và T2. Ta dựng các điểm chuyển động cịn lại

thoả mãn tính chất T1 rồi chứng minh M và các điểm ấy thoả mãn tính

chất T2. Như thế, tuỳ theo cách chia nhóm T1 và T2 mà có nhiều cách

chứng minh đảo đối với cùng một bài toán.
4. Thực nghiệm dạy toán quỹ tích.

4.1 Lớp khảo sát

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

tích dạng tốn quỹ tích theo hướng nghiên cứu và dạy đối chứng ở nhóm 2
giữ nguyên phương pháp cũ mà các em vẫn được học.

- Trước khi dạy thực nghiệm, để biết được trình độ thức tế của học sinh,
tôi đã cho cả lớp làm bài 50 (trang 87 SGK toán 9). Kết quả như sau:

Bảng 1:

Loại điểm

Nhóm, số HS Điểm tốt

Điểm

khá

Điểm
T. Bình

Điểm
yếu kém
Nhóm 1

Số lượng: 22 HS

Số HS 1 3 13 5

TL% 4,54 13,63 59,09 22,72

Nhóm 2

Số lượng: 22 HS

Số HS 1 3 13 5

TL% 4,54 13,63 59,09 22,72

4.2 Tiến trình dạy thực nghiệm và kết quả

- Sau khi khảo sát và chia lớp thành 2 nhóm tơi đã tiến hành dạy thực
nghiệm áp dụng phương pháp phân tích, dẫn giải học sinh đi giải các bài tốn
quỹ tích dưới dạng chuyên đề ở nhóm 1 như sau:

- Tên bài tập: VD 3; VD5; VD7; VD8; VD10; VD11; VD12.

- Mục đích, yếu cầu: Sau khi giải xong các bài tập, HS nắm được yếu tố
cố định, yếu tố di động, yếu tố khơng đổi, biết dự đốn quỹ tích là hình
gì, biết dựng bài tốn ở phần đảo, biết tìm giới hạn quỹ tích.

- Phương pháp: Phân tích, nêu vấn đề.

- Phương tiện: Máy chiếu, dùng phần mền vẽ hình GeoGebra chay trên
nền java, compa, thước, eke, thước đo góc, phấn màu).

Sau khi dạy thực nghiệm và dạy đối chứng ở hai nhóm. Để đánh giá kết quả,
tơi đã tiến hành:

- Lập phiếu điều tra cả hai nhóm. Kết quả như bảng 2.

- Ra bài tập kiểm tra học sinh cả hai nhóm. Kết quả như bảng 3.

Bảng 2

Nội dung điều tra Kết quả nhóm 1

Kết quả nhóm
2

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

1. Được GV hướng dẫn vẽ hình, phân

tích bài tốn. 22 100 22 100

2. Sau khi học xong bài, hiểu bài và nhớ

lâu hơn. 20 90.90 14 63,63

3. Tự xây dựng được phần đảo và chứng

minh tốt bài tốn quỹ tích. 15 68,18 10 45,45

Bảng 3

Loại điểm Điểm tốt
(9, 10)

Điểm khá
(7, 8)

Điểm TB
(5,6)

Điểm yếu kém
(dưới 5)
Nhóm 1 Số HSTL% 9,092 27,276 59,0913 4,541
Nhóm 2 Số HSTL% 4,541 13,633 59,0913 22,725

4.3 Nhận xét đánh giá kết quả thực nghiệm

Thông qua kết quả phiếu điều tra và kết quả bài kiểm tra cho thấy sau khi
tôi áp dụng phương pháp dạy tốn qũy tích theo chun đề, phân tích để rút ra
hướng giải, đã làm cho học sinh lắm được bài tốt hơn, hiểu sâu hơn, nhớ bài
lâu hơn so với nhóm đối chứng. Tỉ lệ học sinh biết dựng lại mệnh đề đảo cao
hơn nhóm đối chứng, u thích dạng tốn quỹ tích hơn, kết quả các bài kiểm
tra tốn cũng cao hơn so với nhóm đối chứng.

Phần III: kết luận chung

Sau khi tìm hiểu, nghiên cứu sâu về các bài tốn quỹ tích, dạy dạng
tốn quỹ tích ở trường THCS, tơi xin nêu ra những điểm cần lưu ý khi dạy
dạng toán quỹ tích như sau:

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

2. Các bài tốn đưa ra phải đi từ dễ đến khó, phải phân tích cho học sinh
tất cả các tình huống xảy ra của bài tốn, hướng dẫn học sinh vẽ hình
theo u cầu bài tốn, và dự đốn quỹ tích các điểm cần tìm để giải bài
tốn nhanh chóng chính xác.

3. Cần làm cho học sinh hiểu, khi chứng minh phần đảo là đi đặt ra bài
tốn dựng hình, và chứng minh bài tốn đó.

4. Đưa ra các bài tốn tương tự để học sinh vận dụng và rèn kỹ năng trình
bày, phân tích.

5. Nên sử dụng phương tiện dạy học hiện đại vào việc dạy dạng toán này
sẽ đạt hiệu quả cao hơn (vì khi minh hoạ các điểm di động học sinh sẽ
nhìn thấy ngay những yếu tố cố định, những yếu tố thay đổi, và quỹ
tích các điểm cần tìm một cách trực quan, sinh động).

</div>

skkn giai bai toan quy tich

}

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về