SKKN - Bài toán quỹ tích

hớn g d ẫ n h ọ c s inh t ìm l ờ i gi ả i
b à i t oá n q u ỹ t í c h
t r o n g h ìn h h ọ c
A - đặt vấn đề
I - lí do

\ Nâng cao chất lợng giáo dục trong nhà trờng là nhiệm vụ số một và cũng là mục
tiêu phấn đấu của mỗi giáo viên. Đặc biệt là chất lợng giáo dục đối với học sinh
cuối cấp. Bởi vì điều này quyết định đến kết quả thi tốt nghiệp và thi vào tr-
ờngTHPT của các em .
\ Là một giáo viên tham gia giảng dạy bộ môn toán trờng THCS An Cầu, tôi luôn
trăn trở làm thế nào để nâng cao chất lợng bộ môn. Tôi cho rằng ngời thầy cần
nâng cao chất lợng ngay từ giờ lên lớp , chú trọng đổi mới phơng pháp dạy học,
tích cực kiểm tra và theo dõi sát xao việc học tập của học sinh. Từ đó ngời thầy
uốn ắn , giải đáp vớng mắc cho các em và điều chỉnh phơng pháp giảng dạy sao
cho phù hợp nhất. Đồng thời ngời thầy thờng xuyên ôn tập , hệ thống kiến thức,
phân loại bài tập, hình thành phơng pháp và kỹ năng giải toán cho học sinh.
II - phạm vi & đối t ợng áp dụng

\Trong bài viết này tôi xin đề cập đến vấn đề hớng dẫn học sinh tìm lời
giải bài toán quỹ tích trong hình học
\ Đối tợng áp dụng là học sinh khối 8,9 và ôn thi vào lớp 10.
\ Để giải một bài toán quỹ tích có nhiều cách xong nói chung có thể quy về hai
phơng pháp sau:
+ Phơng pháp sơ cấp .
+ Phơng pháp biến hình ( tịnh tiến, quay, đối xứng, đồng dạng,
nghịch đảo )
Xong để phù hợp với trình độ nhận thức và chơng trình môn toán THCS tôi xin
dừng lại ở phơng pháp sơ cấp và đi sâu vào việc hớng dẫn cho các em tìm ra lời
giải
B- Giải quyết vấn đề

I - nhận xét

\ Những bài tìm quỹ tích đòi hỏi học sinh phải có kiến thức và kỹ năng nhất định.
Cho nên trong thời gian đầu học sinh học dạng toán này, nếu giáo viên ôn tập theo
các bài tập của tài liệu ngay thì nhiều em không có khả năng tiếp thu bài học. Bởi
các em cha có một hệ thống kiến thức và kỹ năng về dạng toán này.
\ Muốn học sinh làm đợc các bài tập tìm quỹ tích theo yêu cầu thì trớc hết giáo
viên cần chia nhỏ yêu cầu đó thành các phần, các bớc . Mỗi phần giáo viên trang
bị kiến thức và kỹ năng phân tích, làm bài cho các em.
II- Nội dung

1. Tổng quá t :"tập hợp những điểm có tính chất là hình F "
\ Để chứng minh hình F là tập những điểm có tính chất (nghĩa là chứng minh
tập hợp những điểm thuộc hình F và tập hợp những điểm có tính chất là hai tập
hợp bằng nhau ) ta chứng minh:
Với M, M() M(F)
M() : " M có tính chất "
\ Nh vậy, ta chứng minh 2 phần:
a)Phần thuận:
\ Lấy một điểm M bấy kỳ có tính chất , chứng minh M thuộc hình ( F ):
M() M(F)
b)Phần đảo:
\ Lấy một điểm Mbất kỳ thuộc hình ( F ) , chứng minh Mcó tính chất :
M ( F ) M( )
+ Chú ý: Đôi khi để đỡ phải vẽ nhiều hình, ở phần đảo ngời ta vẫn lấy điểm
M

( F ) thay cho M

( F ).

2- Một số tập hợp điểm cơ bản
a)Đờng tròn: Tập hợp tất cả các điểm cách một điểm cố định cho trớc một
khoảng cho trớc là đờng tròn tâm là điểm cố định cho trớc ấy và bán kính là
khoảng cách cho trớc ấy.
b)Đờng trung trực: Tập tất cả các điểm cách hai điểm cố định cho trớc là đờng
trung trực của đoạn thẳng nối liền hai điểm này.
c)Đờng phân giác: Tập hợp các điểm cách đều hai đờng thẳng c ho trớc là:
\ Hai đờng phân giác của góc tạo bởi hai đờng thẳng đó nếu hai đờng thẳng cho
trớc cắt nhau.
\ Đờng thẳng song song cách đều với hai đờng thẳn cho trớc nếu hai đờng thẳng
cho trớc song song.
d)Đờng thẳng song song: Tập hợp các điểm cách một đờng thẳng cho trớc một
khoảng cho trớc là hai đờng thẳng song song với đờng thẳng đã cho và cách đờng
thẳng đã cho một khoảng đã cho.
e)Cung chứa góc: Tập hợp các điểm từ đó nhìn thấy một đoạn thẳng AB cho trớc
dới một góc cho trớc là hai cung chứa góc vẽ trên đoạn AB.
f) Đờng tròn Apôloniút: Tập hợp các điểm M sao cho tỷ số khoảng cách từ đó
đến hai điểm cố định A, B cho trớc bằng tỷ số k không đổi ( k 1) là đờng tròn
có đờng kính là một đoạn thẳng IJ trong đó I và J là điểm chia trong và chia ngoài
đoạn thẳng AB theo tỷ số k.
g) Tổng các bình phơng: Tập hợp các điểm có tổng các bình phơng của hai
khoảng cách từ đó đến hai điểm A và B cho trớc, có giá trị không đổi k
2
với k là
độ dài cho trớc là đờng tròn có tâm là trung điểm của AB và bán kính
bằng
2
1
22
2 ak

với ( a = AB; k
2
2a
)
h) Hiệu các bình phơng: Tập hợp các điểm mà hiệu các bình phơng của hai
khoảng cách từ đó đến hai điểm A,B cho trớc có một giá trị không đổi k với k là
độ dài cho trớc là một đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng AB tại điểm H sao
cho OH =
AB
k
2
2
trong đó O là trung điểm của đoạn thẳng AB.
3. Đoán nhận hình dạng của tập hợp điểm .
\ Mặc dù không phải trình bày vào bài làm xong đây là một bớc khá quan trọng .
Vì nếu các em làm tốt phần này các em sẽ tìm ra hớng đi đúng cho toàn bài
\ Các bài toán tìm tập hợp điểm thờng cho dới dạngTìm tập hợp những điểm có
tính chất .Nh vậy đòi hỏi ta trớc hết phải dự đoán hình ( F ) , phải tìm là hình
gì rồi phải chứng minh M() M(F).
\Sau đây là một vài cách đoán nhận:
a)Dựa vào thực nghiệm:
\ Hình dạng : Dựa vào những điều kiện của bài toán, tìm một số phần tử cần thiết
( ít nhất là 3 ) thuộc tập hợp các điểm có tính chất và căn cứ vào đó mà đoán
nhận hình dạng của tập hợp thuộc loại thẳng hay tròn.
Lấy ít nhất 3 điểm, chú ý điểm đặc biệt và điểm bất kỳ đẻ biết sơ bộ về hình
dạng.
1 Ví dụ
1
.

Cho nửa đờng tròn (O), đờng kính AB. Mlà điểm chuyển động trên nửa đờng
tròn, H là hình chiếu của M trên AB. Trên đoạn thẳng OM lấy N sao cho ON =
MH. Tìm tập hợp điểm N.
*)Dự đoán : Khi M trùng A hoặc B thì N trùng O
Khi M là điểm chính giữa cung AB
thì N I và lấy thêm điểm M bất kỳ thuộc nửa
đờng tròn thì có điểm N.
Ta thấy O, N, I không thẳng hàng vậy có thể
dự đoán tập hợp phải tìm thuộc loại đờng tròn
đi qua N, I và O
1 Ví dụ
2

Cho góc xOy = 1V, A là điểm cố định nằm
trong góc đó. Điểm B chạy trên ox, điểm C chạy
trên Oy sao cho AB

AC. Tìm tập hợp hình chiếu
của A trên cạnh BC.
*)Dự đoán: B

O thì Q thuộc tập hợp phải tìm, C

O
thì P thuộc tập hợp phải tìm, khi ABC ở vị trí bất
kỳ thoả mãn điều kiện đầu bài thì hình chiếu của A
là H,cùng P và Q có khả năng thẳng hàng. Vậy tập
hợp thuộc loại đờng thẳng đi qua P,Q
b)Dựa vào vị trí.
\ Xét liên hệ giữa những phần tử của tập hợp ( chuyển động ) với những phần tử

đã cho ( cố định , không đổi ) để tìm ra đợc những phần tử cố định thuộc tập hợp
hoặc những phần tử cố định , không đổi cần thiết để xác định hình chứa tập hợp
các điểm có tính chất

.
1 Ví dụ
3
Cho góc xAy. B,C lần lợt thay đổi
trên tia Ax, Ay sao cho: AB + AC =1.
Tìm tập hợp những giao điểm M của
đờng tròn ngoại tiếp ABC với đờng
thẳng song song với BC đợc kẻ từ A.
*)Dự đoán: Dễ thấy A, B
1
, C
1
thuộc tập hợp, trong đó B
1

Ax sao cho AB
1
=1, C
1

Ay sao cho AC
1
=1. Vậy tập hợp có thể là đờng tròn đi qua A, B
1
, C
1

.
+ Tóm lại : Vấn đề tìm đợc những phần tử cố định hoặc không đổi liên quan
đến tập hợp những điểm đặc trng đang xét và qua những phần tử đó mà tìm toàn
bộ tập hợp là nội dung chủ yếu của phơng pháp này
c) Dựa vào xác định số giao điểm của tập hợp những điểm có tính chất đặc tr ng
với hình cố định nào đó:


Trên một đờng thẳng cố định có hai điểm của tập hợp và nếu đờng thẳng
đó không thuộc tập hợp những điểm trên thì nói chung nó thuộc loại đờng tròn.
Đặc biệt nó có thể là hai đờng thẳng đi qua hai điểm ấy.
1 Ví dụ
4
Tìm tập hợp những điểm M sao cho MA
2
+ MB
2
= k
2
trong đó A, B cố định
còn k là độ dài cho trớc.
*)Dự đoán: Ta thấy trên đờng thẳng AB có hai điểm thuộc tập hợp trên và những
điểm còn lại trên đờng thẳng AB không thuộc tập hợp phải tìm. Do đó tập hợp
đang xét thuộc loại tròn hoặc hai đờng thẳng đi qua hai điểm nói trên.
1 Ví dụ
5
Cho 3 điểm A, B, C cố định không thẳng hàng. Tìm tập hợp những điểm M sao
cho khoảng cách từ B đến AM bằng khoảng cách từ C đến AM.
*)Dự đoán: Ta thấy A và trung điểm I của BC thuộc tập hợp này. Vậy tập hợp
đang xét có thể là hai đờng thẳng đi qua hai điểm này.

Nếu trên đờng thẳng cố định chỉ có một điểm thuộc trờng hợp đang xét thì
tập hợp đó nói chung thuộc loại thẳng hoặc cung tròn.
1 Ví dụ
6
Tìm tập hợp những điểm M sao cho MA
2
- MB
2
= k
2
trong đó A, B cố định và
k là độ dài cho trớc.
*)Dự đoán: Ta thấy có một điểm M thuộc đờng thẳng AM có MA
2
- MB
2
= k
2
do đó tập hợp điểm này có thể thuộc loại thẳng.
c)Dựa vào tính đối xứng ( trục, tâm ) của tập hợp những điểm đặc trng
\ Thuộc loại thẳng mà có trục đối xứng thì nó vuông góc với trục đối xứng.
\ Thuộc loại tròn mà có trục đối xứng thì tâm của nó nằm trên trục đối xứng.
1 Ví dụ
7
Tìm tập hợp những điểm M sao cho MA
2
+ MB
2

= k
2
trong đó A, B cố định
còn k là độ dài cho trớc.
*)Dự đoán: Dễ thấy tập hợp này có 2 trục đối xứng: đthẳng AB và đờng trung
trực của AB . Do đó quỹ tích có thể là đtròn ( giao 2 trục đxứng là tâm )
e)Dựa vào các phần tử vô tận.
\ Có một điểm vô tận thì tập hợp thể là đờng thẳng hay nửa đờng thẳng
1 Ví dụ
8
Cho góc xOy . Trong góc xOy có một tam giác đều biến thiên mà một đỉnh là
điểm A cố định nằm trên Oy còn đỉnh thứ hai B di động trên Ox. Tìm tập hợp
đỉnh thứ ba C.
*)Dự đoán: Vì B chạy trên Ox nên B có thể là điểm vô tận, khi đó C cũng là điểm
vô tận. Vậy tập hợp có thể là đờng thẳng hay nửa đờng thẳng.
\ Không có điểm vô tận thì tập hợp có thể thuộc loại tròn hay đoạn thẳng.
\ Nếu đờng thẳng tập hợp có chung với một đờng thẳng cố định một điểm vô
tận thì nó song song với
1 Ví dụ
9
Tìm tập hợp trung điểm của đoạn thẳng AM trong đó A cố định M di động trên
một đờng thẳng cho trớc ( không đi qua A )
*)Dự đoán: Dễ thấy tập hợp điểm có chung với đờng thẳng cố định một điểm vô
tận, do tập hợp điểm M có thể song song với
+ Chú ý: Thông thờng để dự đoán chi tiết một tập hợp cho bởi một tính
chất đặc trng của mỗi điểm, ngời ta phối hợp các phơng pháp trên với nhau.
1 Ví dụ
10
Tìm tập hợp những điểm M sao cho MA
2

+ MB
2
= k
2
trong đố A, B là những
điểm cố định và k là độ dài cho trớc.
*)Dự đoán: Hình F không có điểm vô tận.
Hình F giao với đờng thẳng AB tại hai điểm.
Hình F có trục đối xứng là đờng thẳng AB.
Hình F có trục đối xứng là đờng trung trực của AB.
Hình F có tâm đối xứng là trung điểm của AB.


Vậy hình F là đờng tròn tâm là trung điểm của đoạn thẳng AB
4. Các b ớc giải bằng ph ơng pháp sơ cấp .