Bài 1 ĐỊNH NGHĨA và ý NGHĨA của đạo hàm

CHƯƠNG 5: ĐẠO HÀM
BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Hiểu khái niệm đạo hàm, đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải, đạo hàm trên khoảng, trên đoạn.
+ Nắm được quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số.
+ Biết cách tìm hệ số góc của tiếp tuyến và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một
điểm.
+ Trình bày được ứng dụng đạo hàm vào giải bài tốn vật lý.
 Kĩ năng
+

Tính được đạo hàm của hàm số tại một điểm, trên một khoảng bằng cách dùng định nghĩa.

+

Biết cách tìm hệ số góc của tiếp tuyến và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
một điểm.

+

Vận dụng được đạo hàm vào giải bài tốn vật lí.

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  a; b  và x0 � a; b  .
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) xlim
�x

0

f  x   f  x0 
thì giới hạn đó
x  x0

được gọi là đạo hàm của hàm số y  f  x  tại x0 và kí hiệu là
f�
 x0  có nghĩa là
f�
 x0   lim

x � x0

f  x   f  x0 
y
 lim
x �0 x
x  x0

Trong đó
x  x  x0 gọi là số gia của đối số x tại x0 .
y  f  x   f  x0   f  x0  x   f  x0  gọi là số gia tương ứng
của hàm số.
2. Đạo hàm bên trái, bên phải
f�
 x0   lim

f  x   f  x0 

;
x  x0

f�
 x0   lim

f  x   f  x0 
.
x  x0

x � x0

x � x0

Hệ quả: Hàm f  x  có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi tồn tại f �
 x0 
và f �
 x0  , đồng thời f � x0   f � x0  .
3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn
- Hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  a; b  nếu nó có đạo hàm tại mọi
điểm thuộc  a; b  .
- Hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  a; b  nếu f  x 
+ Có đạo hàm tại mọi x � a; b  ;
+ Có đạo hàm trái f �
 b  ;
+ Có đạo hàm phải f �
 a  .
4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại x0 .
5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Chú ý:
+ Nếu y  f  x  gián đoạn
tại x0 thì nó khơng có đạo hàm
tại x0 .
Trang 2


Đạo hàm của hàm số y  f  x  tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp
tuyến M 0T của đồ thị hàm số tại điểm M 0  x0 ; f  x0   .
Phương trình tiếp tuyến

+ Nếu y  f  x  liên tục tại
x0 có thể khơng có đạo hàm tại
x0 .

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm
M 0  x0 ; f  x0   là y  y0  f �
 x0   x  x0  trong đó y0  f  x0  .
6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

 t0  ;
+ Vận tốc tức thời : v  t0   s�
+ Gia tốc: a  t0   v�
 t0    s �
 t0   �;

 t0  .
+ Cường độ dòng điện tức thời: I  t0   Q�

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Đạo hàm tại
một điểm

ĐẠO

Đạo hàm trái

HÀM
Đạo hàm một bên
Đạo hàm trên một khoảng
Hàm số có đạo hàm trên
nếu nó có đạo hàm tại mọi
điểm thuộc

Đạo hàm phải

Đạo hàm trên một đoạn
Hàm số có đạo hàm trên nếu

Trang 3


Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
số tại điểm là
Ý nghĩa hình học
là hệ số góc của tiếp tuyến
Ý NGHĨA
Vận tốc tức thời

CỦA
ĐẠO
HÀM

Ý nghĩa vật lí

Gia tốc tức thời

Cường độ tức thời

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm
Bài tốn 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số tại một điểm
Phương pháp giải
Ví dụ. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số
y  2 x 2  3 tại x0  2 .
Bước 1: Giả sử x là số gia của đối số x

Hướng dẫn giải

tại điểm x0 . Tính y  f  x0  x   f  x0 

Giả sử x là số gia của đối số tại x0  2 .
Ta có:

y
.
Bước 2: Lập tỉ số
x

y
.
Bước 3: Tìm lim
x �0 x

y  f  2  x   f  2   2  2  x   3   2.22  3
2

 2 x  x  4  .
Tỉ số

y 2x  x  4 

 2 x  8 .
x
x

Trang 4


y
 lim  2x  8   8.
x �0 x
 x �0
lim

 2   8.
Vậy f �
y
tồn tại hữu hạn thì tại x0 hàm

x �0 x

+ Nếu lim

y
;
x �0 x

số có đạo hàm f �
 x0   lim
+ Nếu lim

x �0

y
khơng tồn tại hữu hạn thì tại
x

x0 hàm số khơng có đạo hàm.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y 

2x 1
tại x0  3 .
x 1

Hướng dẫn giải
Giả sử x là số gia của đối số tại x0  3 .
Ta có: y  f  3  x   f  3 

2  3   x   1 5 5  2 x 5
3x
 
 
;
3  x  1
4 4  x 4 4  4  x 

y
3x
3


.
x x.4  4  x  4  4  x 
Do đó lim
x �0

y
3x
3
3
 lim
 lim
 .
x x�0 x.4  4  x  x�0 4  4  x  16

Vậy f �
 3 

3
.
16

Ví dụ 2. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y  2 x  1 tại x0  1.
Hướng dẫn giải
Giả sử x là số gia của đối số tại x0  1.
Ta có: y  f  1  x   f  1  2  1  x   1  1 
y

x x



2x



2x  1  1



2 x
;
2x  1  1

2
;
2x  1  1

y
2
 lim
 1.
x �0 x
 x �0
2x  1  1
lim

 1  1.
Vậy f �

Trang 5




Ví dụ 3. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y  sin x tại x0 


.
3

Hướng dẫn giải
Giả sử x là số gia của đối số x0 
�
�
Ta có: y  f �  x �
�3
�


.
3


� �
�
�
� x � x
f � � sin �  x � sin  2cos � 
sin ;
�
3
�3 �
�3
�
�3 2 � 2

x
sin
y
� x � 2
 cos � 
.
�
x
�3 2 � x
2
x

sin
y
� x � 2
 lim cos � 
.
Do đó lim
�
x �0 x
x � 0
�3 2 � x
2
x
2  1 nên lim y  lim cos �  x � cos   1 .
�
�
x �0 x
 x �0
x
3 2
�3 2 �
2

sin
Vì lim
x �0

� � 1
Vậy f �
� � .
�3 � 2

2
�
x  1 , x �0

�
Ví dụ 4. Chứng minh rằng hàm số f  x   � 2
khơng có đạo hàm tại x  0 nhưng có đạo
x , x  0
�

hàm tại x  2 .
Hướng dẫn giải
Ta có


lim f  x

x �0

lim  x 1

x �0

2

1; lim f  x 
x �0

lim  x 2 

x �0

0

lim f  x 

x �0

lim f  x  .

x �0

Suy ra hàm số gián đoạn tại x  0 nên khơng có đạo hàm tại đó.
f  2  x   f  2 
1  x   12

lim
 lim
 lim  2  x   2.
x �0
x �0
x �0
x
x
2

 2   2.
Vậy hàm số y  f  x  có đạo hàm tại x  2 và f �
2x2  x  1
Ví dụ 5. Chứng minh rằng hàm số f  x  

liên tục tại x  1 nhưng khơng có đạo hàm
x 1
tại điểm đó.
Hướng dẫn giải
Vì f  x  là hàm số sơ cấp xác định tại x  1 nên nó liên tục tại đó.

Trang 6



�
 lim
Ta có: f �
 1 �
�
� x � 1 

f  x   f  1
2x
 lim 
 1;
x � 1 x  1
x 1


�
f�
 lim
 1 �
�

� x � 1 

f  x   f  1
 lim  2  2.
x � 1
x 1



�
�
�f �
f x
 1 �
 1 �
Do đó f �
�
� �
�nên   khơng có đạo hàm tại x  1 .

Ví dụ 6. Cho đồ thị hàm số y  f  x  xác định
trên khoảng  a; b  như hình vẽ.
Dựa vào hình vẽ hãy cho biết tại mỗi điểm
x1 , x2 , x3 , x4 .
a, Hàm số có liên tục khơng?
b, Hàm số có đạo hàm khơng?
Tính đạo hàm nếu có.
Hướng dẫn giải
a, Hàm số gián đoạn tại các điểm x1 , x3 vì đồ thị bị đứt tại các điểm
đó. Hàm số liên tục tại x2 , x4 vì đồ thị là đường liền nét khi đi qua các

điểm đó.
b, Tại các điểm x1 , x3 hàm số khơng có đạo hàm do hàm số gián
đoạn tại các điểm x1 , x3 .
Hàm số không có đạo hàm tại x2 vì đồ thị bị gãy (khơng có tiếp
tuyến tại đó).

 x4   0 vì tại x4 đồ thị hàm số có
Hàm số có đạo hàm tại x4 và f �
tiếp tuyến và tiếp tuyến song song với trục hồnh (hệ số góc của tiếp
tuyến bằng 0).
Bài tốn 2. Dùng định nghĩa tìm đạo hàm trên một khoảng
Phương pháp giải
Bước 1: Giả sử x là số gia của đối số x tại

Ví dụ. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm

x0 .

số y  x 2 trên khoảng  �; � ?

Tính y  f  x0  x   f  x0  .

Hướng dẫn giải

Bước 2: Lập tỉ số

y
.
x

y
.
x �0 x

Bước 3: Tìm lim

Giả sử x là số gia của đối số x .
Ta có:
y  f  x  x   f  x    x  x   x 2
2

Trang 7




Hàm số y  f  x  có đạo hàm trên

 a; b 

nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm

trên  a; b  .


Hàm số y  f  x 

 a; b

 2x.x   x  .

2

2x.x   x 
Tỉ số y 
 2 x  x.
x
x
2

y
 lim  2 x  x   2 x.
có đạo hàm trên x �0 x x�0
lim

nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm

 x   2 x.
Vậy f �

thuộc  a; b  đồng thời tồn tại đạo hàm
trái f �
 b  và đạo hàm phải f � a   .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y 

x
trên các
x 1

khoảng  �;1 và  1; � ?

Hướng dẫn giải
Giả sử x là số gia của đối số x .
Ta có y  f  x  x   f  x  

x  x
x
x


x  x  1 x  1  x  x  1  x  1

y
x
1


x x.  x  x  1  x  1  x  x  1  x  1
lim

x �0

y
1
1
 lim


x
�
0

x
 x  x  1  x  1  x  1 2 .

 x 
Vậy f �

1

 x  1

2

.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số y  cos x trên khoảng  �; � ?
Hướng dẫn giải
Giả sử x là số gia của đối số x .
� x � x
.sin
Ta có: y  f  x  x   f  x   cos  x  x   cos x  2sin �x 
�
� 2 � 2
� x � x
� x � x
2sin �x 
.sin
sin �x 
.sin
�
�

y
2 � 2
2 � 2
�
�


x
x
x
2

Trang 8


� x � x
sin �x 
.sin
�
y
2 � 2
�
lim
 lim 
  sin x.
x �0 x
x � 0
x
2

 x    sin x.
Vậy f �
Bài tốn 3. Tìm điều kiện của tham số để hàm số có đạo hàm
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất

�x 2  1
khi x �1
�
m để hàm số f  x   �x  1
Hàm f  x  có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi Ví dụ. Tìm
�
2m
khi x  1
�
tồn tại

f�
 x0 

và

f�
 x0 

đồng thời có đạo hàm tại x  1 .
Hướng dẫn giải

f�
 x0   f � x0  .

Ta có lim f  x   lim
x �1

x �1

x2 1
 2; f  1  2m.
x 1

Để hàm số có đạo hàm tại x  1 thì f  x  phải liên
tục

x 1,

tại

suy

ra

lim f  x   f  1 � 2m  2 � m  1.
x �1

Thay m  1 vào hàm số f  x  thỏa mãn có đạo hàm
x 1.

Ví dụ mẫu
�x 2  3x khi x �2
f

x



Ví dụ 1. Tìm a, b để hàm số
có đạo hàm tại x  2
�
ax  b khi x  2
�
Hướng dẫn giải
Ta

có

lim f  x   lim  x 2  3 x   2; lim f  x   lim  ax  b   2a  b

x �2 

x �2

x �2

x �2

Để hàm số có đạo hàm tại x  2 thì hàm số liên tục tại x  2 .
Do đó 2a  b  2 � b  2a  2 . Ta lại có:
lim

f  x   f  2
x2  3x  2

 lim
 lim  x  1  1;
x �2
x �2
x2
x2

lim

f  x   f  2
ax  b   2 
ax  b  2
 lim
 lim
.
x �2
x �2
x2
x2
x2

x �2

x �2

Do b  2a  2 nên lim
x �2

ax  b  2
ax  2a  2  2

ax  2a
 lim
 lim
a
x
�
2
x
�
2
x2
x2
x2

Để hàm số có đạo hàm tại x  2 thì

Trang 9


lim

x �2

a 1
a 1
f  x   f  2
f  x   f  2
�
�
 lim

��
��
x �2
b  2a  2
b  4
x2
x2
�
�

cos x, x �0
�
Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số f  x   �
� sin x, x  0

khơng có đạo hàm tại x  0 .

Hướng dẫn giải
Ta có:




lim f x 

x �0

lim cos
 x 1; lim f  x 
x �0

x �0

lim  sin x 

x �0 

0

lim f  x 

x �0

lim f  x  .

x �0

Suy ra hàm số gián đoạn tại x  0 nên không có đạo hàm tại đó.
�x 3
khi x  1
�
Ví dụ 3. Tìm a, b để hàm số f  x   �3
có đạo hàm tại x  1 .
�ax  b khi x �1
�
Hướng dẫn giải
Điều kiện cần
�x 3 � 1
1
f  x   lim  ax  b   a  b.

f
1

;
lim
f
x

lim




Ta có
� � và lim
x �1
x �1
x �1
3 x �1
�3 � 3
Để hàm số f  x  có đạo hàm tại x  1 thì f  x  liên tục tại x  1 .
1
Do đó lim f  x   lim f  x   f  1 � a  b  .
x �1
x �1
3
Điều kiện đủ:
x3 1

2

f  x   f  1

3
3  lim x  x  1  1.
f�

lim
 1   xlim
�1
x �1 x  1
x �1
x 1
3
f�
 1   lim
x �1

f  x   f  1
f  x   f  1
ax  b   a  b 
ax  a
 lim
 lim
 lim
 a.
x �1
x �1
x �1
x 1
x 1

x 1
x 1

Để hàm số f  x  có đạo hàm tại x  1 thì f �
 1   f � 1  � a  1 � b   23 .
Vậy

a  1; b  

2
3 thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Bài tập tự luyện dạng 1
3
Câu 1: Số gia của hàm số f  x   x tại điểm x0  1 ứng với x  1 là

A. 0.

B. 1.

Câu 2: Biểu thức y và
A. y  0,

y
 0.
x

C. 7.

D. 9.

y
của hàm số y  x 2  1 tính theo x và x là
x
B. y   x   2 x.x,
2

y
 x  2 x.
x
Trang 10


C. y  2 x.x   x   2,
2

y
 2 x  x.
x

D. y   x  ,
2

y
 x.
x

Câu 3: Đạo hàm của hàm số y  2 x  1 tại điểm x0  1 là
A. -1.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Câu 4: Đạo hàm của hàm số y  x 2  x tại điểm x0 là
2
�
.
 x0   lim
 x   x �
A. f �
�
x �0 �

2
�
.
 x0   lim
 x   x  x0 2  x0 �
B. f �
�
x �0 �

2
�
2 x0 x   x   x �
.
 x0   lim

C. f �
�
x �0 �

 x0   lim
 x  2 x0  1 .
D. f �
x �0

Câu 5: Đạo hàm của hàm số y  x 2  x tại điểm x0  1 là
A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. 4.

1
 2  bằng
Câu 6: Cho hàm số y  . Giá trị của y�
x
1
A.  .
4

B. 

1
.

x2

C.

1
.
2

D. 2.

Câu 7: Giá trị đạo hàm của hàm số y  2 x  1 tại điểm x0  5 là
A. 9.

B. 6.

C.

1
.
3

D.

1
.
6

 0  bằng
Câu 8: Cho hàm số y  f  x   x  x . Giá trị f �
A. 2.

B. 0.

C. -1.

D. Không tồn tại.

� x2  1 1
�
khi x �0
. Giá trị f �
 0  bằng
Câu 9: Cho hàm số f  x  xác định bởi f  x   � x
�
0
khi x  0
�
A. 0

B. 1.

C.

1
.
2

D. Không tồn tại.

�sin 2 x

khi x  0
�
Câu 10: Đạo hàm của hàm số f  x   � x
tại x0  0 bằng
�x  x 2 khi x �0
�
A. 1.

B. 2.

Câu 11: Cho hàm số y  f  x  

C. 3.

D. 5.

2 x2  x  1
. Khẳng định nào sau đây đúng?
x 1

A. Hàm số f  x  liên tục và có đạo hàm tại x  1 .
B. Hàm số f  x  liên tục tại x  1 nhưng khơng có đạo hàm tại x  1 .
C. Hàm số f  x  không liên tục tại x  1 .
D. Hàm số f  x  có tập xác định là �.
2x  3
khi x �1
�
�3
2
Câu 12: Đạo hàm của hàm số f  x   �x  2 x  7 x  4

tại x0  1 bằng
khi x  1
�
x 1
�
Trang 11


A. 0.

B. 4.

C. 5.

D. Không tồn tại.

Câu 13: Đạo hàm của hàm số y  c ( c là hằng số) trên khoảng  �; � bằng
 0.
A. y �

 c.
B. y �

 1.
C. y �

Câu 14: Đạo hàm của hàm số y  f  x  

A. y �

1
.
x

 x.
D. y �

1
trên các khoảng  �;0  và  0; � bằng
x

 0.
B. y �

 x.
C. y �


D. y �

1
.
x2

Câu 15: Đạo hàm của hàm số y  f  x   x trên khoảng  0; � bằng

A. y �

1
.

x


B. y �

1
2 x

.

 0.
D. y �

C. y �
 x.

�x 4  4
, khi x �2
�
Câu 16: Giá trị của m để hàm số f  x   �x  2
có đạo hàm tại x  2 bằng
�
m
khi x  2
�
A. m  3.

B. m  4.

C. m  1.

D. m  2.

�x 2  ax  b
khi x �2
y

, biết hàm số có đạo hàm tại điểm x  2 .
Câu 17: Cho hàm số
�3 2
�x  x  8 x  10 khi x  2
Giá trị của ab bằng
A. 2.

B. 4.

C. 1.

D. -8.

�x 4  2 x 2  1
khi x �1
�
Câu 18: Nếu hàm số f  x   � x  1
có đạo hàm trên �thì giá trị a  b là
2
�
ax  ax  b khi x  1
�
A. -1.

B. 4.

C. 1.

D. -4

Dạng 2: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến và viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm
Phương pháp giải
Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  và điểm Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của đường
M  x0 ; y0  � C  .


Hệ số góc của tiếp tuyến tại x0 là
k  f�
 x0 



Phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm
M  x0 ; y0  có dạng:
y  y0  f �
 x0   x  x0  .

cong y  2 x 3  1 tại điểm  1; 1 .
Hướng dẫn giải



 



2  1  x   1  2  1  1
y
lim
 lim
x �0 x
x �0
x



3

3



 lim 2  x   6x  6  6
x �0

2

� k  y�
 1  3.
Phương trình tiếp tuyến là
y  1  6  x  1 � y  6 x  5.

Trang 12

Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số
góc k của tiếp tuyến
+ Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm, ta có
f�
 x0   k  1
+ Giải phương trình  1 tìm x0 , từ đó
y0  f  x0  .
+ Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng
y  k  x  x0   y0.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol y  x 2 tại x  1 .
Hướng dẫn giải
Ta có

 1  x 
lim

2

  1

2

x

x �0

 lim  2  x   2.

x �0

 1  2 .
Vậy hệ số góc là k  y�
Ví dụ 2. Cho hàm số y  x 3 . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị với đường thẳng
y  3x  2 .
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  x 3 và đường thẳng y  3 x  2 là
�x  1
x3  3x  2  0 � �
.
�x  2
Tại x  1 ta có lim 
x �0

1  x    1
2
 lim  x   3x  3  3.

x
�
0
x
3

3





 1  3.
Hệ số góc k1  y�
Tại x  2 ta có lim 
x �0

2  x    2 
2
 lim  x   6x  12  12.
x � 0
x
3

3





 2   12.
Hệ số góc k2  y �
Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y   x3 tại điểm có tung độ bằng 27.
Hướng dẫn giải
Ta có: y  27 � x  3 .

Trang 13


  3  x   27
y

2
lim
 lim
 lim   x   9x  27  27
x �0 x
x �0
x �0
x
3





� k  y�
 3  27
Phương trình tiếp tuyến y  27  27  x  3 � y  27 x  54.
Ví dụ 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 

x
, biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
x 1

1
 .
9
Hướng dẫn giải
Gọi M  x0 ; y0  là tọa độ tiếp điểm. Ta có:
y
1

1
 lim

2
x �0 x
x �0  x  x  1  x  1
 x0  1
0
0

f�
 x0   lim

x0  4
�
1
1
1
2
f�


�
x

1

9
�
.

 x0   k   � 


0
�
2
x0  2
9
9
 x0  1
�
+ Với x0  4 ta có y0 

4
, phương trình tiếp tuyến tại
3
y

+ Với x0  2 ta có y0 

1
4
1
16
 x  4  � y   x  .
9
3
9
9

2
, phương trình tiếp tuyến tại
3
y

� 2�
�2; �là
� 3�

1
2
1
4
 x  2  � y   x  .
9
3
9
9

Ví dụ 5. Chứng minh rằng để đường thẳng

 G : y  f  x

� 4�
�4; �là
� 3�

 d  : y  ax  b

là tiếp tuyến của đồ thị hàm số

�
 x0 
�a  f �
.
tại điểm  x0 ; f  x0   thì điều kiện cần và đủ là �
�ax0  b  f  x0 

Hướng dẫn giải
Đường thẳng y  ax  b là tiếp tuyến của đồ thị  G  : y  f  x  tại điểm  x0 ; f  x0   khi và chỉ
khi đồng thời xảy ra
và  G  cùng đi qua điểm  x0 ; f  x0   tức là ax0  b  f  x0  .



 d



 x0  .
Hệ số góc của  d  bằng đạo hàm của f tại x0 , tức là a  f �

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Bài tập tự luyện dạng 2
Trang 14


Câu 1: Cho đồ thị của hàm số f  x  trên khoảng  a; b  . Biết rằng tại các điểm M 1 ; M 2 ; M 3 , đồ thị hàm

 x1  , f �

 x2  , f �
 x3  .
số có tiếp tuyến được thể hiện như hình vẽ. Dựa vào hình vẽ hãy xét dấu của f �
 x1   0, f �
 x2   0, f �
 x3   0.
A. f �

 x1   0, f �
 x2   0, f �
 x3   0.
B. f �

 x1   0, f �
 x2   0, f �
 x3   0.
C. f �

 x1   0, f �
 x2   0, f �
 x3   0.
D. f �

Câu 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 

1
tại điểm có hồnh độ là -1.
x

A. x  y  2  0.

B. y  x  2.

C. y  x  2.

D. y   x  2.

Câu 3: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y   x 3  3x  2 tại điểm có hồnh độ bằng 2 song song với đường
thẳng y  ax  b . Giá trị a  b bằng
A. 5.

B. 6.

C. 4.

Câu 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 

D. -1.
1
1
biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng  .
x
4

A. x  4 y  1  0 và x  4 y  1  0 .

B. x  4 y  4  0 và x  4 y  4  0 .

1
1

C. y   x  4 và y   x  4 .
4
4

1
D. y   x .
4

Câu 5: Hệ số góc của tiếp tuyến của parabol y  x 2 tại x 
A. 0.

B. 1.

Câu 6: Hệ số góc của tiếp tuyến của parabol

C.

1
là
2

1
.
4

1
D.  .
2

y  x 2 tại giao điểm của parabol với đường thẳng

y  3 x  2 bằng
A. 1 và 2.

B. 1 và 4.

C. 2 và 4.

D. 1 và 3.

Câu 7: Phương trình tiếp tuyến của đường cong y  x 3 tại điểm  1; 1 là
A. y  3 x  4.

B. y  1.

C. y  3 x  2.

D. y  3 x  2.

Câu 8: Phương trình tiếp tuyến của đường cong y  x 3 tại điểm có tung độ bằng 8 là
A. y  12 x  16.

B. y  8.

C. y  12 x  24.

D. y  12 x  16.

Trang 15

Câu 9: Phương trình tiếp tuyến của đường cong y 

1
tại điểm có hồnh độ bằng -1 là
x

A. x  y  2  0 .

B. y  x  2.

C. y  x  2.

D. y   x  2 .

Dạng 3. Ứng dụng đạo hàm trong vật lý
Phương pháp giải
Vận tốc trung bình: vtb 

s  t  t   s  t 
t

Ví dụ 1. Một vật rơi tự do có phương trình
chuyển động s 

1 2
gt , trong đó g  9,8m /s 2 và
2

t được tính bằng giây.

a, Tính vận tốc trung bình của chuyển động trong
khoảng thời gian từ t đến t  t trong trường hợp
t  0,1 và t  3 .
b, Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời
điểm t  5s .
Hướng dẫn giải
a,
1
1 2
2
s  t  t   s  t  2 g  t  t   2 gt
vtb 

t
t
 gt 

1
g  t.
2

Với t  0,1 và t  3 thì
1
vtb  9,8.3  .9,8.0,1 �28,89  m/s  .
2

 t0 
Vận tốc tức thời: v  t0   s�

b,

1
1
2
g  5  t   g .52
s
2
lim
 lim 2
t �0 t
t �0
t
1
�
�
 lim �
5 g  g t � 49;
t �0
2
�
�
v  5   s�
 5  49  m/s  .

Cường độ tức thời tại thời điểm t0 của một Ví dụ 2. Cho biết điện lượng trong một dây dẫn
dòng điện với điện lượng Q  Q  t 
I  t0   Q�
 t0  .

là theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q  6t  5 ( t
được tính bằng giây, Q được tính bằng

Coulomb). Tính cường độ của dòng điện trong
Trang 16


dây dẫn tại thời điểm t  10.
Hướng dẫn giải

 t   6 nên cường độ dòng điện trong dây
Vì Q�
 10   6.
dẫn tại thời điểm t  10 là I  10   Q�
2
Ví dụ 1. Một chất điểm có phương trình chuyển động là s  f  t   t  t  6 ( t được tính

bằng giây, s được tính bằng mét). Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm
t  2.
Hướng dẫn giải
Ta có: lim
t �t0

t 3  t  6   t0 2  t0  6 
f  t   f  t0 
 lim
 lim  t  t0  1  2t0  1.
t �t0
t �t0
t  t0
t  t0

 t0   2t0  1.

Vậy f �
Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t  2 là
vtt  f �
 2   2.2  1  5  m/s  .
Ví dụ 2. Cho chuyển động xác định bởi phương trình S  t 3  3t 2  9t  1 , trong đó t được
tính bằng giây và S được tính bằng mét. Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu.
Hướng dẫn giải
Ta có
v  t0 

t 3  3t 2  9t  6   t03  3t0 2  9t0  6 
f  t   f  t0 
 lim
 lim
 3t0 2  6t0  9;
t �t0
t �t0
t  t0
t  t0

a  t0   lim
t �t0

v  t   v  t0 
 3t 2  6t  9    3t0 2  6t0  9   6t  6 .
 lim
0
t �t0
t  t0
t  t0

 6t0  6.
Do đó a  v�
2
Khi vận tốc triệt tiêu ta có v  t   0 � 3t  6t  9  0 � t  3.
2
Khi đó gia tốc là a  3  6.3  6  12m /s .

Ví dụ 3. Cho biết điện lượng trong một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số
Q  3t 2  8t  2 ( t được tính bằng giây, Q được tính bằng Coulomb). Tính thời điểm
cường độ của dịng điện trong dây dẫn I  50 A .
Hướng dẫn giải
Ta có:
3t 2  8t  2   3t0 2  8t0  2 
f  t   f  t0 
lim
 lim
 lim  3t  3t0  8   6t0  8.
t �t0
t �t0
t �t0
t  t0
t  t0

Trang 17


 t   6t  8 . Do đó ta có phương trình
Vậy Q�
I  Q�

 t   6.t  8  50  A  � t  7  s  .
Bài tập tự luyện dạng 3
2
Câu 1: Một chuyển động có phương trình s  t   t  2t  4 (trong đó s tính bằng mét, t tính bằng

giây).Vận tốc tức thời của chuyển động tại t  1,5 (giây) là
A. 6m/s.

B. 1m/s.

C. 8m/s.

D. 2m/s.

� �
3t  �trong đó t được tính bằng giây, và s
Câu 2: Xét chuyển động có phương trình s  t   6sin �
� 4�
được tính bằng mét. Vận tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động là
� �
3t  �.
A. v  t   18cos �
� 4�

� �
3t  �.
B. v  t   18cos �
� 4�

� �

3t  �.
C. v  t   6 cos �
� 4�

� �
3t  �.
D. v  t   6 cos �
� 4�

Câu 3: Một chất điểm chuyển động có quãng đường được cho bởi phương trình
1
5
s  t   t 4  t 3  t 2  10t , trong đó t  0 với t được tính bằng giây (s) và s được tính bằng mét
4
2
(m). Hỏi tại thời điểm gia tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất thì vận tốc của vật bằng bao nhiêu?
A. 1m/s.

B. 3m/s.

C. 16m/s.

D. 13m/s.

9 2
3
Câu 4: Một chất điểm chuyển động có phương trình s  t   t  t  6t , trong đó t được tính bằng
2
s
giây,

được tính bằng mét. Gia tốc của chất điểm tại thời điểm vận tốc bằng 24m/s là
A. 20 m /s 2 .

B. 12 m /s 2 .

C. 39 m /s 2 .

D. 21 m /s 2 .

Câu 5: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S  t 3  3t 2  9t , trong đó t được tính
bằng giây và S được tính bằng mét. Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu.
A. 11m/s.

B. 0m/s.

C. 12m/s.

D. 6m/s.

3
2
Câu 6: Một chất điểm chuyển động theo quy luật s  t   t  6t với t là thời gian tính từ lúc bắt đầu

chuyển động , s  t  là quãng đường đi được trong khoảng thời gian t . Thời điểm t tại đó đạt giá trị
lớn nhất bằng
A. t  3 .

B. t  4 .

C. t  1 .

D. t  2 .

Câu 7: Một vật gaio động điều hịa có phương trình quãng đường phụ thuộc thời gian
s  A sin  t    , trong đó A ,  ,  là hằng số, t là thời gian. Khi đó biểu thức vận tốc của vật là
A. v  A cos  t    .

B. v   A cos  t    .

C. v  A cos  t    .

D. v   A cos  t    .

Câu 8: Cho biết điện lượng của một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q  3t 2  6t  5 ( t
được tính bằng giây, Q được tính bằng Coulomb). Cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời
điểm t  2 bằng
A. 16 A.

B. 18 A.

C. 7 A.

D. 4 A.
Trang 18


Câu 9: Tomahawk là tên lửa hành trình có khả năng mang đầu đạn hạt nhân, được phóng đi từ các hệ
thống phóng mặt đất. Giả sử rằng Tomahawk (khơng gắn với động cơ) được bắn lên cao theo phương
2
trình s  t   196t  4,9t trong đó t là thời gian ( t  0 , đơn vị giây) và s  t  là khoảng cách của tên

lửa so với mặt đất được tính bằng kilomet. Khoảng cách của tên lửa so với mặt đất tại thời điểm vận
tốc bằng 0 bằng bao nhiêu?
A. 1069.

B. 1960.

C. 1690.

D. 1906.

Câu 10: Một chất điểm chuyển động có phương trình S  2t 4  6t 2  3t  1 với t tính bằng giây (s) và
S tính bằng mét (m). Hỏi gia tốc của chuyển động tại thời điểm t  3 (s) bằng bao nhiêu?
A. 228 m /s 2 .

B. 64 m /s 2 .

C. 88 m /s 2 .

D. 76 m /s 2 .

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1
1- C
11- B

2- B
12- D

3- D
13- A

4- D
14- D

5- B
15- B

6- A
16- B

7- C
17- D

8- D
18- B

9- C

10- A

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
3
3
Ta có y  f  2   f  1  2  1  7.

Câu 2.
2
Ta có y  f  x  x   f  x    x  x   1   x  1  2 xx   x  ;
2

2

y
 2 x  x.
x

Câu 3.
Ta có y  2  1  x   1   2  1  1  2x �

y
y
 2. Suy ra lim
 lim 2  2.

x
�
0
x
x x�0

 1  2.
Vậy y �
Câu 4.
2
Xét hàm số y  f  x   x  x . Gọi x là số gia của đối số tại x0 .
2
2
�
x0 2  x0 �

  x   2 x0 x  x.
�x0  x    x0  x  �
Ta có y  f  x0  x   f  x0   �
�
�
�

y
 lim  x  2 x0  1 .
x �0 x
 x �0

Suy ra lim

 x0   lim
 x  2 x0  1 .
Vậy f �
x �0
Câu 5.
2
2
Ta có y  f  1  x   f  1   1  x    1  x    1  1  3x  x ; suy ra
2

lim

x �0

y
 lim  3  x   3.

x x�0
Trang 19


Câu 6.
Ta có y 

1
1
x
y
1
y
1
1
 
�

. Suy ra lim
 lim
 .
x �0 x
 x �0  2   x  2
2  x 2  2  x  2
x  2  x  2
4

1
Vậy y �
 2   .

4
Câu 7.
Ta có y  f  5  x   f  5   9  2x  3 ; suy ra

y
9  2 x  3

.
x
x

y
9  2x  32
2
1
lim

lim
 lim

Do đó x �0 x x�0
x 9  2x  3 x �0 9  2x  3 3





1
Vậy y �
 5  .

3
Câu 8.
Ta có:
lim

x �0

f  x   f  0
x x
f  x   f  0
x x
x x
xx
 lim
 lim
 2, lim
 lim
 lim
 0.
x �0
x �0
x �0
x �0
x �0
x0
x
x
x0
x
x

Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại x0  0.
Câu 9.
Ta có: f �
 0   lim
x �0

f  x   f  0
x2  1 1
1
1
 lim
 lim
 .
2
2
x �0
x �0
x0
x
x 1 1 2

Câu 10.
Ta có lim f  x   lim
x �0

x �0

sin 2 x
�sin x

�
 lim �
.sin x � 0; lim f  x   lim  x  x 2   0 nên hàm số liên
x �0 � x
x �0
x
� x �0

tục tại x  0 .
Ta lại có: lim
x �0

f  x   f  0
f  x   f  0
sin 2 x
x  x2
và
 lim

1
lim

lim
 1.
x �0
x �0
x �0 
x
x2
x

x

 0   1.
Vậy f �
Câu 11.
Hàm số y  f  x  

2 x2  x  1
có tập xác định là D  �\  1 .
x 1

2 x2  x 1
Ta có lim f  x   lim
 1  f  1 nên hàm số liên tục tại x  1 .
x �1
x �1
x 1
2x 1
khi x �1
�
2 x2  x  1 � 2
 �2 x  x  1
Ta có y  f  x  
nên
x 1
khi x  1, x �1
�
� x 1

Trang 20

lim 

x � 1

f  x   f  1
2 x  1   1
 lim 
 2 và
x � 1
x   1
x 1

2 x2  x  1
  1
f  x   f  1
2x
x

1
lim 
 lim 
 lim 
 1.
x � 1
x � 1
x � 1 x  1
x   1
x 1

Vậy không tồn tại xlim
� 1

f  x   f  1
. Do đó hàm số khơng có đạo hàm tại x  1 .
x   1

Câu 12.
f  x   lim  2 x  3  5
Ta có xlim
�1
x �1
lim f  x   lim
x �1

x �1

x3  2 x 2  7 x  4
 lim  x 2  3x  4   0
x �1
x 1

f  x  �lim f  x  � hàm số không liên tục tại x  1 nên hàm số khơng có đạo
Suy ra xlim
�1
x �1
hàm tại x0  1 .
Câu 13.
Ta có lim

x �0

f  x  x   f  x 
cc
 lim
 lim 0  0 � f �
 x   0.

x
�
0
x
x x�0

Câu 14.
1
1

1
1
1
Ta có lim f  x  x   f  x   lim x  x x  lim
 x   2 .
  2 . Vậy f �
x
x �0
x �0
x �0  x  x  x
x
x

x
Câu 15.
Ta có
lim

x �0

f  x  x   f  x 
x  x  x
1
1
1
 lim
 lim

� f�
x 
.

x �0
x �0
x
x
x  x  x 2 x
2 x

Câu 16.
Ta dễ dàng chứng minh được lim
x �2

x2  4
 4.
x2

f  x   f  2   4 � m  4.
Để hàm số liên tục tại x  2 thì lim
x �2
x2  4
4
f  x  f  2
Mặt khác
x

2
lim
 lim
 1.
x �2
x �2
x2
x2
Vậy với m  4 thì hàm số dã cho có đạo hàm tại x  2 .
Câu 17.
Để hàm số có đạo hàm tại x  2 thi hàm số phải liên tục tại x  2 .

 x3  x 2  8 x  10   xlim
 x 2  ax  b  � 2  4  2a  b � 2a  b  6.
Do đó xlim
�2
�2 

Trang 21


Hàm số có đạo hàm tại điểm x  2 nên
lim

x �2

f  x   f  2
f  x   f  2
 lim
� 4  a  0 � a  4.
x �2
x2
x2

Suy ra a  2 . Vậy ab  8.
Câu 18.
Với x �1 hàm số ln có đạo hàm nên để hàm số có đạo hàm với mọi x �� thì hàm số
phải có đạo hàm tại x  1 .
Ta có: lim
x � 1

x4  2 x2  1
 0; lim  ax 2  ax  b   b . Để hàm số liên tục tại x  1 thì
x �1
x 1

lim f  x   lim f  x   f  1  0 � b  0

x �1

x �1

Với b  0; a ��, ta có:
x4  2 x2  1
0
f  x   f  1
f  x   f  1
ax 2  ax  0
x

1
lim
 lim
 4; lim
 lim
  a.
x �1
x �1
x �1
x �1
x   1
x 1
x   1
x 1
Hàm số có đạo hàm tại điểm x  0 khi và chỉ khi:
lim

x � 1

f  x   f  0
f  x   f  1
 lim
 4 � a  4.
x �1
x   1
x   1

Vậy a  4, b  0 � a  b  4.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 2
1- C

2- A

3- A

4- B

5- B

6- C

7- D

8- D

9- A

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1:
Đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại các điểm M 1 ; M 2 ; M 3 nên hàm số f  x  có đạo hàm tại các
điểm x1 , x2 , x3 .
Dựa vào đồ thị ta thấy:
+) Tiếp tuyến tại điểm M 1 là một đường thẳng song song với trục hồnh nên hệ số góc của

 x1   0 .
tiếp tuyến bằng 0. Suy ra f �
+) Tiếp tuyến tại điểm M 2 là một đường thẳng đi từ trái sang phải nên hệ số góc của tiếp

 x2   0 .
tuyến là một số dương. Suy ra f �
+) Tiếp tuyến tại điểm M 3 là một đường thẳng đi xuống từ trái sang phải nên hệ số góc của

 x3   0 .
tiếp tuyến là một số âm. Suy ra f �
Trang 22


Câu 2.
y
1
 lim
 1 � k  y �
 1  1.
x �0 x
x �0 1  x

Ta có x  1 � y  1 . Khi đó lim

Phương trình tiếp tuyến: y   x  2.
Câu 3.
Ta có y0  y  2   4 . Hệ số góc của tiếp tuyến là
y�
 2   lim
x �2

f  x   f  2
 x3  3x  2  4
 lim
 lim   x 2  2 x  1  9 .
x
�
2
x �2
x2
x2

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ bằng 2 là

y  9 x  14 . Vậy

a  9; b  14 � a  b  5.
Câu 4.
Gọi M  x0 ; y 0  là tọa độ tiếp điểm
lim

x �0

y

1
1
 lim
 2;

x
�
0
x
x0
 x0  x  x0

f�
 x0   k � 

1
1
  � x0 2  4 � x  �2 .
2
x0
4

Với x0  2 � y0 

1
, phương trình tiếp tuyến tại
2

1
� 1�

2; �là y   x  1 � x  4 y  4  0 .
�
4
� 2�

1
Với x0  2 � y0   , phương trình tiếp tuyến tại
2

1�
�
�2;  �là
2�
�

1
y   x 1 � x  4 y  4  0 .
4
Câu 5.
2

2

�1
� �1 �
 x � � �
�
Ta có
2
� �2 �  lim 1  x  1.

lim �


x �0
x �0
x
�1 �
Hệ số góc k  y�
� � 1.
�2 �
Câu 6.
�x  1
2
.
Phương trình hoành độ giao điểm: x  3 x  2  0 � �
�x  2
Tại

 1  x 
x  1: lim
x �0

2

  1

x

2

 lim  2  x   2.
x �0

 1  2.
Hệ số góc k1  y�

Trang 23


Tại

 2  x 
x  2 : lim

2

  2

2

x

x �0

 lim  4  x   4.
x �0

 2  4 .
Hệ số góc k2  y �
Câu 7.

lim

x �0





y
2
 lim 3  3x   x   3 � k  y�
 1  3.

x
�
0
x

Phương trình tiếp tuyến: y  1  3  x  1 � y  3 x  2 .
Câu 8.
y 8� x  2
lim

x �0





y

2
 lim 12  6x   x   12

x
�
0
x

� k  y�
 2   12
Phương trình tiếp tuyến: y  8  12  x  2  � y  12 x  16.
Câu 9.
Ta có x  1 � y  1 .
lim

x �0

y
1
 lim
 1 � k  y�
 1  1.

x
�
0
x
1  x

Phương trình tiếp tuyến: y   x  2.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 3
1- B

2- A

3- D

4- D

5- C

6- D

7- C

8- B

9- B

10- A

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.

 t   2t  2. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm
Bằng định nghĩa tính được s�
t  1,5 (giây) là v  1,5   s�
 1,5   2.1,5  2  1 m/s  .
Câu 2.

�
3t  �
.
 t   18cos �
Bằng định nghĩa tính được s�
�
� 4�

�
3t  �
.
 t   18cos �
Vận tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động là v  t   s�
�
� 4�
Câu 3.
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm của một quãng đường:
3
2
Bằng định nghĩa tính được v  t   t  3t  5t  10.

Trang 24


Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:
2
Bằng định nghĩa tính được a  t   3t  6t  5

Ta có a  t   3t 2  6t  5  3  t  1  2 �2 với mọi t . Dấu “=” xảy ra khi t  1 .
2

Khi đó, vận tốc của chuyển động là v  1  13  m /s  .
Câu 4.
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường:

 t   3t 2  9t  6  24 � t  2  s  .
Bằng định nghĩa tính được v  t   s�
Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:
�
 t   6t  9 � a  2   21 m / s 2  .
Bằng định nghĩa tính được a  t   s�
Câu 5.
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được v  S�
 3t 2  6t  9 .
Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:
�
 S�
 6t  6
Bằng định nghĩa tính được a  v�
�
 0 � t  1.
Gia tốc triệt tiêu khi S �

 1  12 m/s.
Khi đó vận tốc của chuyển động là S �
Câu 6.
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được v  t   s�
 t   3t 2  12t  3  t  2   12 �12 .

2

Dấu bằng xảy ra khi t  2. Vậy v  t  max � t  2.
Câu 7.
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được v  s�
  A sin  t     � A  t    �
cos  t     A cos  t    .
Câu 8.

 t   6t  6.
Bằng định nghĩa tính được Q�
 2   6.2  6  18  A .
Cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời điểm t  1 là I  Q�
Câu 9.
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường:

 t   196  9,8t � v  t   0 � t  20  s  .
Bằng định nghĩa tính được v  t   s�
s  20   196.20  4,9.202  1960.
Câu 10.
Trang 25