can bang he so coi

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (699.62 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Cịng tõ ph−¬ng pháp này,

nhất (Max) của biểu thức

+

+ +

đợc những bài toán mới.

quỏt v to ra

S

ử dụng bất đẳng thức (BĐT) đH biết mà đặc biệt là BĐT Cô-si là ph−ơng pháp
th−ờng đ−ợc áp dụng để giải các bài tốn về BĐT nói chung. Những bài toán cực trị, nhất
là tr−ờng hợp có thêm các điều kiện phụ th−ờng gây khó khăn cho ng−ời giải trong
việc −ớc l−ợng hệ số và xét điều kiện để dấu đảng thức xẩy ra. Bài viết này trình bày một
ph−ơng pháp đánh giá thông qua BĐT Cô-si để từ đó, chuyển bài tốn cực trị về việc giải
một ph−ơng trình (PT) hoặc hệ ph−ơng trình (HPT) mà việc giải quyết là dễ dàng hoặc có
đ−ờng lối rõ ràng hơn, đó là ph−ơng pháp cân bằng h s

với một chút sáng tạo, chúng ta cã thĨ tỉng
Tr−íc hÕt xin nªu lại mà không chứng minh hai BĐT quen thuộc sau:

i) BĐT Cô-si tổng quát: 1 2 ... n 1 2...

n n

a + + + a a n a a a
ii) BĐT Cô-si suy réng:

1 1

a

...

n

a

n

α

≥

(

)

(

1 2

)

1 2

1
...

1 2

...

1 2

...

n a a an

n n

a

a a

α α

a

α α

+

+ +

+ + +

Trong hai BĐT trên thì a a1, 2,...,an không âm, α α1, 2,...,αnd−ơng và dấu đẳng thức xẩy
ra khi và chỉ khi a1 =a2 = =... an.

Chúng ta bắt đầu tù bài toán sau:

VÝ dơ 1. Cho c¸c sè thùc d−¬ng x y, tháa mLn ®iỊu kiƯn 3 3

x +y = (1). Tìm giá trị lớn
( ; )

P x y = x + y
Phơng pháp suy luận:

Sự chênh lƯch vỊ sè mị cđa c¸c biĨu thøc 3 3

x +y và P x y( ; )= x+ y gợi cho ta
sử dụng BĐT Cô-si để hạ bậc của 3 3

x +y . Nhng ta cần áp dụng cho bao nhiêu số và là
những số nào? Căn cứ vào bậc của các biến số x và y trong các biểu thức trên, ta thấy cần
phải áp dụng BĐT Cô-si lần lợt cho 3

x vày3 cùng với 5 hằng số d−ơng t−ơng ứng
khác để làm xuất hiện x và y . Mặt khác do x, y d−ơng và vai trò của chúng nh− nhau
nên ta dự đoán P x y( ; )đạt Max khi x= y. Từ (1) suy ra

1
2

x= =y và ta đi đến lời gii
nh sau.

Lời giải. áp dụng BĐT Cô-si cho 6 số dơng: 1 số 3

x và 5 số 1 , ta cã:

5 5

3 1 6 3 1 6

5. 6 . 6.2

2 2

x + ≥ x    = − x

  DÊu “=” xÈy ra ⇔ 3

1
2
x=
T−¬ng tù nh− vËy:

5 5

3 1 6 3 1 6

5. 6 . 6.2

2 2

y + ≥ y    = − y

  DÊu “=” xÈy ra ⇔ 3

1
2
y =

Cộng theo vế các BĐT trên ta đợc:

(

)

3 3 6

(x +y ) 5+ ≥6.2− x+ y (2)
DÊu “=” xÈy ra ⇔

1
2
x= =y .

CÂN BẰNG HỆ SỐ TRONG

BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

+ ≥ ≥

đạt Min khi

dù đoán
Từ (1) và (2) suy ra:

6 5

( ; ) 2

P x y = x+ y ≤ DÊu b»ng xÈy ra ⇔

1
2

x= =y , tháa mHn ®iỊu kiƯn (1).

VËy

{

}

6 5

( ; ) 2
Max P x y = .

VÝ dô 2. Cho các số thực dơng x y, tháa mLn ®iỊu kiƯn x3+ y3 1(3). Tìm giá trị lớn
nhất (Max) của biểu thức P x y( ; )= x +2 y

Phơng pháp suy luËn:

ở ví dụ 1, chúng ta đH nhanh chóng dự đoán đ−ợc MaxP x y( ; )đạt đ−ợc khi x= y,
từ đó tính đ−ợc x y, . Nh−ng trong bài tốn này, vai trị của x và y là khơng bình đẳng.
Tuy nhiên ta hHy giả sử P x y( ; )đạt Max khi x

y
α






nào đó và dự đốn α β, ở điều kiện
biên của (3), tức là 3 3

α +β = (4). Ta viÕt:

( )

3 3 6 3 3 2

5. 6 . 6.

x + α ≥ x α = α x

( )

5
5

3 3 6 3 3 2

5. 6 . 6.

y + β ≥ y β = β y

Suy ra

(

3 3

) (

3 3

)

52 52

5. 6. 6.

x + y + α +β ≥ α x+ β y

§Ĩ xt hiÖn P x y( ; ) ë vế phải, ta cần chọn α β, sao cã tû lÖ:

5
2

6.α x :

5
2

6.β y =1. x:2. y

⇔

5
2

1 1

2 4

α α

β β

 

= ⇔ =

 

  (5) VËy tõ (4) vµ(5) ta thu đợc HPT:

3 3

1
4

+ =

3 5

1
1 2 2

4
1 2 2

α
β

 =

 +




 =

 +


B»ng cách làm ngợc lại các bớc trên ta sẽ thu đợc

{

( ; )

}

6

(

1 2 25

)

Max P x y = +

Nhận xét. Từ cách phân tích trên ta thấy có thể thay đổi dữ kiện của bài toán sao cho
HPT sau khi cân bằng hệ số có thể giải đ−ợc. Chẳng hạn nh− cỏc bi toỏn di õy:

Bài toán 1. Cho các số nguyên dơng m p q, , sao cho m≥ Max p q

{ }

, . HLy t×m
GTLN cđa biĨu thøc P x y( ; )=axp + yq trong hai tr−êng hỵp sau, biÕt r»ng a là
hằng số dơng và x, y là các biến số không âm thỏa mLn điều kiện xm+ ym1:

2
m q

p= + ii) 2
3
m q
p= +

Bài toán 2. Cho các số thực dơng a, b, c, d và các số nguyên m, n tháa mLn ®iỊu kiƯn
0

m> >n . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x y z( ; ; )=axn+byn +czn trong đó
, ,

x y z lµ các biến số không ©m tháa mLn ®iỊu kiƯn m m m
x +y +z d.

Ví dụ 3. Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc

(

2 2

)

( ; ; )

P x y z =a x +y +z . Trong đó a là số
thực d−ơng và x, y, z là các biến số thỏa mLn điều kin xy+ yz+zx=1 (6)

Phơng pháp suy luận: Do vai trò của x và y là nh nhau nên ta P x y z( ; ; )

( 0)

x= =y z > (7). áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dơng ta có

2 2

x + y ≥ xy ≥ xy

( )

2
2

2 2

x αz xαz αxz ⇔α1 x2+αz2 ≥2xz

( )

2 2

y αz yαz αyz⇔1 2 2

2
y αz yz
α + ≥

Từ các BĐT trên suy ra:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

chỉ phụ
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

(

2 2

)

(

)

1 x y 2αz 2 xy yz zx

 

+ + + ≥ + +

 

 

Vế phải của BĐT trên là hằng số, vì vậy ta cần tìm

α

để có tỷ lệ: 1 1 : 2α a:1

α
 
+ =
 
 
2

2aα α 1 0

⇔ − − = ⇒ 1 1 8

4
a
a

α = + + , 1 1 8 0
4

a
a

α = − + < loại.
Cùng với (6) và (7) ta có HPT: xy yz zx 1

x y αz

+ + =




= =



(

)

2 z 1

x y z
α α
α
 + =

= =

Giải HPT này với

nh trên ta đợc:

(

)

(

)

8 1 8 1 1

a
z
a a
a
x y
a a
 = ±

+ + +

= = 

+ + +

Bằng cách làm ngợc lại ta tính đợc

{

( ; ; )

}

1 1 8

xy yz zx
Min P x y z

a
α

+ +

= =

+ +

Nhận xét. Bằng cách làm tơng tự nh trên chúng ta có thể giải trọn vẹn đợc bài toán
tổng quát hơn sau:

Bài toán 3. Cho các hằng thực dơng a, b, c và các biến sè x, y, z tháa mLn ®iỊu kiƯn
1

xy+yz+ ≥zx . Tìm giá trị nhỏ nhất cđa biĨu thøc 2 2 2

( ; ; )

P x y z =ax +by +cz .

VÝ dụ 4. Xét các số thực dơng a, b, c tháa mLn ®iỊu kiƯn 21ab+2bc+8ca≤12

. HLy thøcP a b c( ; ; ) 1 2 3

a b c
= + + .

(§Ị thi chọn ĐTVN dự thi IMO 2001)

Phơng pháp suy luận: Đặt a 1,b 1,c 1

x y z

= = =

. Điều kiện của bài toán tở thành 2x+8y+21z≤12xyz(9).
Và ta cần tìm Min của biểu thức P x y z( ; ; )= +x 2y+3z
Giả sử P x y z( ; ; ) đạt Min khi x z

y z
α
β
=


=

 ¸p dơng BĐT Cô-si suy rộng ta có:

12xyz2x+8y+21z2 x 8 y 21z

α β
 
 
≥  +  + ≥
   

(

)

1
8

2 2 8 21

2 8 21 x y z

β
α α β
α β
α β
+ +
    
≥ + +     
    
 

⇒ 8 21 2 21 2 8

(

)

x β+ y α+ z α β+ ≥ A

α β

(10)

Trong đó biểu thứcA

(

α β

)

chỉ phụ thuộc vào α β, .
Cũng theo BĐT Cô-si suy rộng ta có:

(

, ,

)

P x y z = x + 2y + 3z = α x 2β y 3z

α β

 
 
+ + ≥
   
   

(

)

2 2 3

2 3 x y z

β
α α β
α β
α β
+ +
    
≥ + +     
    
 
=

(

)

(

)

2 3 2 3

B α β x y zα β α β+ + (11)

Trong đó biểu thứcB

(

α β

)

thuộc vào α , .

Đối chiếu (10) và (11) ta thÊy cÇn chän α β, sao cho cã tû lÖ:

α β

: 2 : 3=

(

β

+21 : 2

) (

α

+21 : 8

) (

β

α

)

8 21

8 2 3

2 21 2

8 2 3

β α
β α
α β
β α
+

=
 +

⇔
+
 =
 +

2
2

2 8 24 63

16 4 6 63

α αβ β
β αβ α
 + = +
⇔
+ = +


Tõ PT thø nhÊt ⇒

(

)

2
2 63
8 3
α
β
α
−
=

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

(13)

(

)

(

)

2 2

2 63 2 63

16 4 6 63

8 3 8 3

α α α α

α α

 −  −

+ = +

 

 −  −

 

3 2

4α 78α 306α 567 0

⇔ + − − =

(

)

(

)

2α 9 2α 48α 63 0

⇔ − + + = ⇔ =α 92( do α >0) 15

⇒ = .
Khi P x y z

(

, ,

)

đạt Min thì tất cả các BĐT trên đều trở thành đẳng thức, nghĩa là

2 8 21 12 3

9 5

2 4

18 2

5 3

x y z x

x z z y

y z z z

α
β

 

 + + =  =

 

= = ⇔ =

 

 

= = =

 




Tới đây, điểm mấu chốt của bài toán đH đ−ợc giải quyết và ta đi đến một lời giải
t−ơng đối ngắn gọn cho bi toỏn nh sau:

Lời giải. Đặt 3 ,1 5 1, 2 1

4 3

x= x y= y z= z khi đó điều kiện (9) trở thành

1 1 1 1 1 1

5 2 5 2

2.3 8. 21. 12.3 . .

4 3 4 3

x + y + z ≤ x y z ⇔3x1+5y1+7z1 ≤15x y z1 1 1.

(

, ,

)

(

1, 1, 1

)

P x y z =P x y z = 3 1 2.5 1 32 1

4 3

x y z

= + +

(

6 1 5 1 4 1

)

2 x + y + z

áp dụng BĐT Cô-si tổng quát cho 15 số d−¬ng ta cã: 15 3 5 7

1 1 1 1 1 1 1 1 1

15x y z ≥3x +5y +7z ≥15 x y z (12)

(

)

(

1 1 1

)

, , 6 5 4

P x y z = x + y + z ≥ 15 6 5 4

1 1 1

1
.15.

2 x y z
≥

Tõ (12) suy ra 6 5 4

1 1 1 1

x y z ≥ , do đó từ (13) ta đ−ợc

(

, ,

)

15
2
P x y z ≥
Đẳng thức xẩy ra ⇔ = = =x1 y1 z1 1

1 1 1

5 5 2 2

3 3, ,

4 4 3 3

x x y y z z

⇔ = = = = = = 1, 4, 3

3 5 2

a b c

⇔ = = =

VËy Min

(

, ,

)

15
2
P a b c = .

Nhận xét. Sở dĩ ta đặt các biến mới x y z1, 1, 1 là vì ta đH xác định đ−ợc bộ số (x,y,z) để

(

, ,

)

P x y z đạt Min. Mặt khác việc xét dấu bằng sẽ trở nên dễ dàng hơn bếu các biến
tham gia khi xẩy ra dấu đẳng thức là bằng nhau và đều bằng 1.

Một điều thú vị và đáng chú ý ở đây là các BĐT (12), (13) t−ơng đối đơn giản,
nh−ng qua phép đổi biến đH trở thành BĐT khác phức tạp hơn rất nhiều. Chúng ta hHy

thử vận dụng điều này để tạo ra những bài toán mới rất thú vị, xuất phát từ bổ đề sau:

Bổ đề: Cho các số thực α β γ λ, , , ≥0và x y z t, , , >0. Khi đó ta có:

i) NÕu

α

x+

β

y+

γ

z+ ≤

λ

t

(

α β γ λ

+ + +

)

xyzt th×

(

β γ λ

+ +

) (

x+ + +

γ λ α

) (

y+

λ α β

+ +

)

z+

(

α β γ

)

t 3

(

α β γ λ

)

+ + + ≥ + + + (14)
ii) NÕu

(

β γ λ

+ +

) (

x+ + +

γ λ α

) (

y+

λ α β

+ +

)

z++

(

α β γ

+ +

)

t≥3

(

α β γ λ

+ + +

)

th×

(

)

x y z t xyzt

α

β

γ

+ ≥

λ

α β γ λ

+ + + (15)

Chứng minh. Tr−ờng hợp α β γ λ= = = =0 thì bổ đề hiển nhiên đúng. Ta xét khi

2 2 2 2

α +β +γ +λ > .
i) áp dụng BĐT Cô-si suy rộng ta có:

(

β γ λ

+ + +

)

xyzt≥

α

x+

β

y+

γ

z+

λ

t ≥

(

)

(

)

x y z tα β γ λ α β γ λ

α β γ λ + + +

≥ + + +

1
xβ γ λ γ λ α λ α β α β γ+ + y + + z + + t + +

⇒ ≥

Nh− vËy:

(

β γ λ

+ +

) (

x+ + +

γ λ α

)

y++

(

λ α β

+ +

) (

z+

α β γ

+ +

)

t≥≥3

(

α β γ λ

+ + + ×

)

(

)

xβ γ λ γ λ α λ α β α β γ α β γ λ+ + y + + z + + t + + + + +

× ≥≥3

(

α β

+ + +

)

Đẳng thức xẩy ra = = = =x y z t 1.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Cho c¸c sè thùc dơng a,b,c

Chúc các bạn thành

cần thiết khi học toán .
chúng theo

tập sau và hHy cố gắng mở rộng
hơn nữa. Để kết thúc

trờng hợp nhiều biến

Các bạn hHy thử tiếp tục suy nghĩ

toán mới.
và

Chứng minh rằng:

56
ii) áp dụng BĐT Cô-si suy rộng ta có:

(

) (

)

α β γ λ

+ + + ≥

β γ λ

+ + x+ + ++

(

γ λ α

) (

y+

λ α β

+ +

) (

z+

α β γ

+ +

)

t≥

(

)

α β γ λ

≥ + + + ××

(

xβ γ λ γ λ α λ α β α β γ α β γ λ+ + y + + z + + t + +

)

+ + +1
1 xβ γ λ γ λ α λ α β α β γ+ + y + + z + + t + +

⇒ ≥ ⇔

(

x y z tα β γ λ α β γ λ

)

+ + +1 ≥xyzt
Nh− vËy:

x y z t

α +β +γ + ≥λ ≥

(

α β γ λ+ + +

)

(

x y z tα β γ λ α β γ λ

)

+ + +1 ≥≥

(

α β γ λ

+ + +

)

xyzt
Đẳng thức xảy ra = = = =x y z t 1.

Bổ đề đ−ợc chứng minh.

Sử dụng bổ đề trên bằng cách thay vào những giá trị đặc biệt và bằng những cách
phát biểu khác nhau, ta sẽ có những kết quả khác nhau:

- Víi t =1,λ =0,α =3,β =5,γ =7, thay x, y, z, t lần lợt bởi 3x, 5
4 y,

3z vo (14), sau
đó đặt a 1,b 1,c1

x y z

= = ta đợc Bài toán ví dụ 4.

- Thay t=1,λ=1,α =1,β =2,γ =3 vào (14) và đặt 1 , 2 , 4

2 3 3

x y z

a b c

= = = ta có bài toán:

Bài to¸n 4. Cho c¸c sè thùc d−¬ng a, b, c tháa mLn ®iỊu kiƯn 72ab + 9bc + 24ca + + 18abc
3 10 16

a+ b + c . Đẳng thức xảy ra khi nào?

- Thay 1, 1, 1, 1, 1

2 3 6

t = λ = α = β = γ = vào (14) và đặt 1 , 2 , 4

2 3 3

x y z

a b c

= = = ta có bài toán sau:
Bài toán 5. Cho các số thực dơng a, b, c tháa mLn ®iỊu kiÖn 2

(

)

8a b c+ +27abc≤16.
Chøng minh r»ng: 5 10 22 6

4a +9b +9c ≥ . Đẳng thức xảy ra khi nào?
- Vì khi xẩy ra đẳng thức ở hai Bài toán 4 và 5 đều có 1, 2, 4

2 3 3

a= b= c= nên khi kết hợp
hai bài toán trên ta có:

Bài toán 6. tháa mLn ®iỊu kiƯn 72ab + 9bc + 24ca + 18abc ≤

(

)

8a b c+ +27abc≤16. Chøng minh r»ng: 17 19 166 21
4a +9b+ 9c .
Đẳng thức xảy ra khi nào?

- Thay t 1, 1, 1, 2, 3

x λ α β γ

= = = = = vào (14) và đặt 1 , 2 , 4

2 3 3

x y z

a b c

= = = ta cã bµi toán sau:

Bài toán 7. Cho c¸c sè thùc a, b, c dơng thỏa mLn điều kiÖn 3 10 16 12 21

3 3 a

a+ b + c+ ≤ ,

chøng minh r»ng 1 4 4 2 28

2a +3b+ +c a≥9abc . Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bng cỏch thay đổi dữ kiện bài toán theo h−ớng trên chúng ta sẽ có đ−ợc rất nhiều bài
theo h−ớng trên và theo h−ớng tổng quát cho

bài viết này, đề nghị các bạn giải một số bài
cách của mình. Đó là một việc làm thực sự

c«ng!

</div>

can bang he so coi

+

+ +

S

<i>a</i>

<i>a</i>

...

<i>a</i>

α

α

α

≥

(

)

(

)

...

...

<i>a</i>

<i>a a</i>

<i>a</i>

α α

<sub>+</sub>

<sub>+ +</sub>

(

)

CÂN BẰNG HỆ SỐ TRONG

BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI

{

}

( )

( )

(

) (

)

{

}

(

)

{ }

(

)

( )

( )

(

)

(

)

α

(

)

(

)

(

)

{

}

(

)

(

)

α β

(

α β

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

α β

)

α β

(

β

) (