Dạy thêm toán 11 QUY tắc TÍNH đạo hàm

QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
DẠNG 1. TÍNH ĐẠO HÀM TẠI ĐIỂM
y=

Câu 1.

Cho hàm số
−1
A.
.

4
x −1

y′ ( −1)

. Khi đó
−2
B.
.

bằng
2
C. .
Lời giải

1
D. .

Chọn A
y′ = −

Ta có

4

( x − 1)

2

⇒ y′ ( −1) = −1
f ( x) =

Câu 2.

2x + 7
x+4

x=2
Tính đạo hàm của hàm số
tại
ta được:
1
11
3
f ′ ( 2) =
f ′ ( 2) =
f ′ ( 2) =
36
6
2

A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải
Chọn A

f ′( x) =
Ta có
Câu 3.

.

1

( x + 4)

2

⇒ f′ 2 = 1
( )
36

f ′ ( 2) =
D.

5
12

.

y = x ( x +1) ( x + 2) ( x + 3)
x0 = 0
Tính đạo hàm của hàm số
tại điểm
là:
y ¢( 0) = 5
y ¢( 0) = 6
y ¢( 0) = 0
y ¢( 0) =- 6
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải

Chọn B

y = x ( x +1) ( x + 2) ( x + 3) = ( x 2 + x) ( x 2 + 5 x + 6)
Ta cú

ị y Â= ( 2 x +1) ( x 2 + 5 x + 6) +( x 2 + x) ( 2 x + 5)
ị y Â( 0) = 6.

Câu 4.

.

x0 = 4

y = x +x

Tính đạo hàm của hàm số
tại điểm
là:
9
3
¢( 4) =
y ¢( 4) =
y
¢
y ( 4) = 6
2
2
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải
Chọn D
1

y ¢( 4) =
D.

5
4

.


y Â=
Ta cú

Cõu 5.

1
2 x

+1 ị y Â( 4) =

o hàm của hàm số

A.

π 
y′  ÷ = 3
2

1

5

+1 = .
4
2 4

x0 =

y = 5sin x − 3cos x

.

π 
y′  ÷ = 5
2

B.

tại

.

π
2

là:

π 
y′  ÷ = −3
2

C.

.

D.

π 
y′  ÷ = −5
2

.

Lời giải
Chọn A

Ta có:
Câu 6.

π 
⇒ y′  ÷ = 3
y′ = 5cos x + 3sin x
2

.

(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho

f ( x ) = x5 + x3 − 2 x − 3

. Tính

f ' ( 1) + f ' ( −1) + 4 f ' ( 0 ) ?
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 4.

B. 7.

C. 6.
Lời giải:

D. 5.

Chọn A
 Phương pháp tự luận:
Tập xác định:
Ta có:

D=¡

.

f ' ( x ) = 5 x 4 + 3x 2 − 2

.

⇒ f ' ( 1) = 6; f ' ( −1) = 6; f ' ( 0 ) = −2 ⇒ f ' ( 1) + f ' ( −1) + 4 f ' ( 0 ) = 4

.

 Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng Casio
d ( x 5 + x 3 − 2 x − 3)

Bấm

dx
y=

Câu 7.

Cho hàm số
5
2
A. .

x =1

x+2
x −1

. Tính

dx

x =−1

−4

d ( x 5 + x 3 − 2 x − 3)
dx

x =0

y′ ( 3)

−

B.

+

d ( x5 + x3 − 2 x − 3)

3
4

−

.

C.
Lời giải

Chọn B
2

3
2

.

D.

3
4

.

=4
.


y=

Ta có
y ′ ( 3) =

Câu 8.

x+2
−3
⇒ y′ =
2
x −1
( x − 1)
−3

( 3 − 1)

Cho hàm số

2

=−

3
4

.

3 − 4 − x

4
f ( x) = 
1
 4

A. Không tồn tại.

khi x ≠ 0
khi x = 0

1
f ′ ( 0) =
16

B.

. Tính

f ′ ( 0)

.

f ′ ( 0) =
.

C.
Lời giải

1
4

f ′ ( 0) =
.

D.

1
32

.

Chọn B
3− 4− x 1
−
x
1
4
4 = lim 2 − 4 − x = lim 4 − ( 4 − x ) = lim
f ′ ( 0 ) = lim
=
x →0

x
→
0
x
→
0
x
→
0
x
4x
16
4x 2 + 4 − x
4 2+ 4− x

(

f ( x) =
Câu 9.

Cho hàm số

A.

−3

.

3x + 1
x2 + 4

B.

. Tính giá trị biểu thức

−2

)

f '( 0)

)

.

3
2

.

(

C. .
Lời giải

3
D. .

Chọn C
Cách 1: Tập xác định

f '( x) =

D=¡

3 x 2 + 4 − ( 3 x + 1) .

⇒ f '( 0) =

(
3
2

x2 + 4

)

2

.

x
12 − x

x +4 =
2

2

(x

2

+ 4)

3

.

DẠNG 2. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP (đa thức, chứa căn,
phân thức, hàm hợp)
Dạng 2.1 Tính đạo hàm
Câu 10.

(THPT Đồn Thượng – Hải Dương) Tính đạo hàm của hàm số
3

y = x3 + 2 x + 1

.


A.

y ' = 3x 2 + 2 x

.

B.

y ' = 3x 2 + 2

.

C.
Lời giải

y ' = 3x 2 + 2 x + 1

.

D.

y ' = x2 + 2

.

Chọn B
Ta có:

y ' = 3x2 + 2

.

Câu 11. Khẳng định nào sau đây sai
y = x ⇒ y ' =1
y = x3 ⇒ y ' = 3x 2
A.
.
B.

.
5
4
3
y = x ⇒ y ' = 5x
y = x ⇒ y ' = 4x
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C
+) Ta có:
Vì

y = x n ⇒ y ' = n.x n−1 , ∀n ∈ ¥ *

y = x5 ⇒ y ' = 5 x 4

do đó các mệnh đề A, B, D đúng.

nên mệnh đề C sai.

y = x 3 − 2 x 2 − 4 x + 2018

Câu 12. Hàm số
có đạo hàm là
2
y′ = 3 x − 4 x + 2018
y′ = 3 x 2 − 2 x − 4

A.
. B.
.
2
2
y′ = 3 x − 4 x − 4
y′ = x − 4 x − 4
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C
Câu 13.

(TRƯỜNG

THPT

(

THANH

THỦY

2018

-2019)

Đạo

hàm

của

hàm

)

y = − x3 + 3mx 2 + 3 1 − m 2 x + m3 − m2

m
(với là tham số) bằng
3 x 2 − 6mx − 3 + 3m 2
− x 2 + 3mx − 1 − 3m
A.
. B.
.
2
2
2
−3x + 6mx + 1 − m
−3 x + 6mx + 3 − 3m 2
C.
. D.
.
Lời giải
Chọn D
Câu 14. Đạo hàm của hàm số
y′ = −4 x3 + 8 x

.
A.

y = x4 − 4 x2 − 3

là
y′ = 4 x − 8x
2

B.

.

Lời giải
Chọn C

4

C.

y′ = 4 x3 − 8 x

.

D.

y ′ = −4 x 2 + 8 x

số

y′ = ( x 4 − 4 x 3 − 3) = 4 x3 − 8 x
′

.

x 4 5 x3
+
− 2x + a2
a
2
3
Câu 15. Đạo hàm của hàm số
( là hằng số) bằng.
1
1
2 x3 + 5 x2 −
+ 2a
2 x3 + 5 x 2 +
2x
2 2x
A.
.
B.
.
1
2 x3 + 5x 2 −
2x
2 x3 + 5 x 2 − 2
C.

.
D.
.
y=

Lời giải
Chọn C
y ′ = 2 x3 + 5 x 2 −
Ta có

1
2x

.
1
2x

Câu 16. Hàm số nào sau đây có đạo hàm bằng

A.

f ( x) = 2 x

.

f ( x) = x

B.

?

.

C.

f ( x) = 2 x

f ( x) = −
.

D.

1
2x

.

Lời giải
Chọn C
f '( x) =

Ta có

(

2x

)′ =

1

2x

.

y = ( x3 − 5 ) x

Câu 17. Tính đạo hàm của hàm số
.
7
5
7 5
5
y′ = 5 x 2 −
y′ =
x −
2
2
2 x
2 x
A.
. B.
.
5
1
y′ = 3x 2 −
y′ = 3x 2 −
2 x
2 x
C.
.

D.
.
Lời giải
Chọn B
y ' = 3 x 2 . x + ( x3 − 5 )
Ta có

1
2 x

= 3x 2 x +

5

1 2
5
7
5
7 5
5
x x−
= x2 x −
=
x −
2
2 x 2
2 x 2
2 x

.

x+3

y=

x2 + 1

Câu 18. Đạo hàm của hàm số

A.

(x

1 − 3x

2

+ 1) x 2 + 1

.

(x

B.

là:

1 + 3x

2

+ 1) x 2 + 1

.

C.

1 − 3x
x2 + 1

.

D.

(x

2 x2 − x −1
2

+ 1) x 2 + 1

.

Lời giải
Chọn A

x2 + 1 −
y′ =

( x + 3) x

x2 + 1

Ta có

Câu 19. Cho hàm số
S=4
A.
.

x2 + 1 =

(x

1 − 3x

2

+ 1) x 2 + 1

.

S = f ( 1) + 4 f ' ( 1)

f ( x ) = x2 + 3

. Tính giá trị của biểu thức
S =2
S =6

B.
.
C.
.

.

D.

S =8

.

Lời giải
Chọn A
x

f ( x ) = x2 + 3 ⇒ f ' ( x ) =

x +3
2

Ta có:
Vậy

S = f ( 1) + 4 f ' ( 1) = 4

.

.

y = 2 x2 + 5x − 4

y'
. Đạo hàm
của hàm số là
4x + 5
2x + 5
y' =
y' =
2 2 x2 + 5x − 4
2 2x2 + 5x − 4
A.
. B.
.
2x + 5
4x + 5
y' =
y' =
2
2 x + 5x − 4
2x2 + 5x − 4
C.
. D.
.
Lời giải

Câu 20. Cho hàm số

Chọn A

y' =

(

2 x + 5x − 4
2

Ta có

)

'

( 2x
=

2

'

2 2x2 + 5x − 4

u = u ( x) , v = v ( x)

Câu 21. Cho các hàm số
đề nào sau đây sai?

+ 5x − 4 )

=

4x + 5
2 2 x 2 + 5x − 4

có đạo hàm trên khoảng

6

J

và

v ( x) ≠ 0

với

∀x ∈ J

. Mệnh


A.

C.

u ( x ) + v ( x ) ′ = u ′ ( x ) + v ′ ( x )

.

B.

u ( x ) .v ( x ) ′ = u ′ ( x ) .v ( x ) + v′ ( x ) .u ( x )

.

 1 ′ v′ ( x )

 = 2
v
x
(
)

 v ( x)

D.

.

 u ( x ) ′ u ′ ( x ) .v ( x ) − v′ ( x ) .u ( x )

 =
v2 ( x )
 v ( x) 

.

Lời giải
Chọn B

y = x2 −

1
x

Câu 22. Tính đạo hàm của hàm số
.
1
1
y′ = 2 x − 2
y′ = x − 2
x
x
A.
.
B.
.

y′ = x +
C.
Lời giải

1
x2

y′ = 2 x +
.

D.

1
x2

.

Chọn D
Tập xác định

D = ¡ \ { 0}

1
x2

y′ = 2 x +
Có

.

y=

2x
x −1

Câu 23. Tính đạo hàm của hàm số
2
2
y′ =
y′ =
2
( x − 1)

( x − 1)
A.
.
B.
.

y′ =
C.

−2

( x − 1)

y′ =

2

.

D.

−2
( x − 1)

.

Lời giải
Chọn C

y=

2x
−2
⇒ y′ =
2
x −1
( x − 1)
y=

Câu 24. Hàm số
y' =

A.

(x

1
x +5
2

1
2

.

+ 5)

2

có đạo hàm bằng:

2x
y' =
2
( x 2 + 5)
.
B.
.

Chọn D

7

y' =

C.
Lời giải

(x

−1
2

+ 5)

y' =

2

.

D.

(x

−2 x
2

+ 5)

2

.


y' =

(x

−2 x
2

+ 5)

2

y=

2 x 2 − 3x + 7
x2 + 2x + 3

Câu 25. Tính đạo hàm của hàm số
.
2
2
−7 x + 2 x + 23
7 x − 2 x − 23
y′ =
y′ =
2
2
( x 2 + 2 x + 3)
( x 2 + 2 x + 3)
A.
. B.
2
8 x 3 + 3 x 2 + 14 x + 5
7 x − 2 x − 23
′
y
=
′
y = 2
2
( x 2 + 2 x + 3)
( x + 2 x + 3)
C.
D.
Lời giải
Chọn B

( 4 x − 3) ( x 2 + 2 x + 3) − ( 2 x + 2 ) ( 2 x 2 − 3x + 7 ) 7 x 2 − 2 x − 23
2 x 2 − 3x + 7
y= 2
⇒ y′ =
=
2
2
x + 2x + 3
( x 2 + 2 x + 3)
( x 2 + 2 x + 3)
f ( x) =
Câu 26. Cho hàm số
−a + 2b
(b − 1) 2
A.
.
Chọn D
f '( x) =
Ta có:

2x + a
(a, b ∈ R; b ≠ 1)
x −b

B.

Câu 27. Cho

C.

f '(1)

bằng:
a + 2b
(b − 1) 2
C.
.
Lời giải

.

2( x − b) − 2 x − a − a − 2b
=
( x − b)2
( x − b) 2

f ( x) = 1− 4x +

A.

a − 2b
(b − 1) 2

. Ta có

2
2
−
1− 4x x − 3
1

+1
2 1 − 4x

1− x
x−3

. Tính
2

f ′( x)

1− 4x
.

B.

D.

−

.

2

( x − 3)

2

−2
2

+
2
1 − 4 x ( x − 3)

.

.

Lời giải
Chọn D
1 − x ′

f ′ ( x ) =  1 − 4x +
÷=
x −3


(

′  1 − x ′
1− 4x + 
÷
 x−3

)

8

D.

− a − 2b
(b − 1)2

.


1 − 4 x ) ′ ( 1 − x ) ′ ( x − 3 ) − ( 1 − x ) ( x − 3) ′
(
=
+
2
2 1− 4x
( x − 3)
y = ( 2 x − 1)

Câu 28. Đạo hàm của hàm số
y'=

8x + 4 x −1

A.

−2
2
+
2
1 − 4 x ( x − 3)

.
B.

.

x2 + x

là
8x + 4x + 1
y' =
.
2 x2 + x
2

2

2 x2 + x

=

y' =

C.

4x + 1
2 x2 + x

y' =

.

D.

6x2 + 2x − 1
.
2 x2 + x

Lời giải
Chọn A
y ' = 2 x2 + x +

( 2 x − 1) ( 2 x + 1)
2 x2 + x

Ta có:
=

4x2 + 4x + 4x2 − 1
2 x2 + x
y' =

Vậy

=

8x2 + 4 x − 1
2 x2 + x

Câu 29. Đạo hàm của hàm số

8x 2 + 4 x − 1
2 x2 + x

.

y = ( − x 2 + 3x + 7 )

y ' = 7 ( −2 x + 3) ( − x + 3x + 7 )
2

A.
C.

.

y ' = ( −2 x + 3) ( − x 2 + 3x + 7 )

7

là

6

.

B.

6

.

D.

y ' = 7 ( − x 2 + 3x + 7 )

6

.

y ' = 7 ( −2 x + 3 ) ( − x 2 + 3 x + 7 )

Lời giải
Chọn A

Ta có:

y ' = 7 ( − x2 + 3x + 7 )

6

( −x

2

+ 3 x + 7 ) ' = 7 ( −2 x + 3 ) ( − x 2 + 3 x + 7 )

6

.

3

Câu 30. Đạo hàm của hàm số

2

y =  x2 − ÷
x


bằng

2

A.

1 
2

y′ = 6  x + 2 ÷ x 2 − ÷
x 
x


2

.

B.

2

C.

1 
2

y′ = 6  x − 2 ÷ x 2 − ÷
x 
x


2

y′ = 3  x 2 − ÷
x


.
2

.

D.
Lời giải
9

1 
2

y′ = 6  x − ÷ x 2 − ÷
x 

x


6

.


Chọn A
2

2

2 
2
1 
2


y ' = 3.  x 2 − ÷'  x 2 − ÷ = 6  x + 2 ÷ x 2 − ÷
x 
x
x 
x



.
1

Câu 31.

(THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Đạo hàm của hàm số
2x + 1
2
y′ =
1 2
2
3
2
′
3
y
=
x
+
x
+
1
3 ( x + x + 1)
3
A.
. B.
.
8
2x +1
1
y′ =
y′ = x 2 + x + 1 3
2 3 x2 + x + 1

3
C.
. D.
.
Lời giải

(

(

y′ =
Ta có
Câu 32.

y = ( x 2 + x + 1) 3

là

)

)

1
−1
1 2
2x +1
3
x
+
x

+
1
x 2 + x + 1) ′ =
(
)
(
2
3
3 3 ( x 2 + x + 1)

.

(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 2 - 2018) Đạo hàm của hàm số

y = ( x3 − 2 x2 )

2

bằng:
6 x − 20 x − 16 x3
A.
.
5

4

B.

6 x 5 − 20 x 4 + 4 x3

.

C.

6 x5 + 16 x3

.

D.

6 x 5 − 20 x 4 + 16 x 3

.

Lời giải

(

)(

)

y ′ = 2 ( x 3 − 2 x 2 ) . ( x3 − 2 x 2 ) ′ = 2 x 3 − 2 x 2 3x 2 − 4 x = 6 x 5 − 20 x 4 + 16 x 3
Câu 33.

.

(THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Đạo hàm của hàm số
f ( x ) = 2 − 3x 2

−3 x
A.

2 − 3x 2

Ta có

bằng biểu thức nào sau đây?
1

.

B.

( u ) ′ = 2u′u

f ′( x) =

(

2 − 3x

2

)

2 2 − 3x 2

.

C.
Lời giải

−6 x 2

3x

2 2 − 3x 2

2 − 3x 2

.
′

2 − 3x ) ′
(
=
2

2 2 − 3x2

=

−6 x
2 2 − 3x 2

10

=

−3 x
2 − 3x 2

.

.

D.

.


Dạng 2.2 Một số bài tốn tính đạo hàm có thêm điều kiện

1
y = x3 − 2 x 2 − 5 x
3

Câu 34. Cho hàm số
[ −1;5]
A.
.
( −∞; −1) ∪ ( 5; +∞ )
C.
.

B.
D.

y′ ≥ 0

. Tập nghiệm của bất phương trình

là

∅

.
( −∞; −1] ∪ [ 5; +∞ )

.

Lời giải
Chọn D

1
y = x3 − 2 x 2 − 5 x ⇒ y′ = x 2 − 4 x − 5
3
2
y′ ≥ 0 ⇔ x − 4 x − 5 ≥ 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −1] ∪ [ 5; +∞ )

.

y = x 3 + mx 2 + 3x − 5

m
m
M
Câu 35. Cho hàm số
với

là tham số. Tìm tập hợp
tất cả các giá trị của
y′ = 0
để
có hai nghiệm phân biệt:
M = ( −3;3)
M = ( −∞; −3] ∪ [ 3; +∞ )
A.
.
B.
.
M = ( −∞; −3) ∪ ( 3; +∞ )
M =¡
C.
.
D.
.

Lời giải
Chọn D
y = x 3 + mx 2 + 3x − 5 ⇒ y ′ = 3x 2 + 2mx + 3

y′ = 0

có hai nghiệm phân biệt

.

⇔ ∆ ′ > 0 ⇔ m 2 − 9 > 0 ⇔ m < −3 ∨ 3 < m
y′ < 0

y = x 3 − 3x + 2017

Câu 36. Cho hàm số
S = ( −1;1)
A.
.
( 1; +∞ )
C.
.

B.
D.

. Bất phương trình
S = ( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ )

( −∞; −1)

.

có tập nghiệm là:

.

.
Lời giải

Chọn A
y = x 3 − 3x + 2017 ⇒ y′ = 3x 2 − 3 y′ < 0 ⇔ x 2 − 1 < 0 ⇔ −1 < x < 1

,
.
f ( x ) = x4 + 2 x2 − 3

Câu 37. Cho hàm số
−1 < x < 0
A.
.

. Tìm
x<0
B.
.

x

để

f ′( x) > 0

C.
11

?
x>0

.

D.

x < −1

.


Lời giải
Chọn C

f ′ ( x ) > 0 ⇔ 4 x 3 + 4 x > 0 ⇔ 4 x ( x 2 + 1) > 0 ⇔ x > 0
Câu 38.

(TRƯỜNG

THPT

THANH

THỦY

y = ( m − 1) x − 3( m + 2) x − 6( m + 2) x + 1.
3

A.

.
2018

2

[3; +∞).

B.

Tập giá trị của

∅.

C.

m

để

-2019)

Cho

y ' ≥ 0, ∀x ∈ R

[4 2; +∞).

D.

hàm

số

là

[1; +∞).

Lời giải:
Chọn B
Ta có

y ' = 3(m − 1) x 2 − 6(m + 2) x − 6(m + 2).

∆ ' y ' = 27 m 2 + 54m

.

{

m − 1 > 0
y ' ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔  '
⇔ m >1
⇔ m ∈∅
∆
≤
0
−2 ≤ m ≤ 0
 y'
y = ( m + 2 ) x3 +

Câu 39. Cho hàm số
y′ ≥ 0, ∀x ∈ ¡
A.
C.

5

3

.

3
( m + 2 ) x 2 + 3x − 1, m
2

là tham số. Số các giá trị ngun

là

.

B. Có vơ số giá trị ngun

.

D.

m

.

4
Lời giải

Chọn A

y ' = 3 ( m + 2 ) x 2 + 3 ( m + 2 ) x + 3 ≥ 0 => ( m + 2 ) x 2 + ( m + 2 ) x + 1 ≥ 0 ( 1)

Để phương trình
TH1:

TH2:

( 1)

ln thỏa mãn

∀x ∈ ¡

m + 2 = 0 => m = −2 => y ' = 1 ≥ 0, ∀x ∈ ¡

( Nhận)

m + 2 > 0 m > −2
 m > −2
=> 
=>  2
=> 
=> −2 < m ≤ 2
∆ ≤ 0
 m − 4 ≤ 0  −2 ≤ m ≤ 2
m + 2 ≠ 0 => m ≠ −2

Kết hợp hai trường hợp:

m = −2; −1; 0;1; 2

.
12

m

để


f ( x ) = − x3 + 3mx 2 − 12 x + 3

Câu 40. Cho hàm số
f ′( x) ≤ 0

∀x ∈ ¡

với

với

m

là tham số thực. Số giá trị nguyên của

là

1

A. .

B.

5

.

4

C.

3
D. .

.

Lời giải
Chọn B
f ( x ) = − x3 + 3mx 2 − 12 x + 3 ⇒ f ′ ( x ) = −3 x 2 + 6mx − 12
f ′( x) ≤ 0

∀x ∈ ¡ ⇔ −3 x 2 + 6mx − 12 ≤ 0

với

⇔ −2 ≤ m ≤ 2

. Vì

m ∈ { −2; −1; 0;1; 2}

m∈¢

nên
3
mx mx 2
f ( x) =
−
+ ( 3 − m) x − 2
3
2

Câu 41. Cho hàm số
12
0≤m≤
5
A.
.

với

0
B.

12
5

−3 < 0
a < 0
⇔ 2
⇔

9m − 36 ≤ 0
∀x ∈ ¡
 ∆′ ≤ 0

. Vậy có

m

. Tìm

để

5

C.

m

f ' ( x ) > 0 ∀x ∈ R

0≤m<

.

giá trị nguyên

12
5

thoả mãn.

.

0
.

D.

Lời giải
Chọn C
f ' ( x ) = mx 2 − mx + ( 3 − m )
Ta có
f ' ( x ) = 3 > 0∀x ∈ R
m=0
+ Nếu
thì
( thỏa mãn)
2
f ' ( x ) = mx − mx + ( 3 − m )
m≠0
+ Nếu
thì
là tam thức bậc hai,

m > 0
12
m > 0
f ' ( x ) > 0 ∀x ∈ R ⇔ 
⇔ 2

⇔02
5

5m − 12m < 0
 ∆ = m − 4m ( 3 − m ) < 0
0≤m<

Vậy
Câu 42. Cho hàm số
7

 ; +∞ ÷.
5

A.

12
5

.

f ( x ) = −5 x 2 + 14 x − 9

Tập hợp các giá trị của
7

7 9
 −∞; ÷.
 ; ÷.

5

5 5
B.
C.
Lời giải

Chọn C

Tập xác định:

 9
D = 1;  .
 5
13

x

để

f '( x) < 0

D.

là
 7
1; ÷.
 5

12

5

.

m

để


−5 x + 7

 9
, ∀x ∈ 1; ÷.
 5
−5 x 2 + 14 x − 9

f ( x ) = −5 x 2 + 14 x − 9 ⇒ f ' ( x ) =
Ta có

−5 x + 7 < 0
7
9

<0⇔
⇔ 9
5
5
1< x <
−5 x 2 + 14 x − 9


5

−5 x + 7

f '( x) < 0 ⇔

f ( x) =

x2 − 2x

Câu 43. Cho hàm số
nhiêu giá trị nguyên?

. Tìm tập nghiệm

1

A. .

B.

2

S

của phương trình

0

.

f ′( x) ≥ f ( x)

C. .
Lời giải

D.

3

có bao

.

Chọn C
Tập xác định của hàm số là:

f ′( x) =
Ta có:

Với

x −1
x2 − 2x

x ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 2; +∞ )

Kết hợp với điều kiện

x ∈∅.

Câu 44.

Vậy

D = ( −∞;0] ∪ [ 2; +∞ )

.
x −1

f ′( x) ≥ f ( x) ⇔

x2 − 2x

. Vậy

≥ x2 − 2x ⇔

− x 2 + 3x − 1
x2 − 2x

≥ 0.

3− 5 3+ 5 
≥ 0 ⇔ − x 2 + 3x − 1 ≥ 0 ⇔ x ∈ 
;

2 
x2 − 2x

 2

− x 2 + 3x − 1
, ta có:

x ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 2; +∞ )

, ta có:

 3+ 5 
x ∈  2;

2 


.Mà

x∈¢

nên suy ra

S = ∅.

(Thi thử SGD Hưng Yên) Cho
−16
−4
A.
.
B.
.

ax − b
1
 3 − 2 x ′
, ∀x >

÷=
4
 4 x − 1  ( 4 x − 1) 4 x − 1
−1
C.
.
Lời giải

. Tính
4
D. .

a
.
b

Chọn C

∀x >
Với

1
4

, ta có:

′
 3 − 2 x ′ ( 3 − 2 x ) 4 x − 1 − ( 3 − 2 x )

÷=
( 4 x − 1)
 4x −1 

(

4x −1

14

) ′ = −2

4 x −1 −

6 − 4x
4x −1 =

( 4 x − 1)

−4 x − 4
.
( 4 x − 1) 4 x − 1


a = −4, b = 4 ⇒

Do đó
Câu 45.

a
= −1.
b
y = 1 + 3x − x 2

(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 6) Cho hàm số
đúng?
A.

( y′ )

2

+ y. y′′ = −1

.

B.

( y′ )

2

y. y′′ − ( y′ ) = 1

. Khẳng định nào dưới đây

2

+ 2 y. y′′ = 1
. C.
Lời giải

.

D.

( y′ )

2

+ y. y′′ = 1
.

y = 1 + 3x − x 2 ⇒ y 2 = 1 + 3x − x 2

⇒ 2 y. y′ = 3 − 2 x ⇒ 2.( y′ ) + 2 y. y′′ = −2 ⇒ ( y′ ) + y. y′′ = −1
2

Câu 46.

2

(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số
y′. y = 2 x + 1
Nghiệm của phương trình
là:

x=2
x =1
x = −1
A.
.
B.
.
C. Vơ nghiệm.
D.
.
Lời giải

Tập xác định của hàm số là

D = ( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ )

y′. y = 2 x + 1 ⇔
Nghiệm của phương trình

x
x −1
2

y = x2 −1

.

x

y′ =

x2 −1

. Khi đó ta có

. x2 −1 = 2 x + 1

.

x = 2 x + 1 ⇔ x = −1

suy ra

.

Tuy nhiên do điều kiện xác định nên phương trình vơ nghiệm.
Trình bày lại

Tập xác định của hàm số là

Nghiệm của phương trình
⇔ x = 2 x + 1 ⇔ x = −1

D = ( −∞; −1] ∪ [ 1; +∞ )

y′. y = 2 x + 1

⇔

x

x −1
2

y′ =
. Khi đó ta có

x
x −1
2

. x2 − 1 = 2 x + 1
.ĐK:

.

x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ )

.

: Khơng thỏa mãn.

KL:phương trình vơ nghiệm.
y = x − 2x + 3

y′ =

2

Câu 47.

(THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho
a.b
đó giá trị
là:
15

,

ax + b
x − 2x + 3
2

. Khi


A.

−4

.

−1

B.

.

C.

0

1
D. .

.

Lời giải
y= x

2

(x
− 2 x + 3 ⇒ y′ =

2

− 2 x + 3) ′

2 x2 − 2x + 3

y=
Câu 48. Cho hàm số
{ −1;3}
A.
.

=

2x − 2
2 x2 − 2 x + 3

=

x −1
x 2 − 2 x + 3 ⇒ a = 1 b = −1
;
.

−2 x 2 + x − 7
x2 + 3

. Tập nghiệm của phương trình
{ 1;3}
{ −3;1}
B.
.
C.
.

y′ = 0

là
D.

{ −3; − 1}

.

Lời giải
Chọn A

− x2 + 2x + 3
y′ =
2
( x 2 + 3)
y ′ = 0 ⇔ − x 2 + 2 x + 3 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 3
f ( x ) = ax 3 +

Câu 49. Cho hàm số
12
5
A.
.

b
x

B.

có
−2
5

.

f ′ ( 1) = 1, f ′ ( −2 ) = −2

.

C.

2

f′
. Khi đó

( 2)

bằng:
−

.

D.

12
5

.

Lời giải
Chọn B
1

a=−

 f ′ ( 1) = 3a − b
3a − b = 1

5


⇒

⇒

b ⇒
−8
b
b
12a − = −2 b =
f ′ ( x ) = 3ax 2 − 2
 f ′ ( −2 ) = 12a −



4
5

4
x
f′

( 2 ) = 6a − b2 = − 52

.

.

Câu 50. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

m

y=

để hàm số

x+2
x + 5m

có đạo hàm dương trên khoảng

( −∞; −10 ) ?
A.

1.

B.

2.

C.

3.

Lời giải
16

D. vô số.


Chọn B

Tập xác định:
y'=

Ta có

D = ( −∞; −5m ) ∪ ( −5m; +∞ ) .

5m − 2

( x + 5m )

2

 5m − 2 > 0
2
YCBT ⇔ 
⇔ −
10
≤
−
5
m

5

Vì

m ∈ ¢ ⇒ m ∈ { 1; 2}

.

Vậy có 2 giá trị nguyên của

m

thỏa mãn YCBT

DẠNG 3. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN
Dạng 3.1 Tiếp tuyến tại điểm
y=

Câu 51.

(Kim Liên - Hà Nội - L1 - 2018-2019) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
hồnh độ

A.

5

x0 = −1

.

có hệ số góc bằng
1
−
5
B.

.

−5
C.
.
Lời giải

D.

x +1
2x − 3

1
5

tại điểm có

.

Chọn B

TXĐ:

3
D=¡ \ 
2
f '( x) =

Ta có

−5

( 2 x − 3)

2

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hồnh độ

f ' ( −1) =

Câu 52.

−5

( 2. ( −1) − 3)

2

=

x0 = −1

:

−1
5

(THI HK I QUẢNG NAM 2017) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y = x4 − 4x 2 + 5
A.

tại điểm có hồnh độ

x = −1.

y = 4 x − 6.
17


B.
C.
D.

y = 4 x + 2.
y = 4 x + 6.
y = 4 x − 2.
Lời giải

Chọn C
y′ = 4 x3 − 8 x y′ ( −1) = 4.
Ta có
,
Điểm thuộc đồ thị đã cho có hồnh độ

x = −1

là:

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

M ( −1; 2 ) .
M ( −1;2 )

là:

y = y′ ( −1) ( x + 1) + 2 ⇔ y = 4 ( x + 1) + 2 ⇔ y = 4 x + 6.

Câu 53.

y = x4 − 4x2 + 5

(Quảng Nam-HKI-1718) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
x = −1
điểm có hồnh độ
.
y = 4 x − 6.
y = 4 x + 2.
y = 4 x + 6.
y = 4 x − 2.
A.
B.
C.
D.
Lời giải

tại

Chọn C
y′ = 4 x3 − 8 x y′ ( −1) = 4
Ta có

,
Điểm thuộc đồ thị đã cho có hồnh độ

x = −1

là:

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

M ( −1;2 ) .
M ( −1;2 )

y = y′ ( −1) ( x + 1) + 2 ⇔ y = 4 ( x + 1) + 2 ⇔ y = 4 x + 6

là:

.

y=
Câu 54.

(THPT THUẬN THÀNH 1) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
bằng , tương ứng là
y = 7 x + 13
y = −7 x + 30
y = 3x + 9
A.
.
B.

.
C.
.
Lời giải
Chọn B
18

2x + 3
x−2

tại điểm có hồnh độ

D.

y = −x − 2

.


x = 3⇒ y = 9
y′ =

−7

( x − 2)

2

;

⇒ y ' ( 3) = −7
.

Phương trình tiếp tuyến tương ứng là

Câu 55.

y = −7 ( x − 3) + 9 ⇔ y = −7 x + 30

.

(GIỮA KÌ I LƯƠNG THẾ VINH CƠ SỞ II 2018-2019) Cho hàm số
có đồ thị là
 1
M 1; ÷
 3
là:

A.

( C)

y = 3x − 2

. Phương trình tiếp tuyến của

.

B.

y = −3 x + 2

( C)

tại điểm

y = x−
.

1
y = x3 + x 2 − 2 x + 1
3

C.
Lời giải

2
3

y = −x +
.

D.

2
3

Chọn C

y ' = x2 + 2x − 2

y ' ( 1) = 1 + 2 − 2 = 1

 1
M 1; ÷
( C)
 3
Phương trình tiếp tuyến của
tại điểm
là:
1
1
2
y = y ' ( 1) ( x − 1) + = x − 1 + = x −
3
3
3
Câu 56.

(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
số

y = x3 − 3x

tại điểm có hồnh độ bằng 2.
y = −9 x + 16
y = −9 x + 20
y = 9 x − 20
A.
.
B.

.
C.
.
Lời giải

D.

y = 9 x − 16

Chọn D

y′ = 3x2 − 3

Ta có

y( 2) = 2

và

y′ ( 2) = 9

. Do đó PTTT cần tìm là:

19

y = 9( x − 2) + 2 ⇔ y = 9x − 16

.

Câu 57.

(Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
x0 = 0

tại điểm có hoành độ
y=0
A.
.

B.

là
y = 3x

.

C.
Lời giải

y = 3x − 2

.

D.

( C ) : y = 3x − 4 x 2

y = −12 x

.

Chọn B
Tập xác định
Đạo hàm

D=¡

y′ = 3 − 8 x

.
.

Phương trình tiếp tuyến:
Câu 58.

y = y(′0) . ( x − 0 ) + y( 0) ⇒ ∆ : y = 3x

(Chuyên Thái Bình lần 2 - 2018-2019) Cho hàm số

.
y = − x3 + 3x − 2

( C)
( C)
phương trình tiếp tuyến của
tại giao điểm của
với trục tung.
y = −2 x + 1
y = 2x +1

y = 3x − 2
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải

D.

có đồ thị

( C) .

y = −3 x − 2

Viết

.

Chọn C
+)

y ′ = −3 x 2 + 3

+) Giao điểm của
+) Tiếp tuyến của

( C)

( C)

với trục tung có tọa độ là
tại điểm

( 0; −2 )

( 0; −2 ) .

có phương trình là:

y = y′ ( 0 ) ( x − 0 ) − 2 ⇔ y = 3 x − 2.
Câu 59.

(LÊ HỒNG PHONG HKI 2018-2019) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
(C ) : y = x 4 − 8 x 2 + 9
A.

y = 12 x + 14

.

tại điểm M có hồnh độ bằng -1.
y = 12 x − 14
y = 12 x + 10
B.
.
C.
.
Lời giải

Chọn A
Tập xác định

¡.

y′ = 4 x 3 − 16 x. ⇒ y′( −1) = 12.
20

D.

y = −20 x − 22

.


M( −1; y 0 ) ∈ (C ) ⇔ y0 = 2.

Tiếp tuyến của đồ thị

(C )

tại

M(−1; 2)

có phương trình là

y = y '(−1)( x + 1) + 2 ⇔ y = 12 x + 14.

y = 12 x + 14.
Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình là
y=

Câu 60.

(THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang lần 1- 18-19) Cho hàm số

x−2
x +1

. Viết phương trình tiếp

x0 = 0

tuyến của đồ thị hàm số trên tại điểm có hồnh độ
.
y = 3x − 2
y = −3 x − 2
y = 3x − 3
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải

D.

y = 3x + 2

.

Chọn A
Tập xác định

D = ¡ \ { −1}

.

3

x − 2 ⇒ y′ =
2
y=
( x + 1)
x +1

.

y ( 0 ) = −2 y′ ( 0 ) = 3
,

⇒

phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trên tại điểm có hồnh độ

y = 3 ( x − 0 ) − 2 ⇔ y = 3x − 2
Câu 61.

x0 = 0

là

.

(Trường THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên, năm 2019) Phương trình tiếp tuyến của đồ

y=
thị hàm số

−x + 3
x −1

y = −2 x + 3.

B.

A.

x=0

tại điểm có hồnh độ
y = −2 x − 3.

là

C.
Lời giải

Chọn B
TXĐ:
y' =

Với

D = ¡ \ { 1} .

−2
⇒ y '(0) = −2
( x − 1) 2
x = 0 ⇒ y = −3

.

.
21

y = 2 x − 3.

D.

y = 2 x + 3.


Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
Câu 62.

y = −2x − 3

.

(Hội 8 trường chuyên ĐBSH - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho hàm số

( C)

đồ thị
. Hệ số góc
k = −5
A.
.

k

của tiếp tuyến với
k = 10
B.
.

y = x3 − 2 x + 1

có

( C)

1
tại điểm có hồng độ bằng bằng
k = 25
k =1

C.
.
D.
.
Lời giải

Chọn D
Ta có

y′ = 3 x 2 − 2

Hệ số góc
Câu 63.

k

.

của tiếp tuyến với

( C)

tại điểm có hồng độ bằng

1

bằng

k = y ′ ( 1) = 1

.

(Trường THPT Thăng Long Lần 1 năm 2018-2019) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y=

A.

- x +1
3x - 2

- 1

.

tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có hệ số góc là
1
5
1
4
4
4
B. .
C.
.
D.
.
Lời gii

Chn D

y Â=

- 1

( 3 x - 2)

Ta cú:

2

.

ổ 1ử
ị Mỗ
0; - ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố 2ứ
M
Gi
l ta giao im ca thị hàm số với trục tung
.
1
k = y ¢( 0) =4
Vậy hệ số góc cần tìm là:
.
y=

Câu 64.

x +1
x −1

(C ).
d
(HKI-Chuyên Long An-2019) Cho hàm số
có đồ thị
Gọi
là tiếp tuyến của
(C )
3
k
d.
tại điểm có tung độ bằng . Tìm hệ số góc của đường thẳng
1
1
−
2
2
−2
2
A.
.
B.
C. .
D. .
Lời giải

Chọn B
Tập xác định:

D = R \ { 1}
22


Với

y=3

, ta có:

y′ = −

Ta có:

x +1
= 3 ⇒ 3x − 3 = x + 1 ⇔ x = 2
x −1

.

2

( x − 1)

2

.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ bằng
k = y′ ( 2 ) = −

Câu 65.

2

( 2 − 1)

2

2

là:

= −2

.

(Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa lần 2 -2018-2019) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
x0 = −1

y = x2 + x − 2

tại điểm có hồnh độ
x + y − 1 = 0.
x − y − 2 = 0.
A.
B.

.
C.
Lời giải

x + y + 3 = 0.

D.

x − y − 1 = 0.

Chọn C
y = f ( x) = x 2 + x − 2
Đặt
y ' = f '( x) = 2 x + 1
Ta có
 f '(−1) = −1
⇒
x0 = −1
 y0 = f (−1) = −2
Tại
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y = −( x + 1) − 2 ⇔ y = − x − 3 ⇔ x + y + 3 = 0
Câu 66.

.

(Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương thi thử lần 1 (2018-2019)) Hệ số góc tiếp tuyến tại
A ( 1; 0 )

của đồ thị hàm số

1
A. .

y = x3 − 3x 2 + 2

B.

−1

là
−3
C.
.
Lời giải

.

Chọn C
y = f ( x ) = x3 − 3x 2 + 2 ⇒ f ' ( x ) = 3x 2 − 6 x

Hệ số góc tiếp tuyến tại

A ( 1; 0 )

D.

.

của đồ thị hàm số

y = x3 − 3 x 2 + 2

là

0

.

f ' ( 1) = 3.12 − 6.1 = −3
y=

Câu 67.

.

x +1
x −1

I
(Kiểm tra năng lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Gọi là giao điểm giữa đồ thị hàm số
Oxy
I
và trục tung của hệ trục tọa độ
. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số trên tại là
0
−2
−1

2
A.
.
B. .
C. .
D. .

23


Lời giải
Chọn A

Tập xác định:

y′ =

D = ¡ \ { 1}

I ( 0; −1)

Theo bài ra ta có

. Ta có

−2

( x − 1)

2

.

.
y′ ( 0 ) =

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại
Câu 68.

I

là

−2

( 0 − 1)

2

= −2

.

(THPT Cẩm Bình 2018-2019) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y=

3x - 1
x - 1 tại điểm

có hồnh độ x = 2 là
A.

y = 2x + 9

.

B.

y = −2 x + 9

.

C.
Lời giải

y = 2x − 9

.

D.

y = −2 x − 9

.

Chọn B
y ¢=

- 2

( x - 1)

2

, y ¢( 2) =- 2

Ta có

. Khi

y =5

x=2

thì
.
3x - 1
y=
x =2
x- 1
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm có hồnh độ
là

y = −2 ( x − 2 ) + 5 ⇔ y = − 2 x + 9

Câu 69.

.

(THPT Cộng Hiền - Lần 1 - 2018-2019) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
tại giao điểm của

A.

y = x−3

( H)

.

và trục hoành là:
1
y = ( x − 1)
3
B.
.

C.
Lời giải

y = 3x

.

D.

Chọn B
Giao điểm của

y′ =

Ta có

(H)

và trục hoành là điểm

3

( x + 2)

y′ ( 1) =

2

nên

1
3

24

.

M ( 1;0 )

.

(H)

y=
:

y = 3 ( x − 1)

.

x −1
x+2


Phương trình tiếp tuyến với

( H)

M

tại điểm

là:

1
y = y′ ( 1) ( x − 1) + 0 ⇔ y = 3 ( x − 1)

.
Câu 70.

(THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa - Lần 1 - Năm học 2018_2019) Cho hàm số
y = − x 3 + 3x 2 + 9 x − 1

A. 1

có đồ thị (C). Hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị (C) là.
B. 6
C. 12
D. 9
Lời giải

Chọn C
Hàm số

y = − x 3 + 3x 2 + 9 x − 1

có đồ thị (C) có tập xác định

Ta có hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số

( C)

y′ = −3x 2 + 6 x + 9 = 12 − 3 ( x + 1) ≤ 12
2

là

Vậy hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị hàm số là
Câu 71.

(Bình Giang-Hải Dương lần 2-2019) Cho hàm số

( C)

trình tiếp tuyến của đồ thị
tại điểm
y = 8x − 4
y = x+3
A.
.
B.
.

M ( 1; 4 )

D=¡

12

y = x4 + 2 x2 + 1

có đồ thị

( C)

. Phương

là

C.
Lời giải

y = −8 x + 12

.

D.

y = 8x + 4

.

Chọn A
y ′ = 4 x3 + 4 x ⇒ y ′ ( 1) = 8.
Ta có
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là

y = 8 ( x − 1) + 4 = 8 x − 4.
y=

Câu 72.

(Thi thử lần 4-chuyên Bắc Giang_18-19) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

A ( 2;3)
A.

9

có phương trình

.

y = ax + b

B.

5

. Tính

a+b
1
C. .
Lời giải

.

Chọn B
Điều kiện
y' =

Ta có

x ≠1

.

−2

( x − 1)

2

⇒ y ' ( 2 ) = −2

.

25

D.

−1

.

x +1
x −1

tại điểm