De tai Quy tich

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (333.11 KB, 23 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Phụ lục

Stt Nội dung trang

Lời cảm ơn

Phần I: Mở đầu 5

1 Lý do chọn đề tài 5

2 Mục đích nghiên cứu 6

3 NhiƯm vơ nghiªn cøu 6

4 Phạm vi và i tng nghiờn cu 6

5 Phơng pháp nghiên cứu 6

PhÇn II: Néi dung 7

Chơng 1: Cơ sơ lý luận và thực tiễn của đề tài 7

1 C¬ sá lý ln 7

2 C¬ së thùc tiƠn: 7

Chơng II: một số vấn đề dạy học về nội dung quỹ tích 8

1 Khái niệm về quỹ tích 8

2 Bài toán quỹ tích có dạng chứng minh 8

3 Bài toán tìm quỹ tích 9

4 Một số quỹ tích cơ bản 9

5 Đoán nhận hình dạng của quỹ tích 11

6 Các bớc giải bài toán quỹ tích 13

7 Chú ý 15

8 Các ví dụ 16

Chơng III. Bài soạn mẫu 23

Chơng IV. Kết quả thực hiện 26

Phần III. Kết luận 28

Tài liệu tham khảo 29

Lời cảm ơn

Cú th núi, dy Tốn đã góp phần khơng nhỏ trong việc phát triển t duy cho
học sinh, học sinh có suy nghĩ sáng tạo, xem xét một vấn đề nhanh và chính xác.
Hơn nữa tốn học cịn là cơ sở của nhiều ngành khoa học khác, chính vì vậy địi hỏi
mỗi giáo viên dạy tốn nói riêng phải có lịng u nghề sâu sắc, làm việc và nghiên
cứu nghiêm túc. Bài toán Qũy tích rất thuận lợi để rèn luyện các hoạt động trí tuệ
cho học sinh nh phân tích, so sánh, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái qt hóa, nhìn
nhận vấn đề theo nhiều phơng diện khác nhau. Hơn nữa, cần thấy rằng, điều mà

học sinh học đợc ở thầy không chỉ là giải quyết, mà quan trọng hơn là cách suy
nghĩ để giải quyết vấn đề.

Tác giả khi thực hiện đề tài này cũng chỉ mong góp thêm một tiếng nói, một
sự khơi gợi rất khiêm tốn, để học sinh thêm hứng thú khi học tốn nói chung và học
về quỹ tích nói riêng. Trong q trình thực hiện đề tài, tác giả đã đợc sự giúp đỡ của
các Giáo s, Phó giáo s, Tiến sỹ, thạc sỹ các giảng viên đang cơng tác tại Khoa Tốn
- Tin, Trờng Đại học s phạm Hà Nội, đặc biệt là sự hớng dẫn tận tình và có nhiều ý
kiến q báu của GS. TSKH: Đỗ Đức Thái - Cán bộ khoa Toán - Tin, Trờng ĐHSP
Hà Nội, thầy đã trực tiếp hớng dẫn tác giả thực hiện đề tài này.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

mong các thầy giáo, cơ giáo tận tình chỉ dạy, đồng nghiệp góp ý để đề tài ngày
càng hồn thiện hơn.

Em xin chân thành cảm ơn.

Phần I: Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài:

- Nh các bạn đã biết tốn học là một mơn khoa học nói chung, nhng lại giữ
một vai trị rất chủ đạo trong các nhà trờng cũng nh đối với các ngành khoa học
khác.

- Hiện nay đầu t sâu cho bộ môn toán là mục tiêu của nhiều ngành giáo dục
của các nớc trên thế giới cũng nh ngành giáo dục của ViƯt Nam ta.

- Tốn học nh một kho tàng tài ngun vơ cùng phong phú và q giá mà nếu
ai đã đi sâu tìm hiểu, khai thác thì sẽ thấy rất mê say và ham muốn khám phá và
hiểu biết ngày càng nhiều hơn ở bộ môn này.

- Là một giáo viên tham gia giảng dạy bộ mơn tốn trờng THCS Minh Lơng
- Đoan Hùng - Phú Thọ, tôi luôn trăn trở làm thế nào để nâng cao chất lợng bộ
môn. Tôi cho rằng ngời thầy cần nâng cao chất lợng ngay từ giờ lên lớp , chú trọng
đổi mới phơng pháp dạy học, tích cực kiểm tra và theo dõi sát xao việc học tập của
học sinh. Từ đó ngời thầy uốn nắn, giải đáp vớng mắc cho các em và điều chỉnh
ph-ơng pháp giảng dạy sao cho phù hợp nhất. Đồng thời ngời thầy thờng xuyên ôn
tập , hệ thống kiến thức, phân loại bài tập, hình thành phơng pháp và kỹ năng giải
tốn cho học sinh.

- Một trong những vấn đề Toán học đang đợc rất nhiều học sinh cũng nh các
thầy cô giáo quan tâm hiện nay đó là “Quỹ Tích (Tập hợp điểm)” đây là một
trong những phần có vai trị quan trọng trong chơng trình tốn ở phổ thơng. Quỹ
tích là một vấn đề rất thờng gặp trong các đề thi chọn học sinh giỏi toán 9, thi
tuyển vào lớp 10. Vì vậy đề tài “ Tìm lời giải bài tốn quỹ tích trong
hình học THCS” là những kinh nghiệm của bản thân với mong muốn giúp các
em học sinh bổ sung thêm vốn liếng về việc giải quyết các bài tốn quỹ tích trong
hình học.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Toán và cũng là tài liệu tham khảo cho các bạn đồng nghiệp, phụ huynh và học
sinh.

2. Mục đích nghiên cứu:

- Gãp phÇn quan trọng trong việc giảng dạy toán học nói chung và quỹ tích
nói riêng và nâng cao chất lợng dạy vµ häc ë bËc THCS.

- Giúp học sinh biết phân loại và vận dụng các phơng pháp tìm quỹ tích một
cách nhanh chóng và hiệu quả. Phát huy đợc tính tích cực, chủ động sáng tạo của
học sinh trong quá trình học tập. Tạo cho học sinh có kiến thức vững vàng, có ý
thức tự học, tự nghiên cứu.

3. NhiƯm vơ nghiªn cøu:

- Tìm hiểu nội dung dạy học về quỹ tích trong nội dung chơng trình toán líp
7, líp 8 vµ líp 9.

- Tìm hiểu mạch kiến thức về quỹ tích trong chơng trình THCS .
- Điều tra về thực trạng th«ng qua:

+Thêng xuyên nghiên cứu các phơng pháp tìm quỹ tích trong SGK, SBT,
Sách nâng cao.

+ Thờng xuyên kiểm tra, khảo sát việc tiếp thu, vận dụng kiến thức của học
sinh để tìm ra những giải pháp phù hợp nhằm nâng cao chất lợng dạy và học.

4. Phạm vi và đối tợng nghiên cứu:

- Khi nghiên cứu đề tài này tôi đã nghiên cứu và thực nghiệm tại Trờng
THCS Minh Lơng - Đoan Hùng - Phú Thọ và trao đổi với các đồng nghiệp có cùng
chun mơn.

- Phạm vi: Học sinh lớp 7 Trờng THCS Minh Lơng.

5. Phơng pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu qua thực nghiệm, rút ra bài học kinh nghiệm của từng phơng

pháp.

- Nghiên cứu thông qua các phơng pháp tìm quỹ tích.

- Th«ng qua néi dung phơng pháp và các bài tập mẫu nhằm củng cố lý thuyết
và phát triển t duy cho học sinh.

- Rèn kỹ năng cho học sinh thơng qua các bài tập đề nghị.

PhÇn II: néi dung

Chơng 1: Cơ sơ lý luận và thực tiễn của đề tài
1. Cơ sở lý luận:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

của ngời học. Từng bớc áp dụng phơng pháp tiên tiến và phơng tiện hiện đại vào
dạy học”.

- Trong luật giáo dục đã khẳng định: “ Phơng pháp giáo dục phổ thơng phải
phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc
điểm của từng lớp học, môn học”. Nói cách khác là dạy học theo chơng trình mới
nhằm mục tiêu đào tạo con ngời mới thích ứng với sự phát triển nhanh mạnh từng
ngày, từng giờ của khoa học kỹ thuật. Nhận thức đợc tầm trọng của việc đổi mới
phơng pháp giảng dạy nói chung, giảng dạy bộ mơn tốn nói riêng nên tơi mạnh
dạn áp dụng một số phơng pháp tìm quỹ tích vào hệ thống các bài tập có tính lơgíc.

2. C¬ së thùc tiƠn:

- Muốn đổi mới phơng pháp dạy học phù hợp với mục tiêu của chơng trình
cải cách và nội dung sách giáo khoa mới thì giáo viên trớc hết phải dạy cho học
sinh những tri thức phơng pháp để học sinh biết cách học, biết cách đọc tài liệu,

biết cách suy luận, biết cách tìm lại những cái đã quên và phát hiện kiến thức mới.
Bên cạnh đó địi hỏi học sinh phải cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong q trình
nghiên cứu kiến thức mới. Muốn dạy cho học sinh nắm đợc những tri thức phơng
pháp thì ngời giáo viên phải thờng xuyên suy nghĩ dạy một vấn đề, một đơn vị kiến
thức đặt ra trớc mắt theo cách nào để học sinh hiểu và vận dụng đạt hiệu quả tốt
hơn.

- Trong chơng trình tốn THCS, ta thấy xuất hiện rất nhiều bài toán liên
quan đến quỹ tích (tập hợp điểm) tuy nhiên thời gian chơng trình dành cho học và
vận dụng về quỹ tích là khơng nhiều. Vì vậy muốn học sinh đọc hiểu và có khả
năng vận dụng kiến thức nói chung hay quỹ tích nói riêng vào giải các bài tập có
liên quan phụ thuộc khơng nhỏ vào lịng say mê cơng việc, không ngừng suy nghĩ
khai thác các đơn vị kiến thức thành hệ thống các dạng bài tập để học sinh nhận
diện ra phơng pháp giải và rèn kỹ năng vận dụng kiến thức vào giải dạng bài tập
đó.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Chơng II: một số vấn đề dạy học về nội dung quỹ tích

1. Kh¸i niƯm vỊ q tÝch:

Ta biết rằng hình là một tập hợp điểm nào đó. Để cho một tập hợp, ta có
thể có nhiều cách . Một trong các cách đó là chỉ ra một cách cụ thể tập hợp gồm
những điểm nào. Chẳng hạn ta có thể nói về tập hợp các đỉnh của một đa giác đã
cho.

Có thể cho một tập hợp điểm bằng cách chỉ ra tính chất đặc trng cho
những điểm đó. Chẳng hạn ta có thể nói về tập hợp các điểm cách đều hai điểm A,
B cho trớc.

Khi hình X đợc xác định nh là tập hợp tất cả những điểm có tính chất  ,

thì ta nói “X là quỹ tích của những điểm có tính chất  ” hay “quỹ tích những điểm
có tính chất  là hình X”. Theo lý thuyết tập hợp điều đó có nghĩa là:

- Nếu điểm M có tính chất thì M X.

- NÕu M  X thì điểm M có tính chất .

Ví dụ: Khi ta nói “quỹ tích những điểm M trong mặt phẳng cách đều hai
điểm A, B là đờng trung trực của đoạn thẳng AB” thì ở đây tính chất  của điểm M
là MAMB, hình X ở đây là đờng trung trực của đoạn thẳng AB. Mệnh đề trên có
nghĩa là:

X 



M /MAMA



Nh vËy cã nghÜa lµ: 1) NÕu MA = MB th× M  X

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

2. Bài toán quỹ tích có dạng chứng minh.

Tổng quá

t

:"Tập hợp những điểm có tính chất

là hình F "

- Để chứng minh hình F là tập những điểm có tính chất (nghĩa là chứng
minh tập hợp những điểm thuộc hình F và tập hợp những điểm có tính chất là hai
tập hợp bằng nhau ) ta chứng minh:

Víi  M, M(α)  M(F)
M(α) : " M cã tÝnh chÊt α "

- Nh vËy, ta chøng minh 2 phần:
a)Phần thuận:

- Lấy một điểm M bÊy kú cã tÝnh chÊt α, chøng minh M thuéc h×nh ( F ):
M(α) M(F)

b)Phần đảo:

- LÊy mét ®iĨm M’bÊt kú thc h×nh ( F ) , chøng minh M’cã tÝnh chÊt α:
M’ ( F )  M’(α )



Chú ý: Đôi khi để đỡ phải vẽ nhiều hình, ở phần đảo ngời ta vẫn lấy điểm M 

( F ) thay cho M’ ( F ).

Có thể thay phần thuận 1) bằng mệnh đề tơng đơng:
1’ ) Nếu M  X thì M khơng có tính chất  .

Có thể thay phần đảo 2) bằng mệnh đề tơng đơng:
2’ ) Nếu M khơng có tính chất  thì M  X 
3. Bài tốn tìm quỹ tích

Bài tốn tìm quỹ tích có dạng sau đây: “Tìm quỹ tích những điểm M có
tính chất  ”. Trong bài toán dạng này, ngời ta cha biết quỹ tích M là hình gì.
Chúng ta phải tìm ra một hình H và chứng minh rằng quỹ tích những điểm M là
hình H đó.

Để tìm ra hình H ta phải biến đổi tính chất  của điểm M thành ra một
tính chất  nào đó tơng đơng với  . Có nghĩa là “điểm M có tính chất  khi và
chỉ khi điểm M có tính chất  ”. Nếu quỹ tích những điểm M có tính chất  là một
bài toán đơn giản (ta thờng gọi là quỹ tích cơ bản) hoặc là bài tốn đã giải trớc rồi
thì bài tốn đặt ra ban đầu cũng giải quyết xong.

Nh vậy để giải bài tốn tìm quỹ tích ta cũng phải có hai bớc:

Phần thuận: Chứng minh rằng điểm M có tính chất  thì nó có tính chất
 do đó nó thuộc hình H (do bài tốn quỹ tích cơ bản).

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Cố nhiên hai phần đó có thể gộp lại làm một nếu dùng lập luận tơng
đ-ơng.

4. Mét sè quü tÝch cơ bản

Sau đây chúng ta nêu lên một số quỹ tích cơ bản trong hình học phẳng
th-ờng thấy trong sách giáo khoa ở phổ th«ng:

a)Đờng trịn: Quỹ tích tất cả các điểm cách một điểm cố định cho trớc một
khoảng cho trớc là đờng tròn tâm là điểm cố định cho trớc ấy và bán kính là
khoảng cách cho trớc ấy.

b)Đờng trung trực: Quỹ tích tất cả các điểm cách hai điểm cố định cho trớc là
đ-ờng trung trực của đoạn thẳng nối liền hai điểm này.

c)Đờng phân giác: Quỹ tích các điểm cách đều hai đờng thẳng c ho trớc là:

- Hai đờng phân giác của góc tạo bởi hai đờng thẳng đó nếu hai đờng thẳng
cho trớc cắt nhau.

- Đờng thẳng song song cách đều với hai đờng thẳn cho trớc nếu hai đờng
thẳng cho trớc song song.

d)Đờng thẳng song song: Quỹ tích các điểm cách một đờng thẳng cho trớc một
khoảng cho trớc là hai đờng thẳng song song với đờng thẳng đã cho và cách đờng

thẳng đã cho một khoảng đã cho.

e)Cung chứa góc: Quỹ tích các điểm từ đó nhìn thấy một đoạn thẳng AB cho trớc
dới một góc α cho trớc là hai cung chứa góc α vẽ trên đoạn AB.

f) Đờng trịn Apơloniút: Quỹ tích các điểm M sao cho tỷ số khoảng cách từ đó đến
hai điểm cố định A, B cho trớc bằng tỷ số k không đổi ( k  1) là đờng trịn có
đ-ờng kính là một đoạn thẳng IJ trong đó I và J là điểm chia trong và chia ngoài đoạn
thẳng AB theo tỷ số k.

g) Tổng các bình phơng: Quỹ tích các điểm có tổng các bình phơng của hai
khoảng cách từ đó đến hai điểm A và B cho trớc, có giá trị khơng đổi k2 với k là độ

dài cho trớc là đờng trịn có tâm là trung điểm của AB và bán kính
bằng 1

√

2k2− a2 víi ( a = AB; k 

a√2
2 )

h) Hiệu các bình phơng: Quỹ tích các điểm mà hiệu các bình phơng của hai
khoảng cách từ đó đến hai điểm A,B cho trớc có một giá trị khơng đổi k với k là độ
dài cho trớc là một đờng thẳng vng góc với đờng thẳng AB tại điểm H sao cho
OH = k

2 AB trong đó O là trung im ca on thng AB.

Khi giải bài toán quỹ tÝch, ta thêng quy vỊ mét trong c¸c q tÝch cơ bản trên
đây.

5. Đoán nhận hình dạng của quỹ tích:

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

- Các bài tốn tìm tập hợp điểm thờng cho dới dạng“Tìm tập hợp những
điểm có tính chất α”.Nh vậy địi hỏi ta trớc hết phải dự đốn hình ( F ) , phải tìm
là hình gì rồi phi chng minh M() M(F).

Sau đây là một vài cách đoán nhận:
a)Dựa vào thực nghiệm:

Hỡnh dng : Da vào những điều kiện của bài tốn, tìm một số phần tử cần
thiết ( ít nhất là 3 ) thuộc tập hợp các điểm có tính chất α và căn cứ vào đó mà
đốn nhận hình dạng của tập hợp thuộc loại thẳng hay tròn.

Lấy ít nhất 3 điểm, chú ý điểm đặc biệt và điểm bất kỳ đẻ biết sơ bộ về hình
dạng.

*Ví dụ1: Cho nửa đờng trịn (O), đờng kính AB. Mlà điểm chuyển động trên

nửa đờng trịn, H là hình chiếu của M trên AB. Trên đoạn thẳng OM lấy N sao cho
ON = MH. Tìm tập hợp điểm N.

Dù đoán : Khi M trùng A hoặc B thì N trïng O

Khi M là điểm chính giữa cung AB thì N ≡ I và lấy thêm điểm M bất kỳ
thuộc nửa đờng trịn thì có điểm N.

Ta thấy O, N, I khơng thẳng hàng vậy có thể dự đốn tập hợp phải tìm thuộc loại

đờng trịn đi qua N, I và O

* Ví dụ2: Cho góc xOy = 1V, A là điểm cố định nằm trong góc đó. Điểm B

ch¹y trên ox, điểm C chạy trên Oy sao cho AB AC. Tìm tập hợp hình chiếu
của A trên cạnh BC.

Dự đốn: B O thì Q thuộc tập hợp phải tìm, C O thì P thuộc tập hợp
phải tìm, khi Δ ABC ở vị trí bất kỳ thoả mãn điều kiện đầu bài thì hình chiếu của
A là H,cùng P và Q có khả năng thẳng hàng. Vậy tp hp thuc loi ng thng i
qua P,Q

b)Dựa vào vị trÝ.

- Xét liên hệ giữa những phần tử của tập hợp ( chuyển động ) với những phần tử
đã cho ( cố định , không đổi ) để tìm ra đợc những phần tử cố định thuộc tập hợp
hoặc những phần tử cố định , không đổi cần thiết để xác định hình chứa tập hợp
các điểm có tính chất α .

*Ví dụ3: Cho góc xAy. B,C lần lợt thay đổi trên tia Ax, Ay sao cho: AB + AC

=1.

Tìm tập hợp những giao điểm M của đờng tròn ngoại tiếp Δ ABC với đờng thẳng
song song với BC đợc kẻ từ A.

Dự đoán: Dễ thấy A, B1, C1 thuộc tập hợp, trong đó B1 Ax sao cho AB1=1,

C1 Ay sao cho AC1=1. Vậy tập hợp có thể là đờng trịn đi qua A, B1, C1.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

c) Dựa vào xác định số giao điểm của tập hợp những điểm có tính chất đặc tr ng với
hình cố định nào đó:



Trên một đờng thẳng cố định có hai điểm của tập hợp và nếu đờng thẳng đó
khơng thuộc tập hợp những điểm trên thì nói chung nó thuộc loại đờng trịn. Đặc
biệt nó có thể là hai đờng thẳng đi qua hai điểm ấy.

* Ví dụ4:Tìm tập hợp những điểm M sao cho MA2 + MB2 = k2 trong đó A, B cố

định cịn k là độ dài cho trớc.

Dự đốn: Ta thấy trên đờng thẳng AB có hai điểm thuộc tập hợp trên và
những điểm còn lại trên đờng thẳng AB khơng thuộc tập hợp phải tìm. Do đó tập
hợp đang xét thuộc loại tròn hoặc hai đờng thẳng đi qua hai điểm nói trên.

* Ví dụ5: Cho 3 điểm A, B, C cố định khơng thẳng hàng. Tìm tập hợp những

điểm M sao cho khoảng cách từ B đến AM bằng khoảng cách từ C đến AM.

Dự đoán: Ta thấy A và trung điểm I của BC thuộc tập hợp này. Vậy tập hợp
đang xét có thể là hai đờng thẳng đi qua hai điểm này.



Nếu trên đờng thẳng cố định chỉ có một điểm thuộc trờng hợp đang xét thì tập
hợp đó nói chung thuộc loại thẳng hoặc cung trịn.

* Ví dụ6:Tìm tập hợp những điểm M sao cho MA2 - MB2 = k2 trong đó A, B cố

định và k là độ dài cho trớc.

Dự đốn: Ta thấy có một điểm M thuộc đờng thẳng AM có MA2 - MB2 = k2

do đó tập hợp điểm này có thể thuộc loại thẳng.

c)Dựa vào tính đối xứng ( trục, tâm ) của tập hợp những điểm đặc trng

- Thuộc loại thẳng mà có trục đối xứng thì nó vng góc với trục đối xứng.
- Thuộc loại trịn mà có trục đối xứng thì tâm của nó nằm trên trục đối xứng.

* Ví dụ7: Tìm tập hợp những điểm M sao cho MA2 + MB2 = k2 trong đó A, B

cố định cịn k là độ dài cho trớc.

Dự đốn: Dễ thấy tập hợp này có 2 trục đối xứng: đthẳng AB và đờng trung
trực của AB . Do đó quỹ tích có thể là đtrịn ( giao 2 trc xng l tõm )

e)Dựa vào các phần tử v« tËn.

Có một điểm vơ tận thì tập hợp thể là đờng thẳng hay nửa đờng thẳng

* Ví dụ8: Cho góc xOy . Trong góc xOy có một tam giác đều biến thiên mà một

đỉnh là điểm A cố định nằm trên Oy còn đỉnh thứ hai B di động trên Ox. Tìm tập
hợp đỉnh thứ ba C.

Dự đốn: Vì B chạy trên Ox nên B có thể là điểm vơ tận, khi đó C cũng là
điểm vơ tận. Vậy tập hợp có thể là đờng thẳng hay nửa đờng thẳng.

Khơng có điểm vơ tận thì tập hợp có thể thuộc loại trịn hay đoạn thẳng.
Nếu đờng thẳng tập hợp có chung với một đờng thẳng cố định Δ một điểm
vơ tận thì nó song song với Δ

* Ví dụ9: Tìm tập hợp trung điểm của đoạn thẳng AM trong đó A cố định M di

động trên một đờng thẳng cho trớc Δ ( không đi qua A )

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

0
I

A B



Chú ý: Thơng thờng để dự đốn chi tiết một tập hợp cho bởi một tính chất đặc
trng của mỗi điểm, ngời ta phối hợp các phơng pháp trên với nhau.

* Ví dụ10 Tìm tập hợp những điểm M sao cho MA2 + MB2 = k2 trong đố A, B là

những điểm cố định và k là độ dài cho trớc.
Dự đốn: Hình F khơng có điểm vơ tận.

Hình F giao với đờng thẳng AB tại hai điểm.
Hình F có trục đối xứng là đờng thẳng AB.

Hình F có trục đối xứng là đờng trung trực của AB.
Hình F có tâm đối xứng là trung điểm của AB.

⇒ Vậy hình F là đờng tròn tâm là trung điểm của đoạn thẳng AB

6. Các bớc giải bài toán quỹ tích:

*)B c 1:Phõn tích đề bài : Đọc kỹ đầu bài , phân biệt các yếu tố cố định, các yếu
tố không đổi( số đo góc, số đo cung, độ dài đoạn thẳng... ), các yếu tố thay
đổi( đặc biệt là các điểm mà ta cần tìm tập hợp).

*)B ớc 2: Dự đốn quỹ tích: Dự đốn tập hợp là gì ? Khi tìm các vị trí của điểm
mà ta cần xét tập hợp , nên xét thêm một số trờng hợp riêng gọi là trờng hợp giới
hạn vì việc này khơng những làm cho việc tìm các vị trí đợc đơn giản mà cịn có
tác dụng quan trọng là cho cho biết điểm cần xét có thể thay đổi trong giới hạn
nào.

*)B ớc 3: Chứng minh mệnh đề thuận: Sau khi dự đoán tập hợp có thể là hình gì ?
Cần liên hệ đến các tập hợp cơ bản đã học để nối điểm mà ta cần tìm tập hợp vào
những yếu tố thích hợp rồi tìm cách chứng minh mệnh đề thuận. Cần chú ý vẽ hình
trong trờng hợp tổng quát và nêu giới hạn ( nếu có ) của sự thay đổi của điểm mà ta
cần tìm tập hợp.

*)B ớc 4: Chứng minh mệnh đề đảo: Sau khi chứng minh mệnh đề thuận , cần
chứng minh mệnh đề đảo. Cần chú ý chứng minh trong trờng hợp tổng quát. Thông
thờng ngời ta lấy M’ F rồi dựng cho M’thoả mãn gần hết tính chất α sau đó
chứng minh nó thoả mãn tính chất cịn lại.

*)B íc 5: KÕt luËn:

Trớc khi kết luận quỹ tích là hình gì, đối với một số bài tốn cũng cần biện luận.
Ta thờng biện luận khi việc chứng minh chỉ thực hiện trong một trờng hợp
khơng có khả năng đại diện cho tất cả các trờng hợp, hoặc khi điều kiện thay thế

không tơng đơng với điều kiện ban đầu, hoặc khi tích chất  của điểm M đợc cho
một cách tổng quát bao gồm nhiều trờng hợp riêng.

Trong bài làm của học sinh, chỉ yêu cầu trình bày hai bớc: chứng minh thuận
đảo và kết luận.



Chó ý: Trong bµi lµm học sinh chỉ cần trình bày các bớc 3;4;5.

* Ví dụ: Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB. M là điểm thay đổi trên nửa
đờng tròn này. Kẻ MH AB . Trên tia OM lấy điểm N sao cho ON= MH. Tìm tập
hợp điểm N khi M thay đổi trên nửa đờng trịn này.

Gi¶i:
*)Thn.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

⇒ OI AB

mµ MH AB (gt) ⇒ MH // OI
Ta cã : OI= OM (bkÝnh)

O1= M ( s.l.trong)

ON= MH (gt )

⇒ Δ ONI= Δ MHO ⇒ N= H= 1v
vậy ONH= 1v => O,I cố định ⇒ N ( O; OI

2 )

*) Đảo: Lấy N ( O; OI

2 ). ONcắt (O) tại M.

Kẻ MH AB. CÇn cminh ON’= M’H’
Ta cã OI= OM’=R (1)

OI AB

M’H’ AB ⇒ OI // M’H’ ⇒ O2=M (2)

N’ ( J, IO2 ) ⇒ N’= 1v ; H’= 1v (3)
Tõ (1); (2); (3)

⇒ Δ N’OI= Δ HM’O (c.huyÒn- g.nhän) ⇒ ON’= M’H’

7. Chó ý.



Chú ý 1 : Khi làm một bài tốn tìm tập hợp điểm nếu có những phần tính tốn
chung cho cả hai phần ( thuận và đảo ) thì tiến hành trớc đi đã, sau đó mới tách
riêng hai phần (thuận, đảo ) để tránh sự lặp lại .



Chú ý 2 : Khi đa một bài tốn tìm tập hợp những điểm M có tính chất α về 
tr-ờng hợp tìm tập hợp những điểm M có tính chất β mà tính chất β này là một
tính chất đặc trng cơ bản thì việc chứng minh thuận và đảo có thể tiến hành nh
sau.

+ Thuận: Giả sử M( α ) trong đó tính chất α của bài tốn, thì M( β )
trong đó β là tính chất đặc trng cơ bản.

+ Đảo ta chứng minh rằng nếu M( β ) thì M( α ) . Và kết luận tập hợp cơ

bản đã biết là tập hợp của bài toán. Nh vậy trong trờng hợp này việc chứng minh
đảo chỉ cần tiến hành từ tập hợp có tính chất để là tập cơ bản trở đi.

* VÝ dô1

Cho 2 điểm cố định A và B. Tìm tập hợp tâm đờng trịn đi qua hai điểm cố định
đó.

+ ThuËn: A (O;R) ⇒ OA= R
B (O;R) ⇒ OB= R

⇒ OA= OB ⇒ O Δ ( Trung trực của đoạn AB )
+ Đảo: Lấy O Δ ⇒ O’A= O’B ⇒ A, B (O’; O’A)

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

B
A

M
B

A
O

*)ThuËn: M( α ) M F

Hạn chế: Tìm F F sao cho M F’ th× M( α ) ⇒ M F
 *)Đảo : M F M( )



Chú ý 4: Tập hợp phải tìm có thể là hữa hạn điểm( thậm chí ỉ, 1 điểm) có thể là
vơ hạn điểm ( đờng thẳng, đoạn thẳng, tia, đờng trịn, cung trịn, có thể là một
phần mặt phẳng bị giới hạn những đờng trên).

* VÝ dô 2:

+ Tập hợp ỉ : Cho hai điểm A, B, tìm những điểm M sao cho tam giác ABM vừa
đều, vừa vuông .

+ Tập hợp chỉ có 1 điểm: Cho ABC tìm điểm M tong tam giác sao cho

SMAB= SMBC= SMCA

+ Tập hợp gồm các tia và cung tròn: Cho tam giác cân. Tìm những điểm nhìn hai
cạnh bên nh÷ng gãc b»ng nhau.



Chú ý 5: ở những bài tìm tập hợp có chứa tham số hoặc vị trí tơng đối của các
điểm và đờng trong đầu bài có nhiều khả năng xảy ra mà cách giải ở mỗi trờng
hợp là khác nhau thì khi giải chúng ta phải xét tất cả các trờng hợp có thể xảy ra.

8. C¸c vÝ dơ:

a. Ví dụ về quỹ tích điểm là đờng trung trực:

* Tãm t¾t lý thuyÕt:

Tập hợp các điểm cách đều hai
điểm phân biệt A, B cố định là đờng
trung trực của đoạn thẳng AB.

Gọi tắt tập hợp điểm cơ bản này là
đờng trung trực

Ví dụ: Cho góc xOy cố định, A là điểm cố định trên tia Ox, B là điểm
chuyển động trên tia Oy. Tìm tập hợp những điểm M của AB.

Híng dÉn

a) Phần thuận:

OAB có AOB900,

OM là trung tuyÕn nªn 2

AB

MO MA MB  

.
MO = MA và O, A cố định.

do đó M thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng OA.
b) Giới hạn:

- Khi B trïng O th× M trùng M1, (M1 là trung điểm của OA).

- Khi B chạy xa vô tận trên tia Oy thì M chạy xa vơ tận trên tia M1z thuộc ng

trung trực của đoạn thẳng OA.

- Vy M chuyển động trên tia M1z của đờng trung trực của đoạn thẳng OA nằm

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

z
M

C1
K

H
C
B

O
y

c) Phần đảo:

LÊy M bÊt kú thuéc tia M1z, AM cắt tia Oy tại B.

M thuc đờng trung trực của đoạn thẳng OA  MO MA  MAO MOA (1)
Mặt khác: tam giác OAB cóAOB900 nên:

OBM MAO  900 (2)

Vµ BOM MOA 900 (3)
Tõ (1), (2), (3) suy ra: OBM BOM  MO MB

MO MA MO MB ,   MA MB do đó M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

d) Kết luận: Tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB là tia M1z thuc ng

trung trực của đoạn thẳng OA và thc miỊn trong cđa gãc xOy.

VÝ dơ t¬ng tù: Cho hình chữ nhật ABCD. Một góc vng xAy quay quanh A
có hai cạnh cắt CB, CD lần lượt tại E, F. Dựng hình chữ nhật AENF. Tìm quỹ tích

tâm M của hình chữ nhật này.

b. VÝ dô về quỹ tích điểm là tia phân giác
* Tóm tắt lý thuyết:- Định

lý :

Tập hợp các điểm M nằm trong
góc xOy, khác góc bẹt và cách đều
hai cạnh của góc xOy là tia phân giác
của góc xOy.

Gọi tắt tập hợp điểm cơ bản này là
tia phân giác.

- H quả : Tập hợp các điểm M cách

đều hai đờng thẳng cắt nhau xOx’ và
yOy’ là bốn tia phân giác của bốn góc
tạo thành, bốn tia này tạo thành hai
đ-ờng thẳng vng góc với nhau tại O.

Ví dụ: Cho một góc vng xOy, trên tia Ox có điểm A cố định. B là điểm
chuyển động trên tia Oy. Tìm tập hợp các điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân
tại C.

Híng dÉn:

a) PhÇn thn:

VÏ CH Ox H Ox CK(  ), Oy k Oy(  ).
XÐt CAH AHC( 90 )0 vµ CBK BKC( 90 )0
Ta có: CA=BC (ABC vuông cân tại C)

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

d'
O
H
d
2cm
2cm
y
x

 CH CK

CH CK và góc xOy cố định, do đó C thuộc tia phân giác Oz của góc vng xOy.
b) Giới hạn :

- Khi B trïng víi O thì C trùng với C1; C1 thuộc tia phân giác Oz và C OA1 vuông

cân tại C1.

- Khi B chạy xa vơ tận trên tia Oy thì C chạy xa vô tận trên tia Oz
Vậy C chuyển động trên tia C1z của tia phân giác Oz của góc xOy.

c) Phần đảo : Lấy C bất kỳ thuộc tia C1z.

Vẽ đờng thẳng vng góc với CA tại C cắt tia Oy tại B.

VÏ CH Ox H Ox CK(  ), Oy K Oy(  ), ta cã: CH CK KCH, 900.
XÐt CAH vµ CBK ta cã:

 
 
0
90
( . . )
CHA BKC

CH CK CAH CBK g c g

ACH BCK

 


   

 

Suy ra CA = CB. ABC vu«ng tại C có CA = CB ABC vuông cân t¹i C.

d) Kết luận : Tập hợp các điểm C là tia C1z của tia phân giác Oz của góc xOy.

* Ví dụ tơng tự : Cho hai đờng thẳng cắt nhau tại điểm A. Tìm tập hợp
tâm các đờng trịn tiếp xúc với hai đờng thẳng đó.

c. Ví dụ về quỹ tích điểm là hai đờng thẳng song song:

* Tãm t¾t lý thuyết:

Định lý :

Tp hp cỏc im M cách một đờng
thẳng d cho trớc một khoảng bằng a (a
> 0) cho trớc là hai đờng thẳng song
song với đờng thẳng đã cho và cách
đ-ờng thẳng đó một khoảng bằng a.

Gäi t¾t tËp hợp điểm cơ bản này là

hai ng thng song song. M

M
b'

d
b
a
a

* Ví dụ: : Cho một đờng thẳng xy. Tìm tập hợp tâm của các đờng trịn có
bán kính 2cm và tiếp xúc với đờng thẳng xy.

a) PhÇn thuËn:

Gọi O là tâm của đờng trịn bán kính 2cm
tiếp xúc với đờng thẳng xy. Ta có khoảng cách
từ O đến xy ln bằng 2cm. Do đó O thuộc hai
đờng thẳng d và d’ song song với xy và cách xy

mét kho¶ng b»ng 2cm.

b) Giới hạn: O là điểm tùy ý trên hai đờng thẳng d và d’ đều vẽ đợc đờng tròn

(O;2cm) tiếp xúc với đờng thẳng xy.
c) Phần đảo:

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

O
I

VÏ OH xy H( xy), ta cã: OH = 2cm.

Vẽ đờng tròn (O ;OH). Đờng trịn (O ;OH) có bán kính 2cm và tiếp xúc với đờng
thẳng xy.

d) KÕt luËn :

Tập hợp các tâm O của các đờng tròn tiếp xúc với đờng thẳng xy là hai đờng
thẳng d và d’ song song với xy và cách xy một khoảng bằng 2cm.

* Bµi tËp t¬ng tù : Cho nửa đường trịn (O; R), đường kính CD. Từ một điểm A
di động trên tia đối của tia DC, kẻ một tia AI là tiếp tuyến của (O). Trên tia AI lấy
điểm M sao cho AM = AO. Tìm quỹ tích các điểm M.

d. Ví dụ về quỹ tích điểm là đờng trịn
* Tóm tt lý thuyt:

Định lý :

Tập hợp các điểm M cách
điểm O cho trớc một khoảng
không đổi (r > 0) là đờng tròn
tâm O bán kính r.

Gọi tắt tập hợp điểm cơ bản
này là ‘‘đờng trịn’’

O
M

* Ví dụ: Cho đờng (O; R); A là điểm cố định nằm trong đờng tròn, B là điểm
chuyển động trên đờng tròn. Tìm tập hợp các trung điểm M của AB.

Híng dÉn:

a) PhÇn thuËn:

Gọi I là trung điểm của OA, suy ra I cố định.

XÐt ABO ta cã:

MA MB
IA IO

 



  MI là đờng

trung b×nh cđa tam gi¸c ABO 2 2

OB R
MI

  
2
R
MI 

(khơng đổi) và I cố định nên M thuộc đờng tròn

;
2
R
I
 
 
 
b) Giíi h¹n:

B chuyển động trên cả đờng tròn (O; R) nên M chuyển động trên cả đờng tròn

;
2
R
I
 
 
 

c) Phần đảo:

Lấy điểm M bất kỳ thuộc đờng tròn

;
2
R
I
 
 

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>



M
N
B
A
P
C
y
x
A
M
B
Q

Do M, I lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, AO của ABO  MI là đờng

trung b×nh cđa ABO 2 2. 2.2

OB R

MI OB MI R

      

B thuộc đờng tròn (O;
R).

d) Kết luận: Tập hợp các trung điểm M của AB là ng trũn

;
2
R
I

(với I là trung
điểm cña OA).

* Bài tập tơng tự : Cho đờng ( O ) và một dây AB cố định. Mlà một điểm tuỳ ý
trên cung nhỏ AB .Gọi K là trung điểm của đoạn MB. Từ K hạ đờng KP MA.
Tìm tập hợp P khi M di chuyển trên cung nhỏ AB đã cho.

e. VÝ dụ về quỹ tích điểm là cung chứa góc:
* Tóm tắt lý thuyết:

Định lý :

Tập hợp các điểm M tạo thành với hai mút
của đoạn thẳng AB cho trớc một góc AMB có
số đo khơng đổi (00  180 )0 là hai cung
tròn đối xứng nhau qua AB.

Gäi t¾t tập hợp điểm cơ bản này là cung
chứa góc.

Chú ý : Khi 900, tập hợp các điểm M là
đ-ờng tròn đđ-ờng kính AB.

* Ví dụ : Cho góc xAy. Điểm B, C lần lợt thay đổi trên Ax, Ay sao cho AB
+ AC = 1. M là điểm thuộc đờng tròn ngoại tiếp Δ ABC và đờng thẳng AM // BC.
Tìm tập hợp M

Gi¶i
*) Thn

Trên Ax, Ay lấy P, Q sao cho AP = AQ =1.
Ta có Tgiác ACBM- hìnhthang (AM//BC)
và nội tiếpđờng trịn nên nó là hình thang cân.

⇒ MAC = BMA (1)
vµ AC =MB. Nhng
AB+ AC =1

AB+ BP = 1 ⇒ AC=BP

Tõ (1), (2), (3) suy ra

AMB+ BMP+AQP= MAQ +APQ+ APM ⇒ AMP+ AQP= MAQ+ MPQ
Mµ AMP+ AQP+ MAQ+ MPQ= 3600 ( tæng 4 gãc trong tứ giác lồi)

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

M đtròn ngoại Δ AQP.

Mặt khác M nằm ngồi góc xAy vậy M thuộc PAQ của đờng tròn ngoại ΔAQP.
 *) Đảo

LÊy M PAQ; B AP sao cho BMP = APM; đtròn ngoại AMB AQ=C
ta chứng minh BC // AM vµ AB+ AC =1.

M đtròn ngoại APQ AMP + AQP= MAQ+ MPQ (= 2v)

Nhng BMP= BPM ( cdựng) và AQP = APQ ( vì AP = AQ ) nên MAQ = AMB
Mặt khác AMBC là tø gi¸c néi tiÕp ⇒ ACB = MBC ⇒ AC = MB ⇒

MAB= ABC

⇒ AM // BC AC = MB

Mặt khác BMP= BPM MB= BP nªn AC = BP
Nhng AB+ BP = 1 nªn AB+ AC =1 .
 *) KÕt luËn

Vậy quỹ tích điểm M là cung PAQ của đờng trịn ngoại ΔAQP.

* Bài tập tơng tự: Cho một đoạn thẳng cố định AB= 2a, a là độ dài đã biết
và cho hai nửa đờng thẳng Ax , By cùng vuông góc với AB và cùng ở một phía với
AB. Một điểm M chuyển động trên tia Ax và một điểm N chuyển động trên tia By

sao cho diện tích hình thang AMNB không đổi và bằng 2a2. Từ trung điểm O ca

AB dựng OP MN. Tìm tập hợp các điểm P.

Chơng Iii. Bài soạn mẫu

Tính chất tia phân giác của một góc (Hình học 7)

A. Mục tiêu:

* Kin thc: Học sinh hiểu nắm vững tính chất đặc trng tia phân giác của một góc,
* Kỹ năng: Học sinh biết vẽ tia phân giác của một góc. Bớc đầu vận dụng tính chất
trên để giải bài tập.

* Thái độ: Rèn tính cẩn thận, chính xác.

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Phơng pháp vấn đáp, đàm thoại, đan xen hoạt động nhóm.

C. ChuÈn bị:

* Giáo viên: Compa, thớc kẻ, bảng phụ, góc xOy b»ng giÊy, thíc kỴ 2 lỊ.
* Häc sinh: Compa, thíc kỴ, gãc xOy b»ng giÊy, thíc kỴ 2 lỊ.

D. TiÕn trình bài giảng:

Hot ng 1: n nh t chc:

Hot ng 2: Kiểm tra bài cũ:

Hoạt động của thầy Hoạt động của trò

Cho xOy:

- Tia Oz phải thỏa mãn những điều
kiện nào để trở thành tia phân giác của

xOy

 ?

- Vẽ tia phân giác Oz bằng thớc kẻ và
com pa?

Gv: Bằng thớc kẻ và com pa vẽ đợc tia
phân giác của góc. Vởy khi dùng thớc
2 lề có thể vẽ đợc tia phân giác của
một góc hay khơng?

- Häc sinh tr¶ lêi:
NÕu tia Oz:

+ Nằm giữa 2 tia Ox và Oy.
+ xOzzOy

Thì tia Oz là tia phân giác của xOy.
Vẽ h×nh:

Hs suy nghÜ

Hoạt động III: Định lý về tính chất các điểm thuộc tia phân giác:
a. Thực hành:

- Gv hớng dẫn học sinh thực hành.
- Với cách gấp hình nh vậy MH là gì?
- Yêu cầu học sinh đọc , thảo
luận ri tr li?

- Do điểm M tùy ý nên nếu lấy thêm
điểm M1; M2 M rồi gấp nh hớng dẫn

rút ra nhận xét gì?

- Tổng quát: Tất cả những điểm nằm
trên tia phân giác của một góc thì có
tính chất nh thế nào?

- Yờu cu 2 học sinh đọc lại nội dung
định lý?

- Yêu cầu học sinh vẽ hình, ghi gt; kl
của định lý?

- Học sinh đọc phần thực hành (SGK/68).
- Học sinh quan sát Hình 28; hình 29 rồi
làm theo.

- MH Ox MH; Oy nên Mh là khoảng
cách từ M tới Ox vµ Oy.

- Khi gấp khoảng cách từ M đến Ox, Oy
là trùng nhau do đó khi mở hình ra thì
khoảng cách từ M đến Ox, Oy là bng
nhau.

- Học sinh thực hành.

- Học sinh trả lời: khoảng cách từ M1, M2

tới Ox, Oy bằng nhau.

- Hs trả lời: Định lý 1 (định lý thuận)
SGK/68

- 2 Hs đọc lại định lý SGK

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

- §Ĩ chøng minh MA = MB ta lµm nh
thÕ nµo?

- HÃy chứng minh; MOAMOB?
- Gv treo bảng phụ phần chứng minh?
(SGK/69).

- Điều ngợc lại của định lý 1 có đúng
không?

GT ;

; ;

xOy xOz zOy

M Oz MA Ox MB Oy

  

  

KL MA = MB

- HS: Ta g¾n vào 2 cạnh của 2 tam giác
bằng nhau. Cụ thÓ: MOAMOB
- Hs chøng minh

- Hs nhËn xÐt.

- Hs suy nghĩ

Hot ng IV: nh lý o

- Gv nêu bài toán SGK/ 69 và vẽ hình
lên bảng?

- Bài toán cho ta biết điều gì? Hỏi điều
gì?

- OM có là tia phân giác của xOy
không?

- Gv yêu cầu hs th¶o ln nhãm råi tr¶
lêi?

GV: Đó chính là nội dung nh lý 2

Hs trả lời: - Điểm M n»m trong xOy
+ MA = MB

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

(Định lý đảo của định lý 1). Yêu cầu
học sinh đọc nội dung định lý 2
(SGK/69)

- Yêu cầu vẽ hình, ghi gt, kl của định
lý?

- Yêu cầu Hs thảo luận nhóm để chứng
minh định lý?

- Gv treo b¶ng phơ: Phần chứng minh
và thang điểm.

Bảng phụ:

Xét MOAvà MOB có:
0

90 ( )
( )

A B gt

MA MB gt
OMchung

  

 



Do đó MOAMOB (Cạnh huyền – 
Cạnh góc vng) (6đ)

1 2

O O

   (2 góc tơng ứng) (2đ)
=> OM là tia phân giác của xOy(2đ)
- Gv nhấn mạnh định lý 1 là định lý
thuận, định lý 2 là định lý đảo. Từ 2
định lý này cho ta biết điều gì?
- Gv giới thiệu tập hợp các điểm đó
cịn đợc gọi là quỹ tích tia phân giác
của góc.

- Hs đọc định lý

2
1

O
x
y
A
B
M

GT M n»m trong xOy

; ;

MA Ox MB Oy MA MB

KL O1O2

- Hs tiếp tục thảo luận nhóm để chứng
minh định lý, trình bày ra phiếu học tập.
- Các nhóm trao đổi phiếu để kiểm tra,
chấm điểm.

- Học sinh nhắc lại định lý 1; định lý 2?
- Học sinh: “Tập hợp các điểm nằm bên
trong của góc và cách đều hai cạnh của
góc là tia phân giác của góc đó”.

Hoạt động V: Củng cố:

Bµi 31 (SGK/70)

- Gv hớng dẫn học sinh thực hành.

- Tại sao khi dùng thớc 2 lề nh vậy OM
lại là tia phân giác của xOy?

- Hc sinh c bi.

- Học sinh thực hành cùng giáo viên.
- Học sinh chứng minh.

- Trả lời câu hỏi khi vào bài

Hot ng VI: HDVN

- Häc bµi; lµm bµi 32; 33/70 SGK.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

sinh

Chơng IV. Kết quả thực hiện
1.

Với học sinh

- Khi cha áp dụng cách ôn tập nh trình bày ở trên tơi nhận thấy nhiều học sinh cịn
bế tắc, nhìn nhận và định hớng giải cha đúng. Trong bài kiểm tra các em còn bỏ lại
ý tìm quỹ tích, một vài em có định hớng đúng thì làm thiếu bớc, kỹ năng hạn chế,
khơng biết mình làm đúng hay sai.

- Sau khi áp dụng đề tài các nhợc điểm nêu trên của học sinh đã giảm rất nhiều.
Tỷ lệ học sinh hiểu bài, làm bài đợc tăng lên rõ rệt, các em hứng thú và tích cực
học hơn.

2.

Bµi häc kinh nghiƯm

.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

PhÇn iii- KÕt ln

- Giáo viên cần hệ thống , phân loại bài tập thành từng dạng . Mỗi dạng hình
thành phơng pháp giải và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh. Giáo viên cần
xây dựng từ kiến thức cũ đến kiến thức mới, từ cụ thể đến tổng quát , từ đơn giản
đến phức tạp , đẩm bảo phù hợp với trình độ nhận thức chung của học sinh. Giáo
viên cần chú trọng phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh. Từ đó các em có
khả năng nhìn nhận bao qt, tồn diện , định hớng giải toán đúng đắn và nắm kiến
thức sâu sắc. Làm đợc nh vậy chúng ta đã góp phần nâng cao chất lợng giáo dục
trong nhà trờngTHCS.

- Bài viết này chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế nhất định , tơi rất
mong sự góp ý chân thành của các đồng nghiệp .

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Ngày 25 tháng 12 năm 2010 
 Ngêi viÕt

Hoàng Ngọc Quý

Tài liệu tham khảo

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

2/ Toán nâng cao và các chuyên đề hình học 8 - Nguyễn Ngọc Đạm, Vũ D ơng
Thuỵ.

3/ Tốn nâng cao và các chun đề hình học 7 - Nguyễn Ngọc Đạm, Vũ D ơng
Thuỵ.

4/ To¸n båi dìng học sinh giỏi 9 - Vũ Hữu Bình, Tôn Thân.
5/ Sách giáo khoa toán 7; 8; 9; - Nhà Nhà xuất bản giáo dục.
6/ Sách giáo viên toán 7; 8; 9 - Nhà xuất bản giáo dục.

7/ Sách bài tập toán 7; 8; 9 - Nhà xuất bản giáo dôc.

</div>