bai tap lop 9 co ban

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (411.83 KB, 36 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Ôn Thi vào THPT

A-Phn i s 
I-Cn Bc hai -bậc ba

A- LÝ thuyÕt ( Đề cơng ôn tập)

B-

Bài tập

Bài 1: Không dùng máy tính hÃy so sánh

a, 2

và 10 -3

√26

vµ 15 -3

√11

vµ -12

2

√5

vµ 5

√2

√

5√3 va

√

3√5

3❑

√2

.3 vµ

332

(căn bậc

3)

b,

3 7315

và 15 1 vµ

3 3 1

337 315

vµ 2 14 vµ

313. 153

c,

3+

và 6+

3 2

2

3 236

và 3+

35
Bài 2: Biểu thức sau đây xác định với giá trị nào của x

A=

√2− x

B=

√−7x

C=

√4x+12

D=

√

3x2+1

E=

√

4x2−1

F=

√

x2−2x+1

G=

√

2x2+4x+5

H=

√−5x −10

I=

√

− x −−57

J=

√

−5x

− x −7

K=

√

2x − x2

M=

√

x2−4

N=

√

x −2

x −3

P=

√

x −

√

x2

−4x+4

Q=

√

x2+2x+4

R=

√

x2−3

U=

√

x+
3

x+√−3x

Bµi 3a,

Cho A=

6 2 5

vµ B=

6 2 5

TÝnh

A+B ;A-B ; A.B; A:B

3b,

Cho C=

√

36+10√11

vµ D=

√

36−10√11

TÝnh

C+D;C-D ; C.D ; C:D

Bµi 4 Thùc hiƯn phÐp tÝnh

A=

3√2−4−
2

3√2+4

B=

1
1+√34+

√34+√67+
1

√67+√100

C=

√5−√3

√5+√3+¿

√5+√3

√5−√3

D= (

√12+3√15−4√135¿.√3

E=

(√252−√700+√1008)√448

F=2

√

40√12−2

√√

75−3

√

5√48

H=

√

√

5+2√3

.

√

3−

√

5+2√3

G=(15

√50+5√200−3√450¿:√10

I=

(

√

4+√15)(√10−√6)(

√

4−√15)

J=(

3+23

3+2 +
2+2

2+1:(1:
1

2+3)

Bài 5:

Rút gọn các biểu thức sau

A=

√

9−4√5

-

❑

√5

B=

√

23−8√7

-

√7

C=

2+√3

√

4+2√3

+

2−√3

2−

√

4−2√3

D=

√

3+√5−

√

3−√5−√2

E=

√

4−√7−

√

4+√7−√7

F=

√

6,5+√12+

√

6,5−√12+2√6

G=

√

7−√24+1−

√

7+√24−1

H=

√

4+√15+¿

√

4−√15

-2

√

3−√5

I= 4

√

3+2√2−

√

57+40√2

J=

√

3−2√2−

√

6+4√2

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bµi 7:

Rót gän biĨu thøc

a, x-4-

√

16−8x2+x4

víi x>4 d,

√

a2+6a+9+

√

a2−6a+9

víi a bÊt k×

b,

√

x −2√x+1

x+2√x+1

víi x

e,

√

a+2√a −1

+

√

a −2√a −1

víi

1≤ a ≤2

c,

√a+√b

√a −√b−

√a −√b

√a+√b

víi a

0;b ≥0;a ≠b

g,

a − b

√a −√b−

√

a3−

√

b3

a −b

víi a

0;b ≥0;a ≠b

h,Tìm đk xác định của biểu thức sau đây rồi rút gọn

H

=

√

x+4√x −4+

√

x −4√x −4

H

=

√

x −

√

x2−4x+4

Bài 8:

Chứng minh đẳng thức

a,

√a+√b
a − b ¿

2=1

(

√

a
3

√

b3

√a+√b −√ab).¿

víi mäi a>0 ; b>0 ; a

b

b,

a+b −2√ab

√a−√b :
1

√a+√b=a −b

víi mäi a>0 ; b>0 ; a

b

c, (2+

2−
a−√a

√a −1¿.¿

a+√a

√a+1¿=4−a

víi mäi a>0 ; a

1 d,

√

x+12+6√x+3

-

√

x+12−6√x+3

=6 víi mäi x

6 e, (

√a+2

a+2√a+1−

√a −2
a −1 ¿.

√a+1

√a =
2

a−1

víi mäi a>0 ; a

1 f, (

1− a¿2

1− a√a

1−√a +√a¿.(

1+a√a

1+√a −√a)=¿

víi mäi a

0 ; a

1 g,

4 neu 2≤ x ≤6
¿

2√x −2 neux>6

x 4x 2+2+

x+4x 2+2=

Bài 9:

Tìm gía trị lớn nhất hoặc nhá nhÊt cđa biĨu thøc sau

A=

x

- 4x +1 B=4x

+4x+11

C=3x

-6x+1 D=2+x-x

E=x

-2x+y

-4y+6 F= x

-2xy +3y

-2x-10y +20

H=x (x+1) (x+2) (x+3) G=

x2−6x+17

Bµi 10 Cho biÓu thøc sau

10.1 A=

√

x −2√2

√

x2−4x

√2+8

-√

x+2√2

√

x2+4x

√2+8
a,Rút gọn A

b,Tính gía trị của A tại x=3 ( KQ: A=...=2)
10.2 B=( 1

√1+x+√1− x¿:(

√

1− x2+1) víi -1<x<1
a,Rót gän B

bTÝnh gÝa trị của B tại x=4 25 ( KQ: B= √1− x =....=2- √2 )

10.3 C= x+5−5√x −1

x −1−3√x −1 víi x 1; x ≠10

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

b,Tìm x để C<3 (đúng với mọi x ; x 1; x ≠10 )
10.4 D= √x+1

√x −2+
2√x

√x+2+

1+5√x

4− x víi mäi x 0; x ≠4 )

a,Rút gọn D
b,Tìm x để D=2

10.5 § =( x+2

x√x −1+

√x
x+√x+1+

1
1−√x¿:(

√x −1

2 )

a,Rút gọn Đ ( KQ:Đ= 2
x+√x+1 )
b, C/m rằng Đ >0 với mọi đk của x để Đ có nghĩa

10.6 E= ( 1

√x
-1

√x −1 ) : (

√x+2

√x −1−

√x+1

√x −2¿

( víi x>0 ;x

1 vµ x

4)

1; Rót gän E

2; Tìm x để E=0

10.7 F= 15√x −11

x+2√x −3−+

3√x −2
1−√x −

2√x+3

3+√x

a,Rót gän F ( KQ:F= 2−5√x

√x+3 )
bTìm gía trị của x để F=0,5 ( x=1/121)

c, Tìm x để F nhận giá trị lớn nhất .Tìm giá trị lớn nhất đó (EMAX=2/3<=>x=0)

10.8 G= x
2

−√x
x+√x+1−

2x+√x

√x +

2(x −1)

√x −1

a,Rút gọn G
b, Tìm x để G nhận giá trị nhỏ nhất .Tìm giá trị đó

10.9 H= 12− x −√x

√x+4

,Rút gọn H ( KQ: H=3- √x 3 vì... 
bTìm x để H có giá trị lớn nhất .Tìm giá trị lớn nhất đó

10.10

I= ( √x+2
x+2√x+1−

√x −2
x −1 ).

√x+1

√x víi x>0;

x

1

a,Rút gọn I ( KQ : I = 2
x −1 )
bTính gía trị nguyên của x để I có giá trị nguyên

10.11 J = 3x+√9x −3

x+√x −2 −

√x+1

√x+2+

√x+2

1−√x (víi mäi x 0; x ≠1 ).

a,Rót gän J ( KQ J = √x −3

√x −1

bTính gía trị ngun của x để J có giá trị nguyên ( x=0;4;9)
10.12 K= 2√x −9

x −5√x+6+

2√x+1

√x −3 +

√x+3

2−√x

a,Rót gän K ( KQ:K= √x+1

√x −3
bTính gía trị nguyên của x để K có giá trị nguyên ( x=1;16;25;49)
10.13 M = x+2

x√x −1+

√x+1
x+√x+1−

1−√x

a,Rót gän M
bTÝnh gÝa trÞ cđa M nÕu x=28-6 √3 ( M= √x

x+√x+1 =...=

3√3−1

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

c, C/m r»ng M < 1

3 (xÐt hiƯu vµ c/m hiÖu <0)
10.14 N =1+( 2x+√x −1

1− x −

2x√x −√x+x
1− x√x ¿.

x −√x
2√x −1
a,Rót gän N

b, C/m N > 2
3
c,T×m x biÕt N= √6

1+√6

10.15 P= 2√x

√x+3+

√x

√x −3−

3(√x+3)
x −9 ¿:(

2√x −2

√x −3 −1) víi mäi x 0; x ≠9 )
a,Rót gän P

b,Tìm x để P<-1 (KQ: 3(√x −3)

√x+3 <−1 <=>....

4(√x −6)

√x+3 <0 ...)

c,Tìm x đẻ P có giá trị nhỏ nhất
10.16 Q= x

2
+√x
x −√x+1−

2x+√x

√x +1

a,Rót gän Q
b,BiÕt x>1so sánh Q và / Q/

c,Tìm x đẻ Q=2

d

,Tìm x đẻ Q có giá trị nhỏ nhất

Hµm sè y=a x+b (a 0) hƯ phơng trình

Bài 1: Cho hàm số y=f(x)=(3-a) x+8

a, Vi giỏ trị nào của a thì hàm số là hàm số bậc nhất
b,Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên R ?
c, Với giá trị nào của a thì hàm số nghịch biến trên R ?

d,Nếu a=5 thì hàm số đồng biến hay nghịch biến ?
e, Tính f(-4); f(0); f(5)

Bµi 2: Cho hµm sè y= k x+(k2-3) (d)

a, Tìm k để đờng thẳng (d) đi qua gốc toạ độ

b, Tìm k để đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng có phơng trình y=-2x+10

Bài 3: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình : y=k2x+(m+3),và đờng thẳng (d) có phơng trình : 
y=(3k-2)x+(5-m) .Xác định k và m để 2 đờng thẳng trùng nhau

Bµi 4:Cho 2 hµm sè : y=(k-1) x+3 vµ y= (2k+1)x -4

a,Xác định k để 2 đờng thẳng cắt nhau

b, Xác định k để 2 đờng thẳng song song với nhau
c, Hai đờng thẳng có trùng nhau đợc khơng? Vì sao?

Bài 5: Cho 3 đờng thẳng: y=kx-2 (d1) ; y=4x +3 (d2) ; y=(k-1)x+4 (d3)
Tìm k để : a, (d1) song song với (d2) d, (d1) vuông góc với (d3)
b, (d1) song song với (d3) e, (d2) cắt (d3)

c, (d1) vu«ng gãc víi (d2)

Bài 6: Cho 2 hàm số : y=2 x+1 và y= 4-x . Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị 2 hàm số ?

Bài 7: Xác định hàm số y=a x+b biết

a, Đồ thị hàm số đi qua M(1;-1)và có hệ số góc là 2
b, Đồ thị hàm số đi qua A(4;3) và B(-2;6)

c, Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y=2-3x và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1
d,Xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng AB vi trc honh v trc tung

Bài 8:Cho 3 điểm: A(1;2) ; B(2;1) ; C(3 ;k)

a, Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B
b, Tìm k để 3 điểm A;B;C thẳng hàng

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

a,Tìm toạ độ giao điểm của (d1) và (d2)

b, Tìm k để 3 đờng thẳng đồng quy tại 1 điểm trong mặt phẳng toạ độ

Bài 10: a,Vẽ đồ thị của 3 hàm số sau trên cùng 1 hệ trục toạ độ : y=-x+5 (1) ; y=4x (2) ; y= 1
4 x (3)
b, Gọi giao điểm của đờng thẳng có phơng trình (1) với các đờng thẳng có phơng

trình (2) và (3) là A và B .Tìm toạ độ các điểm A và B
c, tam giác AOB là tam giác gì ? vì sao?

d, TÝnh S Δ ABO =?

Bµi 11: Cho hµm sè y=(m-1)x+m (1)

a) Xác định m để hàm số đồng biến , nghịch biến
b) Xác định m để đờng thẳng (1)

b1. Song song víi trơc hoµnh

b2 Song song với đờng thẳng có phơng trình x-2y=1
b3 Cắt trục hồnh tại điểm A có hồnh độ x=2- √3

2
c) C/m rằng đờng thẳng (1) luôn đi qua 1 điểm cố định khi m thay đổi

Bµi 12: Cho hµm sè y=(m-2)x+ n (1) (m;n lµ tham sè )

a) Xác định m;n để đờng thẳng (1)đi qua 2 điểm : A(1;-2); B(3;-4)

b) Xác định m;n để đờng thẳng (1) Cắt trục hoành tại điểm C có hồnh độ x=2+ √2 và Cắt

trục tung tại điểm D có tung độ y=1- √2

c) Xác định m;n để đờng thẳng (1)

c1 . Vng góc vớiđờng thẳng có phơng trình x-2y=3
c2 . Song song với đờng thẳng có phơng trình 3x+2y=1
c3 .Trùng với đờng thẳng có phơng trình y-2x+3 =0

Bµi 13: Cho hµm sè y=(2m-1)x+ n -2 (1)

a) Xác định m;n để đờng thẳng (1) Cắt trục hoành tại điểm có hồnh độ x= √3 và cắt trục

tung tại điểm có tung độ y=- √2

b) Xác định m;n để đờng thẳng (1)đi qua gốc toạ độ và vng góc với đờng thẳng cú phng

trình 2x-5y=1

Bài 14: Cho hệ phơng trình

¿
2x −ay=b
ax+by=1

¿{
¿
a) Gi¶i hƯ khi a=3 ; b=-2

b) Tìm a;b để hệ có nghiệm là (x;y)=( √2;√3¿
c) Tìm a;b h cú vụ s nghim

Bài 15: Cho hệ phơng trình

ax y=2

x+ay=3
{

a) Giải hệ khi a= 31

b) C/m r»ng hƯ lu«n cã nghiƯm víi mäi a

c) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x+y=<0
a) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x<0; y<0
d) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x>0; y>0

Bµi 16:Cho hệ phơng trình

ax2y=a
2x+y=a+1

{

a)Giải hệ khi a=-2

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài 17:Cho hệ phơng trình

2x+my=1
mx+2y=1

{

b) Giải và biện luận nghiệm cđa hƯ theo tham sè m

c) Tìm các số ngun m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x; y là các số nguyên
KQ:( Với m ±2 hệ có ng duy nhất: x=y= 1

m+2 ; x=y Z <=>1 m+2 <=>...

Bài 18:Cho hệ phơng trình

mx+4y=10 m
x+my=4

{

a) Giải và biện luận nghiệm của hệ theo tham số m

b)Tìm các số ngun m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x; y là các số nguyên dơng

KQ: (m ±2 hÖ cã ng : x= 8− m

m+2 ; y=
5
m+2 ;

x nguyên dơng<=>x N<=> 8 m

m+2 N<=>

(m+2)+10

m+2 =1+

m+2 N<=>10 m+2 ... )

Bài 19:Cho hệ phơng trình

(m1)x my=3m1
2x y=m+5

{

a)Giải và biện luận nghiệm cđa hƯ theo tham sè m

b)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà S=x2+y2 đạt giá
trị nhỏ nhất (min S=8 khi m=1)

Bµi 20:Cho hƯ phơng trình

(m+1)x+my=2m 1
mx y=m22

{

a)Giải hệ khi m=2

b)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà P=xy đạt giá trị
lớn nhất (max P= 1

4 khi m=
3
2 )

Bài 21:Cho hệ phơng trình

x+my=2
mx2y=1

{

a)Gi¶i hƯ khi a=2

b)Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x>0; y<0

c)Tìm các số ngun m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x; y là các số dơng
KQ: ( hệ có ng vơi mọi m : x= m+4

m2+2; y=

2m1

m2+2 ; ...)
Bài 22: Giải các hệ phơng trình sau

1
x+y

2
x y=2
5

x+y
4
x y=3
{

3√x −4√y=−8
2√x+√y=2

¿{
¿

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

3√x −2−4√y −2=3
2√x −2+√y −2=1

¿{
¿

(®k x;y 2 ) d)

√

2y −x+11+

√

2x+1
y −1 =2
x+y=5

¿{
¿

(®k y −1

2x+1>0 <=> . .. .

√

xy+

√

y
x=

5
2
x+y −5=0

¿{
¿

tơng tự câu c đặt ẩn phụ y −1

2x+1=t (t>0) Khi đó

2x+1
y 1=

1
t

Bài 23: Giải các hệ phơng trình sau ( Nâng cao)

)

x2+1=3y
y2

+1=3x
{

(Tr tng vế đợc pt tích ta có hệ

¿
x2+1=3y
(x − y)(x+y −3)=0

¿{
¿

<=>

¿x2+1=3y
x − y=0

¿
¿

¿
x2

+1=3y
¿
x+y −3=0

¿
¿
¿
¿
¿
¿
¿{

¿
b)

¿
x2+xy+y2=4

x+xy+y=2
¿{

(đặt x+y=u; xy=t ta có hệ 
¿
u2− t=4

u+t=2
¿{

cộng từng vế và giải đợc u;t

c)

¿
x+y=1
x5

+y5=31
¿{

( đặt x+y=u; xy=t ta có u=1; t2 -t-6=0 =>u=...

¿
x+y+xy=19
x2y

+y2x=84
¿{

( đặt x+y=u; xy=t ta có u và v lµ 2 nghiƯm cđa pt k2-19k+84=0

=> k1=7; k2=12 <=>

¿
xy=12

x+y=7
¿{

...

¿
x+y=4
x2+y2=10

¿{
¿

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

(x −1)(y −1)=18
x2+y2=65

¿{
¿

( từ (1) => xy-(x+y)=17 ta có hệ mới rồi đặt -(x+y)=u; xy=t

¿
x+y+xy=5
x2y+y2x=6

¿{
¿

t¬ng tù c©u d

¿
x+y=5
x

y+
y
x=

13
6
¿{

đk x; y 0

Bài 24:a) cho hệ ph /t

mx− y=3m−4
x2+y2=25

¿{
¿

Tìm m để hệ có nghiệm kép (kq; Δ =0=>m=- 3
4 )

b) Cho hÖ ph /t

¿
x+y=8
x

y+
y
x=m
¿{

Tìm m để hệ có nghiệm kép (kq: a=2=>(x;y)=(4;4)

Bµi 25: Cho hƯ ph /t

¿
2 xy+1=2m

x2

+y2=2m
¿{

Tìm m để hệ có 2 nghiệm phân biệt .Tìm nghiệm đó

( ®a vỊ d¹ng

x − y¿2=1
¿
2 xy=2m−1

¿
¿
¿

thì xảy ra 2 hệ rồi giải )

Bài 26: Cho hÖ ph /t

x(x+2y −4)+4k2=8+4y − y2

y2−2y+2=4x(y − x −1)+2k2+2k

¿{

Tìm k nguyên để hệ có nghiệm
Biến đổi từng phơng trình về dạng (a ± b ± c)2 =A , Hệ có ng <=> A 0

Bµi 27: Cho hƯ ph /t

¿
x − y=m
x2

+y2=1
¿{

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất . Tìm nghiệm đó

KQ; m= √2 th× hÖ cã nghiÖm ( 1

√2;−

√2 ); m=- √2 th× hƯ cã nghiƯm 
(-1

√2;
1

√2 )

Hµm sè y=a x2 (a 0)

Sự tơng giao của đồ thị hàm số y=ax2 và Y=a x+b

Bµi 1: Cho Parabol (P): y= 1

2 x2 và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=2x-2

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bµi 2: Cho Parabol (P): y= −1

4 x2 và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=x+m
a) Tìm m để đờng thẳng (d) và Parabol (P) có điểm chung duy nhất
b) Tìm m để đờng thẳng (d) và Parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
c) Tìm m để đờng thẳng (d) và Parabol (P) khơngcó điểm chung

Bài 3: Cho Parabol (P): y=x2 và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=ax+b

Tìm a và b để đờng thẳng (d) và Parabol (P) tiếp xúc nhau tại điểm A(1;1)

Bµi 4: Cho Parabol (P): y= 1

4 x2

a) Viết phơng trình đờng thẳng (d---) có hệ số góc là k và đi qua M(1,5; -1)

b) Tìm k để đờng thẳng (d) và Parabol (P) tiếp xúc nhau

c) Tìm k để đờng thẳng (d) và Parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

Bµi 5; Cho Parabol (P): y=ax2

a)Tìm a biết rằng (P) đi qua A(2;-1) và vẽ (P) với a vừa tìm đợc

b) Điểm B có hoành độ là 4 thuộc (P) (ở câu a). hãy viết phơng trình đờng thẳng AB
c) Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc Parabol (P) (ở câu a) và song song với AB

Bµi 6: Cho Parabol (P): y= 1

2 x2 và điểm N(m;0) và I(0;2) với m 0 .Vẽ (P)
a)Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua 2 điểm N; I

b)C/m r»ng (d)và (P) luôn cắt nhau tại 2 diểm phân biệt A vµ B víi mäi m 0

c) Gäi H;K là hình chiếu của A và B lên trục hoành . c/m rằng tam giác HIK vuông tại I

Bµi 7: Cho Parabol (P): y=x2

a) Gọi A và B là 2 điểm thuộc (P) lần lợt có hồnh độ là -1 và 2.C/m Δ OAB vng tại A
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d1) // AB và tiếp xúc với (P)

c) Cho đờng thẳng (d2) : y=mx+1 (với m là tham số )

+C/m rằng đờng thẳng (d2) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m

+Tìm m sao cho đờng thẳng (d2)cắt Parabol tại 2 điểm phân biệt có hồnh độ là x1 và
x2 thoả mãn x1

+ 1
x22

=11

Bµi 8:Cho Parabol (P): y=(2m-1)x2

a)Tìm m để Parabol (P)đi qua A(2;-2)

b) Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc Parabol (P) ở câu a và đi qua B(-1;1)

c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và đi qua điểm C thuộc (P)ở câu a và
có tung độ là −1

d) Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ bằng 1

Bài 9: : Cho Parabol (P): y=x2 và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=2x+m

a)Tìm m để (d) và Parabol (P) tiếp xúc nhau .Xác định toạ độ điểm chung đó

b) Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm ,một điểm có hồnh độ x=-1.Tìm điểm cịn lại
c)Giả sử đờng thẳng cắt Parabol tại 2 điểm A và B . Tìm tập hợp trung điểm I ca AB

Bài 10: Bài thi năm 06-07 và 05-06

Giải Phơng trình 
Bài 1: Giải các phơng trình sau

1) 1,5x2 -2,5x -1=0 6)

√

x2

+x+1

4−

√

4−2√3=0
2) -x2 +4x+3=0 7)

√

4x+4√x+1−

√

7−4√3=0
3) x 2 -2(1+

√3 )x +2 √3 +1=0 8) |x −5|−|x|=1 ( LËp b¶ng xÐt dÊu)
4) x 2 -(

√2+√3¿|x|+√6=0 9) x −1
x2−1−

x
1+x=

x+1

1− x
5) |3x −2|=3−√2 10) 2x

x2−1−2=
1
1+x
Bài 2: Giải các phơng trình sau ( có thể dùng phơng pháp đặt ẩn phụ)

1) x4 -x2-6=0 
2) x+1

x −1+
x −1

x+1 =3 Đặt
x+1

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

3) (x2 +2x)2 -2(x2+2x) -3=0 Đặt (x2+2x)=t
4) (x2 +2x+2)2 -2(x2+2x) -28=0 Đặt (x2+2x)=t

5) (x2 -5x)2 -30(x2-5x) = 216

6) (y-x-2)2 + (x+2y) 2 =0 a2+b2 = 0 <=>

¿
a=0
b=0
¿{

7) (x- 2

x¿ 2 +x-
2

x - 2=0 Đặt x- 
2

x =t (®k x 0)
8) (x+ 1

x¿
2

−4,5(x+1

x)+5=0 Đặt x+ 
1

x =t (®k x 0) 
9) 2

x2−4−
1
x2−2x+

x −4

x2+2x=0 MTC: x(x-2)(x+2) => ng x=3 ... lu ý §KX§ 
(x+ 1

2¿
2

+6x +11=0 Tách 11= 6

2 +8 rồi Đặt x +
1
2 =t

Bài 3; Giải phơng trình (có nhiều phơng pháp)

1) √x+1+1=x (đk....; dùng phơng pháp đặt ẩn phụ hoặc bình phơng 2 vế hoặc

2) x-1= √x+1 Vận dụng t/c đại số :

2 2 ; 2 2 0 a 0

a b a b a b

b o




      



 ®a vỊ hƯ pt…) 
3) 3x-4 √x −1=18 ...

4) x- √x −12=14 ...
5)

√

x+1

x −1−

√

x −1
x+1=

2 đặt ẩn phụ ta có pt: t -
1

t =

2 (®k t>0 ; x>1 hc x<-1)
6) √1− x −√2+x=1

7) √1− x+√4+x=3
8)

√

x2

−4=x −2
9)

√

3x2

−12x+16+

√

y2−4y+13=5 (ta cã x −2¿
2

+4≥4
3x2−12x

+16=3¿
 Nªn

√

3x2

−12x+16≥2 ;

√

y2

−4y+13≥3
10)

√

x+3+4√x −1+

√

x+8−6√x −1=5

11)

√

x2−2x+5=x2−2x −1 đặt ẩn phụ

√

x2−2x+5=t ( t ≥ 0) 
12) 3x2 +2x=1-x+2

√

x2+x đặt

√

x2+x =t ( t 0)

Phơng trình bậc cao (Dành cho nâng cao)

Phng trỡnh a x3 +bx2 +cx+d=0(1) (a 0)
-Biến đổi vế trái về dạng tích bậc nhất với bậc hai để giải
-Nếu a+b+c+d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=1

- Nếu a-b+c-d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=-1. Khi đó ta đẽ dàng Biến đổi vế trái về dạng tích

-Nếu (1) có các hệ số ngun , nếu có nghiệm ngun thì nghiệm ngun đó là ớc của hạng tử tự do , giả sử 3

nghiệm là x1;x2;x3 thì x1+x2+x3 =-b/a

x1.x2.x3 =-d/a

x1.x2 +x1x3 + x2.x3 =c/a

Bµi 4.1: a) Giải phơng trình 2x3+7x2+7x+2=0

a-b+c-d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=-1. Khi đó ta đẽ dàng Biến đổi vế trái về dạng tích

b) Giải phơng trình x3+7x2-56 x+48=0
a+b+c+d=0 th× (1) sẽ có 1nghiệm x=1

d) Giải phơng trình 2x3+5x2+6x+3=0

e) Giải phơng trình sau : x3+ 4x2 -29+24 =0 (1) <=> (x-1 )( x2+5x-24 )=0

Bài 4.2 Giải phơng tr×nh sau 4x 4 - 109x2+ 225 =0 (1)

Bài 4.3 phơng trình hệ số đối xứng bậc 4 : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

(Đặc điểm : vế trái các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau )
ph

ơng pháp giải gồm 4 b íc

-Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của (1) ta chia cả hai vế (1) cho x2 (đk x 0) rồi nhóm các số hạng cách
đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta đợc phơng trình mới

-Đặt ẩn phụ : (x+ 1

x¿ =t (3) => x2+
1
x2 =t

2 -2 ta đợc phơng trình ẩn t 
-giải phơng trình đó ta đợc t = ….

- thay các giá trị của t vào (3) để tìm x v tr li nghim (1)

Giải phơng trình sau

10x4- 27x3- 110x2 -27x +10=0 (1) 
Ta nhËn thÊy x=0 kh«ng phải là nghiệm của (1)

chia c hai v (1) cho x2 (đk x 0) 
ta đợc pt <=>10x2 -27x - 110 - 27

x +
10

x2 = 0

Nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta đợc PT
10( x2 + )

1
(
)
1

2 x x

x  ) -110 =0 (2)

Đặt ẩn phụ (x+ 1

x¿ =t (3) => x2+
1
x2 =t

2 -2 thay vào (2) ta có
<=> 10t2 -27t -130=0 (4) Giải (4) ta đợc t1=- 5

2 ; t 2=
26

5
+ Víi t1=- 5

2  (x+
1

x¿ =-
5

2  2x2 +5x+2=0 cã nghiƯm lµ x1=-2 ; x2=-1/2
+Víi ; t 2= 26

5  (x+

1
x¿ =

5  5x2-26x+5 =0 cã nghiƯm lµ x3=5 ; x4=1/5
Vậy phơng trình (1) có tập nghiệm là S=

{

1

2 ; −2;
1
5;5

}

Bài 4.4

Phơng trình hồi quy dạng tổng quát : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 (1)
Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; a 0 e 0) và

d
b¿

e
a=¿

;
phơng tình hệ số đối xứng bậc 4 chỉ là 1 trờng hợp đặc biệt của phơng trình hồi quy
Chú ý :Khi e

a =1hay a=e thì d= ± b; lúc đó (1) có dạng a x4 + bx 3+ cx2 ± bx +e =0
 Cách giải:

-Do x=0 không phải là nghiệm của phơng trình (1)nên chia cả hai vế cho x2 ta đợc 
a x2 +bx +c + d

x+
c

x2 = 0 (2)

Nhãm hỵp lÝ a (x2 + c

ax2¿+b(x+
d

bx)+c=0

-Đổi biến đặt x+ d

bx =t => x2 +(
d
bx2 ¿+2

d
b=t

do (d/b)2 =c/a
nªn x2+ c/ a x2=t2 -2. d/b

Khi đó ta có phơng trình a (t2 - 2 d

b ) bt +c =0

Ta đợc phơnmg trình (3) trung gian nh sau : at2+ bt +c=0 (3) 
-Giải (3) ta đợc nghiệm của phơng trình ban đầu

Giải phơng trình : x4-4x3-9x2+8x+4=0 (1) 
Nhận xét 4/1= 842

; Nên phơng trình (1) là phơng trình hồi quy

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

 Do đó chia cả hai vế phơng trình cho x2 (x 0) ta đợc 
x2- -4x -9 + 8

x+
4

x2 =0  (x

2 + 4

x2¿ 4( x
-2

x ) -9 =0 (2)

* Đặt ( x - 2

x ) =t (3) => .( x2 +
4

x2¿ =t

2 +4 thay vµo (2) 
Phơng trình (1) trở thành t2-4t -5 =0 cã nghiƯm lµ t1=-1 ; t2=5

nhận xét : tơng tự nh giải phơng trình bậc 4 hệ số đối xứng , chỉ khác bớc đặt ẩn phụ
Đặt x+ m

bx =yb => x2 +
m2
b2x2=y

2
−2m

b

Bài 4.5 Phơng trình dạng : (x+a ) ( x+b ) (x+c) (x+d )=m (Trong đó a+d=b+c)
cách giải : Nhóm ( x+a) với (x+d) ; (x+b) với (x+c) rồi triển khai các tích đó

Khi đó phơng trình có dạng

[x2 +( a+d)x +ad ] [ x2 + (b+c )x +bc ] =0

Do a+d=b+c nên ta đặt [x2 +( a+d)x + k ] =t (2) ( k có thể là ad hoặc bc )
Ta có phơng trình At2 +B t + C =0 (Với A=1)

Giải phơng trình ta tìm đợc t sau đó thay vào (2) rồi giá trị tìm đợc nghiệm x

Giải phơng trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1)

 nhËn xÐt 1+7 =3+5

 Nhãm hỵp lý  (x+1) (x+7 ) . (x+3) (x+5 ) +15=0

 (x2 +8x +7 ) (x2 + 8x + 15) +15 =0 (2) 
*Đặt (x2 +8x +7 ) =t (3) thay vµo (2) ta cã (2)  t( t+ 8) + 15=0

y2 +8y +15 =0 nghiệm y1=-3 ; y2=-5 
Thay vào (3) ta đợc 2 phơng trình

1/x2 +8x +7 = -3  x2+ 8x +10=0 cã nghiÖm x1,2 = -4 ± √6
2/ x2 +8x +7 = -5  x2 +8x +12 = 0 cã nghiÖm x3=-2; x4 =-6 
Vậy tập nghiệm của phơng trình (1) là S = {−2;−6;−4±√6}

Bài 4.6:Phơng trình dạng; (x+a)4 +(x+b)4 = c (1) (Trong đó x là ẩn số ;a, b, c là các hệ số )

c

ách giải :

i vi dng phơng trình này ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng của (x+a) và (x+b)
Đặt t =x+ a+b

2 => x+a =t+
a− b

2 vµ x+b=t -
a− b

Khi đó phơng trình (1) trở thành : 2t4 +2 ( a+b

2 )2 t2 + 2(
a+b

2 )4 -c =0

Đây là phơng trình trùng phơng đã biết cách giải

Gi¶i phơng trình sau : (x+3)4 +(x-1)4 =626 
Đặt t =( x+3+x-1): 2=x+1=>x=t-1

Ta có phơng trình (t+2)4 + (t - 2)4 =626 
 9t4+8t3 +24t2+32t +16) +( 9t4- 8t3 +24t2- 32t +16)=626
t4 +24t2 - 297 =0 => t=-3 vµ t=3

Từ đó tìm đợc x=2 ; và x=-4 là nghim ca phng trỡnh ó cho

Bài 4.7/ Phơng trình dạng : a[ f(x)]2 +b f(x) +c = 0

(trong đó x là ẩn ;a 0 ; f(x) l a thc mt bin )

cách giải: - Tìm TXĐ của phơng trình

- Đổi biến bằng cách đặt f(x) =t khi ó phơng trình có dạng at2 + bt +c =0 (2) là PT bậc ha +/nếu (2)

có nghiệm là t=t0 thì ta sẽ giải tiếp phơng trình f(x) =t

+/ nghiệm của phơng trình f(x) =t0 (nếu thoả mãn TXĐ của phơng trình đã cho ) sẽ là nghiệm của phơng trnh
(1)

VÝ dô : Giải phơng trình x4+6x3+5x2-12x+3=0 (1) 
TX§ : ∀ x R

Biến đổi vế trái ta có VT= (x2+ 3x)2 -4(x2+3x) +3
Vậy ta có phơng trình <=> (x2+ 3x)2 -4(x2+3x) +3 =0 
Đặt x2+ 3x =t (2)

Ta cã PT <=> t2 -4t +3 = 0 cã nghiƯm lµ t1=1 ;t2=3

Bài 4.8 Phơng trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5

)

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Phơng trình có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ , có nghiệm
x=- 1 .Nên biến đổi phơng trình về dạng

( x+1) (2x4+x3 -6x2+x+2 )=0 
Khi đó phơng trình có dạng

[x2 +( a+d)x +ad ] [ x2 + (b+c )x +bc ] =0

Do a+d=b+c nên ta đặt [x2 +( a+d)x + k ] =t (2) ( k có thể là ad hoặc bc )
Ta có phơng trình At2 +B t + C =0 (Với A=1)

Giải phơng trình ta tìm đợc t sau đó thay vào (2) rồi giá trị tìm đợc nghiệm x

Giải phơng trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1)

 nhËn xÐt 1+7 =3+5

 Nhãm hỵp lý  (x+1) (x+7 ) . (x+3) (x+5 ) +15=0

 (x2 +8x +7 ) (x2 + 8x + 15) +15 =0 (2) 
*Đặt (x2 +8x +7 ) =t (3) thay vµo (2) ta cã (2)  t( t+ 8) + 15=0

y2 +8y +15 =0 nghiệm y1=-3 ; y2=-5 
Thay vào (3) ta đợc 2 phơng trình

1/x2 +8x +7 = -3  x2+ 8x +10=0 cã nghiÖm x1,2 = -4 ± √6
2/ x2 +8x +7 = -5  x2 +8x +12 = 0 cã nghiÖm x3=-2; x4 =-6 
Vậy tập nghiệm của phơng trình (1) lµ S = {−2;−6;−4±√6}

Bài 4.6:Phơng trình dạng; (x+a)4 +(x+b)4 = c (1) (Trong đó x là ẩn số ;a, b, c là các hệ số )

c

ách giải :

i vi dạng phơng trình này ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng của (x+a) và (x+b)
Đặt t =x+ a+b

2 => x+a =t+
a− b

2 vµ x+b=t -
a− b

Khi đó phơng trình (1) trở thành : 2t4 +2 ( a+b

2 )2 t2 + 2(
a+b

2 )4 -c =0

Đây là phơng trình trùng phơng đã biết cách giải

Giải phơng trình sau : (x+3)4 +(x-1)4 =626 
Đặt t =( x+3+x-1): 2=x+1=>x=t-1

Ta có phơng trình  (t+2)4 + (t - 2)4 =626 
 9t4+8t3 +24t2+32t +16) +( 9t4- 8t3 +24t2- 32t +16)=626
t4 +24t2 - 297 =0 => t=-3 vµ t=3

Từ đó tìm đợc x=2 ; và x=-4 là nghiệm của phơng trình đã cho

Bµi 4.7/ Phơng trình dạng : a[ f(x)]2 +b f(x) +c = 0

(trong đó x là ẩn ;a 0 ; f(x) l a thc mt bin )

cách giải: - Tìm TXĐ của phơng trình

- Đổi biến bằng cách đặt f(x) =t khi ó phơng trình có dạng at2 + bt +c =0 (2) là PT bậc ha +/nếu (2)
có nghiệm là t=t0 thì ta sẽ giải tiếp phơng trình f(x) =t

+/ nghiệm của phơng trình f(x) =t0 (nếu thoả mãn TXĐ của phơng trình đã cho ) sẽ là nghiệm của phơng trnh

(1)

VÝ dụ : Giải phơng trình x4+6x3+5x2-12x+3=0 (1) 
TX§ : ∀ x R

Ta cã PT <=> t2 -4t +3 = 0 cã nghiƯm lµ t1=1 ;t2=3

Bài 4.8 Phơng trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5

)

Gi¶i phơng trình 2x5 +3x4 -5x3 -5x2 + 3x +2=0

( x+1) (2x4+x3 -6x2+x+2 )=0

Ngoài nghiệm x=-1 , để tìm nghiệm cịn lại ta đi giải phơng trình

2x4+x3 -6x2+x+2 =0(2) là phơng trình đối xứng (bậc 4) đã biết cách giải 
Giải (2) ta đợc x1 =x2=1 ; x3 =-2 ;x4=-0,5

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x1 =x2=1 ; x3 =-2 ;x4=-0,5 ;x5=-1

Bµi tËp VN : Giải các phơng trình sau

1) x3 - 4x2- 29x -24 =0 2) 8x3 - 20x2 +28x - 10 =0

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

5, x4 +5x3 -14x2-20x +16 =0 6, x4 +4x3 -10 x2 -28 x-15=0

4, (x+4) (x+5) (x+7) (x+8) =4 h, (x+10) (x+12) (x+15) (x+18) =2x2
7) (x+2) (x+3) (x+8) (x+12) =4x2 nhóm (x+2)(x+12) (x+3) (x+8) rồi chia 2 vế cho 4x2
 và đặt t=x+7/x (đk x 0)

8) 3x5 -10x4 +3x3+3x2-10x+3=0 9) x5 +2x4 +3x3+3x2+2x+1=0 
10) 6x5 -29x4 +27x3+27x2-29x+6=0 11) x5 +4x4 +3x3+3x2-4x+1=0
12) (x2-8x+7)(x2-8x+15)=20

13) (x2-3 x+1) (x2+3x+2) (x2-9x+20)=-30 biến đổi <=> (x2-3 x+1) (x2-3x-4) (x2-3x-10)=-30
14) 3(x2+x) -2(x2+x ) -1=0 15) (x2-4x+2)2 +4x2-4x-4=0

16) (x2-x+1)4-6x2(x2-x+1)2+5x4=0 17) (x+6)4+(x+4 )4 =82
18) x

2
+x −5

x +

3x

x2+x −5+4=0 19) (x-2,5)

4+(x-1,5)4 =17

Định lí Vi et - dấu của nghiệm
Bài 1: Cho phơng trình (m 2 -5m+3)x2 +(3m-1)x -2 =0 (1)

a) Giải phơng trình khi m=2

b) Tìm m để phơng trình (1) có 1 nghiệm là 1. Khi đó tìm nghiệm cịn lại (thay x=1..
Bài 2: Cho phơng trình x2 +(2m+1) x +m2 +3m =0 (1) ( m là tham số)

Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm mà tích 2 nghiệm bằng 4 .Tìm 2 nghiệm đó

Bµi 3: Cho phơng trình x2 +(2m-5) x +3n =0 (1)

Tìm m và n để phơng trình (1) có 2 nghim l x1=2; x2=-3

Bài 4: Lập phơng trình bậc hai cã hai nghiƯm lµ

a) x1=1/2 vµ x2=2 b) x1=2+ √3 vµ x2=2- √3 c) 1/x1 vµ 1/x2

Bài 5: a) Tìm m để phơng trình x2 - x +2m-2 =0 (1) có 2 nghiệm dơng
b) Tìm m để phơng trình 4x2 +2x +m-1 =0 (1) có 2 nghiệm âm

c) Tìm m để phơng trình m 2x2 +2mx -2 =0 (1) có 2 nghiệm phân biệt

Bài 6: Cho phơng trình x2 -2(m+1)x +m-4=0 (1) ( m lµ tham sè)
a) Giải phơng trình khi m=2

b) Chứng minh rằng phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu

d) Chøng minh r»ng biÓu thøc M=x1(1-x2)+(1-x1) x2 không phụ thuộc vào m

Bài 7: Cho phơng trình x2 - (m- 1)x - m 2+m-2 =0 (1) ( m lµ tham sè)

a) Giải phơng trình khi m=-1

b) Chøng minh rằng phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu víi mäi m

c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm sao cho S=x12 +x22 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 8: Cho phơng trình x2 - (m +2)x +m+1 =0 (1) ( m là tham số)
a)Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu

b) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm đối nhau

Bài 9: Cho phơng trình x2 - (m +1)x +m =0 (1) ( m là tham số)
a) Chứng minh rằng phơng trình (1) có nghiệm với mọi m
b) Giả sử (1) có 2 nghiệm x1;x2 tính S=x12 +x22 theo m
c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm sao cho x12 +x22 =5

Bài 10: Cho phơng trình x2 - 2mx +2m-1 =0 (1) ( m lµ tham sè)
a) Chứng tỏ rằng phơng trình (1) có nghiệm x1;x2 víi mäi m

b) Gọi A=2(x12 +x22 )-5 x1.x2 .; b1) c/m rằng A=8m2-18m +9 ; b2)Tìm m sao cho A=27 
c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia

Bài 11: Cho phơng trình 2x2 - (2m+1)x +m2-9m +39 =0 (1) ( m là tham số)
a)Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

b)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia .Tìm các nghiệm đó

Bài 12: Cho phơng trình (m-1)x2 +2(m-1)x -m =0 (1) ( m là tham số)
a) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm đều âm

Bµi 13: Cho phơng trình x2 - 2(m-1)x -3 -m =0 (1) ( m lµ tham sè)
a)Chøng tá r»ng phơng trình (1) có nghiệm với mọi m

b) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm là x1;x2 sao cho x12 +x22 10

c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm là x1;x2 sao cho E=x12 + x22 đạt GTNN

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

a) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm đều âm

b) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm sao cho / x13 - x23/ =50

a) (1) có 2 nghiệm đều âm t/m: Δ =25 0 với ∀ m ; x1x2 =(m-2)(m+3) >0 ; x1+x2 =2m+1< 0 Kq:m<-3b tính

x1=m-2 ;x2 =m+3 theo c«ng thøc ng =>/ x13 - x23/ =50 <=>

m+3¿3
m−2¿3−¿

¿
¿

=50=>m= −1±√5

2
Bµi 15: Cho phơng trình x2 -6x +m =0 (1) ( m lµ tham sè)

a)Tìm m để (1) có 2 nghiệm phân biệt

b)Tìm m để (1) có 2 nghiệm sao cho x13 + x23 =72

(Víi Δ 0 <=> m 9 ta cã x13 + x23 =72 < => (x1+ x2)3 -3x1x2 (x1+ x2)<=>63-3.m.6=72 =>m=8(t/m)

Bài 16: Cho phơng trình x2 -(m-1)x -m2+m-2=0 (1) ( m lµ tham sè)

a)Chøng minh rằng phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu víi mäi m

b)Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm sao cho E=x12 + x22 đạt giá trị nh nht

Bài 17: Cho phơng trình x2 -2(m+1)x +2m+10 =0 (1) ( m lµ tham sè)

Giả sử (1) có 2 nghiệm phân biệt là x1;x2 . Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm sao
cho E=x12 + x22 +10 x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó

Bµi 18: Cho phơng trình x2 -(m-1)x +1=0 (1) ( m lµ tham sè)

Giả sử (1) có 2 nghiệm phân biệt là x1;x2 . Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm sao
cho M=3x12 + 3x22 +5 x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm nghiệm trong trờng hợp M đạt GTNN

Bài 19: Cho phơng trình x2 -2(m-1)x -m2-3m+4=0 (1) ( m là tham số)
a)Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm là x1;x2 sao cho x1

+ x1
2

=1
b) Lập một biểu thức giữa x1 và x2 mà không phụ thuộc vào m

Bài 20: Cho phơng trình 2x2 +(2m-1)x +m-1=0 (1) ( m lµ tham sè)
a)C/m rằng phơng trình (1) luôn có nghiƯm víi mäi m

b)Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm là x1;x2 sao cho -1<x1<x2<1

c) Khi (1) cã 2 nghiƯm ph©n biƯt x1;x2 Lập một biểu thức giữa x1 và x2 mµ m

Bài 21:Cho phơng trình : x2 + (m-1)x+m2=0 (1) ; -x2 -2mxx+m=0 (2)
C/m rằng ít nhất một trong 2 phơng trình đã cho phải có nghiệm

( XÐt Δ 1+ Δ 2 0 víi mọi m . Thì phải có ít nhất 1 trong 2 biĨu thøc Δ 1 0 hc 2 0
=> đpcm)

Bài 22: Cho 2 phơng tr×nh : x2 - a

1x+b1=0 (1) ; x2 - a2x+b2=0 (2)

Cho biết a1.a2 2(b1+b2) . C/m rằng ít nhất một trong 2 phơng trình đã cho có nghiệm

Δ 1+ Δ 2= a12+a22-4(b1+b2) a12+a22-2a1a2 = (a1-a2)2 0 với mọi m Thì phải có ít nhất 1 0hoặc 2

0=> đpcm

Bi 23: Cho 3 phơng trình : ax2 + 2bx+c=0 (1) ; bx2 +2cx+a=0 (2) ; cx2 +2ax+b=0 (3)
Cho biết a ;b;c 0 . C/m rằng ít nhất một trong 3 phơng trình đã cho có nghiệm

Δ 1+ Δ 2+ Δ 3= ...=1/2

[

(a − b)2+(b −c)2(c − a)2

]

≥0 => cã Ýt nhÊt 1 trong 3 biÓu thøc Δ 1 0hc Δ 2

0...

Bài 24:Cho phơng trình : ax2 + bx+c=0 (1) và cx2 + bx+a=0 (2) trong đó a; c>0
a) Chứng minh rằng 2 phơng trình cùng có nghiệm hoặc cùng vơ nghiệm

b) Giả sử (1) có 2 nghiệm x1;x2 và (2) có 2 nghiƯm x3;x4.Chøng minh r»ng x1x2+x3.x4 2
c) Gi¶ sư (1) và (2) cùng vô nghiệm. C/m rằng a+c>b

+Vì a;c>0 nên (1) và (2) đều là bậc 2 và có chung Δ =b2-4ac => đpcm

+áp dụng Viét x1x2= c

a ; x3x4= a

c vì a;c>0 nªn x1x2 +x3x4= c

a +

a

c 2 (đã c/m ở bđt )
+(1) vô ng <=> Δ =b2-4ac<0 <=>b2<4ac<(a+c)2 mà a+c>0 nên b /b/<a+c

Bài 25: Cho phơng trình : x2 + mx+n=0 (1)

a) Giải phơng trình khi m=-(3+ 3 ) n=3 √3 (kq: Δ =(3- √3 )2 >0)

b)Tìm m;n để (1) có 2 nghiệm là x1=-2; x2=1

c) C/m r»ng (1) cã 2 ng/ d¬ng x1;x2 th× ph/tr: n x2+mx+1=0 (2) cịng cã 2 ng/ d¬ng x3;x4
x1x2=m/n ; x3x4 =n/ m nªn (1) cã 2 ng trái dấu thì (2) có 2 ng trái dấu

Vì x1 là ng cña (1) <=> x12 + mx1+n=0 <=> 1+

m
x1+

n
x12

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Hay x 3 =

x1 là ng dơng của (2). T.tự x4=

x2 là ng dơng của (2) (vì x1;x2>0 nên

1
x1 và

x2 >0 ) là đpcm
Bài 26; Cho phơng trình (m-1)x2 -2(m+1)x +m=0 (1) ( m lµ tham số)

a) Giải và biện luận nghiệm phơng trình (1) theo m

b) Khi (1) có 2 nghiệm phân biệt x1;x2 .Hãy tìm 1 hệ thức giữa x1 và x2 mà m
c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm là x1;x2 sao cho /x1-x2 / 2

d) a)m=1=>th× (1) cã ng.... c) /x1-x2 / 2<=> (x1-x2) 2 4

e) m 1 khi đó Δ =3m+1 <=>(x1+x2)2 - 4 x1x2 4

+) nếu m<-1/3 thì (1) Vô ng <=>...
+) nÕu m=-1/3 th× (1) cã ng kÐp ... ; +) nÕu m>-1/3 th× (1) cã 2 ng

Bài 27; Cho phơng trình x2 -2mx -m2-1=0 (1) ( m lµ tham sè)

a) Chứng minh rằng phơng trình (1) có 2 nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m

b) Khi (1) có 2 nghiệm phân biệt x1;x2 .Hãy tìm 1 hệ thức giữa x1 và x2 mà m
c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm là x1;x2 sao cho x1

x2

+ x2
x1

= 5
2
Bài 28; Cho phơng trình x2 -ax - 1

a2 =0

(1) ( a là tham số)
Tìm min P=x14+x24 ( min P=2

√2 +4 <=> a8=2)

Bài 29; Cho phơng trình x2 -mx +m-1=0 (1) ( m lµ tham sè)

Phơng trình (1) có 2 nghiệm x1;x2 với mọi m .T×m max Q= 2x1x2+3

x12+x

22+2(1+x1x2)

(Q=

m 12

2m+1

m2

+2=1

rồi tìm ma x Q=...=1<=> m=1)

Bài 30; Cho phơng trình x2 -ax - 1

2a2 =0

(1) ( a lµ tham sè)
C/m r»ngx14+x24 2+

√2 dấu (=) xảy ra khi nào? ( dấu đẳng thức xảy ra a4= 1

2a4 <=>a

8= 1

2 từ đó tính x1;x2

Bài 31: Cho phơng trình x2 + 2(a+3)x +4(a+3)=0 (1) (a tham số)
a) Tìm a để phơng trình (1) có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó
b) Tìm a để (1) có 2 nghiệm phân biệt >-1

Đặt x=t-1 ; (1) <=> ...t2+2(a+2)t+2a+7=0

(1) cã 2 nghiƯm ph©n biƯt >-1<=>

¿
Δ'>0
t1t2=2a+7>0
t1+t2=−2(a+2)>0

¿{ {
¿

<=> -7/2<a<-3

Bài 32: Cho phơng tr×nh bËc ba :x3- (2m-1)x2 + (m2-3m-2)x +2m2+2 m=0 (1)(m tham số)
a)C/m rằng phơng trình (1) có nghiƯm x=-2 víi mäi m

b)Tìm m để (1) có đúng 2 nghiệm ; c) Tìm m để (1) có 3 ng sao cho x12 +x22 +x32 đạt GTNN

Bµi 33: Cho phơng trình bậc ba :x3- (2m+1)x2 - (3m2-6m+2)x +3m2-4 m+2=0 (1)

a) C/m rằng phơng trình (1) có 3 nghiệm phân biệt x1;x2 ;x3 trong đó x1=1 với mọi m
b) Tìm m để (1) có 3 nghiệm phân biệt x1;x2 ;x3 sao cho K=x1+/x2 -x3 / đạt GTNN.Tìm
min K và các nghiệm x1;x2 ;x3 đó

b) Emin=1+ |x2− x3| <=> |x2− x3| min <=>E2=(x2-x3)2-4x2x3

mà E2=...=16m2-16m+8....>=4 nên min E=2<=>m=1/2 khi đó x=1 ;x=-1/2;x=3/2

Giải bài toán bằng cách lập phơng trình

Dng 1

Tốn chuyển động

Bài 1:Một ơ tơ đi từ A->B dài 120 km trong một thời gian dự định . Sau khi đi đợc nửa quãng đờng
xe tăng vận tốc thêm 10 km/h nên đến B sớm hơn dự định 12 phút . Tính vận tốc dự định

S (km) v (km/h) t (h)

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Nửa quãng đờng đầu 60 .... ....

Nửa quãng đờng sau 60 .... ...

Kq: Vận tốc dự định 50km/h

Bài 2:Một ôtô đi từ A-B dài 250 km với một vận tốc dự định.Thực tế xe đi hết quãng đờng với vận

tốc tăng thêm 10km/h sovới vận tốc dự định nên đến B giảm đợc 50phút Tính vận tốc dự định
Kq: Vận tốc dự định 50km/h

Bài 3:Một ngời đixe máy từ A->B lúc 7h sáng với vận tốc trung bình là 30km/h . Sau khi đi đợc
nửa quãng đờng ngơi đó nghỉ 20 phút rồi đi tiếp nửa quãng đờng sau với vận tốc trung bình 25
km/h. Tính SAB . Biết ngời đó đến B lúc 12 giờ 50 phút

Bài 4:Một ô tô đi từ A->B trong một thời gian dự định ,nếu đi với vận tốc trung bình là 35km/h thì
đến B chậm 2 giờ,nếu đi với vận tốc trung bình là 50km/h thì đến B sớm 1 giờ Tính SAB và thời
gian dự định ban đầu ?

S (km) v (km/h) t (A->B)

quãng đờng AB x (đk: x>0)

Thay đổi 1 x 35

Thay đổi 2 x 50

x

35 - 2 =
x

50 +1 Kq: 8 giê ; 350 km

Bµi 5:Mét chiÕc thun khëi hµnh tõ bÕn A .Sau 5h 20 phút Một chiếc ca nô cũng khởi hành từ

bến A đuổi theo và gặp thuyền cách A 20km TÝnh vËn tèc cđa thun . BiÕt vận tốc của ca nô
lớn hơn vận tèc cđa thun 12km/h.

S (km) v (km/h) t (A->B)

ThuyÒn 20 x (®k: x>0)

Ca n« 20 x+12

Bài 6:Hai chiếc ca nô cùng khởi hành từ 2 bến A và B cách nhau 85 km và đi ngợc chiều nhau và gặp nhau sau 1 giờ 40
phút . vận tốc ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô ngợc dòng là 9km/h Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô Biết vận tốc của
dòng là 3km/h.

Vận tốc riêng V xuôi dòng V ngợc dòng t (h) S (km)

Ca n« 1 x X+3 5/3

Ca n« 2 y y-3 5/3

Bài 7:Một ngời đi xe máy và một ngời đi xe đạp cùng đi từ A->B dài 57km . Ngời đi xe máy sau

khi đến B nghỉ 20 phút rồi quay về A gặp ngời đi xe đạp cách B 24 km . Tính vận tốc của mỗi ngời.
Biết vận tốc ngời đi xe máy lớn hơn vận tốc của ngời đi xe đạp là 36km/h

S (km) v (km/h) t (A->gặp nhau)
Xe đạp 57-24=33 x (đk: x>0) 33/ x

Xe m¸y 57+24=81

Bài 8:Một ngời đixe đạp từ A->B với vận tốc trung bình là 9km/h . khi từ B vềA ngời đó chọn con
đờng khác để về nhng dài hơn con đờng lúc đi là 6 km, và đi với vận tốc là 12 km/h nên thời gian
về ít hơn lúc đi là 20 phút .Tính SAB lúc đi (Gọi độ dài qũãng đờng AB là x (>0) Kq: SAB =30km)

Bài 9:Một ngời đixe đạp từ A->B với vận tốc trung bình là 12km/hSau khi đi đợc 1/3 quãng
xe bị hỏng ngời đó ngồi chờ ôtô mất 20 phút và đi ôtô với vận tốc 36km/h,nên đến B sớm hơn dự

định 1h20phút Tính SAB Gọi độ dài qũãng đờng AB là x (>0) Kq: SAB= 45km

Bµi 10:Mét chiếc ca nô khởi hành từ bến A - B dµi 120 km råi tõ B quay vỊ A mÊt tỉng céng 11

giờ Tính vận tốc của ca nơ.Biết vận tốc của dịng là 2km/h và vận tốc tht khụng i

Bài 11:Một chiếc ca nô chạy trên sông 7h , xuôi dòng 108 km và ngợc dòng 63 km .Một lần khác

ca nô cũng chạy trong 7h ,xuôi dòng 81 km và ngợc dòng 84 km.Tính vận tốc của dòng nớc chảy
và vận tốc riêng cđa ca n«. (Cã thĨ chän 2 Èn Kq: vËn tỉc riªng x=24km/h ;vËn tèc dßng y=3km/h

Bài 12:Lúc 7h30 phút một ơtơđi từ A-B nghỉ 30phút rồi đi tiếp đến C lúc 10h 15phút .Biết quãng

đ-ờng AB=30km;BC=50km, vận tốc đi trên AB nhỏ hơn đi trên BC là 10km/hTính vận tốc của ôtô
trên quãng đờng AB, BC (Gọi vận tốc ....quãng đờng AB là x, trên BC: (x+10) kq: 30km/h ; 40km/h

Dạng 2

Toán có néi dung h×nh häc

Bài 1:Một khu vờn hcn có chu vi 280m . ngời ta làm một lối đi xung quanh vờn ( thuộc đất của vờn

) réng 2m , diện tích còn lại là 4256m2 .Tính các kích thớc cđa vên (réng x=60m, dµi =80m)

Bài 2:Một hcn có chu vi 90m.Nếu tăng chiều rộng lên gấp đơi và giảm chiều dài đi15m thì ta đợc

hcn mới có diện tích = diện tích hcn ban đầu .Tính các cạnh của hcn đã cho (rộng x=15m, dài =30m)

Bµi 3:Một hcn .Nếu tăng chiều dài thêm 2m và chiều rộng 3m thì diện tích tăng 100m2. Nếu cùng

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Bài 4:Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích 180m2, Tính chiều dài cạnh đáy thửa ruộng , biết 
rằng nếu tăng cạnh đáy thêm 4m và chiều cao giảm đi 1m thì diện tích khơng i (cnh ỏy x=36m)

Bài 5:Một tam giác vuông có chu vi là 30m , cạnh huyền là 13m .Tính các cạnh góc vuông của tam

giác

Dạng 3

Toán có nội dung số học- phần trăm

Bi 1:Cho mt s gm 2 chữ số .Tìm số đó biết rằng tổng 2 chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần và

thêm 25 vào tích của 2 chữ số đó sẽ đợc số viết theo thứ tự ngợc lại số đã cho

Có thể chọn 2 ẩn Kq:só đó là 54

Bài 2:Cho một số gồm 2 chữ số .Tìm số đó biết rằng :Khi chia số đó cho tổng 2 chữ số của nó thì

đợc thơng là 6 và d 11.Khi chia số đó cho tích 2 chữ số của nó thì đợc thơng là 2 và d 5,

Có thể chọn 2 ẩn Kq: só đó là 95

Bài 3: Tìm 2 số biết rằng tổng của chúng là 17 và tổng lập phơng của chúng bằng 1241

Có thể chọn 2 ẩn Kq: 2 só đó là 9 và 8

Bài 4: Tìm 2 số tự nhiên biết rằng hiệu của chúng là 1275 và nếu lấy số ln chia cho s nh thỡ c

thơng là 3 và d 125 (sè lín x; sè nhá y , ta co x-y=1275 ; x=3y+125)

Bài 5:Cho một số tự nhiên có 2 chữ số .Nếu đổi chỗ 2 chữ số thì đợc số mới lớn hơn số đã cho là

36 .Tổng của số đã cho và số mới là 110 .Tìm số đã cho ( số đó là 37)

Bài 6:Dân số một khu phố trong 2 năm tăng từ 30.000 ngời đến 32.448 ngời .Hỏi trung bình hàng

năm dân số khu phố đó tăng bao nhiêu % (Gọi số% dân số hàng năm khu phố tăng là x % Kq:4%

Bµi 7:Hai líp 9A vµ 9B gåm 105 hs; líp 9A cã 44 hs tiªn tiÕn ,líp 9B cã 45 hs tiªn tiÕn, biÕt tØ lƯ
häc sinh tiên tiến 9A thấp hơn 9B là 10%.Tính tỉ lệ học sinh tiên tiến của mỗi lớp ,và mỗi lớp có
bao nhiêu học sinh

Gọi x % là tØ lƯ häc sinh tiªn tiÕn cđa líp 9A -> 9B lµ (x+10)% ta cã pt: 4400/x +4500/x =105
Kq:80 % vµ 90% ; 9A: 55hs , 9B 50 hs

Bài 8:Trong tháng đầu 2 tổ sản xuất đợc 800 chi tiết máy .Sang tháng 2 tổ I vợt mức 15%, tổ II vợt

mức 20%,, dó đó cuối tháng cả 2 tổ sản xuất đợc tổng cộng 945 chi tiết máy .Tính xem trong tháng
đầu , tháng hai mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy

Bµi 9 Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm 360 dụng cụ .Nhờ sắp xếp hợp lý dây chuyền sản xuất

nên xí nghiệp I đã vợt mức 12% kế hoạch xí nghiệpII đã vợt mức 10% kế hoạch ,do đó cả 2 đã làm
đợc 400 dụng cụ . Tính số dụng cụ mà mỗi xí nghiệp làm theo kế hoch v thc t lm

Dạng 4

Toán có nội dung công việc-năng xuất ;phân chia sắp xếp

Bài 1:Hai công nhân nếu cùng làm chung thì hoàn thành 1 công việc trong 4 ngày .Nếu làm riêng

thì ngời thứ nhất làm hoàn thành công việc ít hơn ngời thứ hai là 6 ngày .Hỏi nếu làm riêng thì mỗi
ngời làm hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày ?.

Bài 2: 2 công nhân làm chung1công việc thì hoàn thµnh trong 4 ngµy.Khi lµm ngêi thø nhÊt lµm

một nửa cơng việc , sau đó ngời thứ hai làm tiếp nửa cịn lại thì tồn bộ cơng việc hồn thành trong
9 ngày .Hỏi nếu làm riêng thì mỗi ngời làm hồn thành cơng việc trong bao nhiêu ngày ?.

Một mình ng T1 làm x(ngày) xong -> 1/2 c.v lµ x/2 (ng)

Tg ng T2 lµm cv trong 9- x/2(ng) -> cả cv là 2(9-x/2)=18-x (ng)

Ph¬ng tr: 1/x -1/18-x =1/4

Bài 3: Một phân xởng theo kế hoạch phải dệt 3000 tấm thảm .Trong 8 ngày đầu họ đã thực hiện đợc đúng kế hoạch , những
ngày còn lại họ đã dệt vợt mức mỗi ngày 10 tấm ,nên đã hoàn thành kế hoạch trớc kế hoạch 2 ngày .Hỏi theo kế hoạch mỗi
ngày phân xởng phải dệt bao nhiờu tm?

Số thảm Số thảm dệt /ngày Sỗ ngày dệt

Kế hoạch 3000 x 3000/x

8 ngày đầu 8x x///////////////// 8/////////////////

Những ngày còn lại 3000-8x X+10 (3000-8x):(x+10)

3000/x =(3000-8x):(x+10) +2+8

Bài 3: Một tổ sản xuất dự định sản xuất 360 máy nơng nhgiệp . Khi làm do tổ chức quản lí tốt nên
mỗi ngày họ đã làm đợc nhiều hơn dự định 1 máy;Vì thế tổ đã hồn thành trớc thời hạn 4 ngày
.Hỏi số máy dự định sản xuất trong mỗi ngày là bao nhiêu ?

Sè m¸y /ngày Số máy Số tấn hàng /1xe

D nh x 360 360/x

Thùc tÕ x+1 360 360/ (x+1)

Bài 4:: Một đoàn xe vận tải dự định chở 180 tấn hàng từ cảng về nhà kho .Khi sắp bắt đầu chở thì

đợc bổ xung thêm 2 xe nữa ,nên mỗi xe chở ít đi 0,5 tấn hàng .Hỏi đồn xe lúc đầu có bao nhiêu
chiếc ?

Sè xe Sè hàng(tấn) Số tấn hàng /1xe

Lúc đầu x 180 180/x

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Bài 5Một đoàn xe chở 30 tấn hàng từ cảng về nhà kho .Khi sắp bắt đầu chở thì một xe bị hỏng
,nên mỗi xe phải chở thêm 1 tấn hàng và cả đồn cịn chở vợt mức dự định 10 tấn .Hỏi đoàn xe lúc
đầu có bao nhiêu chiếc ?

Số xe Số hàng(tấn) Số tấn hàng /1xe

Lúc đầu x 180 180/x

Lóc sau x-1 180+10=190 190/ (x-1)

Bài 6: Trong 1 phịng có 70 ngời dự họp đợc sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế .Nếu bớt đi 2 dãy

thì mỗi dãy cịn lại phải xếp thêm 4 ngời thì mới đủ chỗ ngồi .Hỏi lúc đầu phịng họp có mấy dãy
ghế và mỗi dóy xp c bao nhiờu ngi?

Bài 7:Trong 1buổi liên hoan văn nghệ , phòng họp chỉ có 320 chỗ ngồi, nhng số ngời tới dự hôm

ú cú tới 420 ngời .Do đó phải thu xếp để mỗi dãy ghế thêm đợc 4 ngời ngồi và phải đặt thêm 1
dãy ghế nữa mới đủ .Hỏi lúc đầu trong phịng có bao nhiêu ghế ?

Sè d·y Sè ngời Số ngời /1dÃy

Lúc đầu x 320 320/x

Lúc sau x+1 420 420/ (x+1)

Bài 8; 2 đội công nhân làm chung 1 công việc d định xong trong 12 ngày .họ làm chung với nhau 8

ngày thì đội 1 nghỉ đội 2 làm tiếp với năng suất tăng gấp đơi nên đội 2 đã hồn thành phần việc cịn
lại trong 3 ngày rỡi .Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội phải làm trong bao lâu thì xong cơng việc
trên?

II. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài tập1: Giải bài tốn sau bằng cách lập hệ phương trình: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số
hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu viết thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải
thì được một số lớn hơn số ban đầu là 682.

HD:

 Gọi x là chữ số hàng chục (x N, 0 < x  9).

 Gọi y là chữ số hàng đơn vị (y N, x  9)

 Số cần tìm có dạng xy= 10x + y

 Vì chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 nên ta có pt: x – y = 2 (1)

 Khi thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được số mới: xyx=100x +10y + x =

101x +10y

 Vì số mới lớn hơn số ban đầu là 682 nên ta có phương trình:

(101x + 10y) – (10x + y) = 682  91x + 9y = 682 (2).

 Từ (1) và (2) ta có hệ pt:

91 9 682

x y

 




 



 Giải hệ pt ta được

7
5

x
y







 (thỏa ĐK)  số cần tìm là 75.

Bài tập 2: Có hai số tự nhiên, biết rằng: tổng của hai số bằng 59; hai lần số này bé hơn ba lần số kia là 7.
Tìm hai số đó.

HD:

 Gọi x, y là hai số cần tìm (x, y N)

 Theo đề bài ta có hệ pt:

2 7 3

x y

x y

 




 

 

2 3 7

x y
x y

 




 



 Giải hệ ta được:

34
25

x
y







 (thỏa ĐK)  hai số cần tìm là 34 và 25.

Bài tập 3: Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình: Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng của hai
chữ số của nó bằng 10; tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12. Tìm số đã cho.

HD:

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

 Chữ số hàng đơn vị: 10 – x

 Số đã cho có dạng: 10.x + (10 – x) = 9x + 10

 Tích của hai chữ số ấy: x(10 – x)

 Theo đề bài ta có phương trình: (9x + 10) – x(10 – x)= 12  x2 – 2 = 0

 Giải pt trên ta được: x1 = –1( loại); x2 = 2 (nhận)

 Vậy số cần tìm là 28.

Bài tập 4: Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi là 280m. Nếu giảm

chiều dài của hình chữ nhật 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích của nó tăng thêm 144m2. Tính
các kích thước của hình chữ nhật.

HD:

 Nửa chu vi hình chữ nhật:

280

2 = 140 (m).

 Gọi x (m) là chiều dài của hình chữ nhật (0 < x < 140).

 Chiều rộng của hình chữ nhật là 140 – x (m).

 Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là x(140 – x) (m2).

 Khi giảm chiều dài của hình chữ nhật 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì hình chữ nhật mới có

diện tích: (x – 2)[(140 – x) + 3] = (x – 2)(143 – x) (m2)

 Vì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 144m2 nên ta có phương trình:

(x – 2)(143 – x) – x(140 – x) = 144  5x = 430  x = 86 (thỏa ĐK)

 Vậy hình chữ nhật có chiều dài 86m và chiều rộng là: 140 – x = 140 – 86 = 54 (m).

Bài tập 5: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 320m.
Nếu chiều dài của khu vườn tăng 10m và chiều rộng giảm 5m thì diện tích của nó tăng thêm 50m2. Tính
diện tích của khu vườn ban đầu.

HD:

 Chiều dài là 100m và chiều rộng là 60m.

 Diện tích khu vườn: 6 000 m2.

Bài tập 6: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi 160cm và có diện
tích 1500m2. Tính các kich thước của nó.

HD:

 Nửa chu vi hình chữ nhật:

160

2 = 80 (m).

 Gọi x (m) là một kích thước của hình chữ nhật (0 < x < 80).

 Kích thước cịn lại của hình chữ nhật là 80 – x (m).

 Diện tích của hình chữ nhật là x(80 – x) (m2).

 Vì diện tích hình chữ nhật là 1500m2 nên ta có phương trình:

x(80 – x) = 1500  x2 – 80x + 1500 = 0

 Giải pt trên ta được: x1 = 30 (nhận); x2 = 50 (nhận).

 Vậy hình chữ nhật có các kích thước là 30m và 50m.

Bài tập 7: Giải bài tốn sau bằng cách lập hệ phương trình: Một sân trường hình chữ nhật có chu vi là
340m. Ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m. Tính diện tích của sân trường.

HD:

 Gọi x, y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng sân trường ( 0 < x, y < 170)

 Vì sân trường có chu vi 340m nên ta có phương trình: 2(x + y) = 340  x + y = 170 (1).

 Vì ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m nên ta có pt: 3x – 4y = 20 (2).

 Từ (1) và (2) ta có hệ pt:

170

3 4 20

x y

 




 

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

 Giải hệ pt ta được 
100
70
x
y





 (thỏa ĐK).

Bài tập 8: Cho một tam giác vng. Nếu tăng các cạnh góc vng lên 4cm và 5cm thì diện tích tam giác
sẽ tăng thêm 110cm2. Nếu giảm cả hai cạnh này đi 5cm thì diện tích sẽ giảm đi 100cm2. Tình hai cạnh góc
vng của tam giác.

HD:

 Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vng (x > 5, y > 5).

 Theo đề bài ta có hệ pt:

5 4 200

45
x y
x y
 



 


 Giải hệ pt ta được

20
25
x
y





 (thỏa ĐK).

 Vậy độ dài hai cạnh góc vng là 20cm và 25cm.

Bài tập 9: Cho tam giác vng có cạnh huyền bằng 5cm, diện tích bằng 6cm2. Tìm độ dài các cạnh góc
vng.

HD:

 Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vng (0 < x, y < 5).

 Vì tam giác có cạnh huyền 5cm nên ta có pt: x2 + y2 = 25 (1).

 Vì tam giác có diện tích 6cm2 nên ta có pt:

2xy = 6  xy = 12 (2).

 Từ (1) và (2) ta có hệ pt:

2 2
25
. 12
x y
x y
  


 
2

( ) 2 25

. 12

x y xy
x y
   




2

( ) 49

. 12
x y
x y
  


 
7
. 12
x y
x y
 




 ( vì x, y > 0)

 Giải hệ pt ta được

3
4
x
y





 hoặc

4
3
x
y





 (thỏa ĐK).

 Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 3cm và 4cm.

Bài tập 10: Giải bài tốn sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vịi nước cùng chảy vào một cái bể
khơng có nước trong 4 giờ 48 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 3 giờ và vòi thứ hai trong 4 giờ
thì được

4 bể nước. Hỏi mỗi vịi chảy một mình trong bao lâu thì mới đầy bể?
HD:

 Gọi x (h), y (h) lần lượt là thời gian vòi 1, vòi 2 chảy riêng đầy bể ( x > 3, y > 4).

 Trong 1h, vòi 1 chảy được:

x (bể).

 Trong 1h, vòi 2 chảy được:

y (bể).

 Vì hai vịi nước cùng chảy trong 4 giờ 48 phút =

5 h sẽ đầy bể nên trong 1h hai vòi cùng chảy

được

24 bể, do đó ta có pt:

x +

y =

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

 Vì vịi thứ nhất trong 3 giờ và vòi thứ hai trong 4 giờ thì được

4 bể nước nên ta có pt:

x +

y =

4 (2).

 Từ (1) và (2) ta có hệ pt:

1 1 5

3 4 3

4
x y
x y


 



  


 (I)

 Đặt u =

x, v =

y , hệ (I) trở thành:

5
24
3
3 4
4
u v
u v

 




  


 (II).

 Giải hệ (II), ta được:

1
12
1
8
u
v





 

 
1 1
12
1 1
8
x
y






 

 
12
8
x
y





 (thỏa ĐK).

 Vậy: Vòi 1 chảy riêng đầy bể trong 12h, vòi 2 chảy riêng đầy bể trong 8h.

Bài tập11: Giải bài tốn sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vịi nước cùng chảy vào một cái bể khơng
có nước trong 1 giờ 20 phút thì đầy bể. Nếu để vịi thứ nhất chảy một mình trong 10 phút và vịi thứ hai
chảy một mình trong 12 phút thì chỉ được

15 thể tích của bể nước. Hỏi mỗi vịi chảy một mình trong bao

lâu sẽ đầy bể?

HD: Vịi 1 chảy riêng đầy bể trong 120 phút = 2h, vòi 2 chảy riêng đầy bể trong 240 phút = 4h.

Bài tập 12: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vịi nước cùng chảy vào một cái bể cạn
(khơng có nước) thì sau

4
4

5 giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vịi

thứ hai thì sau

5 giờ nữa mới bể nước. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vịi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy

bể?

HD:

 Gọi x (h), y (h) lần lượt là thời gian vòi 1, vòi 2 chảy riêng đầy bể ( x > 9, y >

6
5).

 Trong 1h, vòi 1 chảy được:

x (bể).

 Trong 1h, vịi 2 chảy được:

y (bể).

 Vì hai vịi nước cùng chảy trong

4
4

5 giờ =

5 h sẽ đầy bể nên trong 1h hai vòi cùng chảy được

24 bể,

do đó ta có pt:

x +

y =

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

 Vì lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vịi thứ hai thì sau

5 giờ nữa mới bể

nước nên ta có pt:

x +

6 1 1

5 x y

 



 

  = 1 (2).

 Từ (1) và (2) ta có hệ pt:

1 1 5

9 6 1 1

1
5

x y

x x y


 



 
   
 
  

 (I)

 Đặt u =

x, v =

y , hệ (I) trở thành:





5
24
6
9 1
5
u v

u u v


 



   

 
5
24
51 6
1
5 5
u v
u v

 




  


 (II).

 Giải hệ (II), ta được:

1
12
1
8
u
v





 

 
1 1
12
1 1
8
x
y






 

 
12
8
x
y





 (thỏa ĐK).

 Vậy: Vòi 2 chảy riêng đầy bể trong 8h.

Bài tập13: Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình: Hai vịi nước cùng chảy vào một bể cạn chưa có
nước thì sau 18 giờ đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất sẽ chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai 27 giờ.
Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vịi mất bao lâu mới chảy đầy bể?

HD:

 Gọi x (h) là thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể (x > 27).

 Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể: x – 27 (h).

 Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được

x (bể).

 Mỗi giờ vòi thứ hai chảy được

1
27

x (bể).

 Vì hai vịi cùng chảy thì sau 18 h bể đầy, nên trong 1h hai vịi cùng chảy được

18 bể, do đó nên ta

có pt:

1 1 1

27 18

x  x   x2 – 63x + 486 = 0.

 Giải pt trên ta được: x1 = 54 (nhận); x2 = 9 (loại).

 Vậy: Vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 542h, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 27h.

Bài tập 14: (HK II: 2008 – 2009 _ Sở GD&ĐT Bến Tre):

Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách nhau 90 km. Hai mô tô khởi
hành đồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ chúng gặp nhau. Tiếp
tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 27 phút. Tính vận tốc mỗi xe.

HD:

 Gọi x, y là vận tốc của xe I và xe II (x, y > 0).

 Sau một giờ hai xe gặp nhau nên tổng quãng đường hai xe đi được bằng đoạn đường AB, do đó ta

có pt: x + y = 90 (1).

 Thời gian xe I đi hết đoạn đướng AB:

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

 Thời gian xe II đi hết đoạn đướng AB:

y (h).

 Vì xe II tới A trước xe I tới B là 27 phút =

20 h nên ta có pt:

x –

y =

20 (2)

 Từ (1) và (2) ta có hệ pt:

x + y = 90

90 90 9

x y





 



 

y = 90 ( )

10 10 1

( )

90 20

x a

b

x x







 

 

 .

 Giải pt (b)ta được: x1 = 40(nhận) ; x2 = 450 (loại).

 Thế x = 40 vào (a)  y = 50 (nhận).

Vậy:

Bài tập 15: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách nhau 110 km. Hai mô tô
khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B đi ngược chiều nhau. Sau 2 giờ chúng gặp nhau.
Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 44 phút. Tính vận tốc mỗi xe.

HD:

 Gọi x, y là vận tốc của xe I và xe II (x, y > 0).

 Sau 2 giờ hai xe gặp nhau nên tổng quãng đường hai xe đi được bằng đoạn đường AB, do đó ta có

pt: 2x +2y =110 (1).

 Thời gian xe I đi hết đoạn đướng AB:

110

x (h).

 Thời gian xe II đi hết đoạn đướng AB:

110

y (h).

 Vì xe II tới A trước xe I tới B là 44 phút =

15 h nên ta có pt:

110

x –

110

y =

15 (2)

 Từ (1) và (2) ta có hệ pt:

2x + 2y = 110

110 110 11

x y






 



 

y = 55 ( )

110 110 11

( )

55 15

x a

b

x x







 

 

 .

 Giải pt (b)ta được: x1 = 25(nhận) ; x2 = (loại).

 Thế x = 25 vào (a)  y = (nhận).

Vậy:

 Xe I có vận tốc: 40 km/h.

 Xe II có vận tốc: 50 km/h.

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

PhÇn hình học

(cần bổ xung lí thuyết các chơng )

Các bài tập hình học 9 điển hình

*************&*************

Bi 1: cho(o) ng kính AB =2R trên OA lấy một điểm bất kì kẻ đờng thẳng d vng góc ABtại

I .C¾t (O) tại hai điểm M;N trênIM lấy một điểm E (E khác M;I) nối AE cắt (O) tại K, BK cắt d t¹i
D.

a) CMR : IE. ID = MI2

b) Gọi B là điểm đối xứng củaB qua I . CMR tứ giác BAED nội tiếp
c) CMR : AE.AK + BI. BA =4R2

d) Tìm vị trí I để chu vi tam giác MIO lớn nhất

Bài 2: cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB =2R. Clà trung điểm của AO đờng thẳng Cx vng góc

với AB tại C , Cx cắt nửa đờng tròn tại I , K là điểm bất kì trên CI (K khác C,I ) .Tia AK cắt (O) tại
M ,cắt Cx tại N .Tia BM cắt Cx tại D .

a) CMR: 4 điểm A,C,M,Dcùng nằm trên một đờng trịn
b) CMR: tam giác MNK cân

c) TÝnh diƯn tích tam giác ABD khi K là trung điểm CI

d) CMR: khi K di động trên CI thì tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đờng
thẳng cố định.

Bài 3: Cho nửa đờng trịn đờng kính BC , một điểm A di động trên nửa đờng trịn kẻ AH vng góc

với BC tại H .Đờng trịn tâm I đờng kính AH cắt nửa đờng trịn tâm O tại điểm thứ 2 là G cắt
AB,AC tại D và E .

a) CMR: Tø gi¸c BDEC néi tiếp.

b) Các tiếp tuyến tại D, E của (I) lần lợt cắt BC tại M,N . CMR: M,N lần lợt là trung điểm của
BH,CH.

c) CMR: DEAO . T đó suy ra AG, DE,BC đồng quy.
d) Tìm vị trí của A để SDENM lớn nhất.

Bài 4: cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R .M di động trên (O) vẽ(E) tiếp xúc (O) tại M, tiếp xúc

với đờng kính AB tại tại N , đờng trịn này giao với MA,MB tại C,D
a) CMR : CD//AB

b) MN là phân giác của AMB và đờng thẳng MN đi qua K cố định .
c) CMR: KN.KM không đổi

d) Gọi giao điểm của CN,CM với KB,KA lần lợt ở C và D. Tìm vị trí E để chu vi tam giác 
NCD là nhỏ nhất.

Bài 5: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB , C,D thuộc nửa đờng trịn đó , AC và AD cắt tiếp tuyến Bx

của nửa đờng trịn tại E và F .

a) CMR: Tø gi¸c CDEF néi tiÕp.

b) Gọi I là trung điểm của BF .Chứng minh DI là tiếp tuyến của nửa đờng tròn

Bài 6: Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB . M thuộc cung AB , H là điểm chính giữa của

cung AM , BH c¾t AM tại I và cắt tiếp tuyến Ax tại K . AH cắt BM tại E
a) ABE là tam giác gì?.

b) Xác định vị trí tơng đối của KE với (B;BA)

c) Đờng tròn ngoại tiếp BIE cắt (B;BA) tại điểm thứ 2 là N . Chứng minh khi M di động thì 
MN luôn đi qua một điểm cố định .

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

e) Với vị trí M tìm đợc . Chứng minh đờng trịn ngoại tiếp tam giác EHQ tiếp xúc với (O) , ( Q
là giao của BM và Ax).

Bài 7: Cho tam giác ABC với ba góc nhọn nội tiếp (O). Tia phân giác trong của góc B cắt đờng

trịn tại D .Tia phân giác trong của góc C cắt đờng tròn tại E, hai phân giác này cắt nhau ở tại F
.Gọi I,K theo thứ tự là giao của dây DE với các cạnh AB,AC

a) CMR:EBF cân

b) CMR : Tứ giác DKFC nội tiếp và FK// AB
c) Tứ giác AIKF là hình gì ?

d) Tỡm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác là hình thoi,đồng thời có diện tích gấp 3 lần diện
tích tứ giác AIFK.

Bài 8: Cho ABC nội tiếp (O) ,tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I cắt (O) tại P .Kẻ đờng kính

PQ ,c¸c tia phân giác của góc ABC và ACB cắt AQ thứ tự tại E và F . CMR:
a) PC2 = PI.PA

b) Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn.

Bài 9: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O) các đờng cao AM,BN,CE đồng quy tại H. Kẻ đờng

kÝnh AD

a) CMR: H là tâm đờng tròn ni tip MNE
b) CMR: BNM CBD

c) Đờng thẳng d đi qua A song song EN cắt BC tại K . CMR: KA2 = KB.KC
d) BC cắt HD tại I .CMR: IH = ID

Bµi 10: Cho ABC néi tiÕp (O;R) .H,G lần lợt là trựctâm ,trọng tâm củaABC. I,K là trung điểm

của BC,CA. CMR:
a)HABOIK
b) AH = 2OI

c) H,G,O thẳng hàng

d) Gọi AH cắt BC tại M ,cắt (O) tại điểm thứ hai là D , có E,F là hình chiếu của D trên AB
,AC .Chứng minh EF đi qua M.

Bài 11: Cho tam giác ABC với ba góc nhọn nội tiếp (O).Có H là trực tâm , BH cắt AC tại D cắt (O)

tại M. CH cắt AB tại E cắt (O) tại N. CMR:
a) ED// MN

b) OAED

c) Gọi P là điểm chính giữa cung nhỏ BC. CMR: AP là phân giác của HAO
d) Cho BC cố định A di động trên cung lớn BC .

1- CMR: bán kính đờng trịn ngoại tiếp AED ln khơng đổi
2- Tìm điều kiện của ABC sao cho OH//BC

3- Tìm vị trí A để diện tích ABC lớn nhất
4- Tìm vị trí của A để HA+HB+HC lớn nhất

Bài 12: cho nửa đờng trịn đờng kính AB, C trên cung AB . Kẻ CH AB . I,K là tâm đờng tròn

ngọai tiếp CAH, BCH,đờng thẳng IK cắt CA,CB tại M,N
a) CMR: CM =CN

b) Xác định vị trí của C để tứ giác ABNM nội tiếp.

c) kẻ CDMN.CMR: khi C di động trên AB thì CD ln đi qua một điểm cố định.

d) Tìm vị trí C để diện tích CMN lớn nhất .

e) CMR: R12 R22R32. Trong đó R R R1; ;2 3lần lợt là bán kính đờng trịn nội tiếp ABC; CHA;

CHB.

Bài 13: Cho (O;R) đờng thẳng d cắt (O) tại hai điểm C;D , điểm M tuỳ ý trên d kẻ tiếp tuyến MA,

MB , I lµ trung ®iĨm cđa CD.

a) CMR: 5 điểm M,I,A,O ,B cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Gọi H là trực tâm của MAB. Tứ giác OAHB là hình gì?
c) Khi M di động trên d. CMR: AB luôn đi qua một điểm cố định.

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Bài 14: Cho (O) và một điểm A nằm ngồi đờng trịn. Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AB ; AC và cát tuyến
AMN với đờng tròn (B,C,M,N nằm trên đờng tròn và AM<AN). Gọi E là trung điểm của dây MN.
I là giao điểm thứ hai của của đờng thẳng CE với đờng tròn . CMR:

a) bốn diểm A,O,E,C cùng nằm trên một đờng trịn.
b) AOC BIC

c) BI//MN

d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích AIN lớn nhất.

Bµi 15: Tõ một điểm M ngoài (O;R) ,vẽ hai tiếp tuyến MA,MB (A,B là các tiếp diểm). Một

ng thng qua M cắt (O) tại Cvà D .Gọi I là trung điểm của CD . Gọi E,E,K lần lợt là giao điểm
của AB với MO,MD, IO . CMR:

a) OE.OM = OI. OK = R2.
b) Tø gi¸c BOIA néi tiÕp.

c) Khi CAD CBD  . CMR: DEC2DBC
d) Cho MO = 2R, CD = R 3. Tính SKAM

Bài 16: Từ một điểm M ngoài (O;R) ,vẽ hai tiếp tuyến MA,MB (A,B là các tiÕp diĨm). Gäi I lµ

trung điểm của MA và K là giao điểm của BI với đờng tròn. Tia MK cắt (O;R) tại C . CMR: a)

MIK BIM

 

b)BC // MA.

c) Gọi H là trực tâm của MAB . CMR : Khoảng cách HA không phụ thuộc vào vị trí của M
d) Xác định vị trí của M để tứ giác AMBC là hình bình hành.

Bài 17: Cho (O) và (O) cắt nhau tại A,B các tiếp tuyến tại Acủa (O) , (O) cắt (O), (O) lần lợt tại E;F

. gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp EFA . CMR:

a) Tứ giác OAOI là hình bình hành và OO // BI.
b) OBIO néi tiÕp.

c) kÐo dµi AB vỊ phía B một đoạn CB=AB . CMR tứ giác AECF néi tiÕp.

Bài 18: Cho (O;R) và dây cung AB . Từ P tuỳ ý trên AB vẽ các đờng tròn (C; r)và (D;R),đi qua P và

tiếp xúc (O) theo thứ tự tại A,B . Hai đờng tròn (C); (D) cắt nhau tại N.
Chứng minh:

a) tứ giác OCPD là hình bình hành từ đó suy ra R = r +R
b) PNO 900

c) P di động trên AB thì N trên đờng nào?

d) NP luôn đi qua một điểm cố định khi P di động trên AB.
e) Xác định vị trí của P để tích PN.PK lớn nhất . Tính giá trị đó.

Bài 19: Cho 2 đờng trịn (O;R) và (O;R) cắt nhau tại hai điểm A;B . Kẻ tiếp tuyến chung ca hai

đ-ờng tròn (tiếp điểm là D và E ), DE cắt tia AB tại M .CMR:
a)MDBMAD.

b) M là trung điểm của DE.

c) Gọi N là điểm đối xứng của B qua M .CMR: tứ giác ADNE nội tiếp .

d) Qua D kẻ đờng thẳng // với AE , qua E kẻ đờng thẳng // AD. Hai đờng thẳng này cắt nhau tại

S .CM: SB R 1R2

Bài 20: Cho (O) đờng kính AB =2R . Vẽ dây AD = R, BC = R 2, kẻ AM,AN vng góc với

CD.CMR:

a) M,N n»m ngoµi (O)
b) DN = CM.

c) tÝnh MN theo R
d) SABMN SABD SABC

Bµi 21: Cho ABC néi tiÕp (O) cã AC >AB. Gäi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC . P lµ giao

điểm của AB và CD . Tiếp tuyến của đờng tròn tại C cắt tiếp tuyến tại D và AD tại E và Q . Chứng
minh :

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

c) Nếu F là giao điểm của AD và BC thì :

1 1 1

CE CQ CF

Đề thi tuyển sinh vào líp 10

Tham Kh¶o

Năm học

2006 - 2007

(Thời gian150)
Câu 1 : (1 điểm) Tìm các giá trị của a và b để hệ phơng trình :

¿
a.x+by=2006

b.x+ay=2007

¿{
¿

nhËn x=1 vµ y= √2 là một nghiệm.

Câu 2 : (1 điểm) Chứng minh rằng

√

2+√3+

√

2−√3

√

3+2 .√3+

√

3−2.√2=

√3
2

Câu 3 : (1đ ) : Tìm một số tự nhiên có hai chữ số , biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 12 và
bình phơng chữ số hàng chục gấp đôi chữ số hàng đơn vị.

Câu 4 : (1đ) : Trong các hình thoi có chu vi bằng 16cm, hãy tìm hình thoi có diện tích lớn nhất.
Tìm giá trị lớn nhất đó.

Câu 6 : (1đ) : Tìm các giá trị của a để đờng thẳng y=ax+a+1 tạo với hai trục toạ độ một tam giác

vuông cân. Tính chu vi của các tam giác đó.

Câu 7 : (1đ) : Chứng minh rằng trong mặt phẳng toạ độ vng góc Oxy đờng thẳng y=mx+1 ln

c¾t parabol y=x2 tại hai điểm A,B phân biệt và OAB vuông.

Cõu 8 : (1đ) : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Trên đờng cao BH lấy điểm M sao cho

AMC = 90 và trên đờng cao CK lấy điểm N sao cho ANB = 90. Chứng minh : AM=AN.

sau đây có nghiệm : ax2 + 2ax + c = 0, bx2 + 2cx +a =0, cx2 + 2ax +b = 0.

Câu 10 : (1đ) Cho tam giác cân ABC (AB=AC) có A = 20. Trên cạnh AC ta lÊy mét ®iĨm D sao

cho AD = BC và dựng tam giác đều ABO ra ngoài ABC. Chứng minh rằng O là tâm đờng tròn
ngoại tiếp ABD và tính góc ABD.

§Ị sè 1 (Thêi gian 120)
Bài1

Câu a, (1đ) Tính A=

√

7+2√10−

√

7−2√10
B=( 3+23

3 +
2+2

2+1(1 :
1

2+3)
Câu b, (2đ) Cho biÓu thøc P=( 2√x

√x+3+

√x

√x −3−
3x+3

x −9 ¿:(

2√x −2

√x −3 −1) víi x 0 ;x 9
1) Rót gän P (1®)

2) Tìm x để P< −1

3 (0,75®)
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của P (0,75đ)

Bi 2:(1,5đ) Hai đội đào một con mơng , nếu 2 đội cùng làm thì trong 12 ngày thì xong Nhng nếu

2 đội chỉ đào chung trong 8 ngày , sau đó đội thứ hai nghỉ đội thứ nhất làm tiếp trong 7 ngày nữa
thì xong việc .Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì trong bao lâu thỡ xong con mng?

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Cho phơng trình x2 -2(m+1)x+m-1=0 (1)

a, Chøng tá r»ng phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mäi m
b, C/m r»ng biĨu thøc sau kh«ng phơ thuéc vµo m

A=x1(1-x2)+x2(1-x1) ( Trong đó x1;x2 là các nghim ca (1) )

Bài 4:(3,5đ)

Cho hỡnh thang cõn ABCD (BC//AD) ;đờng chéo AC và BD cắt nhau tại O sao cho góc
BOC=600 ,gọi I;M, N,P,Q lần lợt là trung điểm của BC,OA,OB, AB ,CD

a, C/m DMNC nội tiếp đợc một đờng tròn
b, C/m Δ MNQ đều

c, So s¸nh c¸c gãc MQP ; QND ; NMC

d, C/m trực tâm của MNQ và O; I thẳng hàng

Bài 5:(1đ) C/m rằng 9x2y2+y2- 6xy-2y+2 0 víi mọi x;y

Đề số 2 (Thời gian 120)

Bài1:(2đ)Cho biểu thức B=

(

√a

2 −
1
2√a

)

(

√a −1

√a+1−

√a+1

√a −1

)

a) Rót gän B

b) Tính giá trị của biểu thức B khi a=

√

4+2√3
c) Tỡm cỏc giỏ tr ca a B >0

Bài 2;(1,5đ) Cho hệ phơng trình

ax2y=a
2x+y=a+1

{

a) Giải hệ phơng trình khi a=-2

b) Tỡm a h cú nghim duy nht tho món iu kin x-y=1

Bài 3; :(1,5đ)Cho phơng tr×nh x2 - (a -1)x - a2+a-2=0

a) Tìm giá trị của a để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu

b) Tìm giá trị của a để phơng trình có 2 nghiệm x1;x2 thoả mãn iu kin x12+x22 t giỏ 
tr nh nht

Bài 4:(4đ)

Cho tam giác ABC cân tại A; Vẽ cung tròn BC nằm bên trong tam giác ABC và tiếp xúc với
AB;AC tại B và C sao cho đỉnh A và tâm của cung tròn nằm khác phía đối với BC , lấy M thuộc
cung BC ; kẻ MI BC, MH AC , MK AB ; BM cắt IK tại P ; CM cắt IH tại Q

a) Chứng minh rằng tứ giác BIMK; CIMH nội tiếp đợc

b) Chứng minh rằng MI2 =MH.MK

c) Chứng minh rằng tứ giác IPMQ nội tiếp đợc và MI PQ
d) Chứng minh rằng nếu KI=KB thì IH=IC

Bµi 5(1đ) Giải phơng trình

x2

4x+4+

4x212x+9=1

Đề số 3 (Thời gian 120)

Bài 1: (2,5đ)

1) Tính giá trị biểu thức P=

√

4+2√3−

√

12+6√3
2)Cho biÓu thøc C= 1

√x −1−√x+
1

√x −1+√x+

√

x3− x

√x −1
a) Rót gän C

b)Tìm x để C>0 (Với x>1 ;C= x -1 - 2 √x −1+1 =( √x −1−1¿2 0...

c) TÝnh giá trị biểu thức C khi x= 53

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Bài 2: (1,5đ) Cho hệ phơng trình

¿
ax−2y=a
−2x+y=a+1

¿{
¿
a) Gi¶i hƯ khi a=-2

b)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà x-y=1
(với a 4 thì x= 3a+2

a−4 ; y=
a2+3a

a −4 ;...

Bài 3: (2đ) Cho Parbol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình : (P): y= x

2 ; (d) : y=mx - m+2
a)Tìm m để đờng thẳng (d) và Parbol (P) cùng đi qua điểm có hồnh độ x=4

b)C/m rằng với mọi m đờng thẳng (d) và Parbol (P)luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
c)Giả sử đờng thẳng (d) và Parbol (P)luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt(x1;y1) và (x2;y2).
Hãy c/m rằng y1+y2 (2 x

√2−1¿ ¿ 1+x2)

Bài 4:(4đ) Cho đờng tròn (O) đk AC lấy điểm B thuộc OC và vẽ đờng tròn (O)đk BC .Gọi M là

trung điểm AB ,qua M kẻ dây cung vng góc với AB cắt đờng tròn (O) tại D và E . Nối DC ct
-ng trũn (O) ti I

a) Tứ giác DABE là hình gì ?Tại sao ?
b) c/m BI // AD

c) c/m 3 điểm I;B;E thẳng hàng vµ MD=MI

d) Xác định vị trí tơng đối của MI vi ng trũn (O)

Đề số 4 (Thời gian 120)

Bài 1: (2,5đ)

1)Tính giá trị biểu thức M=

(

15
6+1+

62
12

36

)

(6+11) (M=-115)
2)Cho biÓu thøc D= ( √x −1

3√x −1−
1

3√x+1+

8√x

9x −1):

(

1−

3√x −2
3√x+1

)

a) Rót gän D

b)Tìm x để D 0 (Với x 0; x ≠1

9 ; D= √
x+x

3√x −1≥0 ;...
c)Tìm giá trị x để D= 6

5 ( √
x+x
3√x −1=

5 ( Víi x 0; x 
1

9 ) <=>...

Bài 2: (1,5đ) Cho hệ phơng trình

2yx +21+

y+2
2x 1=m
x+y=5

{

a) Giải hệ khi m= 5

b)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ vô nghiệm

Bài 3: (2 đ) Cho Parabol (P): y=ax2 (a 0) và đờng thẳng (d) :y=kx+b

a) Tìm k và b biết đờng thẳng (d) đi qua 2 điểm : A(1;0) và B(0;-1)

b) Tìm a biết rằng Parabol (P) tiếp xúc với đờng thẳng (d) vừa tìm đợc ở trên
c) Viết phơng trình đờng thẳng (d2) đi qua C( 3

2;−1¿ vµ cã hƯ sè gãc lµ m

d) Tìm m để đờng thẳng (d2) tiếp xúc với (P) (tìm đợc ở câu b). Và chứng tỏ rằng qua điểm C
có 2 đờng thẳng (d2) cùng tiếp xúc với (P) ở câu b và vng góc với nhau

Bài 4: (4 đ) Cho tam giác ABC vuông ở A (AB>AC) đờng cao AH .Trên nửa mặt phẳng có bờ là

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp đợc

c) Chứng minh FE là tiếp tuyến chung của 2 nửa đờng tròn

d) Giả sử ∠ ABC bằng 300 .C/m rằng bán kính của nửa đờng tròn này gấp 3 lần
bán kính của nửa đờng trịn kia ( Hay c/m HB=3HC ; HC=1/2 OC=1/4.BC)

Đề số 5 (Thời gian 120)

Bài 1: (2,5đ)

1) Tính giá trÞ biĨu thøc N= (5√3+√50)(5−√24):(√75−5√2) (N=1)
2)Cho biÓu thøc E=

(

x −3√x

x −9 −1

)

(

9− x
x+√x −6+

√x −3

√x −2−

√x+2

√x+3

)

a) Rót gän E

b)Tìm x để E<1 (Với đk x ... ; E= 3

√x+2<1 <=>...
c)Tìm giá trị x Z để E Z

Bài 2: (1,5 đ) Cho Parabol (P): y=x2 và đờng thẳng (d) :y=3x+m2 (m là tham số)
a) C/m rằng đờng thẳng (d) và Parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt với mọi m
b)Giả sử đờng thẳng (d) và Parbol (P)luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có tung độ là y1và y2
Tìm m để y1+y2 =11 y1y2

Bài 3: (2 đ) Cho hệ phơng trình

(m+1)x+y=4
mx+y=2m

{

-a) Giải hệ khi m=2

b)C/m rằng với mọi giá trị của tham số m hƯ lu«n cã nghiƯm duy nhÊt (x;y) sao cho x+y 2

Bài 4: (4 đ) Cho đờng tròn (O) và dâyAB lấy điểm C ở ngồi đờng trịn (O) và C thuộc tia đối của

tia BA. Lấy điểm P nằm chính giữa của cung AB lớn , kẻ đờng kính PQ của (O) cắt dây AB tại
D.Tia CP cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là I., dây AB và QI cắt nhau tại K

a) C/m tứ giác PDKI nội tiếp đợc

b) C/m CI .CP=CK .CD vµ CK .CD= CB. CA

c) C/m IC là tia phân giác của góc ngồi tại đỉnh I của Δ AIB

d) Giả sử A;B;C cố định . chứng minh rằng khi đờng tròn (O) thay đổi nhng vẫn đi qua A;B
thì QI ln đi qua 1 điểm cố định

§Ị KiÓm tra sã 6 (Thêi gian 150-Dành cho hs lớp A)

Bài1 :(2đ) Cho biểu thứcA=

x+24x 2+

x+2+4x 2

x42

4
x+1

a) Rút gọn A

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Bài 2:(1đ)Cho hệ phơng trình

x+5+y 2=m

x 2+y+5=m
{

Tỡm s dng m h cú nghim duy nht

Bài 3:(2đ) 1) Cho x1 vµ x2 lµ 2 nghiƯm của phơng trình x2 -3x +a =0

x3 vµ x4 lµ 2 nghiệm của phơng trình x2 -12x +b =0 T×m a;b biÕt x2

x1
=x3

x2
=x4

x3
2) Cho phơng trình: x

+2 mx+1

x −1 =0

(1) Tìm m để phơng trình (1) vơ nghiệm

Bài 4:(1,5đ) Cho phơng trình : x2 -2(m -1)x+m-3=0 
a) Tìm m để phơng trình ln có nghiệm

b) T×m một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà không phơ thc vµo m

c) Xác định m sao cho phơng trình có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối

Bài 5: (3đ) Cho đờng trịn (O;R), M là một điểm nằm ngồi đờng tròn .Qua M kẻ 2 tiếp tuyến

MA và MB với đờng tròn (A;B là 2 tiếp điểm ). Một đờng thẳng d qua M cắt đờng tròn tại 2 điểm C
và D ( Cnằm giữa M và D ) . Gọi I là trung điểm của CD .Đờng thẳng AB cắt MO ; MD;OI theo thứ
tự tại E;F;K

a) Chøng minh OE.OM=OK.OI=R2

b) Khi d không đi qua O chứng minh tứ giác OECD nội tiếp đợc
c) Khi R=10cm; IO=6cm ;MC=4cm .Tớnh MB

Bài 6:(0,5đ) Tìm các số nguyên x;y thoả mÃn : 2y2x+x+y+1=x2+xy+2y2

Đề thi tuyển sinh vào 10

Trờng PTTH chuyên lê hông phong

Năm học 2000-2001

Môm toán

(Đề chung-Thời gian lam bài :120)

Bµi 1:Cho biĨu thøc A= a

√ab+b+
b

√ab− a−
a+b

√ab

a) Rót gọn A (1,25đ)
b) Tính giá trÞ cđa A khi a=

√

6+2√5 ; b=

√

6−2√5 (0,75đ)
Bài 2;: Cho phơng trình x4-2mx2 +m2-3=0

a) Giải phơng trình khi m= √3 (1đ)
b) Tìm m để phơng trình có 3 nghiệm phân biệt (1,5)
Bài 3: Cho parabol (P): y= −1

2 x
2

và điểm A(2;-3) cùng thuộc một mặt phẳng toạ độ
a)Viết phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số góc là k và đi qua A (0,5đ)
b)Chứng tỏ rằng đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi k (1đ)

Bài 4: Cho điểm M ở ngồi đờng trịn (O;R) ,qua M kẻ 2 tiếp tuyết MP;MQ với đờng tròn

(P;Q là 2 tiếp điểm ) MO cắt đờng tròn tại I , qua M kẻ đờng thẳng d cắt đờng tròn (O)
Tại Avà B ( A nằm giữa M và B)

a) Chứng minh rằng I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MPQ (1,25đ)
b) Tìm tập hợp các điểm M thuộc d để tứ giác MPOQ là hình vng (1,75đ)
c) Tìm tập hợp các tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác MPQ khi M thay đổi ? (1đ)

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

A Δ

B d
Q

Đề thi tuyển sinh vào 10

Trng PTTH chuyờn lờ hụng phong-nam nh

Năm học 2002-2003

Môm toán (

Thời gian lam bài 150)
(Đề vòng 1 dành cho mọi thí sinh)

Bài 1:(2đ) 1) Chứng minh rằng với mọigiá trị dơng của n , ta lu«n cã
1

(n+1)√n+n√n+1=
1

√n−
1

√n+1
2)TÝnh tæng

S= 1
2+√2+

3√2+2√3+

4√3+3√4+. . ..+

100√99+99√100
Bµi 2:(1,5®)

Tìm trên đờng thẳng y=x+1những điểm có toạ độ thoả mãn đẳng thức y2-3y

√x+2x=0

Bài 3:(1,5đ) Cho 2 phơng trình sau : x2-(2m-3)x +6=0 và 2x2 +x+m-5=0 (m là tham số )
Tìm m để 2 phơng trình đã cho có đúng một nghiệm chung

Bài 4:(4đ)Cho đờng tròn (O;R) 2 đờng kính AB và MN .Tiếp tuyến với đờng trịn (O) tại A cắt các

đờng thẳng BM và BN tơng ứng tại M1 và N1 .Gọi P là trung điểm của A M1 , Q là trung điểm của
AN1

1) Chứng minh tứ giác MM1N1N nội tiếp đợc trong một đờng trịn
2) Nếu M1N1 =4R thì tứ giác PMNQ là hình gì ? tại sao ?

3) Khi đờng kình AB cố định , tìm tập hợp các tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác BPQ khi
MN thay đổi ?

Bài 5:(1đ) Cho đờng tròn (O;R) hai điểm A;B nằm ở phía ngồi (O) ; OA=2R. Xác định vị trí của

điểm M trên đờng trịn (O) sao cho biểu thức P=MA+2MB đạt giá trị nhỏ nhất .Tìm giá trị nhỏ
nhất đó .

Đề thi tuyển sinh vào 10

Trng PTTH chuyờn lờ hụng phong-nam nh

Năm học 2002-2003

Môm toán (

Thời gian lam bài 150)

(Đề vòng 2 dành cho thí sinh thi vào chuyên toán)
Bài 1: 1) Cho 2 số a; b dơng thoả mÃn a2-b > 0 hÃy chứng minh

√

a+√b=

√

a+

√

a2− b
2 +

√

a −

√

a2− b
2

2)Kh«ng sư dơng m¸y tÝnh h·y chøng tá r»ng : 7
5<

2+√3

√2+

√

2+√3+

2−√3

√2−

√

2−√3 <
29
20
Bài 2: Giả sử x;y là các số dơng thoả mãn đẳng thức x+y= √10

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Bài 3: Giải hệ phơng trình

x
x − y+

y
y − z+

z
z − x=0
x − y¿2

¿
y − z¿2

¿
z − x¿2

¿
¿0

¿
¿
¿
¿

¿
x
¿

Bài 4: Cho Δ ABC nhọn nội tiếp trong đờng tròn (O;R).với BC=a , AC=b ,AB=c lấy điểm I bất

kỳ ở phía trong Δ ABC và gọi x;y;z lần lợt là khoảng cách từ I đến cạnh BC; AC;AB của tam giác
Chứng minh rằng √x+√y+√z ≤

√

a2+b2+c2

2R

Bài 5; Cho tập hợp P gồm 10 điểm trong đó có một số cặp đợc nối với nhau bằng đoạn thẳng .

Số các đoạn thẳng có trong tập P nối từ điểm A đến các điểm khác gọi là bậc của điểm A .
Chứng minh rằng bao giờ cũng tìm đợc 2 điểm trong tập P có cùng bậc

§Ị thi tun sinh vào 10

Chuyên toán Thời gian lam bài 150

Năm học 2003-2004

Môm toán

Bài 1: 1) Rút gän biÓu thøc P= 1

x2−√x:

√x+1

x+√x+x√x (0,5®)

2) Chøng minh r»ng

n+1¿2
¿
n2+¿

1
¿

(0,75®)

Ap dơng chøng tá r»ng: 15+ 1

13+. . .. .+

20062+20072<
1
2

Bài 2: 1)Giải hệ phơng trình

x√y −1+y√x −1=xy
(x −1)√y+(y −1)√x=√2y

¿{
¿

(1®)

2) Cho xy=1 vµ x>y Chøng minh r»ng x
2

+y2

x − y ≥2√2 (0,75®)

Bài 3: 1) Tìm m để phơng trình (m+1) x2 -3mx+4m =0 có nghiệm dơng (1đ)

2) Gi¶i phơng trình x2+3x +1=(x+3)

x2+1 (1®)

Bài 4: (4đ) Cho hình vng ABCD ; M là điểm thay đổi trên cạnh BC ( M không trùng B )và N

điểm thay đổi trên cạnh DC ( N không trùng D ) sao cho ∠ MAN= ∠ MAB+ ∠ NAD
1) BD cắt AN và AM tơng ứng tại P và Q . Chứng minh rằng 5 điểm P,Q,M,C,n cùng
nằm trên một đờng tròn

2) Chứng minh rằng MN luôntiếp xúc với một đờng tròn cố định khi M và N thay đổi
3)Gọi diện tích tam giác APQ là S1 và diện tích tứ giác PQMN là S2 c/m rằng S1

S2

không
đổi

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Bài 5: Cho a;b;clà độ dài 3 cạnh của một tam giác .Chứng minh rằng phơng trình
x2 +(a+b+c) x+ ab+bc+ca =0 vô nghiệm (1đ)

§Ị thi tun sinh vào 10

Trng PTTH chuyờn lờ hng phong-nam nh

Đề tuyển sinh vào lớp 10 ban A;B

Năm học 2004-2005

Môm toán (

Thời gian lam bài 150)
Bµi 1: Rót gän biĨu thøc

a) P= m −n
√m −√n+

m+n+2√mn

√m+❑

√n víi mäi m;n 0 ; m n

b) Q= a
2

b−ab2

ab :

√a −√b

√a+√b víi mäi a>0; b>0
Bµi 2: Giải phơng trình

√6− x+√x −2=2

Bài 3: Cho các đờng thẳng (d1): y=2x+2 (d2): y=-x+2 (d3): y=mx ( m là tham số)
a) Tìm toạ độ các giao điểm A;B;C theo thứ tự của (d1) với (d2) ; (d1)với trục hòanh và
(d2) với trục hồnh

b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (d3)cắt cả 2 đờng thẳng (d1); (d2)
c) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (d3)cắt cả 2 tia AB và AC

Bài 4; Cho Δ ABC đều nội tiếp trong đờng trịn (O), D là điểm nằm trên cung BC khơng cha

điểm A.Trên tia AD lÊy ®iĨm E sao cho AE=DC
a) Chøng minh Δ ABE = Δ CBD

b) Xác định vị trí D sao cho tổng DA+DB+DC lớn nhất

Bµi 5: Tìm x; y dơng thoả mÃn

x+y=1
8(x4

+y4)+ 1
xy=5
{

Đề thi tuyển sinh vào 10

Trờng PTTH chuyên lê hồng phong

Năm học 2007-2008

Môm: toán (Đề chung)

(Ngày thi:25-6-2007-Thời gian làm bài :150)

Bài 1:(2đ) Cho biểu thức P= √x ( 1

√x −1+
1

√x+1¿+
x2−

√x
x+√x+1+

x√x −√x

√x −1 víi x 0; x ≠1
a)Rót gän P

b)Tìm các số nguyên x để biểu thức P nhận giá trị nguyên

Bài 2:(2đ) Trong 1 hệ trục toạ độ Oxy cho parabol y=x2 (P) và đờng thẳng y=2(m-1)x+m+1 (d)

a)Khi m=3 .Tìm hồnh độ giao điểm của (d) và (P)

b)Chứng minh rằng đờng thẳng (d) và parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt với mọi m
c)Giả sử đờng thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A(x1;y1) và B(x2;y2) .

T×m m sao cho tho¶ m·n x1y2 + x2y1=1

Bài 3:(3đ) Cho nửa đờng trịn (O;R) ,đờng kính AB=2R, gọi C là điểm chính giữa của cung AB, M

thuộc cung AC (M A và C ).Kẻ tiếp tuyến (d) của (O;R) tại M ; Gọi H là giao điểm của
BM và OC .Từ H kẻ đờng thẳng song song với AB , đờng thẳng đó cắt (d) tại E

1)Chứng minh tứ giác OHME nội tiếp đợc một đờng tròn
2)Chứng minh EH =R

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Bài 4: a) Giải hệ phơng trình (1đ)

x+y+2=4(x+1)(y+1)
x+y+xy=3

4
{

b) Giải phơng trình (1®) 8

√

x(x2+1) =3(x2-x+1)

Bài 5:(1đ) Cho 2 số x;y thay đổi thoả mãn x2+y 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M=y2+(x2+2)2

§Ị thi tun sinh vào 10

Trờng PTTH chuyên lê hồng phong

Năm học 2007-2008

Môm: toán (Đề chuyên)

(Ngày thi:26-6-2007-Thời gian làm bài :150)
Câu 1: (2,5đ)

1)Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ta cã : √n+1−√n> 1
2√n+1
Tõ kÕt quả trên hÃy chứng minh : 1

2+
1

3+
1

4+
1

5+
1

6<262
2) Giải phơng trình : 2

√

x2−4x+5

√

1
4 x

2− x

+5=−4x2+16x −12

Câu 2: (2,0đ) Cho đờng tròn (I;r) nội tiếp Δ ABC, với A;B;C theo thứ tự là các tiếp điểm trên

các cạnh BC;AC;AB

1)KÝ hiÖu gãc ACB lµ C , chøng minh 2r=(BC+CA-AB)=tg C
2

2)Giả sử điểm M di động trên cung nhỏ BC của đờng tròn (I;r) sao cho M khác Bvà C

Tiếp tuyến tại tiếp điểm M của đờng tròn (I;r) cắt AB và AC thứ tự tại E và F.Đờng thẳng BC cắt IE
và IF theo thứ tự tại P và Q.Chứng minh rằng tỉ số PQ

EF có giá trị khơng đổi

Câu 3: (1,5đ) Cho đờng trịn (O;R) và 2 điểm phân biệt A;B cố định nằm trên đờng tròn (O;R) sao

cho đờng thẳng AB không đi qua tâm O .Gọi d và d theo thứ tự là tiếp tuyến của (O;R) tại các tiếp
điểm A và B.Điểm M thay đổi trên cung nhỏ AB của (O;R) sao cho M A và B.

Kẻ MH d ; Kẻ MK d.Hãy tìm vị trí của M để 1

MH+

Mk đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 4: (2,0đ) Cho phơng trình a x2 +bx +c =0 (1) trong đó a;b;c là các hệ số ; ac 0

1) Khi a=1 , hãy tìm b và c là các số nguyên để phơng trình (1) nhận x=2-2 √3 là nghiệm
2)Giả sử phơng trình (1) nhận x=k là một nghiệm .Chứng minh rằng tồn tại số thực d để
phơng trình a3x2 +dx+c3 =0 nhn x=k3 l nghim

Câu 5: (2,0đ)

1) Cho c¸c sè dơng a;b thoả mÃn a+b 2 . Chứng minh r»ng :

√

a3+

√

b3≥ a+b

2)Tìm tất cả các bộ số thực x;y;z tho¶ m·n hƯ sau

¿
x2

(y+1)=y

y2(z+1)=z

z2(x+1)=x

¿{{

</div>

bai tap lop 9 co ban

<b> </b>

<b>Ôn Thi vào THPT</b>

B-

<b>Bài tập </b>

<b> </b>

a, 2

và 10 -3

vµ 15 -3

vµ -12

2

<sub> vµ 5</sub>

<sub> </sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub> </sub>

<sub>.3 vµ </sub>

<i><sub>(căn bậc </sub></i>

<i>3)</i>

b,

<sub> và 15 1 vµ </sub>

<sub> </sub>

<sub>vµ 2 14 vµ </sub>

<b> c, </b>

3+

và 6+

2

<sub> và 3+</sub>

A=

B=

C=

D=

<sub>√</sub>

E=

√

F=

<sub>√</sub>

G=

<sub>√</sub>

H=

I=

√

J=

√

K=

√

M=

√

N=

√

P=

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

Q=

√

R=

√

U=

√

<b>Bµi 3a,</b>

Cho A=

vµ B=

<b>TÝnh</b>

<b>3b,</b>

Cho C=

<sub>√</sub>

vµ D=

<sub>√</sub>

<b>TÝnh </b>

A=

B=

C=

D= (

E=

F=2

<sub>√</sub>

<sub>√√</sub>

<sub>√</sub>

H=

<sub>√</sub>