De va DA on Thi DH cap toc so 02

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (333.4 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ƠN CẤP TỐC 2012 SỐ 02
Mơn: Toán- 0985.873.128

Thời gian làm bài: 180 phút
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số

y=x −1

x+1

(C)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (

C

) của hàm số đã cho.

2. Gọi A và B là hai giao điểm của đường thẳng



:

y=1

6x

và đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M

thuộc đường phân giác góc phần tư thứ nhất sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.

Câu II (2,0 điểm)

1. Giải phương trình:

cosx+cos 3x=1+

√

2 sin

(

2x+π

)

2. Giải bất phương trình sau:

(

√

x2−2x+5

)

(x+1)+4x

√

x2+1≤2x

√

x2−2x+5

Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân

I=

∫

0
π

4 cos

(

x+π4

)

sin 2x+2(sinx+cosx)+2 dx

Câu IV (1,0 điểm) Cho khối chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi M và N lần lượt

là trung điểm của cạnh SC và SB.Tính thể tích k/c S.ABC theo a, biết BM vng góc với CN.

Câu V (1,0 điểm) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm

x3− y3

+3y2−3x −2=0

x2+

√

1− x2−3

√

2y − y2+m=0

¿{

PHẦN RIÊNG (3,0

điểm

):

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần

(

phần A hoặc B

)

A. Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2,0

điểm

)

1. Cho điểm M(1;1) và hai đường thẳng d

: 3x - y - 5 = 0, d

: x + y - 4 = 0. Viết phương trình

đường thẳng d đi qua điểm M và cắt d

, d

tương ứng tại A, B sao cho 2MA - 3MB = 0.

2. Cho các điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;3;2) và mặt phẳng (



): x + 2y + 2 = 0. Tìm tọa độ

của điểm M, biết rằng M cách đều các điểm A, B, C và mặt phẳng (



).

Câu VII.a (1,0 điểm)

Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện

|z+1−5i|=|z+3−i|

. Tìm số phức

z có mơđun nhỏ nhất.

B. Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2,0

điểm

)

1. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho elip (E) có phương trình

x2
25+

y2

16=1

. Tìm tọa độ điểm M

thuộc (E) sao cho MF

= 4MF

. (F

và F

là tiêu điểm bên trái và bên phải của (E))

2. Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho điểm A(2;-1;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi

qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất. .

Câu VII.b (1,0

điểm

)

Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện

|z −2−4i|=|z −2i|

.Tìm số phức z

có mơđun nhỏ nhất.

- Hết

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh:...; Số báo danh:...

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2></div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

I.

(2,0 điểm)

1. (1,0 điểm)
2.(1,0 điểm)

Tọa độ A và B là nghiệm của hệ phương trình
¿

y=1

6x

y=x −1

x+1

¿{

⇒A

(

2;1

)

, B

(

3;
1
2

)

0,25

Dễ thấy A và B nằm về cùng phía đối với đường phân giác d: x - y = 0. Gọi A’(a;b) là điểm

đối xứng của A qua d.

Ta có:

(a −2).1+

(

b −1

)

.1=0

a+2

2 −

b+1

3
2 =0

⇔

¿a=1

b=2

¿{

⇒A'

(

3;2

)

⇒⃗A
'

B=1

6(16;−9)

0,25

. Phương trình tham số của A’B là :

x=3+16t

y=1

2−9t

(t∈R)

¿{

tđ M

x − y=0

x=3+16t

y=1

2−9t

⇒M

(

5;
7
5

)

¿{ {
¿
0,5
II.
(2,0 điểm)

1. (1,0 điểm)

Ta có: cosx+cos 3x=1+

√

2 sin

(

2x+π

)

⇔2 cosxcos 2x=1+sin 2x+cos 2x

⇔2 cos2x

+2sinxcosx −2cosxcos 2x=0

0,25

⇔2 cosx

(

cosx+sinx −(cos2x −sin2x)

)

=0⇔cosx(cosx+sinx)(1+sinx −cosx)=0 0,25
⇔

cosx=0

¿
cosx+sinx=0

¿
cosx −sinx=1

x=π

2+kπ
¿
tanx=−1

¿
cos

(

x+π

)

=
1

√

2
¿
¿
¿
⇔¿
¿
¿
¿
⇔

x=π

2+kπ
¿

x=−π

4+kπ
¿

x=k2π

, k∈Z

¿
¿
¿

0,5

2. (1,0 điểm)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

x2−2x

+¿5
2+√¿

⇔¿

x2−2x

+¿5
2+√¿

⇔¿

0,25

⇔(x+1)

[

√

x
2−2x

+5+ 2x(3x −1)

√

x2

+1+

√

x2−2x+5

]

≤0

⇔(x+1)

(

√

x2+1+2

√

x2−2x+5+2

√

(

x2+1

)(

x2−2x+5

)

+7x2−4x+5

)

≤0

0,25

⇔x+1≤0⇔x ≤−1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là T = ¿ . 0,25

III.

(1,0 điểm) (1,0 điểm)

Ta có:

sinx+cosx¿2+2 sinx. cosx+1

¿
¿
cosx −sinx

I=

∫

0
π

4 cos

(

x+π
4

)

sin 2x+2(sinx+cosx)+2 dx=

√

2
2

∫

0

π
4

0,25

. ¿

√

2
2

∫

0

π
4

d(cosx+sinx+1)
(cosx+sinx+1)2

. ¿−

√

2
2 .

cosx+sinx+1∨0
π
4

¿
¿−

√

(

√

2+1−

1
2

)

√

2−4
4

0,75

IV.

(1,0 điểm)

Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm SBC.

Vì tam giác SBC cân tại S nên tam giác BGC vng cân tại G.

0,25

Từ đó GB=¿ GC =

√

2 BC=

a

√

2 và GI =
1

2a ⇒SI=3 GI=
3
2a

0,25
Xét tam giác vuông SHI (H là chân đường cao của hình chóp hạ từ A) ta có:

SH=

√

SI2−HI2 mà SI = 32a và HI = a

√

6 ⇒SH=

a

√

78
6

0,25
Vậy VS.ABC = 1

3SH.SABC=a
3

√

26
24 0,25
V.
(1,0 điểm)
(1,0 điểm)
Ta có:
¿

x3− y3

+3y2−3x −2=0

❑

(1)

x2+

√

1− x2−3

√

2y − y2+m=0

❑

(2)

¿{

¿
ĐK:

−1≤ x ≤1
0≤ y ≤2

¿{

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Ta có (1) y −1¿3−3(y −1)

❑

(3)
⇔x3−3x=¿

Hàm số f(t) = t3 - 3t có f’(t) = 3t2 - 3 < 0 với mọi t  (-1;1). Nên f(t) là hàm số nghịch biến trên

đoạn [-1;1]. Từ (3) ta có f(x) = f(y-1) với −1≤ x ≤1 và−1≤ y −1≤1
Do đó x = y - 1  y = x + 1

0,25
Thay y = x + 1 vào (2) ta được x2−2

√

1− x2+m=0⇔m=− x2+2

√

1− x2

Dễ thấy hàm số g(t)=−t+2

√

1−t liên tục và nghịch biến khi t  1 0,25

nên với 0  x2  1 ta có 2≥ − x2

√

1− x2≥−1

Vậy hệ đã cho có nghiệm khi −1≤ m≤2 . 0,25

VIa.

(2,0 điểm)

VIIa.

(1,0 điểm)

1. (1,0 điểm)

Ta có A  d1 nên A(x1;3x1-5), B  d2 nên B(x2;4-x2) 0,25

Vì A, B, M thẳng hàng và 2MA = 3MB nên

2⃗MA=3⃗MB❑ (1)

2⃗MA=−3⃗MB❑ (2)

¿
¿
¿
¿

0,25

(1)

⇔

2(x1−1)=3(x2−1)

2(3x1−6)=3(3− x2)
⇔

¿x1=5

x2=2

⇒A

(

2;
5

)

, B(2;2)
¿{

Suy ra d: x - y = 0.

0,25

(2)⇔

2(x1−1)=−3(x2−1)

2(3x1−6)=−3(3− x2)

⇔

¿x1=1

x2=1

⇒A(1;−2), B(1;3)

¿{

Suy ra d: x - 1 = 0.

Vậy có d: x - y = 0 hoặc d: x - 1 = 0.

0,25

2. (1,0 điểm)

Goi tọa độ điểm M(a;b;c). Ta có: MA2 = MB2  b −1¿

+c2

a −1¿2+b2+c2=a2+¿
¿

 a = b (1)

0,25

MB2 = MC2 

c −2¿2

b −3¿2+¿

b −1¿2+c2=a2+¿

a2
+¿

 b = 3 - c (2)

0,25

d2(M, ()) = MA2

a −1¿2+b2+c2
⇔(a+2b+2)

5 =¿

(3)
Thay (1) và (2) vào (3) ta được

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

6a2 - 52a + 46 = 0

⇔

a=1⇒b=1, c=2

a=23

3 ⇒b=
23

3 , c=−
14

3
¿

¿
¿
¿
¿
Vậy M(1;1;2) hoặc M

(

3 ;
23

3 ;−
14

)

0,25

Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y  R). Ta có

|

x+1+(y −5)i

|

x+3−(y+1)i

|

(1)

y −5¿2
¿

y+1¿2

x+3¿2+¿
¿

x+1¿2+¿
¿

⇔√¿

⇔x+3y=4 . Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là

đường thẳng x + 3y = 4. Mặt khác

4−3y¿2+y2

¿
¿

|z|=

√

x2+y2=√¿
Hay

|z|

√

(

√

5y − 6

√

)

5≥
2

√

Do đó |z|min⇔y=65⇒x=25 . Vậy z=25+65i

0,25
0,25
0,25
0,25

VIb.

(2,0 điểm)

VIIb.

(1,0 điểm)

1. (1,0 điểm)

Ta có a2 = 25  a = 5, b2 = 16  b = 4. c2 = a2 - b2 = 25 - 16 = 9  c = 3 0,25

Gọi tọa độ điểm M là (x;y) và M  (E) nên ta có MF1 + MF2 = 10 0,25

 5MF2 = 10  MF2 = 2 0,25

hay 5−3x

5 =2  x = 5 thay vào phương trình của (E)  y = 0
Vậy M(5;0)

0,25

2. (1,0 điểm)

Ta có d(O ,(P))≤OA . 0,25

Do đó O ,(P)¿max=OA

d¿ xảy ra ⇔OA⊥(P)

0,25
nên (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và vng góc với OA. Ta có ⃗OA=(2;−1;1) 0,25

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: 2(x - 2) - (y + 1) + (z - 1) = 0 hay 2x - y + z - 6 = 0. 0,25

(1,0 điểm)

Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y  R). Ta có

|

x −2+(y −4)i

|

x+(y −2)i

|

(1)

y −4¿2
¿

y −2¿2

x2+¿

x −2¿2+¿
¿

⇔√¿

0,25

⇔y=− x+4 . Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là
đường thẳng x + y = 4. Mặt khác

|z|

√

x2+y2=

√

x2+x2−8x+16=

√

2x2−8x+16

0,25

Hay |z|=

√

2(x −2)2+8≥2

√

2 0,25

Do đó |z|min⇔x=2⇒y=2 . Vậy z=2+2i 0,25

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7></div>

De va DA on Thi DH cap toc so 02

<b> Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số </b>

(C)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (

<i>C</i>

) của hàm số đã cho.

2. Gọi A và B là hai giao điểm của đường thẳng



:

và đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M

thuộc đường phân giác góc phần tư thứ nhất sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.

<b> Câu II (2,0 điểm) </b>

1. Giải phương trình:

√

(

)

2. Giải bất phương trình sau:

(

√

)

√

√

<b> Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân </b>

∫

(

)

<b> Câu IV (1,0 điểm) Cho khối chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi M và N lần lượt </b>

là trung điểm của cạnh SC và SB.Tính thể tích k/c S.ABC theo a, biết BM vng góc với CN.

<b> Câu V (1,0 điểm) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm</b>

√

√

<b>PHẦN RIÊNG (3,0 </b>

<i><b>điểm</b></i>

<b>): </b>

<i><b>Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần </b></i>

<b>(</b>

<i><b>phần A hoặc B</b></i>

<b>) </b>

<b>A. Theo chương trình Chuẩn </b>

<b> Câu VI.a (2,0 </b>

<i><b>điểm</b></i>

<b>) </b>

1. Cho điểm M(1;1) và hai đường thẳng d

: 3x - y - 5 = 0, d

: x + y - 4 = 0. Viết phương trình

đường thẳng d đi qua điểm M và cắt d

, d

tương ứng tại A, B sao cho 2MA - 3MB = 0.

2. Cho các điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;3;2) và mặt phẳng (



): x + 2y + 2 = 0. Tìm tọa độ

của điểm M, biết rằng M cách đều các điểm A, B, C và mặt phẳng (



).

<b> Câu VII.a (1,0 điểm)</b>

Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện

. Tìm số phức

z có mơđun nhỏ nhất.

<b> B. Theo chương trình Nâng cao </b>

<b> Câu VI.b (2,0 </b>

<i><b>điểm</b></i>

<b>) </b>

1. Trong mặt phẳng tọa độ

<i>Oxy</i>

, cho elip (E) có phương trình

. Tìm tọa độ điểm M

thuộc (E) sao cho MF

= 4MF

. (F

và F

là tiêu điểm bên trái và bên phải của (E))

2. Trong không gian với hệ tọa độ

<i>Oxyz</i>

, cho điểm A(2;-1;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi

qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất. .

<b> Câu VII.b (1,0 </b>

<i><b>điểm</b></i>

<b>) </b>

Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện

.Tìm số phức z