Giáo trình Cơ ứng dụng - CĐ Cơ Giới Ninh Bình

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
/////////////////////////////////////////////////////////CH ƯƠNG TRÌNH MƠN HỌC 
CƠ ỨNG DỤNG
Mã mơn học: MH 08
Thời gian của mơn học: 45 giờ;  (Lý thuyết: 37 giờ; Thực hành: 8 giờ)
I. VỊ TRÍ, TÍNH CHẤT CỦA MƠN HỌC:
- Vị trí của mơn học: 
Mơn học được bố trí sau khi sinh viên học xong các mơn học chung.
- Tính chất của mơn học: 
Là mơn học kỹ thuật cơ sở.
II. MỤC TIÊU CỦA MƠN HỌC:
- Trình bày được các khái niệm cơ  bản về  hệ  tiên đề  tĩnh học, điều kiện cân 
bằng của các hệ  lực, khái niệm về   ứng suất, các loại  ứng suất, điều kiện 
bền…;
- Trình bày được kết cấu, đặc điểm làm việc của các loại mối ghép, các cơ  cấu 
truyền động;
- Vận dụng được các kiến thức để  giải được các bài tốn cơ  bản về  hệ  lực 
cân bằng;
- Nghiêm túc, tỷ mỉ, chính xác, thực hiện các nhiệm vụ học tập.
III. NỘI DUNG MƠN HỌC: 
1. Nội dung tổng qt và phân bổ thời gian:
Số TT

 
Tên chương/mục

Thời gian
Tổng 
Lý 
Thực 

Kiểm 
số
thuyết hành,
tra*
Bài tập (LT hoặc  
TH)

 
Phần I: 
Cơ học 
vật rắn 
tuyệt đối

 

 

 

 


I
 
 
 
II
 
 

III
 
 
 
 
 
IV
 
 
 
V
 
 
 
VI

Chương 1: Những khái 
niệm cơ bản và các tiên đề 
tĩnh học
1. Những khái niệm cơ bản
2. Các tiên đề tĩnh học
3.   Liên   kết   và   phản   lực   liên 
kết
Chương   2:   Hệ   lực   phẳng 
đồng quy
1.   Khảo   sát   hệ   lực   phẳng 
đồng quy bằng phương pháp 
hình học
2.   Khảo   sát   hệ   lực   phẳng 
đồng quy bằng phương pháp 

giải tích
Chương   3:   Hệ   lực   phẳng 
song song – Mơ men ­ Ngẫu 
lự c
1.   Hợp   hệ   lực   phẳng   song 
song
2. Ngẫu lực
3.   Mô   men   của   một   lực   đối 
với một điểm
4. Điều kiện cân bằng của hệ 
lực phẳng song song
* Kiểm tra
Chương   4:   Hệ   lực   phẳng 
bất kỳ
1. Thu gọn hệ  lực phẳng bất  
kỳ
2. Điều kiện cân bằng của hệ 
lực phẳng bất kỳ 
3. Cân bằng  ổn  định­ Hệ  số 
ổn định
Chương 5: Ma sát
1. Ma sát trượt
2. Ma sát lăn
3. Bài tập
Chương 6: Chuyển động cơ 
bản của vật rắn

4
1
1

3
1
1

1
0
0

0
0
0

2

1

1

 

4

2

2

0

2

1

1

0

2

1

1

0

8

4

3

1

2
2

1
1

1

1

0
0

1

1

0

0

2
1

1
 

1
 

0
1

4

4

0

 

1

1

0

0

2

2

0

0

1
4
2
1
1

1
3
2
1
0

0
1
0
0
1

0
0
0
0
0

8

6

2

0


1. Chuyển động tịnh tiến của 
 
vật rắn
2. Chuyển động quay của vật 
 
rắn quanh một trục cố định
3. Chuyển động song phẳng
 

Phần II: 
Chi tiết 
máy
 
 
Chương 8: Máy và cơ cấu 
X
máy
1. Những khái niệm về máy 
 
và cơ cấu máy
 
2. Các mối ghép
 
3. Các bộ truyền chuyển động
4. Các cơ cấu biến đổi 
 
chuyển động
 
* Kiểm tra
 
Cộng

3

3

0

0

3

2

1

0

2

1

1

0

 

 

13

9

3

1

1

3
4

1
2
3

0
1
1

0
0
0

4
1
45

3
0
31

1
0
12

0
1
2

* Ghi chú: Thời gian kiểm tra lý thuyết được tính vào giờ lý thuyết, kiểm tra thực  
hành được tính vào giờ thực hành.
2. Nội dung chi tiết:

PHẦN I: CƠ HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI
Chương 1. Những khái niệm cơ bản và các tiên đề tĩnh học
Mục tiêu:
­ Phân biệt được các khái niệm vật rắn tuyệt đối, lực, vật rắn cân bằng, hệ lực  
cân bằng;
­ Phát biểu được các tiên đề tĩnh học, các loại liên kết phẳng;
­ Xác định được phương, chiều của các phản lực liên kết;
­ Nghiêm túc thực hiện các nhiệm vụ học tập.
­ 1.1NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1.1 Lực
1. Định nghĩa :


Lực là tác động tương hỗ từ những vật hoặc từ mơi trường chung quanh lên  
vật đang xét làm cho vật thay đổi vận tốc hoặc làm cho vật biến dạng.
Đầu búa tác động lên vật rèn, chân đá quả  bóng, áp lực của nước tác dụng 
vào thành bể là những ví dụ về lực.
2. Đo lực : 
Để đo lực người ta dùng lực kế (hình 1 ­ 1).  
Dùng lực kế  đo được trọng lượng, từ  đó suy ra 
khối lượng của vật một cách gián tiếp theo cơng 
thức.
P = m . g (1­1)
Trong đó :
P­ Trọng lượng, m ­ Khối lượng

g­ Gia tốc trọng trường (g = 9,81m/s2)
Độ   giãn   của   lò   xo   tỷ   lệ   với   trọng   lượng  
(trọng lực) của vật.
3. Đơn vị lực :
Đơn vị chính của lực là Niutơn, ký hiệu N
1N = 1Kg.1m/s2
bội số của Niutơn là : 
+ Kilơ Niutơn, kí hiệu kN, 1kN = 103N
+ Mê ga Niutơn, ký hiệu MN 1MN = 106N

          4. Cách biểu diễn lực:
Lực được đặc trưng bởi 3 yếu tố  :  Điểm 
đặt, phương chiều và trị số. Nói một cách khác lực 
là một đại lượng véc tơ  và được biểu diễn bằng 
véc tơ lực. Hình (1­2), véc tơ AB biểu diễn lực tác 
dụng lên vật rắn, trong đó :
­ Gốc A là điểm đặt của lực AB
­ Đường thẳng chứa lực AB là phương của lực, cịn gọi là đường tác dụng  
của lực. Mút B chỉ chiều của lực AB.
­ Độ  dài của AB biểu diễn trị  số  của lực AB theo một tỷ lệ xích nào đó,  
chẳng hạn trị số của lực AB là 200N, nếu biểu diễn lực đó theo tỷ lệ 10N trên 
độ  dài 1mm thì độ  dài của AB  200
= 20mm
là 
10


Để  đơn giản, thường ký hiệu lực bằng một chữ  in hoa và ghi dấu véc tơ 
trên chữ in hoa đó.
Ví dụ : 

,   ,   ,   ,   ,    ....
Ví dụ 1 ­ 1 : Một lực F có trị  số  là 150 N hợp với phương nằm ngang một  
góc 450 về phía trên đường thẳng nằm ngang. Hãy biểu diễn lực đó theo tỷ lệ 5N 
trên độ dài 1mm.
          Bài giải : Độ dài của vec tơ lực F  150
= 30 mm
là :
5
Từ  điểm A trên hình 1­3 ta kẻ  phương 
Ab hợp với đường nằm ngang Ax về phía trên 
một   góc   450.  Đặt   lên   Ab   một   độ   dài   AB   = 
30mm, véc tơ biểu diễn lực  cần tìm.
1.1.3. Hệ lực :
1. Hai lực trực đối : Là hai lực có cùng 
trị   số,   cùng   đường   tác   dụng   nhưng   ngược 
chiều nhau (Hình 1­4a,b).
2. Hệ lực : Tập hợp nhiều lực cùng tác dụng lên một vật rắn gọi là hệ lực, ký 
hiệu (,      , ....   ).
Hình vẽ 1­5, 1­6, 1­7, là các thí dụ về hệ 
lực phẳng đồng quy (  ,   , ).


Hoặc hệ lực phẳng song song (, ,), và hệ lực phẳng bất kỳ (,,, ).
3. Hệ lực tương đương :
Hai hệ lực được gọi là tương đương khi chúng có cùng tác dụng cơ học lên 
một vật rắn.
Hai hệ lực (,  , ....,) và (, ,....,), tương đương được ký hiệu : (,  , ....,)   (, ,....,) 
dấu   gọi là tương đương.
4. Hợp lực : Là một lực duy nhất tương đương với tác dụng của cả hệ lực, 
nghĩa là nếu :  (,  , ....,)    thì  là hợp lực của hệ lực, (,  , ....,).

5. Hệ lực cân bằng : Là hệ lực khi tác dụng vào vật rắn sẽ khơng làm thay 
đổi trạng thái động học của vật rắn (nếu vật đang đứng n thì đứng n, 
nếu vật đang chuyển động thì chuyển động tịnh tiến thẳng đều). Nói cách 
khác hệ lực cân bằng tương đương với khơng. 
(,  , ....,)    0
6. Vật cân bằng : Vật chịu tác dụng bởi hệ lực cân bằng được gọi là vật ở 
trạng thái cân bằng. Vật ở trạng thỏi cân bằng nếu nó đứng n hoặc 
chuyển động tịnh tiến thẳng đều.
          Bài giải : Độ dài của vec tơ lực F  150
là :
5
Từ  điểm A trên hình 1­3 ta kẻ  phương 
Ab hợp với đường nằm ngang Ax về phía trên 
một   góc   450.  Đặt   lên   Ab   một   độ   dài   AB   = 
30mm, véc tơ  biểu diễn lựccần tìm.

= 30 mm

1.1.2. Vật rắn tuyệt đối
Cơ  học quan niệm vật rắn tuyệt đối là vật khi chịu lực tác dụng, có hình  
dạng và kích thước khơng đổi.
Vật rắn tuyệt đối là một mơ hình lý tưởng, thực tế khi chịu lực tác dụng mọi 
vật thực đều biến đổi hình dạng và kích thước. Nhưng để đơn giản hố việc nghiên 
cứu sự cân bằng và chuyển động của vật ta có thể coi vật là rắn tuyệt đối.
1.1.3. Vật cân bằng 
 Vật chịu tác dụng bởi hệ lực cân bằng được gọi là vật ở trạng thái cân 
bằng. Vật ở trạng thái cân bằng nếu nó đứng n hoặc chuyển động tịnh tiến 
thẳng đều.
1.2.CÁC TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC
1.2.1. Tiên đề 1

Điều kiện cần và đủ  để  hai lực tác dụng lên vật rắn để  cân bằng là chúng 
phải trực đối nhau
1.2.2. Tiên đề 2


Tác dụng của một hệ lực lên một vật rắng khơng thay đổi khi ta thêm họăc 
bớt đi hai lực cân bằng.
1.2.3. Tiên đề 3
Hai lực đặt tại một điểm tương đương với một lực đặt tại điểm đó và được  
biểu diễn bằng vectơ  đường chéo hình bình hành mà hai cạnh là hai vectơ  biểu  
diễn hai lực đã cho.(Hình vẽ)
R ═ F1+ F2
1.2.4. Tiên đề 4(Hình vẽ)
Lực tác dụng và phản lực là hai lực trực đối
1.3.LIÊN KẾT VÀ PHẢN LỰC LIÊN KẾT
1.3.1. Khái niệm (Vật tự do và vật liên kết)
Vật rắn gọi là vật tự do khi nó có thể  chuyển động tuỳ  ý theo mọi phương trong 
khơng gian mà khơng bị cản trở.
Vật rắn khơng tự do khi một vài phương chuyển động của nó bị cản trở.
1.3.2. Các liên kết thường gặp
a. Liên kết tựa 
 Liên kết tựa cản trở vật khảo sát chuyển động theo phương vng góc với 
mặt tiếp xúc chung giữa vật khảo sát và vật gây liên kết (hình 1­10).
Vì thế  phản lực có phương vng góc với mặt tiếp xúc chung, có chiều đi 
về phía vật khảo sát, ký hiệu. Ở  phản lực này cịn một yếu tố chưa biết là trị  số 
của N.
b. Liên kết dây mềm 
Liên kết dây mềm cản trở  vật khảo sát chuyển động theo phương của dây 
(hình 1­1).
Phản lực có phương theo dây, ký hiệu T. Ở phản này cịn một yếu tố chưa 

biết là trị số của T.
c. Liên kết thanh 
Liên   kết   thanh   (hình   1­12)   cản   trở 
vật khảo sát chuyển động theo phương của 
thanh (bỏ qua trọng lượng thanh). Phản lực 
có phương dọc theo thanh,   ký hiệu S.  Ở 
phản lực này cịn một yếu tố  chưa biến là 
trị số của S
d. Liên kết bản lề 


 +. Gối đỡ bản lề di động : (hình 1­13a) biểu diễn bản lề di động và (hình 1­13a) 
là sơ đồ của nó. Phản lực của gối đỡ bản lề di động có phương giống như liên kết 
tựa đặt ở tâm bản lề ký hiệu Y. Trị số của Ychưa biết.
SB

C

SC

A

Y

Y

a)

b)

P
B
H ×n h 1 - 1 2

      

H ×n h 1 - 1 3

+. Gối đỡ bản lề cố định :
(Hình 1­14a) biểu diễn gối đỡ bản lề cố định và (hình 1­14b) là sơ đồ của nó. Bản 
lề  cố  định có thể  cản trở  vật khảo sát chuyển động theo phương nằm ngang và 
phương thẳng đứng. Vì vậy phản lực có 2 thành phần X và Y, phản lực tồn phần  
R. Trị số X và Y chưa biết.
1.3.3. Nhận định hệ lực tác dụng lên vật
Khi khảo sát một vật rắn ta phải tách vật rắn khỏi các liên kết và xác định 
hệ lực tác dụng lên vật rắn đó.
Hệ lực tác dụng lên vật khảo sát bao gồm các tải trọng và các phản lực.
Tải trọng là lực trực tiếp tác động lên vật khảo sát. Việc đặt các tải trọng 
lên vật khảo sát thường là ít khó khăn, vấn đề quan trọng là đặt các phản lực cho 
đúng và đầy đủ.
Muốn thế chúng ta lần lượt thay các liên kết bằng các phản lực tương ứng,  
cơng việc đó được gọi là giải phóng liên kết. Sau khi giải phóng liên kết vật rắn 
được coi như một vật tự do cân bằng dưới tác dụng của hệ lực bao gồm tải trọng  
và các phản lực.
Ví dụ 1­2 : Nồi hơi  hình trụ bán kính r trọng lượng  được đặt trên hai bệ đỡ 
A và B đối xứng qua tâm O khoảng cách giữa 2 bệ là 1 (hình 1­12a) .
Xác định hệ lực tác dụng lên nồi hơi
Bài giải :
Vật khảo sát là nồi hơi. Tách nồi hơi khỏi bệ  đỡ  (hình 1­15b) nó chịu tác 
dụng của hệ lực gồm.

­ Tải trọng là trọng lượng  của nồi hơi, đặt  ở  điểm O hướng thẳng đứng 
xuống dưới.
­ Phản lực tựa ,  đặt tại điểm tiếp xúc với bệ đỡ và hướng vào tâm O.


Như vậy nồi cân bằng dưới tác dụng của hệ lực đồng quy (,, ) tức là (,, ) 
0. Để cho gọn sau này chúng ta có thể đặt ngay các tải trọng và các phản lực vào  
cùng một hình.
Câu hỏi ơn tập và bài tập
1. Lực là gì? Cách biểu diễn lực?
2. Thế nào là 2 lực trực đối? Điều kiện để 2 lực tác dụng vào một vật rắn 
3.
4.
5.
6.

được cân bằng?
Thế nào là liên kết và phản lực liên kết? Cách xác định phản lực của các liên 
kết cơ bản?
Người ta biểu diễn một lực 300N bằng một độ dài 10mm. Hỏi một lực có 
độ dài 18mm có trị số là bao nhiêu?
Bóng đèn trọng lượng p được treo như (hình vẽ) dây AO nằm ngang. Xác 
định hệ lực tác dụng lên nút O.
Quả cầu đồng chất trọng lượng P treo trên mặt tường nhẵn thẳng đứng nhờ 
dây OA(Hình vẽ). Xác định hệ lực tác dụng lên quả cầu.

Chương 2. Hệ lực phẳng đồng quy
Mục tiêu:

­ Xác định hợp lực của hệ lực và điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng  

quy bằng phương pháp hình học và giải tích;

­ Giải được bài tốn hệ lực phẳng đồng quy cân bằng;
­ Cẩn thận, nhạy bén trong tính tốn.
2.1.Khảo sát hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp hình học 
2.1.1. Định nghĩa
Hệ lực phẳng đồng quy là hệ lực gồm các lực có đường tác dụng nằm trong  
một mặt phẳng và cắt nhau tại một điểm.
Vì các lực có thể   trượt trên đườ ng tác dụng của nó, nên khi xét hệ  lực phẳng  
đồng quy chúng ta trượt các lực về cùng điểm đặt cho thuận tiện (hình 2­1).

2.1.2. Hợp lực hai lực đồng qui
a. Quy tắc hình bình hành lực : 


­Giả  sử  có hai lực  và  đồng quy tại 
O (hình 2­2) theo tiên đề hình bình hành lực  
chúng   ta   có  hợp  lực     đặt   tại   O.  Phương 
chiều và trị số được biểu diễn bằng đường 
chéo của hình bình hành lực.
­ Trị số của  : áp dụng định lý hàm số 
cosin cho tam giác OAC ta có 
R2 = F12 + F22 ­ 2F1F2cos (1800 ­  )
Vì cos (1800 ­  ) = ­ cos 
Nên   R2 = F12 + F22 + 2F1F2cos 
R = 
­ Phương chiều của 
Áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác OBC ta có
F1
R

F2
=
=
Sin  1
Sin  2
Sin (180­ )
Vì Sin (1800 ­  ) = Sin   nên ta có 
F1
Sin 

=
1

Suy ra : sin  1 =

F1
sin 
R

sin  2 =

F2
sin 
R

F2
Sin 

=
2

1,  2 xác định phương chiều của 
* Các trường hợp đặc biệt :
­ Hai lực F1 và F2 cùng phương
cùng chiều (hình 2­3)
 = 0, cos   = 1
 = F1 + F2 R cùng phương cùng chiều với ,
­ Hai lực  và F2 cùng phương ngược chiều (hình 2­4).
 = 1800, cos   = ­1
R =  ­  (với  > ). 
R cùng phương cùng chiều với lực  (Lực lớn hơn) 
­ Hai lực F1, F2 vng góc với nhau (hình 2­5).
 = 900 , cos   = 0
R = 

R
Sin 


b. Quy tắc tam giác lực : 
Từ cách hợp hai lực đồng quy theo quy 
tắc hình bình hành lực chúng ta có thể suy ra :  
Từ  mút của lực  đặt nối tiếp lực    song song 
cùng chiều và cùng trị  số  với , hợp lực   có 
gốc   là   O   và   có   mút   trùng   với   mút   của   lực 
(hình 2­6).
Rõ ràng :   = + = 
Hợp lực  đóng kín tam giác lực lập bởi hai lực và, trị  số  và phương chiều 
của  xác định theo cơng thức (2 ­ 1) và (2 ­ 2).
*. Phân tích một lực thành hai lực đồng quy 

a. Khi biết phương của hai lực 
Giả sử biết lực R đặt tại O và hai phương Om, On (hình 2 ­ 7) Cần phân tích  
lực R thành hai lực , đặt trên hai phương đó. Muốn thế, từ mút C của lực R kẻ các  
đường song song với hai phương Om và On, chúng cắt Om tại A và On tại B.Ta 
được các lực  = ,  = P2 là các lực cần tìm.
 b. Khi biết phương chiều và trị số của một lực
Giả  sử  biết lực   và một lực thành phần   (hình 2 ­ 8) cần phân tích lực R  
thành 2 lực  vàP2 .
Muốn thế, nối các mút A và B của hai 
lực P1 và P2 được véc tơ AB.
Từ   O   kẻ   véc   tơ   P2  song   song   cùng 
chiều và cùng trị  số  với AB.  Ta được P,  là 
các lực cần tìm.
2.1.3. Hợp hệ lực phẳng đồng quy
2.2.1. Hợp lực của hệ lực phẳng đồng quy
Giả sử cho hệ lực phẳng (,  , ,) đồng quy tại O (hình 2­10).
Muốn tìm hợp lực của hệ, trước hết hợp hai lực , theo quy tắc tam giác lực.
Từ mút của  đặt lực , song song cùng 
chiều và cùng trị số với  ta được
  =  + ’ =  + 
Bằng cách tương tự  hợp hai lực R1  
và F3 ta được :
 =  + ’ =  +  +  
cuối cùng hợp hai lực   và   chúng ta được 
hợp lực của hệ.
 =  +  =  + +  + 


Tổng quả hợp lực của hệ lực phẳng đồng quy (F1, F2, F3 ...... Fn) là 
 =  + +  + .. .. +  = 

(2­3)
Hợp lực  có gốc trùng với gốc lực đầu có mút trùng với mút của véc tơ đồng  
đẳng với lực cuối. Đường gẫy khúc F1, F2’ ... Fn’ gọi là đa giác lực.
Hợp lực  đóng kín đa giác lực lập bởi các lực đã cho.
Fx
2.1.4. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy theo phương pháp hình học
Muốn hệ  lực phẳng đồng quy đượ c cân bằng thì trị  số  của hợp lực  phải  
bằng O, đa giác lực tự  đóng kín (mút của lực cuối cùng trùng với gốc của lực  
đầu).
Kết luận : “Điều kiện cần và đủ để  một hệ  lực phẳng đồng quy cân bằng  
là đa giác lực tự đóng kín”.
Cơng thức (2­11) là hệ phương trình cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy.
Ví dụ 2 ­ 1 : Cho hệ lực phẳng đồng quy (, , ) cho F1 = F2 = 100N 
F3 = 50N góc giữa các lực cho trên (hình 2­12)..
Xác định hợp lực của hệ lực 
Bài giải :
Chọn hệ  trục toạ  độ  vng góc Oxy (hình 
2­15). Hình chiếu của hợp lực R lên các trục x, y 
là
Rx =  Fx = F1.Cos600 + F2 ­ F3 . cos 300
1
3
= 100
+ 100 ­ 50
2
2
Rx = 107,5N
Ry =  Fy = F1 . Sin 600 ­ F3 . Sin 300
3
1

= 100
­50
2
2
Ry = 60N
Hợp lực  có trị số  R =    Rx2 + Ry2 =   (107,5)2 + 602 = 122N
Phương chiều của hợp lực 
Ry
60
= 
tg
= 0,558     = 290
Rx
107,5
Ví dụ 2 ­ 2
Một vật nặng P = 100 N được treo vào đầu O của thanh OA. Thanh này 
được giữ  cân bằng trong mặt thẳng đứng như  (hình 2 ­ 16) bằng bản lề trụ A và  


dây nằm ngang tạo với OA một góc 450. Bỏ  qua trọng lượng thanh OA. Tìm lực 
căng của dây OB và lực nén thanh OA.
Bài giải :
Khảo sát cân bằng của Nút O. Nút O chịu tác dụng của 3 lực ph ẳng đồ ng  
quy đó là : Trọng l ực , l ực căng   của dây OB và phản lực   của thanh OA. Vì  
Nút O cân bằng nên hệ lực phẳng đồng quy (,,) cân bằng tức là (,,)   O.
Chúng ta giải bài tốn này theo 2 phương pháp
+ Phương pháp hình học :
Vì hệ lực (,,) cân bằng nên tam giác lực của hệ tự đóng kín.
Cách dựng tam giác lực : Lấy điểm I bất kỳ vẽ véc tơ  lực IK song song và 
tỷ lệ với  , rồi từ gốc I và mút K của lực  kẻ các đường song song với lực  và lực,  

chúng cắt nhau tại L. Tam giác IKL là tam giác lực cần dựng. Trên tam giác lực, đi  
theo chiều của lực  xác định được chiều của lực  và lực . Độ  dài của mỗi cạnh  
của tam giác lực biểu thị trị số của các lực tương ứng. Vì tam giác IKL vng cân  
nên T = P = 100N.
P
100
S = 
=
= 141,4N
Cos 450
0,707
Chú ý :  Phương pháp hình học này chỉ  thuận lợi khi giải bài tốn hệ  lực 
phẳng đồng quy có nhiều nhất là 3 lực.
+ Phương pháp chiếu lực
Chọn hệ trục toạ độ vng góc Oxy như (hình 2­16). áp dụng cơng thức (2­
11) để lập hệ phương trình cân bằng.
 Fx = ­T + S.cos450 = 0
(1)
0
 Fy = ­ P + S. sin 45  = 0
(2)
Giải hệ phương trình này tìm được 
P
   P = P     2   = 100 .    2  = 141,4N
=
S =
sin 450
2
2
Từ (1) có 

T =  = P = 100N
S . cos 450 
 (Trường hợp giải bài ra lực có trị số âm, cần đổi chiều ngược lại)
2.2.Khảo sát hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp giải tích
2.2.1. Chiếu một lực lên hai trục toạ độ
Giả  sử  cho lực  và hệ  toạ  độ  vng góc Oxy, hình chiếu của lực  lên các 
trục (hình 2 ­ 11) sẽ là :
Hình chiếu của lực  lên trục Ox
Fx =   F . Cos 
(2­4)


Hình chiếu của lực F lên trục Oy
Fy =   F . Sin 
(2­4)
Trong cơng thức (2­4) và (2­5)
 là góc nhọn hợp bởi đường tác dụng của lực   với trục x. Dấu của hình  
chiếu là + khi chiều từ  điểm chiếu của gốc đến điểm chiếu của mút cùng với  
chiều dương của trục. Dấu của hình chiếu là ­ trong trường hợp ngược lại.
Y

Y

Fy

Fy

F
Fx

F
Fx

x

x

H ×n h 2 - 1 1

Trường hợp đặc biệt, nếu lực song song với trục x (hình 2­12) thì
 =   
 = 0 (vì  vng góc với trục y)

Nếu lực song song với trục y (hình 2­13) thì
 = 0
 =   

Chú ý : Khi biết các hình chiếu  và  của lực  lên các trục x, y chúng ta hồn  
tồn xác định được lực .
Về trị số 
F =   (2­6)
Fy
Về  phương chiều      Tg
    (2­7)
=
2.2.2. Xác định hợp lực của hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp giải tích.
.
Giả  sử  cho hệ  lực phẳng đồng quy (,  , ....,) có hình chiếu tương  ứng trên 
các trục toạ độ  vng góc Oxy là (F1x, F2x ... Fnx) và (F1y, F2y ... Fny)  (hình 2­
14) chúng ta có :

 =  + +  + .. .. +  =  . Hình chi ếu c ủa véc tơ  hợp lực  lên các trụ c là Rx và 
Ry có tr ị số b ằng t ổng đạ i số  hình chiếu véc tơ  lự c thành phầ n.


Rx = F1x + F2x + .... + Fnx =  Fx
Ry = F1y + F2y + ... + Fny =  Fy 
Hợp lực  có
­ Trị số 
R =   =      (2­9)
­ Phương chiều xác định bởi :
Ry
Fy
=
Tg  =
Rx
Fx

(2­8)

(2­10)

2.2.3. Điều kiện cân bằng của hệ  lực phẳng đồng quy bằng phương pháp 
giải tích
. Phương pháp chiếu lực :
Tương tự như trên muốn hệ lực phẳng đồng quy cân bằng thì hợp lực  phải  
bằng O tức là    O
nên
R =  = O
( Fx)2 và ( Fy)2 là những số dương nên  chỉ bằng O khi
Fx = 0

(2­11)

Fy = 0
Kết luận : “Điều kiện cần và đủ  để  hệ  lực phẳng đồng quy cân bằng là  
tổng đại số hình chiếu các lực lên hai trục toạ độ vng góc đều bằng O”.
Cơng thức (2­11) là hệ phương trình cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy.
Ví dụ 2 ­ 2
Một vật nặng P = 100 N được treo vào đầu O của thanh OA. Thanh này được giữ 
cân bằng trong mặt thẳng đứng như  (hình 2 ­ 16) bằng bản lề trụ  A và dây nằm  
ngang tạo với OA một góc 450. Bỏ  qua trọng lượng thanh OA. Tìm lực căng của 
dây OB và lực nén thanh OA.
Bài giải :
Khảo sát cân bằng của Nút O. Nút O chịu tác dụng của 3 lực ph ẳng đồ ng  
quy đó là : Trọng l ực , l ực căng   của dây OB và phản lực   của thanh OA. Vì  
Nút O cân bằng nên hệ lực phẳng đồng quy (,,) cân bằng tức là (,,)   O.
Chúng ta giải bài tốn này theo 2 phương pháp
+ Phương pháp hình học :
Vì hệ lực (,,) cân bằng nên tam giác lực của hệ tự đóng kín.
Cách dựng tam giác lực : Lấy điểm I bất kỳ vẽ véc tơ  lực IK song song và 
tỷ lệ với  , rồi từ gốc I và mút K của lực  kẻ các đường song song với lực  và lực,  
chúng cắt nhau tại L. Tam giác IKL là tam giác lực cần dựng. Trên tam giác lực, đi  


theo chiều của lực  xác định được chiều của lực  và lực . Độ  dài của mỗi cạnh  
của tam giác lực biểu thị trị số của các lực tương ứng. Vì tam giác IKL vng cân  
nên T = P = 100N.
P
100
S = 

=
= 141,4N
Cos 450
0,707
Chú ý :  Phương pháp hình học này chỉ  thuận lợi khi giải bài tốn hệ  lực 
phẳng đồng quy có nhiều nhất là 3 lực.
+ Phương pháp chiếu lực
Chọn hệ trục toạ độ vng góc Oxy như (hình 2­16). áp dụng cơng thức (2­
11) để lập hệ phương trình cân bằng.
 Fx = ­T + S.cos450 = 0
(1)
0
 Fy = ­ P + S. sin 45  = 0
(2)
Giải hệ phương trình này tìm được 
P
S =

=
sin 450

   P

= P     2   = 100 .    2  = 141,4N
2

2

Từ (1) có 
T =  = P = 100N

S . cos 450 
Ví dụ 2­3 : Ống trịn đồng chất (hình 2­17) có trọng lượng P = 60N đặt trên 
máng ABC hồn tồn trơn và vng góc ở B. Mặt BC của máng hợp với mặt nằm 
ngang một góc 600.
Xác định phản lực của máng tác dụng lên ống trụ ở các điểm tiếp xúc D và  
E.
Bài giải : 
Khảo sát cân bằng của  ống trụ  trịn.  Ống chịu tác dụng của 3 lực phẳng  
đồng quy đó là trọng lực , phản lực   và   vng góc với các mặt AB và BC của  
máng. Vì ống cân bằng nên hệ lực phẳng đồng quy (,,) cân bằng tức là : (, , )   O. 
Chọn hệ  trục Bxy như  (hình 2­17) và 
lập hệ phương trình cân bằng
Fx = ­P sin600 + ND = 0
(1)
0
Fy = ­P cos60  + NE = 0
(1)
Giải hệ phương trình này tìm được
ND = P sin 600 = 60. = 52N
NE = P . Cos 600 = 60.(1/2)= 30N
 (Trường hợp giải bài ra lực có trị số âm, cần đổi chiều ngược lại)


CÂU HỎI ƠN TẬP
1. Nêu các quy tắc hợp lực : Quy tắc hình bình hành lực, quy tắc tam giác lực ?
2.Viêt cơng thức xác định hình chiếu của một lực và của hợp lực của hệ lực phẳng  
đồng quy lên hệ trục tọa độ vng góc 
3. Phát biểu điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy theo phương pháp  
Hình học và phương pháp chiếu lực.
4. trình bày cách giải bài tốn hệ lực phẳng đồng quy theo phương pháp hình học và 

phương pháp chiếu lực
Bài tập
1.Cho hai lực phẳng F1 và F2 đồng quy tại O với F1=F2, α = 1200. Hỏi phải đặt 
Vào điểm O một lực F3 như thế nào để  hệ lực (F1,F2,F3) cân bằng.
2. Dùng 2 sợi dây OA và OB để treo một ngọn đèn C( Hình vẽ). Trọng lượng ngọn  
đèn P=10N, dây OA nằm ngang. Dây OB nghiêng một góc 600 với trần nhà.
Xác định phản lực của dây OA và OB

3. Một vật có khối lượng m = 70 kg được treo                  
Tại đầu A của 1 giá ABC liên kết với tường và vng  
góc ở B . Hãy xác định phản lực liên kết trên các thanh
0
AB và AC. Biết gúc  α = 30  (hình 1­ 46).                                                    
                                                      
                                                                                                  
                                                                  
  


4. Thanh AB = 4m có khối lượng                           
m = 15kg được tựa lên tường cao tại điểm D. 
Để giữ cho thang cân bằng, người ta buộc vào 
thang dây EF song song với mặt phẳng ngang 
và cách A 1m. Hãy xác định phản lực liên kết 
tại hai điểm tựa A, D và trên dây EF  để thang 
0
cân bằng. Biết α  = 30 , BD = 1m.                                        
( Hình 1­48 ).  

                                     

                                     
                                                             
.                                    
                                                                                                              
                                                      
                  Chương 3. Hệ lực phẳng song song – Mơ men ­ Ngẫu lực
Mục tiêu:
­ Xác định được trị  số  và vị  trí của hai lực song song cùng và ngược chiều, hợp 
lực của hệ lực phẳng song song;
­ Trình bày được khái niệm ngẫu lực, các tính chất của ngẫu lực, giải được bài 
tốn hệ ngẫu lực phẳng cân bằng;
­ Xác định được mơmen của một lực đối với một điểm, định lý Va­ri­nhơng;
­ Cẩn thận trong tính tốn;
Nghiêm túc thực hiện các nhiệm vụ học tập.
3.1.Hợp hệ lực phẳng song song 
3.1.1. Hợp hai lực cùng chiều 
 Hệ lực phẳng song song là hệ lực mà đường tác dụng của các lực thành 
phần đều nằm trong cùng một mặt phẳng và song song với nhau.
Trong thực tế hệ lực phẳng song song ta cũng gặp khá phổ biến như: áp 
lực của nước vào thành bể, xe cần trục đặt trên đường ray thẳng…


Giả sử xét một vật rắn chịu tác dụng của hai lực song song cùng chiều F1 , F2
đặt tại A và B như hình 1.28. Ta cần tìm hợp lực của chúng.Muốn  vậy ta biến hệ 
lực song song này thành hệ lực đồng qui  bằng cách đặt vào A và B hai lực cân
bằng S1 và S2 nằm trên phương AB
Theo ngun lý thêm
hoặc  bớt  một  hệ  lực  cân
bằng, tác dụng 
của F1 và F2

vẫn khơng thay đổi, tức  là:
( F1, F2 ) ~( F1 , F2 ,S1  ,S2   )
Hợp lần lượt từng cặp
lực  đồng  qui   tại  A và  B
được:
S1,F1,R1
S2 , F2, R2
Như vậy:
( F1, F2 )

( R1, R2) 

Hai lực R1 , R2
khơng song song, truợt 

HInh 1.2

chúng đến điểm đồng qui 0 
và phân tích ra các thành phần như lúc đầu
F1 và F2 cho ta hợp lực R cùng chiều với chúng:  R       F1
S1và S2  cân bằng nhau, ta có thể bỏ đi.
Do đó:
( R1, R2 ) = R
Như thế:
R = ( F1, F2)

F2


Tức là hai lực song song cùng chiều có một hợp lực  R song song và cùng chiều 

với chúng và có trị số:
R = F1 + F2        (1­3)
 Truợt R trên đường tác dụng của nó đến điểm C nằm trên đọan AB.Ta
cần xác định vị trí điểm C này của hợp lực R. Do các tam giác đồng dạng 0AC 
và
0ak, 0BC và 0bh, ta có:

 

(a)

  (b)

Chia (a) cho (b) ta được:             
              (1­4)

Hai đẳng thức (1­3) và (1­ 4) cho ta xác định hợp lực của hai lực song song 
cùng chiều.
Vậy:  Hợp hai lực song song cùng chiều tác dụng lên một vật rắn được 
một lực song song và cùng chiều với hai lực thành phần, có trị số bằng tổng trị 
số của hai lực thành phần và đặt tại điểm chia trong của đoạn thẳng nối điểm 
đặt của hai lực thành phần.
Do tính chất của tỷ lệ thức ta cũng có thể viết (1­ 4) dưới dạng khác:

 

(1­5)

3.1.2. Hợp hai lực song song ngược chiều.
Giả sử có hai lực song song nguợc chiều 

F2 (F1 > F2)đặt tại A và B, 
F1 , 
Ta cần tìm hợp lực của chúng (hInh. 1.31)
Muốn  vậy, ta thay thế lực  F11bằng hai lực khác song song cùng chiều tuơng 
đương
với nó: Lực F' đặt tại B trực đối với lực F2  và lực R đặt tại điểm C nào đó.
Như thế: ( F1 , F2 )
( F1 , F2 , R )
           Nhưng F'2 vàF2 cân bằng nhau, ta có thể bỏ đi, do vậy: ( F , F )
1
R chính là hợp lực của hai lực F1 , F2 .

R


Hình 1.31
Chúng ta hãy xác định trị số và điểm đặt của  R Do F1
 Phân ra hai lực song 
song cùng chiều làF' và R , nên theo (1­3) ta có:
F1 = F’2 + R = F2 + R
VI thế:
R = F1 – F2
(1­ 6)
Và theo (1­ 4) ta có:      
1­7)
Hai dẳng thức (1­6) và (1­7) cho ta xác định hợp lực của hai lực song song  
nguợc chiều.
Vậy, Hợp hai lực song song ngược chiều thì được một lực song song 
cùng chiều với lực lớn hơn, có trị  số  bằng hiệu trị  số  của hai lực và đặt tại  
điểm C là điểm chia ngồi của đoạn thẳng nối điểm đặt hai lực thành phần.

Ta có thể viết (1­7) dưới dạng:   


3.1.3. Hợp nhiều lực song song 
Ví dụ 3­2 : Xác định hợp lực của hệ lực phẳng song song cho trên (hình 3­4)
Biết F1 = 200N, F2 = 300N, F3 = 500N, F4 = 200N
Bài giải :
Gọ i R là hợ p l ực c ủa h ệ  lực song  
F4
song  (,   , ,).   Để   tìm   tr ị   số   c ủa   ,  ta 
F2
a
cộ ng đạ i số  các lự c cùng chiều.
O
R1   =   F1   +   F3   =   200   +   500   = 
700N
R2   =   F2   +   F4   =   300   +   200   = 
R
500N
F3
F1
R = R1 ­ R2 = 700­500 = 200N
1m
1m
1m
Vì 1 > 2 nên  song song cùng chiều với 
1 tức là song song cùng chiều với  1 và 
H ×n h 3 - 4
3.
Để xác định vị trí đường tác dụng của  ta lấy điểm O trên đường tác dụng 

của  giả sử  nằm về phía bên trái của O và có cánh tay địn a.
Áp dụng định lý Varinhơng ta có :
m0() = mo() + mo()+ mo()+ mo()
3.F1 ­ 2.F2 + 1.F3
3.200 ­ 2.300 + 500
a =
=
=2,5m
R
200
Vậy đường tác dụng của  nằm về phía trái điểm O và cách O một đoạn a  
= 2,5m.

 3.2. Ngẫu lực 


3.2.1. Định nghĩa 
Hệ  lực gồm hai lực song song, ngược chiều có trị  số  bằng nhau nhưng  
khơng cùng đường tác dụng gọi là ngẫu lực, ký hiệu (,).  Khoảng cách a giữa hai 
đường tác dụng của hai lực gọi là cánh tay địn của ngẫu lực (hình 3­5).
Ta trượt các lực để  cho đoạn nối 
điểm đặt của hai lực đúng là cánh tay địn 
(hình 3­5b). Từ đây ta quy  ước biểu diễn 
ngẫu lực như vậy.
Hình 3­6 là các ví dụ thực tế về ngẫu lực. Hình a cắt ren nhờ tác dụng quay của 
ngẫu lực đặt vào tay quay ta rơ. Hình b, c là vặn vít nhờ tác dụng quay của ngẫu 
lực đặt vào tua nơ vít.
 3.2.2. Các yếu tố của ngẫu lực 
 Ngẫu lực được xác định bởi ba yếu tố
1. Mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực :  Là mặt phẳng chứa các lực của 

ngẫu lực.
2. Chiều quay của ngẫu lực : Là chiều quay của vật đo ngẫu lực gây ra
F
F
a/
F

F

F

F
b/ F
c/

F

F

F

Ch
iều quay là dương (+) khi vật quay ngược chiều kim đồng hồ  và âm (­) khi 
ngược lại (hình 3­7).
H ×n h 3 - 6

H ×n h 3 - 7

3. Trị  số  mơ men của ngẫu lực :  Là tích số  giữa trị  số  của lực với cánh 
tay địn, ký hiệu m.

m = F . a

(3­4)

Nếu lực tính bằng N, cánh tay địn tính bằng m thì mơ men của ngẫu lực  
được tính bằng N.m.
3.2.3. Tính chất
1. Tác dụng của một ngẫu lực khơng thay đổi khi ta di chuyển vị trí trong  
mặt phẳng tác dụng của nó. Đặc biệt có thể  biến đổi hệ  ngẫu lực phẳng về 
chung một tay đòn.


Từ các tính chất trên có thể rút ra : Tác dụng của ngẫu lực trên một mặt 
phẳng hồn tồn được đặc trưng bằng chiều quay và trị số mơ men của nó.
Ngẫu lực được biểu diễn bằng chiều quay và trị số mơ men của nó (hình 
3­8b).
3.2.4. Hợp hệ ngẫu lực phẳng
1. Hợp hệ ngẫu lực phẳng :
Giả sử cho hệ ngẫu lực phẳng lần lượt có mơ men m1, m2, ... mn (hình 3­
9).Chúng ta biến đổi hệ  ngẫu lực này thành hệ  ngẫu lực  (1,1);  (2,2);  ... ;(n,n)có 
cùng cánh tay địn a. Hợp lực  của các lực 1,2, .... đặt tại A và B là 2 lực song 
song ngược chiều có cùng trị số.
m 2
m 1
m 3
=   =   =  1+2 +tạo thành ngẫu lực  (,). 
Ngẫu lực  (,)gọi là ngẫu lực tổng hợp có 
F2
mơ men M = R . a.
M = F1 . a ­ F2 . a + .... + Fn . a = m1 ­ m2 + .... + 

a
A
mn 
F1
Tổng qt 
M = ∑m 
(3 ­ 5)
Vậy :  “Hợp một hệ  ngẫu lực phẳng cho ta một  
R
ngẫu lực tổng hợp có mơ men bằng tổng đại số mơ men  
Fn
các ngẫu lực thuộc hệ”.
H ×n h 3 - 9
Ví dụ  3 ­ 3 : Hệ  ngẫu lực phẳng gồm các ngẫu 
lự c
 
lần
 
lượt
 
có
 
mơ
 
men
 
m1 =  60Nm,  m2 = 120Nm, m3 = ­30Nm. Hãy xác định
­ Mơ men của ngẫu lực tổng hợp
­ Ngẫu lực tổng hợp có cánh tay địn là 0,5m thì trị số R bằng bao nhiêu?
Bài giải : Theo cơng thức (3 ­ 5) ngẫu lực tổng hợp có mơ men là 

M = ∑m = m1 + m2 + m3
Thay số vào ta có : 
M = 60 + 120 ­ 30 = 150Nm
Mặt khác ta có M = R . a 
M
150
Nên R =
=
=300N
a
0,5
3.2.5. Điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực phẳng
Muốn hệ  ngẫu lực phẳng cân bằng thì ngẫu lực tổng hợp của nó phải 
cân bằng, khi đó M = 0. Nhưng M = ∑m nên điều kiện cân bằng của hệ ngẫu 
lực phẳng là :
∑m = 0
(3­6)
Kết luận : “Điều kiện cần và đủ để một hệ ngẫu lực phẳng cân bằng là  
tổng đại số mơ men của các ngẫu lực thuộc hệ bằng  O”.
Ví dụ 3­4 : Dầm AB chịu tác dụng bởi ngẫu lực (,).  Hãy xác định phản 
lực tại 2 gối đỡ A và B của dầm. Biết P = 6 . 103N, các kích thước khác cho trên 
(hình 3­10).

Fn
R
F1
B
F2

YA

P
1m

A

B

P
3m

YB

H ×n h 3 - 1 0

Bài giải : gọi ,  là phản lực tại 2 gối đỡ A và B, do dầm chịu tác dụng bởi  
ngẫu lực (,)nên dầm chỉ cân bằng khi ngẫu lực (,)cân bằng với ngẫu lực (, ) do 
phản lực tại hai gối gây nên.
Áp dụng điều kiện cân bằng (3 ­ 6) ta có 
∑m = P . 1 ­ HA . 3 = 0
P . 1
6 . 103 .1
YA =
=
= 2.103
3
3
3
Vậy  YA = YB = 2 . 10  N

3.3.Mơmen của một lực đối với một điểm                                       
3.3.1. Định nghĩa
Giả  sử  vật rắn quay quanh tâm O 
dưới tác dụng của lực F (hình 3­1.
A
F
Đặc trưng cho tác dụng quay của 
B
lực là mơ men của lực. Mơ men của lực 
O 1
khơng   những   phụ   thuộc   vào   trị   số   của 
lực, mà cịn phụ  thuộc vào cánh tay địn 
O
của lực tới tâm quay (tức là khoảng cách 
từ tâm quay tới đường tác dụng của lực).
Từ dó ta rút ra định nghĩa.
H ×n h 3 - 1
Mơ men của lực  đối với tâm O là tích số giữa  
trị số của lực với cánh tay địn của lực đối với điểm đó.
m0 () = ±  F.a
(3­1)
+ Trong đó : 
­ m0 () đọc là mơ men của lực  đối với tâm O.
­ a là cánh tay địn, khoảng cách từ tâm O tới đường tác dụng của lực .
­ m0 () lấy dấu + nếu vật quay ngược chiều kim đồng hồ và lấy dấu ­ khi 
ngược lại.
Từ cơng thức (3­1) ta có thể suy ra : Trị số của mơ men bằng hai lần diện 
tích tam giác do lực  và tâm O tạo thành.
F1
m0 () = 2S ∆ AOB

(3­2)
Nếu lực tính bằng N, cánh tay địn tính bằng m  
A
O
thì m0 () tính bằng Nm. Vậy đơn vị của m0 () là Nm.
Trườ ng   hợp   đặc   biệt,   nếu   đườ ng   tác   dụng 
của lực F đi qua tâm O thì m0  (F) = O vì (a = O)
F2
Ví dụ 3­1 : Tìm mơ men của các lực  và  cho trên 
H
(hình 3­2) đối với tâm O.
H ×n h 3 - 2