Dạy thêm toán 10 4 1 bất ĐẲNG THỨC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (255.98 KB, 20 trang )
TỐN 10
0D4-1
BẤT ĐẲNG THỨC
Contents
PHẦN A. CÂU HỎI.............................................................................................................................................................1
DẠNG 1. TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC.............................................................................................................1
DẠNG 2. BẤT ĐẲNG THỨC COSI và ỨNG DỤNG.......................................................................................................2
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO....................................................................................................................................7
DẠNG 1. TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC.............................................................................................................7
DẠNG 2. BẤT ĐẲNG THỨC COSI và ỨNG DỤNG.......................................................................................................8
PHẦN A. CÂU HỎI
DẠNG 1. TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
Câu 1.
Cho các bất đẳng thức a b và c d . Bất đẳng thức nào sau đây đúng
A. a c b d .
Câu 2.
Câu 3.
Câu 4.
B. a c b d .
Tìm mệnh đề đúng.
A. a b � ac bc .
C. a b � a c b c .
B. a b � ac bc .
�a b
� ac bd
�
cd
D. �
.
Trong các tính chất sau, tính chất nào sai?
0ab
�
a b
�
�
0cd
d c.
A. �
�a b
�
c d �ac bd .
C. �
�a b
�
c d � ac bd .
B. �
0ab
�
�
0 c d � ac bd .
D. �
Nếu a 2c b 2c thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
B. a b .
2
A. 3a 3b .
Câu 5.
2
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
Câu 6.
C. ac bd .
a b
c
d.
D.
x �۳
x x
x
0
. B. x �3 x
2
x 3.
Suy luận nào sau đây đúng?
�a b 0
� ac bd
�
c
d
0
�
A.
.
C. 2a 2b .
1 1
D. a b .
x 1
�0
2
C. x
.
1
0
<
D. x
�a b
�ac bd
�
c
d
�
B.
.
1
x 1
.
ab
�
� ac bd
�
c
d
�
C.
.
Câu 7.
Câu 8.
�a b
a b
�
�
cd
c d.
D. �
Cho a là số thực dương. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x �a � a �x �a
x�
a
x a
A.
. B.
.
x �a
�
x �a � �
x a� xa
x �a .
�
C.
.
D.
Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực a ?
A. 6a 3a .
B. 3a 6a .
C. 6 3a 3 6a .
D. 6 a 3 a .
Câu 9.
(Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Cho 4 số a, b, c, d khác 0 thỏa mãn a b và c d . Kết
quả nào sau đây đúng nhất?
1 1
A. b a .
B. ac bd .
C. a d b c .
D. a c b d .
Câu 10.
Cho a, b là các số thực bất kì. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
1 1
a b 0�
a b . C. a b � a 3 b3 . D. a b � a 2 b 2 .
A. a b � a b 0 . B.
Câu 11.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?
ab
ab
�
�
�ac bd
�ac bd
�
�
c
d
c
d
�
�
A.
.
B.
.
ab
�
� ac bd
�
cd
C. �
.
Câu 12.
ab
�
�ac bd
�
cd
D. �
.
Cho a > b khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 2a 2b .
B.
C. - a <- b.
D. ac cb, c ��.
Câu 13.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
a b �a b
x a � a x a, a 0
A.
.
B.
.
a b � ac bc, c ��
a �0, b �0 .
C.
.
D. a b �2 ab ,
Câu 14.
Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
0 x 1
�
�x 1
�x 1
�x 1
x
� xy 1
� xy 1
� 1
� x y 1
�
�
�
�
y
1
y
1
y
1
y
1
y
�
�
�
�
A.
. B.
.
C.
.
D.
.
Câu 15. Phát biểu nào sau đây là đúng?
2
x y �x 2 y 2
A.
. B. x y 0 thì x 0 hoặc y 0 .
x 2 y2 .
C. x �y
D. x y 0 thì x. y 0 .
Câu 16.
Cho a b 0. Mệnh đề nào dưới đây sai?
a
b
1 1
A. a 1 b 1 .
B. a b .
a 2 1 b2 1
b .
C. a
DẠNG 2. BẤT ĐẲNG THỨC COSI và ỨNG DỤNG
2
2
2
D. a b .
Câu 17.
Bất đẳng thức Côsi cho hai số a, b khơng âm có dạng nào trong các dạng được cho dưới đây?
a b
ab
ab
ab
�2 a b
�2 ab
� ab
�2 ab
A. 2
.
B. 2
.
C. 2
.
D. 2
.
Câu 18.
Cho ba số không âm a, b, c . Khẳng định nào sau đây đúng?
3
3
3
A. a b c �3 abc . B. abc �3 a b c . C. a b c �3 abc . D. a b c �4 abc .
Câu 19.
Cho hai số thực a và b thỏa mãn a b 4 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tích a.b có giá trị nhỏ nhất là 2 .
B. Tích a.b khơng có giá trị lớn nhất.
C. Tích a.b có giá trị lớn nhất là 4 .
D. Tích a.b có giá trị lớn nhất là 2 .
Câu 20. Mệnh đề nào sau đây sai?
�a �x
� a b �x y
�
b
�
y
�
A.
.
1
�2 a 0
a
B.
.
1 1
a b � a, b �0
a b
D.
.
a
C. a b �2 ab a , b �0 .
Câu 21.
Cho các mệnh đề sau
a b
a b c
1 1 1
9
�2 I
�3 II
�
III
b a
; b c a
; a b c a b c
Với mọi giá trị của a , b , c dương ta có
I đúng và II , III sai.
II đúng và I , III sai.
A.
B.
III đúng và I , II sai.
I , II , III đúng.
C.
D.
P x2
Câu 22. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A. 4 .
B. 24 .
Câu 23.
Câu 24.
16
, x0
x
bằng
C. 8 .
f x 2x
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
A. 4 3 .
B. 6 .
3
x với x 0 là
C. 2 6 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 2 4 x .
A. 2 .
B. 2 .
C. 2 2 .
4 x 4 3x 2 9
y
x2
Câu 25. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
; x �0 là
A. 9 .
B. 3 .
C. 12 .
y
D. 2 3 .
D. 0 .
D. 10 .
4
9
a
x
x 1 x với 0 x 1 , đạt giá trị nhỏ nhất tại
b ( a , b nguyên dương, phân số
Câu 26. Hàm số
a
b tối giản). Khi đó a b bằng
A. 4 .
B. 139 .
Câu 27.
D. 12 .
Cho a là số thực bất kì,
P
C. 141 .
D. 7 .
2a
a 2 1 . Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi a .
3
A. P 1 .
Câu 28.
Câu 29.
B. P 1 .
P
Tìm giá trị nhỏ nhất của
7
A. 4 .
B. 1 .
(Độ
Cấn
Vĩnh
C. P 1 .
x
1
4 x 1 với x 1 .
1
C. 4 .
Phúc-lần
1-2018-2019)
y x 3 2 1 x 3 1 x3 2 1 x3 1
A. 1 .
Câu 30.
A. 2 .
Câu 31.
Câu 32.
Câu 33.
Câu 34.
f x
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
Giá
trị
nhỏ
nhất
của
hàm
số
D. 0 .
x
2
2 x 1 với x 1 là
5
B. 2 .
y
5
D. 4 .
C. 3 .
Cho x �2 . Giá trị lớn nhất của hàm số
1
2
A. 2 2 .
B. 2 .
A. 2 .
là
B. 2 .
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
D. P �1 .
f x
C. 2 2 .
D. 3.
x2
x
bằng
2
C. 2 .
1
D. 2 .
2018
C. 2017 .
D. 2019 .
x 2017
x 2018 là
2017
B. 2018 .
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y 6 2 x 3 2 x .
A. M không tồn tại; m 3 .
B. M 3 ; m 0 .
C. M 3 2 ; m 3 .
D. M 3 2 ; m 0 .
Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định Cho biểu thức
của biểu thức là
A. 2 .
B. 3 .
C. 1 .
f x
x
x 1 , với x 1 . Giá trị nhỏ nhất
D. 0 .
Cho các số thực a , b thỏa mãn ab 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a 2 b 2 2a 2b
P 2 2
1
b a
b
a
.
3
A. .
B. 1 .
C. 1 .
D. 3 .
Câu 36. (Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Cho x, y là các số thực thay đổi nhưng luôn thỏa
1
3
P = 8 x 4 + ( y 4 - 2 xy )
x + 2 y ) + 8 xy �2
(
2
mãn
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
bằng
1
A. 16 .
B. - 4 .
C. 0 .
D. - 2 .
Câu 35.
4
Câu 37.
x 3 x 1 3 y 2 y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Cho hai số thực x, y thỏa mãn:
P x y.
� 10 3 15
�x
�
2
�
�y 8 3 15
�
2
A. max P 9 3 15 đạt được khi �
.
� 10 3 15
�x
�
2
�
�y 8 3 15
�
2
B. max P 9 3 15 đạt được khi �
.
� 10 3 15
�x
�
2
�
�y 8 3 15
�
2
C. max P 9 3 15 đạt được khi �
.
� 10 3 15
�x
�
2
�
�y 8 3 15
�
2
D. max P 3 15 đạt được khi �
.
Câu 38.
Câu 39.
Câu 40.
x 3 x 1 3 y 2 y. Giá trị lớn nhất của biểu thức:
Cho hai số thực x, y thỏa mãn:
P x y bằng
A. 9 3 5 .
B. 9 3 3 .
C. 9 3 5 .
D. 9 3 15 .
(THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Cho hai số thực x �0 , y �0 thay đổi và thỏa
1 1
M 3 3
2
2
x
y
xy
x
y
xy
x
y là
mãn điều kiện
. Giá trị lớn nhất của biểu thức
A. 9.
B. 16.
C. 18.
D. 1.
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x(3 xy xz ) y 6 z �5 xz ( y z ) . Giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P 3 x y 6 z là
A. 3 6 .
B. 9 .
C.
30 .
D. 6 2 .
3
abc
abc
T 3
a b c là
abc
Câu 41. Cho các số thực a , b , c 0 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
10
5
A. 2 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 3 .
Câu 42.
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 4 9
P
a b c?
A. 63.
B. 36.
C. 35.
D. 34.
5
1
1
1
2
3
�2
a 1, b , c
2
3 và a 2b 1 3c 2
Câu 43.
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn
P a 1 2b 1 3c 1
nhất của biểu thức
3
4
3
2
A. 4 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 3
Câu 44.
Câu 45.
Câu 46.
Câu 47.
2
2
2
2
Cho a, b, c, d là các số thực thay đổi thỏa mãn a b 2 và c d 25 6c 8d . Tìm giá trị
P 3c 4d ac bd
lớn nhất của biểu thức
.
A. 25 4 2 .
B. 25 5 2 .
C. 25 5 2 .
D. 25 10 .
2
2
2
Cho 0 x y �z �1 và 3x 2 y z �4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S 3 x 2 y z .
8
10
.
.
A. 3.
B. 4.
C. 3
D. 3
thực a, b, c thỏa mãn điều kiện
1
1
1
P
1 8a 3
1 8b3
1 8c3 có giá trị nhỏ nhất bằng
3
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
Cho
ba
số
B. min Q 32 .
C. min Q 42 .
B. 9 .
11
C. 2 .
9
D. 2 .
� 7�
3; �
�
B. � 2 �.
1;3 .
C.
17 7 �
�
� ; �
D. �5 2 �.
1 1 1
4
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn: x y z
. Giá trị lớn nhất của biểu thức
1
1
1
F
2 x y z x 2 y z x y 2 z là:
A. 2.
Câu 51.
2
D. 3 .
(TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Cho a, b, c 0 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
� a �
� b �
� c �
E �
1 �
1 �
1
�
�
�
� 2b �
� 2c �
� 2a �thuộc khoảng nào dưới đây?
1; 2 2 .
A.
Câu 50.
thức
D. min Q 14 .
(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho ba số thực dương x, y , z . Biểu thức
1
x
y
z
P (x2 y2 z 2 )
2
yz zx xy có giá trị nhỏ nhất bằng:
5
A. 2 .
Câu 49.
Biểu
2
2
2
2
2
2
2
Cho 4 số nguyên không âm a, b, c, d thỏa a 2b 3c 4d 36 và 2a b 2d 6 . Tìm
2
2
2
2
giá trị nhỏ nhất của Q a b c d .
A. min Q 30 .
Câu 48.
a 2 b 2 c 2 3.
B. 1.
C. 4.
D. 3.
2. 2017 m 2. 2017 n 3. 2017 p �7
Cho các số thực dương a, b, c, m, n, p thỏa mãn các điều kiện
và
2018
2018
2018
2(2a)
2(2b)
3c
S
m
n
p thì khẳng định đúng là:
4a 4b 3c �42 . Đặt
6
2018
A. 42 S �7.6 .
2018
B. S 6 .
2018
C. 7 �S �7.6 .
D. 4 �S �42 .
a
b
c
P
a
,
b
,
c
0
b c c a a b . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu 52. Với
. Biểu thức
3
3
4
3
0P�
P
�P
�P
2.
A.
B. 2
.
C. 3
.
D. 2
.
Câu 53.
Cho các số dương x , y , z thỏa mãn xyz 1 . Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 x3 y 3
1 y3 z 3
1 z 3 x3
P
xy
yz
zx
là
3
A. 3 3 .
Câu 54.
33 3
C. 2 .
B. 3 3 .
3 3
D. 2 .
4
3
2
(Đề thi thử Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk lần 2) Cho phương trình x ax bx cx 1 0 có
2
2
2
nghiệm. Giá trị nhỏ nhất P a b c bằng
4
8
A. 3 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 3 .
Câu 55. Người ta dùng 100 m rào để rào một mảnh vườn hình chữ nhật để thả gia súc. Biết một cạnh của
hình chữ nhật là bức tường (khơng phải rào). Tính diện tích lớn nhất của mảnh để có thể rào
được?
2
2
2
2
A. 1350 m .
B. 1250 m .
C. 625 m .
D. 1150 m .
Câu 56.
Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng 300 m, hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng
2
2
2
2
A. 22500m .
B. 900m .
C. 5625m .
D. 1200m .
Câu 57.
(NGÔ GIA TỰ_VĨNH PHÚC_LẦN 1_1819) Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích
48m 2 , hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất là
A. 16 3 .
B. 20 3 .
C. 16 .
D. 20 .
Câu 58.
(ĐỀ THI HỌC KÌ I LỚP 12 - QUANG TRUNG - ĐỐNG ĐA - HÀ NỘI) Một miếng bìa hình
tam giác đều ABC , cạnh bằng 16. Học sinh Minh cắt một hình chữ nhật MNPQ từ miếng bìa
trên để làm biển trơng xe cho lớp trong buổi ngoại khóa ( với M , N thuộc cạnh BC ; P, Q lần
lượt thuộc cạnh AC và AB . Diện tích hình chữ nhật MNPQ lớn nhất bằng bao nhiêu?
A. 16 3 .
Câu 59.
B. 8 3 .
C. 32 3 .
Một miếng giấy hình tam giác vng ABC (vng tại A ) có diện tích S , có M là trung điểm
BC . Cắt miếng giấy theo hai đường thẳng vng góc, đường thẳng qua M cắt cạnh AB tại E ,
đường thẳng qua M cắt cạnh AC tại F . Khi đó miếng giấy tam giác MEF có diện tích nhỏ
nhất bằng bao nhiêu?
S
3S
3S
S
A. 3 .
B. 5 .
C. 8 .
D. 4 .
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Câu 1.
D. 34 3 .
DẠNG 1. TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
Chọn
B.
7
Câu 2.
Câu 3.
Câu 4.
Câu 5.
Câu 6.
Câu 7.
Câu 8.
Câu 9.
Câu 10.
�a b
� ac bd
�
c
d
�
Theo tính chất bất đẳng thức,
.
Chọn
C.
Ta có: a b � a c b c
Chọn
B.
Khơng có tính chất hiệu hai vế bất đẳng thức.
1 2
�
�
5 1 � 1 5 2 1 , Sai.
Ví dụ �
Chọn
C.
a 2c b 2c � a b � 2a 2b .
Chọn
A.
Chọn
A.
�a b 0
� ac bd
�
cd 0
�
đúng theo tính chất nhân hai bất đẳng thức dương cùng chiều.
Chọn
D.
Chọn
D.
Ta có 6 a 3 a � 6 a 3 a 0 � 3 0 với mọi số thực a nên Chọn D.
Chọn C
ab
�
�ac bd �ad bc
�
c
d
�
Từ
.
Chọn D
Các mệnh đề A, B, C đúng.
2 4 25 5 .
Mệnh đề D sai. Ta có phản ví dụ: 2 5 nhưng
Câu 11. Chọn
D.
Khi cộng hai bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều nên ta có
ab
�
�ac bd
�
cd
�
.
2
Câu 12.
Chọn C
2
2 > 0 � 2.2 > 2.0
Câu A sai ví dụ
a = 3, b = 2, c = - 2 .
Câu B sai với
Câu C đúng vì - a <- b � a > b.
c �0.
Câu D sai khi
Câu 13. Chọn C
Các mệnh đề A, B đều đúng theo tính chất của bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Mệnh đề D đúng theo bất đẳng thức Cô- Si cho 2 số không âm a và b .
Mệnh đề C sai khi c 0 (vì khi nhân 2 vế của một bất đẳng thức với một số âm thì ta được bất
đẳng thức mới đổi chiều bất đẳng thức đã cho).
Câu 14. Chọn
A.
0
x
1
�
� xy x 1
�
� A đúng.
Với �y 1
�x 3 1
x
� xy 3 1
�
y
� B, C sai.
Chọn �y 1 1
8
�x 1 1
� x y 2 1
�
� D sai.
Chọn �y 3 1
Câu 15. Chọn
B.
x
y
0 thì ít nhất một trong hai số x , y phải dương.
Nếu
�x �0
�
Thật vậy nếu �y �0 � x y �0 mâu thuẫn.
Câu 16. Chọn
A.
a
b
a b 0 � a 1 b 1 1 � a 1 b 1 .
Câu 17.
Câu 18.
Câu 19.
Câu 20.
Câu 21.
DẠNG 2. BẤT ĐẲNG THỨC COSI và ỨNG DỤNG
Chọn C
Chọn A
abc 3
� abc � a b c �3 3 abc
3
Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có:
.
Chọn C
2
a b
a.b �
a.b 4.
4
Với mọi số thực a và b ta ln có:
Dấu “=” xảy ra
� a b 2.
Vậy tích a.b lớn nhất bằng 4 .
Chọn
D.
Theo tính chất của bất đẳng thức và bất đẳng thức Cơsi thì A, B, C ln đúng.
1 1
ba0�
a b là sai.
Ta có nếu
Chọn
D.
a
Với mọi , b , c dương ta ln có:
a b
a b
a b
�2 . � �2
I đúng.
b a
b a
b a
, dấu bằng xảy ra khi a b . Vậy
a b c
a b c
a b c
�3 3 . . � �3
II đúng.
b c a
b c a
b c a
, dấu bằng xảy ra khi a b c . Vậy
1 1 1� 3
1
9 � 1 11 � 9
a b c .�
� ��3 abc .3 3
abc
�a b c �
a b c a b c , dấu bằng xảy ra
a b c . Vậy III đúng.
Câu 22. Chọn
D.
8 8
16
8 8 Côsi
P x2
x 2 �3 3 x 2 . . 12
x x
x
x x
Ta có:
. Vậy Pmin 12 .
Câu 23. Chọn
C.
3
2 x �2 6
f x
x
Theo bất đẳng thức Cơsi ta có
suy ra giá trị nhỏ nhất của
bằng 2 6 .
Câu 24. Chọn
B.
A x 2 4 x có tập xác định D 2; 4 .
9
khi
Ta có:
Câu 25. Chọn
A2 �
2
2 x 2 4 x
2
A
2
, dấu bằng xảy ra khi x 2 hoặc x 4 .
A.
9
4 x 4 3x 2 9
4 x2 2 3
2
x
x
Xét hàm số
.
9
9
4x 2 2 �2 4 x 2 . 2
x 12 � y �9 .
x
Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có
y
Câu 26.
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số
Chọn
D.
y
9
3
4 x 4 3x 2 9
6
4x 2 2 � x 2 � x �
2
x
2
2 .
x
là 9 khi
a 2 (a a ... an ) 2
a12 a22
... n � 1 2
bn
b1 b2 ... bn , trong đó các số
Theo BĐT CAUCHY – SCHAWARS: b1 b2
bi 0
Vì 0 x 1 nên x 0 và 1 x 0
2 3 25
4
9
22
32
�
y
x 1 x
x 1 x x 1 x
Từ đó
2 a
x
y
25
5 b �ab 7.
Suy ra min
khi
Câu 27. Chọn
D.
2
a 1 �0 � a 2 2a 1 �0
a
Với là số thực bất kì, ta có:
2a
۳ 1
2
� a 1 �2a
a2 1 .
Hay P �1 .
Câu 28. Chọn D
Với x 1 � x 1 0
x
1 �x 1 1 � 1
P
�
�
x 1 � 4
4 x 1 � 4
x 1
1
x 1 có
Áp dụng Bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương 4
x 1
1
x 1 1
�2.
.
4
x 1
4 x 1
x 1
1
�
�1
4
x 1
x 1
1
2
� x 1 4 � x 3
4
x
1
Dấu đẳng thức xảy ra khi
(vì x 1 )
5
P�
4
Do đó
5
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 4 (khi x 3 ).
Câu 29. Chọn B
3
1 0 x
1.
Hàm số xác định khi: x �۳
2
10
y x 3 2 1 x 3 1 x3 2 1 x 3 1
x 1 1 1 x 1 �2
3
3
x �1 .
2
x3 1 1
x3 1 1
2
.
x 3 1 1 1 x 3 1 �0
Dấu “=” xảy ra khi:
Do
Với
3
x 3 1 1 0 x �1 nên
� x���
1 10
y 0 2 � min y 2
x0
x0
ta có:
tại
x3 1 1
x 0
.
Câu 30.
Hướng dẫn giải
Chọn
Ta có:
B.
f x
x
2
x 1
2
1
x 1 2
1 5
�2
.
2 x 1
2
x 1 2
2 x 1 2 2 .
�x �1
�
�x 1
2 � x 3.
�
x 1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi � 2
5
f x
Vậy hàm số
có giá trị nhỏ nhất bằng 2 .
Câu 31.
Hướng dẫn giải
Chọn
A.
2
x2 1 2 1
�1 1 � 1
�
f x �
��
2 2
2�
�
�
�
f x �0
x
x x
8
�x 4 � 8
Ta có
và
2
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4 đạt được khi x 4.
2
Câu 32.
0
f x
1
2 2
Chọn A
Tập xác định của hàm số
Ta có
y
D 2018; �
.
x 2017
x 2018 1
1
x 2018
x 2018
x 2018
x 2018 .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
x 2018
1
�2
x 2018
.
1
� x 2018 1 � x 2019
x
2018
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
.
x
2019
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 khi và chỉ khi
.
Câu 33. Chọn C
�3 �
D�
;3
�2 �
�.
Tập xác định của hàm số
x 2018
�3 �
y 0 x ��
;3�
2 �.
�
Ta thấy
11
2
4 .
Có
y2 9 2
6 2x 3 2x
�3 �
�3 �
�9 x ��
;3�
x ��
;3
� 2 �. Suy ra y �3 ;
�2 �
�.
3
�
x
�
Min y 3
2
�
�3 �
;3
x 3 . Vậy x��
�2 �
�
Dấu bằng xảy ra khi �
.
2
6 2 x 3 2 x � 6 2 x 3 2 x 9
Theo BĐT Cơ Si ta có
�3 �
�3 �
y 2 �
18,x �
� ;3� y 3 2, x � ;3�
�
�2 �
� 2 �.
Suy ra
6 2x 3 2x � x
Dấu bằng xảy ra khi
Câu 34. Chọn
A.
Với x 1 , ta có
Vậy
Câu 35.
f x
Min f x 2
khi
Max y 3 2
3
�3 �
x��
;3�
2 �
4 . Vậy �
.
x
1
x 1
�2
x 1
x 1
x 1
�3 �
x ��
;3
�2 �
�.
với
x 1.
1
2
x 1
.
1
� x2
x 1
.
Chọn D
2
Ta có
2
�a 2 2a � �b 2 2b �
a 2 b 2 2a 2b
�a � �b �
P 2 2
1 � 2
1� � 2 1� 3 � 1 � � 1� 3 �3
b
a
b
a
b
a
�b � �a �
�b
� �a
�
�a
1
�
�b
� a b �0
�
b
� 1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi �a
.
min
P
3
a
b
�
0
Vậy
khi
.
Câu 36. Chọn A
2
1
1� 1
1
2
�
P 8 x y 4 xy �4 xy xy �2 xy � �
2
4 � 16
16
�
Ta có
�
16 x 4 y 4
�
�
8 xy 1
*
�
�
3
x 2 y 8 xy �2 .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: �
� 1
x
�
� 4
�
1
�y 1
min P
*
�
2 là một nghiệm của
16 .
Dễ thấy
nên
Câu 37. Chọn C
x �1, y �2.
Điều kiện:
x 3 x 1 3 y 2 y
Ta có:
4
12
.
� ( x y )2 9
x 1 y 2
2
�9.2. x y 3
( theo bất đẳng thức Bunhia – Côpxki)
� ( x y ) 18( x y ) 54 �0
2
� x y �9 3 15
P 9 3 15.
� 10 3 15
�x
�
�x y 9 3 15
�
2
�
t /m .
�
�
x
1
y
2
8
3
15
�y
�
�
�
2
Dấu “=” xảy ra khi
� 10 3 15
�x
�
2
�
�y 8 3 15
�
2
Vậy max P 9 3 15 đạt được khi �
.
Câu 38. Chọn D
x �1, y �2.
Điều kiện:
x 3 x 1 3 y 2 y
Ta có:
� ( x y)2 9
x 1 y 2
2
�9.2. x y 3
( theo bất đẳng thức Bunhia – Côpxki)
� ( x y ) 18( x y ) 54 �0
2
� x y �9 3 15
P 9 3 15.
� 10 3 15
�x
�
x
y
9
3
15
�
�
2
��
t /m .
�
� x 1 y 2
�y 8 3 15
�
�
2
Dấu “=” xảy ra khi
� 10 3 15
�x
�
2
�
�y 8 3 15
�
2
Vậy max P 9 3 15 đạt được khi �
.
Câu 39.
Chọn B
Ta có
xy x y x 2 y 2 xy �
xy x y x 2 y 2 xy
x2 y 2
x2 y2
2
1 1 1
1
1 �1 1 � 3
� 2 2
� � .
x y x
y
xy �x y � xy
Đặt
a
1 1
1
,b
x y
xy
a 2 �4b � a a 2 3b � b
3
a2 a
.
3
�1 1 � 3 �1 1 �
a2 a
M � � � � a 3 3ab a 3 3a.
a2.
x
y
xy
x
y
3
�
�
�
�
Biến đổi
13
a2 a
a2
�b���
3�
a 2 4�
a2 4a
4
Ta có 3
Dấu " " xảy ra
Câu 40.
� x y
a 2 4a
0
0 a
4
M
a 2 16.
1
� M max 16.
2
Chọn A
Ta có: x(3 xy xz ) y 6 z �5 xz ( y z )
� 3x y 6 z �x 2 y x 2 z 5 xz ( y z )
� 3x y 6 z �x( y z )( x 5 z )
3
�3x y 5 z �
�
2 P 2 x( y z )( x 5 z ) �
�
� 3
�
3
P
ۣ 2 P
۳ P 2 54 ۳ P 3 6
ۣ
27
2x y z x 5z
�
6
9 6
6
�x
,y
,z
�
2
10
10
3x y 6 z 3 6
Dấu " " xảy ra khi �
Câu 41.
Chọn B
Áp dụng BĐT Cauchy ta được:
3
3
�1 a b c
abc
abc
abc � 8 a b c
T 3
�
.
� . 3
3
�
a b c �9
abc�
abc
abc
abc
�9
�2
1 a b c 3 abc
8
2 8 10
. 3
.
.3
9
3 3 3 .
abc a b c 9
Dấu " " xảy ra � a b c .
Câu 42.
Lờigiải
Chọn B
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số thực dương ta có:
1
36a �12
a
(1)
4
36b �24
b
(2)
9
36c �36
c
(3)
36(a
b c) 72
Cộng các vế tương ứng của (1), (2), (3) ta có P �
P 36 . Dấu bằng xảy ra khi
1
4
9
1
1
1
36a; 36b; 36c
a ;b ;c
b
c
6
3
2.
và chỉ khi a
và a+b+c=1 hay
Câu 43. Chọn A
1
2
3
�2
x
a
1,
y
2
b
1,
z
3
c
1
x
1
y
2
z
3
Đặt
. Khi đó bài toán trở thành “ Cho
, với
x, y , z dương. Tìm giá trị lớn nhất của P xyz ”.
Ta có
14
1
2
3
y
z
�1
1
�2
x 1
y2
z3 y2 z3
Tương tự
2
�2
y2
xz
x 1 z 3 2
3
�2
z3
xy
x 1 y 2 3
yz
y 2 z 3
1 , 2 , 3 ta được:
Nhân cả hai vế của
6
8 xyz
�
x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 ۣ xyz
.
1
3
4.
3
P a 1 2b 1 3c 1
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức
là 4 .
Câu 44. Chọn B
c3
�
2
2
c 2 d 2 25 6c 8d � c 3 d 4 0 � �
�d 4 .
Theo đề ra ta có:
P 25 3a 4b
Do vậy
.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiaxcopski ta có:
3a 4b � 32 42 a 2 b 2
a 2 b2 2
5 2 ��
� 5 2 �3a 4b �5 2
5 2 � 3a 4b �5 2 ��
� 25 5 2 �25 3a 4b �25 5 2
Hay
��
� 25 5 2 �P �25 5 2 . Vậy max P 25 5 2 . Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi
�
3 2
� 4
�
�
b a0
a
a 2 b2 2
a 2 b2 2
�
�
�
�
� 3
�
5
�� 4
��
��
�3 4
16
b a0
4 2
� 0
�
�a 2 a 2 2
�
b
�a b
� 3
�
�
9
5
�
Câu 45. Ta có
2�
2�
1�
10 10
�
S 3 x 2 2 y 2 z 2 2 �y x �
y 1 �
z 1 �
3x 2 y z 4 �
�z x �
�x �
3�
3�
3
3
�
�
� 3�
Câu 46.
Chọn A
x2 y 2 z 2 x y z
�
b
c
a b c (1).
Chứng minh được: với a, b, c 0 ta có: a
x y z
a b c.
Dấu “=” xảy ra khi
Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si cho hai số khơng âm ta có:
1 2a 1 2a 4 a 2
3
2
1 8a 1 2 a 1 2 a 4 a �
1 2a 2
2
.
1
1
2
1 8a 3 1 2a .
2
Tương tự ta được:
15
P
1
1 8a 3
P 1 .
1
1 8b3
1
1 8c3
9
1
1
1 �
2
2
2
�
1 2a 2 1 2b 2 1 2c 2 3 2 a b c (theo (1)).
�
�
1 2 a 2 1 2a 4 a 2
�
1 2b 2 1 2b 4b 2
�
�
��
1 2c 2 1 2 c 4 c 2
� 1
1
1
�
2
2
1 2a
1 2b 1 2c 2
�
�
a 2 b 2 c 2 3; a, b, c 0 � a b c 1
�
.
Dấu “=” xảy ra
min P 1 � a b c 1.
Vậy
Câu 47. Chọn D
2
2
2
2
2
2
2
Từ 2a b 2d 6 (*) suy ra b là số chẵn. Mặt khác do a 2b 3c 4d 36 (**), ta được
2b 2 �36 . Do đó b � 0, 2, 4 .
2
2
2
2
Xét b 4 . Từ (*) ta có d a 5 d 5 và từ (**) ta có d �9 . Do đó d 3 � a b c 0
( loại vì khơng thỏa (*)).
a d 1 �
a 1
�
a2 d 2 1 � a d a d 1 � �
��
a d 1 �
d 0 . Thay vào (*) ta
�
Xét b 2 . Từ (*) ta có
a 1
�
�
b2
�
�
c3
�
�
d 0 . Vậy Q 12 2 2 32 02 14 .
giải được �
Xét b 0 . Từ (*) và 0 �a d �a d , ta có:
�a d 1 �a 2
a2 d 2 3 � a d a d 3 � �
��
�a d 3 �d 1 .
a2
�
�
b0
�
�
�2 28
c
�
3
�
d 1
�
Thay vào (*) ta giải được
Kết luận Q 14 . Chọn
D.
Câu 48. Chọn D
(mâu thuẫn vì c ��).
x y z
, ,
x
,
y
,
z
yz
zx xy là các số dương. Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta
Vì
là các số thực dương suy ra
có:
x
y
x y 2
�2.
.
yz xz
yz xz z (1)
16
x
z
x z
2
�2.
.
yz xy
yz xy y (2)
z
y
z y 2
�2.
.
xy zx
xy zx x (3)
x
y
z 1 1 1
�
Cộng các về của (1), (2) và (3) ta được yz zx xy x y z
Áp dụng BĐT Cô – si ta có:
x2 1
1
x2 1 1
3
�3. 3 . .
2 2x 2x
2 2 x 2 x 2 (4)
y2 1
1
y2 1 1
3
�3. 3
. .
2 2y 2y
2 2 y 2 y 2 (5)
z2 1
1
z2 1 1
3
�3. 3 . .
2 2z 2z
2 2 z 2 z 2 (6)
1 2
1 1 1 9
(x y2 z2 ) �
2
x y z 2
Cộng các vế của (4), (5) và (6) ta được
9
P�
2 . Dấu “=” xảy ra � x y z
Suy ra
Câu 49. Chọn B
� a �
� b �
� c � �1 1 a �
�1 1 b �
�1 1 c �
E �
1 �
1 �
1
�
�
� � �
� �
�
�
� 2b �
� 2c �
� 2a � �2 2 2b �
�2 2 2c �
�2 2 2 a �
1 1 a 31 1 b 31 1 c
27
. . .3 . . .3 . .
2 2 2b
2 2 2c
2 2 2a 8 .
Dấu xảy ra � a b c .
�3 3
27
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức E bằng 8 .
Câu 50. Chọn B
Áp dụng hệ quả của BĐT Côsi ta có:
�2 1 1 �
�1 1
y z �
� ( x x y z) �
2x �
�x y z �
�x x
1
y
1�
� 16
z�
1
2x y z
1 �2
�
16 �x
1
y
1�
�
z �(1).
1
1 �1 2 1 �
1
1 �1 1 2 �
� � � 2 ;
� � � 3
x y 2 z 16 �x y z �
Tương tự ta có : x 2 y z 16 �x y z �
Cộng các BĐT (1),(2),(3) vế theo vế ta có:
1
1
1
1 �1 1 1 �
F
� � � 1.
2 x y z x 2 y z x y 2 z 4 �x y z �
3
xyz .
4
Vậy Fmax 1 đạt được khi
Câu 51. Chọn B
+ Theo bài ra 6 số a, b, c, m, n, p 0 , áp dụng BĐT Cauchy cho 2018 số dương, gồm 2017 số
(2a ) 2018
62018. 2017 m và 1 số là
m
ta được:
17
2017 (2 a ) 2018
(2a) 2018
�2018. 2018 6 2018. 2017 m
.
2018.6 2017.2a
m
m
2.(2a) 2018
2018 2017
� 2.2017.6 . m
�2018.6 2017.4a
m
2018
2.(2a)
2018.62017.4a 2017.6 2018.2. 2017 m
m
(1)
+ Chứng minh tương tự ta có:
2.(2b) 2018
�2018.62017.4b 2017.6 2018.2. 2017 n
n
(2)
2017.62018. 2017 m
3. c 2018
�2018.62017.3c 2017.6 2018.3. 2017 p
p
(3)
Cộng 3 BĐT (1), (2), (3) theo vế ta có:
S �2018.62017 (4 a 4b 3c) 2017.6 2018 (2.2017 m 2.2017 m 3.2017 p )
2. 2017 m 2. 2017 n 3. 2017 p �7 và 4a 4b 3c �42 nên ta có:
Theo bài ra:
S �2018.62017.42 2017.62018.7 7.62018 62018 ⇒ Chọn B.
Câu 52.
Hướng dẫn giải
D.
1
1 �
�a
��b
�� c
�
�1
P3 �
1� �
1� �
1� a b c �
�
�b c � �c a � �a b �
�b c c a a b �
Ta có:
.
x, y, z 0 � 1 1 1 � 9
;
x
y
z
x
y
z
Áp dụng bất đẳng thức :
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x y z.
1
1
1
9
�
b c c a a b 2 a b c
Ta được
, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c.
9
3
P �
3
P
2
2 ; đẳng thức xảy ra khi a b c .
Do đó
Câu 53. Chọn
B.
Chọn
Áp dụng BĐT Cơ-si, ta có: 1 x y �3 xy
3
Tương tự, ta có:
Suy ra:
3
1 y3 z3
� 3x
yz
,
P � 3 x 3 y 3 z �3 3 3
Dấu đẳng thức xảy ra � x y z 1 .
Vậy min P 3 3 .
Câu 54. Chọn A
1 x3 y 3
xy
1 z 3 x3
� 3y
zx
.
xyz 3 3
.
18
3
xy 3 z .
2
Kiểm tra x 0 không là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế cho x �0 ta được
1
c
1
c
� x 2 2 ax b 0 � x 2 2 ax b
4
3
2
x ax bx cx 1 0
x
x
x
x
2
2 Bunhiacopxki
1
1 � � c
�
�
�
�
� �x 2 2 � �
ax b � � a 2 b 2 c 2 �x 2 2 1�
� x � � x
�
� x
�
2
�2 1 �
�x 2 �
x �
2
2
2
� a b c ��
Cô-si
4
1
1
x2 2 1 �
x 2 2 � x �1
x
3 . Dấu “ ” xảy ra khi
x
.
Câu 55. Chọn
B.
Đặt cạnh của hình chữ nhật lần lượt là x , y ( x , y 0 ; y là cạnh của bức tường).
1
Ta có: 2 x y 100 . .
2
� y�
x
y Cosi � 2 � 1
1
2
2
S xy 2.x. �2. �
� 2 x y 100 1250
2
8
�2 � 8
�
�
Diện tích hình chữ nhật là
.
y
x � y 2 x � x 25 m
2
2
Vậy Smax 1250 m . Đạt được khi
; y 50 m .
Câu 56. Chọn C
a, b 0 a, b 150
Giả sử hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là
, đơn vị: m.
a
b
150.
Từ giả thiết, ta có
Diện tích hình chữ nhật là S a.b .
Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si, ta có
a b
a.b �
a.b 75 ab 5625 S 5625
2
.
�a b
� a b 75.
�
a b 150
�
Dấu bằng xảy ra
2
Hay max S 5625 m .
Câu 57.
Chọn A
Gọi hai cạnh của hình chữ nhật lần lượt là a, b với a.b 48 .
P 2. a b �2.2 ab 16 3
Khi đó chu vi hình chữ nhật
.
Câu 58. Chọn C
Đặt BM x � MN 16 2 x với 0 x 8 .
19
QBM vuông tại M � QM BM .tan 60� x 3 .
2
Câu 59.
�8 x x �
S MNPQ MN .MQ 16 2 x x 3 2 3 8 x x �2 3. �
�
� 2
�
S MNPQ 32
3
. Vậy tích hình chữ nhật MNPQ lớn nhất bằng 32 3 khi x 4 .
Chọn D
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vng góc của M lên AC , AB .
Khi đó ta ln có ME �MK , MF �MH .
1
1
S MEF ME.MF � .MH .MK
2
2
Vì tam giác MEF vuông tại M nên
.
1
1
MK AC MH AB
2
2
Do M là trung điểm BC nên
,
1
1 1
1
S
S MEF � .MH .MK . AB. AC
2
2 2
2
4.
Vì vậy
20
