Dạy thêm toán 10 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC đáp án

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
DẠNG 1. ÁP DỤNG CÔNG THỨC CỘNG
Câu 1.

Trong các công thức sau, công thức nào đúng?
cos ( a − b ) = cos a.sin b + sin a.sin b
sin ( a − b ) = sin a.cos b − cos a.sin b
A.
.
B.
.
sin ( a + b ) = sin a.cos b − cos a.sin b
cos ( a + b ) = cos a.cos b + sin a.sin b
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D
Công thức cộng:

Câu 2.

Câu 3.

sin ( a − b ) = sin a.cos b − cos a.sin b

Trong các công thức sau, công thức nào đúng?
tan a + tan b
tan ( a − b ) =
.

tan ( a – b ) = tan a − tan b.
1 − tan a tan b
A.
B.
tan a + tan b
tan ( a + b ) =
.
tan ( a + b ) = tan a + tan b.
1 − tan a tan b
C.
D.
Lời giải.
Chọn
B.
tan a + tan b
tan ( a + b ) =
.
1 − tan a tan b
Ta có
sin x cos y − cos x sin y
Biểu thức
bằng
cos ( x − y )
cos ( x + y )
sin ( x − y )
sin ( y − x )
A.
.
B.
.

C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C
Áp dụng công thức cộng lượng giác ta có đáp án.
C.

Câu 4.

Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
cos( a + b) = cos a cos b + sin a sin b
A.
.
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
B.
.
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
C.
.
D.

cos 2a = 1 − 2sin 2 a

.
Lời giải

Chọn

A.

Ta có cơng thức đúng là:

cos( a + b) = cos a cos b − sin a sin b
1

.


Câu 5.

(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào
sai?
a+b
a −b
sin a − sin b = 2 cos
sin
cos ( a − b ) = cos a cos b − sin a sin b
2
2
A.
.
B.
.
sin ( a − b ) = sin a cos b − cos a sin b
2cos a cos b = cos ( a − b ) + cos ( a + b )
C.
.
D.

.
Lời giải
Chọn B
Câu A, D là công thức biến đổi đúng
Câu C là cơng thức cộng đúng
Câu B sai vì

Câu 6.

Câu 7.

cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b

sin ( a + b )
sin ( a − b )

Biểu thức
sin ( a + b )

bằng biểu thức nào sau đây? (Giả sử biểu thức có nghĩa)
sin ( a + b ) sin a − sin b
sin a + sin b
=
.
=
.
sin ( a − b ) sin a − sin b
sin ( a − b ) sin a + sin b
A.
B.

sin ( a + b ) tan a + tan b
sin ( a + b ) cot a + cot b
=
.
=
.
sin ( a − b ) tan a − tan b
sin ( a − b ) cot a − cot b
C.
D.
Lời giải.
Chọn
C.
sin ( a + b ) sin a cos b + cos a sin b
=
sin ( a − b ) sin a cos b − cos a sin b
cos a cos b
Ta có :
(Chia cả tử và mẫu cho
)
tan a + tan b
=
tan a − tan b
.
sin ( a –17° ) .cos ( a + 13° ) – sin ( a + 13° ) .cos ( a –17° )
Rút gọn biểu thức:
, ta được:
1
1
− .

.
sin 2a.
cos 2a.
2
2
A.
B.
C.
D.
Lời giải.
Chọn
C.
sin ( a –17° ) .cos ( a + 13° ) – sin ( a + 13° ) .cos ( a –17° ) = sin ( a − 17° ) − ( a + 13° ) 
Ta có:
1
= sin ( −30° ) = − .
2

cos
Câu 8.

.

Giá trị của biểu thức

37π
12

bằng

2


6+ 2
.
4

A.

Chọn

cos

6− 2
.
4

B.

C. –
Lời giải.

D.

2− 6
.
4

C.

37π = cos  2π + π + π  = cos  π + π  = − cos  π  = − cos  π − π 
 ÷

÷

÷

÷
12 
12 


 12 
3 4
12

π
π
π
π

= −  cos .cos + sin .sin ÷ = − 6 + 2
3
4
3
4

4
Câu 9.

6+ 2
.
4

.

Đẳng thức nào sau đây là đúng.

A.

C.

π
1

cos  α + ÷ = cos α +
3
2


.

π
3
1

cos  α + ÷ =
sin α − cos α
3
2

2


B.

π 1
3

cos  α + ÷ = sin α −
cos α
3 2
2


π 1
3

cos  α + ÷ = cos α −
sin α
3 2
2


.

D.
Lời giải

.

.

Chọn D

Ta có

π
π
π 1
3

cos  α + ÷ = cos α . cos − sin α . sin = cos α −
sin α
3
3
3 2
2


.

π

tan  α − ÷
4

tan α = 2
Câu 10. (THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Cho
. Tính
.

1
2
1
−
3
3
3
1
A.
.
B. .
C. .
D. .
Lời giải
Chọn D

π
π

4 = 2 −1 = 1
tan  α − ÷ =
4  1 + tan α tan π 1 + 2 3

4
tan α − tan

Ta có
Câu 11.

Kết quả nào sau đây sai?

π

sin x + cos x = 2sin x + ÷
4

A.
.
π

sin2x + cos2x = 2sin 2x − ÷
4

C.
.

.

B.

π

sin x − cos x = − 2cos x + ÷
4


.
π

sin2x + cos2x = 2cos 2x − ÷
4


D.
.
Lời giải
3


Chọn C

Ta có

 1

1
sin2x + cos2x = 2 
sin2x +
cos2x÷
2
 2


π
π


= 2  cos sin2x + sin cos2x÷
4
4



π
π


= 2sin 2x + ÷ ≠ 2sin 2x − ÷
4
4



sin x =
Câu 12.

Cho
2
7
A. .
- 2
7
C.
.

3
5

với

π
< x<π
2

khi đó
- 1
7
B.
.
1
7
D. .

π

tan  x + ÷
4


bằng.

Lời giải
Chọn D

sin 2 x + cos 2 x = 1 ⇒ cos x = ± 1 − sin 2 x = ± 1 −
Từ

Vì

π
< x <π
2

Ta có:

Cho

A.

nên

4
5

tan x =
do đó

sin x
3
=−
cos x
4

π
3
tan x + tan
− +1
π
1


4 = 4
tan  x + ÷ =

=
3
4  1 − tan x.tan π
7

1+
4
4
sin α =

Câu 13.

cos x = −

2− 6
2 6

.

1
3

0<α <

với

B.

π
2

. Giá trị của

6 −3

.

9
4
=±
25
5

.

.

.

π

cos  α + ÷
3


C.
Lời giải

bằng

1 1
−
6 2

6−

.

D.

1
2

.

Chọn A
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇔ cos 2 α =

Ta có:

2
6
⇔ cos α =
3
3

4

0 <α <

(vì

1
2

nên

cos α > 0

).


Ta có:

Câu 14.

π 1
3
1 6
3 1
1 1 2− 6

cos  + ữ = cos
sin = ì −
× =
− =
3 2
2
2 3
2

3
6 2
2 6


Cho hai góc
đúng của
16
65
A.
.

α, β

sin α =
thỏa mãn

cos ( α − β )

5 π
3

cos β =
 <α <π ÷

13  2
5
,
và
,

.

π

0 < β < ÷

2

. Tính giá trị

.

B.

18
65

.

C.
Lời giải

18
65

.

D.

16
65

.

Chọn D
2

12
5
5 π

cos α = − 1 −  ÷ = −
sin α =
 <α <π ÷
13
 13 

13  2
,
nên
.
2

4
 3
π
3 
sin β = 1 −  ÷ =
cos β =

0 < β < ÷
5
5
2
5 
,
nên
.
12 3 5 4
16
=
−
.
+
.
=
−
cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
13 5 13 5
65

.

3
 π 3π 
sin α = , α ∈  ; ÷
5
2 2 
(THPT Cộng Hiền - Lần 1 - 2018-2019) Cho
. Tính giá trị

Câu 15.

21π 

cos  α −
÷
4 

?

A.

2
10

.

B.

−7 2
10

.

C.
Lời giải

Chọn A
cos 2 α = 1 − sin 2 α =

Ta có:

Vậy:

16
4
⇔ cos α = ±
25
5

− 2
10

.

D.

 π 3π
α ∈ ;
2 2


÷⇒ cos α < 0


7 2
10

.

cos α =

.Do
nên
21π 
21π
21π −4  − 2  3  − 2 
2

cos  α −
=
cos
α
cos
+
sin
α
sin
=
+ 
=

÷
÷
÷
÷
÷
4 
4

4
5  2  5  2  10


Câu 16. Biểu thức

M = cos ( –53° ) .sin ( –337° ) + sin 307°.sin113°

5

có giá trị bằng:

.

−4
5

.


A.

1
− .
2

B.

1
.

2

−
C.
Lời giải.

3
.
2

3
.
2

D.

Chọn
A.
M = cos ( –53° ) .sin ( –337° ) + sin 307°.sin113°
= cos ( –53° ) .sin ( 23° – 360° ) + sin ( −53° + 360° ) .sin ( 90° + 23° )

1
= cos ( –53° ) .sin 23° + sin ( −53° ) .cos 23° = sin ( 23° − 53° ) = − sin 30° = − 2

Câu 17. Rút gọn biểu thức:
cos 50°.
A.
Chọn
Ta có:

cos 54°.cos 4° – cos 36°.cos 86°

B.

, ta được:
sin 50°.
C.
Lời giải.

cos 58°.

D.

sin 58°.

D.
cos 54°.cos 4° – cos 36°.cos 86° = cos 54°.cos 4° – sin 54°.sin 4° = cos 58°.

Câu 18. Cho hai góc nhọn

A.

.

π
.
3

a

và

b

tan a =
với

B.

1
7

tan b =
và

π
.
4

B.
tan a + tan b
tan ( a + b ) =
=1
1 − tan a.tan b

3
4

. Tính

a+b

.

π
.
6

C.
Lời giải.

D.

2π
.
3

Chọn

Câu 19. Cho

A.

x, y

π
.
4

Chọn

a+b =
, suy ra

π
4

3
1
cot y =
x+ y
4
7
là các góc nhọn,
,
. Tổng
bằng:
3π
π
.
.
4
3
B.
C.
Lời giải.
cot x =

C.

Ta có :
4
+7
tan x + tan y
tan ( x + y ) =
= 3
= −1
1 − tan x.tan y 1 − 4 .7
3

x+ y =
, suy ra

6

3π
4

.

D.

π.


Câu 20. Biểu thức
3
.
4
A.

π

π

A = cos 2 x + cos 2  + x ÷+ cos 2  − x ÷
3

3


Chọn
Ta có :

B.

4
.
3

khơng phụ thuộc
3
.
2

x

C.
Lời giải.

và bằng:
2
.
3
D.

C.
2

2
π

 = cos 2 x +  3 cos x − 1 sin x ÷ +  3 cos x + 1 sin x ÷
2 π
A = cos x + cos  + x ÷+ cos  − x ÷
 2
÷  2
÷
2
2

 

3

3

2

=

3
2

2

.

4
π
0<β <
A=
α ≠ kπ
5
2
Câu 21. Biết
,
và
. Giá trị của biểu thức:
α
không phụ thuộc vào
và bằng
5
5
3
.
.
.
3
3

5
A.
B.
C.
Lời giải.
sin β =

Chọn

Ta có

A.

π

0 < β < 2
3
⇒ cos β =

5
sin β = 4

5

β
α
= 4 tan
2
2

3sin α
.
5 − 3cos α

Chọn
Ta có:

4 cos ( α + β )
3

sin α

D.

3
.
5

B.

tan
Câu 22. Nếu

3 sin ( α + β ) −

tan
thì

B.

A=

3 sin ( α + β ) −

, thay vào biểu thức

β −α
2

4 cos ( α + β )

sin α

3

=

bằng:

3sin α
.
5 + 3cos α

3cos α
.
5 − 3cos α

C.
Lời giải.

A.

β
α
α
α
α
tan − tan
3 tan
3sin .cos
β −α
2
2 =
2 =
2
2 = 3sin α .
tan
=
β
α
α
α
2
5 − 3cos α
1 + tan .tan
1 + 4 tan 2
1 + 3sin 2
2
2
2

2
7

D.

3cos α
.
5 + 3cos α

5
3

.


cos a =
Câu 23. Cho

A.

3
3
sin b =
cos ( a + b ) .
4 sin a > 0
5 cos b < 0
;
;
;
. Giá trị của

bằng:

3
7
1 +
÷.
5
4 ÷


Chọn
Ta có :

B.

3
7
− 1 +
÷.
5
4 ÷


3
7
1 −
÷.
5
4 ÷


C.
Lời giải.

D.

3
7
− 1 −
÷.
5
4 ÷


A.

3

7
cos a =
2
4 ⇒ sin a = 1 − cos a =

4
sin a > 0

.

3


4
sin b =
2
5 ⇒ cos b = − 1 − sin b = − .

5
cos b < 0
3  4
7 3
3
7
cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b = .  − ÷−
. = − 1 +
÷.
4  5 4 5
5
4 ÷


b 1

cos  a − ÷ =
2 2


Câu 24. Biết
bằng:

A.

24 3 − 7
.
50

b

a
 3
a

sin  a − ÷ > 0 sin  − b ÷ =
cos  − b ÷ > 0
cos ( a + b )
2

2
 5
2

và
;
và
. Giá trị

B.

7 − 24 3
.
50

22 3 − 7
.
50

C.
Lời giải.

Chọn
A.
Ta có :
 
b 1
cos  a − 2 ÷ = 2
 


sin  a − b  > 0 ⇒ sin  a − b  = 1 − cos 2  a − b  = 3
÷

÷

÷
 
2
2
2
2


 a

 3
sin  2 − b ÷ = 5
 


a

a
 4
cos  a − b 
⇒ cos  − b ÷ = 1 − sin 2  − b ÷ =
÷
  2

2

2
 5

cos

D.

7 − 22 3
.
50

.

.

a+b
b
b a

a



= cos  a − ÷cos  − b ÷+ sin  a − ÷sin  − b ÷ = 1 . 4 + 3 . 3 = 3 3 + 4 .
2
2
2  2

2


 2 5 5 2
10

8


cos ( a + b ) = 2 cos 2

Câu 25. Rút gọn biểu thức:
0.
A.
Chọn

a+b
24 3 − 7
−1 =
.
2
50
cos ( 120° – x ) + cos ( 120° + x ) – cos x

B.

ta được kết quả là
–2 cos x.
sin x – cos x.
C.
D.
Lời giải.

– cos x.

C.

1
3
1
3
cos ( 120° – x ) + cos ( 120° + x ) – cos x = − 2 cos x + 2 sin x − 2 cos x + 2 sin x − cos x
= −2 cos x

3
3

cos b =
sin ( a − b )
5 cos a < 0
4 sin b > 0
Câu 26. Cho
;
;
;
. Giá trị
bằng:
1
9
1
9
1
9
1
9
−  7 + ÷.
−  7 − ÷.
 7 + ÷.
 7 − ÷.
5
4
5
4
5
4
5
4

A.
B.
C.
D.
Lời giải.
sin a =

Chọn
Ta có :

A.

3

sin a =
5

4
2
cos a < 0 ⇒ cos a = − 1 − sin a = −
5
3

cos b =
4
7

2
sin b > 0 ⇒ sin b = 1 − cos b = 4

.

.

3 3  4 7 1
9
sin ( a − b ) = sin a cos b − cos a sin b = . −  − ÷.
=  7+ ÷
5 4  5 4 5
4

α + β +γ =
Câu 27. Biết
cot α .cot γ
A.

và

cot α , cot β , cot γ

theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tích số

bằng:

2.

Chọn
Ta có :

π

2

.

B.

–2.

3.
C.
Lời giải.

C.

9

D.

–3.


α + β +γ =

π
2

cot β = tan ( α + γ ) =
, suy ra

tan α + tan γ

cot α + cot γ
2 cot β
=
=
1 − tan α tan γ cot α cot γ − 1 cot α cot γ − 1

⇒ cot α cot γ = 3.
DẠNG 2. ÁP DỤNG CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI – HẠ BẬC
Câu 28.

x
Đẳng thức nào không đúng với mọi ?
1 + cos 6 x
cos 2 3 x =
cos 2 x = 1 − 2 sin 2 x
2
A.
. B.
.
1 + cos 4 x
sin 2 2 x =
sin 2 x = 2sin x cos x
2
C.
. D.
.
Lời giải
Chọn D
sin 2 2 x =

Ta có

1 − cos 4 x
2

.

Câu 29. Trong các công thức sau, công thức nào sai?
2 tan x
cot 2 x − 1
tan 2 x =
cot 2 x =
1 + tan 2 x
2 cot x
A.
. B.
.
C.

cos 3 x = 4 cos3 x − 3cos x

Chọn

sin 3 x = 3sin x − 4sin 3 x

.

D.
Lời giải.

B.

tan 2 x =
Công thức đúng là

2 tan x
1 − tan 2 x

.

Câu 30. Trong các công thức sau, công thức nào sai?
cos 2a = cos 2 a – sin 2 a.
cos 2a = cos 2 a + sin 2 a.
A.
B.
2
2
cos 2a = 2cos a –1.
cos 2a = 1 – 2sin a.
C.
D.
Lời giải.
Chọn
B.
cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2sin 2 a.
Ta có
Câu 31. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

cos 2a = cos2 a − sin 2 a

cos 2a = 2 cos a + 1

.

2

C.

B.

cos 2a = 2 sin a − 1

cos 2a = cos2 a + sin 2 a

2

. D.

.
Lời giải

Chọn A
10

.


Câu 32.

a.

Cho góc lượng giác
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định sai?
2
cos 2a = 1 − 2sin a
cos 2a = cos 2 a − sin 2 a
A.
. B.
.
2
2
cos 2a = 1 − 2 cos a
cos 2a = 2 cos a − 1
C.
. D.
.
Lờigiải
Chọn C
Ta có:

Câu 33.

cos 2a = cos 2 a − sin 2 a = 1 − 2sin 2 a = 2 cos 2 a − 1

.

(KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Khẳng định nào dưới
đây SAI?
2sin 2 a = 1 − cos 2a
A.

.
cos 2a = 2 cos a − 1
B.
.
sin 2a = 2sin a cos a
C.
.
sin ( a + b ) = sin a cos b + sin b.cos a
D.
.
Lời giải
Chọn B
Có

Câu 34.

cos 2a = 2 cos 2 a − 1

nên đáp án B sai.

Chọn đáo án đúng.
sin 2 x = 2sin x cos x
sin 2 x = sin x cos x
sin 2 x = 2 cos x
A.
. B.
. C.
.

D.

sin 2 x = 2 sin x

Lời giải
Chọn A

Câu 35.

4
 π 
cos x = , x ∈  − ;0 ÷
5
 2 

Cho
24
25
A.
.

. Giá trị của
24
−
25
B.
.

sin 2x

là

−

C.
Lời giải

1
5

.

D.

1
5

.

Chọn B

sin 2 x = 1 − cos 2 x = 1 −
Ta có

Vậy

16 9
3
=
⇒ sin x = −
25 25
5

4  3
24
sin 2 x = 2sin x.cos x = 2. .  − ÷ = −
5  5
25

11

.

vì

 π 
x ∈  − ;0 ÷⇒ sin x < 0
 2 

.

.


s inx + cos x =
Câu 36.

Nếu

A.

3

4

1
2

.

thì sin2x bằng

B.

3
8

2
2

.

C.
.
Lời giải

D.

−3
4

.

Chọn D

s inx + cos x =
Ta có
Câu 37.

Biết rằng
T = −7
A.
.

1
1
−3
⇔ sin 2 x + 2sin x cos x + cos 2 x = ⇔ sin 2 x =
2
4
4

sin 6 x + cos6 x = a + b sin 2 2 x

B.

T =1

, với

a, b

là các số thực. Tính

T =0
C.
.
Lời giải

.

T = 3a + 4 b

D.

T =7

.

.

Chọn C
sin 6 x + cos6 x = ( sin 2 x + cos 2 x ) − 3sin 2 x.cos 2 x ( sin 2 x + cos 2 x )
3

Ta có

3
= 1 − 3sin 2 x.cos 2 x = 1 − sin 2 2 x
4
a = 1, b = −

Vậy

Câu 38.

Cho

3
sin 2α = .
4

A=
A.

3
4

4
3

.

. Do đó

.

T = 3a + 4 b = 0

Tính giá trị biểu thức
2
A=
3
B.

.

.

A = tan α + cot α

A=
C.
Lời giải

8
3

A=
.

D.

16
3

.

Chọn C
sin α cos α sin 2 α + cos 2 α
=
+
=
A = tan α + cot α cos α sin α
sin α cos α

Câu 39.

Cho

a, b

là hai góc nhọn. Biết

cos ( a + b ) cos ( a − b )

bằng

12

=

1
1
8
=
=
1
1 3 3
sin 2α
.
2
2 4

1

1
cos a = , cos b =
3
4

.

. Giá trị của biểu thức


−

A.

119
144

−

.

B.

115
144

−

.

C.

113
144

−

.

D.

117
144

.

Lời giải
Chọn A
cos a =

Từ
cos b =

1
7
⇒ cos 2a = 2 cos 2 a − 1 = −
3
9

1

7
⇒ cos 2b = 2 cos 2 b − 1 = −
4
8

cos ( a + b ) cos ( a − b ) =

Ta có

Câu 40.

1
1 7 7
119
( cos 2a + cos 2b ) =  − − ÷ = −
2
2 9 8
144

(TỐN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Cho số thực

α

.

sin α =
thỏa mãn

1
4

. Tính

( sin 4α + 2sin 2α ) cos α

A.

25
128

Ta có

.

B.

1
16

( sin 4α + 2sin 2α ) cos α

.

C.
Lời giải

255
128

.

D.

225
128

.

(

)

2
= 2sin 2α ( cos 2α + 1) cos α = 4sin α cos α 1 − 2sin α + 1 cos α

2

= 4sin α ( 1 − sin 2 α ) ( 2 − 2sin 2 α ) = 8 ( 1 − sin 2 α )

2

1 1

= 8 1 − ÷ . = 225
sin α
 16  4 128

sin 2a
cot a = 15
Câu 41. Cho

, giá trị
có thể nhận giá trị nào dưới đây:
11
13
15
.
.
.
113
113
113
A.
B.
C.
Lời giải.

Chọn

D.

.

17
.
113

C.

1
 2

sin a = 226
⇒
225
1
15
2
⇒ 2 = 226 cos a =
⇒ sin 2a = ±

226
cot a = 15
sin a
113

.

DẠNG 3. ÁP DỤNG CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG, TỔNG THÀNH TÍCH
Câu 42.

Mệnh đề nào sau đây sai?
1
cos a cos b = cos ( a − b ) + cos ( a + b ) 
2
A.
.
13

sin a cos b =
B.

1
sin ( a − b ) − cos ( a + b ) 
2

.


sin a sin b =
C.

1
cos ( a − b ) − cos ( a + b ) 
2

sin a cos b =
.

D.
Lời giải

1
sin ( a − b ) + sin ( a + b ) 
2

.

Chọn B
sin a cos b =

Ta có

Câu 43.

1
sin ( a + b ) + sin ( a − b ) 
2

.

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A.
C.

cos (a − b) = cos a.cos b + sin a.sin b
sin(a − b) = sin a.cos b − sin b.cos a

cos a.cos b =

.

B.

1
[ cos(a + b) + cos(a − b) ]
2

cos a + cos b = 2cos(a + b).cos (a − b)

.

D.

Lời giải

Chọn D
cos a + cos b = 2cos

Ta có:
Câu 44.

a+b
a −b
.cos
.
2
2

Cơng thức nào sau đây là sai?
a+b
a −b
cos a + cos b = 2 cos
.cos
2
2
A.
.
a+b
a −b
sin a + sin b = 2sin
.cos
2
2

C.
.

cos a − cos b = −2 sin

B.
sin a − sin b = 2sin

D.
Lời giải

a+b
a−b
.sin
2
2

a+b
a −b
.cos
2
2

Chọn D

sin a − sin b = 2 cos
Ta có

A=
Câu 45.

Rút gọn biểu thức
A = cot 6 x
A.
.
A = cot 2 x
C.
.

a+b
a −b
.sin
2
2

.

sin 3x + cos 2 x − sin x
( sin 2 x ≠ 0; 2 sin x + 1 ≠ 0 )
cos x + sin 2 x − cos 3x
B.
D.

ta được:

A = cot 3x

.
A = tan x + tan 2 x + tan 3 x

.

Lời giải
Chọn C

A=

sin 3 x + cos 2 x − sin x 2 cos 2 x sin x + cos 2 x = cos 2 x (1 + 2 sin x ) = cot 2 x
=
cos x + sin 2 x − cos 3 x 2 sin 2 x sin x + sin 2 x sin 2 x (1 + 2 sin x )

14

.

.

.

.

.


π 
π

P = sin  a + ÷sin  a − ÷
4 
4


Câu 46. Rút gọn biểu thức
.
3
1
− cos 2a
cos 2a
2
2
A.
.
B.
.
2
1
− cos 2a
− cos 2a
3
2
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D

Ta có:
Câu 47.

π 

π  1 π
1


sin  a + ÷sin  a − ÷ = cos − cos 2a  = − cos 2a
4 
4 2
2
2



sin α − 1
Biến đổi biểu thức
thành tích.
π 
π

sin α − 1 = 2sin  α − ÷cos  α + ÷
2
2


A.
.
π 
π

sin α − 1 = 2sin  α + ÷cos  α − ÷
2

2


C.
.

B.

.

α π 
α π 
sin α − 1 = 2sin  − ÷cos  + ÷
2 4
2 4

.

α π 
α π 
sin α − 1 = 2sin  + ÷cos  − ÷
2 4
2 4

D.
Lời giải

.

Chọn B

π
π
α+
α−
π
2 sin
2 = 2 cos  α + π  sin  α − π  .
sin α − 1 = sin α − sin = 2 cos

÷ 
÷
2
2
2
2 4 2 4
P=

Câu 48.

Rút gọn biểu thức
P = tan a
A.
.

cos a + 2 cos 3a + cos 5a
sin a + 2 sin 3a + sin 5a

B.

P = cot a

.

.

C.
Lời giải

P = cot 3a

.

D.

P = tan 3a

.

Chọn C
P=

=

Câu 49.

cos a + 2 cos 3a + cos 5a 2 cos 3a cos a + 2 cos 3a
=
sin a + 2sin 3a + sin 5a
2sin 3a cos a + 2sin 3a

2 cos 3a ( cos a + 1) cos 3a
2sin 3a ( cos a + 1) = sin 3a = cot 3a

(THPT

Phan

Bội

Châu

P = sin 30 .cos 60 + sin 60 .cos 30
o

o

o

.
-

KTHK

o

.
15

1-17-18)

Tính

giá

trị

biểu

thức


P =1

A.

.

B.

P=0

.

P= 3

C.

.

D.

P=− 3

.

Lời giải
Chọn A
P = sin ( 30o + 60o ) = sin 90 o = 1
Ta có
.

cos
Câu 50. Giá trị đúng của
1
.
2
A.
Chọn

2π
4π
6π
+ cos
+ cos
7
7
7

B.

1
− .
2

1
.
4

C.
Lời giải.

sin
=

2π
4π
6π
cos
+ cos
+ cos
7
7
7

Câu 51. Giá trị đúng của
A.

=

π
2π
4π
6π 
+ cos
+ cos
 cos
÷
7
7
7
7 
π
sin
7

3π
5π
 π
 3π 
 5π 
 π
+ sin  − ÷+ sin
+ sin  − ÷+ sin π + sin  −
÷ sin  − ÷
7
7
 7
 7 
 7  =

 7  =−1
π
π
2
2sin
2sin
7
7

tan
2

(

)

π
7π
+ tan
24
24

6− 3 .

Chọn

2
B.

(

bằng:

)

6+ 3 .

3− 2 .

C.
Lời giải.

)

(

6− 3

Câu 52. Biểu thức
1.
A.

D.

(

1
− 2sin 700
0
2sin10

B.

–1.

)
.

có giá trị đúng bằng:
2.
C.
Lời giải.

D.

A.

1
1 − 4sin100.sin 700 2sin 80 0 2sin10 0
0
−
2sin
70
=
=
=
=1
2sin100
2sin100
2sin10 0 2sin10 0

Câu 53. Tích số

2

A.

A=

Chọn

(

2

π
sin
π
7π
3
3
tan + tan
=
=
=2
24
24 cos π .cos 7π cos π + cos π
24
24
3
4

A=

D.

1
− .
4

B.
sin

Ta có

bằng:

cos10°.cos 30°.cos 50°.cos 70°

bằng:
16

.

–2.

.

)

3+ 2 .

A.

1
.
16

Chọn

B.

1
.
8

3
.
16

C.
Lời giải.

C.

cos10°.cos 30°.cos 50°.cos 70° = cos10°.cos 30°.

=

1

cos120o + cos 20o )
(
2

3  cos10° cos 30° + cos10° 
3 1
3
+
. =
−
÷=
4 
2
2

4 4 16

Câu 54. Tích số
1
.
8
A.
Chọn

D.

1
.
4

.

π
4π
5π
cos .cos .cos
7
7
7

B.

bằng:
1
− .
8

1
.
4

C.
Lời giải.

D.

1
− .
4

A.

π
4π
5π
cos .cos
.cos
7
7
7
8π
7 =1
=−
π 8
8sin
7

=

sin

2π
4π
5π
2π
2π
4π
4π
4π
.cos

.cos
sin
.cos
.cos
sin
.cos
7
7
7 =−
7
7
7 =−
7
7
π
π
π
2sin
2sin
4sin
7
7
7

sin

.

A=

tan 30° + tan 40° + tan 50° + tan 60°
cos 20°

Câu 55. Giá trị đúng của biểu thức
2
4
.
.
3
3
A.
B.
Chọn

C.
Lời giải.

bằng:

6
.
3

D.

8
.
3

D.

sin 70°
sin110°
+
tan 30° + tan 40° + tan 50° + tan 60° cos 30°.cos 40° cos 50°.cos 60°
A=
=
cos 20°
cos 20°

 cos 50° + 3 cos 40° 
2
2
1
1
=
2

÷
=
+
=
+
÷
 3 cos 40°.cos 50° 
3 cos 40° cos 50°
cos 30°.cos 40° cos 50°.cos 60°
sin100°
 sin 40° + 3 cos 40°  = 4
8cos10°

8
3
= 2 
÷
=
÷
cos10° + cos 90° ) =
(
3
cos
40
°
.cos
50
°


3 cos10°
3
2
17

.


Câu 56. Cho hai góc nhọn
113
−
.
144

A.
Chọn
Ta có :

a

và

b

cos a =

. Biết
115
−
.
144
B.

1
1
cos b =
cos ( a + b ) .cos ( a − b )
3
4
,
. Giá trị
bằng:
117
119

−
.
−
.
144
144
C.
D.
Lời giải.

D.
2

2

1
119
1 1
cos ( a + b ) .cos ( a − b ) = ( cos 2a + cos 2b ) = cos 2 a + cos 2 b − 1 =  ÷ +  ÷ − 1 = −
.
2
144
3  4
A=
Câu 57. Rút gọn biểu thức
A = tan 6 x.
A.
A = tan 2 x.
C.

sin x + sin 2 x + sin 3 x
cos x + cos 2 x + cos 3 x
B.
D.

A = tan 3x.
A = tan x + tan 2 x + tan 3 x.

Lời giải.
Chọn

C.

Ta có :

A=

sin x + sin 2 x + sin 3 x
2sin 2 x.cos x + sin 2 x = sin 2 x ( 2 cos x + 1) = tan 2 x.
=
cos x + cos 2 x + cos 3 x 2 cos 2 x.cos x + cos 2 x cos 2 x ( 2 cos x + 1)

sin a + 1
Câu 58. Biến đổi biểu thức
thành tích.
a π 
a π 
sin a + 1 = 2sin  + ÷cos  − ÷.
2 4
2 4

A.
π  π

sin a + 1 = 2sin  a + ÷cos  a − ÷.
2
2


C.

Chọn

B.

a π  a π 
sin a + 1 = 2 cos  + ÷sin  − ÷.
2 4 2 4

π  π

sin a + 1 = 2 cos  a + ÷sin  a − ÷.
2 
2


D.
Lời giải.

D.
2

Ta có

a
π
a
a
a
a  a
2a
= 2sin cos + sin 2 + cos 2 =  sin + cos ÷ = 2sin  + ÷
2
2
2 4
sin a + 1
2
2
2
2 

a π 
π a 
a π 
a π 
= 2sin  + ÷cos  − ÷ = 2sin  + ÷cos  − ÷.
2 4
 4 2
2 4
2 4

DẠNG 4. KẾT HỢP CÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Câu 59.

Cho góc

α

thỏa mãn

π
<α <π
2

sin
và

α
2
=
2
5

18

.Tính giá trị của biểu thức

α π 
A = tan  − ÷
2 4

.


A=
A.

1
3

A=−
.

B.

1
3

.

C.
Lời giải

A=3

.

D.

A = −3

.

Chọn A

Vì góc
sin
Do

α

thỏa mãn

α
2
=
2
5

π
<α <π
2

cos
nên

nên

π α π
< <

4 2 2

α
α
1
= 1 − sin 2 =
2
2
5

α
−1
α π 
2
A = tan  − ÷ =
 2 4  tan α + 1
2

cos

suy ra

α
>0
2

.

.

tan

Biểu thức
tan

Do đó

α
=2
2

.

A=

Vậy biểu thức

Câu 60.

.

2 −1 1
=
2 +1 3

.

1 π

cos x =  − < x < 0 ÷

3 2

tan 2x
Cho
. Giá trị của
là

A.

5
2

.

B.

4 2
7

5
2

−

.

C.
Lời giải

−

.

D.

4 2
7

Chọn B
sin 2 x = 1 − cos 2 x = 1 −

⇒ tan x = −2 2

1 8
2 2
= ⇒ sin x = −
9 9
3

⇒ tan 2 x =

−

( vì

π
< x<0
2

).

2 tan x
−4 2 4 2
=
=
.
2
1 − tan x
−7
7

π
π


A = sin 2  x − ÷+ sin 2  x + ÷
6
6


cos x = 0
Câu 61. Cho
. Tính
.
3
2
A. .
B. 2.
C. 1.
Lời giải

19

D.

1
4

.

.


Chọn A
cos 2 x = 2 cos 2 x − 1 = −1

Ta có
tích ta được:

. Sử dụng cơng thức hạ bậc và công thức biến đổi tổng thành

π
π


1 − cos  2 x − ÷+ 1 − cos  2 x + ÷
π
1 3
3
3



A=
= 1 − cos 2 x cos = 1 + =
2
3
2 2
cosα = −

Câu 62.

(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Cho biết
P=

cot α + 3 tan α
2 cot α + tan α

P=

A.

19
.
13

bằng bao nhiêu?
25
P= .
13
B.

P=−

C.
Lời giải

25
.
13

2
3

. Giá trị của biểu thức

P=−

D.

19
.
13

Chọn A

Ta có:

2
1
1
5

cos α = − ⇒ tan 2 α =
−1 =
−1 =
2
2
3
cos α
4
 −2 
 ÷
 3 

1
1 + 3 tan 2 α
5
+ 3 tan α
1 + 3.
2
cot α + 3 tan α tan α
1 + 3 tan α
4 = 19
P=
=
= tan α2 =
=
2
2
5 13
2 + tan α
2 cot α + tan α

2 + tan α
+ tan α
2+
tan α
4
tan α

π
π
+ kπ α ≠ + lπ k , l ∈ ¢
(
)
2
2
Câu 63. Cho
với
,
,
. Ta có
tan ( α + β ) = 2 cot α
tan ( α + β ) = 2 cot β
A.
. B.
.
tan ( α + β ) = 2 tan β
tan ( α + β ) = 2 tan α
C.
.D.
.
Lời giải

sin α .cos ( α + β ) = sin β

α +β ≠

Chọn D

sin α .cos ( α + β ) = sin β ⇔
Ta có

1
sin ( 2α + β ) − sin β  = sin β
2

⇔ sin ( α + β ) + α  = 3sin β ⇔ sin ( α + β ) cos α + sin α cos ( α + β ) = 3sin β

20


⇔

⇔

Mà

sin ( α + β )
3sin β
cos α + sin α =
cos ( α + β )
cos ( α + β )

(vì

cos ( α + β ) ≠ 0

)

sin ( α + β )
3sin β
sin α
=
−
cos ( α + β ) cos α cos ( α + β ) cos α

( *)

sin β
= sin α
cos ( α + β )

( *) ⇔ tan ( α + β ) =

Vậy

(vì

cos α ≠ 0

)

(từ giả thiết), suy ra

tan ( α + β ) = 2 tan α

.

cos ( ax )
1
2.tan x
+
=
( a, b ∈ ¡
2
2
cos x − s in x 1 − tan x b − sin ( ax )
2

Câu 64.

Biết rằng
P = a +b
.
P=4
A.
.

3sin α sin α
−
= 2 tan α
cos α cos α

B.

P =1

.

C.
Lời giải

P=2

)
. Tính giá trị của biểu thức

.

D.

P=3

.

Chọn D
1
2.tan x
1
+
=
+
2

2
2
cos x − s in x 1 − tan x cos 2 x

Ta có:

2sin x
cos x
s in 2 x = 1 + 2sin x.cos x
1−
cos 2 x cos 2 x − s in 2 x
cos 2 x

1
sin 2 x 1 + sin 2 x ( 1 + sin 2 x ) cos 2 x = ( 1 + sin 2 x ) cos 2 x
=
+
=
=
1 − sin 2 2 x
cos 2 x cos 2 x
cos 2 x
cos 2 2 x

=

cos 2 x
1 − sin 2 x

. Vậy

cos 2α =
Câu 65.

Cho
P=

A.

7
18

.

2
3

a = 2, b = 1

. Suy ra

P = a +b = 3

.

P = cos α .cos 3α
. Tính giá trị của biểu thức
.
7
5

P=
P=
9
9
B.
.
C.
.
Lời giải

D.

5
18

.

Chọn D
Ta có
2
1
1
1  2 2  5
2
P = cos α .cos 3α = ( cos 2α + cos 4α ) = ( 2 cos 2α + cos 2α − 1) = 2  ÷ + − 1 =
2
2
2   3  3  18

21

.


Câu 66.

Cho

3π 

π < x <
÷
2 
tan x = 2 

2− 3
2 5

A.

. Giá trị của

−
.

B.

π

sin  x + ÷

3


2+ 3
2 5

là

2+ 3
.

C.
Lời giải

2 5

−2 + 3
.

2 5

D.

Chọn B

π
3π
2

suy ra

1 + tan 2 x =

Ta có:

Do

cos x < 0

tan x =

sin x < 0, cos x < 0

.

1
1
1
1
⇔ cos 2 x = ⇔ cos x = ±
⇔ cos 2 x =
2
2
5
5
cos x
1 + tan x
cos x = −

nên nhận

1
5

.

sin x
2
⇒ sin x = tan x.cos x = −
cos x
5

π
π
π  2  1  1  3
2+ 3

sin  x + ÷ = sin x.cos + cos x.sin =  −
=−
÷. +  −
÷.
3
3
3 
5 2 
5 2
2 5

Câu 67. Tổng

4.
A.

A = tan 9° + cot 9° + tan15° + cot15° – tan 27° – cot 27°

B.

–4.

bằng:

8.
C.
Lời giải.

D.

–8.

Chọn
C.
A = tan 9° + cot 9° + tan15° + cot15° – tan 27° – cot 27°
= tan 9° + cot 9° – tan 27° – cot 27° + tan15° + cot15°
= tan 9° + tan 81° – tan 27° – tan 63° + tan15° + cot15°

.

Ta có

tan 9° – tan 27° + tan 81° – tan 63° =

− sin18°
sin18°
+
cos 9°.cos 27° cos81°.cos 63°

 cos 9°.cos 27° − cos81°.cos 63°  sin18° ( cos 9°.cos 27° − sin 9°.sin 27° )
= sin18° 
÷=
 cos81°.cos 63°.cos 9°.cos 27° 
cos81°.cos 63°.cos 9°.cos 27°
=

4sin18°.cos 36°
4sin18°
( cos 72° + cos 90° ) ( cos 36° + cos 90° ) = cos 72° = 4

22

.

.


tan15° + cot15° =

Vậy

A=8

sin 2 15° + cos 2 15°
2
=
=4
sin15°.cos15°
sin 30°

.
a

Câu 68. Cho hai góc nhọn

A.

2 2 +7 3
.
18

Chọn

Ta có

.

và

b

sin a =
với

B.

1
1
sin b =
sin 2 ( a + b )
3
2
,
. Giá trị của
là:

3 2 +7 3
.
18

4 2 +7 3
.
18

C.
Lời giải.

D.

5 2 +7 3
.
18

C.

π

0 < a < 2
2 2
⇒ cos a =

3
sin a = 1

3

;

π

0 < b < 2
3
⇒ cos b =

2
sin b = 1

2

.

sin 2 ( a + b ) = 2sin ( a + b ) .cos ( a + b ) = 2 ( sin a.cos b + sin b.cos a ) ( cos a.cos b + sin a.sin b )

=

4 2+7 3
18

.

A=

2 cos 2 2α + 3 sin 4α − 1
2sin 2 2α + 3 sin 4α − 1

Câu 69. Biểu thức
cos ( 4α + 30° )
A.

cos ( 4α − 30° )

Chọn
Ta có :
A=

.

có kết quả rút gọn là:
cos ( 4α − 30° )
sin ( 4α + 30° )
.
.
cos ( 4α + 30° )

sin ( 4α − 30° )
B.
C.
Lời giải.

D.

sin ( 4α − 30° )
.
sin ( 4α + 30° )

C.

2 cos 2 2α + 3 sin 4α − 1 cos 4α + 3 sin 4α = sin ( 4α + 30° )
=
sin ( 4α − 30° )
2sin 2 2α + 3 sin 4α − 1
3 sin 4α − cos 4α

.

Câu 70. Kết quả nào sau đây SAI?

A.

C.

sin 33° + cos 60° = cos 3°.

cos 20° + 2sin 2 55° = 1 + 2 sin 65°.

Chọn

B.

sin 9° sin12°
=
.
sin 48° sin 81°
1
1
4
+
=
.
cos 290°
3 sin 250°
3

D.
Lời giải.

A.
23


sin 9° sin12°
=
sin 48° sin 81° ⇔ sin 9°.sin 81° − sin12°.sin 48° = 0

Ta có :
1
1
⇔ ( cos 72° − cos 90° ) − ( cos 36° − cos 60° ) = 0
⇔ 2 cos 72° − 2 cos 36° + 1 = 0
2
2

cos36° =

⇔ 4 cos 36° − 2cos 36° − 1 = 0
2

1+ 5
4

(đúng vì
). Suy ra B đúng.
Tương tự, ta cũng chứng minh được các biểu thức ở C và D đúng.
Biểu thức ở đáp án A sai.
5sin α = 3sin ( α + 2 β )
Câu 71. Nếu
thì:
tan ( α + β ) = 2 tan β .
tan ( α + β ) = 3 tan β .
A.
B.
tan ( α + β ) = 4 tan β .
tan ( α + β ) = 5 tan β .
C.

D.
Lời giải.
Chọn
Ta có :

C.

5sin α = 3sin ( α + 2β ) ⇔ 5sin ( α + β ) − β  = 3sin ( α + β ) + β 
⇔ 5sin ( α + β ) cos β − 5cos ( α + β ) sin β = 3sin ( α + β ) cos β + 3cos ( α + β ) sin β
⇔ 2sin ( α + β ) cos β = 8cos ( α + β ) sin β
A = sin

2

( a + b ) – sin

Câu 72. Cho biểu thức
A = 2 cos a.sin b.sin ( a + b ) .
A.
A = 2 cos a.cos b.cos ( a + b ) .
C.
Chọn
Ta có :

2

⇔

sin ( α + β )
sin β

=4
cos ( α + β )
cos β ⇔ tan ( α + β ) = 4 tan β

2

a – sin b.

Hãy chọn kết quả đúng:
A = 2 sin a.cos b.cos ( a + b ) .
B.
A = 2sin a.sin b.cos ( a + b ) .
D.
Lời giải.

D.

2
A = sin 2 ( a + b ) – sin 2 a – sin 2 b = sin ( a + b ) −

= sin 2 ( a + b ) − 1 +

1 − cos 2a 1 − cos 2b
−
2
2

1
( cos 2a + cos 2b ) = − cos2 ( a + b ) + cos ( a + b ) cos ( a − b )
2

= cos ( a + b ) cos ( a − b ) − cos ( a + b )  = 2sin a sin b cos ( a + b ) .
Câu 73. Xác định hệ thức SAI trong các hệ thức sau:
24

.


cos 40° + tan α .sin 40° =
A.

cos ( 40° − α )
.
cos α

6
.
3

sin15° + tan 30°.cos15° =
B.
C.
D.

cos 2 x – 2 cos a.cos x.cos ( a + x ) + cos 2 ( a + x ) = sin 2 a.
sin 2 x + 2sin ( a – x ) .sin x.cos a + sin 2 ( a – x ) = cos 2 a.

Lời giải.
Chọn

D.

Ta có :

cos 40° + tan α .sin 40° = cos 40° +

sin α
cos 40° cos α + sin 40° sin α cos ( 40° − α )
.sin 40° =
=
.
cos α
cos α
cos α

A đúng.

sin15° + tan 30°.cos15° =

sin15°.cos 30° + sin 30°.cos15° sin 45°
6
=
=
.
cos 30°
cos 30° 3

B đúng.

cos 2 x – 2 cos a.cos x.cos ( a + x ) + cos 2 ( a + x )

= cos 2 x + cos ( a + x )  −2cos a cos x + cos ( a + x )  = cos 2 x − cos ( a + x ) cos ( a − x )
= cos 2 x −

1
( cos 2a + cos 2 x ) = cos 2 x − cos 2 a − cos 2 x + 1 = sin 2 a.
2

C đúng.

sin 2 x + 2sin ( a – x ) .sin x.cos a + sin 2 ( a – x ) = sin 2 x + sin ( a − x ) ( 2sin x cos a + sin ( a − x ) )

1
2
=
sin
x
+
( cos 2 x − cos 2a )
= sin x + sin ( a − x ) sin ( a + x )
2
2

= sin 2 x − cos 2 a − sin 2 x + 1 = sin 2 a

. D sai.

DẠNG 5. MIN-MAX
Câu 74.

Giá trị nhỏ nhất của

A. 0.

sin 6 x + cos 6 x

B.

1
2

.

là
1
4

C. .
Lời giải

Chọn C
25

D.

1
8

.