TU CHON TOAN 10 CB ( CONG THUC LUONG GIAC)

Chủ Đề9 CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
II. MỤC TIÊU:
Kiến Thức:
Nắm vững các giá trò lượng giác bất kỳ.
Nắm được các hằng đẳng thức lượng giác.
Nắm được mối quan hệ của các giá trò lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt.các
công thức cộng, công thức nhân đôi, và công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng .PP giải
một vài dạng toán cơ bản có liên quan.
Kỹ năng:
Tính được các giá trò lượng giác của các góc.
Biết cách vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức lượng giác.
Biết vận dụng các công thức trong việc giải các bài tập.
Thái độ:
Rèn luyện tính cẩn thận, óc tư duy lôgíc và tư duy hình học.
II THỜI LƯNG: 4 TIẾT
Tiết 1,2
1/ Nhắc lại các kiến thức cơ bản:
1 Công thức cơ bản.
2 2
sin cos 1
α α
+ =
;
2
2
1
1 tan
cos
α
α
+ =

;
2
2
1
1 cot
sin
α
α
+ =
;
tan .cot 1
α α
=
2 các công thức của các cung có liên quan đặc biệt
[∗]sin(π - α) = sinα ; cos(π - α) = -cosα; tan(π - α) = -tanα ; cot(π - α) = -cotα
[∗] cos(-α) = cosα ; sin(-α) = -sinα ; tan(-α) = -tanα ; cot(-α) = -cotα
[∗]
sin cos
2
π
α α
 
− =
 ÷
 
;
cos sin
2
π
α α

 
− =
 ÷
 
;
tan cot
2
π
α α
 
− =
 ÷
 
;
cot tan
2
π
α α
 
− =
 ÷
 
∗]
sin( ) sin
α π α
+ = −
; ;
cos( ) cos
α π α
+ = −

;
tan( ) tan
α π α
+ =
;
cot( ) cot
α π α
+ =
2/Bài tập
1. Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản:
Bài 1: Tính các giá trò lượng giác của cung α, biết:
a) Cos α =
2
5
và
3
2
π
< α <
2
π
;
b) Cot α = 5 và
π
< α <
3
2
π
Giải
a) Vì

3
2
π
< α <
2
π
nên sin α <0. Do đó
sin α =
4 21 21
1
25 25 5
−
− − = − =
Từ đó ta suy ra tan α =
21
5
− , cot α =
2
21
−
b) Vì
π
< α <
3
2
π
nên sin α <0. Ta có
sin
2

2
1 1
1 cot 6
α
α
= =
+
Vậy sin α =
1
6
−
, cos α = sin α cot α =
1
6
−
. 5 =
5
6
−
, còn tan α =
1 1
cot
5
α
=
Bài 2: tính các giá trò lượng giác của cung α, biết:
a) Tan α =
1
3
−

và
2
π
α π
< <
b) Sin α =
2
3
−
và
3
2
2
π
α π
< <
Giải
a) Vì
2
π
α π
< <
nên cos α <0. Ta có
2
2
1 9
cos
1 tan 10
α
α

= =
+
Suy ra cos α =
3
10
−
,
sin α = cos α. tanα=
3
10
−
.
1
3
 
−
 ÷
 
=
1
10
,
cot α=-3
b) Vì
3
2
2
π
α π
< <

nên cos α >0. Do đó
cos α =
2
4 5
1 sin 1
9 3
α
− = − =
Từ đó tan α =
2
5
−
,cot α =
5
2
− .
Bài 3: Cho sin α + cos α =
7
5
−
. Hãy tính các giá trò lượng giác của cung α
Ta đã có tổng S = sin α + cos α, muốn tính sin α và cos α ta cần tính tích P=sin α.cos α rồi áp dụng đònh lí
Vi-ét. Lúc đó sin α và cos α là nghiệm của phương trình x
2
– Sx + P = 0.
Giải
Ta có ( sin α + cos α)
2
=
49

25
 sin
2
α

+ cos
2
α + 2sin α.cos α =
49
25
 1 + 2sin α.cos α =
49
25
 Sin α.cos α =
12
25
Vậy sin α và cos α là nghiệm của phương trình
x
2
+
7
5
x +
12
25
= 0
phương trình này có hai nghiệm x =
3
5
−

và x=
4
5
−
vậy có hai khả năng:
a) Sin α =
3
5
−
,cos α=
4
5
−
. Suy ra tan α =
3
4
, cotα=
4
3
Sin α =
4
5
−
,cos α=
3
5
−
. Suy ra tan α =
4
3

, cotα=
3
4
Tiết 3,4
1/ Nhắc lại các kiến thức cơ bản:
I/Công thức cộng:
∀
a,b
∈
R Ta có :
Cos(a-b) = Cosa.Cosb + Sina.Sinb (1); Cos(a+b) = Cosa.Cosb – Sina.Sinb (2)
Sin(a-b) = Sina.Cosb + Sinb.Cosa (3); Sin(a+b) = Sina.Cosb + Sinb.Cosa (4)
Tg(a+b) =
TgbTga
TgbTga
.1
−
+
(5); Tg(a-b) =
TgbTga
TgbTga
.1
+
−
(6)
II/Công thúc nhân đôi:
Sin2a = 2.Sina.Cosa (7)
Cos2a = Cos
2
a – Sin

2
a = 1 – 2.Sin
2
a = 2.Cos
2
a – 1 (8)
Tg2a =
aTg
Tga
2
1
.2
−
(9)
Ở (9) ta có a
≠
2
π
+ K
π
; a
≠

4
π
+ K
2
π

Công thức hạ bậc:

Cos
2
a =
2
21 aCos
+
(10); Sin
2
a =
2
21 aCos
−
(11) ;Tg
2
a =
aCos
aCos
21
21
+
−
(12)
Ở công thức (12) a
≠
2
π
+ K
π
.
IIIcông thức biến đổi tích thành tổng

( ) ( )
1
cos cos cos cos
2
a b a b a b= − + + 
 
;
( ) ( )
1
s s cos cos
2
ina inb a b a b= − + + 
 
( ) ( )
1
s cos sin sin
2
ina b a b a b= − + + 
 
IVcông thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos cos
2 2
u v u v
u v
+ −
+ =
;
cos cos 2sin sin
2 2

u v u v
u v
+ −
− = −
sin sin 2sin cos
2 2
u v u v
u v
+ −
+ =
;
sin sin 2cos sin
2 2
u v u v
u v
+ −
− =
2/Bài tập
Bài 4. Rút gọn các biểu thức:
a) A=
2
tan cot
1 tan
α α
α
+
+
b) B=
1
1

tan
cos
1
tan
1
cos
x
x
x
x
+
+
+
Giải
a) A=
2 2 2 2
2
sin cos
cos (sin cos ) cos
cos sin
cot
1
sin cos sin cos
cos
α α
α α α α
α α
α
α α α α
α

+
+
= = =
b)
2 2
sin
cos .
1 cos sin 1 cos
cos
sin
1 cos 1 cos sin
cos .
cos
sin 1 2cos cos 2(1 cos ) 2
sin (1 cos ) sin (1 cos ) sin
B
α
α
α α α
α
α
α α α
α
α
α α α α
α α α α α
+ +
= + = +
+ +
+ + + +

= = =
+ +
Bài 5: a) Chứng minh rằng:
cos sin ;sin cos
2 2
π π
α α α α
   
+ = − + =
 ÷  ÷
   
b) tính cos
5
6
π
,sin120
0
.
Giải
a) Ta có
cos cos cos cos sin
2 2 2 2
sin sin sin sin cos
2 2 2 2
π π π π
α α π α α α
π π π π
α α π α α α
 
       

+ = − + =− − =− − = −
 ÷  ÷  ÷  ÷
 
       
 
 
       
+ = − + =− − = − =
 ÷  ÷  ÷  ÷
 
       
 
b)
( )
0 0 0 0
5 3
cos cos sin
6 3 2 3 2
3
sin120 sin 30 90 cos30
2
π π π π
 
= + = − = −
 ÷
 
= + = =
Bài 6:
a) Chứng minh rằng
3 3

cos sin ;sin cos
2 2
π π
α α α α
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
b) Dùng các công thức ở câu a) tính cos
5
3
π
, sin 315
0
.
Giải
a) Ta có
3
cos cos cos sin
2 2 2
3
sin sin sin cos
2 2 2
π π π
α α π α α
π π π
α α π α α
 
     
+ = + + = − + =

 ÷  ÷  ÷
 
     
 
 
     
+ = + + = − + = −
 ÷  ÷  ÷
 
     
 
b)
0 0 0 0
5 3 1
cos cos sin
3 6 2 6 2
2
sin 315 sin(45 270 ) cos45
2
π π π π
 
= + = =
 ÷
 
= + = − = −
Bài 7: Rút gọn biểu thức
A =
2 2
3 5
1 sin cos

4 4
3 5
cos cos
4 4
π π
α α
π π
α α
   
+ + + +
 ÷  ÷
   
   
+ + +
 ÷  ÷
   
Giải
2 2
2 2
1 sin cos
1 cos cos
2 4 4
4 4
1
sin cos
cos cos
4 4
2 4 4
A
π π π

π π
α π α
α α
π π
π π π
α α
α π α
   
   
   
+ + + + + +
+ + − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   
       
= = =
       
   
+ + +
+ + + + +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   
   
   
2. Sử dụng công thức cộng và hệ quả
Bài 8 Tính sin

2
α
biết sin α= 0,8 và 0< α <
2
π
Giải
Vì 0< α<
2
π
nên cos α >0 và sin
2
α
>0
Ta có cos α =
2
1 sin 1 0,64 0,36 0,6
α
− = − = =
Mặt khác cos α =
2 2
1 2sin 2sin 1 0,6 0,4
2 2
α α
− ⇒ = − =
Vậy sin
2
=0,2=
1
5
. Suy rasin

2
α
=
1
5
Bài 9 Rút gọn các biểu thức
a)
1 sin 4 cos4
1 sin 4 cos 4
A
α α
α α
+ −
=
+ +
b)
96 3sin cos cos cos cos
48 48 24 12 6
B
π π π π π
=
c)
0 0 0 0 0 0
sin160 cos110 sin 250 cos340 tan110 tan340C
= + +
Giải
a)
2
2
1 sin 4 cos 4 2sin 2 cos 2 2sin 2

1 sin 4 cos 4 2sin 2 cos2 2cos 2
2sin 2 (cos 2 sin 2 )
tan 2
2cos 2 (sin 2 cos2 )
A
α α α α α
α α α α α
α α α
α
α α α
+ − +
= =
+ + +
+
= =
+