Dạy thêm toán 10 H1 1 VECTO

TỐN 10

VÉCTƠ

0H1-1

MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI.........................................................................................................................................................1
Dạng 1. Các bài tốn về khái niệm véctơ........................................................................................................................1
Dạng 2. Chứng minh đẳng thức véctơ.............................................................................................................................3
Dạng 3. Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước....................................................................................................5
Dạng 4. Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện cho trước..............................................................................................8
Dạng 5. Phân tích vectơ qua hai vectơ khơng cùng phương.........................................................................................10
Dạng 6. Xác định và tính độ lớn véctơ..........................................................................................................................14
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO.............................................................................................................................17
Dạng 1. Các bài toán về khái niệm véctơ......................................................................................................................17
Dạng 2. Chứng minh đẳng thức véctơ...........................................................................................................................22
Dạng 3. Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước..................................................................................................26
Dạng 4. Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện.............................................................................................................29
Dạng 5. Phân tích vectơ qua hai vectơ không cùng phương.........................................................................................32
Dạng 6. Xác định và tính độ lớn véctơ..........................................................................................................................40

PHẦN A. CÂU HỎI
Dạng 1. Các bài toán về khái niệm véctơ

Câu 1.

uuu
r uuur
Nếu AB  AC thì:
A. tam giác ABC là tam giác cân

C. A là trung điểm đoạn BC

B. tam giác ABC là tam giác đều
D. điểm B trùng với điểm C

Câu 2.

Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng, trong đó N nằm giữa hai điểm M và P. Khi đó cặp vectơ nào
sau uđây
cùng
hướng?
uuu
r
uuuu
r
uuur
uuur
uuur
uuuu
r
uuu
r
uuur
MN
MN
PN
PN
NP
NM
MP

MP
A.
và
B.
và
C.
và
D.
và

Câu 3.

Cho tam giác ABC, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu và
điểm cuối là các đỉnh A, B, C?
A. 4
B. 6
C. 9
D. 12
r
r
Cho hai vectơ không cùng phương a và b . Mệnh đề nào
r saur đây đúng
a và b
A. Khơng có vectơ nào cùng phương với cả hai vectơ
r
r
B. Có vơ số vectơ cùng phương với cả hai vectơr a vàr b
r
C. Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ a và b , đó là vectơ 0
D. Cả A, B, C đều sai

Câu 4.

Câu 5.

Cho
hình lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác vectơ không, cùng phương với vectơ
uuu
r
OB có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là
1


A. 4
Câu 6.

Câu 7.

Câu 8.
Câu 9.

B. 6

C. 8
uuu
r uuur
Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB  CD
A. ABCD là hình bình hành
B. ACBD là hình bình hành
C. AD

uuu
r và BC có cùng trung điểm
D. AB  CD và AB / / CD

D. 10

Cho hình vng ABCD, câu nào sau đây là đúng?
uuur uuu
r
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuur uuur
AD  CB
A. AB  BC
B. AB  CD
C. AC  BD
D.
uuu
r uuur
uuur
Cho vectơ AB và một điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn AB  CD .
A. 1
B. 2
C. 0
D. Vơ số
Chouuhình
bình hành ABCD với
O là giao điểm của hai

đường chéo. Câu nàousau
đây là sai?
u
r uuur
uuur uuur
uuur uuur
uur uuur
A. AB  CD
B. AD  BC
C. AO  OC
D. OD  BO

Câu 10. Cho tứ giác đều ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Mệnh đề
nào sau đây là sai?
uuur uuuu
r
uuuu
r uuur
uuuu
r uuur
uuuu
r uuur
QP  MN
MN  AC
MN

QP
MQ

NP

A.
B.
C.
D.
Câu 11. Chouuba
u
r điểm
uuur A, B, C phân biệt
uuu
rvà thẳng
uuu
r hàng. Mệnh đề nào sau đây đúng?
AB  BC
A. u
B. CA và CB cùng hướnguuu
uuur
uuur
uur
r
C. AB và AC ngược hướng
D. BA và BC cùng phương
Câu 12. Cho tứ giác ABCD. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu và cuối là các đỉnh của
tứ giác?
A. 4
B. 8
C. 10
D. 12
Câu 13. Cho 5 điểm A, B, C, D, E có bao nhiêu vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu là A và điểm cuối
là một trong các điểm đã cho:
A. 4

B. 20
C. 10
D. 12
Câu 14. Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi:
A. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau
B. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành
C. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều
D. Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau
Câu 15. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy tìm các u
vectơ
uur khác vectơ-khơng có điểm đầu, điểm cuối
AB ?
là đỉnh
cho
uuur của
uuur lục
uuurgiác và tâm Ouusao
ur uu
ur ubằng
uur với
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
FO
,
OC
,
FD
FO
,
AC

,
ED
BO
,
OC
,
ED
A.
B.
C.
D. FO, OC , ED
Câu 16. Cho tam giác ABC.
Gọi
M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Xác định các vectơ
uuuu
r
MN
cùng
phương
với
uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuur. uuu
r
uuuur uuur uuu
r uuu
r uuur
AC

,
CA
,
AP
,
PA
,
PC
,
CP
NM
,
BC
,
CB
,
PA
, AP
A. uuuur uuur uuu
B. uuuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r
r uuuur uuur uuur uuu
r
NM
,
AC
,
CA

,
AP
,
PA
,
PC
,
CP
NM
,
BC
,
CA
,
AM
,
MA
,
PN
,
CP
C.
D.
uuur uuur
Câu 17. Cho ba điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng. Các vectơ AB, BC cùng hướng khi và
chỉ khi:
A. Điểm B thuộc đoạn AC
B. Điểm A thuộc đoạn BC
C. Điểm C thuộc đoạn AB
D. Điểm A nằm ngoài đoạn BC

Câu 18. Cho tam giác đều cạnh 2a. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
2


uuu
r uuur
A. AB  AC

uuu
r
B. AB  2a

C.

uuur
AB  2a

uuur
D. AB  AB

Câu 19. Cho tam giác không cân ABC. Gọi H, O lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam
giác. M là trung điểm của BC.
uuurMệnh
uuuur đề nào sau đây là đúng?
AH , OM cùng hướng.
A. Tam
giác
uuur u
uuur ABC nhọn thì
, OM

B. AH
uuur uuuur ln cùng hướng.
AH , OM cùng phương nhưng ngược hướng.
C. u
uur uuuur
AH
, OM có cùng giá
D.
�
Câu 20. Cho hình thoi tâm O, cạnh bằng a và A  60�. Kết luận nào sau đây là đúng?
uuur a 3
uuu
r a 2
uuu
r
uuu
r uuu
r
AO 
OA 
OA  a
OA  OB
2
2
A.
B.
C.
D.
uuur uuur
Câu 21. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, BC và AC. Biết MP  PN .

Chọn
uuurcâu uđúng.
uur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
A. AC  BD
B. AC  BC
C. AD  BC
D. AD  BD
Câu 22. Cho tam giác ABC với trực tâm H. D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại
tiếputam
Khẳng
uu
r giác
uuur ABC.
uuu
r uuurđịnh nào sau đây là đúng?uuu
r uuur
uuu
r uuur
HA  CD và AD  CH
HA  CD và DA  HC
A. u
B.
uu
r uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuu

r uuur
C. HA  CD và AD  HC
D. AD  HC và OB  OD
Câu 23. Cho ABC với điểm M nằm trong tam giác. Gọi A ', B ', C ' lần lượt là trung điểm của BC, CA,
A ', B ', C ' Câu nào sau đây đúng?
AB và N, P, Q lần u
lượt
uur làuucác
ur điểm đối xứng với M qua
uuur uuur . u
uuuu
r uuur
uuu
r uuur
QB

NC
AC

QN
AM

PC
AM
 PC
A.
và uuu
B.
và
r uuur

uuu
r uuur
uuuu
r uuur
uuuu
r uuur
C. AB  CN và AP  QN
D. AB '  BN và MN  BC
Câu 24. Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi D là điểm đối xứng
với uBuuqua
O.
đúng?
r u
uurCâu nào sau đây
uuu
r uuur
uuur uuur
uuur uuur
A. AH  DC
B. AB  DC
C. AD  BC
D. AO  AH
O
O
Câu 25. Cho đường trịn tâm O. Từ điểm A nằm ngồi   , kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới   . Xét
mệnh đề:
uuur uuur
uuu
r uuur
uuu

r
uuur
BO  CO
(I) AB  AC
(II) OB  OC
(III)
Mệnh đề đúng là:
A. Chỉ (I)
B. (I) và (III)
C. (I), (II), (III)
D. Chỉ (III)

Câu 26. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, BC, AD. Lấy 8
điểm trên là gốc hoặcuungọn
của các vectơ. Tìmumệnh
uuur
u
r
uur đề sai?
PR B. Có 4 vectơ bằng AR C. Có 2 vectơ bằng BO D. Có 5 vectơ bằng
A.
Có
2
vectơ
bằng
uuu
r
OP
Câu 27. Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh
uuua.

u
r Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm đối xứng với C
qua D. Hãy tính độ dài của vectơ MN .
uuuu
r a 15
uuuu
r a 5
uuuu
r a 13
uuuu
r a 5
MN 
MN 
MN 
MN 
2
3
2
4
A.
B.
C.
D.

3


Câu 28. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi O
là giao điểm của các đường chéo của tứ giác MNPQ, trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD
tương ứng là I, J. Khẳng định nào sau đây là đúng? uuuu

r uuur
uur uuu
r
uur
uuu
r
MP

NQ
MN
 PQ
A. OI  OJ
B.
C.
D. OI  OJ
Dạng 2. Chứng minh đẳng thức véctơ
Câu 29. Chouuhình
bình
hành
tâm O. Kết
quả rnàousau
đây là đúng?
u
r uuu
r uuu
r
uuur uuu
uu
r
uuu

r uuur uuur
A. AB  OA  AB
B. CO  OB  BA
C. AB  AD  AC

uuur uuur uuu
r
D. AO  OD  CB

Câu 30. Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Tìm đẳng
thứcuusai:
uu
r uuur uuur
uuuu
r uuur uuu
r uuur
AM  AN  AC
AM  AN  AB  AD
A. u
B.
uuu
r uuur uuuu
r uuur
uuuu
r uuur uuur
C. AM  AN  MC  NC
D. AM  AN  DB
Câu 31. Cho ABC , D, E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Đẳng thức nào sau đây là
đúng?
uuur uuu

r uuur uuu
r uuur uuur
uuur uuu
r uuur uuur uuu
r uuur
AD  BE  CF  AB  AC  BC
AD  BE  CF  AF  CE  BD
A. u
B.
uur uuu
r uuur uuur uuur uuur
uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuur
C. AD  BE  CF  AE  BF  CD
D. AD  BE  CF  BA  BC  AC
Câu 32. Chouu6u
B,
trong
các
rđiểm
uuurA, u
uurC, D,
uuu
rE, F bất kì trên mặt phẳng. Tìm
uuu
r đẳng
uuur thức
uuu
r saiuu

ur uu
u
r đẳng thức sau:
AB  CD  AD  CB
AB  CD  EA  ED  CB
A. u
B. u
uu
r uuur uuur uuu
r uuu
r uuur uuur
uu
r uuu
r uuur uuur r
AB

CD

EF

CA

CB

ED

CF
BA

CB

 DC  BD  0
C.
D.
Câu 33. Cho ABC , các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. Với O là điểm
bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuu
r uuu
r uuur
uuuu
r uuur uuu
r
uuu
r uuu
r uuur uuuu
r uuur uuu
r
OA  OB  OC  2 OM  ON  OP
A.
B. OA  OB  OC  OM  ON  OP
uuu
r uuur uuur uuuu
r uuur uuur
uuu
r uuu
r uuur
uuuu
r uuur uuu
r
2 OA  OB  OC  OM  ON  OP
2 OA  OB  OC  3 OM  ON  OP

C.
D.











 



Câu 34. Chouu4u
B,
rđiểm
uuurA, u
uurC, D.
uuu
rCâu nào sau đây đúng?
uuu
r uuur uuur uuu
r
AB

CD


AD

CB
AB

BC

CD

DA
A. uuu
B. uuu
r uuur uuur uuu
r
r uuur uuu
r uuur
C. AB  BC  CD  DA
D. AB  AD  CB  CD
Câu 35. Cho hai tam giác ABC và A ' B ' C ' có trọng tâm lần lượt là G và G ' . Đẳng thức nào sau đây
đúng?
uuuur uuuur uuuur
uuuur
uuuu
r uuuu
r uuur
uuuur
A ' A  B ' B  C ' C  3GG '
AB '  BC '  CA '  3GG '
A. u

B.
uuu
r uuur uuur
uuuur
uuur uuur uuuu
r
uuuur
C. AC '  BA '  CB '  3GG '
D. AA '  BB '  CC '  3GG '
Câu 36. Cho 5 điểm A, B C, D, E. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
uuur uuur uuu
r 1 uuu
r uuur
uuur uuur uuu
r
uuu
r uuur
AB  CD  EA  CB  ED
AB  CD  EA  2 CB  ED
2
A.
B.
uuur uuur uuu
r 3 uuu
r uuur
uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuur
AB  CD  EA  CB  ED

2
C.
D. AB  CD  EA  CB  ED











ABC và một điểm M tùy ý. Chọn hệ thức đúng?
Câu 37. Cho uuu
r uuur uuuu
r uuur
uuur
uuur uuur uuuu
r
uuur uuur
 MB  3MC  AC  2 BC
2 MA  MB  3MC  2 AC  BC
A. 2 MA
B.
uuur uuur uuuu
r
uuu
r uuu

r
uuur uuur uuuu
r
uuu
r uuu
r
C. 2 MA  MB  3MC  2CA  CB
D. 2 MA  MB  3MC  2CB  CA

Câu 38. Cho hình chữ nhật ABCD, I, K lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chọn đẳng thức đúng.
4


uur uuur uuu
r uuur
uur uuur uur
B. AI  AK  AB  AD C. AI  AK  IK

uur uuur
uuur
A. AI  AK  2 AC

uur uuur 3 uuur
AI  AK  AC
2
D.

Câu 39. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi A1 , B1 , C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chọn đẳng
thứcuusai.
ur uuur uuuu

r r
uuur uuur uuuu
r r
uuur
uuuu
r
uuur uuur uuur r
GA1  GB1  GC1  0
AA1  BB1  CC1  0
GC  2GC1
AG

BG

CG

0
A.
B.
C.
D.
Câu 40. Chouu4urđiểm
bất
đúng.
uuurM, uN,
uuu
rP, Q
uuu
u
r kì. Đẳng thức nào sau đâyuuln

ur uu
uu
r uuur uuuu
r
PQ

NP

MQ

MN
NP

MN

QP

MQ
A. uuuu
B. uuuur uuu
r uuur uuur uuuu
r
r uuur uuuu
r
MN

PQ

NP


MQ
NM

QP

NP

MQ
C.
D.
Câu 41. Chouu6u
điểm A, B, C, D,r E, rF phân biệt. Trong các đẳng
thứcrsauuu
đây,
đẳng thức nào sai?
r uuur uuur uuu
uuu
r uuu
ur uuur r
AB  DF  BD  FA  0
 CE  CF  BF  0
A. u
B. BE
uur uuu
r uuur uuur uuur uuur
uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur
C. AD  BE  CF  AE  BF  CD
D. FD  BE  AC  BD  AE  CF
Câu 42. Cho ABC với H, O, G lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm. Hệ thức nào

sau đây là đúng?
uuur 3 uuur
uuur 1 uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
OH  OG
OG  GH
HO

3
OG
2
GO


3
OH
2
2
A.
B.
C.
D.
Câu 43. Cho 4 điểm A, B, C,D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đẳng thức nào sau đây là
sai?uuu
r uuur
uu
r

uuur uuur
uu
r
uuur uuur
uu
r
uu
r uuur uuu
r r
AB

CD

2
IJ
AC

BD

2
IJ
AD

BC

2
IJ
2
IJ


DB

CA
0
A.
B.
C.
D.
Câu 44. Cho ABC , M là một điểm trên cạnh BC. Khi đó đẳng thức nào sau đây là đúng?
uuuu
r MC uuur MB uuur
uuuu
r MA uuur MB uuur
AM 
. AB 
. AC
BM 
. AC 
.BC
BC
BC
AB
AB
A.
B.
uuuu
r MB uuur MA uuur
uuuu
r MC uuur MB uuur
3CM 

. AB 
. AC
2 AM 
. AB 
. AC
AC
AB
BC
BC
C.
D.
Câu 45. Cho ABC , AM, BN, CP là các trung tuyến. D, E, F là trung điểm của AM, BN và CP. Với O
là điểm bất kì. Đẳng thức nào sau đây đúng?
uuu
r uuu
r uuur
uuur uuur uuur
uuu
r uuu
r uuur uuur uuur uuur
2 OA  OB  OC  3 OD  OE  OF
A. OA  OB  OC  OD  OE  OF
B.
uuu
r uuu
r uuur
uuur uuur uuur
uuu
r uuu
r uuur

uuur uuur uuur
OA  OB  OC  2 OD  OE  OF
OA  OB  OC  3 OD  OE  OF
C.
D.







 






Câu 46. Cho tam giác ABC đều tâm O, M là điểm bất kì trong tam giác. Hình chiếu của M xuống ba
cạnh lần lượt là D, E, F. Hệ thức nào sau đây là đúng?
uuuu
r uuur uuur 1 uuuu
r
uuuu
r uuur uuur 2 uuuu
r
MD  ME  MF  MO
MD  ME  MF  MO
2

3
A.
B.
uuuu
r uuur uuur 3 uuuu
r
uuuu
r uuur uuur 3 uuuu
r
MD  ME  MF  MO
MD  ME  MF  MO
4
2
C.
D.
Câu 47. Cho tứ giác ABCD. I, J lần lượt là trung điểm của AB và DC. G là trung điểm của IJ. Xét các
mệnh
uuu
rđề:uuur uuur
uuur
uu
r uur
uur
uur uur uu
r
(I) AB  AC  AD  4 AG (II) IA  IC  2 IG
(III) JB  ID  JI
Mệnh đề sai là:
A. (I) và (II)
B. (II) và (III)

C. Chỉ (I)
D. Tất cả đều sai

5


MA NB m


Câu 48. Cho tứ giác ABCD, các điểm M, N lần lượt thuộc các đoạn AD và BC sao cho MD NC n .
Đẳng thức nào sau đây là đúng?
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuuu
r n AB  mDC
uuuu
r n AC  m AB
uuur nBC  mCD
MN 
AM 
BN 
mn
mn
mn
A.
B.

C.
D.
uuur
uuur
uuuur nCD  mAD
DM 
mn
Câu 49. Cho ABC và một điểm M bất kì trong tam giác. Đặt S MBC  Sa , S MCA  Sb , S MAB  Sc . Đẳng
thức nào
uuursau đây
uuurđúng?uuuu
r r
uuu
r
uuur
uuu
r r
Sa .MA  Sb .MB  Sc .MC  0
S a . AB  Sb .BC  S c .CA  0
A.
B.
uuuu
r
uuur
uuur r
uuur
uuu
r
uuur r
Sa .MC  Sb .MB  Sc .MA  0

S a . AC  Sb . AB  S c .BC  0
C.
D.
Câu 50. Cho ABC với BC  a, AC  b, AB  c . I là tâm đường tròn nội tiếp ABC , đường tròn nội
I
tiếp uuu
M,
r tiếpuxúc
ur với
uurcácr cạnh BC, CA, AB lần lượt tạiuu
ur N, P.
uuurĐẳnguuthức
ur rnào sau đây là đúng?
IM  b.IN  c.IP  0
 b.NB  c.PC  0
A. a.u
B. a.MA
uuu
r
uuur
uuu
r r
uuu
r
uuur
uuu
r r
C. a. AM  b.BN  c.CP  0
D. a. AB  b.BC  c.CA  0
Dạng 3. Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước

uu
r uur r
Câu 51. Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho IA  2 IB  0 .
1
IB  AB
3
A. Điểm I ngoài đoạn AB sao cho
1
IB  AB
3
B. Điểm I thuộc đoạn AB sao cho
C. Điểm I là trung điểm đoạn AB
1
IB  AB
3
D. Điểm I nằm khác phía với B đối với A và
.

uur
r
3 uuu
AI   BA
5
Câu 52. Cho đoạn thẳng AB. Hình nào sau đây biểu diễn điểm I sao cho
.
A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

uuur uuur r
Câu 53. Cho hai điểm A, B phần biệt. Xác định điểm M sao cho MA  MB  0
A. M ở vị trí bất kì
B. M là trung điểm của AB
C. Khơng tìm được M
D. M nằm trên đường trung trực của AB
uuuu
r
uuur
Câu 54. Trên đường thẳng MN lấy điểm P sao cho MN  3MP . Hình vẽ nào sau đây xác định đúng vị
trí điểm M.

6


AM 

1
AB

5
. Tìm k để

Câu 55. Cho
uuur đoạn
uuurthẳng AB và điểm M là một điểm trong đoạn AB sao cho
MA  k MB .
1
1
k
k 
4
4
A.
B. k  4
C.
D. k  4
uuur
uuuu
r
Câu 56. Cho ABC . Trên đường thẳng BC lấy điểm M sao cho MB  3MC . Điểm M được vẽ đúng
trong hình nào sau đây?

A.

B.

C.

D.

uuur uuur
uuuu
r r
Câu 57. Cho ABC có G là trọng tâm. Xác định điểm M sao cho: MA  MB  2 MC  0 .
A. Điểm M là trung điểm cạnh AC.
B. Điểm M là trung điểm cạnh GC.
C. Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số 4.uuur
uuuu
r
D. Điểm M chia đoạn GC thỏa mãn GC  4GM .
uuu
r
uuur uuu
r
Câu 58. Cho ABC , I là trung điểm của AC. Vị trí điểm N thỏa mãn NA  2 NB  CB xác định bởi hệ
thức:
uuur 1 uur
uuur 2 uur
uuur
uur
uuur
uur
BN  BI
BN  BI
3
3
A.
B. BN  2 BI
C.

D. BN  3BI

Câu 59. Cho
uuur hình
uuur bình
uuu
rhành
uuu
rABCD.
uuur Tìm
uuur vị trí điểm N thỏa mãn:
NC  ND  NA  AB  AD  AC .
A. Điểm N là trung điểm cạnh AB
B. Điểm C là trung điểm cạnh BN
C. Điểm C là trung điểm cạnh AM
D. Điểm B là trung điểm cạnh NC
Câu 60. Cho 2 điểm A, B là hai số thực a, b sao cho auuurb �0uu.urXétrcác mệnh đề:
(I) Tồn tại duy nhất một điểm M thỏa mãn aMA  bMB  0 .
uuur
b uuur
MA  
AB
ab
(II)
.
(III) M là điểm nằm trên đường thẳng AB.
Trong các mệnh đề trên thì:
A. (I) và (III) tương đương nhau
B. (II) và (III) tương đương nhau
C. (I) và (II) tương đương nhau

D. (I), (II), (III) tương đương nhau
uu
r uur uur r
Câu 61. Cho ABC với BC  a, AC  b, AB  c . Nếu điểm I thỏa mãn hệ thức aIA  bIB  cIC  0 thì:
A. Điểm I là tâm đường trịn ngoại tiếp ABC . B. Điểm I là tâm đường tròn nội tiếp ABC .
C. Điểm I là trực tâm của ABC .
D. Điểm I là trọng tâm của ABC .
uu
r uur
uuur
Câu 62. Cho ABC . Xác định điểm I sao cho: 2 IA  3IB  3BC .
A. Điểm I là trung điểm của cạnh AC
B. Điểm C là trung điểm của cạnh IA

2
C. Điểm C chia đoạn IA theo tỉ số
D. Điểm I chia đoạn AC theo tỉ số 2
7


NC  2 NA . Xác định điểm K
Câu 63. Cho ABC
uuu
rcó M
uuurlà trung
uuurđiểm
r AB và N trên cạnh AC sao cho
sao cho 3 AB  2 AC  12 AK  0 .
A. Điểm K là trung điểm cạnh AM
B. Điểm K là trung điểm cạnh BN

C. Điểm K là trung điểm cạnh BC
D. Điểm K là trung điểm cạnh MN
uuur uuur uuuu
r uuur
Câu 64. Cho hình bình hành ABCD. Tìm vị trí điểm M thỏa mãn: MA  MB  MC  AD .
A. Điểm M là trung điểm cạnh AC
B. Điểm M là trung điểm cạnh BD
C. Điểm C là trung điểm cạnh AM
D. Điểm B là trung điểm cạnh MC
uuu
r uuur uuur r
Câu 65. Cho ABC . Tìm điểm N sao cho: 2 NA  NB  NC  0 .
A. N là trọng tâm ABC
B. N là trung điểm của BC
C. N là trung điểm của AK với K là trung điểm của BC
D. N là đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận AB và AC làm 2 cạnh
uuur
uuur uuu
r
Câu 66. Cho ABC . Xác định điểm M sao cho: MA  2 MB  CB .
A. M là trung điểm cạnh AB
B. M là trung điểm cạnh BC
C. M chia đoạn AB theo tỉ số 2
D. M là trọng tâm ABC
uuur uuur uuuu
r r
2
MA

MB


3
MC
 0 . Khi đó điểm M thỏa

ABC
Câu 67. Cho
có trọng tâm G, điểm M thỏa mãn
mãn hệ thức nào sau đây?
uuuur 1 uuur
uuuur 1 uuu
r
uuuu
r 1 uuur
uuuu
r 1 uuu
r
GM  BC
GM  CA
GM  AB
GM  CB
6
6
6
3
A.
B.
C.
D.
uuur uuur

uuuu
r r
Câu 68. Gọi G là trọng tâm ABC . Nối điểm M thỏa mãn hệ thức MA  MB  4MC  0 thì M ở vị trí
nào trong hình vẽ:

A. Miền (1)

B. Miền (2)

C. Miền (3)

D. Ở ngoài ABC

Câu 69. Cho hình bình hành
Gọi
uuu
r ABCD.
uuur uuu
r Ouulà
uu
r giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M thỏa
mãn đẳng thức AB  AC  AD  4 AM . Khi đó điểm M trùng với điểm:
A. O
B. I là trung điểm đoạn OA
C. I là trung điểm đoạn OC
D. C
uuur
uuur
uuuu
r

MA


MB


MC
Câu 70. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Gọi điểm M thỏa mãn đẳng thức
;
 ,  ��. Nếu M là trọng tâm ABC thì  ,  thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
2
2
A.     0
đúng

C.     0

B.  .  1

D. Cả A, B, C đều

uuur
uuur uuuu
r uuur
Câu 71. Cho ABC . Nếu điểm D thỏa mãn hệ thức MA  2 MB  3MC  CD với M tùy ý, thì D là đỉnh
của hình bình hành:
A. ABCD
B. ACBD
C. ABED với E là trung điểm của BC
D. ACED với B là trung điểm của EC

uu
r uur r
uur
uuu
r
Câu 72. Cho đoạn AB và điểm I sao cho 2 IA  3IB  0 . Tìm số k �� sao cho AI  k AB .
3
3
2
3
k
k
k
k
4
5
5
2
A.
B.
C.
D.

8


Dạng 4. Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện cho trước
uuur uuur uuuu
r
MA  MB  MC  6

Câu 73. Gọi G là trọng tâm của ABC . Tập hợp điểm M sao cho
là:
A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
B. Đường trịn tâm G bán kính là 1.
C. Đường trịn tâm G bán kính là 2.
D. Đường trịn tâm G bán kính là 6.
Câu 74. Cho ABC có trọng tâm G. I là trung điểm của BC. Tập hợp điểm M sao cho:
uuur uuur uuuu
r
uuur uuuu
r
2 MA  MB  MC  3 MB  MC
là:
A. đường trung trực của đoạn GI
B. đường tròn ngoại tiếp ABC
C. đường thẳng GI
D. đường trung trực của đoạn AI
Câu 75. Cho
hình
uuur u
uur uchữ
uuu
r nhật
uuuu
r ABCD tâm O. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức
MA  MB  MC  MD là
A. một đoạn thẳng
B. một đường tròn
C. một điểm

D. tập hợp rỗng
C  O; R 
cố
uuuu
r lấyuuđiểm
u
r uuu
r định A; B là điểm di động trên đường trịn đó. Gọi M là
điểm di động sao cho OM  OA  OB . Khi đó tập hợp điểm M là:
A. đường trịn tâm O bán kính 2R.
B. đường trịn tâm A bán kính R
C. đường thẳng song song với OA
D. đường trịn tâm C bán kính R 3
uuur uuur uuuu
r
MA  MB  MC
Câu 77. Cho ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn
là:
A. một đường tròn tâm C
B. đường tròn tâm I (I là trung điểm của AB)
C. một đường thẳng song song với AB
D. là đường thẳng trung trực của BC

Câu 76. Trên đường tròn

Câu 78. Cho hình chữ nhật ABCD tâm
uuur uuur uuuu
r uuuu
r
MA  MB  MC  MD  k , k  0

là:
k
A. đường trịn tâm O bán kính là 4
C. đường trung trực của AB

O.

Tập

hợp

các

điểm

M

thỏa

mãn

B. đường tròn đi qua A, B, C, D
D. tập rỗng

Cho ABC trọng tâm G. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm BC, AB,
uuur uuur uuuu
r uuur uuuu
r
MA  MB  MC  MA  MC
CA. Quỹ tích các điểm M thỏa mãn

là:
1
1
JK
IJ
A. đường trịn tâm I bán kính 2
B. đường trịn tâm G bán kính 3
1
CA
3
C. đường trịn tâm G bán kính
D. trung trực AC
Câu 79.

 O; R 
M ' sao
Câu 80. Cho u
đường
uuuur tròn
uuur uuur và hai điểm A, B cố định. Với mỗi điểm M ta xác định điểm
cho MM '  MA  MB , lúc đó:
O; R 
A. Khi M chạy trên 
thì M ' chạy trên đường thẳng AB
O; R 
B. Khi M chạy trên 
thì M ' chạy trên đường thẳng đối xứng với AB qua O
O; R 
C. Khi M chạy trên 
thì M ' chạy trên một đường tròn cố định

O; R 
D. Khi M chạy trên 
thì M ' chạy trên một đường trịn cố định bán kính R
uuur uuur
uuuu
r
uuur
MA

MB

2
MC

k
BC với k ��

ABC
Câu 81. Cho
. Tìm tập hợp điểm M sao cho
A. là một đoạn thẳng
B. là một đường thẳng C. là một đường tròn D. là một điểm
9


uuur uuur uuuu
r
uuur uuur uuuu
r
4MA  MB  MC  2MA  MB  MC

Câu 82. Cho ABC . Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn:
là:
A. đường thẳng qua A B. đường thẳng qua B và C
C. đường tròn
D. một điểm duy nhất
uuur
uuur
uuuu
r
Câu 83. Tập hợp điểm M mà k MA  k MB  2MC , k �1 là:
A. đường thẳng chứa trung tuyến vẽ từ C
B. đường thẳng chứa trung tuyến vẽ từ B
C. đường thẳng chứa trung tuyến vẽ từ A
D. đường trung trực của AB
uuur uuur uuuu
r uuur uuur
2MA  3MB  4MC  MB  MA
Câu 84. Cho ABC . Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn:
AB
A. Quỹ tích điểm M là một đường trịn bán kính 3
AB
B. Quỹ tích điểm M là một đường trịn bán kính 4
AB
C. Quỹ tích điểm M là một đường trịn bán kính 9
AB
D. Quỹ tích điểm M là một đường trịn bán kính 2
ABC .
Câu 85. Cho
Tìm

quỹ
tích
điểm
M
thỏa
mãn
điều
kiện:
uuur uuur
uuur uuur uuuu
r
MA  MB  k MA  2 MB  3MC , k ��
.
A. Tập hợp điểm M là đường trung trực của EF, với E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC
B. Tập hợp điểm M là đường thẳng qua A và song song với BC
AB
C. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính 9
uuur 3 uuur
AH  AC
2
D. Với H là điểm thỏa mãn
thì tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua E và song
song với HB với E là trung điểm của AB
uuuur
uuu
r uuur
uuur
AM

k

AB
,
DN

k
DC . Tìm
Câu 86. Cho tứ giác ABCD với K là số tùy ý. Lấy cá điểm M, N sao cho
tập hợp trung điểm I của đoạn MN khi k thay đổi.
A. Tập hợp điểm I là đường thẳng OO ' với O và O ' lần lượt là trung điểm của AC , BD
B. Tập hợp điểm I là đường thẳng OO ' với O và O ' lần lượt là trung điểm của AD, BC





C. Tập hợp điểm I là đường thẳng OO ' với O và O ' lần lượt là trung điểm của AB, DC
D. Cả A, B, C đều sai.
uuur uuur uuuu
r uuuu
r uuur uuur
MA  MB  MC  MD  ME  MF
Câu 87. Cho lục giác đều ABCDEF. Tìm tập hợp điểm M sao cho
nhận giá trị nhỏ nhất.
A. Tập hợp điểm M là một đường thẳng
B. Tập hợp điểm M là một đoạn thẳng
C. Tập hợp điểm M là một đường tròn
D. Là một điểm
uuur
uuur
uuuu

r r
2 MA  k MB   1  k  MC  0, k ��
Câu 88. Tập hợp điểm M thỏa mãn hệ thức:
là:
A. đường thẳng
B. đường tròn
C. đoạn thẳng
D. một điểm
uuur uuur uuuu
r uuur uuur
3MA  2 MB  MC  MB  MA
Câu 89. Cho ABC và điểm M thỏa mãn đẳng thức:
.
Tập hợp điểm M là
A. một đoạn thẳng
B. nửa đường tròn
C. một đường tròn
D. một đường thẳng

10


uuur uuur uuuu
r uuur uuuu
r
3MA  2MB  2 MC  MB  MC

Câu 90. Tập hợp điểm M thỏa mãn hệ thức:

AB

BC
A. là một đường trịn có bán kính là 2
B. là một đường trịn có bán kính là 3
C. là một đường thẳng qua A và song song với BC
D. là một điểm
Câu 91. Tìm
mãn
uuurtập hợp điểm
uuur thỏauu
uu
r hệ
r thức:
2MA   1  k  MB  3k MC  0
, k là giá trị thay đổi trên �.
A. Tập hợp điểm M là một đoạn thẳng.
B. Tập hợp điểm M là một đường tròn.
C. Tập hợp điểm M là một đường thẳng.
D. Tập hợp điểm M là một nửa đường trịn.
Dạng 5. Phân tích vectơ qua hai vectơ khơng cùng phương

uuur
uuur
ABC . Hãy phân tích vectơ AB theo hai vectơ AK và
Câu 92. Cho
AK
và
BM
là
hai
trung

tuyến
của
uuuu
r
BM .
uuu
r 2 uuur uuuu
r
uuu
r 1 uuur uuuu
r
uuur 3 uuur uuuu
r
uuu
r 2 uuur uuuu
r
AB  AK  BM
AB  AK  BM
AB  AK  BM
AB  AK  BM
3
3
2
3
A.
B.
C.
D.

















r 11 uuur 5 uuur
u  AB  AC
4
2
Câu 93. Cho ABC vuông cân, AB  AC . Khi đó vectơ
được vẽ đúng ở hình nào
sau đây?

A.

B.

C.

D.

r
uuu
r uuur
Câu 94. Cho tam giác ABC vng cân tại A, vectơ u  3 AB  4 AC đưuọc vẽ đúng ở hình nào dưới đây?

A.

B.

C.

D.

uuur
ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Phân tích AB theo hai vectơ
Câu 95. Cho
uuur
uuu
r
BN là CP .
11


uuur 4 uuur 2 uuu
r
AB  BN  CP
3
3
A.

uuur
r
4 uuur 2 uuu
AB   BN  CP
3
3
C.

uuur
r
4 uuur 2 uuu
AB   BN  CP
3
3
B.
uuur
r
2 uuur 4 uuu
AB   BN  CP
3
3
D.
uuur
uuuu
r
uuuur
MB  k MC  k �1

ABC
Câu 96. Cho uuur uuur. Diểm M nằm trên đường thẳng BC sao cho

. Phân tích AM
theo AB, AC .
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuuur AB  k AC
uuuur AB  k AC
uuuu
r AB  k AC
uuuu
r AB  k AC
AM 
AM 
AM 
AM 
1 k
1 k
1 k
1 k
A.
B.
C.
D.
OAB với M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB. Tìm số m, n thích hợp để
Câu 97. Cho

uuu
r
uuu
r
uuu
r
NA  mOA  nOB .
1
1
1
1
m  1, n 
m  1, n  
m  1, n 
m  1, n  
2
2
2
2
A.
B.
C.
D.

Câu 98. Cho u
hình
có E, N lần lượt là trung điểm của BC, AE. Tìm các số p và q sao
uur bình
uuurhànhuuABCD
ur

cho DN  p AB  q AC .
5
3
4
2
4
2
5
3
p  ;q 
p   ;q 
p   ;q  
p  ;q  
4
4
3
3
3
3
4
4
A.
B.
C.
D.
uuur r uuu
r r
AK

a

,
AL
 b . Biểu
Câu 99. Cho hình
Gọi K, L lần lượt là trung điểm BC, CD. Biết
uuu
r ubình
uur hànhr ABCD.
r
diễn BA, BC theo a, b
uuu
r 4 r 2 r uuur
uuu
r
2r 4r
1 r 2 r uuur
1r 4r
BA  a  b, BC   a  b
BA   a  b, BC   a  b
3
3
3
3
3
3
3
3
A.
B.
uuu

r
r
r
u
u
u
r
r
r
u
u
u
r
r
r
u
u
u
r
r
1
2
1
4
4
2
2
4r
BA   a  b, BC   a  b
BA   a  b, BC   a  b

3
3
3
3
3
3
3
3
C.
D.
2CI  3BI và J là điểm trên BC kéo
Câu 100. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi
uuurI là điểm
uuu
r sao cho
uurtrên BC
dài sao cho 5 JB  2 JC . Tính AG theo AI và AJ
uuur 15 uur 1 uuu
r
uuur 35 uur 1 uuu
r
AG  AI  AJ
AG 
AI  AJ
16
16
48
16
A.
B.

uuur 15 uur 1 uuu
r
uuur 35 uur 1 uuu
r
AG  AI  AJ
AG 
AI  AJ
16
16
48
16
C.
D.
uuuu
r
uuur
nBM

mBC
 n, m �0  . Phân tích
Câu 101. Cho ABC . Điểm
M
nằm
trên đường thẳng BC sao cho
u
u
u
r
u
u

u
r
uuuur
vectơ AM theo AB, AC
uuuur
uuuu
r
1 uuur
1 uuur
m uuur
m uuur
AM 
AB 
AC
AM 
AB 
AC
mn
mn
mn
mn
A.
B.
uuuur
uuuu
r
n uuur
n uuur
n uuur
m uuur

AM 
AB 
AC
AM 
AB 
AC
mn
mn
mn
mn
C.
D.

Câu 102. Một đường thẳng cắt các cạnh DA, DC và đường chép DB của hình bình hành ABCD lần lượt
uuur
uuu
r uuur
uuur
uuuur
DE  mDA , DF  nDC  m, n  0  . Hãy biểu diễn DM qua
tại
các
điểm
E,
F
và
M.
Biết
rẳng
uuur

DB và m, n.
uuuur m.n uuur
uuuur
uuuur
uuuur m.n uuur
m uuur
n uuur
DM 
DB
DM 
DB
DM 
DB
DM 
DB
mn
mn
mn
mn
A.
B.
C.
D.
12


uuur 1 uuur
uuur
BD  BC
ABC . Trên BC lấy điểm D sao cho

3
AD theo các vectơ
Câu 103. Cho
.
Khi
đó
phân
tích
uuur
uuur
AB và AC .
uuur 2 uuur 1 uuur
uuur 1 uuu
r 2 uuur
AD  AB  AC
AD  AB  AC
3
3
3
3
A.
B.
uuur uuur 2 uuur
uuur 5 uuu
r 1 uuur
AD  AB  AC
AD  AB  AC
3
3
3

C.
D.
uuur uuur uuuu
r r
MA  MB  MC  0 và
Câu 104. Cho tam giác ABC, hai điểm M, N uuthỏa
mãn
hệ
thức
uu
r
uuu
r uuur
uuu
r uuur uuur r
2 NA  NB  NC  0 . Tìm hai số p,q sao cho MN  p AB  q AC .
1
1
3
5
p   ,q  
p   ,q 
2
2
4
4
A.
B. p  2, q  0
C.
D.

uuur uuuu
r uuu
r uuur r uuu
r uuu
r r
MB

3
MC
,
NA

3
NC

0,
PA

PB
 0 . Đẳng thức

ABC
Câu 105. Cho
. Lấy các điểm M, N, P sao cho
nàousau
làuuđiều
và
M,
hàng.
uur đây u

u
r kiện cần u
uurđủ để
uuu
u
r N, P thẳng u
uur
uuuu
r
uuur
uuuu
r
A. MP  2MN
B. MP  3MN
C. MP  2MN
D. MP  3MN
pq

3
4

Câu 106. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là các điểm nằm trên cạnh AB và CD sao cho
1
1
AM  AB CN  CD
3
2
. Gọi G là trọng tâm của BMN . Gọi I là điểm xác định bởi
uur
uuur ,

BI  mBC . Xác định m để AI đi qua G.
6
11
6
18
m
m
m
m
11
6
5
11
A.
B.
C.
D.
Câu 107. Cho ABC có trung tuyến AD. Xét các điểm M, N, P cho bởi
uuuu
r 1 uuur uuur 1 uuur uuur
uuur
AM  AB, AN  AC , AP  m AD
2
4
. Tìm m để M, N, P thẳng hàng.
1
1
1
2
m

m
m
m
6
3
4
3
A.
B.
C.
D.
uuur uuuu
r r
uuu
r
uuur uuur r
Câu 108. Cho ABC . M và N là hai điểm xác định thỏa mãn: MA  3MC  0 và NA  2 NB  3 NC  0 .
Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để M, N, B thẳng hàng?
uuuu
r 1 uuur
uuur 3 uuur
uuuu
r 2 uuur
uuuu
r 1 uuur
BM  BN
BN  BN
BM  BN
BM  BN
2

2
3
2
A.
B.
C.
D.
Câu 109. Cho ABC với H, O, G lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm. Đẳng thức
nào sau đây là điều kiện cần và đủ để H, O, G thẳng hàng?
uuur 3 uuur
uuur 1 uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
OH  OG
OG  GH
HO

3
OG
2
GO


3
OH
2
2
A.

B.
C.
D.
Câu 110. Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC, CD, DE. Gọi I,
J lần lượt là trung điểm của các đoạn MP và NQ. Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ
để IJ / / AE ?
uu
r 3 uuur
uu
r 5 uuur
uu
r 1 uuur
uu
r 1 uuur
IJ  AE
IJ  AE
IJ  AE
IJ  AE
4
4
4
3
A.
B.
C.
D.

uur 1 uuu
r uur uuur
AI  AB, AI  3 AC

3
Câu 111. Cho ABC . Các điểm I, J thỏa mãn hệ thức
. Đẳng thức nào sau đây là
điều kiện cần và đủ để IC / / BJ ?
13


uur
r
2 uuu
CI   BJ
3
A.

uur
r
1 uuu
CI   BJ
3
C.

uur
uuu
r
B. CI  3BJ

uur 1 uuu
r
CI  BJ
3

D.
AM 

Câu 112. Cho ABC . Trên các cạnh AB, BC lấy các điểm M, N sao cho
AI
CI
giao điểm của AN và CM. Tính tỉ số AN và IM .
AI 3 CI 21
AI
4 CI 7
 ;

 ;

2
A. AN 7 IM
B. AN 11 IM 2
AI
8 CI 7
AI
8 CI 21
 ;

 ;

2
C. AN 23 IM 4
D. AN 23 IM

2

BN 1
MB,

5
NC 3 . Gọi I là

Câu 113. Cho ABC và trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với AB cắt các đoạn thẳng AM,
AC và BC lần lượt tại D, E, và F. Một điểm G nằm trên cạnh AB sao cho FG song song với AC.
ED
Tính GB .
1
1
1
A. 2
B. 3
C. 4
D. 1
Câu 114. Cho tứ giác ABCD có hai đưng chéo cắt nhau tại O. Qua trung điểm M của AB dựng đường
CN
thẳng MO cắt CD tại N. Biết OA  1, OB  2, OC  3 , OD  4 . Tính ND .
1
3
5
A. 1
B. 2
C. 2
D. 2
Câu 115. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là các điểm nằm trên các cạnh AB và CD sao cho
1
1

uuur
AM  AB, CN  CD
BMN . Hãy phân tích AG theo hai vectơ
3
2
.
Gọi
G
là
trọng
tâm
của
uuur r uuur r
AB  a, AC  b .
uuur 1 r 5 r
uuur 1 r 1 r
uuur 5 r 1 r
uuur 5 r 1 r
AG  a  b
AG  a  b
AG  a  b
AG  a  b
18
3
18
5
18
3
18
3

A.
B.
C.
D.
2CI  3BI và J là điểm trên tia đối của BC
Câu 116. Cho ABC . Gọi I là điểmuutrên
r uuu
rcạnh BC
r sao
uuurcho
r uuur
sao cho 5 JB  2 JC . Tính AI , AJ theo a  AB, b  AC .
uuuuuuu
r
uur 3 r 2 r uuu
r 5r 2r
uur 3 r 2 r uuu
r 5
2r
AI  a  b, AJ  a  b
AI  a  b, AJ  a  b
5
5
3
3
5
5
3
3
A.

B.
uur 2 r 3 r uuu
r 5r 2r
uur 3 r 2 r uuu
r 5r 2r
AI  a  b, AJ  a  b
AI  a  b, AJ  a  b
5
5
3
3
5
5
3
3
C.
D.
uuuu
r
uuu
r
AM  k AB ,
Câu 117. Cho
tứ
giác
ABCD.
Trên
AB
và
CD

lần
lượt
lấy
các
điểm
M,
N
sao
cho
uuur
uuur
uuuu
r
uuur
uuur
DN  k DC , k �1 . Hãy biểu diễn MN theo hai vectơ AD và BC .
uuuu
r
uuur
uuur
uuuu
r
uuur
uuur
MN  k . AD   1  k  .BC
MN   1  k  . AD  k .BC
A. uuuu
B. uuuu
r
uuur

uuur
r
uuur
uuur
MN   1  k  . AD  k .BC
MN  k . AD   k  1 .BC
C.
D.

Câu 118. Cho ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là điểm trên AC sao cho
1
AK  AC
3
. Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để ba điểm B, I, K thẳng hàng.
14


uuur 2 uur
BK  BI
3
A.

uuur 4 uur
BK  BI
3
B.

uuur 3 uur
BK  BI
2

D.

uuur
uur
C. BK  2 BI

Câu 119. Cho ABC , E là trung điểm BC, I là trung điểm của AB. Gọi D, I, J, K lần lượt là các điểm
uuu
r
uuur uuu
r 1 uuu
r uur
uu
r
BE  2 BD, AJ  JC , IK  mIJ
2
thỏa mãn
. Tìm m để A, K, D thẳng hàng.
5
1
1
2
m
m
m
m
6
3
2
5

A.
B.
C.
D.
uuur uuur r uuu
r uuu
r uuur r
BC

MA

0
AB

NA
 3 AC  0 .

ABC
Câu 120. Cho
. Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức
,
Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để MN / / AC .
uuuu
r 1 uuur
uuuu
r 1 uuur
uuuu
r
uuur
uuuu

r
uuur
MN  AC
MN  AC
2
3
A. MN  2 AC
B.
C. MN  3 AC
D.
uuur
uuur r uuur uuur r
Câu 121. Cho ABC ; M và N xác định bởi 3MA  4 MB  0 , NB  3 NC  0 . Trọng tâm ABC là G.
PA
4
Gọi P là điểm trên cạnh AC sao cho PC
. Các đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ
để M,uuG,
N,
P
thẳng
hàng.
uu
r
uuur r
uuur
uuur r
uuuu
r
uuur r

uuur
uuur r
 2 PN  0
5GM  2GN  0 và 3PG  2 PN  0
A. 7GM  2GN  0 và 3PG
B.
uuur uuur r
uuuu
r
uuur r
uuuu
r
uuur r
uuur
uuur r
2
PQ

3
PN

0
7
GM

2
GN

0
3

GM

2
GN

0
3
PG

2
PN  0
C.
và
D.
và
Câu 122. Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của ADC và BCD . Đẳng thức nào là điều
kiện cần và đủ để IJ / / AB .
uu
r 1 uuur
uu
r 2 uuur
uu
r 1 uuu
r
uu
r 1 uuu
r
IJ  AB
IJ  . AB
IJ  AB

IJ  AB
3
3
2
4
A.
B.
C.
D.
.

uuuu
r 1 uuur uuur 3 uuur
AM  AB AN  AC
3
4
Câu 123. Cho ABC . Gọi M là điểm thuộc cạnh AB; N � cạnh AC sao cho
,
.
ON
OM
Gọi O là giao điểm của CM và BN. Tính tỉ số OB và OC tương ứng.
1
2
1
1
1
1
1
1

A. 9 và 3
B. 3 và 4
C. 4 và 6
D. 6 và 9
Câu 124. Cho hình bình hành ABCD. M thuộc AC sao cho: AM  kAC . Trên cạnh AB, BC lấy các điểm
AN
CN
P, Q sao cho MP / / BC , MQ / / AB . Gọi N là giao điểm của AQ và CP. Tính tỉ số AQ và CP
theo k.
AN
k
CN
1 k
AN
k
CN
1 k
 2
;
 2
 2
;
 2
A. AQ k  k  1 CP k  k  1
B. AQ k  k  1 CP k  k  1
AN
k
CN
1 k
 2

;
 2
C. AQ k  k  1 CP k  k  1

AN
k
CN
1 k
 2
;
 2
D. AQ k  k  1 CP k  k  1

Dạng 6. Xác định và tính độ lớn véctơ
uuur uuur

ABC
Câu 125. Cho
. Vectơ BC  AC được vẽ đúng ở hình nào sau đây?
A.
B.
C.

15

D.


uuu
r uuur

BA  BC

Câu 126. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB  3cm , BC  5cm . Khi đó độ dài
A. 4
B. 8
C. 2 13
D. 13

là:

�
Câu 127. Cho hình thang cân ABCD, có đáy nhỏ và đường cao cùng bằng 2a và ABC  45�. Tính
uuu
r uuur uuur
CB  AD  AC
.
A. a 3
B. 2a 5
C. a 5
D. a 2
r
r
r r r r
r
r
a  6; b  3
a b  a b
Câu 128. Cho 2 vectơ a và b tạo với nhau góc 60°. Biết
. Tính
1

2 3  51
3 7 5
3 7 3
6 5 3
A.
B.
C.
D. 2

















r 11 uuu
r 3 uuur
v  OA  OB
4
7

Câu 129. Cho tam giác vuông cân OAB với OA  OB  a . Tính độ dài vectơ
.
6073
3
2
a
a
a
A. 2a
B. 28
C. 2
D. 2
uu
r
uu
r
F1
F2
Câu 130. Một vật nặng (Đ) được kéo bởi hai lựcuu
vàuur nhưuhình
r
u
r uu
rvẽ. Xác định hướng di uchuyển
u
r
uu
rcủa
(Đ) và tính độ lớn lực tổng hợp của F1 và F2 . Biết F1  F2  60 N và góc giữa F1 và F2 là
60°.

A. 50 3N

B. 30 3N

C. 60N

D. 60 3N

Câu 131. Cho hình thang ABCD có AB song song với CD. Cho AB  2a , CD  a . Gọi O là trung điểm
của AD. Khi đó:
uuur uuur 3a
uuur uuur
uuu
r uuur
uuur uuur
OB
 OC 
OB  OC  3a
OB  OC  a
OB  OC  0
2
A.
B.
C.
D.
r uuur
uuur uuuu
r
uuuu
r

Câu 132. Cho hình vng ABCD cạnh a. Tính độ dài vectơ: u  MA  2 MB  3MC  2 MD
r
r
r
r
u  4a 2
u a 2
u  3a 2
u  2a 2
A.
B.
C.
D.
uuur uuu
r
Câu 133. Cho ABC . Vectơ BC  AB được vẽ đúng ở hình nào dưới đây?
A.

B.

C.

D.

uuu
r uuur
AB
 AD
�
Câu 134. Cho hình thoi ABCD có BAD  60�và cạnh là a. Tính độ dài

.
16


A. a 3

a 3
B. 2

C. a 2

D. 2a

uuu
r uuu
r
OA  CB

Câu 135. Cho hình vng ABCD có cạnh là a. O là giao điểm của hai đường chéo. Tính
a 3
a 2
A. a 3
B. 2
C. 2
D. a 2
uuu
r uuur
AB  AC
Câu 136. Cho ABC đều cạnh a. Độ dài vectơ tổng:
là

A. a 3
B. 3
r r
r r
a b

a
,
b
Câu 137. Với
độ dài
:
r r
ab
A. Bao giờ cũng lớn hơn
r r
ab
C. Bao giờ cũng nhỏ hơn
Câu 138. Cho ABC đều cạnh a. Khi đó
A. 0

C. 2a 3

uuur uuu
r uuur
AC  CB  AC

B. 3a

Câu 139. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính độ dài

Câu 140.

Câu 141.

Câu 142.

Câu 143.

Câu 144.

.

a 3
D. 2

r r
ab
B. Không nhỏ hơn
r r
ab
D. Không lớn hơn
bằng:

C. a
uuu
r uuur
AB  BC

D.

a





3 1

.

a 3
A. 0
B. a
C. a 3
D. 2
uuu
r uuur
AB  GC
Cho tam giác ABC đều cạnh a, trọng tâm G. Tính độ dài vectơ
.
2a 3
a
2a
a 3
A. 3
B. 3
C. 3
D. 3
r 21 uuu

r
uuur
u  OA  2,5OB
4
Cho tam giác vuông cân OAB với OA  OB  a . Tính độ dài vectơ
541
520
140
310
a
a
a
a
A. 4
B. 4
C. 4
D. 4
uuur uuur
AC  BD
Cho hình vng ABCD có cạnh là 3. Tính độ dài
:
A. 6
B. 6 2
C. 12
D. 0
uuu
r uuur
OA  OB
Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O và M là trung điểm AB. Tính độ dài
.

a
A. a
B. 3a
C. 2
D. 2a
uuu
r uuuu
r
AB  BM
Cho ABC vuông cân tại A có BC  a 2 , M là trung điểm BC. Tính độ dài vectơ
.
a 6
A. 2

a 2
B. 2

a 3
C. 2
17

a 10
D. 2


Câu 145. Cho tam giác đều ABC cạnh a điểm M là trung điểm của BC. Tính độ dài vectơ
r 3 uuur
uuur
u  MA  2,5MB
4

.

a 127
4
A.

a 127
8
B.

a 127
a 127
3
2
C.
D.
r
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
Câu 146. Cho hình vng ABCD cạnh a. Tính độ dài vectơ u  4 MA  3MB  MC  2 MD .
r a 5
r
r
r
u 
u a 5
u  3a 5
u  2a 5

2
A.
B.
C.
D.
Câu 147. Cho hai lực F1  F2  100 N có điểm đặt tại O và tạo với nhau góc 60�. Tính cường độ lực tổng
hợp của hai lực đó.
A. 100N
B. 50 3N
C. 100 3
D. 25 3N
Câu 148. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 3. H là trung điểm của BC. Tìm mệnh đề sai.
uuu
r uuur
63
uuu
r uuur
uuur uuur
uuur uuur
BA
 BH 
AB  AC  3 3
AH  HB  3
HA  HB  3
2
A.
B.
C.
D.
uu

r
uu
r
F
,
F
F1
F2
1
2
Câu 149. Cho hai lực
. Có điểm đặt tại M. Tìm
và
có
uu
r cường
uu
r độ lực tổng hợp của chúng biết
cùng cường độ lực là 100N, góc hợp bởi F1 và F2 là 120�.
A. 120N

B. 60N

C. 100N

D. 50N

Câu 150. Một giá đỡ được gắn vào tường như hình vẽ:

Trong đó ABC vng ở C. Người ta treo vào điểm A một vật nặng 10N . Khi đó lực tác dụng

vào bức tường tại điểm B:
uuu
r
BA với cường độ 10 3N
A. Kéo bức tường theo hướng u
uur
10 2N
B. Kéo bức tường theo hướng BC
uuu
r với cường độ
BA với cường độ 10 2N
C. Kéo bức tường theo hướng u
uur
BC
D. Kéo bức tường theo hướng
với cường độ 10 2N
uuur 1 uuur
BH  HC
3
Câu 151. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho
.
uuur uuur
uuuu
r
uuur
MA  GC
Điểm M di động trên BC sao cho BM  x.BC . Tìm x sao cho độ dài vectơ
đạt giá
trị nhỏ nhất.
4

5
6
5
x
x
x
x
5
6
5
4
A.
B.
C.
D.

r uuur
1 uuu
AB  2 AC
Câu 152. Cho ABC đều cạnh a. M là trung điểm BC. Tính độ dài 2
.
a 21
a 21
a 21
a 21
A. 3
B. 2
C. 4
D. 7
18

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Dạng 1. Các bài toán về khái niệm véctơ
Câu 1.
Đáp án D
uuu
r uuur
AB AC

B

C

Câu 2.
Đáp án A
Câu 3.
Câu 4.

uuur uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuur
AB
,
BA
,
BC
,
CB

,
CA
, AC.
Ta có các vectơ:
Đáp án r B.

r
0
a
rVì vectơ cùng
r phương với mọi vectơ. Nên có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ và
b , đó là vectơ 0 .
Đáp án
C.

Câu 5.

uuu
r
OB là:
Các
vectơ
cùng
phương
với
vectơ
uuu
r uuu
r uuur uuur uuu
r uuur

BE , EB, DC , CD, FA, AF .
Đáp án
B.

Câu 6.
Đáp án C
Câu 7.
Đáp án D
Câu 8.
Đáp án A
Câu 9.
Đáp án A

Câu 10.
�MN //PQ
1
�
AC
MN

PQ
Ta có �
(do cùng song song và bằng 2
).
Do đó MNPQ là hình bình hành.
Đáp án
D.

uuu
r uuur

BA
, BC cùng phương.
Câu 11. Với ba trường hợp lần lượt A, B, C nằm giữa thì ta ln có
Đáp án
D.
Câu 12. Đáp án D
19


Một vectơ khác vectơ không được xác định bởi 2 điểm phân biệt. Do đó có 12 cách chọn 2
điểm trong 4 điểm của tứ giác.
Câu 13. Đáp án A
Câu 14.
Đáp án D
Câu 15.
Đáp án D

uuur
Các vectơ bằng vectơ AB là:
uuur uuur uuur
FO, OC , ED
Câu 16.
Đáp án C
Có 3 đường thẳng song song với MN là AC, AP, PC
Nên có 7 vectơ
uuuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r
NM , AC , CA, AP, PA, PC , CP

Câu 17.
Đáp án A

Câu 18.
Đáp án C
Vì tam giác đều nên

uuu
r
AB  AB  2a

Câu 19.
Đáp án A

Thật vậy khi ABC nhọn thì ta có:
�AH  BC
� AH //OM
�
OM  BC
�

uuur uuuur
�
AH , OM cùng hướng
O, H nằm trong tam giác
Câu 20.
Đáp án A
20

�
Vì A  60�� ABC đều

� AO 

uuur a 3
a 3
� AO 
2
2

Câu 21.
Đáp án C

1
1
DC PN / / AB, PN  AB
2
2
Ta có:
,
.Mà MP  PN
uuu
r uuur
uuur uuur
� AB  DC � ABCD là hình bình hành � AD  BC
uuu
r uuur
Câu 22. Ta có BD là đường kính � OB  DO .
AH  BC , DC  BC � AH / / DC (1)

MP / / DC , MP 

Ta lại có CH  AB, DA  AB � CH / / DA (2)

Câu 23.

uuur uuur uuur uuur
�
HA  CD; AD  HC .
Từ (1) và (2) � tứ giác HADC là hình bình hành
Đáp án
C.
uuuu
r uuur
Ta có AMCP là hình bình hành � AM  PC
Lại có AQBM và BMCN là hình bình hành
� NC  BM  QA
uuur uuur
� AQNC là hình bình hành � AC  QN .
Đáp án
B.

Câu 24.
Đáp án A

uuur uuur
�
AH  DC
ADCH
Ta có thể chỉ ra được

là hình bình hành

Câu 25.
Đáp án D
21


Ta có:

uuur uuur
OB  OC  R � BO  CO

Câu 26.
Đáp án D

uuur uuur uuur
Ta có: PQ  AO  OC
uuur uuur uuur uuur uuur uuuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuur uuu
r
AR  RQ  PO  BQ  QC , BO  OD  PR, OP  RA  DR  CQ  QB
Câu 27.
Đáp án C

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông MAD ta có:
2

�a �

DM  AM  AD  � � a 2
�2 �
2



2

2

5a 2
4

a 5
2
Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại P.
� DM 

PM  PA  AM  a 

Khi đó tứ giác ADNP là hình vng và
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vng NPM ta có:
2

�3a �
MN  NP  PM  a  � �
�2 �
2

2

2

2

13a 2

4
� MN 

a 13
2
22

a 3a

2 2


uuuu
r
a 13
MN  MN 
2
Suy ra
Câu 28.
Đáp án D

uuuu
r uuur

�
MN
 QP
Ta có: MNPQ là hình bình hành
Ta có:
uur uuu
r 1 uuu
r uuur 1 uuur uuur 1 uuu
r uuur 1 uuur uuur
OI  OJ  OA  OC  OD  OB  OA  OB  OC  OD
2
2
2
2
uuuu
r uuur r
 OM  ON  0
uur
uuu
r
� OI  OJ

















Dạng 2. Chứng minh đẳng thức véctơ
Câu 29.
Đáp án B

uuur uuu
r uuur uuur uuur uuu
r
CO  OB  CO  OD  CD  BA

Câu 30.

uuuu
r uuur uuur
� AM  AN  AC � A đúng.
+ Tứ giác AMCN là hình bình uhành
uu
r uuur uuur uuuu
r uuur
�
AB

AD


AC

AM
 AN � B đúng.
+ ABCD
làuuhình
hành
uuuur u
r uuurbìnhuuu
u
r uuuur uuur uuuu
r uuur
+ AM  NC , AN  MC � AM  AN  MC  NC � C đúng.
Đáp án
D.

Câu 31.
Đáp án C

uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur uuu
r uuur uuur
AD  BE  CF  AE  ED  BF  FE  CD  DF
uuur uuur uuur uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur
 AE  BF  CD  ED  DF  FE  AE  BF  CD





Câu 32.
Đáp án D
Ta có:
uuu
r uuu
r
uuur uuur r
uuur uuu
r uuu
r r
BA  CB  BD  DC  0 
BC� CA BA 0



 



23

B

A . Vì A, B bất kì � D sai.


Câu 33.
Đáp án B

uuu
r uuu
r uuur
VT  OA  OB  OC
uuuu
r uuur uuur uuur uuu
r uuur
uuur uuuu
r uuur
 OM  MA  ON  NB  OP  PC Mà NB  NM  NP
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuu
r uuur r
uuuu
r uuur uuu
r
� MA  NB  PC  MA  NM  NP  PC  NA  NC  0 � VT  OM  ON  OP

Câu 34.
Đáp án A
uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur
uuu
r uuur uuur uuur uuu
r uuur  AD  CB  DB  BD  AD  DB  VP
VT  AB  CD  AD  DB  CB  BD





Câu 35.
Đáp án D
uuur uuur uuuu
r uuur uuuur uuuuu
r uuur uuuu
r uuuuu
r uuur uuuu
r uuuuur
uuuur
AA '  BB '  CC '  AG  GG '  G ' A '  BG  GG '  G ' B '  CG  GG '  G ' C '  3GG '
Câu 36.
Đáp án D
uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuur uuuu
r uuu
r uuur uuur uuur uuur
AB  CD  EA  AC  CB  CD  ED  DA '  CB  ED  AC  CD  DA
uuu
r uuur uuur uuur uuu
r uuur
 CB  ED  AD  DA  CB  ED

















Câu 37.
Đáp
uuuránuC
uur uuuu
r
uuuu
r
uuu
r uuuu
r uuu
r uuuu
r
uuu
r uuu
r
2 MA  MB  3MC  2 MC  2CA  MC  CB  3MC  2CA  CB
Câu 38.
Đáp án D

uur uuur 1 uuu
r uuur 1 uuur uuur
uuur 1 uuur uuur 3 uuur
AI  AK  AB  AC  AD  AC  AC  AB  AD  AC
2
2
2
2



 







Câu 39.
Đáp án D

Ta có:

uuur
uuuu
r
GC  2C1G � D

sai. Nhận xét: ABC và A1 B1C1 cùng trọng tâm.

Câu 40.
Đáp án B
24


Ta có:
uuur uuuu
r uuur uuu
r uuuu
r uuur uuu
r uuuu
r uuur uuur uuu
r uuuu
r
NP  MN  NQ  QP  MQ  QN  QP  MQ  NQ  QN  QP  MQ  VP



Câu 41.

Câu 42.

Câu 43.

Câu 44.

Câu 45.

Câu 46.



uuu
r uuur uuur uuu
r uuu
r uuur uuur uuu
r uuu
r r
AB  DF  BD  FA  AB  BD  DF  FA  AA  0 � A đúng.
+u
Ta
có:
uu
r uuu
r uuur uuur uuur uuu
r r
BE  CE  CF  BF  BC  CB  0 � B đúng.
+ u
uur uuu
r uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuu
r uuur
uuur uuur
AD

BE

CF


AE

BF

CD
�
AD

DC

CF

AE

EB

BF
�
AF  AF
+
� C đúng.
uuur uuur uuu
r uuu
r uuur uuur r
uuur r
�
BE EA AC FC 0
2 FC 0
F C (mâu thuẫn giả thiết)
+ FD DB

� D sai.
Đáp ánuuu
D.r uuur r uuu
r uuu
r uuu
r uuur
uuur
Ta có GA  GB  GC  0 � OA  OB  OC  3OG (1)
Gọi I là trung điểm BC, A ' đối xứng với A qua O.
HBA ' C là hình bình hành
Dễ thấy
uuur uuur uuu
u
r
uuur uuur uuur uuur uuuu
r
uuur
� HB  HC  HA ' � HA  HB  HC  HA  HA '  2 HO
uuur uuu
r uuu
r uuur
uuur
uuur uuu
r uuu
r uuur
� 3HO  OA  OB  OC  2 HO � OH  OA  OB  OC (2)
uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur
uuur

uuur 1 uuur
� OH  3OG � OG  GH  3OG � GH  2OG � OG  GH
2
Từ (1) và (2)
.
Đáp án
C.uuur uuur uur uu
r uuu
r uur uu
r uuu
r
AC

BD

AI

IJ

JC

BI

IJ

JD
+ B đúng vì
uu
r uur uur
uuu

r uuu
r
uu
r
 2 IJ  AI  BI  JC  JD  2 IJ
uuur uuur uur uu
r uuu
r uur uu
r uuu
r
uu
r
 BC  AI  IJ  JD  BI  IJ  JC  2IJ
+ C đúng vì AD
uuur uuur
uu
r
uu
r uuu
r uuur r
+ D đúng vì AC  BD  2 IJ � 2 IJ  CA  DB  0
Đáp án
A.
MN
/
/
AC
, N �AB .
Kẻ
uuur AN uuur MC uuur uuuur NM uuur MB uuur

AN 
. AB 
. AB NM 
. AC 
. AC
AB
BC
AC
BC
Áp dụng định lí Ta-lét ta có
.
uuuur uuur uuuur MC uuu
r MB uuur
� AM  AN  NM 
. AB 
. AC
BC
BC
.
Đáp án uuu
A.
r uuu
r uuur
uuu
r
uuuu
r
uuur
2
OA


OB

OC

2
OA

2
OM

4
OD
Ta có: uuu
(1)
r
uuu
r uuur
uuur
OA  2OB  OC  4OE (2)
Tương
uuu
r uutự
u
r
uuur
uuur
OA  OB  2OC  4OF (3)
Cộng vế vói vế (1), (2), (3) ta được đáp án A.
Đáp án

A.
Qua M kẻ các đường thẳng A1 B1 / / AB, A2C1 / / AC , B2C2 / / BC



 



� Các tam giác đều MB1C1 , MA1C2 , MA2 B2
uuuu
r 1 uuuur uuuur uuur 1 uuuu
r uuuur uuur 1 uuuur uuuur
MD  MB1  MC1 , ME  MA1  MC2 , MF  MB2  MA2
2
2
2
Ta có:
uuuu
r uuur uuur 1 uuuu
r uuuur 1 uuuur uuuur 1 uuuur uuuur
� MD  ME  MF  MA1  MA2  MB1  MB2  MC1  MC2
2
2
2
r 3 uuuu
r
1 uuur uuur uuuu
 MA  MB  MC  MO
2

2
.
Đáp án
D.













 



 



Câu 47.
25



