Tai lieu BDT chao mung 29

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (141.15 KB, 11 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

INEQUALITIES

Problems and Solutions

Vol. 1

Cauchy-Schwarz inequality

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

1. Một số kĩ thuật cơ bản

Problem 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh 
rằng:

a
a+2bc+

b
b+2ca+

c

c+2ab≥1.

Solution:

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
VT= a

a(a+2bc)+

b2

b(b+2ca)+

c2
c(c+2ab)≥

(a+b+c)2

a2+b2+c2+6abc

Ta cần phải chứng minh:

(a+b+c)2≥ a2+b2+c2+6abc

⟺a b+bc+ca ≥3abc

⟺(a+b+c)(ab+bc+ca)≥9abc (1)

Bất đẳng thức (1) đúng theo AM-GM. Vậy bài toán đã được chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Problem 2: Cho các số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng:
a

b+c+

b
c+d+

c
d+a+

d
a+b≥2.

Solution:
Ta có:

VT= a

a(b+c)+

b2
b(c+d)+

c2
c(d+a)+

d2
d(a+b)≥

(a+b+c+d)2
(a+c)(b+d)+2ac+2bd

Mặt khác, theo AM-GM ta có:

(a+c) (b+d)+2ac+2bd ≤(a+c)(b+d)+(a+c)

2 +

(b+d)2

2 =

(a+b+c+d)2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Từ đây suy ra điều cần chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = c và b
= d.

Problem 3: Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta có:
a3

a+2b+

b3

b+2c+

c3

c+2a≥

a2

+b2+c2

3 .

Solution:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

VT ≥ (a

+b2+c2)2

(a2+2ab)+(b2+2bc)+(c2+2ca)

Ta cần chứng minh:

a2

+b2+c2≥ ab+bc+ca

Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng. Bài toán được chứng minh xong.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Problem 4:Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng:

a+

b+

c≥

a+b+c

Solution:

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

a+

b+

c=

a+

b+

c ≥

(1+2+3)2

a+b+c =

a+b+c

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1a=2

b=

c .

Problem 5(Nessbitt Inequality)Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh 
rằng:

a
b+c+

b

c+a+

c
a+b≥

3
2

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
VT= a

ab+ac+

b2
bc+ba+

c2
ca+cb≥

(a+b+c)2

2(ab+bc+ca)

Ta cần chứng minh:

(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)

Đây là một bất đẳng thức đúng và khá quen thuộc. Bài toán được chứng minh

xong.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Problem 6:Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

b+c−a+

(c+a−b)+

a+b−c≥

a+

b+

c
Solution:

Ở bài này ta cũng áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz nhưng khơng giống
hồn tồn các bài trước. Để ý rằng:

(b+c−a)+(c+a−b)=2c
(c+a−b)+(a+b−c)=2a
(a+b−c)+(b+c−a)=2b

Như vậy, ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz như sau:
Ta có:

b+c−a+

c+a−b≥

c

Cộng các bất đẳng thức tương tự lại ta thu được điều phải chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Problem 7: Giả sử a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
a

(b+c)2+

b

(c+a)2+

c

(a+b)2≥

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Solution:

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

(a+b+c)

[

a
(b+c)2+

b

(c+a)2+

c

(a+b)2

]

≥

9
4

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

(a+b+c)

[

a

(b+c)2+

b

(c+a)2+

c

(a+b)2

]

≥

(

a
b+c+

b
c+a+

c
a+b

)

≥9

Bài tốn được chứng minh xong.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Problem 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3a
b+c+

4b
c+a+

5c
a+b

Với a, b, c là các số thực dương tùy ý.
Solution:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

3a
b+c+

4b
c+a+

5c

a+b+3+4+5=

2(a+b+b+c+c+a)

[

3a
b+c+

4b
c+a+

5c
a+b

]

≥

(√3+√4+√5)2

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng (√3+√4+√5)

2 −12 khi và chỉ khi

b+c

√3 =

c+a

2 =

a+b

√5

Problem 9:Chứng minh rằng nếu a, b, c ≥ 0 và abc = 1 thì:

a+2+

b+2+

c+2≤1

Solution:

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

a

2+a+

b

2+b+

c

2+c≥1

Do abc = 1 nên luôn tồn tại các số thực dương x, y, z sao cho a=x

y, b=
y

z , c=

z
x.
Khi đó, bất đẳng thức đã cho có thể viết lại thành:

x
x+2y+

y
y+2z+

z
z+2x≥1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
x

x+2y+

y
y+2z+

z
z+2x≥

(x+y+z)2

x2

+y2+z2+2(xy+yz+zx)=1

Bài tốn được chứng minh hoàn toàn.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Problem 10:Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 1
a2+b2+1+

b2+c2+1+

c2+a2+1≥1

Chứng minh rằng:
ab+bc+ca≤3

Solution:

Tiếp cận bài toán. Chúng ta thấy vế trái của BDT là một biểu thức gồm các phân số
, với mẫu số có bậc 2.Vậy chúng ta mong muốn hạ bậc của nó đi để bài tốn đơn
giản hơn.Điều đó gợi nhớ cho chúng ta nghĩ tới bđt Cauchy_schawrz.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

(a2

+b2+1)(1+1+c2)≥(a+b+c)2

Suy ra:

a2+b2+1≤

2+c2
(a+b+c)2

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

∑

a2+b2+1≤

6+a2+b2+c2
(a+b+c)2

⟺(a+b+c)2≤6+a2+b2+c2⟺ab+bc+ca ≤3

Bài toán được chứng minh xong.

Chú ý: Những bài tốn có mẫu dạng a2k+b2k+1 thì ta thường dùng

Cauhcy-Schwarz để đưa về dạng (a+b+c)2k .

Problem 11: Cho a, b, c dương thỏa mãn 1+1a+b+ 1

1+b+c+

1+c+a≥1 . CMR:

a+b+c ≥ ab+bc+ca

Solution:

Tương tự như bài trước, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được:

(1+a+b)(c2+a+b)≥(a+b+c)2

Suy ra:

1
1+a+b≤

c2

+a+b
(a+b+c)2

Cộng các bất đẳng thức tương tự lại ta cũng thu được điều phải chứng minh.
Problem 12: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng 
minh rằng:

a2
a+2b2+

b2

b+2c2+

c2
c+2a2≥1

Solution:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

VT ≥ (a

+b2+c2)2

a3+b3+c3+2(a2b2+b2c2+c2a2)

Ta cần chứng minh:

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

⟺a4

+b4+c4≥a3+b3+c3(¿)

Bất đẳng thức (*) có thể chứng minh được bằng AM-GM với lưu ý a + b + c = 3
và xin dành việc này cho bạn đọc.

Problem 13: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2+b2+c2=1 . Tìm GTNN

của biểu thức:
P= a

b2+c2+

b
c2+a2+

c
a2+b2

Solution:

Ta nhận thấy là tổng các mẫu số của P bằng 2(a2

+b2+c2)=2 nên ta cố gắng áp

dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để khử mẫu. Thực hiện như sau:
Biểu thức đã cho tương đương với:

a

1−a2+

b

1−b2+

c

1−c2(¿)

Ta có hằng bất đẳng thức sau:

(

x− 1

√3

)

≥0 . Từ đây ta suy ra được:
1−x2≤− 2

√3x+
4
3

Như vậy:

(¿)≥ a

−2

√3 a+
4
3

+ b

−2

√3 b+
4
3

+ c

−2

√3 c+
4
3

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

a

−2

√3 a+
4
3

+ b

−2

√3b+
4
3

+ c

−2

√3c+
4
3

= a

−2

√3a
2
+4
3a
+ b
2
−2

√3 b
2
+4
3b
+ c
2
−2

√3 c
2

3c

≥ (a+b+c)

−2

√3(a
2

+b2+c2)+4

3(a+b+c)

= (a+b+c)

−2

√3+
4

3(a+b+c)

Ta chỉ cần chứng minh:

(a+b+c)2

−2

√3+
4

3(a+b+c)

≥3√3

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Tuy nhiên, bất đẳng thức trên lại tương đương với bất đẳng thức sau:

(a+b+c−√3)2≥0

Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng. Bài toán được chứng minh xong.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1/√3 .

Problem 14: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

(a2+2) (b2+2)(c2+2)≥3(a+b+c)2

Solution:

Cũng giống như các bài toán trước, ta sẽ tìm cách sử dụng Cauchy-Schwarz để đưa
bài tốn về dạng đơn giản hơn. Vì trong bài này các biến a, b, c độc lập với nhau
nên ta sẽ cố gắng đánh giá để làm giảm số biến đi. Sự xuất hiện của a2+2 gợi

cho ta nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz như sau:

(a+b+c)2≤(a2+2)

[

1+(b+c)

2
2

]

Đến đây ta chỉ còn phải đi chứng minh bất đẳng thức hai biến sau:

(b2+2) (c2+2)≥3

[

1+(b+c)

2
2

]

(¿)

Bất đẳng thức (*) tương đương với:
b2+c2

2 +b
2

c2−3bc+1≥0

Bất đẳng thức trên đúng vì:
b2+c2

2 +b
2

c2−3bc+1≥bc+b2c2−3bc+1=(bc−1)2≥0

Bài tốn được chứng minh xong.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Problem 15: Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Chứng minh bất đẳng thức sau:

−3≤ ab+ac+ad+bc+bd+cd−abcd ≤5

(Titu Andreescu, Gabriel Dospinescu)
Solution:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

(ab+ac+ad+bc+bd+cd−abcd−1)2≤16

⟺[a(b+c+d−bcd)+(bc+cd+db−1)]2≤16

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

[a(b+c+d−bcd)+(bc+cd+db−1)]2≤(a2

+1)[(b+c+d−bcd)2+(bc+cd+db−1)2]

Ta cần chứng minh

(b+c+d−bcd)2+(bc+cd+db−1)2≤(b2

+1) (c2+1)(d2+1)

Thế nhưng đây chỉ là một đẳng thức. Bài toán được chứng minh xong.

Problem 16: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

√

a(b+1)+

√

b(c+1)+

√

c(a+1)≤3

√

(a+1)(b+1)(c+1)

Solution:

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11></div>

Tai lieu BDT chao mung 29

<b>INEQUALITIES</b>

<i>Problems and Solutions</i>

<b>Vol. 1</b>

<i><b>Cauchy-Schwarz inequality</b></i>

<b>1. Một số kĩ thuật cơ bản</b>

[

]

[

]

(

)

[

]

∑

(

)

[

]

[

]

√

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về