Tài liệu ôn BĐT lớp 9

CHUYÊN ĐỀ : BẤT ĐẲNG THỨC
I) Lý thuyết :
ĐN : Nếu a > 0 ; b > 0 ; và a > b thì a – b > 0
Tính chất :
Nếu a > b thì a + c > b + c
Nếu a > b và b > c thì a > c
Nếu a > b + c
⇔
a – c > b
Nếu a > b và c > d
⇔
a + c > b + d
Nếu a > b
⇔
a.c b.c 0
. . 0
nếu c
a c b c nếu c

> >

< <

Nếu a > b > 0 và c > d > 0
⇒
ac > bd
Nếu a > b, n nguyên dương
⇒
a
n
> b

n

Nếu a > b, n nguyên dương
⇒

n n
a b
>
Nếu
2 2
, 0a b và a b a b a b
≥ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
Nếu a > b , a.b > 0
1 1
a b
⇒ <
Nếu a > 1 ; m và n nguyên dương m > n
⇒
a
m
> a
n
Nếu 0 < a < 1 ; m và n nguyên dương m > n
⇒
a
m
< a
n
* Bất đẳng thức Cauchy : Cho a
1

, a
2
, a
3
, …………,a
n
là các số không âm . Khi đó :
1)
n
n
n
aaaa
n
aaaa
.......
.......
321
321
≥
++++
2) Dấu bằng xãy ra trong (1) khi a
1
= a
2
= a
3
= ………= a
n
* Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski : Cho a
1

, a
2
, a
3
, …………,a
n
và b
1
, b
2
, b
3
,…………b
n
là 2n số bất
kỳ . Khi đó ta có
1)
)
( ( )
( )
2
2211
22
2
2
1
22
2
2
1

.......................
nnnn
babababbbaaa
+++≥+++++
2) Dấu bằng xãy ra khi :
n
n
b
a
b
a
b
a
===
........
2
2
1
1
* Bất đẳng thức Trê-bư-sep : Cho hai dãy tăng a
1
< a
2
< a
3
< …….< a
n
và b
1
< b

2
< ………< b
n
. Khi
đó ta có :
1) ( a
1
+ a
2
+ ………… + a
n
) ( b
1
+ b
2
+………..+b
n
)
)
nn
bababan
+++≤
........(
2211
2) dầu bằng xãy ra khi chỉ khi : a
1
= a
2
= ………… = a
n

hoặc b
1
= b
2
=………..=b
n
• Chú ý : Cần tránh các sai lầm sau :
• Trừ từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều.
• Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà không có giả thiết các vế không âm.
• Bình phương hai vế của bất đẳng thức mà không có giả thiết hai vế không âm.
• Khử mẩu khi chưa biết dấu của biểu thức dưới mẩu.
• Nghòch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức khi chưa có giả thiết hai vế cùng vế.
• Thừa nhận x
m
> x
n
với m , n nguyên dương và m > n khi chưa biết điều kiện của x.
• Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
 Phương pháp : Dùng đònh nghóa.
 Phương pháp : Biến đổi tương tương.
 Phương pháp : Làm trội.
 Phương pháp : Phản chứng.
Muốn chứng minh một bất đẳng thức ta phải dựa vào những bất đẳng thức đúng dã biết.
Chú ý : ( Ghi nhớ )
2 2
1) 0, 0
" " 0
2)
" " 0
a

a a
Dấu xảyra a
a a a
Dấu xảyra a
∀
≥ − ≤
= ⇔ =
− ≤ ≤
= ⇔ =
Bài 1 : Chứng minh rằng : (a + b)
2

≥
4ab Với mọi a,b
∈
R
HD : ( a + b )
2
– 4ab
≥
0
Bài 2 : Chứng minh rằng :
V i moi  a,b 0
2
a b
ab ớ ï
+
≥ ≥
Bài 3 : Chứng minh rằng :
( ) ( )

2
2 2
2 a b a b
+ ≤ +
Bài 4 : Chứng minh rằng :
2 2 2
2 2 2x y z xy yz
+ + ≥ −
Bài 5 : Chứng minh rằng :
( )
2 2 2
3 2a b c a b c
+ + + ≥ + +
Bài 6 : Chứng minh rằng :
2
2 2
2
4
a
b c ab ac bc
+ + ≥ − +
Bài 7 : Chứng minh rằng :
4 2 3
4 5 8 2 1a a a a
+ ≥ + −
Bài 8 : Chứng minh rằng :
( )
2 2 2 2 2
a b c d e a b c d e
+ + + + ≥ + + +

Bài 9 : Chứng minh rằng :
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 1 1 6a b b c c a abc
+ + + + + ≥
Bài 10 : Chứng minh rằng :
4
3 4a a
+ ≥
Bài 11 : Chứng minh rằng :
2
2
2
2
1
x
x
+
≥
+
Bài 12 : Cho a >2, b> 2 . Chứng minh rằng : ab > a + b
HD : Do a >2 và b>0 nên 2a > ab , Tương tự 2b > ab , ta cộng từng vế ta được điều cần chứng
minh
Bài 13 : Với mọi a,b
∈
R . Chứng minh rằng : (
2
ba
+
)

2

≥
ab
HD : (
2
ba
+
)
2

≥
ab  ( a + b )
2
≥
4ab mở rộng thêm ta có thể CMR : (
3
cba
++
)
3

≥
abc
Bài 14 : Cho x >0 , y >0 . Chứng minh rằng :
yxyx
+
≥+
411
( dấu bằng xãy ra khi nào )

HD : ta chứng minh bất đẳng thức sau :
4)(
11
≥++
yx
yx
ta dùng bất đẳng thức Cauchy
x+y
≥
2
xy
;
xy
yx
211
≥+
( dấu bằng xãy ra khi x = y )
Bài 15 : Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh : a
2
+ b
2
+ c
2
< 2( ab+bc+ca)
HD : ta có : a < b + c => a
2
< a( b+c) = ab + ac
b < a +c => b
2

< b (a+c) = bc + ab
c < b + a => c
2
< c ( b+a) = cb +ca
Ta cộng từng vế ta có : a
2
+ b
2
+ c
2
< 2( ab+bc+ca)
Bài 16 : Chứng minh rằng : với mọi số thực a,b,c ta có các bất đẳng thức sau :
a) a
2
+ b
2
+ c
2

≥
ab + bc + ca b) a
4
+ b
4

≥
a
3
b + ab
3

(*) với a>0, b>0
HD : a) a
2
+ b
2
≥
2ab ; a
2
+ c
2

≥
2ac ; b
2
+ c
2

≥
2bc ta cộng từng vế với nhau ( ĐPCM)
b) (*)  a
4
+ b
4
- a
3
b - ab
3
≥
0
a

4
+ b
4
- a
3
b - ab
3
= (a
4
– a
3
b) – (ab
3
– b
4
) = a
3
(a – b) – b
3
(a – b) = (a –b) ( a
3
– b
3
)
= (a-b)
2
( a
2
+ab+b
2

)
≥
0 (Do ĐK)
Bài 17 : Cho x>0, y>0 . Chứng minh rằng : x
2
+y
2
+1
≥
xy+x+y
HD : Dùng Cauchy : x
2
+y
2
≥
2xy ; x
2
+ 1
≥
x ; y
2
+1
≥
y . Ta cộng từng vế ( ĐPCM)
Bài 18 : Chứng minh rằng : a
4
+ b
4
+c
2

+ 1
≥
2a( ab
2
– a + c +1)
HD : Tương tự như bài 7
Bài 19 : Cho ba số thực a, b, c sao cho: a
2
+b
2
+c
2
= 1
Chứng minh rằng :
1
2
1
≤++≤−
cabcab
HD : (a+b+c)
2

≥
0 2( ab + bc + ca)
≥
-( a
2
+b
2
+c

2
) = -1  ab + bc + ca
≥

2
1
−
(1)
Do bài 6 ta CM : a
2
+ b
2
+ c
2

≥
ab + bc + ca  1
≥
ab + bc + ca (2)
Từ (1) và (2)  ĐPCM
Bài 20 : Cho p > 0 ; q > 0 Chứng minh rằng : (p+2) (q+2) (p+q)
≥
16pq
HD : Dùng Cauchy cho từng cặp sau đó nhân từng cặp ra kết quả ( ĐPCM)
Bài 21 : Cho a, b, c là ba số không âm . Chứng minh rằng : (a+b)(b+c)(c+a)
≥
8abc
HD : Dùng Cauchy cho từng cặp sau đó nhân từng cặp ra kết quả ( ĐPCM)
Bài 22 : Cho a,b,c là ba số dương CMR : (a+b+c)
9)

111
(
≥++
cba
HD : Dùng Cauchy cho từng cặp sau đó nhân từng cặp ra kết quả ( ĐPCM)
a+b+c
≥
3
3
abc
;
3)
111
(
≥++
cba
3
1
abc
Bài 23: Với a>0; b>0; c>0 .Hãy chứng minh các bất đẳng thức sau:
1)
b
a
bc
c
ab
2
≥+
2)
cba

b
ca
a
bc
c
ab
++≥++
HD : Dùng Cauchy:
bb
ac
bcab
a
bc
c
ab
22
.
.
2
2
==≥+

Tương tự :
cc
ba
cabc
b
ca
a
bc

22
.
.
2
2
==≥+
;
a
b
ca
c
ab
2
≥+
Bài 24 : Cho a>0 ; b>0 ; CMR : a
3
+b
3
≥
a
2
b + ab
2

HD : a
3
+b
3
≥
a

2
b + ab
2

)(
ba
ab
ba
+≥
+
33
Bài 25: Cho a>0, b>0, c>0 .Chứng minh rằng :
cba
ca
ac
bc
cb
ab
ba
++≥
+
+
+
+
+
222
333333
HD :
ca
ac

bc
cb
ab
ba
222
333333
+
+
+
+
+
=
2
1
(
ca
ac
bc
cb
ab
ba
333333
+
+
+
+
+
)
≥
2

1
(a+b)+(b+c)+(c+a)
Bài 26: Cho a, b, c thỏa mãn a
2
+ b
2
+ c
2
= 3 ; Chứng minh rằng : ab + bc + ca + a + b + c
≤

6
HD : ta có 2( a
2
+ b
2
+ c
2
)
≥
2 ( ab + bc + ca ) ( a
2
+ b
2
+ c
2
)
≥
( ab + bc + ca )
 ab + bc + ca

≤
3 (*) ; Tương tự : a
2
+ 1
≥
2a ; b
2
+ 1
≥
2b ; c
2
+1
≥
2c
 a
2
+ b
2
+ c
2
+ 3
≥
2 ( a + b + c )  a + b + c
≤
3 (**)
Từ (*) và (**) suy ra : ab + bc + ca + a + b + c
≤
6
Bài 27 : Chứng minh rằng : 2( a
3

+ b
3
+ c
3
)
≥
a
2
(b+c)+b
2
(c+a)+c
2
( a+b)
∈∀
cba ,,
R
HD : a
3
+b
3
≥
ab ( a+b) ; b
3
+ c
3

≥
bc(b+c) ; a
3
+ c

3
≥
ac( a+c) cộng từng vế với nhau ta suy ra
được điều cần chứng minh
Bài 28 : Chứng minh rằng : a
4
+ b
4
+ c
2
+1
≥
2a ( ab
2
– a + c + 1)
∈∀
cba ,,
R ; “dấu bằng
xãy ra khi nào”
HD : ta có (a
2
+ b
2
)
2
= a
4
+ b
4
– 2a

2
b
2
≥
0 dấu bằng xãy ra khi a=b
Bài 29 : Cho a, b >0. Chứng minh rằng a
2
+ b
2

≥
a + b -
2
1
HD :( a -
2
1
)
2
≥
0  a
2
≥
a -
4
1
; Tương tự b
2

≥

b -
4
1
Bài 30 : Cho a, b, c > 0 chứng minh rằng : a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+1
≥
a + b + c + d
HD : a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+1 –( a + b + c + d)
≥
0
a
2
+ b
2
+ c

2
+ d
2
+1 –( a + b + c + d)  ( a -
2
1
)
2
+ ( b -
2
1
)
2
+ ( c -
2
1
)
2
+ ( d -
2
1
)
2
≥
0
Phương pháp làm trội :
Bài 31 :  :
1 1 1 1
......... ; 1
1 2 2 2

Với n n
n n n
+ + + > ∈ >
+ +
¥
HD :
( )
1 1 1
2 1
1 2
vì n n
n n n n
> = > +
+ +
;
Tương tự ta có
1 1
2 2n n
>
+
........................................

1 1
2 1 2n n
>
−

1 1
2 2n n
=

Do đó suy ra điều cần chứng minh.
Bài 32 :  :
1 1 1 1
.............
1 2 3
n
n
+ + + + >

; 1Với n n∈ >¥
Bài 33 : :
( )
1 1 1 1
............. 2
2 1 3 2 4 3 1n n
+ + + + <
+

; 1Với n n∈ >¥

Phương pháp phản chứng :
