giáo án toan 11 CV 5512 chuong 1,2

CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Thời lượng dự kiến: 04 tiết
Giới thiệu chung về chủ đề: Trong tốn học nói chung và lượng giác học nói riêng,
các hàm lượng giác là các hàm tốn học của góc, được dùng khi nghiên cứu tam giác và
các hiện tượng có tính chất tuần hồn. Các hàm lượng giác của một góc thường được định
nghĩa bởi tỷ lệ chiều dài hai cạnh của tam giác vng chứa góc đó, hoặc tỷ lệ chiều dài giữa
các đoạn thẳng nối các điểm đặc biệt trên vòng tròn đơn vị. Những định nghĩa hiện đại hơn
thường coi các hàm lượng giác là chuỗi số vô hạn hoặc là nghiệm của một số phương trình
vi phân, điều này cho phép hàm lượng giác có thể có đối số là một số thực hay một số
phức bất kì. Các hàm lượng giác không phải là các hàm số đại số và có thể xếp vào
loại hàm số siêu việt. Hàm số lượng giác diễn tả các mối liên kết và được dùng để học
những hiện tượng có chu kỳ như: sóng âm, các chuyển động cơ học,… Nhánh toán này
được sinh ra từ thế kỷ thứ 3 trước Cơng ngun và nó là một trong những lý thuyết cơ bản
cho ngành thiên văn học và ngành hàng hải hiện nay. Ta sẽ tiếp cận chủ đề này trong tiết
học hôm nay.
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Nắm được định nghĩa, tính tuần hồn, chu kỳ, tính chẵn lẻ, tập giá trị, tập xác định,
sự biến thiên và đồ thị của các hàm số lượng giác.
2. Kĩ năng
- Tìm được tập xác định của các hàm số đơn giản
- Nhận biết được tính tuần hồn và xác định được chu kỳ của một số hàm số đơn giản
- Nhận biết được đồ thị các hàm số lượng giác từ đó đọc được các khoảng đồng biến
và nghịch biến của hàm số
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
- Tìm số giao điểm của đường thẳng ( cùng phương với trục hoành) với đồ thị hàm số
3.Về tư duy, thái độ
- Phân tích vấn đề chi tiết, hệ thống rành mạch.
- Tư duy các vấn đề logic, hệ thống.
- Nghiêm túc, tích cực, chủ động, độc lập và hợp tác trong hoạt động nhóm
- Say sưa, hứng thú trong học tập và tìm tịi nghiên cứu liên hệ thực tiễn

- Bồi dưỡng đạo đức nghề nghiệp, tình yêu thương con người, yêu quê hương, đất
nước
- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp
tác xây dựng cao.
4. Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển: Năng lực tự học, năng lực
giải quyết vấn đề, năng lực tự quản lý, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực sử
dụng ngôn ngữ.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên: Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, ...
2. Học sinh
- Đọc trước bài
- Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng …
- Làm việc nhóm ở nhà, trả lời các câu hỏi được giáo viên giao từ tiết trước (thuộc
phần HĐKĐ), làm thành file trình chiếu.


- Kê bàn để ngồi học theo nhóm
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

A

Mục tiêu: Tạo tình huống để học sinh tiếp cận đến khái niệm hàm số lượng giác.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động
Dự kiến sản phẩm, đánh
học tập của học sinh
giá kết quả hoạt động
- Dự kiến sản phẩm:
+ Trên các đoạn đó đồ thị có
hình dạng giống nhau.

+ Qua phép tịnh tiến theo
biến đồ thị đoạn
r
v = (b- a;0)

éa;bù
ê û
ú
ë

thành đoạn
và biến đoạn
- Nội dung: Đặt vấn đề dẫn đến tình huống việc cần
é
ù
é
b
;0
b;0ù
ê û
ú
ê
ú
ë
ë
û
thiết phải nghiên cứu về hàm số lượng giác.
- Phương thức tổ chức: Hoạt động các nhân – tại lớp thành …
Phát (hoặc trình chiếu) phiếu học tập số 1 cho học ĐVĐ: Chúng ta thấy các đồ thị
sinh, đưa ra hình ảnh kèm theo các câu hỏi đặt vấn đề. đã học khơng có đồ thị nào có

hình dạng như thế. Vậy chúng ta
sẽ nghiên cứu tiếp các hàm số đồ
thị có tính chất trên.
- Đánh giá kết quả hoạt động:
Học sinh tham gia sơi nổi, tìm
hướng giải quyết vấn đề. Ban
đầu tiếp cận khái niệm hàm số
lượng giác.
B

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

Mục tiêu: Xây dựng các hàm số lượng giác. Xác định được tính chẵn lẻ của các hàm số
y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x.

lượng giác .
. Nắm được khái niệm hàm số tuần hoàn và
chu kỳ T. Sự biến thiên và đồ thị của các hàm số lượng giác.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động
Dự kiến sản phẩm, đánh
học tập của học sinh
giá kết quả hoạt động
I. ĐỊNH NGHĨA
* Xây dựng được hàm số lượng
1. Hình thành định nghĩa hàm số lượng giác:
giác và tập xác định của chúng.
Phương thức tổ chức: Hoạt động cá nhân tại lớp.
* Kết quả phiếu học tập số 2
(Đưa ra cho học sinh phiếu học tập số 2 cùng 4 câu hỏi TL1:Theo thứ tự là trục Ox, Oy,
đặt vấn đề)

At, Bs
TL2:


Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động
học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh
giá kết quả hoạt động
sin α = OM 2 , cos α = OM 1
tan α = OT =

sin α
cos α
, cot α = OS =
cos α
sin α

α

TL3: Cứ một giá trị . .xác định
được duy nhất
sin α ;cos α ; tan α ;cot α

tương ứng

TL4:

sin α ;cos α

tan α

xác định với mọi

xác định khi

cos α ≠ 0 ⇔ α ≠

cot α

α

π
+ kπ
2

xác định khi

sin α ≠ 0 ⇔ α ≠ kπ

VD 1: Hoàn thành phiếu học tập số 3
Phương thức tổ chức: Hoạt động nhóm, làm việc độc
lập tại lớp.
- GV: chia lớp làm 04 nhóm , giao mỗi nhóm
01 bảng phụ và bút dạ. Yêu cầu HS hoàn thiện nội
dung trong phiếu học tập số 3
- HS: Suy nghĩ và trình bày kết quả vào bảng
phụ.
VD 2: Hàm số nào dưới đây có tập xác định là
π


D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢ 
2


y=

A.
C.

2x +1
cos x

y = cos x

D. .

sin x + 3
sin x

là hàm số chẵn

là hàm

số lẻ.
* GV nhận xét bài làm của các
nhóm và chốt lại tính chẵn lẻ của
hàm số LG.

y = cot x

y=

y = cos x

- Hàm số
.
- Các hàm số

y = sin x, y = tan x, y = cot x

.
B.

* Giáo viên nhận xét bài làm của
học sinh, từ đó nêu định nghĩa
hàm số LG và tập xác định của
chúng.
* Học sinh xác định được tính
chẵn lẻ của các hàm số lượng
giác.

* Học sinh chọn được đáp án
đúng cho các ví dụ

.

VD 3: Hàm số nào là hàm số chẵn trong các hàm số
dưới đây ?
y = x cos x

A.

y = ( x 2 + 1) cos x

B. .
y = ( x 2 + 1) tan x

y = cos x.cot x

C.

D.

* GV nhận xét và cho kết quả
.

đúng.


Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động
học tập của học sinh

II. TÍNH TUẦN HỒN CỦA HÀM SỐ LƯƠNG
GIÁC
Khái niệm: Hàm số

y = f ( x)

xác định trên tập

T ≠0

gọi là hàm số tuần hồn nếu có số
mọi

x∈D

ta có

(x ± T ) ∈ R

Nếu có số dương
trên thì hàm số

được

sao cho với

f ( x + T ) = f ( x)

.

nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện

y = f ( x)

hoàn với chu kỳ

được gọi là hàm số tuần

T.

Kết luận: Hàm số
với chu kỳ

T

và

D

Dự kiến sản phẩm, đánh
giá kết quả hoạt động

* Hiểu và nắm được tính tuần
hồn và chu kì của hàm số lượng
giác
* Kết quả phiếu học tập số 4
TL1:
TL2:
TL3:

y = sin x; y = cos x

2π

là hàm số tuần hoàn

TL4:

f ( x + 2π ) = f ( x)

g ( x + π ) = g ( x)
f ( x + k 2π ) = f ( x)
g ( x + kπ ) = g ( x )

TL5: T =

y = tan x; y = cot x

2π

π

là hàm số tuần hoàn TL6: T =
* GV nhận xét câu trả lời của học
π
với chu kỳ
sinh và nêu khái niệm tính tuần
Phương thức tổ chức: Hoạt động cá nhân – tại lớp
hồn và chu kì của hàm số LG.
(Giáo viên trình chiếu câu hỏi-Phiếu học tập số 4. Học
sinh suy nghĩ trả lời)
III. SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
LƯỢNG GIÁC
1. Hàm số y = sinx
Hàm số

- TXĐ: D = R và
- Là hàm số lẻ

−1 ≤ sin x ≤ 1

- Là hàm số tuần hoàn với chu kì

2π

1.1. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số
đoạn

y = sin x.

trên

[ 0; π ]
*HS Quan sát hình vẽ kết hợp
nghiên cứu SGK nhận xét và đưa
ra được sự biến thiên của hàm số
y = sin x

[ 0; π ]

trên đoạn
* Lập được bảng biến thiên


Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động
học tập của học sinh

Hàm số

y = sin x

đồng biến trên

 π
0; 2 

Dự kiến sản phẩm, đánh
giá kết quả hoạt động

và nghịch biến

π 
 2 ; π 

trên
Bảng biến thiên

* Gv nhận xét câu trả lời của học
sinh và chốt kiến thức.

* Từ các tính chất của hàm số y =
sin x học suy ra đồ thị của hàm số

[ −π ; π ]

Phương thức tổ chức : Hoạt động các nhân - tại lớp

1.2. Đồ thị của hàm số

y = sin x

trên đoạn

y = sinx trên đoạn
* Gv đặt một số câu hỏi gợi mở
cho học sinh để học sinh hiểu rõ
hơn về đồ thị của hàm y = sinx

[ −π ; π ]

trên đoạn

[ −π ; π ]

Phương thức tổ chức: Hoạt động cá nhân – tại lớp (Gv
gọi học sinh lên bảng vẽ)
1.3. Đồ thị hàm số y = sinx trên R
Dựa vào tính tuần hồn với chu kỳ
vẽ đồ thị của hàm số

y = sin x

tịnh tiến tiếp đồ thị hàm số
theo các véc tơ
thị của hàm số

r
v = ( 2π ;0 )

y = sin x

và

2π

trên tập xác định

y = sin x

* Học sinh biết vẽ đồ thị của hàm
số
y = sinx trên R

. Do đó muốn

trên đoạn .

r
−v = ( −2π ;0 )

trên tập xác định

R

, ta

[ −π ; π ]

.

. Ta được đồ
R


Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động
học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh
giá kết quả hoạt động
* Gv nhận xét và chốt kiến thức

* Từ đồ thị hàm số y = sinx tìm ra
Phương thức tổ chức: Hoạt động cá nhân – tại lớp (Gv được tập giá trị của hàm số.
gọi học sinh lên bảng vẽ)
* Tìm ra được GTLN và GTNN
của hàm số đã cho
1.4. Tập giá trị của hàm số y = sinx
* Gv nhận xét lời giải của học
[ −1;1]
sinh, chỉnh sửa và đưa ra lời giải
Tập giá trị của hàm số y= sinx là
.
đúng hoàn chỉnh.
VD 4: Cho hàm số y = 2sinx - 4. Tìm giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất của hàm số trên R.
−1 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ −2 ≤ 2 sin x ≤ 2 ⇔ −6 ≤ 2 sin x − 4 ≤ −2

Ta có:

Vậy: GTLN của hàm số là -2 và GTNN của hàm số là
-6

Phương thức tổ chức: Hoạt động cá nhân – tại lớp (Gv
gọi học sinh lên bảng trình bày lời giải)
2. Hàm số y = cosx
- TXĐ: D = R và
- Là hàm số chẵn

−1 ≤ cos x ≤ 1

- Là hàm số tuần hồn với chu kì

2π

* HS hiểu được đồ thị của hàm số
y = cosx có được qua sự tịnh tiến
đồ thị hàm số y = sinx.

π

sin  + x ÷ = cos x
2


∀x ∈ ¡

ta ln có
Tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx theo véc tơ
r  π 

v =  − ;0 ÷
 2 

bằng

π
2

(tức là sang bên trái một đoạn có độ dài

) thì ta được đồ thị hàm số y = cosx.

- Bảng biến thiên

* Từ đồ thị lập được bảng biến
thiên của hàm số y = cosx


Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động
học tập của học sinh
x

−π

π

1

y=
cosx

0

-1

-1

Dự kiến sản phẩm, đánh
giá kết quả hoạt động
* Từ đồ thị lấy được tập giá trị
của hàm số y = cosx
* GV nhận xét bài làm của học
sinh, phân tích nhấn mạnh và
chốt nội dung kiến thức cơ bản.

- Tập giá trị của hàm số y = cosx là : [-1 ; 1].
Đồ thị của hàm số y = sinx và y = cosx được gọi
chung là các đường hình sin

* Học sinh chọn được đáp án
đúng cho các ví dụ.

VD 5.Cho hàm số y = cosx. Mệnh đề nào dưới đây
sai?
A. Hàm số đồng biến trên đoạn
B. Hàm nghịch biến trên đoạn

[ −π ; 0]

[ 0; π ]

C. Hàm số đồng biến trên đoạn

.

.

[ 0; π ]

 π 
 − 2 ;0

D. Hàm số nghịch biến trên
VD 6: Cho hàm số y = cosx. Mệnh đề nào dưới đây
sai?
A. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 1
B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -1
C. Đồ thị của hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng
D. Là hàm số chẵn
Phương thức tổ chức :Hoạt động cá nhân – tại lớp
3. Hàm số y = tanx

* Học sinh quan sát hình vẽ nêu
được sự biến thiên của hàm số y

π

D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢ 
2


- TXĐ:
- Là hàm số lẻ

 π
0; 2 ÷


π

- Là hàm số tuần hồn với chu kì
3.1. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = tanx trên

= tanx trên nửa khoảng
và
từ đó nhận biết được đồ thị của
hàm số.


Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động
học tập của học sinh

nửa khoảng

Dự kiến sản phẩm, đánh
giá kết quả hoạt động

 π
0; 2 ÷

Từ hình vẽ, ta thấy với

 π
x1 , x2 ∈ 0; ÷
 2

và

y = tan x

đó chứng tỏ hàm số

x1 < x2

thì . Điều

đồng biến trên nửa

 π
 0; 2 ÷


* Dựa vào định nghĩa và tính chất
của hàm số y = tanx vẽ được đồ

khoảng
.
Bảng biến thiên

x

 −π π 
; ÷

 2 2

0

π
2

+
y = tan x

thị trên khoảng

∞

0

3.2. Đồ thị hàm số y = tanx trên

 −π π 
; ÷

 2 2

* Biết dùng phép tịnh tiến để suy
ra đồ thị hàm số y = tanx trên tập
xác định D

( Gọi học sinh lên bảng vẽ)

y

x
-

π
2

0

π
2

3.3. Đồ thị của hàm số y = tanx trên tập xác định D

* Dựa vào đồ thị hàm số y = tanx
nêu được tập giá trị.


Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động
học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh
giá kết quả hoạt động
* GV nhận xét các câu trả lời và
bài làm của học sinh, chốt nội
dung kiến thức cơ bản.
* Học sinh quan sát đồ thị hàm số

y = tanx đưa ra lời giải. Đại diện
nhóm lên trình bày.
KQ7
a)

- Tập giá trị của hàm số y = tanx là R
Phương thức tổ chức :Hoạt động cá nhân – tại lớp

VD 7: Hãy xác định giá trị của x trên đoạn
hàm số y = tanx:
a) Nhận giá trị bằng 0
b) Nhận giá trị -1
c) Nhận giá trị âm
d) Nhận giá trị dương.

3π 

 −π ; 2 

b)

để

c)
d)

x ∈ { −π ;0; π }
 3π π 5π 
x ∈ − ; ; 
 4 4 4 

 −π   π 
x ∈
; 0 ÷∪  ; π ÷
 2  2 

−π

x ∈  −π ;
2


  π   3π 
÷∪  0; ÷∪  π ; ÷
2 
  2 

* GV nhận xét lời giải của các
nhóm, các nhóm chỉnh sửa lời
giải ( nếu sai)

Phương thức tổ chức :Hoạt động nhóm – tại lớp
* Nêu được SBT và lập được
BBT của hàm số y = cotx trên
4. Hàm số y = cotx
D = ¡ \ { kπ , k ∈ ¢}

khoảng

- TXĐ:
- Là hàm số lẻ

- Là hàm số tuần hồn với chu kì
4.1 Sự biến thiên của hàm số
khoảng
-

( 0; π )

π

y = cot x

trong nửa

( 0; π )

Hàm số

y = cot x

nghịch biến trong khoảng

( 0; π )

* Vẽ được đồ thị hàm số y = cotx


Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động
học tập của học sinh
- Bảng biến thiên

x

( 0; π )

trên khoảng
. Dựa đồ thị suy
ra được tập giá trị của hàm số.

π

0

Dự kiến sản phẩm, đánh
giá kết quả hoạt động

+∞
y = cot x
−∞

Đồ thị hàm số trên

y = cot x

khoảng

( 0; π )

4.2. Đồ thị hàm số y = cotx trên D (SGK)
* GV nhận xét các câu trả lời và
bài làm của học sinh, chốt nội

dung kiến thức cơ bản.

Tập giá trị của hàm số y = cotx là R
Phương thức tổ chức :Hoạt động cá nhân – tại lớp
(Gọi học sinh lên bảng vẽ đồ thị)

VD 8: Hãy xác định giá trị của x trên đoạn
hàm số
y = cotx:
a) Nhận giá trị bằng 0
b) Nhận giá trị -1
c) Nhận giá trị âm
d) Nhận giá trị dương.

π 
 2 ; π 

* Học sinh quan sát đồ thị hàm số
y = cotx đưa ra lời giải. Đại diện
nhóm lên trình bày.
KQ8
a) x=
b) x=
c)
π
2

để

3π

4

π
< x< π
2

d) Khơng có giá trị x nào để
cotx nhận giá trị dương.
* GV nhận xét lời giải của các
nhóm, các nhóm chỉnh sửa lời
giải ( nếu sai)


Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động
học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh
giá kết quả hoạt động

Phương thức tổ chức :Hoạt động nhóm – tại lớp
HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

C

Mục tiêu:Thực hiện được cơ bản các dạng bài tập trong SGK
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt
Dự kiến sản phẩm, đánh giá
động học tập của học sinh
kết quả hoạt động
* Học sinh biết cách tìm tập xác định

của các hàm số LG
KQ1
Bài tập 1: Tìm tập xác định các các hàm số sau:
1 + cos x
a) y =
s inx

1 + cos x
b)
1 − cos x

π

c ) y = tan  x − ÷
3


π

d ) y = cot  x + ÷
6


a)
b)
c)

Phương thức tổ chức: Hoạt động nhóm- tại lớp

D = ¡ \ { kπ , k ∈ ¢}

D = ¡ \ { k 2π , k ∈ ¢}
 5π

D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢ 
 6

 π

D = ¡ \  − + kπ , k ∈ ¢ 
 6


d)
* GV nhận xét bài làm của các
nhóm, các nhóm chỉnh sửa bài.
Bài tập 2:Dựa vào đồ thị của hàm số y = sinx, hãy *Học sinh biết cách vẽ đồ thị của
hàm số
y = s inx
* KQ2
vẽ đồ thị của hàm số
s inx,s inx ≥ 0
*Kiến thức sử dụng: Từ đồ thị hàm số y = f(x) ta s inx = 
 − s inx,s inx < 0
có thể suy ra đồ thị hàm số y = |f(x)| bằng cách
giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hồnh, sinx < 0
lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hồnh ⇔ x ∈ ( π + k 2π ; 2π + k 2π ) , k ∈ ¢
qua trục hồnh.
Nên lấy đối xứng qua trục Ox phần
đồ thị của hàm số y = sinx trên các

khoảng này, còn giữ nguyên phần đồ
thị của hàm số y = sinx trên các
đoạn còn lại, ta được đồ thị của hàm
y = s inx

số
Ta được đồ thị hàm số y = |sin x| là phần nét liền
hình phía trên trục Ox
Phương thức tổ chức: Hoạt động cá nhân- tại lớp
Bài tập 3: Chứng minh rằng

sin 2( x + kπ ) = sin 2 x

* GV nhận xét bài làm của học sinh
và cho điểm
* Học sinh chứng minh và vẽ được
đồ thị


* KQ3

sin 2( x + kπ ) = sin(2 x + 2kπ ) = sin 2 x, k ∈ ¢

với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y =
sin2x.

⇒

y = sin2x tuần hồn với chu kì

là hàm số lẻ

⇒

π

,

Vẽ đồ thị hàm số y =
 π
0; 2 

sin2x trên đoạn
rồi lấy đối
xứng qua O, được đồ thị trên đoạn
 π π
 − 2 ; 2 
⇒

tịnh tiến song song với
π

trục Ox các đoạn có độ dài , ta
được đồ thị của hàm số y = sin2x
trên R.

Phương thức hoạt động: Cá nhân

* GV nhận xét bài làm của học sinh
và cho điểm.

* Biết sử dụng đồ thị hàm số y =
cosx để tìm các giá trị của x thỏa
mãn ĐK bài ra

Bài tập 4. Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm
cos x =

các giá trị của x để
KQ4

1
2

.
y=

1
2,

Cắt đồ thị hàm số y = cosx bởi đường thẳng
ta được các giao điểm có hồnh độ tương ứng là:
π
π
+ k2π vµ - + k2π, k ∈ Z
3
3

* GV nhận xét bài làm của học sinh
và cho điểm.
Bài tập 5. Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm các * Biết sử dụng đồ thị hàm số y = sinx

khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị
để tìm các giá trị của x thỏa mãn ĐK
dương.
bài ra
KQ5
Phương thức hoạt động: Cá nhân
sinx > 0 ứng với phần đồ thị nằm
phía trên trục Ox. Dựa vào đồ thị
hàm số y = sin x ta thấy:
Phương thức hoạt động: Cá nhân

s inx > 0

⇔ x ∈ ( −2π ; −π ) ∪ ( 0; π ) ∪ ( 2π ;3π ) ∪ ...
⇔ x ∈ ( k 2π ; π + k 2π ) , k ∈ ¢

Bài tập 6. Tìm gái trị lớn nhất của các hàm số:
a ) y = 2 cos x + 1

* HS biết sử dụng tập giá trị của hàm
số y = sinx và y = cosx để tìm GTLN


b) y = 3 − 2sin x

và GTNN của hàm số LG.

KQ6
a) Ta có:
0 ≤ cos x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 2 cos x ≤ 2

⇔ 1 ≤ 2 cos x + 1 ≤ 3

Maxy = 3 ⇔ x = k 2π , k ∈ ¢

Vậy
b) Ta có

−1 ≤ s inx ≤ 1 ⇒ 3 − 2s inx ≤ 5

x=−

π
+ k 2π , k ∈ ¢
2

Vậy Maxy = 5 khi
Phương thức hoạt động: Hoạt động nhóm (Các
nhóm trình bày vào bảng phụ, đại diện nhóm trình
bày lời giải)

* Gv nhận xét bài làm của các nhóm,
các nhóm chỉnh sửa lời giải.

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TỊI MỞ RỘNG

D,E

Mục tiêu: Giúp học sinh vận dụng kiến thức để giải quyết những vấn đề
thực tế trong cuộc sống, những bài toán thực tế,…
Nội dung, phương thức tổ chức

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết
hoạt động học tập của học sinh
quả hoạt động
Tìm hiểu về hàm số lượng giác theo link
Bài tốn. Một guồng nước có dạng hình
/>trịn bán kính 2,5 m , trục của nó đặt cách
%C3%A0m_l%C6%B0%E1%BB
mặt nước 2m ( như hình vẽ bên). Khi guồng
%A3ng_gi%C3%A1c
quay đều , khoảng cách h ( mét)từ một chiêc
gầu gắn tại điểm A của guồng đến mặt nước
/>h= y
%C6%B0%E1%BB%A3ng-gi%C3%A1c, trong đó
n%C3%B3i-v%E1%BB%81-c%C3%A1i- được tính theo cơng thức
g%C3%AC/
1 

y = 2 + 2, 5sin  2π ( x − )  .
4 


- Hơm nay, có thể bạn sẽ nghe nhạc. Bài
Với x là thời gain
hát bạn nghe được ghi âm kỹ thuật số (một
( x ≥ 0)
quá trình sử dựng phép chuyển đổi Fourier, quay của guồng
, tính bằng phút ; ta
có sử dụng lượng giác) được nén thành
y>0
định dạng MP3 sử dụng nén giảm dữ liệu

quy ước rằng
khi gầu ở bên trên mặt
(áp dụng kiến thức về khả năng phân biệt
y<0
âm thanh của tai của con người), phép nén
nước và
khi gầu ở dưới mặt nước .
này đòi hỏi các kiến thức về lượng giác.
a. Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí thấp nhất.
b. Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí cao nhất.
c. Chiếc gầu cách mặt nước 2m lần đầu tiên
khi nào ?


- Nếu bạn sống gần biển, thủy triều ảnh
hưởng đến những gì bạn có thể làm vào
những thời điểm khác nhau trong
ngày. Các biểu đồ thủy triều xuất bản cho
ngư dân là những dự đoán về thủy triều
năm trước. Những dự báo này được thực
hiện bằng cách sử dụng lượng giác. Thủy
triều là ví dụ về một sự kiện xảy ra có chu
kỳ, tức xuất hiện lặp đi lặp lại. Chu kỳ này
thường mag tính tương đối.Thủy triều là ví
dụ về một sự kiện xảy ra có chu kỳ, tức
xuất hiện lặp đi lặp lại. Chu kỳ này thường
mang tính tương đối.

KQ
a. Chiếc gầu ở vị trí thấp nhất

khi

 
1 
sin  2π  x − ÷ = −1
4 
 

Ta có:
 
1 
1
π

sin  2π  x − ÷ = −1 ⇔ 2π  x − ÷ = − + k 2π
4 
4
2

 
⇔ x = k, k ∈ ¢

Điều đó chứng tỏ rằng chiếc gầu ở vị trí
thấp nhất tại các thời điểm 0 phút ; 1 phút ;
2 phút ; 3 phút…
b. Chiếc gầu ở vị trí cao nhất khi
Hình ảnh thủy triều

 
1 

1 π

sin  2π  x − ÷ = 1 ⇔ 2π  x − ÷ = + k 2π
4 
4 2

 
1
⇔ x = + k, k ∈ ¢
2

Điều đó chứng tỏ chiếc gàu ở vị trí cao nhất
tại các thời điểm 0,5 phút; 1,5 phút ; 2,5
phút ; 3,5 phút …
ECG của một bệnh nhân 26 tuổi

c. Chiếc gàu cách mặt nước 2 mét khi


 
1 
1

sin  2π  x − ÷ = 0 ⇔ 2π  x − ÷ = k 2π
4 
4

 
1 1
⇔ x = + k, k ∈ ¢

4 2

x=

1 1
+ k, k ∈ ¢
4 2

nghĩa là tại các thời điểm
(phút); do đó lần đầu tiên nó cách mặt nước
x=

2 mét khi quay được
k=0).

1
4

phút (ứng với

IV. CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH
HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
NHẬN BIẾT

1

Câu 1: Khẳng định nào dưới đây là sai ?
A. Hàm số
C. Hàm số

y = cos x
y = sin x

là hàm số lẻ.

B. Hàm số

là hàm số lẻ.

D. Hàm số
Lời giải

y = cot x
y = tan x

là hàm số lẻ.
là hàm số lẻ.

Chọn A
Ta có các kết quả sau:
+ Hàm số
+ Hàm số
+ Hàm số
+ Hàm số

y = cos x
y = cot x

y = sin x
y = tan x

là hàm số chẵn.
là hàm số lẻ.
là hàm số lẻ.
là hàm số lẻ.
y = − tan x

Câu 2: Tập xác định của hàm số
A.
C.

π

D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢ 
2


D = ¡ \ { k 2π , k ∈ ¢}

.

là:
B.

D = ¡ \ { kπ , k ∈ ¢}

.

π


D = ¡ \  + k 2π , k ∈ ¢ 
2


.
D.

.
Lời giải


Chọn A
Hàm số

y = − tan x

x≠

xác định khi:

Vậy tập xác định của hàm số là:
Câu 3: Tập giá trị của hàm số
A.

[ −2; 2]

.

y = sin 2 x

B.

[ 0; 2]

π
+ kπ
k ∈¢
2

,

.

π

D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢ 
2


là:

[ −1;1]

.

C.
Lời giải

.

.

D.

[ 0;1]

.

Chọn C
Ta có

−1 ≤ sin 2 x ≤ 1 ∀x ∈ R

,

.

Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là

[ −1;1]

.

Câu 4: Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hàm số
chu kì

π

y = tan x

tuần hồn với chu kì

π

.

B. Hàm số

y = cos x

tuần hồn với

.

C. Hàm số
với chu kì

y = cot x

π

π

tuần hồn với chu kì . ..

D. Hàm số

y = sin 2 x

tuần hoàn

.
Lời giải

Chọn B
Hàm số
Hàm số

y = tan x

y = sin x

;
;

y = cot x

y = cos x

tuần hoàn với chu kì
tuần hồn với chu kì

y = sin 2 x = sin ( 2 x + 2π ) = sin  2 ( x + π ) 

Hàm số
Vậy đáp án B sai.

A.

;

−5

.

B.

−2 −8

;

.

2π

. Vậy hàm số tuần hoàn với chu kì

Câu 5: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
3

π

y = 3sin 2 x − 5

lần lượt là:

2 −5

8 2

C. ; .
Hướng dẫn giải

D. ; .

Chọn B
Ta có

−1 ≤ sin 2 x ≤ 1 ⇒ −8 ≤ 3sin 2 x − 5 ≤ −2 ⇒ −8 ≤ y ≤ −2

.

Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là

−2; − 8

.

π

.


Câu 6: Tập xác định của hàm số
A.
C.

π
 5π

¡ \ +k 
2
 12

π
 5π
¡ \ +k 
2
 6

,
,

k ∈Z

k ∈Z

π

y = tan  2 x − ÷
3


.

B.

là:

 5π


¡ \  + kπ 
 12

 5π

¡ \  + kπ 
 6


.

D.
Lời giải

,
,

k ∈Z

k ∈Z

.
.

Chọn A
π

cos  2 x − ÷ ≠ 0 ⇔ 2 x − π ≠ π + kπ ⇔ x ≠ 5π + k π
3


3 2
12
2

Hàm số đã cho xác định khi
k ∈Z

,

.

Vậy TXĐ:

π
 5π
D=¡ \ +k 
2
 12

,

k ∈Z

.

Câu 7: Tìm điều kiện xác định của hàm số
x≠

A.

x ≠ kπ

kπ
2

,

,

k ∈Z

k ∈Z

x≠

.

B.

π
+ kπ
2

,

k ∈Z

y = tan x + cot x.

.

C.

x∈R

.

D.

.
Lời giải

Chọn A
sin x.cos x ≠ 0 ⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ 2 x ≠ kπ ⇔ x ≠

kπ
2

( k ∈ Z)

Điều kiện:
.
Câu 8: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được
liệt kê ở bốn phương án

A.

y = 1 + sin x

.

B.

A B C D

, , , . Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

y = 1 − sin x

.

y = sin x

C.
Lời giải

Chọn D
Dựa vào lý thuyết đây là đồ thị của hàm
Câu 9: Tập giá trị của hàm số
A.

¡

.

B.

y = cos x

( −∞;0]

.

y = cos x

là ?
C.

.

D.

y = cos x

.

[ 0; +∞ )

.

D.

[ −1;1]

.

.


Lời giải

Chọn D
Với

∀x ∈ ¡

, ta có

cos x ∈ [ −1;1]

Tập giá trị của hàm số

.

y = cos x

là

[ −1;1]

.

Câu 10: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Hàm số
B. Hàm số
C. Hàm số
D. Hàm số
Chọn C
Hàm số
Hàm số
Hàm số

y = tan x

y = cos x
y = sin x
y = cot x

y = tan x

y = cos x
y = cot x

tuần hồn với chu kì
tuần hồn với chu kì

nghịch biến trên

C.

.

.

 π
 0; ÷
 2

đồng biến trên khoảng

.

¡

.
Lời giải

tuần hồn với chu kì
tuần hồn với chu kì

π ⇒

đáp án A sai.

2π ⇒

đáp án B sai.

nghịch biến trên mỗi khoảng
2

A.

π

D

của hàm số

π


D = ¡ \  + k 2π | k ∈ ¢ 
4

π

D = ¡ \  + kπ | k ∈ ¢ 
4


( kπ ; π + k π )

,

k ∈¢ ⇒

đáp án D sai.

THƠNG HIỂU

Câu 1: Tìm tập xác định

2π

y = tan 2 x

:

.

B.

.

D.
Giải:

π

D = ¡ \  + kπ | k ∈ ¢ 
2


.

π
π

D = ¡ \  + k | k ∈ ¢
2
4


.

Chọn D
cos 2 x ≠ 0 ⇔ 2 x ≠

Hàm số xác định khi
Tập xác định của hàm số là:

π
π
π
+ kπ ⇔ x ≠ + k
2
4
2

π
π

D = ¡ \  + k | k ∈ ¢
4
2



( k ∈¢)

.

Câu 2: Chọn phát biểu đúng:
A. Các hàm số

y = sin x

,

y = cos x y = cot x

,

đều là hàm số chẵn.

.


B. Các hàm số
C. Các hàm số
D. Các hàm số

y = sin x
y = sin x
y = sin x

y = cos x y = cot x

,

,

y = cot x y = tan x

,

,

y = cot x y = tan x

,

,

đều là hàm số lẻ.
đều là hàm số chẵn
đều là hàm số lẻ.

Giải:
Chọn D
Hàm số
lẻ.

y = cos x

là hàm số chẵn, hàm số

Câu 3: Tập xác định của hàm số
π
 5π
¡ \ +k 
2
 12

A.

π
 5π
¡ \ +k 
2
 6

C.

,
,

k ∈Z

k ∈Z

y = sin x

π

y = tan  2 x − ÷
3


.

y = cot x

,

 5π

¡ \  + kπ 
 6


.

y = tan x

là các hàm số

là:

 5π

¡ \  + kπ 
 12


B.

,

D.
Lời giải

,
,

k ∈Z

.

k ∈Z

.

Chọn A
Hàm số đã cho xác định khi
k ∈Z

.

Vậy TXĐ:

π
 5π
D=¡ \ +k 
2
 12

Câu 4: Tìm tập giá trị của hàm số
A.

π

cos  2 x − ÷ ≠ 0 ⇔ 2 x − π ≠ π + kπ ⇔ x ≠ 5π + k π
3

3 2
12
2

 −2; 3 




.

B.

,

k ∈Z

.

y = 3 sin x − cos x − 2

 − 3 − 3; 3 − 1



.

[ −4;0]

. C.
Lời giải

.

D.

[ −2;0]

Chọn C
Xét

π
π
π


= 2  sin x.cos − cos x.sin ÷− 2 = 2sin  x − ÷− 2
y = 3 sin x − cos x − 2
6
6
6



Ta có

π
π


−1 ≤ sin  x − ÷ ≤ 1 ⇒ −4 ≤ 2sin  x − ÷− 2 ≤ 0
⇒ −4 ≤ y ≤ 0
6
6



Vậy tập giá trị của hàm số là

[ −4;0]

.

với mọi

x∈¡

,


(1) y = cos 2 x (2) y = sin x (3) y = tan 2 x (4) y = cot 4 x

Câu 5: Trong bốn hàm số:

số tuần hoàn với chu kỳ

π

,

;

có mấy hàm

?

0

1

A. .

;

3

2

B. .

C. .
Lời giải

D. .

Chọn A
y = cos x

Do hàm số
chu kỳ

π

y = tan x

Do hàm số
kỳ

π
2

.

y = cot x

Do hàm số
chu kỳ

nên hàm số

(1) y = cos 2 x

tuần hoàn

.

(2) y = sin x

Hàm số

tuần hoàn với chu kỳ

2π

π
4

tuần hoàn với chu kỳ
tuần hoàn với chu kỳ

tuần hoàn với chu kỳ

2π

π

π

.

nên hàm số

nên hàm số

(3) y = tan 2 x

(4) y = cot 4 x

tuần hoàn chu

tuần hoàn

.
y = 3sin

Câu 6: Chu kỳ của hàm số
0

A. .

B.

x
2

2π

là số nào sau đây?
4π

.

C.
.
Lời giải

D.

π

.

Chọn C
T=

Chu kì của hàm số

Câu 7: Tập
A.

 kπ

D=¡ \
k ∈¢
2



y = cot x

.

2π
= 4π
1
2

.

là tập xác định của hàm số nào sau đây?
B.

y = cot 2 x

.

y = tan x

C.
Lời giải

.

D.

y = tan 2 x

Chọn B
Hàm số

Câu 8: Khi

x

y = cot 2 x

xác định khi

thay đổi trong khoảng

2x ≠ kπ

 5π 7π 
 ;
÷
 4 4 

⇔x≠

thì

kπ
2

.

y = sin x

lấy mọi giá trị thuộc


A.


2
÷
 −1; −
2 ÷



.

B.


2 

; 0
−
2



C.

[ −1;1]

.

D.

 2 
;1

2



.

Lời giải
Chọn A
 5π 3π 
 ; 
 4 2 

 Trong nửa khoảng

Hàm số

y = sin x

sin

giảm nên

Hàm số

x

 Vậy khi

2
÷
 −1; −
2 ÷



3π
5π
2
≤ sin x < sin
⇒ −1 ≤ sin x < −
2
4
2

:

sin

tăng nên

3π
7π
2
≤ sin x < sin
⇒ −1 ≤ sin x < −
2
4
2

thay đổi trong khoảng

 5π 7π 
 ;
÷
 4 4 

thì

y = sin x

lấy mọi giá trị thuộc

y = sin x

y = cos x

,

y = tan x

y = sin x

.
,

B.
y = tan x

.

D.

y = sin x, y = cot x
y = tan x

,

,

y = tan x

 π 
 − ;0 ÷
 2 

thỏa mãn điều kiện đồng biến và nhận giá trị âm trong khoảng

C.

.

.

Câu 9: Hãy nêu tất cả các hàm số trong các hàm số

A.

.

 3π 7π 
 2 ; 4 ÷


 Trong nửa khoảng
y = sin x

:

,

y = cot x

.

.

y = cos x

.

Lời giải
Chọn C
Vì hàm số
án B.

y = cot x

ln nghịch biến trên từng khoảng xác định nên loại ngay đáp

Dựa vào đồ thị của các hàm số lượng giác

khoảng

 π 
 − ;0÷
 2 

ta thấy hàm

y = sin x

và

y = sin x

y = tan x

,

y = cos x

và

y = tan x

trên

thỏa.

Câu 10: Trong các hàm số sau đây, hàm nào có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng?


A.

y = cos x − sin 2 x

.

B.

y = tan x

y = sin 3 x cos x

.
C.
Lời giải

.

D.

y = sin x

.

Chọn A
y = cos x − sin 2 x

Trong 4 hàm số trên chỉ có hàm số
nhận trục tung làm trục đối xứng.
Thật vậy:
Tập xác định của hàm số là

D=¡

nên

∀x ∈ ¡ ⇒ − x ∈ ¡

Nên hàm số

2

y = cos x − sin 2 x

là hàm số chẵn.

3

VẬN DỤNG

Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
A.
C.

.

y ( − x ) = cos ( − x ) − sin ( − x ) = cos x − sin x = y ( x )
2

Và

là hàm số chẵn nên có đồ thị

max y = 5, min y = 1
max y = 5, min y = 2

.

B.

y = 2sin x + 3

.

max y = 5, min y = 2 5
max y = 5, min y = 3

.

D.
Lời giải

.

.

Chọn A
Ta có

−1 ≤ s inx ≤ 1; ∀x ∈ ¡ ⇔ 1 ≤ 2s inx+3 ≤ 5; ∀x ∈ ¡ ⇒ 1 ≤ y ≤ 5; ∀x ∈ ¡

Câu 2: Hàm số
A.
C.

y = sin x

đồng biến trên mỗi khoảng:

π
 π


+ k 2π ÷
 − + k 2π ;
2
2


5π
π

+ k 2π ÷
 + k 2π ;
2
2


với
với

Chọn A
Nhìn vào đồ thị hàm số

k ∈¢

k ∈¢

y = sin x

qua phải trong các khoảng

.

.

B.

5π
 3π

+ k 2π ;
+ k 2π ÷
−
2
2


π

 + k 2 ; + k 2 ữ
2


D.
Li gii

vi

vi

k Â

k ∈¢

.

.

ta thấy đồ thị hàm số là đường cong đi lên từ trái

π
 π

+ k 2π ÷
 − + k 2π ;
2
 2


với

k ∈¢

nên đáp án là A.

Câu 3: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A.

y = sin x cos 3 x

.

B.

y = cos 2 x

.

C.

y = sin x

.

D.

y = sin x + cos x

.


Lời giải
Chọn B
Hàm số

y = sin x cos 3 x

có TXĐ:

D=¡

, nên

∀x ∈ ¡ ⇒ − x ∈ ¡

y ( − x ) = sin ( − x ) cos ( −3 x ) = − sin x cos 3 x = − y ( x )

suy ra hàm số

và có
y = sin x cos 3 x

là hàm số

lẻ.
Hàm số

y = cos 2 x

là hàm số chẵn vì TXĐ:

y ( − x ) = cos ( −2 x ) = cos 2 x = y ( x )

Xét tương tự ta có hàm số
cũng khơng lẻ.

y = sin x

Câu 4: Tìm tập xác định của hàm số sau

C.

∀x ∈ ¡ ⇒ − x ∈ ¡

, nên

là hàm số lẻ, hàm số
cot x
2sin x − 1

π
π


D = ¡ \  kπ , + k 2π , − + k 2π ; k ∈ Z
6
6



π
5π


D = ¡ \  kπ , + k 2π ,
+ k 2π ; k ∈ Z
6
6



.

B.

y = sin x + cos x

Hàm số

cot x
2sin x − 1

5π
π

D = ¡ \  + k 2π ,
+ k 2π ; k ∈ Z
6
6


. D.
Lời giải


 x ≠ kπ
sin x ≠ 0

sin x ≠ 0
π



⇔
⇔


 x ≠ + k 2π , ( k ∈ Z)
1
6
2sin x − 1 ≠ 0
sin x ≠ 2

5
π

 x ≠ 6 + k 2π

Câu 5. Tìm tập xác định
A.
C.

D

D = ¡ \ { kπ | k ∈ Z}

của hàm số

1
sin x − cos x

.

π

D = ¡ \  + kπ | k ∈ Z
4


D.

.

.

B.
.

.

π
2π


D = ¡ \  kπ , + k 2π ,
+ k 2π ; k ∈ Z
3
3



xác định khi:

y=

không chẵn

.

Chọn C
y=

và

.

y=

A.

D=¡

π

D = ¡ \  + k π | k ∈ Z
2


D = ¡ \ { k 2π | k ∈ Z}

Lời giải

.

.

.


Chọn C
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi
π
π

sin x − cos x ≠ 0 ⇔ sin  x − ÷ ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ , ( k ∈ Z)
4
4


4

Câu 1: Gọi
trên
A.

¡

,

m

VẬN DỤNG CAO

M

.

y = sin 2018 x + cos 2018 x

lần lượt là giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

. Khi đó:

M =2

m=

,

1
1008

2

.

B.

M =1

1

m=

1009

2

,

M =1 m = 0

. C.
Lời giải

,

.

D.

M =1

Chọn D
Ta có:

2
y = sin 2018 x + cos 2018 x = ( sin x )

t = sin 2 x 0 ≤ t ≤ 1

Đặt

,

Xét hàm số
Ta có:

f ′ ( t ) = 1009.t

1009

1008

1008

,

Suy ra
Vậy

[ 0;1]

.
y = t1009 + ( 1 − t )

1009

.

.

1008

=0

.

1
1
f ( t ) = f  ÷ = 1008
max f ( t ) = f ( 0 ) = f ( 1) = 1 min
0;1
[ ]
[ 0;1]
2 2

,

M =1

m

1009

= 1 ⇔ 1− t = 1 ⇔ t = 1
t
2

1
1
f  ÷ = 1008
f ( 1) = f ( 0 ) = 1

2 2

Mà

Câu 2. Tìm

trên đoạn

− 1009. ( 1 − t )

f ′ ( t ) = 0 ⇔ 1009t1008 − 1009 ( 1 − t )
 1− t 
⇔
÷
 t 

+ ( 1 − sin 2 x )

thì hàm số đã cho trở thành

f ( t ) = t1009 + ( 1 − t )
1008

1009

m=

,

1

1008

2

.
y = 5sin4x − 6cos4x + 2m− 1

để hàm số

x

xác định với mọi .

m=

,

1
1008

2

.


A.

61 − 1
2

m≥

m≥ 1

B.

Hàm số xác định với mọi

Do

61 + 1
2

m<

C.
Lời giải:

m≥

D.

61 + 1
2

x ⇔ 5sin 4x − 6cos4x ≥ 1− 2m ∀x

min(5sin 4x − 6cos4x) = − 61 ⇒ − 61 ≥ 1− 2m

⇔ m≥

61 + 1
2

.

Vậy chọn D
x, y

Câu 3: Cho các góc nhọn

x+ y =

thỏa mãn

sin x + sin y = sin(x + y)
2

2

(*). Chứng minh rằng:

π
2

Lời giải:
y = sin x, y = cos x

Ta có hàm s

ã

Gi s

ng bin trờn khong


0; 2 ữ



V




x, y, − x, − y ∈  0; ÷
2
2
 2


π


π
sin x > sin  − y ÷ = cos y
x
>
−

y

π 

2

2
x+ y > ⇒ 
⇒
π
2 
π

y > − x sin y > sin  − x ÷ = cos x


2
2 


sin2 x + sin2 y = sin x.sin x + sin y.sin y > sin x cos y + sin y cos x = sin(x + y)

Suy ra:
Mâu thuẫn với

•

Giả sử

(∗)


π


π
sin x < sin  − y ÷ = cos y

x
<
−
y
π 

2

2
x+ y < ⇒ 
⇒
π
2 
π

y < − x sin y < sin  − x ÷ = cos x


2
2 

sin2 x + sin2 y = sin x.sin x + sin y.sin y < sin x cos y + sin y cos x = sin(x + y)

Suy ra:
Mâu thuẫn với
•

x+ y =

Nếu

(∗)

π
⇒
2 (∗)

(∗) ⇔ x + y =

Vậy

π
2

.

đúng.

.