Bài giảng Giao an Toan 11 co ban chuong1

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
TIẾT 1, 2, 3, 4, 5: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Ngày soạn:
A/. Mục tiêu: Thông qua nội dung bài dạy, giúp học sinh nắm được:
1. Kiến thức:
• Định nghĩa phép hàm số sin và côsin và từ đó dẫn tới định nghĩa hàm số tang và hàm số
côtang như là những hàm số xác định bởi công thức.
• Tính tuần hoàn và chu kì của các hàm số lượng giác: sin, cosin, tan, cot.
• Sự biến thiên của các hàm số lượng giác.
2. Kĩ năng:
• Tính giá trị lượng giác của các cung có số đo là số thực bất kì.
• Tìm được TXĐ, TGT của các hàm số lượng giác đơn giản.
• Biết vẽ đồ thị của các hàm số sin, cos, tan, cot.
3. Thái độ: Rèn luyện tính nghiêm túc khoa học, tính cần cù, chịu khó.
B/. Phương pháp dạy học: Gợi mở + Nêu và giải quyết vấn đề.
C/. Chuẩn bị:
1. GV: Giáo án, Sgk, thước thẳng.
2. HS: Sgk, thước kẻ,...
D/. Thiết kế bài dạy:
TIẾT 1 Ngày dạy:
I/. Ổn định lớp: Sỉ số.......Vắng:.......
II/. Kiểm tra bài cũ: Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy tính sinx, cosx với x nhận các giá trị sau:
; ;1,5;2;3,1;4,25;5.
6 4
π π
III/. Nội dung bài mới
1. Đặt vấn đề:
2. Triển khai bài:
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ
Hoạt động 1: (Xây dựng đ/n hàm số sin và
côsin)

Gv: Trên đtlg, điểm gốc A, hãy xác định các
điểm M sao cho SđAM = x và sinx?.
Gv: Như vậy, ta đã thiết lập được quy tắc đặt
tương ứng mỗi số thực x trên trục hoành với số
thực y=sinx trên trục tung.
Vậy, ta có định nghĩa:
Gv?: TXĐ của hàm số sin?. Vì sao?.
Gv: Tương tự, với mỗi số thực x, hãy xác định
giá trị của cosx trên đtlg?.
Gv?: Hãy biểu diễn giá trị của x trên trục hoành
và giá trị cosx trên trục tung?.
I- Định nghĩa
1. Hàm số sin và hàm số côsin
a) Hàm số sin
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số
thực sinx: sin: R R
x y = sinx
gọi là hàm số sin, kí hiệu y = sinx.
TXĐ: D = R.
b) Hàm số côsin
www.vntoanhoc.com
1
x
sinx
B'
A'
B
A
O
M

x
M''
cosx
O
cosx
B'
A'
B
A
O
M
x
CHNG 1: HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC
Gv: Tng t, hóy nh ngha hm s cụsin?.
Gv?: TX ca hm s cụsin?.
Hot ng 2: (Xõy dng /n hm s tang v
cụtang)
Gv gii thiu nh ngha hm s tang.
Gv?: TX ca hm s y = tanx?. Vỡ sao?.
Gv gii thiu nh ngha hm s cụtang.
Gv?: TX ca hm s y = cotx?. Vỡ sao?.
Gv: Hóy so sỏnh cỏc giỏ tr sinx v sin(-x); cosx
v cos(-x)?. T ú, em cú nhn xột gỡ v tớnh
chn l ca cỏc hm s sin, cụsin, tang, cụtang?.
Quy tc t tng ng mi s thc x vi s
thc cosx: cos: R R
x y = cosx
gi l hm s cụsin, kớ hiu y = cosx.
TX: D = R.
2. Hm s tang v hm s cụtang

a) Hm s tang
Hm s tang l hm s xỏc nh bi cụng thc:
sin
,cos 0
cos
x
y x
x
=
. Kớ hiu: y = tanx.
TX:
\ ,
2
D R k k Z



= +


b) Hm s cụtang
Hm s cụtang l hm s xỏc nh bi cụng
thc:
cos
,sin 0
sin
x
y x
x
=

. Kớ hiu: y = cotx.
TX:
{ }
\ ,D R k k Z

=
Nhn xột: (Sgk)
IV/. Cng c: Qua ni dung bi hc cỏc em cn nm:
Cỏch nh ngha ca cỏc hm s lng giỏc.
Tp xỏc nh ca cỏc hm s lng giỏc.
Ap dng: Tỡm tp xỏc nh ca hm s:
1 cos
/. /. tan
sin 3
x
a y b y x
x
p
ổ ử
+
ữ
ỗ
= = -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ỏp s: a/.
{ }

\ ,D R k k Z

=
; b/.
5
\ ,
6
D R k k Z
p
p
ỡ ỹ
ù ù
ù ù
= + ẻ
ớ ý
ù ù
ù ù
ợ ỵ
V/. Dn dũ:
Nm vng nh ngha ca cỏc hm s lng giỏc.
Lm bi tp 2b,d trang 17 Sgk.
Chun b trc cỏc ni dung cũn li tit sau tip tc.

TIT 2 Ngy dy:
I/. n nh lp: S s.......Vng:.......
II/. Kim tra bi c: Tỡm TX D ca hm s
cot
6
y x
p

ổ ử
ữ
ỗ
= +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
III/. Ni dung bi mi
1. t vn :
2. Trin khai bi:
HOT NG CA THY HOT NG CA TRề
Hot ng 3: (Xột tớnh tun hon ca cỏc hslg)
Gv: Tỡm nhng s T sao cho f(x+T)=f(x) vi
mi x thuc TX ca cỏc hm s sau:
II- Tớnh tun hon ca hm s lng giỏc
a)
{ }
2 ;4 ;6 ;...T p p p=
www.vntoanhoc.com
2
CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
a) f(x) = sinx; b) f(x) = tanx.
(Về nhà xem phần đọc thêm)
Hoạt động 4: (Xét sự biến thiên và đồ thị của
hàm số lượng giác)
HĐTP1: (Sự biến thiên và đồ thị của hàm số
y=sinx)
Gv?: Hãy nêu một số tính chất đặc trưng của

hàm số y = sinx?.
Gv: Hãy biểu diễn các giá trị x
1
, x
2
, x
3
, x
4
trên
đường tròn lượng giác và xét các sinx
i
(i=1,2,3,4)
Gv: Dựa vào hình vẽ hãy kết luận tính đồng
biến, nghịch biến của hàm số?.
Gv?: Hãy lập BBT của hàm số y = sinx?.
Gv?: Đồ thị có tính chất gì?. Vì sao?.
Gv yêu cầu học sinh vẽ đồ thị trên
[ ]
;p p-
Gv: Do hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì
2p
nên ta có thể vẽ được đồ thị của nó trên toàn trục
số bằng cách nào?.
Gv yêu cầu học sinh hoàn thành đồ thị của hàm
số y = sinx trên R
Gv: Dựa vào đồ thị, hãy cho biết tập giá trị của
hàm số y = sinx?.
b)
{ }

;3 ;5 ;...T p p p=
H/s y = sinx, y = cosx tuần hoàn với chu kì
2p
H/s y = tanx, y = cotx tuần hoàn với chu kì
p
III - Sự biến thiên và đồ thị của h/s lượng giác
1. Hàm số y = sinx
• TXĐ: D = R; TGT:
[ ]
1;1-
• Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì
2p
.
a) Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = sinx
trên đoạn
[ ]
0; p
.
Xét các số thực x
1
, x
2
với
1 2
0
2
x x
p
£ < £
. Đặt

3 2 4 1
;x x x xp p= - = -
Hàm số y = sinx đồng biến trên
0;
2
p
é ù
ê ú
ê ú
ë û
và nghịch
biến trên
;
2
p
p
é ù
ê ú
ê ú
ë û
.
Bảng biến thiên:
Mặt khác, y = sinx là hàm số lẻ nên đồ thị đối
xứng qua gốc toạ độ O(0;0).
Đồ thị trên đoạn
[ ]
;p p-
:
b) Đồ thị hàm số y = sinx trên R
Tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx trên

[ ]
;p p-
theo
vectơ
(2 ;0) & ( 2 ;0)v vp p= - = -
r r
ta được đồ thị
của nó trên R.
www.vntoanhoc.com
3
O
O
sinx1
sinx2
x
3
x
4
x
2
x
1
sinx2
sinx1
π
x
4
x
3
π

2
x
2
x
1
A
0
0
1
y=sinx
π
2
π
0
x
2
1
-1
-2 2
π
2
-
π
2
π
-
π
2
-2
-5 5

π
2
-
π
2
π
-
π
CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Tập giá trị của hàm số y = sinx là
[ ]
1;1-
IV/. Củng cố: Qua nội dung tiết học cần nắm:
• Tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác.
• Sự biến thiên của hàm số y = sinx và cách vẽ đồ thị của hàm số y = sinx.
Ap dụng: Dựa vào đồ thị của hàm số y = sinx, hãy tìm các khoảng của x để hàm số đó nhận giá trị
dương. (Đáp số:
( )
2 ; 2 ,k k k Zp p p+ Î
V/. Dặn dò:
• Nắm vững nội dung lí thuyết đã học.
• Làm bài tập 3, 4 trang 17 sgk. Tham khảo trước các phần còn lại.

TIẾT 3 Ngày dạy:
I/. Ổn định lớp: Sỉ số.......Vắng:.......
II/. Kiểm tra bài cũ: Hãy nêu một số tính chất đặc trưng của hàm số y = cosx và y = tanx.
III/. Nội dung bài mới
1. Đặt vấn đề:
2. Triển khai bài:
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ

HĐTP 2 : (Xét sự biến thiên và đồ thị của hàm
số côsin)
Gv?: Hãy nêu một số tính chất đặc trưng của
hàm số côsin?.
Gv?: Ta đã biết với
x R
∀ ∈
ta có:
sin ?
2
x
π
 
+ =
 ÷
 
Gv?: Vậy, từ đồ thị của hàm số sin ta vẽ được đồ
thị của hàm số côsin bằng cách nào?.
Gv cho học sinh thực hiện.
Gv: Dựa vào đồ thị của hàm số y = cosx hãy lập
bảng biến thiên của nó.
Gv: Đồ thị của hàm số y = sinx và y = cosx được
gọi chung là các đường hình sin.
HĐTP3: (Xét sự biến thiên của hàm số tang)
Gv: Từ tính đặc điểm của hàm số y = tanx, hãy
nêu ý tưởng xét sự biến thiên và đồ thị của hàm
số y = tanx?
Gv cho học sinh biểu diễn hình học của tanx.
Gv: Dựa vào hình vẽ hãy kết luận tính đơn điệu
của àm số y = tanx trên

0;
2
π
 
÷

 
. Giải thích?.
Gv: Căn cứ vào chiều biến thiên hãy lập bảng
2. Hàm số y = cosx
• TXĐ: D = R; TGT:
[ ]
1;1−
.
• Là hàm số chẳn và tuần hoàn với chu kì
2
π
.
•
x R∀ ∈
ta có:
sin cos
2
x x
π
 
+ =
 ÷
 
Vậy, bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx

theo
;0
2
u
π
 
−
 ÷
 
r
ta được đồ thị của hàm y = cosx.
Đồ thị:
3. Hàm số y = tanx.
a) Sự biến thiên và đồ thị của hàm số trên
0;
2
π
 
÷

 
Với
1 2
, 0;
2
x x
π
 
∈
÷


 
. Đặt
¼
¼
1 1 2 2 1 1 2 2
; ; tan ; tanAM x AM x AT x AM x= = = =
www.vntoanhoc.com
4
4
2
-2
-5 5
u
y=cosx
y=sinx
-
π
2
-
π
-
3
π
2
-2
π
π
2
π

3
π
2
π
2
π
2
tang
x2
x1
A
B'
A'
B
tanx1
tanx2
x
y
x
y
T2
T1
M2
M1
O
O
CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
biến thiên của hàm số trên
0;
2

π
 
÷

 
?
Gv yêu cầu học sinh lấy một số điểm đặc biệt
trên
0;
2
π
 
÷

 
và vẽ đồ thị.
Chú ý tính đối xứng của đồ thị.
Gv: Em có nhận xét gì về đồ thị của hàm số khi
x càng gần
2
π
.
Gv: Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số tang, hãy
vẽ đồ thị của nó trên D.
Hướng dẫn: Tịnh tiến đồ thị trên khoảng
;
2 2
π π
 
−

 ÷
 
song song với trục Ox từng đoạn bằng
π
.
Gv?: Tập giá trị của hàm số y = tanx ?.
Hàm số đồng biến trên
0;
2
π
 
÷

 
.
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số trên khoảng
;
2 2
π π
 
−
 ÷
 
b) Đồ thị của hàm số trên D.
Tập giá trị của hàm số y = tanx là R.
IV/. Củng cố: Qua bài học các em cần nắm:
• Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = cosx, y = tanx.
• Cách vẽ đồ thị của các hàm số đó.
• Bài tập áp dụng: Tìm

3
;
2
x
π
π
 
∈ −
 
 
để hàm số y = tanx nhận giá trị dương.
Đáp số:
3 3
; 0; ;
2 2 2
x
π π π
π π
     
∈ − −
 ÷  ÷  ÷
     
U U
V/. Dặn dò:
• Học kĩ lí thuyết và tham khảo trước phần 4 còn lại.
• Làm bài tập: 1, 5, 7 Sgk.

TIẾT 4 Ngày dạy:
I/. Ổn định lớp: Sỉ số.......Vắng:.......
II/. Kiểm tra bài cũ: Hãy nêu một số tính chất đặc trưng của hàm số y = cotx.

III/. Nội dung bài mới
1. Đặt vấn đề:
2. Triển khai bài:
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ
HĐTP4: (Xét sự biến thiên và đồ thị của hàm số
y = cotx)
Gv: Chứng minh rằng hàm số y = cotx nghịch
biến trên
( )
0;
π
4. Hàm số y = cotx
• TXĐ:
{ }
\ ,D R k k Z
π
= ∈
• Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì
π
.
a) Sự biến thiên và đồ thị của hàm số trên
( )
0;
π
www.vntoanhoc.com
5
x
y=tan
x
0

4
π
2
π
+∞
0
1
x
y
O
π
2
-
π
2
-
p
-
3
p
2
-
p
2
2
p
p
p
2
O

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv: Hãy lập bảng biến thiên của hàm số?.
Gv yêu cầu học sinh lên bảng vẽ đồ thị trên
khoảng
( )
0;
π
và trên D.
Gv: Tập giá trị của hàm số y = cotx là R.
Với
( )
1 2 1 2 2 1
, 0; : 0 0x x x x x x
π π π
∈ < < < ⇒ < − <
Ta có:
( )
2 1
1 2
1 2
1 2 1 2
sin
cos cos
cot cot 0
sin sin sin .sin
x x
x x
x x
x x x x
−

− = − = >
1 2
cot cotx x⇔ > ⇒
Hàm số nghịch biến trên
( )
0;
π
.
Bảng biến thiên:
b) Đồ thị của hàm số y = cotx trên D
IV/. Củng cố : Qua nội dung bài học các em cần nắm:
• Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = cotx.
• Các tính chất đặc trưng của hàm số y = cotx.
• Ap dụng: Dựa vào đồ thị của hàm số y = cotx, hãy tìm các khoảng giá trị của x để hàm số
nhận giá trị dương.
Đáp số:
3 3
2 ; ; ; ; 0; ; ;
2 2 2 2
π π π π
π π π
       
− − − − ⇒
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
Tổng quát:
1
; ,
2
k k k Z

π π
 
 
+ ∈
 ÷
 ÷
 
 
V/. Dặn dò:
• Học thật kĩ lí thuyết và hoàn thành tất cả các bài tập Sgk.
• Bài tập làm thêm: 1.1, 1.2, 1.3 Sách bài tập trang 12.
• Tiết sau luyện tập.
TIẾT 5 Ngày dạy:
I/. Ổn định lớp: Sỉ số.......Vắng:.......
II/. Kiểm tra bài cũ: Xen vào bài mới.
III/. Nội dung bài mới
1. Đặt vấn đề:
2. Triển khai bài:
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ
Hoạt động 5: (Củng cố các hàm số lượng giác)
Gv: Làm bài tập 2b trang 7 Sgk
Gv?: Hàm số xác định khi nào? Vì sao?.
Chú ý:
1 cos 0 cos 1x x
− > ⇔ ≠
.
Gv: Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx hãy vẽ đồ thị
của hàm số
siny x=
LÀM BÀI TẬP

Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số
1 cos
1 cos
x
y
x
+
=
−
Hàm số xác định khi và chỉ khi
1 cos
0 1 cos 0 cos 1 2 ,
1 cos
x
x x x k k Z
x
π
+
≥ ⇔ − > ⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈
−
Vậy,
{ }
\ 2 ,D R k k Z
π
= ∈
Bài 2: Ta có:
sin ,sin 0
sin
sin ,sin 0
x x

x
x x
≥

=

− <

www.vntoanhoc.com
6
x
y=cotx
0
π
+∞
2
π
+∞
0
x
y
-2
π
-
π
2
π
π
O
-

3
π
2
3
π
2
-
π
2
π
2
CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv: Ta biết:
sin ,sin 0
sin
sin ,sin 0
x x
x
x x
≥

=

− <

. Vậy, em có
nhận xét gì về đồ thị của hàm số
siny x=
.
Giải thích tại sao?

Gv: Làm bài tập 4 trang 7 Sgk
• Cmr:
( )
sin 2 sin 2x k x
π
+ =
Gv: Hãy vẽ đồ thị của hàm số trên?.
Chú ý các tính chất đặc trưng của hàm số y
= sin2x.
Gv hướng dẫn để học sinh biết vẽ đồ thị của hàm
số.
Gv: Làm bài tập 8 trang 8 Sgk.
a)
2 cos 1y x= +
b) y= 3 - 2sinx.
Suy ra: Đồ thị của hàm số
siny x=
gồm:
• Phần đồ thị nằm phía trên trục hoành của
hàm số y = sinx.
• Đối xứng phần đồ thị của hàm số y = sinx
phía dưới trục Ox qua trục hoành.
Đồ thị:
Bài 3: Ta có:
( ) ( )
sin 2 sin(2 2 ) sin 2x k x k x dpcm
π π
+ = + =
Suy ra: Hàm số y = sin2x tuần hoàn với chu ki
π

. Mặt khác, y = sin2x là hàm số lẻ nên ta vẽ đồ
thị trên đoạn
0;
2
π
 
 
 
sau đó lấy đối xứng qua tâm
O(0;0) ta được đồ thị trên đoạn
;
2 2
π π
 
−
 
 
. Tịnh
tiến song song với trục Ox đồ thị trên
;
2 2
π π
 
−
 
 
các đoạn có độ dài bằng
π
ta được đồ thị trên R.
Bài 4: Tìm GTLN của hàm số:

a) Ta có:
0 cos 1 2 cos 2 2 cos 1 3x x x
≤ ≤ ⇒ ≤ ⇔ + ≤
3y⇔ ≤
. Vậy, maxy=3
cos 1 2 ,x x k k Z
π
⇔ = ⇔ = ∈
b)
3
max 5 sin 1 2 ,
2
y x x k k Z
π
π
= ⇔ = − ⇔ = + ∈
IV/. Củng cố:
• Sự biến thiên của và đồ thị của hàm số y = sinx, y = cosx, y =tanx, y = cotx.
V/. Dặn dò:
• Nắm vững kiến thức và làm các bài tập tương tự còn lại. Tham khảo trước nội dung bài mới.
TIẾT 6, 7, 8, 9, 10: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Ngày soạn:
A/. Mục tiêu: Thông qua nội dung bài dạy, giúp học sinh nắm được:
1. Kiến thức:
• Nắm được điều kiện của a để phương trình sinx = a, cosx = a có nghiệm.
• Biết cách viết công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản trong trường hợp
số đo bằng radian và độ.
• Biết cách sử dụng kí hiệu arcsina, arccosa, arctana, arccota khi viết công thức nghiệm của
phương trình lượng giác.
2. Kĩ năng:

• Viết công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản.
• Giải các phương trình lượng giác cơ bản đơn giản và lấy nghiệm của nó.
3. Thái độ: Rèn luyện tính nghiêm túc khoa học, tính cần cù, chịu khó.
B/. Phương pháp dạy học: Gợi mở + Nêu và giải quyết vấn đề + Hoạt động nhóm
C/. Chuẩn bị:
1. GV: Giáo án, Sgk, thước thẳng.
2. HS: Sgk, thước kẻ, Máy tính Casio FX...
www.vntoanhoc.com
7
-1
1
x
y
-2
π
-
3
π
2
-
π
-
π
2
2
π
3
π
2
π

π
2
π
2
-
π
2
-
π
4
π
4
O
x
y
CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
D/. Thiết kế bài dạy:
TIẾT 6 Ngày dạy:
I/. Ổn định lớp: Sỉ số.......Vắng:.......
II/. Kiểm tra bài cũ: Tìm một giá trị của x sao cho: 2sinx - 1 = 0
III/. Nội dung bài mới
1. Đặt vấn đề:
2. Triển khai bài:
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ
Hoạt động 1: (Giáo viên giới thiệu phương
trình lượng giác và PTLG cơ bản)
- Giải PTLG là tìm tất cả các giá trị của ẩn
số thoả mãn PT đã ch. Các giá trị này là số đo
của cung (góc) tính bằng rad hoặc độ.
Hoạt động 2: (Xây dựng công thức nghiệm của

phương trình sinx = a)
Gv: Tìm x sao cho: sinx = -2?.
Gv: Từ đó hãy cho biết phương trình (1) vô
nghiệm, có nghiệm khi nào?.
Gv hướng dẫn học sinh tìm nghiệm.
- Vẽ đường tròn lgiác tâm O. Trên trục sin
lấy điểm K sao cho
OK a=
. Qua K kẻ đường
thẳng vông góc với trục sin cắt (O) tại M, M’.
Gv: Số đo của các cung nào thoả mãn sinx = a?.
Gv: Gọi
α
là số đo bằng radian của một cung
lượng giác AM, ta có số đo của cung AM, AM’
bằng bao nhiêu?.
Gv: Vậy, công thức nghiệm của PT sinx = a?.
Gv:
arcsin a
α
=
có nghĩa là cung có
sin a
α
=
Gv: Khi đó công thức nghiệm của phương trình
(1) là gì?.
Gv: Hãy nêu công thức nghiệm của phương
trình
sin sin ,x R

α α
= ∈
?. Vì sao?.
Gv: Hãy nêu công thức nghiệm tổng quát của
phương trình
sin ( ) sin ( )f x g x
=
Phương trình lượng giác cơ bản:
sinx = a, cosx = a, tanx = a, cotx = a. (a=const)
1. Phương trình sinx = a (1)
Ví dụ:
Vì
1 1x x R− ≤ ≤ ∀ ∈
nên không tồn tại giá trị x.
•
1:a >
PT (1) vô nghiệm.
•
1:a ≤
PT (1) có nghiệm.
Số đo của các cung AM và AM’ là tất cả các
nghiệm của phương trình (1). Gọi
α
là số đo
bằng radian của một cung lượng giác AM, ta
có:
sđ
¼
AM 2 ,k k Z
α π

= + ∈
sđ
¼
' 2 ,AM k k Z
π α π
= − + ∈
Vậy, phương trình sinx = a có nghiệm là:
2
,
2
x k
k Z
x k
α π
π α π
= +

∈

= − +

.
Nếu
2 2
sin a
π π
α
α

− ≤ ≤




=

thì ta viết
arcsin a
α
=
. Khi
đó nghiệm của PT(1) là:
arcsin 2
,
arcsin 2
x a k
k Z
x a k
π
π π
= +

∈

= − +

Chú ý:
a) Phương trình
sin sin ,x R
α α
= ∈

có nghiệm
là:
2
,
2
x k
k Z
x k
α π
π α π
= +

∈

= − +

.
www.vntoanhoc.com
8
M'
M
a
K
O
A'
B'
B
A
sin
cosin

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv:
0
sin sin ?x
β
= ⇔
Gv nêu chú ý.
Gv cho học sinh nêu công thức nghiệm của các
phương trình có dạng đặc biệt
Gv: Giải các PT sau:
a)
1
sin
5
x =
; b)
0
1
sin( 30 )
2
x + =
Lưu ý: Phải thống nhất đơn vị đo khi lấy nghiệm
của phương trình.
Gv cho học sinh lên bảng thực hiện.
Tổng quát:
( ) ( ) 2
sin ( ) sin ( )
( ) ( ) 2
f x g x k
f x g x

f x g x k
π
π π
= +

= ⇔

= − +

b)
0 0
0
0 0 0
360
sin sin ,
180 360
x k
x k Z
x k
β
β
β

= +
= ⇔ ∈

= − +

c) Không được dùng hai đơn vị đo trong một
công thức nghiệm của phương trình lgiác.

d) Các trường hợp đặc biệt:
•
sin 1 2 ,
2
x x k k Z
π
π
= ⇔ = + ∈
•
sin 1 2 ,
2
x x k k Z
π
π
= − ⇔ = − + ∈
•
sin 0 ,x x k k Z
π
= ⇔ = ∈
Ví dụ:
a)
1
arcsin 2
1
5
sin
1
5
arcsin 2
5

x k
x
x k
π
π π

= +

= ⇔


= − +


b)
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
30 30 360
1
sin( 30 ) sin( 30 ) sin30
2
30 180 30 360
x k
x x
x k

+ = +
+ = ⇔ + = ⇔


+ = − +

0
0 0
360
;
120 360
x k
k Z
x k

=
⇔ ∈

= +

IV/. Củng cố: Qua bài học các em cần nắm:
• Công thức nghiệm của phương trình sinx = a.
• Nắm vững các chú ý và các trường hợp đặc biệt của phương trình sinx = a.
• Ap dụng: Giải các phương trình sau:
a)
2
2
4
sin sin sin
3
2 4
2
4
x k

x x k Z
x k
π
π
π
π
π

= − +

 
= − ⇔ = − ⇔ ∈

 ÷
 

= +


b)
1 1
sin arcsin
3 3
x x= ⇔ =
. Vậy nghiệm của phương trình là:
1
arcsin 2
3
1
arcsin 2

3
x k
k Z
x k
π
π π

= +

∈


= − +


c)
( ) ( )
0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0
45 60 360 15 360
3
sin 45 sin 45 sin 60
2
45 180 60 360 75 360
x k x k
x x k Z
x k x k
 
+ = + = +

+ = ⇔ + = ⇔ ⇔ ∈
 
+ = − + = +
 
V/. Dặn dò:
• Học kỹ công thức nghiệm của phương trình sinx = a.
• Bài tập về nhà: 1, 2 trang 28 Sgk. Tham khảo trước các phần còn lại.

TIẾT 7 Ngày dạy:
I/. Ổn định lớp: Sỉ số.......Vắng:.......
II/. Kiểm tra bài cũ: Hãy nêu công thức nghiệm của phương trình sinf(x)=sing(x)
Ap dụng: Giải phương trình:
( )
1
sin 2
2
x + =
www.vntoanhoc.com
9
CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
III/. Nội dung bài mới
1. Đặt vấn đề:
2. Triển khai bài:
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ
Hoạt động 3: (XD công thức nghiệm của
phương trình cosx = a)
Gv: Hãy cho biết với giá trị nào của a thì
phương trình cosx = a VN, có nghiệm?. Vì sao?
Gv hướng dẫn học sinh tìm nghiệm của phương
trình cosx = a trên đường tròn lượng giác.

Gv?: Số đo của các cung lượng giác nào có
cosin bằng a?.
Gv: Nếu gọi
α
là số đo của một cung lượng
giác AM thì số đo của cung AM và AM’ bằng
bao nhiêu?. Vì sao?.
Gv: Vậy, công thức nghiệm của PT?.
Gv:
cos cos ?x x
α
= ⇔ =
. Vì sao?.
Gv: Hãy nêu CT nghiệm của PT có dạng tổng
quát: cosf(x) = cosg(x)?.
Gv:
0
cos cos ?.x x
β
= ⇔ =
Vì sao?.
Gv giới thiệu cách viết arccos.
Gv: Hãy tìm nghiệm của các phương trình sau:
cosx=1; cosx = -1; cosx = 0.
Gv: Giải phương trình:
a)
cos cos
6
x
π

=
b)
2
cos3
2
x = −
. Chú ý:
2 3
cos
2 4
π
− =
c)
1
cos
3
x =
. Chú ý:
1
3
không phải là giá trị đặc
biệt
d)
0
2
cos( 60 )
2
x + =
. Chú ý đơn vị đo
2. Phương trình cosx = a

•
1:a >
PTVN.
•
1:a ≤
PT có nghiệm:
Gọi
α
là số đo của một cung lượng giác AM, ta
có:
sđ
¼
AM 2 ,k k Z
α π
= + ∈
sđ
¼
' 2 ,AM k k Z
α π
= − + ∈
Vậy, nghiệm của phương trình cosx = a là:
2
,
2
x k
k Z
x k
α π
α π
= +


∈

= − +

Chú ý:
a)
cos cos 2 ,x x k k Z
α α π
= ⇔ = ± + ∈
Tổng quát:
cos ( ) cos ( ) ( ) ( ) 2f x g x f x g x k
π
= ⇔ = ± +
b)
0 0 0
cos cos 360 ,x x k k Z
β β
= ⇔ = ± + ∈
c)
0
arccos 2 ,
cos
x a k k Z
a
α π
π
α
≤ ≤


⇔ = ± + ∈

=

d) Các trường hợp đặc biệt:
•
cos 1 2 ,x x k k Z
π
= ⇔ = ∈
•
cos 1 2 ,x x k k Z
π π
= − ⇔ = + ∈
•
cos 0 ,
2
x x k k Z
π
π
= ⇔ = + ∈
Ví dụ: Giải phương trình
a)
2 ,
6
x k k Z
π
π
= ± + ∈
b)
2 3

cos3 cos3 cos
2 4
x x
π
= − ⇔ =
2
,
4 3
x k k Z
π π
⇔ = ± + ∈
c)
1 1
cos arccos 2 ,
3 3
x x k k Z
π
= ⇔ = ± + ∈
d)
0 0 0
2
cos( 60 ) cos( 60 ) cos45
2
x x+ = ⇔ + =
www.vntoanhoc.com
10
-
α
α
A'

B'
B
A
y
x
a
H
O
M'
M
CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
0 0
0 0
15 360
105 360
x k
k Z
x k

= − +
⇔ ∈

= − +

IV/. Củng cố: Qua bài học các em cần nắm:
• Công thức nghiệm của phương tình cosx = a.
• Cách viết các công thức nghiệm đó. Chú ý đơn vị đo là rađian hay độ.
• Ap dụng: Giải các phương trình sau:
( )
0

1 2 3
/ cos ; / cos ; / cos 30
2 3 2
a x b x c x= − = + =
V/. Dặn dò:
• Nắm vững các loại công thức nghiệm của phương trình cosx = a.
• Tham khảo trước các phần còn lại.
• Bài tập về nhà: 3 trang 28 Sgk.

TIẾT 8 Ngày dạy:
I/. Ổn định lớp: Sỉ số.......Vắng:.......
II/. Kiểm tra bài cũ: Hãy nêu công thức nghiệm của phương trình cosf(x)=cosg(x)
Ap dụng: Giải phương trình:
0
cos3 cos12x =
III/. Nội dung bài mới
1. Đặt vấn đề:
2. Triển khai bài:
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ
Hoạt động 3: (XD công thức nghiệm của
phương trình tanx = a)
Gv cho học sinh lên bảng vẽ lại đồ thị của hàm
số y = tanx trên R
Gv: Căn cứ vào đồ thị, em có nhận xét gì về đồ
thị của hàm số y =tanx và đường thẳng y=a?.
(Chú ý hoành độ giao điểm của chúng)
Gv: Gọi x
1
là hoành độ giao điểm, với
1

2 2
x
π π
− < <
ta đặt x
1
= arctana. Từ đó suy ra
nghiệm của phương trình tanx = a?. Có giải
thích.
Chú ý: arctana: cung có tan bằng a.
Gv: Nghiệm của PT
tan tan ?.x
α
=
Gv: Tổng quát: tanf(x) = tang(x)?;
Gv:
0
tan tan ?x x
β
= ⇔ =
Gv: Giải các PT có dạng đặc biệt sau:
a/.
tan 1; / tan 1; /.tan 0x b x c x= = − =
3. Phương trình tanx = a.
ĐK:
,
2
x k k Z
π
π

≠ + ∈
Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = a và
đồ thị hàm số y = tanx là nghiệm của phương
trình tanx = a. Gọi x
1
là hoành độ giao điểm, với
1
2 2
x
π π
− < <
ta đặt x
1
=arctana. Vậy, nghiệm của
phương trình tanx = a là:
arctan ,x a k k Z
π
= + ∈
.
Chú ý:
a)
tan tan ,x x k k Z
α α π
= ⇔ = + ∈
.
Tổng quát:
tan ( ) tan ( ) ( ) ( )f x g x f x g x k
π
= ⇔ = +
b)

0 0 0
tan tan 180 ,x x k k Z
β β
= ⇔ = + ∈
c) Các trường hợp đặc biệt:
•
tan 1 ,
4
x x k k Z
π
π
= ⇔ = + ∈
www.vntoanhoc.com
11
-3
π
/2
3
π
/2
x
y
x1-2
π
x1-
π
x1+
π
x1
-

π
/2
π
π
/2
O
a
CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
gv: Giải các phương trình sau:
0
1
/.tan tan ; / tan 2 ; / tan(3 15 ) 3
5 3
a x b x c x
π
= = − + =
Học sinh lên bảng thực hiện
•
tan 1 ,
4
x x k k Z
π
π
= − ⇔ = − + ∈
•
tan 0 ,x x k k Z
π
= ⇔ = ∈
Ví dụ:
a)

tan tan ,
5 5
x x k k Z
π π
π
= ⇔ = + ∈
b)
1 1 1
tan 2 arctan ,
3 2 3 2
x x k k Z
π
 
= − ⇔ = − + ∈
 ÷
 
c)
0 0 0
tan(3 15 ) 3 tan(3 15 ) tan 60x x+ = ⇔ + =
0 0 0 0 0
3 15 60 180 15 60 ,x k x k k Z⇔ + = + ⇔ = + ∈
IV/. Củng cố: Qua bài học các em cần nắm:
• Công thức nghiệm của phương trình tanx = a và cách viết công thức nghiệm ứng với đơn vị
đo khác nhau.
• Trong cùng một công thức nghiệm không được sử dụng đồng thời hai đơn vị đo.
• Ap dụng: Giải phương trình: tan2x + tanx = 0
Hướng dẫn:
tan 2 tan 0 tan 2 tan tan 2 tan( ) 2
3
x x x x x x x x k x k

π
π
+ = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − + ⇔ =
V/. Dặn dò:
• Nắm vững công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản đã học.
• Bài tập về nhà: Bài 5a, bài 6 trang 29 Sgk.

TIẾT 9 Ngày dạy:
I/. Ổn định lớp: Sỉ số.......Vắng:.......
II/. Kiểm tra bài cũ: Hãy nêu công thức nghiệm của phương trình
tan tanx
α
=
Ap dụng: Giải phương trình:
( )
0
3
tan 30
3
x + =
III/. Nội dung bài mới
1. Đặt vấn đề:
2. Triển khai bài:
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ
Hoạt động 4: (XD công thức nghiệm của
phương trình cotx = a)
Gv: Căn cứ vào hình 17, hãy cho biết đường
thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = cotx tại các
điểm có hoành độ như thế nào?. Vì sao?.
Gv vẽ hình minh hoạ.

Gv: Hoành độ của mỗi giao điểm có phải là
nghiệm của phương trình không?.
Gv: Đặt x
1
= arccota thì công thức nghiệm của
phương trình cotx = a là gì?
4. Phương trình cotx = a
Đk:
,x k k Z
π
≠ ∈
.
Căn cứ vào đồ thị của hàm số y = cotx, ta thấy
với mỗi số a, đường thẳng y = a cắt đồ thị y =
cotx tại các điểm có hoành độ sai khác nhau
một bội của
π
.
Gọi x
1
là hoành độ giao điểm thoả
1
0 x
π
< <
.
Đặt x
1
= arccota. Khi đó, nghiệm của phương
trình cotx = a là:

cot ,x arc a k k Z
π
= + ∈
.
Chú ý:
www.vntoanhoc.com
12
-3
π
/2
-
π
2
π
π
3
π
/2
-
π
2
π
/2
x1-2
π
x1-
π
x1+
π
a

x1
O
x
y