Bat Dang Thuc Trong De Thi Dai Hoc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (223.7 KB, 20 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

tài liệu tham khảo

bất đẳng thức đại số
I.Kiến thức cơn bn:

1.Các bất dẳng thức thông dụng:
a) A:A20 , A2

=0A=0 .

b)Cho a>0 , ta cã: |A|≤ a⇔− a ≤ A ≤ a .

|A|≥ a⇔
A ≤ − a

A ≥a

¿
¿
¿
¿
¿

c) ∀a , b:|a||b||a+b||a|+|b| .
2.Đẳng thức liên quan:

c a2

b c2+

a b¿2+¿
¿

a2+b2+c2−ab−bc−ca=1
2¿

b) a3

+b3+c3−3 abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca) .
II.C¸c vÝ dơ :

VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng ∀a , b ≥0 , ta cã : a+b ≥2√ab .
Vµ a+b=2√ab⇔a=b .

(Bất đẳng thức Cô-Si).
Chứng minh:

Ta cã √a −√b¿2≥0

a+b −2√ab=¿ . Suy ra a+b −2√ab≥0 .
VËy a+b ≥2√ab .

Vµ √a −√b¿2=0⇔√a −√b=0⇔a=b

a+b=2√ab⇔a+b −2√ab=0⇔¿ .

VÝ dô 2: Chøng minh r»ng ∀a , b , c ≥0 , ta cã :

x+y¿2≤4⇔−2≤ x+y ≤2

x+y¿4≥0⇔0≤¿

x+y¿2−¿

⇒4¿

.
Vµ a+b+c=3√3abc⇔a=b=c .

(Bất đẳng thức Cô-Si).
Chứng minh:

Ta cã a+b+c −3√3abc=1
2(

√a+√3 b+√3c)

[

(√3a −3

√b)2+(√3b−3

√c)2+(√3c −3

√a)2

]

≥0 .
Suy ra a+b+c −3√3abc≥0 .

VËy

x+y¿2≤4⇔−2≤ x+y ≤2

x+y¿4≥0⇔0≤¿

x+y¿2−¿

⇒4¿

.
Vµ a+b+c=3√3abc⇔a=b=c .
VÝ dô 3: Chøng minh r»ng : ac+bd¿

,∀a , b , c , d

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

(Bất đẳng thức Bunhiacôxki ).
Chứng minh:

Ta cã

ad−bc¿2≥0

ac+bd¿2=a2d2+b2c2−2 acbd=¿
(a2+b2)(c2+d2)−¿

.
Suy ra ac+bd¿

≥0

(a2+b2)(c2+d2)−¿ .
VËy ac+bd

(a2+b2)(c2+d2) . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi ad=bc .
VÝ dô 4: Chøng minh r»ng :

x1x2+y1y2+z1z2¿2

(x12+y12+z12)(x22+y22+z22)≥¿

, ∀x1, x2, y1, y2, z1, z2 .
DÊu “=” xảy ra khi nào ?

(Bất đẳng thức Bunhiacôxki ).
Chứng minh:

x1x2+y1y2+z1z2¿2
(x12+y12+z12)(x22+y22+z22)≥¿

⇔x12y22+y12x22+x12z22+z12x22+y12z22+z12y22≥2x1x2y1 y2+2x1x2z1z2+2y1y2z1z2 : luôn đúng.

VÝ dụ 5: Cho a, b, c là các số thùc. Chøng minh r»ng :
a) a

2
+b2
2 ≥

(

a+b
2

)

≥ab .
b) a

3
+b3
2 ≥

(

a+b
2

)

,víi a+b ≥0 .

c) a

+b2+c2

3 ≥

(

a+b+c

)

≥ab+bc+ca

3 .

d) a
3

+b3+c3

3 ≥

(

a+b+c

)

abc .
DÊu “=” xÈy ra khi nµo ?

VÝ dơ 6: Cho a2

+b2=1 . Chøng minh r»ng : −√2≤a+b ≤√2 .
Chøng minh:

Ta cã a+b¿2≤2(a2+b2)=2

¿ . Suy ra

a+b¿2≤2

¿ ⇔|a+b|≤√2 .
VËy −√2≤a+b ≤√2 .

VÝ dô 7:Chøng minh r»ng ∀a , b ta cã : a2

+b2±ab≥0 .
DÊu “=” x¶y ra khi nµo ?

Chøng minh:

Ta cã a2+b2±ab=a2±ab+1
4b

2
+3

4b
2

(

a ±1
2b

)

2
+3

4b
2

≥0 .

Suy ra a2

+b2ab0 . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi

a 1

2b=0

b=0

a=b=0
{

III.Các bài tập:

Bài 1. Cho x, y, z là các số thực dơng. Chứng minh rằng :
a) 1

x+

y ≥

x+y .
b) 1

x+

y+

z≥

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bµi 2.Cho a+b=2 . Chøng minh r»ng : a4+b4≥2 .

Bµi 3. Cho a , b>0 . Chøng minh r»ng: a

√b+
b

√a≥√a+√b .

Bµi 4.Chøng minh r»ng víi 3 số dơng a, b, c bất kì, ta luôn cã 
a

a2+ab+b2+

b3

b2+bc+c2+

c3

c2+ca+a2≥

a+b+c

3 .

(Híng dÉn: Ta cã a
3

a2+ab+b2≥
2a −b

3 ).
Bµi 5. Cho x, y, z tháa m·n ®iỊu kiƯn x2

+y2+z2=1 . Chøng minh r»ng :

−1

2≤xy+yz+zx≤1 .

Bµi 6. Cho 3 sè a, b, c bÊt k×, chøng minh r»ng : 
a) ab+bc+ca¿2≥3 acb(a+b+c)

¿ .

b) a2b2  c2d2  (a c )2(b d )2 .
Híng dÉn:

2 2 2 2 ( )2 ( )2 2 2. 2 2

a b  c d  a c  b d  a b c d ac bd

,
DÊu “=” xÈy ra khi ad bc 0.

c)a3b3c36abc(a b c ab bc ca  )(   );
d) (a b c  )39abc4(a b c ab bc ca  )(   ).
Bµi 7.Cho a, b,c > 0. Chøng minh r»ng :

√

a2

+ab+b2+

√

b2+bc+c2+

√

c2+ca+a2≥√3(a+b+c) .
(Híng dÉn: Ta cã

√

a2+ab+b2≥√3

2 (a+b) ).
Bµi 8.a)Cho ab≥1 . Chøng minh r»ng : 1

1+a2+
1
1+b2≥

2
1+ab .
b)Cho a , b , c ≥1 . Chøng minh r»ng : 1

1+a3+
1
1+b3+

1
1+c3≥

3
1+abc .
H

ớng dẫn :
a)

b a2(ab1)

1

1+a2+
1
1+b2

2
1+ab

b)áp dụng câu a) cho biĨu thøc 1
1+a3+

1
1+b3+

1
1+c3+

1
1+abc.
áp dụng bất đẳng thức Cơ si :

Bài 9.Cho a, b, c là các số thực d¬ng tháa m·n 1

a+

c=

b . Chøng minh r»ng

A=(3− x)(4− y)(2x+3y) . DÊu “=” xÈy ra khi nµo?
H

íng dÉn :
Ta cã 1

a+

c=

b . Suy ra b=

2 ac

a+c .
Vµ a+b

2a − b+
c+b
2c − b=

a+3c
2a +

3a+c
2c =1+

3
2(

c
a+

a

c)≥4 . DÊu “=” xÈy ra khi a=b=c.

Bµi 10.Cho x, y, z là các số thực dơng thỏa mÃn xyz=1. Chøng minh r»ng

(

1+x

)

(

1+y
2

)

(

1+z
2

)

≥3 vµ

(

1+x
2

)

(

1+y
2

)

3
+

(

1+z

)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bµi 11.Cho x, y, z thuộc đoạn [0; 1] . Chứng minh rằng :
x

1+x2+

y

1+y2+

z

1+z2≤
3
2≤

1
1+x+

1
1+y+

1
1+z .
H

íng dÉn :
Ta cã x

1+x2≤
1
2 .
vµ 1

1+x+
1
1+y+

1
1+z≥

9
3+x+y+z≥

3
2 .

Bài 12.Cho 3 số dơng a , b , c . Chøng minh r»ng :
t −1¿

(t2+2t+3)≥0

t4−4t+3≥0⇔¿ .
H

íng dÉn :

Ta cã a2+bc≥2a√bc=2 abc

√bc . Suy ra
1

a2+bc≤

√bc

2 abc≤

b+c
4 abc .
Bµi 13. Cho a , b , c ≥0 vµ 1

1+a+
1
1+b+

1+c≥2 . Chøng minh r»ng : abc≤
1
8 .
H

íng dÉn :
1

1+a+
1
1+b+

1+c≥2 ⇒
1
1+a≥

b

1+b+

c

1+c≥2

√

(1+b)(1+c)

Suy ra 1

(1+a)(1+b)(1+c)≥

8 abc

(1+a)(1+b)(1+c) .

Bµi 14. Cho a , b , c tháa m·n ®iỊu kiƯn a+b+c=1 . Chøng minh r»ng :

(

1+1

a

)(

b

)(

c

)

≥64 .

íng dÉn :
1+1

a=
a+1

a =

a+b+a+c

a ≥

2√ab+2√ac

a ≥

√

a2bc

a .

Bµi 15.Cho a , b ≥1 . Chøng minh r»ng : a√b −1+b√a −1≤ab .
H

íng dÉn :

a√b −1+b√a −1≤ab ⇔√a −1

a +√
b −1

b ≤1

mµ √a −1

a ≤

a −1+1
2a =

1
2 .

Bµi 16. Cho a , b , c>0 . Chøng minh r»ng :
1

2a+b+c+
1
2b+c+a+

1
2c+a+b≤

1
4

(

a+

b+

c

)

íng dÉn : ¸p dơng 1

x+

y ≥

x+y (x, y >0 ).
Bµi 17. Cho a , b , c>0 . Chøng minh r»ng :
1

a+b+
1

b+c+
1

c+a≤
1
2

(

a+

b+

c

)

íng dÉn : ¸p dơng 1

x+

y ≥

x+y (x, y >0 ).
Bµi 18. Cho a , b , c>0 . Chøng minh r»ng :
a) a

b+c+

b
c+a+

c
a+b≥

3
2 ;
b) a

b+c+

b2
c+a+

c2
a+b≥

a+b+c

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

c) 2

a b c d

b c c d   d a a b    . 
d) a

b+c+

b
c+a+

c
a+b

+b+c

a +
c+a

b +
a+b

c ≥

15
2 .
H

íng dÉn :
a) a

b+c+

b
c+a+

c
a+b≥

2 ⇔(a+b+c)(
1

b+c+
1

c+a+
1

a+b)≥
9
2 .

⇔(2a+2b+2c)( 1

b+c+
1

c+a+

a+b)≥9 : luôn đúng.
b) a2

b+c+

b2

c+a+

c2

a+b≥

a+b+c

2 ⇔(a+b+c)(

a
b+c+

b
c+a+

c
a+b)≥

2(a+b+c) .
c)

√

a

b+c=

a

√

a(b+c)≥

2a
a+b+c .

Bµi 19. Cho a , b>0 vµ a+b=1 . Chøng minh r»ng :

a) 1
ab+

a2+b2≥6 ; b)
2
ab+

a2+b2≥14 .
H

íng dÉn :
a) 1

ab+
1

a2+b26 a
2

+b2+ab6 ab(a2+b2)12a2b27 ab+10 .
Đặt t=ab , với t ≤1

4 . Suy ra f(t)=12t
2

−7t+1≥0 : ln đúng.

Bµi 20.(ĐH2011A)Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] vµ x ≥ y , x ≥ z .
T×m giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= x

2x+3y+

y
y+z+

z
z+x .
H

íng dÉn :

P= 1
2+3y

x

+ 1
1+z

y

+ 1
1+x

z
≥ 1

2+3y

x

+ 2

√

x

y

.
(áp dụng bất đẳng thức : 1

1+a+
1
1+b≥

1+√ab ( ab≥1 ). DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ
khi a=b hc ab=1 ).

DÊu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x=y hoặc x=z (1).

Đặt

x

y=t , với t[1;2] . Ta cã P≥
t2

2t2+3+
2
1+t .
XÐt hµm sè f(t)= t

2t2+3+
2

1+t , víi t∈[1;2] . Ta cã f '(t)<0 .
Suy ra f(t)≥ f(2)=34

33 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi t=2⇔

x

y=4⇔x=4, y=1 (2).

Suy ra P≥34

33 . Tõ (1) vµ (2) suy ra dÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi :

x=4, y=1, z=4 .
VËy minP=34

33 , khi : x=4, y=1, z=4 .

Bài 21.(ĐH2011B)Cho a và b là các số thùc d¬ng tháa m·n

2(a2+b2)+ab=(a+b)(ab+2) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=4

(

a

b3+
b3

a3

)

−9

(

a2

b2+
b2

a2

)

ớng dẫn :
Đặt t=a

b+
b

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Với 2(a2+b2)+ab=(a+b)(ab+2)2

(

a

b+
b
a

)

+1=

(

b+

a

)

(ab+2)

2

(

a

b+
b
a

)

+1=

(

b+

a

)

(ab+2) 2

(

a
b+

b

a

)

+1=a+b+

a+

b22(

a
b+

b
a)
x+y2

x+y42

A=
.

Bài 22.(ĐH2009D)Cho các số thực không âm x, y tháa m·n x+y=1 . T×m giá trị
nhỏ nhất của biểu thức S=(4x2+3y)(4y2+3x)+25 xy .

Bài 23.(ĐH2009B)Cho các số thực x, y thay đổi thỏa món x+y3+4 xy2

.Tìm giá
trị nhỏ nhất của biĨu thøc A=3(x4+y4+x2y2)−2(x2+y2)+1 .

íng dÉn :

x2

+y2¿2−2(x2+y2)+1

A ≥9

4¿

. DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x2
=y2 .

Đặt t=x2+y2 , với

x+y220x+y 1

x+y3+

x+y3+4 xy2

Suy ra

x+y¿2
¿
¿

x2

+y2≥¿

. DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=1
2 .
Suy ra t ≥1

2 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=
1
2 .
Vµ A ≥

9
4t

−2t+1

. XÐt hµm sè 4 2 1

9
)

( 2




 t t

t
f

, ta cã f '(t)=
9

2t −2>0 .
Suy ra f(t)≥ f(1

2)=
9

16 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi t=
1

2⇔x=y=
1
2 .
Suy ra A ≥ 9

16 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=
1
2 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 9

16 ; khi x=y=
1
2 .

Bài 24.(ĐH2009A)Chứng minh rằng víi mäi sè thùc d¬ng x, y, z tháa m·n

x(x+y+z)=3 yz , ta cã

y+z¿3

x+z¿3+3(x+y)(x+z)(y+z)≤5¿

x+y¿3+¿
¿

.
H

íng dÉn :
Ta cã

y+z¿2

x+z¿2−(x+y)(x+z)=¿

x+y¿2+¿

x(x+y+z)=3 yz⇔(x+y)(x+z)=4 yz⇔¿
.

Suy ra

y+z¿3

y+z¿2.(y+z)=3¿

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

vµ

y+z3

y+z22

x+z3=(2x+y+z)

x+y3+

(vì 2x+y+z 2(y+z) ).

Bài 25.(ĐH2005D)Cho các số dơng x, y, z tháa m·n xyz=1. Chøng minh r»ng

√

1+x3+y3

xy +

√

1+y3+z3

yz +

√

1+z3+x3

zx 33 .

Bài 26.(ĐH2005A)Cho x, y, z là các số d¬ng tháa m·n 1

x+

y+

z=4 . Chøng minh

r»ng 1
2x+y+z+

x+2y+z+
1

x+y+2z≤1 .
H

íng dÉn :
Ta cã 1

2x+y+z≤
1
4

(

x+y+
1

x+z

)

≤
1
16

(

x+

y+

z

)

. DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi

x=y=z .

T¬ng tù ta cã : 1

x+2y+z≤
1
16

(

x+

y+

z

)

x+y+2z≤
1
16

(

x+

y+

z

)

Suy ra 1
2x+y+z+

x+2y+z+
1

x+y+2z≤
1
4

(

x+

y+

z

)

=1 .

Bài 27.(ĐH2006A)Cho hai số thực x ≠0, y ≠0 thay đổi thỏa mãn điều kiện
(x+y)xy=x2+y2−xy . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A= 1

x3+

y3 .

íng dÉn :

Ta cã (x+y)xy=x2+y2−xy⇔1

x+

y=

(

x+

y

)

− 3

xy ⇔

(

x+

y

)

−

(

1
x+

y

)

3
xy ≤

3
4

(

x+

y

)

DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y .
Suy ra

(

x+

y

)

−4

(

x+

y

)

≤0⇒

x+

y≤4 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=

1
2 .
Vµ A=

(

x+

y

)

[

(

x+

y

)

− 3

]

(

x+

y

)

≤64 . DÊu “=” xÈy ra khi và chỉ khi

x=y=1
2 .

Vậy giá trị lớn nhất cña A b»ng 64; khi x=y=1
2 .

Bài 28.Cho a là số cố định, còn x, y là các số thay đổi. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức 2x

+ay+5¿2

x −2y+1¿2+¿

A=¿

.
H

íng dÉn :

minA=0⇔

x −2y+1=0
2x+ay+5=0

¿{

cã nghiÖm ⇔a≠ −4 .

b)Với a=−4 . Khi ú

2x 4y+52

x 2y+12+

A=

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Đặt t=x −2y+1 . Ta cã 2t+3¿
2

=5t2+12t+9=5

(

t+6
5

)

+9
5≥

9
5

A=t2+¿

.
Suy ra A ≥9

5 .DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi t=−
6
5 .
Suy ra minA=9

5 khi t=−
6
5 .

Vậy nếu a 4 thì giá trị nhá nhÊt cña A b»ng 0,
và nếu a=4 thì giá trị nhỏ nhất của A bằng 9

5 .

Bài tơng tự: Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n x+2≤2y . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức H=5x2+20y220 xy+22x 44y+26 .

Bài 29. Cho các số thực x, y thỏa mÃn x2

+y2=1+xy . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất của biểu thức T=x4+y4− x2 y2 .

íng dÉn :
Ta cã x2

+y2=1+xy≥2 xy vµ x2+y2=1+xy≥−2 xy . Suy ra 13xy1 .

và 1

+xy23x2y2=2x2y2+2 xy+1

x2

+y223x2y2=

T=

.
Đặt t=xy . Suy ra maxT=3

2 ; minT=
1
9 .

Bµi 30.Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n 0≤ x 3 , 0 y 4 . Tìm giá trị lín nhÊt cđa
biĨu thøc A=(3− x)(4− y)(2x+3y) .

íng dÉn :

Ta cã A=1

6(6−2x)(12−3y)(2x+3y)≤
1
6

(

6−2x+12−3y+2x+3y

)

=36 .
DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi 6-2x=12-3y=2x+3y hay x=0, y=2.
Vậy maxA=36; khi x=0, y=2.

Bài 31.Cho các số thực x, y, z tháa m·n x ≥3 , y 4 , z 2 . Tìm giá trị lớn nhÊt
cđa biĨu thøc F=√x −3

x +

√y −4

y +

√z −2

z .

íng dÉn :

Ta cã: √x −3=

√

(x −3).3

3 ≤

x −3+3
2√3 =

x

2√3⇔

√x −3

x ≤

2√3 . DÊu “=” xẩy ra khi và chỉ
khi x-3=3 hay x=6.

Tơng tự √y −4

y ≤

4 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi y=8.

√z −2

z ≤

2√2 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chỉ khi z=4.

Bài 32.Cho các số thực x, y, z thỏa mÃn xy+yz+zx=4 . Tìm giá trị nhỏ nhất cđa

biĨu thøc F=x4+y4+z4 .
H

íng dÉn :
Ta cã x2

+y2+z2≥xy+yz+zx=4 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z= ±2 .
x2+y2+z2¿2

¿
¿

F=x4+y4+z4≥¿
.

Bµi 33.Cho x, y, z > 0 và x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhÊt cña P= x

x+1+

y

y+1+

z
z+1 .
H

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Ta cã P=3−( 1

x+1+
1

y+1+
1

z+1) .
Mµ (x+y+z+3)( 1

x+1+
1

y+1+
1

z+1)≥9 ⇔(
1

x+1+
1

y+1+

z+1)≥
9
4 .
DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z= 1

3 .
Suy ra P≤3

4 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chỉ khi x=y=z=
1
3 .

Bài 34.Cho các số thực dơng a, b, c thỏa mÃn abc=1. Tìm giá trị nhỏ nhất cđa biĨu 
thøc P=bc

a2b

+a2c+
ac

b2a
+b2c+

c2a

+c2b .

íng dÉn : Đặt x=1

a , y=

b , z=

c . Ta cã xyz=1 vµ
P= x

y+z+

y2
z+x+

z2
x+y≥

x+y+z

2 ≥

2 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z=1.
Bµi 35.(HSG TØnh NA 2007)

a)Chøng minh r»ng :

(

sinx

x

)

>cosx ,∀x∈

(

0;π
2

)

b)Cho hai sè thùc x, y tháa m·n a=x+y , b=y+z ,c=z+x . Tìm giá trị nhỏ nhất , giá
trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc P=x3+2y2+3x2+4 xy−5x .

Bµi 36.(HSG TØnh NA 2006)Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n 0<x ≤ y<π . Chøng
minh r»ng (x3−6x)siny ≤(y3−6y)sinx .

Bµi 37.(HSG TØnh NA 2000)Cho hai sè thùc x, y tháa m·n x>0, y>0, x+y=1 vµ m
lµ sè dơng cho trớc. Tìm giá trị lớn nhất của tổng S= 1

x2+y2+

m

xy .

Bài 38.(HSG Tỉnh NA 2008)Cho các số thực dơng a, b, c . Tìm giá trị lớn nhÊt cđa 
biĨu thøc P= √bc

a+3√bc+

√ca

b+3√ca+

√ab

c+3√ab .
H

ớng dẫn :

Ta có 3P=3( a

a+3bc+

b
b+3ca+

c

c+3ab) .
Đặt Q= a

a+3√bc+

b
b+3√ca+

c

c+3√ab . Ta cã

√a+√b+√c¿2
( a

a+3√bc+

b
b+3√ca+

c

c+3√ab)(a+3√bc+b+3√ca+c+3√ab)≥¿

√a+√b+√c¿2
¿

√a+√b+√c¿2+√ab+√bc+√ca
¿

¿
¿

⇔Q ≥¿

. DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi a=b=c .

Suy ra P≤3

4 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi a=b=c .
Vậy giá trị lớn nhất của P b»ng 3

4 ; khi a=b=c .

Bµi 39.(HSG TØnh NA 2009)Cho các số thực dơng x, y, z . Chøng minh r»ng 
1x+1

y+

z≥

9+x2y2+y2z2+x2z2 .
H

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Ta cã 1

x+

y+

z≥

9+x2 y2+y2z2+x2z2⇔(xy+yz+zx)(9+x
2y2

+y2z2+z2x2)−36 xyz≥0

⇔3(√3xyz)2

[

9+3(√3xyz)4

]

−36 xyz≥0⇔(√3 xyz)4−4√3xyz+3≥0 .
DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z .

Đặt t=3xyz , với t>0. Ta có t −1¿
2

(t2+2t+3)≥0

t4−4t

+3≥0⇔¿ : luôn đúng.
Bài 40.(HSG Tỉnh NA 2010B)

a)Cho x, y là các số thực thỏa mÃn log4(x+2y)+log4(x 2y)=1 . Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P=2x |y| .

b)Cho các số thực dơng a, b, c thỏa m·n a+b+c=1 . Chøng minh r»ng

3
2

ab bc ca

ab c  bc a  ca b  .
H

ớng dẫn:
b)Đặt A=

ab+c +

bc
bc+a+

ca+a . Ta có A
23

(

abab+c+
bc
bc+a+

ca+b

)

. DÊu “=” xÈy
ra khi a=b=c=1

3 . Suy ra A
2

9

4 .
Bài 41.(HSG Tỉnh NA2010A)

a)Cho x, y là các sè thùc tháa m·n log4(x+2y)+log4(x −2y)=1 . Chøng minh r»ng
2x −|y|≥√15 .

b)Cho các số thực a, b, c không ng thi bng 0, tha món a+b+c2=2(a2+b2+c2)

. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thøc P= a
3

+b3+c3

(a+b+c)(ab+bc+ca) .
H

íng dÉn :
b)Ta có

a+b+c2

a+b+c2=2(a2+b2+c2)ab+bc+ca=1
4

. Suy ra
a+b+c3

P=4(a

+b3+c3)

Đặt x= a

a+b+c , y=

b

a+b+c , z=

c

a+b+c . Ta cã
¿

x+y+z=1
xy+yz+zx=1

⇔

¿y+z=1− x
yz=x2− x+1
4
¿{

Vµ y+z¿2≥4 yz⇔3x2−2x ≤0⇔0≤ x ≤23

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Suy ra

1− x¿3−(1− x)

(

x2− x+1
4

)

x3+¿=4x3+4x2−7x+3

P=4(x3+y3+z3)=4¿
.

XÐt hµm sè f(x)=4x3+4x2−7x+3 , víi x∈

[

0;2

]

. Ta cã

f '(x)=12x2+8x −7=0⇔x=1
4 .

Bµi 42.Cho các số thực dơng x, y, z thỏa mÃn x+y+z 3

2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biĨu thøc P=x2+y2+z2+ 2

x+y+z .
H

íng dẫn :

Đặt t=x+y+z . Ta có (x+y+z)(1

x+

y+

z)9 ⇒

x+

y+

z≥

t .Víi t∈¿ .

Suy ra P≥ t+9

t . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z=1.

Bµi 43.Cho các số thực dơng x, y thỏa mÃn 2

x+

y=6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức S=x+y .

Bài 44.Cho các số thực không âm x, y thỏa mÃn x+y=1 .Tìm giá trị nhỏ nhất và

giá trị lớn nhất của biểu thức P= x

y+1+

y
x+1 .
Bài 45.Cho các số thực dơng x, y, z thỏa m·n x2

+y2+z2=1 . Chøng minh r»ng

x
y2+z2+

y
z2+x2+

z
x2+y2≥

3√3

2 .

íng dÉn :
Ta cã x

y2+z2+

y
z2+x2+

z
x2+y2≥

3√3

2 ⇔

x2
x(1− x2)+

y2
y(1− y2)+

z2
z(1− z2)≥

3√3

2 .

XÐt hµm sè f(t)=t(1−t2) , víi t∈(0;1) . Ta cã f(t)≤ 2
3√3 .
Bµi 46.Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng a

n
+bn
2 ≥

(

a+b
2

)

n
.
H

íng dÉn :

XÐt hµm sè c − x¿
n

f(x)=xn+¿ , víi c>0. Ta cã f(x) f(

c

2) .
Đặt a=x , b=c x . Suy ra a+b>0 .

VËy a
n

+bn
2 ≥

(

a+b
2

)

n
.

Bµi 47.(HSG12A-NA:2011-2012)

Cho ba sè thùc x y z, , tháa m·n x y z xyz   v x1,y1,z1. Tìm giá trị nhỏ
nhất cđa biĨu thøc

2 2 2

1 y 1

x z

P

y z x



 

  

.
Híng dÉn:

2 2 2

x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1
P

y z x

        

   2 2 2

1 1 1 1 1 1

x y z x y z

   

       

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Mà

2 2 2

x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1

y z x

        

 





2 2





2 2





2 2

1 1 1 1 1 1

x 1 y 1 z 1

x y y z x z

     

            

 

   



x 1





y 1





z 1



xy yz xz

     

(2).
Tõ (1) v (2) suy ra à

2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

P 2

x y z x y z xy yz zx

 

          

  (3).

Tõu gi¶ thiÕt ta cã

1 1 1

xy  yz zx  (4).

M à

2 2 2

1 1 1 1 1 1

x  y z xy  yz  zx  (5).

1 1 1 1 1 1 1 1 1

3 3

x y z xy yz zx x y z

   

        

   

    (6).

Tõ (3), (4), (5) v (6) suy ra à P 3 1 .
DÊu b»ng xÈy ra khi x y z 3.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P l 3 1 .
Bài 48.(HSG12B-NA:2011-2012)

Cho x,y,z là các số thực dơng thỏa mÃn xyz=1. Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc

2 2 2

1 1 1

P

x y z

  

  

___________________________________________________________________
khai thác một số bất đẳng thức quen thuộc

i.Phơng pháp biến i tng ng:

Bài toán 1: Cho a, b là các sè thùc d¬ng. Chøng minh r»ng: a

√b+
b

√a≥√a+√b .

1.1)Cho a, b là các số thực dơng . Chứng minh r»ng a

√b+
b

√a+

√a+√b≥2 .
H

íng dÉn :
Ta cã a

√b+
b

√a≥√a+√b . Suy ra
a

√b+
b

√a+

√a+√b≥√a+√b+
1

√a+√b≥2 .
1.2)Cho a, b, c là các số thực dơng. Chứng minh rằng

a2

b+c+

b2
c+a+

c2

a+b+

a+b+c≥2 .
H

íng dÉn :

Ta chøng minh a2

b+c+

b2
c+a+

c2
a+b≥

a+b+c

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

a2
b+c+

b2
c+a+

c2
a+b≥

a+b+c
2 ⇔

(

a+

a2

b+c

)

(

b+

b2

c+a

)

(

c+

c2
a+b

)

≥

2(a+b+c)

⇔a

(

a+b+c
b+c

)

+b

(

a+b+c

c+a

)

+c

(

a+b+c

a+b

)

≥
3

2(a+b+c)

⇔ a

b+c+

b
c+a+

c
a+b≥

2 ⇔1+

a
b+c+1+

b
c+a+1+

c
a+b≥

9
2 .
Mµ 1+ a

b+c+1+

b
c+a+1+

c

a+b≥(a+b+c)

(

a+b+
1

b+c+
1

c+a

)

≥
9

2 : ln đúng.
1.3)Cho x, y, z là những số thực dơng . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P= x

√y+√z+

y

√z+√x+

z

√x+√y+

√x+√y+√z .

1.4)Cho c¸c sè thùc d¬ng x, y, z tháa m·n x+y+z 3

2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P=x2+y2+z2+ 2

x+y+z .
H

íng dÉn :

Đặt t=x+y+z . Ta có (x+y+z)(1

x+

y+

z)9

x+

y+

z

t .Với t∈¿ .

Suy ra P≥ t+9

t . DÊu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x=y=z=1.

Bài toán 1.5:

a)Cho a, b, c là các số thực thỏa mÃn a+b+c ≥0 . Chøng minh r»ng

a+b+c3

a3

+b3+c3
.

b)Cho a, b, c là các số thực. Chøng minh r»ng

a+b+c¿2
¿
¿

a2

+b2+c2≥¿
.

1.6)Cho x, y, z là các số thực dơng thỏa mÃn xy+yz+xz=xyz . Chøng minh r»ng

x3

+y3+z3≥81 .
H

íng dÉn :
Ta cã

x+y+z¿3
¿
¿

x3+y3+z3≥¿

. Mµ xy+yz+xz=xyz⇔1

x+

y+

z=1 .

Suy ra (x+y+z)(1

x+

y+

z)≥9⇔x+y+z ≥9 .

VËy x3

+y3+z381 .

1.7)Cho a, b, c là các số thực dơng thỏa mÃn a+b+c=1 . Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa

biĨu thøc P=

(

1
1+a

)

3
+

(

1+b

)

(

1
1+c

)

3
.
H

ớng dẫn :
Đặt x= 1

1+a , y=
1

1+b , z=
1

1+c . Ta cã
1

x+

y+

z=4 . Suy ra x+y+z ≥

9
4 .
DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z=3

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Suy ra P=x3+y3+z3≥81

64 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z=
3

4 hay

a=b=c=1
3 .

Vậy giá trị nhỏ nhất cña P b»ng 81

64 , khi a=b=c=
1
3 .

1.8)Cho a, b, c là các số thực dơng. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
P=

(

a

b+c

)

(

b

c+a

)

(

c

a+b

)

.
Hớng dẫn:

Đặt x= a

b+c , y=

b

c+a , z=

c

a+b . Ta cã

x+

y+

z≥6 . Suy ra x+y+z ≥

3
2 .
Bài toán 1.9: Cho a, b, c là các số thùc d¬ng . Chøng minh r»ng

a
2

b+c+

b2
c+a+

c2
a+b≥

a+b+c

2 .

Híng dÉn:

a2
b+c+

b2
c+a+

c2
a+b≥

a+b+c

2 ⇔(a+b+c)(

a
b+c+

b
c+a+

c
a+b)≥

2(a+b+c) .

⇔ a

b+c+

b
c+a+

c
a+b≥

2 ⇔(a+b+c)(
1

b+c+
1

c+a+
1

a+b)≥
9
2 .

⇔(2a+2b+2c)( 1

b+c+
1

c+a+

a+b)≥9 : luôn đúng.

1.10)Cho a, b, c là các số thực dơng thỏa mÃn ab+bc+ca=1 . Chøng minh r»ng
a2

b+c+

b2

c+a+

c2

a+b≥

√3
2 .
Híng dÉn:

a+b+c¿2≥3(ab+bc+ca)⇒a+b+c ≥√3

¿ .

1.11)Cho x, y, z là các số thực dơng thỏa mÃn x+y+z=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

x+y2

y+z2

z+x2

P=
.

Hớng dẫn:

Đặt a=x+y , b=y+z ,c=z+x . Ta cã a+b+c=2 và

P= a
2

b+c+

b2

c+a+

c2

a+b

a+b+c
2 =1 .

Bài toán 1.12:Cho x, y, z là các số thực dơng thỏa mÃn xyz=1. Chứng minh r»ng

(

1+x
2

)

(

1+y
2

)

(

1+z
2

)

≥3 vµ

(

1+x
2

)

(

1+y
2

)

(

1+z

)

≥3 .
DÊu “=” xÈy ra khi nµo?

1.13)Cho x, y, z là các số thực dơng thỏa mÃn xyz=1 . Chøng minh r»ng
a) (x+y)2+(y+z)2+(z+x)2≥12 .

b) (x+y)3+(y+z)3+(z+x)3≥24 .

1.14)Cho x, y, z là các số thực dơng thỏa mÃn x+y+z=1 . Chøng minh r»ng

x2+y2+z2≥1

3 vµ x
3

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

1.15)Cho x, y, z là các số thực thỏa mÃn x2

+y2+z2=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P=x3+y3+z3 .

1.16)Cho x, y là các số thực thỏa mÃn x2

+y2=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức P=x3+y3 .

Bài toán 1.17: Cho a , b , c>0 . Chøng minh r»ng :
1

a+b+
1

b+c+
1

c+a≤
1
2

(

a+

b+

c

)

íng dÉn : ¸p dơng 1

x+

y ≥

x+y (x, y >0 ).

1.18)Cho a, b, c lµ các số thực dơng thỏa mÃn x 0, y ≠0 . Chøng minh r»ng
1

a+b+
1

b+c+
1

c+a≤
1
2 .

1.19)Cho a, b, c là các số thực dơng thỏa mÃn a+b+c=1 . Chứng minh rằng

a+b+
bc

b+c+
ca

c+a
1
2 .

1.20)Cho a, b, c là các số thực dơng thỏa mÃn a+b+c=1 . Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa
biĨu thøc A=

√

a+b+

√

b+c+

√

c+a .

Híng dÉn:

A=

√

a+b+

√

b+c+

√

c+a≤

a+b
2√a+b+

b+c
2√b+c+

c+a
2√c+a≤

2(√a+b+√b+c+√c+a)

√a+b+√b+c+√c+a¿2≤6(a+b+c)=6⇒

¿ √a+b+√b+c+√c+a ≤√6
Suy ra A ≤√6

2 . DÊu “=” xÈy ra khi a=b=c=
1
3 .

Bài toán 1.21.Chứng minh rằng với 3 số dơng a, b, c bất kì, ta luôn cã 
a

a2+ab+b2+

b3
b2+bc+c2+

c3
c2+ca+a2≥

a+b+c

3 .

(Híng dÉn: Ta cã a
3

a2

+ab+b2≥
2a −b

3 ).

1.22)Cho a, b, c là các số thực dơng thỏa mÃn a+b+c=1 .Chøng minh r»ng

a
3

a2

+ab+b2+

b3

b2

+bc+c2+

c3
c2

+ca+a2
1
3 .

1.23)Cho a, b, c là các số thực dơng tháa m·n abc=1 .Chøng minh r»ng
a

a2

+ab+b2+

b3

b2

+bc+c2+

c3

c2

+ca+a21 .

Bài toán 1.24:Cho a, b,c > 0. Chøng minh r»ng :

√

a2

+ab+b2+

√

b2+bc+c2+

√

c2+ca+a2≥√3(a+b+c) .
(Híng dÉn: Ta cã

a2

+ab+b23

2(a+b) ).

1.25)Cho a, b, c là các số thực d¬ng tháa m·n a+b+c=1 .Chøng minh r»ng :

√

a2

+ab+b2+

√

b2+bc+c2+

√

c2+ca+a2≥√3 .

1.26)Cho a, b, c là các số thực dơng thỏa mÃn abc=1 .Chøng minh r»ng :

a2

+ab+b2+

b2+bc+c2+

c2+ca+a233 .
Bài toán 1.27:Cho a , b , c>0 . Chøng minh r»ng :

a2
b+c+

b2
c+a+

c2
a+b≥

a+b+c

2 .

íng dÉn :
Ta cã a

b+c+

b
c+a+

c
a+b≥

2 ⇔(a+b+c)(
1

b+c+
1

c+a+
1

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

⇔(2a+2b+2c)( 1

b+c+
1

c+a+
1

a+b)≥9 : luôn đúng.
và a2

b+c+

b2

c+a+

c2

a+b

a+b+c

2 (a+b+c)(

a
b+c+

b

c+a+

c
a+b)

2(a+b+c) .

1.28)Cho a, b, c là các số thùc d¬ng tháa m·n a+b+c=1 .Chøng minh r»ng :
a2

b+c+

b2
c+a+

c2
a+b

1
2 .

1.29)Cho a, b, c là các số thực d¬ng tháa m·n x=y=2 .Chøng minh r»ng :

a2
b+c+

b2
c+a+

c2
a+b≥

3
2 .

II.Phơng pháp đa về hàm số một biến:
2.1)Cho x, y là các số thực dơng thỏa mÃn 4

x+

y=5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức H=x+y+ 4

x+y .
H

ớng dẫn :

Đặt t=x+y , víi 4

x+

y=5 .Ta cã : (x+y)(

x+

y)≥25⇒x+y ≥5⇒t 5 .

Và H=t+4

t .

2.2)Cho các số thực x, y, z thỏa mÃn xy+yz+zx=1 . Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu

thøc P=x4+y4+z4+ 4

x4+y4+z4 .
H

ớng dẫn :

Đặt t=x4+y4+z4 , với x2+y2+z2xy+yz+zx=1 . Suy ra

x2+y2+z2¿2
¿
¿

x4+y4+z4≥¿
.

2.3)Cho c¸c sè thùc a, b tháa mÃn a2

+b2=1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của biểu thức P=(a+b)(2ab+a+b) .
H

ớng dẫn :

Ta có

a+b2+(a+b)1

a+b2(a+b)

a+b3+
=

P=(a+b)
.

Đặt t=a+b , víi a2+b2=1 . Suy ra a+b¿
2

≤2(a2+b2)≤2⇔−√2≤ a+b≤√2
¿

hay t∈[−√2;√2] . Vµ P=t3+t2−t , víi t∈[−√2;√2] .

2.4)Cho x, y là các số thực dơng thỏa mÃn x+y=xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thøc P=x3+y3−9 xy .

íng dÉn :

Ta cã

x+y¿2−3 xy

x+y29(x+y)

x+y33
9 xy=

P=(x+y)
.

Đặt t=x+y , với

x+y2

x+y=xy1
4

x+y 4 t 4 .

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

2.5)Cho x, y là các số thực dơng thỏa mÃn 1

x+

y=1 . Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu

thøc P=x2+y2+ 4

x+y .
H

ớng dẫn :

x+y22(x+y)+ 4

x+y

P=

. Đặt t=x+y . Với (x+y)(1

x+

y)4x+y 4 .

2.6)Cho x, y, z là các số thực d¬ng tháa m·n 1

x+

y=

z . Chøng minh r»ng

x
2

+y2

z2 +
z
x+y≥

4 . DÊu “=” xÈy ra khi nµo ?
H

íng dÉn :
x+y¿2

¿
¿

x2+y2

z2 +
z
x+y≥¿

. DÊu “=” xẩy ra khi x=y

Đặt t=x+y

z . Với

x+

y=

z
x+y

z ≥4 hay t ≥4 .DÊu “=” xÈy ra khi x=y=2z .

XÐt hµm sè f(t)=t
2
2+

t , víi t 4 .

2.7)Cho x, y, z là các số thực dơng. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=x2+y2+z2+ 2

x+y+z .
H

íng dÉn :

x+y+z¿2
¿
¿

P ≥¿

. DÊu “=” xẩy ra khi x=y=z .

Đặt t=x+y+z . Ta cã P≥ f(t)=t
2
3+

t víi t>0 .

2.8)Cho x, y, z là các số thực dơng thỏa mÃn xyz=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P=x2+y2+z2+ 2

x+y+z .
H

íng dÉn :

x+y+z¿2
¿
¿

P ≥¿

. DÊu = xẩy ra khi x=y=z .

Đặt t=x+y+z . Ta cã x+y+z ≥3√3xyz=3⇒t ≥3
vµ P≥ f(t)=t

2
3+

t với t 3 .

2.9)Cho x, y là các số thùc d¬ng. Chøng minh r»ng 
4 xy(x2+y2)+x+y ≥6 xy .

íng dÉn :

4 xy(x2+y2)+x+y ≥6 xy ⇔4(x2+y2)+1

x+

y≥6 .
x+y¿2+ 4

x+y
4(x2+y2)+1

x+

y2

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Đặt t=x+y . Xét hàm số f(t)=2t2+4

t , víi t>0 .

2.10)Cho x, y lµ các số thực dơng thỏa mÃn x2

+y2=xy(x+y) . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P=x3+y36 xy .

ớng dẫn :

x+y2

x+y33

P=
.

Đặt t=x+y . Víi x2+y2=xy(x+y) . Ta cã

x+y¿3
¿
¿
xy(x+y)≤¿

vµ

x+y¿2
¿
¿
¿

Suy ra

x+y¿2
¿
¿
¿

x+y¿3
¿
¿
¿

hay x+y ≥2 . Vµ P=t3−3t2 , với t 2 .

2.11)Cho x, y là các số thực dơng thỏa mÃn x2+y2=xy(x+y) . Tìm giá trị nhá nhÊt
cđa biĨu thøc P=x3+y3−9(x+y)−6 xy .

2.12)Cho a, b, c là các số thực dơng thỏa mÃn b+c
2

=a(b+c)(a+b+c)

a2+

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a3+b3+c3+3(bc2a)(b+c)9(a+b+c) .
H

ớng dẫn :

Đặt x=a , y=b+c .

2.13)Cho x, y, z là các số thực thỏa mÃn x2

+y2+z2=1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá
trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc P=xy+yz+zx+ 4

xy+yz+zx+2 .

ớng dẫn :

Đặt t=xy+yz+zx , với x2+y2+z2=1⇒−1

2≤xy+yz+zx≤1 hay t∈

[

−
1
2;1

]

.
Ta cã P=f(t)=t+ 4

t+2 , víi t∈

[

−
1
2;1

]

t+2¿2
¿

t+2¿2
¿
¿
¿

f '(t)=1−4¿
.

f(0)=2, f(−1
2)=

6 , f (1)=
7
3 .
Suy ra Pmax=f(1)=7

3 khi t=1 hay x=y=z=±
1

√3 .

vµ Pmin=f(0)=2 khi t=0 hay xy+yz+zx=0 vµ x2+y2+z2=1 .
2.14)Cho x, y, z là các số thực dơng thỏa mÃn 1

x+

y=

z .Chøng minh r»ng
x+y

z +
z
x+y≥

4 . DÊu “=” xÈy ra khi nào ?
2.15)Cho x, y, z là các số thực dơng thỏa mÃn 1

x+

y=

z . Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

2.16)Cho x, y, z lµ các số thực dơng thỏa mÃn 1

x+

y=

z . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P=

(

x+y

z

)

3
+

(

z

x+y

)

2.17)Cho x, y, z là các số thực dơng thỏa mÃn 1

x+

y=

z . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biĨu thøc P=

(

x+y

z

)

4
+

(

z

x+y

)

2.18)Cho x, y, z lµ các số thực dơng thỏa mÃn 1

x+

y=

z . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P=

x+y

z +

z
x+y .

2.19)Cho x, y là các số thực dơng thỏa mÃn x2

+y2+2=2(x+y)+xy . Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc A=2 xy+√xy− 4

x+y .
Híng dÉn:

Ta cã x+y¿2+4≤2(x2+y2)+4=4(x+y)+2√xy≤5(x+y)
¿

x+y¿2−5(x+y)+4≤0⇔1≤ x+y ≤4

⇒¿ .

vµ x+y¿
2

−2(x+y)+2

2 xy+√xy=¿ . Suy ra

x+y¿2−2(x+y)+2− 4

x+y

A=¿

. Đặt t=x+y , với t∈[1;4] .
Khi đó A=f(t)=t2−2t+2−4

t ,víi t∈[1;4] .
f '(t)=2t −2+4

t2=

2t3−2t2+4

t2 =

2(t+1)(t2−2t+2)

t2 >0 .

Suy ra maxA=f(4)=8 khi x=y=2; vµ minA=f(1)=5 khi x=y=1
2 .
2.20)Cho x, y là các số thực thỏa mÃn x4

+y4=2 xy . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc x+y¿
2

A=xy+3x2y2+2 xy(x2+y2)−¿ .
Híng dÉn:

Ta cã

x+y¿2
¿

x2+y2¿2
¿

x+y¿4
¿
¿
¿
¿
¿

x+y¿2≤4⇔−2≤ x+y ≤2

x+y¿4≥0⇔0≤¿

x+y¿2−¿

⇒4¿

Vµ 2

x+y¿2

x+y¿4−2¿

A=¿

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Khi đó 2A=f(t)=t4−2t2 ,với t∈[−2;2]

f '(t)=4t3−4t=0⇔t=0, t=±1 .

f(0)=0, f(±1)=−1, f(±2)=8 .
Suy ra maxA=4 khi x=y=±1 .

minA=−1

2 khi x=

√

2√7−5

2 , y=

1−

√

2√7−5

2 hc

x=1−

√

2√7−5

2 , y=

√

2√7−5

2 hc x=

−1+

√

2√7−1

2 , y=

−1−

√

2√7−1

2 hc

x=−1−

√

2√7−1

2 , y=

−1+

√

2√7−1

2 .

2.21)Cho c¸c sè thùc x ≠0, y ≠0 thỏa mÃn x4+y4+2=2(x2+y2)+xy . Tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=2x2y2+xy 4

x2+y2 .
Híng dÉn:

Ta cã

x2+y2¿2+2≤ x4+y4+2=2(x2+y2)+xy≤5
2(x

2
+y2)
1

2¿

x2

+y2¿2−5(x2+y2)+4≤0⇔1≤ x2+y2≤4

⇔¿ .

vµ x
2

+y222(x2+y2)+2 4

x2
+y2

A=

. Đặt t=x2+y2 , với t[1;4] .

2.22)Cho x, y là các số thực dơng thỏa mÃn 2(x3+y3)+x3y3=6x2y2 . Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc A=4

(

x+

y

)

3
xy .
Híng dÉn:

Ta cã 2(x3+y3)+x3y3=6x2y2⇔4

(

x3+

y3

)

+2=

12
xy vµ

(

1x+

y

)

+2≤4

(

x3+

y3

)

+2=

12
xy ≤3

(

x+

y

)

2
.

Suy ra

(

x+

y

)

+23

(

x+

y

)

11
x+

y1+3 .

Đặt t=1

x+

y , với t[1;1+3] .Ta có A=4t+t

−t+1− 1

2t+2 = t
2

+3t+1− 1
2t+2 .
XÐt hµm sè f(t) = t2+3t+1− 1

2t+2 ,víi t∈[1;1+√3] .
2t+2¿2

¿
¿

f '(t)=2t+3+2
¿

Suy ra minA=f(1)=19

</div>

Bat Dang Thuc Trong De Thi Dai Hoc

[

]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

<sub>√</sub>

√

√

<sub>√</sub>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

√

(

)(

)(

)

<sub>√</sub>

(

)

(

)

√

√

√

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

√

√

√

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(