don dieu

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (181.46 KB, 11 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BÀI 2. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. y  f (x) đồng biến / (a, b) (x)  0 x(a, b) đồng thời (x)  0 tại
một số hữu hạn điểm  (a, b).

2. y  f (x) nghịch biến / (a, b) (x)  0 x(a, b) đồng thời (x)  0 tại
một số hữu hạn điểm  (a, b).

Chú ý: Trong chương trình phổ thơng, khi sử dụng 1., 2. cho các hàm số một 
quy tắc có thể bỏ điều kiện (x)  0 tại một số hữu hạn điểm  (a, b).

CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
Bài 1. Tìm m để

   

2 6 5 2 1 3

mx m x m

y

x

   



 nghịch biến trên [1, )

Giải: Hàm số nghịch biến trên [1, )   

2
2

2 7 0 1

mx mx

y x

x

 

    









2 2 7 0 2 2 7 1

mx  mx  m x  x   x    2

7 1

u x m x

x x



   



 

Min

x u x m

 

. Ta có:

   

2 2

7 2 2 0 1

( 2 )

x

u x x

x x



    



 u(x) đồng biến trên [1, ) 

   

Min 1

3
x

m u x u





  

Bài 2. Tìm m để    

3 2

1 1 3 4

y x  m x  m x

đồng biến trên (0, 3)

Giải. Hàm số tăng trên (0,3)     





2 2 1 3 0 0, 3

y  x  m x m   x (1)
Do y x  liên tục tại x  0 và x  3 nên (1)  y 0 x[0, 3]

  





2 1 2 3 0, 3

m x x  x  x   





2 2 3

0, 3

2 1

x x

g x m x

x

 

   



0,3  
Max

x g x m

 

. Ta có:
 

 





2
2

2 2 8 0 0, 3

2 1

x x

g x x

x

 

    



 g(x) đồng biến trên [0, 3]   

   

0,3

Max 3

7
x

m g x g



</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài 3. Tìm m để    

3 1 2 3 2 1

3 3

m

y x  m x  m x

đồng biến trên



2,



Giải: Hàm số tăng /



2,



    

2 2 1 3 2 0 2

y mx  m x m   x (1)

  

1 2 2 6 2

m x    x  x


 

 2

2 6 2

1 2

x

g x m x

x

 

   

 

Ta có:

 





2 2

2 6 3 0

( 2 3)

x x

g x

x x

 

  

 

1
2

3 6

x x
x x

   
 

  

 ; xlim g x 0

Từ BBT 

   

Max 2

3
x g x g  m.

Bài 4. y x 3  mx2 



2m2  7m7



x2m1 2  m 3 đồng biến /



2,



Giải: Hàm số tăng trên



2,



 y3x2  2mx



2m2  7m7



  0, x 2

Ta có V7



m2  3m3







3 3

7 0

2 4

m

 

     

  nên y 0 có 2 nghiệm x1 x2

BPT g(x)  0 có sơ đồ miền nghiệm G là:

Ta có y x 0 đúng  x 2 



2, 



G

 





1 2

0 1 5

5
2

2 3 2 3 2 3 5 0 1

2
6

2 3

m

x x y m m m

S m m


 

   


 

               



    



Bài 5. Tìm m để

 

2x 1 m x 1 m
y

x m

   



 đồng biến trên



1,



Giải: Hàm số đồng biến trên



1,



  

2 2

2x 4mx m 2m 1 0 1

y x

x m

   

    





  2 2 4 2 2 1 0 1   0 1

g x x

g x x mx m m x

m
x m

            

 



 


 

 



Cách 1:Phương pháp tam thức bậc 2

Ta có:   2m120 suy ra g(x)  0 có 2 nghiệm x1x2.

BPT g(x)  0 có sơ đồ miền nghiệm G là:

Ta có g(x)  0 đúng x(1, ) 



1, 



G

x

1 x

2

1 x

2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

 





1 2

1
1, 0

1 2 1 2 6 1 0 3 2 2 3 2 2

3 2 2
2 1

m
m

x x g m m m m

S m

 

   





 

               




     



Cách 2:Phương pháp hàm số

Ta có: g(x)  4(x  m)  4(x  1) > 0 x > 1  g(x) đồng biến trên [1, )

Do đó

   

  2

1 6 1 0 3 2 2

Min 0

1 3 2 2 3 2 2

1 1 1

x

g m m m

g x

m
m

m m m





      

 

  

         



  

    

Bài 6. Tìm m để y4m 5 cos x2m 3x m 2  3m1 giảm  x ¡

Giải: Yêu cầu bài toán  y5 4 msinx2m 3 0,  x ¡

  5 4  2 3 0,



1;1



g u m u m u

         . Do đồ thị y g u u  ,  



1;1



là

một đoạn thẳng nên ycbt

 
 

1 6 8 0 4

1 2 2 0

g m

m

g m

    



    

  




Bài 7. Tìm m để hàm số

1 1

sin sin 2 sin 3

4 9

y mx  x x x

tăng với mọi x¡

Giải: Yêu cầu bài toán

1 1

cos cos 2 cos 3 0,

2 3

y m x x x x

       ¡











1 1

cos 2cos 1 4 cos 3cos 0,

2 3

m x x  x x   x ¡

 





3 2

4 1 , 1,1

3 2

m u u g u u

       

, với ucosx 



1,1



Ta có    

2 1

4 2 2 2 1 0 ; 0

2
g u  u  u u u  u u

Lập BBT suy ra yêu cầu bài toán   

   

1,1

Max 1

6
x  g u g   m.

Bài 8. Cho hàm số      

3 2

1 1 2 1 3 2

y m x  m x  m x m

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Giải. Xét y m1x2 2 2 m 1x 3m20. Do   7m2 m 3 0

nên y 0 có 2 nghiệm x1x2. Khoảng nghịch biến của hàm số có độ dài

bằng 4  y  0; x



x x1; 2



;x2  x14  m 1 0 và x2  x1 4. Ta có

2 1 4

x  x  









 
 

 

2 2

2 1 2 1 2 1 2

4 2 1 4 3 2

16 4

1
1

m m

x x x x x x

m
m

 

      




 2  2    

4 m 1 2m 1 3m 2 m 1

      

2 7 61

3 7 1 0

m m m 

     

kết hợp với m 1 0 suy ra

7 61

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

B. ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I. DẠNG 1: ỨNG DỤNG TRONG PT, BPT, HỆ PT, HỆ BPT

Bài 1. Giải phương trình: x5 x3  1 3 x 4 0 .

Giải. Điều kiện: 
1
3
x

. Đặt f x x5 x3 1 3 x 4 0 .

Ta có:

  5 4 3 2 3 0
2 1 3

f x x x

x

    

  f (x) đồng biến trên



1
,

3

 
.

Mặt khác f (1)  0 nên phương trình f (x)  0 có nghiệm duy nhất x 1.

Bài 2. Giải phương trình: x2 15 3 x 2 x2 8
Giải. Bất phương trình   

2 2

3 2 8 15

f x  x  x   x   0 (1).

+ Nếu
2
3
x

thì f (x) < 0  (1) vơ nghiệm.

+ Nếu
2
3
x

thì
 

2 2

1 1 2

3 0

8 15

f x x x

x x

 

      

 

 

 

 f (x) đồng biến trên





2 ,

3  mà f (1)  0 nên (1) có đúng 1 nghiệm x  1

Bài 3. Giải bất phương trình: x 1 35x 747x 5513x 7 8 (*)

Giải. Điều kiện 
5
7
x

. Đặt f x  x 1 35x 7 47x 5513x 7

Ta có:
 

 2  3 5 4

3 4

5 7 13

1 0

2 1 3 5 7 4 7 5 5 (13 7)

f x

x x x x

     

      

 f (x) đồng biến trên



5 ,
7

 

 . Mà f (3)  8 nên (*)  f (x) < f (3)  x < 3.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là

5 3

7 x

Bài 4. Giải PT:

3 2

1 1 1

5 4 3 2 2 5 7 17

2 3 6

x x x x

x x x x x x

         

(*)

Giải. (*)  

 

   

 

3 2

1 1 1

5 4 3 2 2 5 7 17

2 3 6

x x x

x x x x

f x x x x g x

            

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Nghiệm của f (x)  g(x) là hoành độ giao điểm của yf x  và y g x  .
Do f (x) tăng; g(x) giảm và f  1 g 1 13 nên (*) có nghiệm duy nhất x  1.

Bài 5. Tìm số m Max để m



sinx  cosx 1



sin 2x sinx cosx 2 x (*)

Giải. Đặt





2
2

sin cos 0 sin cos 1 sin 2

t x  x   t  x  x   x  1t2 2 
1 t 2, khi đó (*)  m t 1t2  t 1   t 1, 2



  2 1 1, 2
1

t t

f t m t

t   

     

 

 

1, 2

Min

t  f t m. Do

 
 

2
2

2 0

1
t t
f t

t



  



nên f (t) đồng biến / 1, 2 

   

1, 2

Min 1

2
t  f t f 


3
2
m



3
Max

2
m

Bài 6. Giải phương trình 2008sin2x 2008cos2x cos 2x

2 2 2 2

sin cos 2 2 sin 2 cos 2

2008 x  2008 xcos x sin x 2008 x sin x2008 x cos x
(*)

Xét f u 2008u u. Ta có f u 2008 .lnu u 1 0. Suy ra f u  đồng biến.
(*)  f



sin2 x



f



cos2x



 sin2 xcos2 xcos 2x0 4 2 ,

k

x   k

   ¢

Bài 7. Tìm x y, 



0,



thỏa mãn hệ

cotg cotg

3 5 2

x y x y

x y

  




  


Giải. cotg x cotg y x  y x cotg x y cotg y.

Xét hàm số đặc trưng f u  u cotg ,u u



0,



. Ta có
 

1 0

sin
f u

u

   

Suy ra f u  đồng biến trên



0,



. Khi đó

 

 

3 5 2

f x f y

x y

x y

  

  



  


Bài 8. Giải hệ phương trình

3 2

2 1

x y y y

y z z z

z x x x

    



   




   

 (*).

Giải. Xét f t t3 t2 t với t¡  f t 2t2 t12 0  f (t) tăng.

Khơng mất tính tổng qt giả sử x  y  z

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài 9.

Giải hệ bất phương trình

2
3

3 2 1 0

3 1 0

x x

   




  




Giải.

2 1

3 2 1 0 1

3
x  x     x

. Đặt f x x3  3x1. Ta có:

  3 1  1 0

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

II. DẠNG 2: ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Bài 1. Chứng minh rằng:

3 3 5

sin

3! 3! 5!

x x x

x  x x  

x > 0

Giải 

sin
3!
x

x  x

x > 0 
 

sin 0
3!

x

f x   x x

x > 0

Ta có  

1 cos
2!

x

f x    x

 f x  x sinx  f x  1 cosx0 x > 0
 f x đồng biến [0, +)  f x f 0 0 x > 0

 f x  đồng biến [0, +)  f x  f 0 = 0 x > 0

 f x  đồng biến [0, +)  f(x) > f(0) = 0 x > 0  (đpcm)



3 5

sin

3! 5!

x x

x x  

x > 0  g(x) =

5 3

sin 0
5! 3!

x x

   

x > 0

Ta có g(x) =

4 2

1 cos
4! 2!

x x

x

  

 g(x) =

sin
3!

x

x x

 

= f(x) > 0 x > 0
 g(x) đồng biến [0, +)  g(x) > g(0) = 0 x > 0

 g(x) đồng biến [0, +)  g(x) > g (0) = 0 x > 0  (đpcm)

Bài 2. Chứng minh rằng:

sin 0,

2
x

x  x  

  

Giải.

2 sin 2

sinx x f x( ) x
x

   

  x

0,
2



 

 

  . Xét biểu thức đạo hàm

2 2

( )

cos sin

( ) x x x g x

f x

x x



  

, ở đây kí hiệu g(x) = x cosx  sinx

Ta có g(x) = cosx  xsinx  cosx =  xsinx < 0 x
0,



 

 

 

 g(x) giảm trên
0,



 

 

   g(x) < g(0) = 0


 

( )
0
g x
f x

x

  

x
0,



 

 

  f (x) giảm trên 0,2


 

 

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>



 

2
2
f x  f  

 

sin , 0,

2
x

x  x  

  

Bài 3. Chứng minh rằng: 2 ln ln

x y x y

x y

 



 x > y > 0

Giải. Do x > y > 0, lnx > lny  lnx  lny > 0, nên biến đổi bất đẳng thức



ln ln 2 ln 2

1
x

x y x y

x y

x

x y y

y


     
 

1
ln 2
1
t
t
t

 

 với

x
t
y

>1

1

( ) ln 2 0

t
f t t

t



   

 t >1. Ta có

 
 
 
 
2
2 2

1 4 1

1 1

t
f t

t t t t



    

  t >1

 f(t) đồng biến [1, +)  f(t) > f(1) = 0 t >1  (đpcm)

Bài 4. Chứng minh rằng: 
1

ln ln 4

1 1

y x

y x y x

 
 
 
    





, 0,1
x y
x y
 






 (1)

Giải. Xét hai khả năng sau đây:

+ Nếu y > x thì (1) 





ln ln 4

1 1

y x

y x

y x  

   ln1 4 ln1 4

y x

y   x 

 

+ Nếu y < x thì (1) 





ln ln 4

1 1

y x

y x

y x 

   ln1 4 ln1 4

y x

y   x

 

Xét hàm đặc trưng f(t) = ln1 4
t

t
t 

 với t(0, 1).

Ta có

   

1 2 1

4 0

(1 ) (1 )

t
f t

t t t t



    

  t(0,1)  f(t) đồng biến (0, 1)

 f(y) > f(x) nếu y > x và f(y) < f(x) nếu y < x  (đpcm)

Bài 5. Chứng minh rằng: ab ba a > b  e

Giải. ab < ba  lnab < lnba  blna < alnb 

lna lnb
a  b .

Xét hàm đặc trưng f(x) =
lnx

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Ta có 2 2
1 ln 1 ln

( ) x e 0

f x

x x

 

   

 f(x) nghịch biến [e, +)

 f(a) < f(b) 

lna lnb

a  b  ab < ba

Bài 6. (Đề TSĐH khối D, 2007)

Chứng minh rằng



 



1 1

2 2 , 0

2 2

b a

a b

a b a b

     

Giải. Biến đổi bất đẳng thức



2 1

 

2 1



1 4 1 4

2 2 2 2

b a

b a a b

a b

a b a b

     

       

   



1 4a



b



1 4b



a ln 1 4



a



b ln 1 4



b



a ln 1 4



a



ln 1 4



b



a b

 

         

Xét hàm số đặc trưng cho hai vế  





ln 1 4x
f x

x




với x0. Ta có

 













4 ln 4 1 4 ln 1 4 0
1 4

x x x x

x
f x

x

  

  

  f x giảm trên



0, 



f a f b 

Bài 7. (Bất đẳng thức Nesbitt) 
Chứng minh rằng:

3
2

a b c

b c c a a b  a, b, c > 0 (1)

Giải. Khơng mất tính tổng qt, giả sử a  b  c. Đặt x = a  x  b  c > 0.

Ta có (1)  f (x) =

x b c

b c c x x b với x  b  c > 0

  2  2  2  2

1 1

( ) b c b c 0

f x

b c x c x b b c b c b c

       

     

 f(x) đồng biến [b, +) 

2
( ) ( ) b c
f x f b

b c



 

 (2)

Đặt x = b  x  c > 0, xét hàm số g(x) =
2x c

x c



 với x  c > 0

  2

( ) c 0

g x

x c

  

 c > 0  g(x) đồng biến [c, +) 

( ) ( )

2
g x g c 

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Từ (2), (3) suy ra

3
2

a b c

</div>

don dieu

<b>BÀI 2. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ </b>













































































<i>x</i>

1

<i>x</i>

2

1

<i>x</i>

<i>x</i>

<sub>2</sub>





<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>









<sub></sub>

<sub></sub>

















<b>B. ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ</b>









 

   









