MỘT số PHƯƠNG PHÁP tìm GIÁ TRỊ lớn NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của hàm số và ỨNG DỤNG

ĐỀ TÀI
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ
LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA
HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

LỜI CẢM ƠN
Trước hết em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Nguyễn Quốc Tuấn - người đã
trực tiếp trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình để em hồn thành tốt khóa luận của mình.
Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Quảng Bình, tồn thể thầy
cô đặc biệt là các thầy cô giáo khoa Khoa Học Tự Nhiên đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ
em trong 4 năm học vừa qua.
Em xin chân thành cảm ơn sự động viên giúp đỡ của gia đình và bạn bè đã tạo điều
kiện thuận lợi cho em trong suốt q trình thực hiện khóa luận.
Lời cuối em xin chúc sức khỏe tất cả các thầy các cô, chúc thầy cơ ln hồnh
thành tốt các nhiệm vụ được giao.
Quảng Bình, tháng 06 năm 2014


Sinh viên
Dương Thị Lan Hương

MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU..................................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ........................................................................................................... 4
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................................... 5
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................................... 5
4. Phạm vi nghiên cứu ...................................................................................................... 5
5. Đối tượng nghiên cứu ................................................................................................... 5
6. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................... 5
7. Cấu trúc của đề tài ........................................................................................................ 5
B. NỘI DUNG ................................................................................................................. 7

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ ................................................................................................................ 7
1. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ................................................ 7


2. Các tính chất của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ....................................... 8
CHƯƠNG II : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ
NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ........................................................................................ 15
1. Phương pháp dùng đạo hàm ........................................................................................ 15
2. Phương pháp dùng miền giá trị của hàm số ................................................................. 18
3. Phương pháp đưa về dạng bình phương ...................................................................... 21
4. Phương pháp dùng bất đẳng thức Cô -si ...................................................................... 23
5. Phương pháp dùng bất đẳng thức Bunhiacopski .......................................................... 26
6. Phương pháp dùng tam thức bậc hai............................................................................ 29
7. Phương pháp dùng vectơ ............................................................................................. 32
8. Phương pháp dùng lượng giác ..................................................................................... 36
9. Phương pháp dùng tính đối xứng của biến .................................................................. 39
CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA
HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH .............................. 42
I. ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĨ THAM SỐ .................................... 42
II. ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG CĨ THAM SỐ ........................... 46
C. KẾT LUẬN .............................................................................................................. 49
D. HỆ THỐNG BÀI TẬP THAM KHẢO ................................................................... 50
E. TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................ 53


A. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài

Ở trường trung học phổ thơng, mục đích của việc giảng dạy mơn toán là dạy học
sinh kiến thức về toán, cách giải bài tập, rèn luyện kỹ năng giải tốn và hình thành tư duy
logic cho học sinh. Từ đó, yêu cầu đặt ra là giáo viên phải dạy cho học sinh phương pháp
giải các dạng tốn.
Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là một trong những chủ đề quan trọng
và hấp dẫn trong chương trình giảng dạy và học tập mơn tốn ở trường trung học phổ
thơng. Các bài tốn liên quan đến tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số thường
xuyên xuất hiện trong các kì thi. Tuy nhiên trong chương trình sách giáo khoa có rất ít các
bài tập dạng này và do những điều kiện khách quan mà sách giáo khoa khơng hệ thống lại
các phương pháp giải. Do đó việc cần thiết là phải cung cấp cho học sinh các phương
pháp giải dạng tốn: “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất’’. Khi đó sẽ giúp học sinh
lựa chọn được phương pháp thích hợp cho các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ


nhất và từ đó đưa ra các ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải
phương trình, bất phương trình.
Với những lí do trên, tơi xin hệ thống lại một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất thường gặp thông qua việc nghiên cứu đề tài: “ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG
DỤNG”.
2. Mục đích nghiên cứu
Cung cấp cho học sinh nhiều cách giải dạng tốn: “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số” để học sinh giải toán tốt hơn.
Để học sinh thấy được ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải
phương trình, bất phương trình.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống hóa một số phương pháp giải dạng tốn: “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số.
Giới thiệu ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình, bất
phương trình.

4. Phạm vi nghiên cứu
Các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ở trường Trung học phổ thông.
5. Đối tượng nghiên cứu
Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và ứng dụng giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất giải phương trình, bất phương trình.
6. Phương pháp nghiên cứu
Trong q trình nghiên cứu đề tài, tơi đã sử dụng một số phương pháp sau:
Nghiên cứu lý luận: Đọc sách, phân tích, đối chiếu các tài liệu tốn học, lý luận dạy
học mơn tốn, sách giáo khoa.
Thực nghiệm sư phạm.
7. Cấu trúc của khóa luận
Lời cảm ơn
Mục lục
A. Mở đầu


B. Nội dung
Chương 1: Cơ sở lí thuyết về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
1. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2. Tính chất của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Chương 2: Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
1. Phương pháp dùng đạo hàm
2. Phương pháp dùng miền giá trị của hàm số
3. Phương pháp đưa về dạng bình phương
4. Phương pháp dùng bất đẳng thức Cô-si
5. Phương pháp dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
6. Phương pháp dùng tam thức bậc hai
7. Phương pháp dùng véc tơ
8. Phương pháp dùng lượng giác
9. Phương pháp dùng tính đối xứng của biến

Chương 3: Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương
trình, bất phương trình
I. Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình, bất
phương trình có tham số
II. Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình, bất
phương trình khơng có tham số
C. Kết luận
D. Hệ thống bài tập tham khảo
E. Tài liệu tham khảo.


B. NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cho hàm số y  f ( x) xác định trên tập D 

.

* Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y  f ( x) trên D, kí hiệu:

M  max f ( x) nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:
xD

x  D : f ( x)  M

x0  D : f ( x0 )  M .
* Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x) trên D, kí hiệu:

m  min f (x ) nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:

xD

x  D : f ( x)  m

x0  D : f ( x0 )  m.


2. Các tính chất của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Tính chất 1
Giả sử f ( x) xác định trên D và A, B là hai tập con của D, trong đó A  B . Giả
thiết tồn tại max f ( x) , max f (x ) , min f ( x ) , min f ( x ) . Khi đó ta có:
xA

xB

xA

xB

a, max f ( x)  max f ( x) ;
xA

b, min f ( x)  min f ( x)
xA

xB

xB

Chứng minh :

Chứng minh a: Giả sử max f ( x)  f ( x0 ) , với x0  A. Do x0  A mà A  B nên
xA

x0  B.
Ta có f ( x0 )  max f ( x) hay max f ( x)  max f ( x)  đpcm.
xB

xA

xB

Chứng minh b: Giả sử min f ( x)  f ( x0 ) , với x0  A. Do x0  A mà A  B nên
xA

x0  B.
Ta có: f ( x0 )  min f ( x) hay min f ( x)  min f ( x)  đpcm.
xA

xB

xB

Tính chất 2
Giả sử hàm số f ( x) xác định trên D và tồn tại max f ( x) và min f ( x) . Khi đó ta có:
xD

xD

b, min f ( x)   max( f ( x)) .

a, max f ( x)   min( f ( x)) ;

xD

xD

xD

xD

Chứng minh: a, max f ( x)   min( f ( x))
xD

xD

Giả sử M  max f ( x) . Khi đó theo định nghĩa giá trị lớn nhất, ta có:
xD

 f ( x)  M , x  D

 f ( x0 )  M , x0  D.

 f ( x)  M , x  D
Từ hệ trên suy ra 
 f ( x0 )  M .
Theo định nghĩa của giá trị nhỏ nhất, suy ra min( f ( x))  M .
xD

Như vậy ta đi đến max f ( x)   min( f ( x))  đpcm.
xD

xD

Chứng minh tương tự b, min f ( x)   max( f ( x)) .
xD

xD


Tính chất 3
Giả sử f ( x) và g ( x) là hai hàm số cùng xác định trên D và thỏa mãn điều kiện

f ( x)  g ( x) , x  D . Giả sử cùng tồn tại max f ( x) ; max g ( x) .
xD

xD

Khi đó ta có: max f ( x)  max g ( x) .
xD

xD

Chứng minh: Giả sử max g ( x)  g ( x0 ) , với x0  D .
xD

Ta có: f ( x)  g ( x), x  D  f ( x0 )  g ( x0 )
Do max f ( x)  f ( x0 )  g ( x0 )  max g ( x)  đpcm.
xD

xD

Tính chất 4
Giả sử f ( x) là hàm số xác định trên D và D  D1  D2 . Nếu tồn tại max f ( x) ,
xDi

min f ( x ) với i  1, 2 thì ta có:
xDi


;
b, min f ( x)  min min f ( x), min f ( x) .
a, max f ( x)  max max f ( x), max f ( x)
xD

xD1

xD

(1)

xD2

xD1

(2)

xD2

Chứng minh :
Ta chứng minh (1). Vì Di  D, i  1,2 nên theo tính chất 3, ta có:

max f ( x)  max f ( x) ; max f ( x)  max f ( x)
xD1

xD2

xD



(3)

xD



Từ (3) suy ra max max f ( x); max f ( x)  max f ( x). (4)
xD1

xD2

xD

Giả sử max f ( x)  f ( x0 ) , với x0  D .
xD

Vì D  D1  D2 mà x0  D nên x0  D1  D2 . Do vậy x0 phải thuộc về ít nhất một
trong hai tập D1, D2 . Từ đó có thể cho là (mà không làm giảm sự tổng quát) x0  D1 .
Từ x0  D1 nên theo định nghĩa về giá trị lớn nhất, ta có: f ( x0 )  max f ( x). (5)
xD1





Hiển nhiên max f ( x)  max max f ( x); max f ( x) .
xD1

xD2



(6)



Từ (5), (6) suy ra f ( x0 )  max f ( x)  max max f ( x); max f ( x) .
xD

xD1

xD2

(7)






Bây giờ từ (4), (7) đi đến: max f ( x)  max max f ( x); max f ( x)  đpcm.
xD



xD1

xD2



Chứng minh tương tự min f ( x)  min min f ( x), min f ( x) .
xD

xD1

xD2

Tính chất 5
Cho các hàm số f1 ( x), f2 ( x),..., f n ( x) cùng xác định trên miền D.
Đặt f ( x)  f1 ( x)  f 2 ( x)  ...  f n ( x) . Nếu tồn tại max f ( x) , min f ( x ) , max fi ( x ) ,
xD

xD

xD

min fi ( x) với i  1, n thì ta có:
xD

a, max f ( x)  max f1 ( x)  max f 2 ( x)  max f n ( x) ;
xD

xD

xD

xD

(1)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tồn tại x0  D sao cho:

max fi ( x)  fi ( x0 ), i  1, n .
xD

b, min f ( x)  min f1 ( x)  min f 2 ( x)  ...  min f n ( x) .
xD

xD

xD

xD

(2)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tồn tại x0  D sao cho:

min fi ( x)  fi ( xo ), i  1, n .

xD

Chứng minh:
Ta chứng minh (1)
Lấy tùy ý x  D . Theo định nghĩa của giá trị lớn nhất ta có:

fi ( x)  max fi ( x), i  1, n.

( 3)

xD

Cộng từng vế n bất đẳng thức (3), ta có:

f ( x)  f1 ( x)  ...  f n ( x)  max f1 ( x )  ...  max f n ( x)
xi D

xi D

(4)

Vì bất đẳng thức (4) đúng với mọi x  D nên ta có

max f ( x)  max fi ( x)  ...  max f n ( x)
xD

xi D

xi D

Vậy (1) đúng. Bây giờ ta xét khả năng có dấu bằng trong (1).
Giả sử tồn tại x0  D mà max fi ( x)  fi ( x0 ), i  1, n.
xD

(5)


Từ đó ta có max f1 ( x)  ...  max f n ( x)  f1 ( x0 )  ...  f n ( x0 )  f ( x0 ) (6)
xD

xD

Do f ( x0 )  max f ( x) , nên từ (6) suy ra
xD

max f1 ( x)  ...  max f n ( x)  max f ( x)
xD

xD

(7)

xD

Từ (5) và (7) suy ra trong trường hợp này xảy ra dấu bằng trong (1).
Đảo lại, giả sử dấu bằng trong (1) xảy ra, tức là

max f ( x)  max f1 ( x)  ...  max f n ( x)
xD

xD

(*)

xD

Khi đó, gọi x0  D sao cho f (x 0 )  max f ( x) . Như thế i  1, n ta cũng có
xD

fi ( x0 )  max fi (x) , vì nếu ngược lại, sẽ tồn tại k 1,...n mà f k ( x0 )  max f k ( x) , suy ra
xD

xD

(*) khơng cịn đúng nữa (vế trái lớn hơn vế phải)
Vậy tính chất 5a được chứng minh
Chứng minh tương tự min f ( x)  min f1 ( x)  min f 2 ( x)  ...  min f n ( x) .
xD

xD

xD

xD

Tính chất 6
Giả sử

f1 ( x), f 2 ( x),..., f n ( x) cùng xác định trên miền D và ta có fi ( x)  0

x  D , i  1, n . Giả thiết nếu tồn tại max fi ( x) , min fi ( x ) , max f (x ) , min f (x ) .
xD

xD

xD

Đặt f ( x)  f1 ( x). f 2 ( x)... f n ( x) . Khi đó ta có:





b, min f ( x)   min f ( x)  min f ( x) ...  min f ( x) 

a, max f ( x)  max f1 ( x) max f 2 ( x) ... max f n ( x) ;
xD

xD

xD

xD

xD

1

xD

xD

2

xD

n

(1)
(2)

Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại x0  D sao cho

max fi ( x)  fi ( x0 ),  i  1, n
xD

Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại x0  D sao cho

min fi ( x)  fi ( x0 ), i  1, n .
xD

Chứng minh : Chứng minh tương tự tính chất 5.
Tính chất 7

xD


Giả sử f ( x) và g ( x) là hai hàm số cùng xác định trên miền D.
Đặt h( x)  f ( x)  g ( x) . Nếu tồn tại các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) ,

g ( x) , h( x) trên D. Khi đó ta có:
a, max h( x)  max f ( x)  min g ( x) ;
xD

(1)

xD

xD

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tồn tại x0  D sao cho:

max f ( x)  f  x0  ; min g ( x)  g ( x0 )
xD

xD

b, min h( x)  min f ( x)  min g ( x) .
xD

xD

(2)

xD

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tồn tại x0  D sao cho:

min f ( x)  f ( x0 ) ; max g ( x)  g ( x0 ) .
xD

xD

Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh (1).
Ta có h( x)  f ( x)  g ( x)  f ( x)  ( g ( x)).
Theo tính chất 5, ta có: max h( x)  max f ( x)  max( g ( x)).
xD

xD

(3)

xD

Theo tính chất 2, ta có: max( g ( x))   min ( g ( x))   min g ( x). (4)
xD

xD

xD

Thay (4) vào (3) ta có max h( x)  max f ( x)  min g ( x). Vậy (1) đúng.
xD

xD

xD

Vẫn theo tính chất 5 thì dấu bằng trong (3) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại x0  D sao
cho ta có: max f ( x)  f ( x0 ); max( g ( x))   g ( x0 ).

xD

xD

Nhưng max( g ( x))   g ( x0 )   min g ( x)   g ( x0 )  min g ( x)  g ( x0 )  đó là
xD

xD

xD

đpcm.
Tính chất 8
Giả sử f ( x) và g ( x) là hai hàm số cùng xác định và dương khi x  D . Đặt

h( x ) 

f ( x)
. Nếu tồn tại các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số f ( x) , g ( x) ,
g ( x)

h( x) trên D. Khi đó ta có:

max h( x) 
xD

max f ( x)
xD

max g ( x)

xD

;

(1)


min h( x ) 
xD

min f ( x )
xD

(2)

max g ( x )
xD

Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại x0  D sao cho:

max f ( x)  f ( x0 ) ; min g ( x)  g ( x0 ) .
xD

xD

Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại x0  D sao cho:

min f ( x)  f ( x0 ) ; max g ( x)  g ( x0 ) .
xD

xD

Chứng minh:
Tính chất 8 suy ra trực tiếp từ tính chất 6 với chú ý rằng (do f ( x)  0 ,

g ( x)  0 , x  D ).
Tính chất 9
a, Giả sử f ( x) là hàm số xác định trên D. Khi đó, với mọi n nguyên dương ta có:

max f ( x)  2n1 max( f 2n1 ( x)) ;
xD

xD

min f ( x)  2n1 min( f 2n1 ( x)) .
xD

xD

b, Giả sử f ( x) là hàm số xác định trên D và f ( x)  0 , x  D. Khi đó, với mọi n
nguyên dương, ta có:

max f ( x)  2n max( f 2n ( x)) ;
xD

xD

min f ( x)  2n min( f 2n ( x)) .
xD

xD

Chứng minh:
Tính chất này suy ra trực tiếp từ định nghĩa của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm
số, cũng như các tính chất về lũy thừa của một bất đẳng thức .
Tính chất 10
Giả sử f ( x) là hàm số xác định trên D và tồn tại max f ( x) , min f ( x ). Khi đó ta có:
xD





max f ( x)  max max f ( x) ; min f ( x) .
xD

xD

xD

Chứng minh:
Áp dụng tính chất 2, thì hệ thức (1) có dạng tương đương sau:

xD

(1)




max f ( x)  max max f ( x) ; max( f ( x))
xD

xD

xD



(2)

Lấy tùy ý x0  D , khi đó xảy ra hai khả năng sau:
1. Nếu f ( x0 )  0 . Khi đó ta có f ( x0 )  f ( x0 )  max f ( x)  max f ( x) .
xD



xD



Từ (3) hiển nhiên suy ra f ( x)  max max f ( x) ; max( f ( x)) .
xD

xD

(3)
(4)

2. Nếu f ( x0 )  0. Lúc này ta lại có:

f ( x0 )   f ( x0 )  max( f ( x))  max( f ( x)) .
xD

xD





Vì vậy ta cũng có f ( x0 )  max max( f ( x)) ; max f ( x) .
xD

xD

(5)

Từ (4), (5) và để ý rằng x0 là phần tử tùy ý của D, suy ra





f ( x0 )  max max f ( x) ; max(  f ( x)) .
xD

xD

(6)

Khơng giảm tính tổng qt có thể cho là:





max max f ( x) ; max( f ( x))  max f ( x)

(7)

Giả sử max f ( x)  f ( x0 ) , x0  D

(8)

xD

xD

xD

xD

Từ (7), (8) suy ra



f ( x0 )  max max f ( x) ; max( f ( x))
xD

xD



(9)

Từ (6), (9) và theo định nghĩa giá trị lớn nhất của hàm số, ta có ngay





f ( x0 )  max max f ( x) ; max( f ( x)) .
xD

xD





Vậy max f ( x)  max max f ( x) ; min f ( x) .
xD

xD

xD


CHƯƠNG II : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1. Phương pháp dùng đạo hàm
1.1 Kiến thức cơ bản
Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x)
trên miền D , ta làm như sau:
Tính y '  f ' ( x) . Tìm các điểm x1 , x2 , ..., xn  D sao cho f ' ( x)  0 .
Lập bảng biến thiên.
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

y  f ( x) .
Chú ý:
1, Nếu f ( x) có tập xác định D   a; b , thì khơng cần lập bảng biến thiên, chỉ cần:
- Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn   a; b sao cho f ' ( x)  0 .
- Tính f (a) , f (b) , f ( x1 ) , f ( x2 ) , ..., f ( xn ) .


max f ( x)  max  f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn )

- Khi đó:

x a ; b

min f ( x)  min  f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ) .

x a ; b

2, Nếu hàm số y  f ( x) liên tục và có đạo hàm trên D   a; b . Ta có: Hàm f
tăng (giảm) trên (a; b) nếu f ' ( x)  0 ( f ' ( x)  0) , x   a; b . (Dấu “=” chỉ xảy ra tại
một số hữu hạn điểm thuộc D   a; b ). Từ đó suy ra:
Nếu f tăng trên D   a; b thì: min f (x )  f (a ) , max f ( x )  f (b )
xD

xD

Nếu f giảm trên D   a; b thì: min f ( x)  f (b) , max f ( x )  f (a ) .
xD

xD

1.2 Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

y

x 1
.
x  x 1
2

Giải
Tập xác định: D 

.

( x 2  x  1)  (2 x  1)( x  1)
 x 2 2 x
Ta có: y 
.
 2
( x 2  x  1)2
( x  x  1)2

'

x  0
y '  0   x2  2 x  0  
 x  2
Bảng biến thiên:

x



y’

-2
-



0

0

+

0

0

-

1

y


1
3

0


Dựa vào bảng biến thiên ta được:
Giá trị lớn nhất của y là 1, đạt được khi x  0 .

1
Giá trị nhỏ nhất của y là  , đạt được khi x  2 .
3
Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau

y  log 2 x 

1
.
log x  2
2

Giải
Miền xác định của hàm số D  (0 ;  ). Đặt t  log 2 x, t  0 .
Khi đó: y  t 

1
.
t2

(t  1)(t  3)
1
(t  2)2  1

 0 với t  0
y  1

2
2
(t  2) 2
(t  2)
(t  2)
'

Do đó y(t )  0 . Vậy: min y 

1
khi x  1 .
2

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

y  x 2  ln(1  2 x) trên đoạn  2 ; 0 .
Giải
Xét trên đoạn  2 ; 0

2
4 x2  2 x  2
y '  2x 

1  2x
1  2x
x  1
y'  0  
x   1

2
Với x  1 (loại)
Ta tính y(2)  4  ln5


 1 1
y      ln 2
 2 4
y(0)  0
Vậy max y( x)  4  ln5 ; min y( x) 
 2

2 ; 0

; 0

1
 ln 2 .
4

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  cos2 x trên



0 ; 4  .
Giải



Ta có: y '  1  sin 2 x  0, x  0 ;  suy ra y tăng trên
4




0 ; 4  .

   1
Do đó: max y  y    
4 4 2
min y  y(0)  1 .
LƯU Ý:
Phương pháp đạo hàm được sử dụng rộng rãi để giải bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của hàm số.
2. Phương pháp dùng miền giá trị của hàm số
2.1 Kiến thức cơ bản
 Định nghĩa miền giá trị của hàm số:
Cho hàm số y  f ( x) có miền xác định D. Khi đó hàm số có miền giá trị:

f ( D)   y  / y  f ( x), x  D .

 Ta dùng điều kiện tồn tại nghiệm để tìm miền giá trị của hàm số tức là tìm điều
kiện để phương trình y0  f ( x) có nghiệm ( với y0 là một giá trị tùy ý của hàm số

y  f ( x) trên tập xác định D ). Sau đó, từ điều kiện tìm được biến đổi về một trong các
dạng sau:
1. Nếu y0  M thì max f ( x)  M .
xD


2. Nếu y0  m thì min f ( x)  m .
xD

3. Nếu m  y0  M thì max f ( x)  M và min f ( x)  m .
xD

xD

LƯU Ý:
Phương trình ax2  bx  c  0 ( a  0 ) có nghiệm khi và chỉ khi   0
Phương trình a sin x  b cos x  c có nghiệm khi và chỉ khi a 2  b2  c 2 .
2.2 Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

f ( x) 

2 x 2  7 x  23
, với x 
x 2  2 x  10

.

Giải

Tập xác định: D 

.

Gọi y0 là một giá trị bất kì của hàm số đã cho. Khi đó phương trình sau đây (ẩn x )

2 x2  7 x  23
 y0 (1) có nghiệm
x2  2 x  10
Vì x 2  2 x  10  0, x nên

(1)  2 x2  7 x  23  y0 ( x2  2 x  10)

 (y0  2) x2  (2 y0  7) x  10 y0  23  0

(2)

Nếu y0  2 , khi đó (2) có dạng: 3x  3  0  x  1
Nếu y0  2 , khi đó (2) có nghiệm khi và chỉ khi

(2 y0  7)2  4(y0  2)(10 y0  23)  0
 4 y02  16 y0  15  0


3
5
 y0  và y0  2
2

2

Kết hợp lại, suy ra (1) có nghiệm khi và chỉ khi:
Vậy: max f ( x) 
x

5
x2
2

3
5
 y0 
2
2


min f ( x) 
x

3
 x  4 .
2

Ví dụ 2: Xác định các tham số a, b sao cho hàm số y 

ax  b
đạt giá trị lớn nhất
x2  1

bằng 4, giá trị nhỏ nhất bằng -1.
Giải
Miền xác định: D 

.

y0 thuộc miền giá trị hàm số khi và chỉ khi phương trình sau có nghiệm:
y0 

ax  b
 y0 x2  ax  y0  b  0 (1)
2
x 1

a  b  0
 Nếu y0  0 thì (1) có nghiệm  ax  b có nghiệm  
a  0
 Nếu y0  0 thì (1) có nghiệm khi và chỉ khi:

  0  a2  4( y0  b) y0  0  4 y02  4by0  a2  0

y0 phải thay đổi từ -1 đến 4, nghĩa là tam thức 4 y02  4by0  a2  0
phải có nghiệm là -1 và 4 (vì 4  0 ).

 a2
  4 a  4

Theo định lí Vi-ét ta có:  4
b  3
b  3


Vậy, với a  4 , b  3 hoặc a  4 , b  3 thì min y  1, max y  4 .

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y 

2  cos x
.
sin x  cos x  2

Giải
Vì sin x và cos x khơng đồng thời bằng 1 nên hàm số xác định với mọi x .

y0 thuộc miền giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình sau có nghiệm:
y0 

2  cos x
 y0 sin x  ( y0  1)cos x  2(1  y0 ) (1)
sin x  cos x  2

(1) có nghiệm  4(1  y0 )2  y02  ( y0  1)2


5  19
5  19
 y0 
2
2

 2 y0 2  10 y0  3  0 
 max y 

5  19
.
2

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 

cos x  2sin x  3
2cos x  sin x  4

trong khoảng   ;   .
Giải

y0 thuộc miền giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình
y0 

cos x  2sin x  3
2cos x  sin x  4

(1) có nghiệm thuộc khoảng   ;  

Ta có:
(1)  (2 y0 1)cos x  ( y0  2)sin x  3  4 y0

(2)

(2) có nghiệm  (3  4 y0 )2  (2 y0  1)2  ( y0  2)2

 11y 20  24 y0  4  0 
Vậy: max y  2 ; min y 

2
 y0  2
11

2
.
11

3. Phương pháp đưa về dạng bình phương
3.1 Kiến thức cơ bản
Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ta tìm cách (nếu được) đưa
biểu thức về dạng A2  0 .
Dấu “=” xảy ra khi A  0 .
3.2 Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:









y  x3  2 1  x3  1  x3  2 1  x3  1 .
Giải


Hàm số xác định với mọi x  1 . Ta có:

y  x3  1  2 x3  1  1  x 3  1  2 x 3  1  1





 
2

x3  1  1 



2

x3  1  1  1  x3  1  1  x3  1  1  x3  1  1  x3  1  2

Dấu “=” xảy ra khi 1  x3  1  0 tức là 1  x  0
Vậy: min y  2 khi 1  x  0 .

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, tìm giá trị lớn nhất của:

P  3 cos B  3(cos A  cos C) .
Giải

P  3 cos B  6cos

 3 cos B  6sin

AC
AC
cos
2
2

B
AC
B
B

cos
 3 1 2sin2   6sin
2
2
2
2

2

 B
B
B
3 5 3 5 3
 2 3 sin  6sin  3   2 3 sin 

 
2
2
2

2
2
2


2

AC

cos
1
0

5 3
2
 A  C  30
khi 

Suy ra: max P 
0
2
 B  120 .
sin B  3
 2
2
Ví dụ 3: Cho a là số cố định, còn x, y là những số biến thiên. Hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức: ( x  2 y  1)2  (2 x  ay  5)2 .
Giải
Đặt: A  ( x  2 y  1)2  (2 x  ay  5)2 . Do ( x  2 y  1)2  0 và 2 x  ay  5  0 nên A  0

1 2
x  2 y 1  0
0
a, min A  0  
có nghiệm  D 
2 a
2 x  ay  5  0
 a  4
b, Với a  4 . Khi đó A  ( x  2 y  1)2  (2 x  4 y  5)2


Đặt t  x  2 y  1. Ta có: A  t 2  (2t  3)2  5t 2  12t  9
2

6 36  36

 6 9 9
 5  t 2  2.t.     9  5  t    
5 2 5

 5 5 5
Suy ra : min A 

6
9
6
khi t    x  2 y  1   .
5
5
5

Ví dụ 4: Tìm giá tri lớn nhất của biểu thức:

A  4  5x 2  2 y 2  2 xy  8 x  2 y , x, y 

.

Giải
Ta có:

A  4  5x 2  2 y 2  2 xy  8 x  2 y

 4  ( x 2  y 2  2 xy)  (4 x 2  8 x)  ( y 2  2 y)
= 9  ( x  y)2  4( x  1)2  ( y  1)2  9
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

x  y  0

 x  y 1
x  1
y 1

Vậy giá trị lớn nhất của A là 9, đạt được khi x  y  1.
4. Phương pháp dùng bất đẳng thức Cô -si
4.1. Kiến thức cơ bản
Với ai  0 với mọi i  1, n ta có:

a1  a2  ...  an  n n a1a2 ...a n
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1  a2  ...  an .
 Nếu a1a2 ...an  P khơng đổi thì a1  a2  ...  an  S đạt giá trị nhỏ nhất là

n. n P khi và chỉ khi a1  a2  ...  an  n P
 Nếu a1  a2  ...  an  S khơng đổi thì a1a2 ...an  P đạt giá trị lớn nhất là
n

S
S
  khi và chỉ khi a1  a2  ...  an  n .
n


4.2 Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của y  3x1  32 x .
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho 2 số không âm 3x1 và 32 x , ta được

y  3x1  32 x  2. 3x1.32 x  2. 33  6 3
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3x1  32 x  x  1  2  x

x

1
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của y là 6 3 đạt được khi x 

1
.
2

Ví dụ 2: Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện 0  x  3, 0  y  4 . Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức: A  (3  x)(4  y)(2 x  3 y).
Giải

1
Ta có: A  (6  2 x)(12  3 y)(2 x  3 y) .
6
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số không âm 6  2 x, 12  3y , 2 x  3 y ta được:

1  (6  2 x)  (12  3 y)  (2 x  3 y) 
A 
  36.
6
3
3

Dấu “=” xảy ra khi 6  2 x  12  3 y  2 x  3 y hay x  0 ; y  2 .
Vậy max A  6 khi x  0 ; y  2 .
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

F

ab c  2  bc a  3  ca b  4
, trong đó a  0 , b  4 , c  2 .
abc
Giải

Ta có: F 

c2

a 3
b4


(a  3, b  4 , c  2)
c
a
b

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có:


c2 

(c  2)2
1
1 (c  2)  2
c
c2
1

(c  2).2 



2
2
c
2
2

2 2
2 2

Dấu “=” xảy ra khi: c  2  2  c  4 .
Tương tự:

a 3
1
. Dấu “=” xảy ra khi: a  3  3  a  6.

a
2 3

b4
1
1

 . Dấu “=” xảy ra khi b  4  4  b  8 .
b
2 4 4
Vậy: max F 

1
2 2



1
2 3



1
khi a  6, b  8, c  4 .
4

Ví dụ 4: Cho x, y, z  0 và x  y  z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P

x
y
z
.


x 1 y 1 z 1