chuyen de tich phan hay

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (271.04 KB, 13 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chuyờn 04

:

tích phân và ứng dụng

Tổng số tiết dạy:

Ngày dạy :...
MUẽC TIEU

Hc sinh cn nm vng cỏc bài tốn :
- Các phương pháp tính tích phân

- Một số tích phân hàm hữu tỷ, lượng giác, vơ tỷ và siêu việt
- Một số ứng dụng của tích phân tính diện tích và thể tích
- Một số bài tốn khác.

YÊU CẦU

- Nắm vững phương pháp

- Biết vận dụng vào bài tốn cụ thể
- Tự giác, tích cực trong rèn luyện.
TÝch ph©n - diƯn tÝch- thĨ tÝch
Mét sè kiÕn thøc cần nắm vững:

1. Bảng nguyên hàm của các hàm số.

k. dx=k.x+C

∫

sin(ax+b)dx=−1

acos(ax+b)+C

∫

e
xdx

=ex+C

∫

xndx=x

n+1

n+1+C

∫

cos(ax+b)dx=

asin(ax+b)+C

∫

e

(ax+b)dx

ae
(ax+b)

+C

∫

x2dx=−
1

x+C 2

dx tgx C
cos x  

∫

ax+b¿

n+1

¿
¿

ax+b¿n. dx=1

a.¿

∫

1xdx=ln|x|+C

dx cot gx C
sin x  

∫

axdx= a

x

lna+C

∫

(ax1+b)dx=1

aln|ax+b|+C

∫

1
cos2

(ax+b)dx=

atg(ax+b)+C

∫

sinx. dx=−cosx+C

1 1

dx cot(ax b) C
sin (ax b)  a  

∫

cosx. dx=sinx+C ax+b¿n
¿

ax+b¿n −1
¿

a(n−1)¿

∫

¿
2. Các phơng pháp tính tích phân:

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Dạng:

2 2

a x dx






∫

2 2

dx

a x





∫

 đặt x = asint.

 D¹ng:

2 2

dx

x a





∫

 đặt x = atgt,

2 2

( )

dx

ax b c



  

∫

đặt ax b c t  tg .
* Loại 2:

( ( )) '( ) .
b

a

f u x u x dx

Đặt t = u(x).

+ Nhiu khi phi bin i mi xuất hiện u’(x)dx.
+ Ta cũng có thể biến đổi:

( ( )) '( ) ( ( )) ( ( ))

b b

a a

f u x u x dx f u x d u x

∫

Những phép đổi biến phổ thông:

HÀM SỐ CHỨA CÁCH ĐỔI BIẾN HÀM SỐ CHỨA CÁCH ĐỔI BIẾN

[ u(x) ]n t = u(x) cos xdx ( sin xdx

)

t=sinx (
t=cosx )

căn thức t = BT trong dấu căn dx

x2 t=

1
x
dx

x t=lnx

cos2x t=tgx

x t=

x

sin2x t=cot gx

b) Phơng pháp tích phân từng phần:

Cụng thc tớch phõn tng phn :

u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )

b b

b
a

a a

x d u x v x  v x u x dx

∫

Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv

@ Dạng 1

sin
( )

ax

ax
f x cosax dx

e




 

 

 

∫

( ) '( )

sin sin

cos

ax ax

u f x du f x dx

ax ax

dv ax dx v cosax dx

e e

 

 

 

   

 



     

 

     

   

 

∫

@ Dạng 2:

( ) ln( )

f x ax dx




∫

Đặt

ln( )
( )

( )

dx
du

u ax

x

dv f x dx

v f x dx





 



 



  



∫

@ Dạng 3:

sin
. 

 

∫

eax cosaxax dx




@ Dạng 4 2 2

, ,

cos sin

b b

a a

x x

dx dx

x x

Đặt u = x, dv = cos2

dx

x hoặc dv = sin2
dx

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

a) Tích phân hữu tỉ:

( )
( )

b

a

P x
dx
Q x

P(x), Q(x) là các đa thøc.
+ NÕu bËc P(x)  bËc Q(x) chia P(x) cho Q(x).

+ Nếu bậc của P(x) < bậc Q(x) dùng phơng pháp đổi biến hoặc phơng pháp hệ số bất định.
tích phân hàm hữu tỷ dạng cơ bản

 D¹ng:

A A

dx ln ax b C
ax b a  

∫

 D¹ng:

ax b a A

dx dx dx

cx d c cx d



 

 

∫

 D¹ng:





ax bx c C

dx Ax B dx dx

dx e dx e

 

  

 

∫

 D¹ng: 2
dx
ax bx c

∫

- NÕu

Δ>0



 





 





 



1 2

1 2 2 1 1 2

x x x x dx

dx 1

...

a x x x x x x a x x x x

  

 

    

∫

- NÕu

Δ=0

...
b
a x



 



 

 

∫

- NÕu

Δ<0

2 2

dx
x

Đặt

x  



.tgt

 D¹ng: 2

Ax B

I dx

ax bx c




 

∫

Ph©n tÝch:





2 2 2

ax bx c '

Ax B dx

I dx m. dx n.

ax bx c ax bx c ax bx c

 



  

     

∫

dx
m.ln ax bx c n.

ax bx c



b) Tích phân chứa các hàm số lợng giác.

Dạng:

f sin x;cos x dx

- Nếu f là hàm lẻ theo sinx: Đặt t = cosx.

- Nếu f là hàm lẻ theo cosx: Đặt t = sinx.

- Nếu f là hàm chẵn theo sinx và cosx: Đặt t=tgx.

Bài tập minh hoạ:

3
2

3
0

sin x
dx
cos x

3
6

cos x
dx
4 sin x




∫

3
0

dx
sin x.cos x


∫

Dạng:

m n

sin x.cos x.dx

- Nếu m và n chẵn: Hạ bậc.
- Nếu m lẻ: Đặt t=cosx.
- Nếu n lẻ: Đặt t=sinx.

Bài tập minh hoạ:

3 2

sin x.cos x.dx

4 2

sin x.cos x.dx


∫

4
2

2
0

sin x
dx
cos x


∫

4 4

dx
cos x.sin x


</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

 D¹ng:





R sin x;cos x .dx

∫

trong đó R là hàm hu t theo sinx, cosx.

Đặt

x
t tg

dx 2dt2

1 t

 

 ; 2

2t
sin x

1 t



 ;

1 t
cos x

1 t




 ; 2

2t
tgx

1 t




Cơ thĨ lµ hµm:

dx
I

a sin x b cos x c

Bài tập minh hoạ:

dx
I

sin x cos x 1




 

∫









1 sin x

I dx

sin x. cos x 1







∫





dx
I

cos x 2






∫

 D¹ng:

a sin x b cos x

I dx

csin x d cos x






∫

Ph©n tÝch:(Tư sè)=A.(MÉu sè)+B.(MÉu sè)’





b b b b b

a a a a a

d csin x d cos x
a sin x b cos x ccos x d sin x

I dx A dx B. dx A dx B.

csin x d cos x csin x d cos x csin x d cos x



 

    

  

∫

Bµi tËp minh ho¹: 
2

3sin x 2cos x

I dx

4sin x 3cos x







∫

 .D¹ng:

1 1 1

2 2 2

a sin x b cos x c

I dx

a sin x b cos x c

 



 

∫

Ph©n tÝch:(Tư sè)=A.(MÉu sè)+B.(MÉu sè) +C’





b b b

2 2

2 2 2 2 2 2

a a a

b b

2 2 2

a a

a cos x b sin x dx

I A dx B dx C

a sin x b cos x c a sin x b cos x c
d a sin x b cos x c

A dx B C.J

a sin x b cos x c



   

   

 

  

 

∫

J là tích phân tính đợc.
c. Tích phõn hàm vụ tỷ

 D¹ng:

b b

a a

dx
ax b.dx;

ax b



∫

: §ỉi





1
n ax b  ax b n

 D¹ng:

b
2
a

ax bx c.dx

∫

- NÕu a>0 : Tích phân có dạng

2 2

u a du

t u=atgt

Hoặc chứng minh ngợc công thức:

2 2 u 2 2 u 2 2

u a du u a ln u u a C

2 2

    

-- Nếu a<0 : Tích phân có dạng

2 2

a  u du

∫

đặt u=asint

 D¹ng:

b
2
a

dx
ax bx c

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

- NÕu
Δ>0



 





 





 



1 2

2 1

1 2 1 2

x x x x dx

dx 1

...
x x

a x x x x a x x x x

  

 



   

∫

- NÕu
Δ=0

dx dx

b a x

a x 2a

 

 

     

   

 

∫

- NÕu
Δ<0

: Víi a>o:

2 2

dx
x

Đặt

.tgt
Hoặc chứng minh ngợc công thức:

2 2

ln u u a C

u a    

∫

Víi a<0:

2
2

dx
x

Đặt

x  



.sin t

 D¹ng





2
a

a
x  ax bx c

Đặt

1
x

BTMH: 1.

2
0

x 1 x  x 1

∫





2
0

2x 4 x 2x

∫

 D¹ng:











n m q p

R ax b ; ax b .dx

Đặt





1
s

t ax b

víi s lµ BCNN cđa n vµ q.

BTMH:









2
3

2x 1  2x 1

∫









4
0

1 2x  1 2x

∫



∫

a
b

R(x , f(x))dx +) R(x,

a x

a+x ) Đặt x = a cos2t, t [0;

π
2]
+) R(x,

√

a2− x2 ) §Ỉt x = |a|sint hc x = |a|cost
+) R(x, n

ax+b

cx+d ) Đặt t =

n

ax+b

cx+d

+) R(x, f(x)) = 1

(ax+b)

√

αx2+βx+γ Víi ( αx

+βx+γ )’ = k(ax+b)

Khi đó đặt t =

√

αx2

+βx+γ , hoặc đặt t = ax1+b

+) R(x,

a2+x2 ) Đặt x = |a|tgt , t [−π2;π2]

+) R(x,

√

x2−a2 ) Đặt x = cos|a|x , t

[0; ] {

+) R





1 2 i

n n n

x

;

x

;...;

x

Gäi k = BCNH(n1; n2; ...; ni) Đặt x = tk
d) Tích phân hàm số chẵn, lẻ:

Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn [-a; a] và:

+ y = f(x) chẵn thì 0

( ) 2 ( )

a a

a

f x dx f x dx

+ y = f(x) lẻ thì:

( ) 0
a

a

f x dx

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

e) Tích phân dạng

( )
1
x

f x
dx
a






∫

 trong đó f(x) là

hàm số chn.

Cách giải: Tách thành 2 tích phân :

( ) ( ) ( )

1 1 1

x x x

f x f x f x

dx dx dx

a a a

 

 

 

  

∫

XÐt tÝch ph©n

( )
1
x

f x
dx
a





∫

 đổi biến số x = -t.

Kết quả ta đợc 0

( )

( )
1

x

f x

dx f x dx

a

 







∫

f, Tích phân dạng: 0 0

( ) ( )

a a

f a x dx  f x dx

∫

trong đó f(x) là hàm số liên tục trên [0; a].
Đổi biến x = a - t.

Các ví dụ

Bài 1: Tính tích phân I=

0
1

x3
x2

+1dx

ĐS I =1/2(1-ln2).

Bài 2: Tính tích phân
ex

+13

ex

I=

0
ln 3

HD: đa về dạng

b

a

u du

. ĐS

I=

Bài 3: Tính tích phân I=

1
0

x(e2x+

31+x)dx

HD Tách thành 2 tích phân.
ĐS I=3/4e-2 - 4/7

Bài 4: TÝnh tÝch ph©n I=

∫

0
π

√

1−cos3x. sinx. cos5dx

HD: t =61 cos 3x cos3x = 1- t6.

§S I =12/91

Bài 5: Tính tích phân I=

5
23

x.

x2+4dx

HD: nhõn c tử và mẫu với x rồi đặt t=

√

x2

+4 .

ĐS I=1/4.ln5/3

Bài 6: Tính tích phân I=

0

4

x

1+cos 2xdx

HD:Đa về dạng tích phân từng phần.
 ĐS I = /8-1/4.ln2

Bài 7: Tính tích phân I=

0
1

x3

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài 8: Cho hàm số

x+13

f(x)=a

Tìm a,b biết rằng f(0) = -22 và

0
1

f(x)dx=5

Bài 9: Tính tích phân I=

∫

π
4
π
3

tgx
cosx.❑

√

1+cos2x

HD: Biến đổi về dạng

2 2

cos . 1

tg
tg

x

I dx

x x

.
Đặt

1 tg

t x

.
Bài tập áp dụng

1) Tính tích ph©n I=

∫

√3
1

x+x3dx

2) TÝnh tÝch ph©n I=

∫

ln 3
ln 8

√

ex

+1.e2xdx

3) TÝnh tÝch ph©n I=

∫

0
π
2

(2x −1)cos2xdx

4) TÝnh tÝch ph©n I=

∫

1
e3

ln2x

x

√

lnx+1dx

5) TÝnh tÝch ph©n I

∫

0
π
2

(esinx+cosx)cos xdx

6) TÝnh tÝch ph©n I=

∫

0
2

x4− x+1

x2+4 dx

7) TÝnh tÝch ph©n I=

∫

0
7

x+2

√

x+1dx

8) TÝnh tÝch ph©n I

∫

0
π
4

(tgx+esinxcosx)dx

9) TÝnh tÝch ph©n I=

∫

0
π
3

sin2x. tgx . dx

10) TÝnh tÝch ph©n I

∫

0
π
2

ecosxsin2x. dx
11) TÝnh tÝch ph©n I=

∫

π

x. sinx
1+cos2x dx

12) TÝnh tÝch ph©n I=

∫

√3

x5+2x3

√

x2+1 dx

13) TÝnh tÝch ph©n I=

∫

1
e

x2lnx. dx

14) TÝnh tÝch ph©n

2 2

4 3

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

15) TÝnh tÝch ph©n

sin 2 cos
1 cos

x x

I dx

x






∫

16) TÝnh tÝch ph©n:

1 4

2
1

sin
1

x x

I

x








∫

17) TÝnh tÝch ph©n

sin
2x 1

x

I dx









∫

18) TÝnh tÝch ph©n

2
1

2 2
1

( x sin )

I e x e x dx





∫



19) TÝnh tÝch ph©n

1 2

1
1
x

x

I dx

e








∫

20) TÝnh tÝch ph©n

2
0

sin
4 cos

x x

I dx

x






∫

4. DiƯn tÝch:

* Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2 hàm số y = f(x), y = g(x) trên đoạn [a;
b]. Trong đó phơng trình: f(x) - g(x) = 0 vơ nghiệm trên [a; b].

( ) ( )
b

a

S 

∫

f x  g x dx

* Bài tốn 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2 hàm số y = f(x), y = g(x) trên đoạn [a;
b]. Trong đó phơng trình: f(x) - g(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x = x0 trên [a; b].

( ) ( ) ( ) ( )

x b

a x

S

∫

f x  g x dx

∫

f x  g x dx

* Bài toán 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2 hàm số y = f(x), y = g(x).
GPT: f(x) - g(x) = 0, đợc các nghiệm x = a, x = b.

( ) ( )
b

a

S 

∫

f x  g x dx

TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1

b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1

c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4

d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2

Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1

b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1

c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4

d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2

Bài 1: Cho (p) : y = x2+ 1 và đờng thẳng (d): y = mx + 2. Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn

bởi hai đờng trên có diện tích nhỏ nhẩt

Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (c) và 0x có diện tích ở phía trên 0x

vµ phÝa díi 0x b»ng nhau

Bài 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi

x − x3
o ≤ x ≤1

y=0
¿y={ {

Cã hai phần diện tích bằng nhau

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bài 5: Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

y=x

+2 ax+3a2

1+a4

y=a

2
ax
1+a4
{

Tỡm a din tớch ln

nhất

Bài 6:Tính diện tích của các hình phẳng sau:

1) (H1):

2
x
y 4

4
x
y

4 2



 





 



 2) (H2) :

y x 4x 3

y x 3

   




 


 3) (H3):

3x 1
y

x 1
y 0
x 0

 




 




 




4) (H4):

2
2
y x
x y

 






 5) (H5): 2

y x
y 2 x

 



 


 6) (H6):

y x 5 0
x y 3 0

   



  



7) (H7):

ln x
y

2 x
y 0
x e
x 1









 





 8) (H8) :

2
2
y x 2x
y x 4x

  




 



 9) (H9):

2 3 3

y x x

2 2
y x



  



 



10) (H10):

y 2y x 0
x y 0

   



 

 11)

¿
(C):y=

√

x

(d):y=2− x
(Ox)

¿{ {
¿

12)

¿
(C):y=ex

(d):y=2
(Δ):x=1

¿{ {
¿

13)

y2=2x+1

y=x −1
¿{

14)

y=−

√

4− x2

x2

+3y=0
¿{

15)

y=

√

x

x+y −2=0

y=0
¿{ {

y=x

2
2

y= 1

1+x2
¿{

y2

=2x

y=x , y=0, y=3
¿{

18)

y=lnx , y=0

x=1

e, x=e

¿{
¿

19.

y= 1

sin2x ; y=
1
cos2x
x=π

6; x=
π
3

¿{
¿

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

21)

y=x2−4x+5

y=−2x+4

y=4x −11
¿{ {

22)

y=− x2+6x −5

y=− x2+4x −3

y=3x −15
¿{ {

23)

y=x

y=1

x

y=0

x=e
¿{ { {

24)

y=x2−1/❑
y=x/ +5

¿{
¿

25)

y=−3x2− x/+2

y=0
¿{

26)

y=−3x2− x/+2

y=0
¿{

27)

y=x2+2

y=4− x
¿{

28)

y=x2−2x+2

y=x2+4x+5

y=1
¿{ {

29)

y=x2−1/❑
y=− x2+7

¿{
¿

30)

y=x3

y=0

x=−2; x=1
¿{ {

31)

y=sinx −2 cosx

y=3

x=0; x=π
¿{{

32)

y=x+3+2

x
y=0

¿{
¿

33)

y=x2+2x

y=x+2
¿{

34)

y=2x2−2x

y=x2+3x −6

x=0; x=4
¿{ {

35)

y=x2−5x+6/❑
y=6

¿{
¿

36)

y=2x2

y=x2−2x −1

y=2
¿{ {

37)

y=x2−3x+2/❑
y=2

¿{
¿

38)

y=x2−5x+6/❑
y=x+1

¿{
¿

39)

y=x2−3x+2/❑
y=− x2

¿{
¿

40)

y=x2−4x+3/❑
y=3

¿{
¿

41)

y=eÏ

y=e− x

x=1
¿{ {

42)

y= x

√

x2− x6
x=0; x=1

¿{
¿

43)

y=sin/x/❑
y=x/− π

¿{
¿

44)

y=2x2

y=x2−4x −4

y=8
¿{ {

45)

y2=2x

2x+2y+1=0

y=0
¿{ {

46) 

  

)
( 2 2
2

2

a

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

47)

x+1¿2
¿
x=sinπy

¿
¿
y=¿

48)

y2=x −1/❑
x=2

¿{
¿

49)

x=y2−1/❑
x=2

¿{
¿

32)

y+1¿2
¿

y=sinx
¿

x=0
¿

x=¿

33)

y=

√

4−x

2
4
y= x

2
4

√

¿{
¿

34)

x=0;

x= 1

√

y= x

√

1− x4; y=0

¿{ {
¿

35)

y=5x−2

y=0

x=0; y=3− x
¿{ {

36)

y2=6x

x2

+y2=16
¿{

37)

y=x2

y=x

2
27
y=27

x

¿{ {
¿

36) Cho (p): y = x2 và điểm A(2;5) đờng thẳng (d) đi qua A có hệ số góc k .Xác định k để din tớch

hình phẳng giới hạn bởi (p) và (d) nhá nhÊt

37)

y=x3−2x2+4x −3

y=0
¿{

TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY
Công thức:

V=π

∫

a
b

[

f(x)

]

2dx V=π

∫

a
b

[

f(y)

]

2dy

Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0

Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y x;y 2 x;y 0  

Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y (x 2)  2 và y = 4

Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh:
a) Trục Ox

b) Trục Oy

Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y 4 x y x2;  22.

a y0 b

)
(
:

)

(C y f x

b
a

x

b

x

x
y

O

b

a

x
y


x

O

)
(
:
)

(C xf y
b

y

a

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường :

2
21 ;1 2

x

y y

x

 



Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = 2x + 4

Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y2 = 4x và y = x

Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x12.ex2 ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2
Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x

√

ln(1+x3) ; y = 0 ; x = 1

Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

x −2¿2
¿
y=4

¿
¿
y=¿

quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

y=x2, y=4x2

y=4
¿{

quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

y= 1

x2+1

y=0, x=0, x=1
¿{

quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

y=2x − x2

y=0
¿{

quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

y=x. lnx

y=0

x=1;x=e
¿{{

quay quanh trôc a) 0x;

6) (D)

y=x2(x>0)

y=−3x+10

y=1
¿{ {

quay quanh trôc a) 0x; ( H) n»m ngoµi y = x2

y=x2

y=

√

x

¿{
¿

quay quanh trôc a) 0x;

8) Miền trong hình tròn (x 4)2 + y2 = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

9) MiÒn trong (E): x
2
9 +

y2

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

10)

y=xeÏ

y=0

x=1 ,;0≤ x ≤1
¿{ {

quay quanh trôc 0x;

11)

y=

√

cos4x+sin4x

y=0

x=π

2; x=π

¿{{
¿

quay quanh trôc 0x;

12)

y=x2

y=10−3x
¿{

quay quanh trục 0x;

13) Hình tròn tâm I(2;0) bán kính R = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

14)

4
x −4
x=0; x=2

y=❑

❑

{

quay quanh trôc 0x;

15)

y=

√

x −1
y=2

x=0; y=0
¿{ {

</div>

chuyen de tich phan hay

Chuyờn 04

:

tích phân và ứng dụng

<sub>∫</sub>

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫





∫

∫

∫

∫



 





 





 



∫

∫

∫



∫





∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫





∫

∫









∫





∫

∫