CHuyen de chia het

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN</b>

V× sù nghiƯp giáo dục

<b>Phần I: Tóm tắt lý thuyết</b>
<b>I. Định nghĩa phÐp chia </b>

Cho 2 số nguyên a và b trong đó b ≠ 0 ta ln tìm đ−ợc hai số nguyên q và r duy
nhất sao cho:

a = bq + r Víi 0 ≤ r ≤ | b|

Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là th−ơng, r là số d−.
Khi a chia cho b có thể xẩy ra | b| số d−

r ∈ {0; 1; 2; _…; | b|}

Đặc biệt: r = 0 thì a = bq, khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a.
Ký hiệu: a⋮b hay b\ a

VËy: a ⋮ b ⇔ Cã sè nguyªn q sao cho a = bq

<b>II. C¸c tÝnh chÊt </b>

1. Víi ∀ a ≠ 0 ⇒ a ⋮ a
2. NÕu a ⋮ b vµ b ⋮ c ⇒ a ⋮ c
3. Víi ∀ a ≠ 0 ⇒ 0 ⋮ a

4. NÕu a, b > 0 vµ a ⋮ b ; b ⋮ a ⇒ a = b
5. NÕu a ⋮ b vµ c bÊt kú ⇒ ac ⋮ b
6. NÕu a ⋮ b ⇒ (±a) ⋮ (±b)

7. Víi ∀ a ⇒ a ⋮ (±1)

8. NÕu a ⋮ b vµ c ⋮ b ⇒ a ± c ⋮ b
9. NÕu a + b ⋮ c vµ a ⋮ c ⇒ b ⋮ c
10. NÕu a ⋮ b vµ n > 0 ⇒ an _{⋮ b}n
11. NÕu ac ⋮ b vµ (a, b) =1 ⇒ c ⋮ b

12. NÕu a ⋮ b, c ⋮ b vµ m, n bÊt kú am + cn ⋮ b
13. NÕu a ⋮ b vµ c ⋮ d ⇒ ac ⋮ bd

14. TÝch n sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho n!

<b>III. Mét sè dÊu hiÖu chia hÕt </b>

Gäi N = a a a a ...a a a₁ ₂ ₃ ₄ _n-2 _n-1 _n

<b>1. DÊu hiÖu chia hÕt cho 2; 5; 4; 25; 8; 125 </b>
+ N ⋮ 2 ⇔ an ⋮ 2 ⇔ an∈{0; 2; 4; 6; 8}

+ N ⋮ 5 ⇔ an ⋮ 5 ⇔ an∈{0; 5}

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>TRƯỜNG THCS TH TRN</b>

Vì sự nghiệp giáo dục

+ N ⋮ 3 (hc 9) ⇔ a₀ + a₁+ .... +a_n 3 (hoặc 9)

<b>3. Một số dấu hiệu khác </b>

+ N ⋮ 11 ⇔ [(a₀ + a₂ + ...) - (a₁ + a₃+ ...)] = 0

+ N ⋮ 101 ⇔ (a a₁ ₂+a a₅ ₆ +...)−(a a₃ ₄ +a a₇ ₈ +...)=0

+ N ⋮ 7 (hc 13) ⇔ (a a a₁ ₂ ₃+a a a₇ ₈ ₉ +...)−(a a a₄ ₅ ₆ +a a a₁₀ ₁₁ ₁₂+...)=0

<b>IV. §ång d− thøc </b>

<b>a. Định nghĩa</b>: Cho m là số nguyên d−ơng. Nếu hai số nguyên a và b cho cùng số d−
khi chia cho m thì ta nói a đồng d− với b theo modun m.

Ký hiÖu: a ≡ b (modun m)

VËy: a ≡ b (modun m) ⇔ a - b ⋮ m

<b>b. C¸c tÝnh chÊt </b>

1. Víi ∀ a ⇒ a ≡ a (modun)

2. NÕu a ≡ b (modun m) ⇒ b ≡ a (modun m)

3. NÕu a ≡ b (modun m), b ≡ c (modun m) ⇒ a ≡ c (modun m)

4. NÕu a ≡ b (modun m) vµ c ≡ d (modun) ⇒ a + c ≡ b + d (modun m)
5. NÕu a ≡ b (modun m) vµ c ≡ d (modun m) ⇒ ac ≡ bd (modun m)
6. NÕu a ≡ b (modun m), d ƯC (a, b) và (d, m) =1

⇒ a b

d ≡ d(modun m)

7. NÕu a ≡ b (modun), d > 0 vµ d ∈ Uc (a, b, m)
⇒ a b

d ≡ d (modun <i>d</i>

<i>m</i>

)

<b>V. Một số định lý</b>
<b>1. Định lý Euler </b>

NÕu m lµ 1 số nguyên dơng _(m) là số các số nguyên dơng nhỏ hơn m và
nguyên tố cùng nhau víi m, (a, m) = 1

Th× aϕ(m) 1 (modun)
Công thức tính _(m)

Phân tích m ra thõa sè nguyªn tè
m = p₁α1_p

2

α2_{… p}
k

αk_{víi p}

i ∈ p; αi ∈ N*
Th× ϕ_(m) = m(1 -

`
1
1

<i>p</i> )(1 - ₂
1

<i>p</i> ) (1 - <i>p_k</i>
1

)
<b>2. Định lý Fermat </b>

Nếu t là số nguyên tố và a không chia hết cho p th× ap-1 ≡ 1 (modp)

<b>3. Định lý Wilson </b>

Nếu p là số nguyên tố th×
( P - 1)! + 1 ≡ 0 (modp)

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN</b>

V× sù nghiệp giáo dục

<b>Ví dụ 1</b>: Tìm các chữ số a, b sao cho <b>a56b</b> ⋮ 45

<b>Gi¶i</b>
Ta thÊy 45 = 5.9 mµ (5 ; 9) = 1

để <b>a56b</b> ⋮ 45 ⇔ <b>a56b</b> ⋮ 5 và 9
Xét <b>a56b</b> ⋮ 5 ⇔ b ∈ {0 ; 5}

NÕu b = 0 ta cã sè <b>a56b</b> ⋮ 9 ⇔ a + 5 + 6 + 0 ⋮ 9

⇒ a + 11 ⋮ 9
⇒ a = 7

NÕu b = 5 ta cã sè <b>a56b</b> ⋮ 9 ⇔ a + 5 + 6 + 0 ⋮ 9

⇒ a + 16 ⋮ 9
⇒ a = 2
VËy: a = 7 vµ b = 0 ta cã sè 7560

a = 2 vµ b = 5 ta cã sè 2560

<b>Ví dụ 2</b>: Biết tổng các chữ số của 1 số là không đổi khi nhân số đó với 5. Chứng minh
răng số đó chia hết cho 9.

<b>Giải</b>
Gọi số đã cho là a

Ta cã: a vµ 5a khi chia cho 9 cïng cã 1 sè d−
⇒ 5a - a ⋮ 9 ⇒ 4a ⋮ 9 mµ (4 ; 9) = 1

⇒ a ⋮ 9 (§pcm)

<b>VÝ dơ 3</b>: CMR sè

1
sè
81

111

111

…

_{⋮ 81}

<b>Gi¶i</b>
Ta thÊy: 111111111 ⋮ 9

Cã

1
sè
81

111

111

…

_{= 111111111(10}72_{+ 10}63_{+ ... + 10}9_{+ 1)}

Mµ tỉng 1072_{+ 10}63_{+ ... + 10}9_{+ 1 có tổng các chữ sè b»ng 9 ⋮ 9}
⇒ 1072_{+ 10}63_{+ ... + 10}9_{+ 1 ⋮ 9}

VËy:

1
số
81

111

111

_{81 (Đpcm)}

<b>Bài tập tơng tự </b>

<b>Bài 1</b>: Tìm các chữ số x, y sao cho
a. <b>34x5y</b> ⋮ 4 vµ 9

b. <b>2x78</b> ⋮ 17

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN</b>

V× sù nghiƯp gi¸o dơc

b. N ⋮ 16 ⇔ (a + 2b + 4c + 8d) ⋮ 16 víi b ch½n

c. N ⋮ 29 ⇔ (d + 2c + 9b + 27a) ⋮ 29

<b>Bài 3</b>: Tìm tất cả các số có 2 chữ số sao cho mỗi số gấp 2 lần tích các chữ số của số đó.
<b>Bài 4</b>: Viết liên tiếp tất cả các số có 2 chữ số từ 19 đến 80 ta đ−ợc số A =
192021...7980. Hỏi số A có chia hết cho 1980 khơng ? Vì sao?

<b>Bµi 5</b>: Tỉng cđa 46 sè tù nhiªn liªn tiÕp cã chia hÕt cho 46 không? Vì sao?
<b>Bài 6</b>: Chứng tỏ rằng số

1
số
100

11

11









2
số
100

22

22

_{là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp.}

<b>Hớng dẫn - Đáp số </b>

<b>Bài 1</b>: a. x = vµ y = 2
x = vµ y = 6

b. <b>2x78</b> = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)⋮17 ⇔ x = 2

<b>Bµi 2</b>: a. N⋮4 ⇔ <b>ab</b> ⋮4 ⇔ 10b + a⋮4 ⇔ 8b + (2b + a) ⋮4

⇒ a + 2b⋮4
b. N⋮16 ⇔ 1000d + 100c + 10b + a⋮16

⇔ (992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) ⋮16
⇒ a + 2b + 4c + 8d⋮16 víi b ch½n

c. Cã 100(d + 3c + 9b + 27a) - <b>dbca</b> ⋮29
mµ (1000, 29) =1

<b>dbca</b> ⋮29

⇒ (d + 3c + 9b + 27a) ⋮29
<b>Bµi 3</b>: Gäi <b>ab</b> lµ sè cã 2 ch÷ sè

Theo bµi ra ta cã:

<b>ab</b> = 10a + b = 2ab (1)
<b>ab</b> ⋮2 ⇒ b ∈{0; 2; 4; 6; 8}

thay vµo (1) a = 3; b = 6
<b>Bài 4</b>: Có 1980 = 22_.32_.5.11

Vì 2 chữ số tận cùng của a là 80 4 và 5
A 4 và 5

Tổng các số hàng lẻ 1 + (2 + 3 + .... + 7).10 + 8 = 279
Tổng các số hàng chẵn 9 + (0 + 1 +...+ 9).6 + 0 = 279
Cã 279 + 279 = 558 ⋮ 9 ⇒ A ⋮ 9

279 - 279 = 0 ⋮ 11 ⇒ A 11

<b>Bài 5</b>: Tổng 2 số tự nhiên liên tiếp là 1 số lẻ nên không chia hết cho 2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN</b>

V× sự nghiệp giáo dục

<b>Bài 6</b>: Có

1
số
100

11

11









2
số
100

22

22

₌









1
số
100

11

11









0
sè
99

02

100

…

Mµ

0
sè
99

02

100

…

_{= 3.}









3
sè
99

34

33

…

⇒

1
sè
100

11

11

…









2
sè
100

22

22

…

₌









3
sè
100

33

33

…









3
sè
99

34

33

…

_(Đpcm)

<b>2. Phơng pháp 2:Sử dụng tính chất chia hết</b>

<b>* Chó ý</b>: Trong n sè nguyªn liªn tiÕp cã 1 vµ chØ 1 sè chia hÕt cho n.
CMR: Gäi n là số nguyên liên tiếp

m + 1; m + 2; ...; m + n víi m ∈ Z, n ∈ N*

LÊy n sè nguyên liên tiếp trên chia cho n thì ta đợc tập hợp số d là: {0; 1; 2; n - 1}
* Nếu tồn tại 1 số d là 0: gi¶ sư m + i = nqi ; i = <b>1,</b> <b>n</b>

⇒ m + i ⋮ n

* Nếu không tồn tại số d là 0 không có số nguyên nào trong dÃy chia hết cho n ⇒
ph¶i cã Ýt nhÊt 2 sè d− trïng nhau.

Gi¶ sư:




+
=
+
≤
≤
+
=
+
r
qjn
j
m
n
j
i;
1

r
nqi
i
m

⇒ i - j = n(q_i - q_j) ⋮ n ⇒ i - j ⋮ n
mµ i - j< n ⇒ i - j = 0 ⇒ i = j

⇒ m + i = m + j

Vậy trong n số đó có 1 số và chỉ 1 số đó chia hết cho n.

<b>VÝ dô 1</b>: CMR: a. Tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2
b. TÝch cđa 3 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 6.

<b>Gi¶i</b>

a. Trong 2 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chẵn
⇒ Số chẵn đó chia hết cho 2.

VËy tÝch cđa 2 sè nguyªn liªn tiÕp luôn chia hết cho 2.

Tích 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 nên tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn
chia hết cho 2

b. Trong 3 sơ ngun liên tiếp bao giơ cũng có 1 số chia hết cho 3.
⇒ Tích 3 số đó chia hết cho 3 mà (1; 3) = 1.

VËy tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6.

<b>VÝ dơ 2</b>: CMR: Tỉng lËp ph−¬ng của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9.
<b>Giải</b>

Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lợt là: n - 1 , n , n+1
Ta cã: A = (n - 1)3 _{+ n}3 _{+ (n + 1)}3

= 3n3 _{- 3n + 18n + 9n}2 _{+ 9}

= 3(n - 1)n (n+1) + 9(n2 _{+ 1) + 18n}
Ta thÊy (n - 1)n (n + 1) ⋮ 3 (CM VÝ dô 1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>TRƯỜNG THCS TH TRN</b>

Vì sự nghiệp giáo dục

mà

2

9(n

1) 9

18n 9

+







⋮

⋮

⇒ A ⋮ 9 (§PCM)

<b>VÝ dơ 3</b>: CMR: n4_{- 4n}3_{- 4n}2 +16n ⋮ 3 84 với n chẵn, n4
<b>Giải </b>

Vỡ n chn, n ≥ 4 ta đặt n = 2k, k ≥ 2

Ta có n4_{- 4n}3_{- 4n}2_{+ 16n = 16k}4_{- 32k}3_{- 16k}2_{+ 32k}
= đặt 16k(k3_{- 2k}2_{- k + 2)}
= đặt 16k(k - 2) (k - 1)(k + 1)

Với k ≥ 2 nên k - 2, k - 1, k + 1, k là 4 số tự nhiên liên tiếp nên trong 4 số đó có 1 số
chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4. ⇒ (k - 2)(k - 1)(k + 1)k ⋮ 8

Mµ (k - 2) (k - 1)k ⋮ 3 ; (3,8) = 1
⇒ (k - 2) (k - 1) (k + 1)k ⋮ 24

⇒ 16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k ⋮ (16,24)

VËy n4_{- 4n}3_{- 4n}2 +16n ⋮ 384 víi ∀ n ch½n, n ≥ 4

<b>Bài tập tơng tự </b>

<b>Bài 1</b>: CMR: a. n(n + 1) (2n + 1) ⋮ 6

b. n5_{- 5n}3 + 4n ⋮ 120 Víi ∀ n ∈ N
<b>Bµi 2</b>: CMR: n4_{+ 6n}3_{+ 11n}2_{+ 6n ⋮ 24 Víi ∀ n ∈ Z}
<b>Bµi 3</b>: CMR: Víi n lẻ thì

a. n2_{+ 4n + 3 ⋮ 8}
b. n3_{+ 3n}2_{- n - 3 ⋮ 48}
c. n12_{- n}8_{- n}4_{+ 1 ⋮ 512}

<b>Bµi 4</b>: Víi p lµ sè nguyªn tè p > 3 CMR : p2_{- 1 ⋮ 24}

<b>Bµi 5</b>: CMR: Trong 1900 sè tự nhiên liên tiếp có 1 số có tổng các chữ số chia hết cho
27.

<b>Hớng dẫn - Đáp sè </b>

<b>Bµi 1</b>:

a) n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n + 1) + (n + 2)]

= n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2) ⋮ 6
b) n5_{- 5n}3_{+ 4n = (n}4_{- 5n}2_{+ 4)n}

= n(n2_{- 1) (n}2_{- 4)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>TRƯỜNG THCS TH TRN</b>

Vì sự nghiệp giáo dục

= n(n3_{+ 6n}2_{+ 6 + 11n)}

= n(n + 1) (n + 2) (n + 3) ⋮ 24
<b>Bµi 3</b>:

a) n2_{+ 4n + 3 = (n + 1) (n + 3) ⋮ 8}
b) n3_{+ 3n}2_{- n - 3 = n}2_{(n + 3) - (n + 3)}

= (n2_{- 1) (n + 3)}

= (n + 1) (n - 1) (n + 3)

= (2k + 4) (2k + 2) (2k víi n = 2k + 1, k ∈ N)
= 8k(k + 1) (k +2) ⋮ 48

c) n12_{- n}8_{- n}4_{+ 1 = n}8_(n4_{- 1) - (n}4_{- 1)}
= (n4_{- 1) (n}8_{- 1)}

= (n4_{- 1)}2_(n4_{+ 1)}

= (n2_{- 1)}2_(n2_{- 1)}2_(n4_{+ 1)}
= 16[k(k + 1)2_(n2_{+ 1)}2_(n4_{+ 1)}

Víi n = 2k + 1 ⇒ n2_{+ 1 vµ n}4_{+ 1 là những số chẵn (n}2_{+ 1)}2₂

n4_{+ 1 ⋮ 2}
⇒ n12_{- n}8_{- n}4_{+ 1 ⋮ (2}4_.22_{. 2}2_{. 1 . 2}1₎

VËy n12_{- n}8_{- n}4_{+ 1 ⋮ 512}

<b>Bµi 4</b>: Cã p2_{- 1 = (p - 1) (p + 1) vì p là số nguyên tố p > 3}
⇒ p ⋮ 3 ta cã: (p - 1) (p + 1) ⋮ 8

vµ p = 3k + 1 hc p = 3k + 2 (k ∈ N)
⇒ (p - 1) (p + 1) ⋮ 3

VËy p2_{- 1 24}

<b>Bài 5</b>: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là
n, n +1; n + 2; ... ; n + 1989 (1)

trong 1000 tù nhiªn liªn tiÕp n, n + 1; n + 2; ...; n + 999

có 1 số chia hết cho 1000 giả sử n0, khi đó n0 có tận cùng là 3 chữ số 0 giả sử tổng các
chữ số của n₀ là s khi đó 27 số n₀, n₀ + 9; n₀ + 19; n₀ + 29; n₀ + 39; ...;

n₀ + 99; n₀ + 199; ...; n₀ + 899 (2)

Cã tỉng c¸c chữ số lần lợt là: s; s + 1 ...; s + 26
Cã 1 sè chia hÕt cho 27 (§PCM)

<b>* Chó ý</b>: n + 899 ≤ n + 999 + 899 < n + 1989
⇒ Các số ở (2) nằm trong dÃy (1)

<b>3. Phơng pháp 3:xét tập hợp số d trong phép chia</b>

<b>Ví dụ 1</b>: CMR: Víi ∀ n ∈ N

Th× A(n) = n(2n + 7) (7n + 7) chia hÕt cho 6
<b>Giải </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>TRNG THCS TH TRN</b>

Vì sự nghiƯp gi¸o dơc

Ta chøng minh A_(n) ⋮ 3

LÊy n chia cho 3 ta đợc n = 3k + 1 (k ∈ N)
Víi r ∈ {0; 1; 2}

Víi r = 0 ⇒ n = 3k ⇒ n ⋮ 3 ⇒ A(n) ⋮ 3

Víi r = 1 ⇒ n = 3k + 1 ⇒ 2n + 7 = 6k + 9 ⋮ 3 ⇒ A(n) ⋮ 3
Víi r = 2 ⇒ n = 3k + 2 ⇒ 7n + 1 = 21k + 15 ⋮ 3 ⇒ A(n) ⋮ 3
⇒ A(n) ⋮ 3 víi ∀ n mµ (2, 3) = 1

VËy A(n) ⋮ 6 víi ∀ n ∈ N

<b>VÝ dơ 2</b>: CMR: NÕu n ⋮3 th× A(n) = 32n + 3n + 1 13 Với n N
<b>Giải </b>

Vì n ⋮3 ⇒ n = 3k + r (k ∈ N); r ∈ {1; 2; 3}
⇒ A(n) = 32(3k + r) + 33k+r + 1

= 32r₍₃6k_{- 1) + 3}r₍₃3k_{- 1) + 3}2r_{+ 3}r_{+ 1}

ta thÊy 36k_{- 1 = (3}3₎2k_{- 1 = (3}3_{- 1)M = 26M ⋮ 13}
33k_{- 1 = (3}3_{- 1)N = 26N ⋮ 13}

víi r = 1 ⇒ 32n_{+ 3}n_{+ 1 = 3}2_{+ 3 +1 = 13 ⋮ 13}
⇒ 32n_{+ 3}n_{+ 1 ⋮ 13}

víi r = 2 ⇒ 32n_{+ 3}n_{+ 1 = 3}4_{+ 3}2_{+ 1 = 91 ⋮ 13}
⇒ 32n_{+ 3}n_{+ 1}

Vậy với n ⋮ 3 thì A(n) = 32n + 3n + 1 ⋮ 13 Với ∀ n ∈ N
<b>Ví dụ 3</b>: Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2n_{- 1 ⋮ 7}

<b>Gi¶i </b>

LÊy n chia cho 3 ta cã n = 3k + 1 (k ∈ N); r ∈ {0; 1; 2}
Víi r = 0 ⇒ n = 3k ta cã

2n_{- 1 = 2}3k_{- 1 = 8}k_{- 1 = (8 - 1)M = 7M ⋮ 7}
víi r =1 ⇒ n = 3k + 1 ta cã:

2n_{- 1 = 2}8k +1_{- 1 = 2.2}3k_{- 1 = 2(2}3k_{- 1) + 1}
mµ 23k - 1 ⋮ 7 ⇒ 2n_{- 1 chia cho 7 d− 1}

víi r = 2 ⇒ n = 3k + 2 ta cã :
2n_{- 1 = 2}3k + 2_{- 1 = 4(2}3k_{- 1) + 3}
mµ 23k - 1 ⋮ 7 ⇒ 2n_{- 1 chia cho 7 d− 3}
VËy 23k - 1 ⋮ 7 ⇔ n = 3k (k N)

<b>Bài tập tơng tự </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>TRNG THCS TH TRN</b>

Vì sự nghiệp giáo dục

<b>Bài 2</b>: Cho A = a₁ + a₂ + ... + a_n

B = a5
1 + a

5

2 + ... + a
5

n

<b>Bài 3</b>: CMR: Nếu (n, 6) =1 thì n2_{- 1 ⋮ 24 Với ∀ n ∈ Z}
<b>Bài 4</b>: Tìm số tự nhiên W để 22n_{+ 2}n_{+ 1 ⋮ 7}

<b>Bài 5</b>: Cho 2 số tự nhiên m, n để thoả mãn 24m4_{+ 1 = n}2
CMR: mn ⋮ 55

<b>H−íng dẫn - Đáp số </b>

<b>Bài 1</b>: + A_(n) 6

+ LÊy n chia cho 5 ⇒ n = 5q + r r ∈ {0; 1; 2; 3; 4}
r = 0 ⇒ n ⋮ 5 ⇒ A_(n) ⋮ 5

r = 1, 4 ⇒ n2 + 4 ⋮ 5 ⇒ A
(n) ⋮ 5
r = 2; 3 ⇒ n2 + 1 ⋮ 5 ⇒ A

(n) ⋮ 5
⇒ A_(n) ⋮ 5 ⇒ A_(n) ⋮ 30

<b>Bµi 2</b>: XÐt hiÖu B - A = (a5

1 - a1) + ... + (a5n - an)
ChØ chøng minh: a5

i - ai 30 l

<b>Bài 3</b>: Vì (n, 6) =1 ⇒ n = 6k + 1 (k ∈ N)
Víi r ∈ {±1}

r = ±1⇒ n2_{- 1 ⋮ 24}
<b>Bµi 4</b>: XÐt n = 3k + r (k ∈ N)

Víi r ∈ {0; 1; 2}

Ta cã: 22n_{+ 2}n_{+ 1 = 2}2r₍₂6k_{- 1) + 2}r₍₂3k_{- 1) + 2}2n_{+ 2}n_{+ 1}
Làm tơng tự VD3

<b>Bài 5</b>: Có 24m4_{+ 1 = n}2_{= 25m}4_{- (m}4_{- 1)}
Khi m ⋮ 5 ⇒ mn ⋮ 5

Khi m ⋮ 5 th× (m, 5) = 1 ⇒ m4_{- 1 ⋮ 5}
(V× m5 - m ⋮ 5 ⇒ (m4 - 1) ⋮ 5 ⇒ m4_{- 1 ⋮ 5)}
⇒ n2 ⋮ 5 ⇒ n

i5
VËy mn ⋮ 5

<b>4. Phơng pháp 4:</b>sử dụng phơng pháp phân tích thành nhân tử

Giả sử chứng minh a_n k

Ta có thể phân tích a_n chứa thừa số k hoặc phân tích thành các thừa số mà các
thừa số đó chia hết cho các thừa số của k.

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN</b>

V× sù nghiƯp gi¸o dơc

= (33_{+ 2}3_{) (3}3_{- 2}3_)M

= 35.19M ⋮ 35 VËy 36n_{- 2}6n ⋮ 35 Víi ∀ n ∈ N
<b>VÝ dơ 2</b>: CMR: Víi ∀ n là số tự nhiên chăn thì biểu thức
A = 20n_{+ 16}n_{- 3}n_{- 1 ⋮ 232}

<b>Giải </b>
Ta thấy 232 = 17.19 mà (17;19) = 1 ta chøng minh

A ⋮ 17 vµ A ⋮ 19 ta cã A = (20n_{- 3}n_{) + (16}n_{- 1) cã 20}n_{- 3}n_{= (20 - 3)M ⋮ 17M}
16n_{- 1 = (16 + 1)M = 17N ⋮ 17 (n ch½n)}

⇒ A ⋮ 17 (1)

ta cã: A = (20n_{- 1) + (16}n_{- 3}n₎
cã 20n_{- 1 = (20 - 1)p = 19p ⋮ 19}

cã 16n_{- 3}n_{= (16 + 3)Q = 19Q ⋮ 19 (n ch½n)}
⇒ A ⋮ 19 (2)

Tõ (1) vµ (2) ⇒ A ⋮ 232

<b>VÝ dô 3</b>: CMR: nn_{- n}2_{+ n - 1 ⋮ (n - 1)}2_{Víi ∀ n >1}

<b>Gi¶i </b>
Víi n = 2 ⇒ nn_{- n}2_{+ n - 1 = 1}

vµ (n - 1)2_{= (2 - 1)}2_{= 1}
⇒ nn_{- n}2_{+ n - 1⋮ (n - 1)}2

với n > 2 đặt A = nn_{- n}2_{+ n - 1 ta có A = (n}n_{- n}2_{) + (n - 1)}
= n2_(nn-2_{- 1) + (n - 1)}

= n2_{(n - 1) (n}n-3_{+ n}n-4_{+ … + 1) + (n - 1)}
= (n - 1) (nn-1_{+ n}n-2_{+ … + n}2 ₊₁₎

= (n - 1) [(nn-1_{- 1) + … +( n}2 _{- 1) + (n - 1)]}
= (n - 1)2_{M ⋮ (n - 1)}2

Vậy A (n - 1)2_(ĐPCM)

<b>Bài tập tơng tự </b>

<b>Bài 1</b>: CMR: a. 32n +1 _{+ 2}2n +2_{⋮ 7}
b. mn(m4_{- n}4_{) ⋮ 30}

<b>Bµi 2</b>: CMR: A_(n) = 3n_{+ 63 ⋮ 72 víi n ch½n n ∈ N, n ≥ 2}
<b>Bµi 3</b>: Cho a vµ b lµ 2 sè chÝnh phơng lẻ liên tiếp
CMR: a. (a - 1) (b - 1) ⋮ 192

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>TRƯỜNG THCS THỊ TRN</b>

Vì sự nghiệp giáo dục

<b>Hớng dẫn - Đáp sè </b>

<b>Bµi 1</b>: a. 32n +1 _{+ 2}2n +2_{= 3.3}2n_{+ 2.2}n
= 3.9n_{+ 4.2}n

= 3(7 + 2)n_{+ 4.2}n
= 7M + 7.2n_{⋮ 7}

b. mn(m4_{- n}4_{) = mn(m}2_{- 1)(m}2_{+ 1) - mn(n}2_{- 1) (n}2_{+ 1) ⋮ 30}
<b>Bµi 3</b>: Cã 72 = 9.8 mµ (8, 9) = 1 vµ n = 2k (k ∈ N)

cã 3n_{+ 63 = 3}2k_{+ 63}
= (32k_{- 1) + 64 ⇒ A}

(n) ⋮ 8

<b>Bµi 4</b>: §Ỉt a = (2k - 1)2_{; b = (2k - 1)}2_{(k ∈ N)}

Ta cã (a - 1)(b - 1) = 16k(k + 1)(k - 1) ⋮ 64 vµ 3
<b>Bµi 5</b>: Cã 60 = 3.4.5 §Ỉt M = abc

Nếu a, b, c đều khơng chia hết cho 3 ⇒ a2_{, b}2_{và c}2_{chia hết cho 3 đều d− 1}
⇒ a2_{≠ b}2_{+ c}2_{. Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 3. Vậy M ⋮ 3}

Nếu a, b, c đều không chia hết cho 5 ⇒ a2_{, b}2_{và c}2_{chia 5 d− 1 hoặc 4 ⇒ b}2_{+ c}2
chia 5 thì d− 2; 0 hoặc 3.

⇒ a2_{≠ b}2_{+ c}2_{. Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 5. Vậy M ⋮ 5}
Nếu a, b, c là các số lẻ ⇒ b2_{và c}2_{chia hết cho 4 d− 1.}
⇒ b2_{+ c}2_≡_{(mod 4)}_{⇒ a}2_{≠ b}2_{+ c}2

Do đó 1 trong 2 số a, b phải là số chẵn.

Giả sử b là s chn

Nếu C là số chẵn M 4

Nếu C là số lẻ mà a2_{= b}2_{+ c}2_{a là số lẻ}
b2_{= (a - c) (a + b) ⇒} _





 −





 +
=







2
2

2

2

<i>c</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>a</i>
<i>b</i>

⇒
2

<i>b</i>_{ch½n ⇒ b ⋮ 4 ⇒ m ⋮ 4}
VËy M = abc ⋮ 3.4.5 = 60

<b>5. Ph−ơng pháp 5:biến đổi biểu thức cần chứng minh </b>

<b>vỊ d¹ng tỉng </b>

Giả sử chứng minh A(n) ⋮ k ta biến đổi A(n) về dạng tổng của nhiều hạng tử và chứng
minh mọi hạng tử đều chia hết cho k.

<b>VÝ dô 1</b>: CMR: n3_{+ 11n ⋮ 6 víi ∀ n ∈ z.}
<b>Gi¶i </b>
Ta cã n3_{+ 11n = n}3_{- n + 12n = n(n}2_{- 1) + 12n}

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN</b>

V× sù nghiƯp gi¸o dơc

VËy n3_{+ 11n ⋮ 6}

<b>VÝ dơ 2</b>: Cho a, b ∈ z tho¶ m·n (16a +17b) (17a +16b) ⋮ 11
CMR: (16a +17b) (17a +16b) 121

<b>Giải </b>
Có 11 số nguyên tố mµ (16a +17b) (17a +16b) ⋮ 11
⇒ 




+
+

11
16b
17a

11
17b
16a

⋮
⋮

(1)

Cã 16a +17b + 17a +16b = 33(a + b) ⋮ 11 (2)
Tõ (1) vµ (2) ⇒







+

+

11

16b

17a

11

17b

16a

⋮

⋮

VËy (16a +17b) (17a +16b) ⋮ 121

<b>VÝ dô 3</b>: T×m n ∈ N sao cho P = (n + 5)(n + 6) ⋮ 6n.
<b>Gi¶i </b>
Ta cã P = (n + 5)(n + 6) = n2_{+ 11n + 30}

= 12n + n2_{- n + 30}
Vì 12n ⋮ 6n nên để P ⋮ 6n ⇔ n2_{- n + 30 ⋮ 6n}
⇔




⇔





(2)
n
30

(1)
3
1)

-n(n
6n

30
6
n

-n2

⋮
⋮
⋮

⋮

Tõ (1) ⇒ n = 3k hc n = 3k + 1 (k ∈ N)
Tõ (2) ⇒ n ∈ {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
VËy tõ (1); (2) ⇒ n ∈ {1; 3; 6; 10; 15; 30}
Thay các giá trị của n vµo P ta cã

n ∈ {1; 3; 10; 30} là thoả mÃn

Vậy n {1; 3; 10; 15; 30} th× P = (n + 5)(n + 6) 6n.

<b>Bài tập tơng tự </b>

<b>Bài 1</b>: CMR: 13_{+ 3}3_{+ 5}3_{+ 7}3_{⋮ 2}3
<b>Bµi 2</b>: CMR: 36n2_{+ 60n + 24 ⋮ 24}
<b>Bµi 3</b>: CMR: a. 5n+2_{+ 26.5}n_{+ 8} 2n+1_{⋮ 59}

b. 9 2n_{+ 14 ⋮ 5}

<b>Bài 4</b>: Tìm n N sao cho n3_{- 8n}2_{+ 2n ⋮ n}2_{+ 1}

<b>Hớng dẫn - Đáp số </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>TRNG THCS THỊ TRẤN</b>

Vì sự nghiệp giáo dục

Ta thấy n và 3n + 5 không đồng thời cùng chẵn hoặc cùng lẻ

⇒ n(3n + 5) ⋮ 2 ĐPCM
<b>Bài 3</b>: a. 5n+2_{+ 26.5}n_{+ 8} 2n+1

= 5n_{(25 + 26) + 8} 2n+1
= 5n_{(59 - 8) + 8.64} n
= 5n_{.59 + 8.59m ⋮ 59}
b. 9 2n_{+ 14 = 9} 2n_{- 1 + 15}

= (81n_{- 1) + 15}
= 80m + 15 ⋮ 5

<b>Bµi 4</b>: Cã n3_{- 8n}2_{+ 2n = (n}2_{+ 1)(n - 8) + n + 8 ⋮ (n}2_{+ 1) ⇔ n + 8 ⋮ n}2_{+ 1}
NÕu n + 8 = 0 ⇒ n = -8 (tho¶ m·n)

NÕu n + 8 ≠ 0 ⇒ n + 8≥ n2_{+ 1}
⇒









−

≥

≤

−

−

−

≤

≤

+

+

⇒









−

≥

+

≥

+

−

≤

−

≤

+

8

0

7

n

8

0

9

n

8

1

n

8

n

8

1

-n

8

n

2
2
2
2

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

Víi

Víi

Víi

Víi

⇒ n ∈ {-2; 0; 2} thư l¹i
VËy n ∈ {-8; 0; 2}

<b>6. Phơng pháp 6:Dùng quy nạp toán học</b>

Giả sử CM A_(n) ⋮ P víi n ≥ a (1)

B−ớc 1: Ta CM (1) đúng với n = a tức là CM A_(n) ⋮ P

B−ớc 2: Giả sử (1) đúng với n = k tức là CM A_(k) ⋮ P với k ≥ a
Ta CM (1) đúng với n = k + 1 tức là phải CM A_(k+1) ⋮ P
B−ớc 3: Kết luận A_(n) ⋮ P với n ≥ a

<b>VÝ dô 1</b>: Chøng minh A_(n) = 16n - 15n - 1 ⋮ 225 víi ∀ n ∈ N*
<b>Gi¶i </b>

Với n = 1 ⇒ A_(n) = 225 ⋮ 225 vậy n = 1 đúng
Giả sử n = k ≥ 1 nghĩa là A_(k) = 16k_{- 15k - 1 ⋮ 225}
Ta phải CM A_(k+1) = 16 k+1_{- 15(k + 1) - 1 ⋮ 225}
Thật vậy: A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 1

= 16.16k_{- 15k - 16}

= (16k_{- 15k - 1) + 15.16}k_{- 15}
= 16k_{- 15k - 1 + 15.15m}
= A_(k) + 225

mµ A_(k) 225 (giả thiết quy nạp)
225m 225

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<b>TRNG THCS TH TRN</b>

Vì sự nghiệp giáo dơc

<b>VÝ dơ 2</b>: CMR: víi ∀ n ∈ N*_{và n là số tự nhiên lẻ ta có} ₂n _{n 2}

m −1 2⋮ +

<b>Gi¶i </b>

Víi n = 1 ⇒ m2_{- 1 = (m + 1)(m - 1) 8 (vì m + 1; m - 1 là 2 số chẵn liên tiếp nên tích}
của chúng chia hÕt cho 8)

Gi¶ sư víi n = k ta cã 2k k 2

m −1 2⋮ + ta ph¶i chøng minh 2k+1 k 3

m −1 2⋮ +

ThËt vËy 2k k 2

m −1 2⋮ + ⇒ 2k k 2

m − =1 2 + .q víi q∈<b>Z</b>

⇒ ₂k _{k 2}

m =2 + .q+1

cã 2k+1

( )

2k 2

(

k+2

)

2

m − =1 m − =1 2 .q +1 −1

2k+4 2 k+3 k+3 k+1 2 k+3

2 .q 2 .q 2 (2 .q q) 2

= + = + ⋮

VËy 2n n 2

m −1 2⋮ + víi n 1

<b>Bài tập tơng tự </b>

<b>Bài 1</b>: CMR: 33n+3 - 26n - 27 ⋮ 29 víi ∀ n ≥ 1
<b>Bµi 2</b>: CMR: 42n+2_{- 1 ⋮ 15}

<b>Bài 3</b>: CMR số đợc thành lập bởi 3n_{chữ số giống nhau thì chia hết cho 3}n_{với n là số}
nguyên dơng.

<b>Hớng dẫn - Đáp số </b>

<b>Bài 1</b>: Tơng tự ví dụ 1.
<b>Bài 2</b>: Tơng tự ví dụ 1.

<b>Bài 3</b>: Ta cần CM

sèa
<i>n</i>

<i>a</i>

<i>aa</i>

3

...

⋮ 3n₍₁₎

Víi n = 1 ta cã

<i>aa</i>

...

<i>a</i>

=

111

<i>a</i>

⋮

3

Giả sử (1) đúng với n = k tức là

sèa

<i>k</i>

<i>a</i>

<i>aa</i>

3

...

_{⋮ 3}k

Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1 tức là phải chứng minh

a
sè
1
3

...

+
<i>k</i>

<i>a</i>

<i>aa</i>

_{⋮ 3}k+1_{ta cã 3}k+1_{= 3.3}k_{= 3}k_{+ 3}k₊₃k

Cã

<i>k</i>
<i>k</i>
<i>k</i>
<i>k</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>aa</i>

3
3
3
3

...

...

...

...

1

=

+

a
sè

<i>k</i>
<i>k</i>
<i>k</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>aa</i>

<i>a</i>

<i>aa</i>

3
3
3
.
2

...

10

.

...

10

.

...

+

+

=

(

2.3 3

)

1

3

3

1

10

10

...

+

+

+

=

<i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>

<i>k</i>

<i>a</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>TRƯỜNG THCS THỊ TRN</b>

Vì sự nghiệp giáo dục

<b>7. Phng phỏp 7:</b>s dụng đồng d− thức

Giải bài toán dựa vào đồng d− thức chủ yếu là sử dụng định lý Euler và định lý Fermat
<b>Ví dụ 1</b>: CMR: 22225555_{+ 5555}2222_{⋮ 7}

<b>Gi¶i </b>

Cã 2222 ≡ - 4 (mod 7) ⇒ 22225555_{+ 5555}2222 ≡ (- 4)5555_{+ 4}5555_{(mod 7)}
L¹i cã: (- 4)5555_{+ 4}2222_{= - 4}5555_{+ 4}2222

= - 42222₍₄3333_{- 1) =}_-₄₂₂₂₂

(

( )

₄₃ 1111 ₁

)

−
V× 43 = 64 ≡ (mod 7) ⇒

( )

₄3 1111 −₁≡ ₀

(mod 7)
⇒ 22225555_{+ 5555}2222 ≡ 0 (mod 7)

VËy 22225555_{+ 5555}2222_{⋮ 7}

<b>VÝ dô 2</b>: CMR:

3

3

5

22

1
4
1
4
3
2

⋮

+

+

+
+ <i>n</i>
<i>n</i>

với ∀ n ∈ N
<b>Giải </b>
Theo định lý Fermat ta có:

310_{≡ 1 (mod 11)}
210_{≡ 1 (mod 11)}

Ta t×m d− trong phÐp chia lµ 24n+1_{vµ 3}4n+1_{cho 10}
Cã 24n+1_{= 2.16}n_{≡ 2 (mod 10)}

⇒ 24n+1 = 10q + 2 (q ∈ N)
Cã 34n+1_{= 3.81}n ≡ 3 (mod 10)
⇒ 34n+1 = 10k + 3 (k ∈ N)

Ta cã:

3

2

3

3

5

3

10 2

2

10 3
1

4
1

4 ₊ ₊

+

=

+

+

+

+ <i>n</i> <i>_q</i> <i>_k</i>

<i>n</i>

= 32_.310q_{+ 2}3_.210k_{+ 5}
≡ 1+0+1 (mod 2)
≡ 0 (mod 2)
mµ (2, 11) = 1

VËy

3

3

5

22

1
4
1
4
3
2

⋮

+

+

+
+ <i>n</i>
<i>n</i>

víi ∀ n ∈ N
<b>VÝ dơ 3</b>: CMR:

2

7

11

1
4
2

⋮

+

+
<i>n</i>

víi n ∈ N
<b>Gi¶i </b>
Ta cã: 24_{≡ 6 (mod) ⇒ 2}4n+1_{≡ 2 (mod 10)}
⇒ 24n+1_{= 10q + 2 (q ∈ N)}

⇒

2

24<i>n</i>+1

=

2

10<i>q</i>+2

Theo định lý Fermat ta có: 210 ≡ 1 (mod 11)
⇒ 210q ≡ 1 (mod 11)

7

2

7

2

24<i>n</i>+1

+

=

10<i>q</i>+2

+

≡ 4+7 (mod 11) ≡ 0 (mod 11)
VËy

2

7

11

1
4
2

⋮

+

+
<i>n</i>

víi n ∈ N (ĐPCM)

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>TRNG THCS TH TRN</b>

Vì sự nghiệp giáo dục

<b>Bài 1</b>: CMR

2

3

19

2
6

2

+

+

<i>n</i>

với n ∈ N
<b>Bµi 2</b>: CMR víi ∀ n ≥ 1 ta cã

52n-1_{. 2}2n-1₅n+1 _{+ 3}n+1 _.22n-1_{⋮ 38}
<b>Bµi 3</b>: Cho sè p > 3, p ∈ (P)

CMR 3p_{- 2}p_{- 1 ⋮ 42p}

<b>Bài 4</b>: CMR với mọi số nguyên tố p đều có dạng
2n - n (n ∈ N) chia hết cho p.

<b>Hớng dẫn - Đáp số </b>

<b>Bài 1</b>: Làm tơng tự nh− VD3

<b>Bµi 2</b>: Ta thÊy 52n-1_{. 2}2n-1₅n+1 _{+ 3}n+1 _.22n-1₂

Mặt khác 52n-1_{. 2}2n-1₅n+1 _{+ 3}n+1 _.22n-1_{= 2}n₍₅2n-1_{.10 + 9. 6}n-1₎
V× 25 ≡ 6 (mod 19) ⇒ 5n-1 ≡ 6n-1_{(mod 19)}

⇒ 25n-1_{.10 + 9. 6}n-1 _{≡ 6}n-1_{.19 (mod 19) ≡ 0 (mod 19)}
<b>Bài 3</b>: Đặt A = 3p_{- 2}p_{- 1 (p lẻ)}

Dễ dàng CM A 2 và A ⋮ 3 ⇒ A ⋮ 6
NÕu p = 7 ⇒ A = 37_{- 2}7_{- 1 ⋮ 49 ⇒ A ⋮ 7p}
NÕu p ≠ 7 ⇒ (p, 7) = 1

Theo định lý Fermat ta có:
A = (3p_{- 3) - (2}p_{- 2) ⋮ p}
Đặt p = 3q + r (q ∈ N; r = 1, 2)
⇒ A = (33q+1_{- 3) - (2}3q+r_{- 2)}

= 3r_.27q_{- 2}r_.8q_{- 1 = 7k + 3}r_(-1)q_{- 2}r - 1 (k N)
với r = 1, q phải chẵn (vì p lẻ)

A = 7k - 9 - 4 - 1 = 7k - 14

VËy A ⋮ 7 mµ A ⋮ p, (p, 7) = 1 ⇒ A ⋮ 7p
Mµ (7, 6) = 1; A ⋮ 6

⇒ A ⋮ 42p.

<b>Bài 4</b>: Nếu P = 2 ⇒ 22_{- 2 = 2 ⋮ 2}
Nếu n > 2 Theo định lý Fermat ta có:
2p-1 ≡ 1 (mod p)

⇒ 2m(p-1)_{≡ 1 (mod p) (m ∈ N)}
XÐt A = 2m(p-1)_{+ m - mp}
A ⋮ p ⇒ m = kq - 1

Nh− vậy nếu p > 2 ⇒ p có dạng 2n_{- n trong đó}
N = (kp - 1)(p - 1), k ∈ N đều chia hết cho p

<b>8. Phơng pháp 8:</b>sửdụng nguyên lý Đirichlet

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>TRNG THCS TH TRN</b>

Vì sự nghiệp giáo dục

<b>Ví dụ 1</b>: CMR: Trong n + 1 sè nguyªn bÊt kú cã 2 sè cã hiƯu chia hÕt cho n.
Gi¶i

Lấy n + 1 số nguyên đã cho chia cho n thì đ−ợc n + 1 số d− nhận 1 trong các số sau: 0;
1; 2; …; n - 1

⇒ cã Ýt nhÊt 2 sè d− cã cïng sè d− khi chia cho n.
Gi¶ sư ai = nq1 + r 0 ≤ r < n

a_j = nq₂ + r a₁; q₂ ∈ N
⇒ a_j- a_j = n(q₁ - q₂) ⋮ n

VËy trong n +1 sè nguyªn bÊt kú cã 2 sè cã hiÖu chia hÕt cho n.

Nếu không có 1 tổng nào trong các tổng trên chia hÕt cho n nh− vËy sè d− khi
chia mỗi tổng trên cho n ta đợc n số d là 1; 2; ; n - 1

Vậy theo nguyên lý Đirichlet sẽ tồn tại ít nhất 2 tổng mà chi cho n cã cïng sè d−
⇒ (theo VD1) hiệu cùadr tổng này chia hết cho n (ĐPCM).

<b>Bài tập tơng tự </b>

<b>Bài 1</b>: CMR: Tồn tại n N sao cho 17n_{- 1 ⋮ 25}

<b>Bµi 2</b>: CMR: Tån t¹i 1 béi cđa sè 1993 chØ chøa toàn số 1.

<b>Bài 3</b>: CMR: Với 17 số nguyên bÊt kú bao giê cịng tån t¹i 1 tỉng 5 số chia hết cho 5.
<b>Bài 4</b>: Có hay không 1 sè cã d¹ng.

19931993...1993000...00 ⋮ 1994

<b>H−íng dÉn - Đáp số </b>

<b>Bài 1</b>: Xét dÃy số 17, 172_{, , 17}25_{(tơng tự VD2)}
<b>Bài 2</b>: Ta có 1994 số nguyên chứa toàn bộ số 1 là:

1
11
111
…

1
sè
1994

11

111

…

Khi chia cho 1993 th× cã 1993 sè d theo nguyên lý Đirichlet có ít nhất 2 sè cã cïng
sè d−.

Giả sử đó là

a_i = 1993q + r 0 ≤ r < 1993
aj = 1993k + r i > j; q, k ∈ N
⇒ aj - aj = 1993(q - k)

)

(

1993

0

00

11

111





…









…



=

<i>q</i>

−

<i>k</i>

0
sè
i
1
sè
1994
j

-i

)

(

1993

10

.

11

111





…





<i>j</i>

=

<i>q</i>

−

<i>k</i>

1
sè
1994
j

-i

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<b>TRƯỜNG THCS THỊ TRN</b>

Vì sự nghiệp giáo dục

1
số
1994

11

111

_{1993 (ĐPCM)}

<b>Bài 3</b>: Xét dÃy số gồm 17 số nguyên bất kỳ là
a1, a2, , a17

Chia các số cho 5 ta đợc 17 số d ắt phải có 5 sè d− thc tËp hỵp{0; 1; 2; 3; 4}

NÕu trong 17 sè trªn cã 5 sè khi chia cho 5 cã cïng sè d− th× tỉng cđa chóng sÏ
chia hÕt cho 5.

NÕu trong 17 sè trªn không có số nào có cùng số d khi chia cho 5 ⇒ tån t¹i 5
sè cã sè d− khác nhau tổng các số d là: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10 ⋮ 10

VËy tỉng cđa 5 sè nµy chia hÕt cho 5.
<b>Bµi 4</b>: XÐt d·y sè a₁ = 1993, a₂ = 19931993, …

a1994 =

1993
sè
1994

1993

1993

…

®em chia cho 1994 ⇒ cã 1994 sè d− thuéc tËp {1; 2; …; 1993} theo nguyªn lý
Đirichlet có ít nhất 2 số hạng có cùng sè d−.

Gi¶ sư: ai = 1993 … 1993 (i sè 1993)
a_j = 1993 … 1993 (j sè 1993)
⇒ a_j- a_j ⋮ 1994 1 ≤ i < j ≤ 1994
⇒

1993

1993

.

10

<i>ni</i>

1993

1993
số

i

-j

<b>9. Phơng pháp 9:phơng pháp phản chứng</b>

Để CM A(n) p (hoặc A(n) p )
+ Giả sư: A(n) ⋮ p (hc A(n) ⋮ p )
+ CM trên giả sử là sai

+ Kết luận: A(n) ⋮ p (hc A(n) ⋮ p )

<b>VÝ dơ 1</b>: CMR n2 + 3n + 5 ⋮ 121 víi ∀ n N

Giả sử tồn tại n N sao cho n2_{+ 3n + 5 ⋮ 121}
⇒ 4n2_{+ 12n + 20 ⋮ 121 (v× (n, 121) = 1)}

⇒ (2n + 3)2_{+ 11 ⋮ 121 (1)}
(2n + 3)2₁₁

Vì 11 là sè nguyªn tè ⇒ 2n + 3 ⋮ 11
⇒ (2n + 3)2_{⋮ 121 (2)}
Tõ (1) vµ (2) ⇒ 11 ⋮ 121 v« lý

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<b>TRƯỜNG THCS TH TRN</b>

Vì sự nghiệp giáo dục

<b>Ví dụ 2</b>: CMR n2 - 1 ⋮ n víi ∀ n N*

<b>Giải </b>
Xét tập hợp số tự nhiên N*

Giả sử ∃ n ≥ 1, n ∈ N*_{sao cho n}2_{- 1 ⋮ n}

Gọi d là −ớc số chung nhỏ nhất khác 1 của n ⇒ d ∈ (p) theo định lý Format ta có
2d-1 ≡ 1 (mod d) ⇒ m < d

ta chøng minh m\n

Gi¶ sö n = mq + r (0 ≤ r < m)

Theo gi¶ sư n2 - 1 ⋮ n ⇒ nmq+r_{- 1 ⋮ n}

⇒ 2r_(nmq_{- 1) + (2}r - 1) ⋮ n ⇒ 2r - 1 ⋮ d vì r < m mà m N, m nhá nhÊt kh¸c 1 cã tÝnh
chÊt (1)

⇒ r = 0 ⇒ m\n mµ m < d cịng cã tính chất (1) nên điều giả sử là sai.
Vậy n2_{- 1 ⋮ n víi ∀ n ∈ N}*

<b>Bµi tập tơng tự </b>

<b>Bài 1</b>: Có tồn tại n N sao cho n2_{+ n + 2 ⋮ 49 không?}

<b>Bài 2</b>: CMR: n2_{+ n + 1 9 víi ∀ n ∈ N}*

<b>Bµi 3</b>: CMR: 4n2_{- 4n + 18 ⋮ 289 víi ∀ n ∈ N}

<b>Hớng dẫn - Đáp số </b>

<b>Bi 1</b>: Gi s tn tại n ∈ N để n2_{+ n + 2 ⋮ 49}
⇒ 4n2_{+ 4n + 8 ⋮ 49}

⇒ (2n + 1)2_{+ 7 ⋮ 49 (1) (2n + 1)}2₇

Vì 7 là số nguyªn tè ⇒ 2n + 1 ⋮ 7 ⇒ (2n + 1)2_{⋮ 49 (2)}
Tõ (1); (2) ⇒ 7 49 vô lý.

<b>Bài 2</b>: Giả sử tồn tại n2_{+ n + 1 ⋮ 9 víi ∀ n}
⇒ (n + 2)(n - 1) + 3 ⋮ 3 (1)

vì 3 là số nguyên tố 

+

3
1

3
2

<i>n</i>
<i>n</i>

(n + 2)(n - 1) ⋮ 9 (2)
Tõ (1) và (2) 3 9 vô lý

<b>Bi 3</b>: Giả sử ∃ n ∈ N để 4n2_{- 4n + 18 ⋮ 289}
⇒ (2n - 1)2_{+ 17 ⋮ 17}2

⇒ (2n - 1) ⋮ 17

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<b>TRNG THCS TH TRN</b>

Vì sự nghiệp giáo dục

<b>Môc lôc </b>

<b>Néi dung </b> <b> Trang</b>

A Mở đầu... 1

B Nội dung... 2

Phần I: Tóm tắt lý thuyết... 2

Phần II: Các phơng pháp giải các bài toán chia hết... 4

1. Phơng pháp sử dụng dấu hiệu chia hết ... 4

2. Phơng pháp sử dụng tính chất chia hết... 6

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<b>TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN</b>

V× sù nghiệp giáo dục

4. Phơng pháp sử dụng các phơng pháp phân tích thành nhân tử... 10

5. Phng phỏp biến đổi biểu thức cần chứng minh về dạng tổng... 11

6. Phơng pháp quy nạp toán học... 13

7. Ph−ơng pháp sử dụng đồng d− thức ... 14

8. Phơng pháp sử dụng nguyên lý Đirichlet ... 16

</div>

<!--links-->