chuyen de8a GTLN GTNN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.01 MB, 25 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

V× sù nghiƯ

V× sù nghiƯp gi¸o dơc

p gi¸o dơc

Ngày giảng: / / 2011 Sĩ số:

CHUYÊN ĐỀ : CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC

I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC
1) Cho biểu thức f(x)

a) Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x) kí hiệu max f = M nếu hai ñiều
kiện sau ñây ñược thoả mãn:

- Với mọi x để f(x) xác định thì :
f(x) ≤ M ( M hằng số) (1)

- Tồn tại xo sao cho:

f( xo) = M (2)

b) Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x) kí hiệu min f = m nếu hai ñiều
kiện sau ñây ñược thoả mãn :

- Với mọi x ñể f(x) xác định thì :
f(x) ≥ m ( m hằng số) (1’)

- Tồn tại xo sao cho:

f( xo) = m (2’)

2) Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa có thể nói gì về cực trị của một
biểu thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x- 1)2 + ( x – 3)2. Mặc dù ta có A ≥ 0
nhưng chưa thể kết luận ñược minA = 0 vì khơng tồn tại giá trị nào của x ñể A = 0

ta phải giải như sau:

A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2 ≥ 2
A = 2 ⇔x -2 = 0 ⇔ x = 2

Vậy min A = 2 khi chỉ khi x = 2

II/ TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN

1/ Tam thức bậc hai:

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

Vì sự nghiệ

Vì sự nghiệp giáo dục

Vì sự nghiệ

p giáo dục

p giáo dôc

Tìm GTNN của P nếu a〉 0.
Tìm GTLN của P nếu a 〈 0
Giải : P = ax2 + bx +c = a( x2 +

a
b

x ) + c = a( x +
a
b
2 )

+ c -

4
b

a
Đặt c -

a
b
4

= k . Do ( x +
a
b
2 )

2 ≥ 0 nên :

- Nếu a 〉 0 thì a( x +
a
b
2 )

≥0 , do đó P ≥ k. MinP = k khi và chỉ khi x = -
a

b
2

-Nếu a 〈0 thì a( x +
a
b
2 )

≤` 0 do đó P ≤` k. MaxP = k khi và chỉ khi x = -
a
b
2

2/ Đa thức bậc cao hơn hai:

Ta có thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai

Ví dụ : Tìm GTNN của A = x( x-3)(x – 4)( x – 7)
Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12)

Đặt x2 – 7x + 6 = y thì A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36 ≥ -36
minA = -36 ⇔ y = 0 ⇔ x2 – 7x + 6 = 0 ⇔ x1 = 1, x2 = 6.

3/ Biểu thức là một phân thức :

a/ Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai:

Ví dụ : Tìm GTNN của A = 2

9
5
6

2
x
x− − .
Giải : A = 2

9
5
6

2
x

x− − . = 9 6 5
2

2 − +

−
x

x = (3 1) 4
2

2+

−

x .

Ta thấy (3x – 1)2 ≥ 0 nên (3x – 1) 2 +4 ≥ 4 do đó 1 2

(3x−1) +4 ≤ 4
1

theo tính chất

a ≥ b thì
a
1

≤
b
1

với a, b cùng dấu). Do đó

4
)
1
3
(

2 +

−
−

x ≥ 4
2

−

⇒ A ≥
-2
1

minA =
-2
1

⇔ 3x – 1 = 0 ⇔ x =
3
1

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

V× sù nghiƯ

V× sù nghiƯp gi¸o dơc

p gi¸o dơc

1. Tìm GTLN của BT : A 2 1

x 4x 9
=

− +

HD giải:

(

)

2
2

1 1 1 1

A . max A= x 2

x 4x 9 x 2 5 5 5

= = ≤ ⇔ =

− + − + .

2. Tìm GTLN của BT : A 2 1
x 6x 17
=

− +

HD Giải:

(

)

2
2

1 1 1 1

A . max A= x 3

x 6x 17 x 3 8 8 8

= = ≤ ⇔ =

− + − +

3. (51/217) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2
3
A

2 x 2x 7

+ − + +

b/ Phân thức có mẫu là bình phương của nhị thức.

Ví dụ : Tìm GTNN của A =

1
2
6
8
3
2
2
+
−

+
−
x
x
x
x
.

Giải : Cách 1 : Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm

A =

(

) (

)

2 2

2 2 1 4 4

2 1

x x x x

x x

− + + − +

− + = 2 + 2

2
)

1
(
)
2
(
−
−
x
x

≥ 2
min A = 2 khi và chi khi x = 2.

Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có :
A =

(

)

(

)

2 2 2

3( 1) 8( 1) 6 3 6 3 8 8 6 3 2 1
2 1 2 2 1

1 2 1 1

y y y y y y y

y y y y

y y

+ − + + + + − − + − +

= =

+ + − − +

+ − + + = 3 - y

2
+ 12

y = ( y
1

-1)2 +

minA = 2 ⇔ y = 1 ⇔ x – 1 = 1 ⇔ x = 2

Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán ñại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH)
1, (13/200) Tìm GTNN và GTLN của bt:

2
2

x 1

x x 1

+
=

− +

2, (36/210) Tìm GTNN của bt :

x 2x 2006

− +

3, ( 45/ 214) Tìm GTNN và GTLN của bt:

2
2

x
C

x 5x 7

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

Vì sự nghiệ

Vì sự nghiệp giáo dục

Vì sự nghiệ

p giáo dục

p giáo dơc

4, ( 47, 48 /215) Tìm GTNN của bt : a,

2
2

x 2x 2

x 2x 3

+ +

+ + b,

2
2

x 2x 1

2x 4x 9

+ −

+ +

c/ Các phân thức dạng khác:

Ví dụ : Tìm GTNN và GTLN của A =

1
4
3
2 +
−
x
x

Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số :
A =

1
1
4

4
2
2
2
+
−
−
+
−
x
x
x
x
=
1
)
2
(
2
2
+
−
x
x

- 1 ≥ -1

Min A= -1 khi và chỉ khi x = 2
Tìm GTLN A =

1
1
4
4
4
4
2
2
2
+
−
−
−
+
x
x
x
x

= 4 -

1
)
1
2
(
2
2
+
+

x
x

≤ 4

Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán ñại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH)

1, (42, 43/ 221) Tìm GTLN của bt: a, A 2

2
x
x
=

+ b,

(

)

2
3
2
B
2
x
x
=
+

3, (35, 36 / 221) Tìm GTNN của bt: a,

4 4
C x x

x
+ +

= Với x > 0; b,

5
3
2
D x
x
+

= Với x

> 0

4, (34, 36/ 221) Tìm GTNN của bt: a, 2

2
E x

= + với x > 0; b,

3
2

1
F= x +

x Với x >

6, (68/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt:

(

)

2
2 17
2 1
x x
Q
x
+ +
=

+ Với x > 0

7, (69/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: R 6 34

3
x x

x

+ +

+ Với x > 0

8, (70/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt:

2000
S x

x
+

= Với x > 0

III/ TÌM GTNN, GTLN CỦA BT CĨ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN

Ví dụ : Tìm GTNN của A = x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

Vì sự nghiệ

Vì sự nghiệp giáo dơc

p gi¸o dơc

A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2

Đến đây ta có nhiều cách giải

Cách 1: sử dụng ñiều kiện ñã cho làm xuất hiện một biểu thức có chứa A

x + y = 1 ⇒ x2 + 2xy + y2 = 1 (1)

Mà (x – y)2 ≥ 0 Hay: x2 - 2xy + y2 ≥ 0 (2)

Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 ) ≥ 1 ⇒ x2 + y2 ≥

2
1

minA =

2
1

khi và chỉ khi x = y =

2
1

Cách 2: Biểu thị y theo x rồi ñưa về tam thức bậc hai ñối với x. Thay y = x – 1 vào A

A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 -

2
1

)2 +

≥

2
1

minA =

2
1

khi và chỉ khi x = y =

2
1

Cách 3/ Sử dụng ñiều kiện ñã cho ñể dưa về một biến mới
Đặt x =

2
1

+ a thì y =

2
1

- a . Biểu thị x2 + y2 ta ñược :

x2 + y 2 = (

2
1

+ a)2 + (

2
1

- a)2 =

2
1

+2 a2 ≥

2
1

=> MinA =

2
1

⇔ a = 0 ⇔ x=y =

2
1

Bài tập 1: Tìm Min A = 2 2

3 3 2014
a +ab b+ − a− b+
Cách 1 Ta có: A= 2 2

2 1 2 1 1 2011

a − a+ +b − b+ +ab a b− − + +

2 2

= a −2a+ +1 b −2b+ +1 ab a b− − + +1 2011

(

) (

)

(

) (

)

= a 1− + b−1 +a b− −1 b− +1 2011= a 1

(

−

) (

2+ b−1

) (

2+ a−1

)(

b− +1

)

2011

(

)

(

) (

)

(

)

2 2

2 1 1 3 1

a 1 2 1 2011

2 4 4

b b b

a − − −

= − + − + + +

(

)

2
2

3 1
1

= a 1 + 2011

2 4

b

b− −

 − +  +

 

 

Min A = 2011 khi

a 1 0

1
2

1 0
b

a b
b

−

 − + =

 ⇔ = =


 − =


</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

Vì sự nghiệ

Vì sự nghiệp giáo dục

Vì sự nghiệ

Vì sự nghiƯ

p gi¸o dơc

(

)

(

)

(

) (

)

2 2 2 2 2 2

2 1 2

2A 2 3 3 2014 = a 2 1 2 1 a 2 2.2 4 4022

= a 1 1 2 4022

= + + − − + − + + − + + + + − + + +

− + − + + − +

a ab b a b a b b ab b a b

b a b

Min 2A = 4022 khi

a 1 0

1 0 1

2 0

b a b

a b

− =


 − = ⇔ = =



 + − =


=> Min A = 2011

BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ: 
Bài 1 CMR : Min P = 0 Với P = 2 2

3 3 3
a +ab b+ − a− b+

Bài 2 CMR: khơng có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn ĐT:

2 2 2

4 2 8 6 15 0

x + y + z − x+ y− z+ =
Hướng dẫn Ta có:

( ) (

) (

)

2 2 2

VT=x −2x+ +1 4y +8y+ +4 z −6z+ +9 1= x-1 + 2y+2 + z−3 + ≥1 1
Bài 3: Có hay khơng các số x,y,z thỏa mãn mỗi đẳng thức sau:

1) 2 2 2

4 4 4 8 22 0

x + y +z + x+ y+ z+ =

2) 2 2 2

x +4y +9z −2x−12y−12z+1994
Hướng dẫn Ta có:

(

) (

)

2 2 2

1) VT 4 4 4 4 1 8 16 1
= x+2 2 1 4 1 1

x x y y z z

y z

= + + + + + + + + +

+ + + + + ≥

(

) (

)

2 2 2

2) VT = x 2 1 4 12 3 9 12 4 1986
= 1 2 3 3 2 1986 1986

x y y z z

x y z

− + + − + + − + +

− + − + − + ≥

Bài 4: CMR: Min A=2 Với A = 2 2

4 5 10 22 28
m − mp+ p + m− p+
Hướng dẫn Ta có:

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

2 2 2

2 2

A = 4 4 2 1 10 20 27
= 2 2.5 2 25 1 2
= 2 5 1 2 2

m mp p p p m p

m p m p p

m p p

− + + − + + − +

− + − + + − +

− + + − + ≥

Bài 5: CMR: Max B = 4 Với 2 2

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

V× sù nghiƯ

V× sù nghiƯp gi¸o dơc

p gi¸o dơc

Hướng dẫn Ta có:

2 2 2

B= −a +4ab−4b −b +6b− −9 2a+4b− +1 4

(

2 2

) (

)

(

)

= 4 -  a −4ab+4b + b −6b+9 +2 a−2b +1 = 4 - 

(

a−2b

)

2 +2

(

a−2b

)

+ +1

(

b−3

)

2

(

) (

)

= 4 -  a−2b+1 + b−3 ≤4

Bài 6: Tìm GTNN của

a) 2 2

A=a +5b −4ab−2b+5 ( Gợi ý A = a - 2b

(

) (

2+ b−1

)

2 +4 )

b) 2 2

B = x +y −xy−3x−3y+2029 ( Gợi ý B = x-y

( ) (

2+ y−3

) (

2+ x−3

)

2+2011 )

c) 2 2 2

C=x +4y +9z −4x+12y−24z+30 ( Gợi ý C = x+2

(

) (

2+ 2y+3

) (

2+ 3z+4

)

2+1 )

d) 2 2

D= 20x +18y −24xy−4x−12y+2016 ( Gợi ý D= 4x-3y

(

) (

2+ 2x−1

) (

2+ 3y−2

)

+2011 )
Bài 7: Tìm các số a, b, c, d thỏa mãn : 2 2 2 2

(

)

a +b +c +d =a b c+ +d (*)

Ta có :

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

0
0

4 0

4 4 4 4 4 4 0

2 2 2 0

a b c d ab a b c
a b c d a b c d
a b c d ab ac ad

a b c d ab ac ad

a ab b a ac c a ad d a

a b a c a d a

+ + + = + +

⇔ + + + − + + =

⇔ + + + − − − =

⇔ − + + − + + − + + =

⇔ − + − + − + =

Dấu “=” sảy ra khi : a=2b=2c=2d = ⇔ = = = =0 a b c d 0

BÀI TẬP VỀ NHÀ:

Bài 1: Tìm các số a, b, c, d, e thỏa mãn : 2 2 2 2 2

(

)

2a +b +c +d +e =a b c+ + +d e

Bài 2: Tìm các số a, b, c, thỏa mãn : 2 2

a +b + =ab+ +a b

Bài 3: Tìm các số a, b, thỏa mãn : 2 2

4a +4b +4ab−4a+4b+ =4 0

Bài 4: Tìm các số x, y, z thỏa mãn : 2 2 2

4 2 8 6 14

x + y +z = x− y+ z−

Bài 5: Tìm các số m, p, thỏa mãn : 2 2

5 4 10 22 25

m + p = mp− m+ p+
IV Các chú ý khi giải bài toán cực trị :

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

V× sự nghiệ

Vì sự nghiệp giáo dục

Vì sự nghiệ

p gi¸o dơc

Ví dụ : Tìm GTNN của ( x – 1)2 + ( x – 3)2

ta ñặt x – 2 = y, biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2 =2y2 +2≥2⇒minA=

2⇒y=0⇒x=2

2 Chú ý 2, Khi tìm cực trị của biểu thức , nhiều khi ta thay ñiều kiện ñể biểu thức này
ñạt cực trị bởi ñiều kiện tương ñương là biểu thức khác ñạt cực trị

chẳng hạn : -A lớn nhất ⇔ A nhỏ nhất

B lớn nhất ⇔ B nhỏ nhất với B > 0

Ví dụ : Tìm GTLN của

2 2

1
( 1)

x
A

x
+
=

+ (Chú ý A> 0 nên A lớn nhất khi

A nhỏ nhất

và ngược lại)

Ta có : 1

A =

2 2 4 2 2

4 4 4

( 1) 2 1 2

1 1 1

x x x x

x x x

+ + +

= = +

+ + + .Vậy

1
A ≥ 1

min 1

A = 1 khi x = 0 .Do đó maxA =1 khi x = 0

3,Chú ý 3 Khi tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức ,người ta thường sử dụng các BĐT
ñã biết

Bất đăng thức có tính chất sau

a ) a > b , c > d với a, b, c, d > 0 thì a.c > b. d
b) a > b và c > 0 thì a.c > b.c

c) a > b và c < 0 thì a.c < b.c

d) a > b và a, b, n > 0 thì an > bn

Bất đẳng thức Cô si: a + b ≥ 2 ab ; a2 + b2 ≥ 2ab ; (a + b)2≥ 4ab ; 2( a2 + b2) ≥ (

a+ b)2

Bất ñẳng thức Bu- nha -cốp –xki : (a2 + b2) ( c2 + d2) ≥ (ac + bd)2

Ví dụ Cho x2 + y2 = 52 . Tìm GTLN của A = 2x + 3y

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

Vì sự nghiệ

Vì sự nghiệp giáo dơc

p gi¸o dơc

⇒ 2x + 3y ≤ 26. Vậy maxA = 26 ⇔ 2 3

2 3 0
x y
x y

=




+ ≥



Thay y = 3

2
x

vào x2 + y2 = 52 ta ñược 4x2 + 9x2 = 52.4 ⇒ x2 = 16 ⇒ x=4 hoặc x= -4

Với x = 4 thì y =6 thoả mãn 2x +3y ≥ 0 x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y ≥ 0

Vậy Max A = 26 ⇔ x =4 , y = 6

3/ Trong các bất ñẳng thức cần chú ý ñến các mệnh ñề sau

- Nếu 2 số có tổng khơng đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau
- Nếu 2 số dương có tích khơng đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bang
nhau

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của tích xy, biết x,y ∈N thoả mãn x + y = 2005

Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2

xy lớn nhất ⇔ x – y nhỏ nhất ; xy nhó nhất ⇔ x – y lớn nhất

giả sử x > y ( không thể xảy ra x = y)

Do 1 ≤ y ≤ x ≤ 2004 nên 1 ≤ x-y ≤ 2003

Ta có min(x –y) = 1 khi x = 1003 ; y =1002
max(x –y) = 2003 khi x =2004 , y = 1

Do đó max(xy) = 1002.1003 khi x = 1003 , y = 1002
Min ( xy) = 2004 khi x = 2004 , y = 1

=============================================================
=====

Ngày giảng: / / 2011 Sĩ số:

MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ
1, Sai lầm khi sử dụng nhiều bất ñẳng thức khac nhau

VD1: cho x, y là các số dương thỏa mãn x +y =1 . Tìm GTNN của biểu thức : A = 1 4

x+ y

Giải sai: Áp dụng bất ñẳng thức cô si cho hai số không âm 1 4,

x y ta có:

1 4 4

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

V× sù nghiƯ

V× sự nghiệp giáo dục

Vì sự nghiệ

p giáo dục

p gi¸o dơc

Lại có: 1

2 2
x y

xy
+

= ≥ (2 )

Từ (1) và (2) suy ra : A = 1 4 4 4 8

1
x

2
y xy

+ ≥ ≥ = . Vậy Min A = 8

Phân tích sai lầm:

Đẳng thức sảy ra ở (1) khi 1 4 4

x = y ⇔ x= y

Đẳng thức sảy ra ở (2) khi x = y . Từ đó suy ra x = y = 0 ( Loại vì x + y = 1)
Có bạn đến đây KL khơng có giá trị nhỏ nhất cũng là KL sai.

Giải đúng: Vì x + y = 1 nên A = x+y

(

)

1 4 5 4
x

x y

y y x

 

+ = + +

 

 

Áp dụng bất đẳng thức Cơ Si cho hai số khơng âm 4x y,

y x Ta có :

4 4

2 . 4

x y x y
y + x ≥ y x =

Dấu “=” xẩy ra khi

1
4

2 3

1 2

x y x

y x
y x

x y

y
x y



 = =  =



 ⇔ ⇔

  

+ =


 + =  =

 

Lưu ý: Nếu sử dụng nhiều BĐT khác nhau trong 1 bài tốn thì ta phải kiểm tra xem 
chúng có đồng thời sảy ra dấu bằng khơng. Có như vậy thì hướng giải của bài tốn mới 
đúng.

2, Sai lầm khi khơng sử dụng hết điều kiện của bài toán:

VD2:cho x, y là các số dương thỏa mãn x+y= 1. Tìm GTNN của BT :

2
2

1 1

A = x+

x y y

 

  + +

 

   

Giải sai: Áp dụng bất ñẳng thức cô si cho hai số không âm x, 1

x Ta có:

1 1

x+ 2 x. 2
x ≥ x =

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

V× sù nghiƯ

V× sù nghiƯp gi¸o dơc

p gi¸o dơc

Áp dụng bất đẳng thức cơ si cho hai số khơng âm y, 1

y Ta có:

1 1

y+ 2 y. 2

y ≥ y =

(2)

Từ (1) và (2) =>A ≥ 8 => Min A = 8

Phân tích sai lầm: Đẳng thức sảy ra ở (1) khi 1 2

1
x = ⇔x x =

Đẳng thức sảy ra ở (2) khi 1 2

y = ⇔y y = . Từ ñó suy ra x = y = 1 ( Loại vì x + y = 1)

Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức cơ si cho hai số dương ta có :

x + y 1 1

2 ≥ xy⇒ xy ≤ ⇒2 xy≤4

Ta có :

2
2

2 2 1 1

A = 4 + x +y +

x y

 
 

+   

    . Khi đó: x

+ y2 = (x + y)2 – 2xy ≥ 1 - 1

2=
1

2 (1)

2 2 2 2

1 1 1 2

2 8

x + y ≥ x .y = xy ≥ (2). Từ (1) và (2) =>A ≥ 8 +

1
2+4 =

2 =>Min A =

2 khi x=y

Lưu ý: Khi giải bài tốn mà khơng sử dụng hết điều kiện của đầu bài thì cần kiểm tra lại 
giả thiết. Có như vậy thì hướng giải của bài tốn mới đúng.

3, Sai lầm trong chứng minh ñiều kiện 1:

VD1: Tìm GTLN của bt: A = 2 1

6 17
x − x+

Lời giải sai: A ñạt Max khi 2

6 17

x − x+ ñạt Min Ta có : x2−6x+17=

(

x−3

)

2+ ≥8 8

Do đó Min

(

)

6 17 8 3

x − x+ = ⇔ =x . Vậy Max A = 1

8 ⇔ =x 3

Phân tích sai lầm: Kết quả ñúng nhưng lập luận sai ở chỗ cho rằng “ A có tử khơng đổi

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

V× sù nghiệ

Vì sự nghiệp giáo dục

Vì sự nghiệ

p giáo dơc

p gi¸o dơc

Lời giải ñúng: Bổ xung thêm nhận xét 2

(

)

6 17 3 8 8

x − x+ = x− + ≥ nên tử và mẫu của A là

dương

VD2:Tìm GTNN cuả BT: A = x2 + y2 biết x + y =4

Ta có : A = x2 + y2 ≥2xy => A ñạt GTNN

2 2

2
4

x y xy

x y

 + =

⇔ ⇔ = =

+ =


Khi đó MinA = 8

Phân tích sai lầm: Đáp số ko sai nhưng lập luân sai lầm ở chỗ ta mới c/m ñược f(x,y)

≥g(x,y) chứ chưa c/m ñược f(x,y) ≥m với m là hắng số.

Chẳng hạn: Từ x2 ≥ 4x – 4 => x2 ñạt nhỏ nhất ⇔ x2 = 4x – 4 ⇔(x – 2 )2 = 0 ⇔ x =2

Đi ñến min x2 = 4 ⇔ x = 2 Dễ thấy kết quả ñúng phải là Min x2 = 0 ⇔ x =0

Lời giải ñúng: Ta có x + y =4 ⇔

(

)

x + y =16 (1)

Ta lại có :

(

)

2 2 2

x - y ≥ 0 ⇒x -2xy+y ≥0 (2)

Từ (1) và (2) => 2( x2 + y2 ) ≥16 => A = x2 + y2 ≥8

Vậy Min A = 8 khi và chỉ khi x = y = 2.

Lưu ý: Cần nắm vững t/c của BĐT cụ thể trong trường hợp so sánh hai phân số có tử 
và mẫu là số tự nhiên, số nguyên … Có như vậy thì hướng giải của bài tốn mới ñúng.

4, Sai lầm trong chứng minh ñiều kiện 2

VD1: Tìm GTNN của bt: A = x + x

Lời giải sai : x + x =

( )

2 1 1 1 1 1 1

x +2 x x

2 4 4 2 4 4

 

+ − = −  − ≥ −

  . Vậy: Min A =

1
4

−

P/tích sai lầm: sau khi c/m f(x) ≥ 1

− chưa chỉ ra trường hợp xảy ra

f(x)= 1

− ⇔ 1

x = − (vơ lí )

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

V× sự nghiệ

Vì sự nghiệ

Vì sự nghiệp giáo dục

p gi¸o dơc

VD2: Tìm GTLN của A = xyx z+y y+z z+x

(

)(

)

với x, y , z là các số không âm và x +y+
z =1

Lời giải sai: Áp dụng BĐT 4xy≤

(

x+y

)

2 ta có :

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

2
2

4x z+y x+y+z 1
4y z+x x+y+z 1
4z x+y x+y+z 1

≤ =

=> 64xyx z+y y+z z+x

(

)(

)

1 =>xyx z+y y+z z+x

(

)(

)

≤ ≤ . Vậy Max A = 1

Phân tích sai lầm: Sai lầm ở chỗ chưa chi ra khả năng xảy ra dấu “=”

ĐK ñể Max A = 1

64 là :

z+y = x

y+x = z 0

x+z = y x + z + y = 1
x + z + y = 1 x, y, z 0
x, y, z 0

x y z



  = = =

 ⇔

 

  ≥



≥


( vơ lí )

Lời giải đúng: Ta có : 1 = x +y+ z ≥3 x.y.z3 (1)

(

) (

)

(

)(

)

2 = x +y + z+x + y+ z ≥3 x +y z+x y+ z (2)

Từ (1) và (2) => 2 ≥ 33 x y z. . . x +y z+x y+ z

(

)(

)

hay:

3 2

2 3 A A
9

 
≥ => ≤  
 

Max A =

2
9

 
 

  khi

(

x +y = z+x = y+ z

) (

)

1
1

3
, , 0

x y z x y z

x y z



+ + = ⇔ = = =



 ≥



VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của : A (x a)(x b)
x

+ +

= với x > 0, a, b là các hằng số dương.

Lời giải sai: Ta có: 2 ax

(

)(

)

2 ax.2 bx 4 ab

2 bx
x a

x a x b x

x b
 + ≥


⇒ + + ≥ =


+ ≥


Do đó: A (x a)(x b) 4x ab 4 ab

x x

+ +

= ≥ = vậy Min A = 4 ab ⇔ = =x a b

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

Vì sự nghiệ

Vì sự nghiệp giáo dục

Vì sự nghiệ

p giáo dục

p giáo dơc

Lời giải đúng: Ta có

(x a)(x b) x ax+ bx+ab ab

A x (a b)

x x x

+ + +  

= = = + + +

  .

Theo bất ñẳng thức Cauchy : x ab 2 ab

+ ≥ nên A ≥ 2 ab + a + b =

(

a+ b

)

min A =

(

)

a+ b khi và chi khi x abx x ab

x 0
 =

 ⇔ =


 >


Ngày giảng: / / 2011 Sĩ số:

VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ 
VD1: Cho x > 0, y > 0 thỏa mẫn ñk 1 1 1

x+ y = Tìm GTNN của bt: A = x+ y

Do x > 0, y > 0 nên 1 0, 1 0

x > > áp dụng bất đẳng thức cơsi cho 2 s

ố 1 1,
x y

ta có: 1 1 1 1 1.

2 x y x y

 

+ ≥

 

  Hay

1 1

4 ≥ xy => xy ≥4

Mặt khác ta có: x > 0, y > 0 => x ≥0, y ≥0. áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có:

2 2 4 4

x+ y≥ xy ≥ =

Vậy: Min A = 4 khi : 1 1 1 4

2
x y

x y
x y

=


 ⇔ = =

 + =




VD2 : Tìm GTNN của của biểu thức : A= x2− + +x 1 x2+ +x 1

Ta có:

2 1 3 3

x x 1 x x R

2 4 4

 

− + = −  + ≥ ∀ ∈

 

2 1 3 3

x x 1 x x R

2 4 4

 

+ + = +  + ≥ ∀ ∈

 

Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số x2− +x 1, x2+ +x 1 ta có :

2 2 2 2 4 4 2

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

V× sù nghiệ

Vì sự nghiệ

Vì sự nghiệp giáo dục

p giáo dơc

p gi¸o dơc

Max A = 2 khi

4 2

2 2

x x 1 1

x 0

x x 1 x x 1

 + + =

 ⇔ =



− + = + +



VD3 Tìm giá trị nhỏ nhất của : A x y z

y z x

= + + với x, y, z > 0.

Cách 1 : Áp dụng bất ñẳng thức Cauchy cho 3 số dương:

x y z x y z

A 3 . . 3

y z x y z x

= + + ≥ =

Do đó min x y z 3 x y z x y z

y z x y z x

 

+ + = ⇔ = = ⇔ = =

 

 

Cách 2 : Ta có : x y z x y y z y

y z x y x z x x

   

+ + = +  + + − 

 

  . Ta đã có

x y
2

y+ ≥x (do x, y > 0)

nên ñể

chứng minh x y z 3

y+ + ≥z x ta chỉ cần chứng minh :

y z y

z+ − ≥x x (1)

(1) ⇔ xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)

⇔ xy + z2 – yz – xz ≥ 0 ⇔ y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 ⇔ (x – z)(y – z) ≥ 0 (2)

(2) ñúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (1) đúng. Từ đó tìm

được giá trị nhỏ nhất của x y z

y+ +z x.

VD 4: Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z 
= 1.

Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số khơng âm x, y, z ta có: 1 = x + y + z ≥ 3.3 xyz

(1)

Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x+y, y +z, z + x ta có :

2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3.3(x+y)(y z)(z x)+ +

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

V× sù nghiƯ

V× sù nghiệp giáo dục

Vì sự nghiệ

p giáo dục

p giáo dơc

p gi¸o dơc

Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều khơng âm) : 2 ≥ 9.3A ⇒ A ≤

3
2
9
 
 
 

max A =

3
2
9

 
 

  khi và chỉ khi x = y = z =

1
3.
VD 5: Tìm GTNN của A xy yz zx

z x y

= + + với x, y, z > 0 , x + y + z = 1.

Giải: Theo bất ñẳng thức Cauchy : xy yz 2 xy yz. 2y
z + x ≥ z x = .

Tương tự : yz zx 2z ; zx xy 2x

x + y ≥ y + z ≥ . Suy ra 2A ≥ 2(x + y + z) = 2.

min A = 1 với x = y = z = 1

VD 6: Tìm GTNN của A 21 2 2 4xy

x y xy

= + +

+ với : x > 0, y > 0, x + y < 1

Ta có:

(

)

(

)

(

)

2 1 1 1 1 1 4

2 .2 4

1 1 1

2
x y

xy x y xy

x y xy

x y xy x y x y

x y xy

 ≥ ⇒ + ≥

  



⇒ + + ≥ = ⇒ + ≥

   +

 

 + ≥


Ta có: A 2 1 2 2 4xy 21 2 1 4xy 1 5

x y xy x y 2xy 4xy 4xy

   

= + + = +  + + +

+  +   

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

4 1 5 4 5 11

A 2 4xy. 2 11

x 2xy y 4xy x y x y x y x y

≥ + + = + + = ≥

+ + + + + +

VD 7: : Cho 1

x≥ − , Tìm GTLN của A = 2x2+5x+2 + 2 x+3 - 2x

Giải : Ta có : 2

(

)(

)

A = 2x + +5x 2 + 2 x+3 - 2x = 2x 1+ x+2 + 2 x+3 - 2x Với 1
2
x≥ − ta

có: 2x 1 0

2 0
x

+ ≥


 + >


áp dụng bất ñẳng thức Cosi cho 2 số 2x 1, x+2 + Ta có: 2x 1 x+2

(

2x 1 x+2

)(

)

+ +

≥ +

Hay : 3x 3

(

2x 1 x+2

)(

)

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

V× sù nghiệ

Vì sự nghiệ

Vì sự nghiệp giáo dục

p giáo dơc

p gi¸o dơc

áp dụng bất ñẳng thức Cosi cho 2 số x 3, 4 + Ta có: x 3 4 4

(

)

2 3

2 x x

+ +

≥ + = +

Hay : x 7 2 3

2 x

≥ + . Dấu “ = ” xảy ra khi x 3 4+ = ⇔x=1

Do đó: A x 7

≤ + 3x 3

- 2x = 5. Dấu “ = ” xảy ra khi x=1

VD 8: : Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1 Tìm GTNN của: S =1 4 9
x+ +y z

Ta có: S =

(

x + y + z

)

1 4 9

x y z

 

+ +

 

 =

4 4 9 9

1+4+9+ y x z y x z

x y y z z x

     

+ + + + +

     

 

   

áp dụng bất ñẳng thức Cosi cho 2 số dương y,4x

x y ta có :

4 4

2 . 4

y x y x

x + y ≥ x y =

Tương tự ta có : 4z 9y 2 4z.9y 12

y + z ≥ y z = ;

9 9

2 . 6

x z x z

z + ≥x z x =

S ≥ 1 + 4 + 9 + 4 + 12 + 6 =36

Dấu “=” sảy ra khi :

2 2

4 3

2
4 9

4 9 1

6
9

9 1

2
1

y x

x y y x y

y x
z y

z y

z x x

y z

x z

x y z
x z

x y z z

z x
x y z

 = 

 =

 = 



=


 

 =

 ⇔ ⇔ = ⇔ =

   

   + + = 



 =  + + =  =

 

 + + =


Vậy Min S = 36 khi 1, 1, 1

3 6 2

y= x= z=

Không phải lúc nào ta cũng dùng trực tiếp được bất đẳng thức Cơsi đối với các số 
trong ñề bài. Dưới ñây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến ñổi một biểu thức để 
có thê vân dụng BĐT Cơ-si rồi tìm cực trị của nó:

Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu

thức đó

VD1 : Tìm giá trị lớn nhất của A= 3x− +5 7 3− x, ĐKXĐ : 3 5 0 5 7

7 3 0 3 3

x

x
x

− ≥


⇔ ≤ ≤


</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

Vì sự nghiệ

Vì sự nghiệp giáo dục

Vì sự nghiệ

p giáo dục

Bình phương hai vế ta có : A2 = 2 + 2

(

3x−5 7 3

)(

− x

)

Với 5 7

3≤ ≤x 3 . áp dụng bất ñẳng thức cơsi cho

(

3x−5

)

và

(

7 3− x

)

ta có:

(

3x−5

) (

+ 7 3− x

)

≥2

(

3x−5 7 3

)(

− x

)

hay 2≥2

(

3x−5 7 3

)(

− x

)

A2 ≤ 4 =>A ≤ 2 Dấu “=” xảy ra khi : 3x - 5 = 7 - 3x hay x = 2

VD2: Tìm GTNN của biểu thức: 2 2

A = -x +2x+ −8 -x + +x 2 (*)

ĐKXĐ :

(

)(

)

(

)(

)

2
2

2 4 0

-x 2 8 0 2 4

1 2

1 2 0

-x 2 0

x x

x
x

x x

x

 + − ≤

 + + ≥ − ≤ ≤

 

⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤

  

− ≤ ≤

+ − ≤

+ + ≥

  

 

Khi đó 2

(

)

-x +2x+ −8 -x + +x 2 = + >x 6 0=> A > 0

Từ (*) => 2 2

(

)

(

2 2

)

A = -x +2x+ +8 -x + +x 2 −2 -x +2x+8. -x + +x 2

(

)(

)

= -2x +3x+10 2− x+2 4−x x+1 2−x

= 2

(

−x

)(

x+2

) (

+ x+1 4

)(

−x

)

+ −2 2

(

2−x

)(

x+2 .

) (

x+1 4

)(

−x

)

(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)(

)

= 4−x −2 2−x x+2 . x+1 4−x + x+1 4−x +2

(

)(

)

4 x x 1 4 x 2 2

= − − + − + ≥

A = 2 2

(

)(

)

4 x x 1 4 x x 0

⇔ − = + − ⇔ =

BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên ñề Bùi văn Tuyên )

Bài 1 Tìm GTNN, GTLN của hàm số : y= 1− +x 1+x

Bài 2: Tìm GTLN của hàm số : y= x− +2 4−x

Bài 3: Tìm GTLN của hàm số : A= x− +5 23−x

Bài 4: Tìm GTLN của hàm số : A= 2x− +3 23 2− x

Bài 5: Tìm GTLN của hàm số : A= 5x− +7 17 5− x

Bài 6: Tìm GTLN của hàm số : A= 3x− +2 20 3− x

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

V× sù nghiƯ

V× sự nghiệ

Vì sự nghiệp giáo dục

p giáo dục

p gi¸o dơc

Bài 8 Tìm GTNN của : 2 2

A = -x +4x+21− -x +3x+10

Bài 9( 76/29) Tìm GTNN của : A = x y z

y + z + x với x, y, z dương và x + y + z ≥ 12

Bài 10: ( 65/ 28) Tìm GTLN, GTNN của : A= x 4− + y 3− biết x + y = 15

Biện pháp 2: nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác khơng.

VD Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x - 9
5x

Giải: ĐKXĐ: x≥9 Ta có: A = x - 9

5x =

1 x - 9

x - 9 3

1
2 3

3 6

5x 5 5 30

x

x x

 + 

 

 

≤ = =

Dấu “=” xảy ra khi

x - 9
3

18
3

x
x

 =

 ⇔ =


 ≥


BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 7x - 5
7x-9
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

3
3

x - 9
B =

27x

Biện pháp 3: Biến ñổi biểu thức dã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích 
của chúng là một hằng số:

1) Tách 1 hạng tử thành tổng nhiều hạng tử bằng nhau

VD1: cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức:

4
3

3x 16
A =

x
+

Giải : Ta có

3 3 3

3x 16 16 16

A = 3x x x x

x x x

+ = + = + + +

Áp dụng BĐT Cơ-si Ta có : 4

3 3

16 16

A = x+x+x+ 4 . . . 4.2 8

x ≥ x x x x = =

Vậy Min A = 8 x 163 x 2

x

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

V× sù nghiƯ

V× sù nghiƯp giáo dục

Vì sự nghiệ

p giáo dục

p gi¸o dơc

VD2: ( đề thi ĐHTH Hà Nội 1993) Tìm Max và Min 2

A = x y( 4 - x - y ) với

, 0 và x + y 6

x y≥ ≤

Xét 0≤ + ≤x y 4 Ta có :

+y+ 4 - x - y

x 2 2

A = 4. . .y( 4 - x - y ) 4. 4

2 2 4

x
x

 + 

 

  ≤ =

 

   

 

Dấu “=” xẩy ra khi x = y = 4 - x - y y = 1 ; x =2

2 ⇔

Xét 4≤ + ≤x y 6

Rễ thấy: 4 – x - y≤ −2 ( 1) Dấu ‘=’ xảy ra khi x + y = 6

=> 2

A = x y( 4 - x - y ) ñạt GTNN khi x2y ñạtGTLN

Ta có :

(

)

3
3

2 x+y
x+x+2y

3
x.x.2y 3

x y =

2 2 2

 

   

 

   

≤ ≤ =32 hay x2y ≤ 32 (2)

Từ (1) và (2) => 2

x y( 4 - x - y ) ≥ -64 Dấu ‘=’ xảy ra khi 6 4

2 2

x y x

x y y

+ = =

 

⇔

 =  =

 

VD3 . Tìm GTLN của A = x2(3 – x) biết x ≤ 3.

Giải : Xét 0 ≤ x ≤ 3. Viết A dưới dạng : A = 4.x

2 .
x

2 .(3 – x). Áp dụng bất đẳng

thức

Cauchy cho 3 số khơng âm x

2 ,
x

2 , (3 – x) ta ñược :

x
2 .

2.(3 – x) ≤

x x 3 x

2 2 1

 + + − 

 

 

.
Do đó A ≤ 4 (1)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên ñề Bùi văn Tuyên )

Bài 1( 71/28) Cho x > 0 , y > 0 và x + y ≥ 6 Tìm GTNN của P 5x 3y 12 16

x y

= + + +

Bài 2( 70/28) Cho x > 0 , Tìm GTNN của

2000
N x

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

V× sự nghiệ

Vì sự nghiệ

Vì sự nghiệp giáo dục

p gi¸o dơc

Bài 3( 68/ 28) Cho x ≥, Tìm GTNN của

2 17
Q

2( 1)

x x

x

+ +

Bài 4( 69/ 28) Tìm GTNN của M 6 34

3
x x

x

+ +

Bài 5( 72/ 29) Cho x > y và x.y =5 , Tìm GTNN của

2 2

1, 2
Q x xy y

x y

+ +

−

Bài 6( 79/ 29) Cho x ,y thỏa mãn biểu thức: x + y =1 và x > 0 , Tìm GTLN của

2 3

B=x y

=============================================================
=====

Ngày giảng: / / 2011 Sĩ số:

2) Tách 1 hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với 1 hạng tử chứa 
biến sao cho hạng tử này là nghịch ñảo của 1 hạng tử khác có trong biểu 
thức đã cho.

VD1: Cho 0 < x < 2 , Tìm GTNN của B 9 2
2

x
x x

= +

−

Ta có : B 9 2 1 1 2 9 .2 7

2 2

x x x x

− −

= + + ≥ + =

− −

Min B= 7 ⇔ 9 2 1

2 2

x x

x
x x

−

= ⇔ =

−

BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên ñề Bùi văn Tuyến )

Bài 1( 74/ 29) Cho 0 < x <1, Tìm GTLN của B 3 4

1 x x

= +

−

Bài 2( 73/ 29) Cho x >1, Tìm GTLN của A 4 25

1
x

x

= +

Bài 3: Cho x > 0, Tìm GTNN của biểu thức:

2x 6 5
A =

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

Vì sự nghiệ

Vì sự nghiệp giáo dục

Vì sự nghiệ

Vì sù nghiƯ

p gi¸o dơc

Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức: B = x - 4

Bài 5: Tìm GTNN của biểu thức:

x 3 4
A =

x
x
− +

(Bồi dưỡng HSG tốn đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH)

Bài 6: Tìm GTNN của biểu thức: A = 1 3

x+1 2
x

+ ( với x > -1 )

Bài 7: Tìm GTNN của biểu thức: B = 2

x-1 2
x

+ ( với x > 1 )

Bài 8: Tìm GTNN của biểu thức: C = 5

2x-1 3
x

+ ( với x > 1

2 )

Bài 9: Tìm GTNN của biểu thức: D = 5

1 - x
x

x

+ ( với 0 < x < 1 )

Biện pháp 4: Thêm 1 hạng tử vào biểu thức ñã cho:

VD1 : Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 2 Tìm GTNN của biểu
thức:

2 2 2

P x y z

y z z x y x

= + +

+ + +

Ta có :

2
x

y+z+ 4
y+z

≥2

. 2.

4 2

x y z x

x

y z

= =

y

x+z+ 4
x+z

≥ 2

. 2.

4 2

y x z y
y
x z

= =

2
z

y+x+ 4
y+x

≥2

. 2.

4 2

z y x z

z

y x

= =

2 2 2

4 4 4

x y z y z x z y x

x y z

y z z x y x

 + + + + + + + + ≥ + +

 + + + 

 

Hay:

2 2 2

x y z x y z

x y z

y z z x y x

 + + + + + ≥ + +

 + + + 

 

2 2 2

P 1

2 2

x y z x y z x y z

x y z

y z z x y x

+ + + +

= + + ≥ + + − ≥ =

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

V× sự nghiệ

Vì sự nghiệ

Vì sự nghiệp giáo dục

p gi¸o dơc

Vậy Min P = 1 ⇔

4 3

x y z

y z

y x z

x y z

x z

z y x

y x

 = +

 +


 +

 = ⇔ = = =

 +


 = +

 +


Lưu ý: Nếu ta lần lượt thêm ( x + y), ( z + y), ( x + z) vào

2 2 2

z x y

, ,

y+x y+z z+x ta vẫn khử

ñược (x + y), ( z + y), ( x + z) nhưng không tìm được x, y, z để dấu dấu đẳng thức
xảy ra đồng thời. Khi đó khơng tìm được giá trị nhỏ nhất.

VD2 : Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn a b 1

x+ =y (a và b là hằng số

dương).

Giải . Cách 1 : A = x + y = 1.(x + y) = a b

(

x y

)

a ay bx b

x y x y

 

+ + = + + +

 

  .

Theo bất ñẳng thức Cauchy với 2 số dương : ay bx 2 ay bx. 2 ab

x + y ≥ x y = .

Do đó A≥ + +a b 2 ab =

(

a + b

)

(

)

min A= a+ b với

ay bx

x y

x a ab

a b
1

x y y b ab

x, y 0

 =




 = +
 + = ⇔ 

 

= +


 

 >


Cách 2 : Dùng bất đẳng thức Bunhiacơpxki :

(

)

a b a b

A (x y).1 (x y) x. y. a b

x y x y

 

= + = +  + ≥ +  = +

    .

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

Vì sự nghiệ

Vì sự nghiệp giáo dục

Vì sự nghiệ

p giáo dục

p giáo dơc

VD3 Tìm GTNN của

2 2 2

x y z

x y y z z x

= + +

+ + + biết x, y, z > 0 , xy + yz+ zx =1.

Giải Theo VD1 BIỆN PHÁP 4:

2 2 2

x y z x y z

x y y z z x 2

+ +

+ + ≥

+ + + . Theo bất ñẳng thức

Cauchy

x y y z z x

xy ; yz ; zx nên x y z xy yz zx

2 2 2

+ + +

≥ ≥ ≥ + + ≥ + + .

xy yz zx

x+y+z 1

hay

2 2 2

+ +

≥ =

min A = 1

1
x y z

⇔ = = = .

VẬN DỤNG BDT A + B ≥ A+B ĐỂ TÌM CỰC TRỊ

Bài 1: Tìm GTNN của hàm số : 2 2

2 1 2 1

y= x + x+ + x − x+

Cách 1: 2 2

2 1 2 1 1 1

y= x + x+ + x − x+ = + + −x x

Nếu: x < -1 thì y= + + − = − − − + = −x 1 x 1 x 1 x 1 2x>2

Nếu: -1 ≤ x ≤ 1 thì y= + + − = + − + =x 1 x 1 x 1 x 1 2

Nếu: x > 1 thì y= + + − = + + − =x 1 x 1 x 1 x 1 2x>2

Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi -1 ≤ x ≤ 1

Cách 2 : áp dụng BĐT a + b ≥ +a b ( Dấu “=” sảy ra khi a.b ≥0)

Ta có : y= + + − ≥ + + − =x 1 1 x x 1 1 x 2

Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi -1 ≤ x ≤ 1

Bài 2: Cho x, y > 0 và 2x + xy = 4 . Tìm GTLN của A = x2y

Cách 1: Từ 2x + xy = 4 => xy = 4 -2x Thế vào A ta có :

A = x(4 -2x ) = 2 – 

( )

x 2 2−2x 2. 2+

( )

2 2

 =

(

)

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

V× sù nghiƯ

V× sù nghiƯp gi¸o dơc

p gi¸o dơc

=> Max A = 2 khi 2 2 0 1

2 4

x
x

y
x xy

 − =  =

 ⇔

  =

+ =

 



Cách 2: Ta có : A = 1.2 .

2 x xy. Vì x, y > 0 => 2x, xy > 0. áp dụng bất ñẳng thức Cosi

cho 2 số 2x, xy ta có:

(

)

2
2

2 2

2 . 2 .

2 2 4.2

x xy

x xy x xy

x xy x xy + x y

+ ≥ ⇔ +  ≥ ⇔ ≥

 

  Thay số ta

có : 2

2≥x y=A

Vậy Max A =2 khi 2 1

2 4 2

x xy x
x xy y

= =

 

⇔

 + =  =

 

BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ:

Bài 1: Tìm GTNN của HS: a, 2 2

4 4 1 4 12 9

y= x − x+ + x − x+ b,

2 2

4 4 6 9

y= x + x+ + x − x+

Bài 2: Tìm GTNN của HS: a, 2 2

4 20 25 8 16
y= x + x+ + x − x+

b, 2 2

25 20 4 25 30 9
y= x − x+ + x − x+

</div>

chuyen de8a GTLN GTNN

V× sù nghiƯ

V× sù nghiƯ

V× sù nghiƯ

V× sù nghiƯp gi¸o dơc

p gi¸o dơc

p gi¸o dơc

p gi¸o dơc

Vì sự nghiệ

Vì sự nghiệp giáo dục

Vì sự nghiệ

Vì sự nghiệ

p giáo dục

p giáo dục

p giáo dôc

V× sù nghiƯ

V× sù nghiƯ

V× sù nghiƯ

V× sù nghiƯp gi¸o dơc

p gi¸o dơc

p gi¸o dơc

p gi¸o dơc

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

Vì sự nghiệ

Vì sự nghiệp giáo dục

Vì sự nghiệ

Vì sự nghiệ

p giáo dục

p giáo dục

p giáo dơc

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

(

)

Vì sự nghiệ

Vì sự nghiệ

Vì sự nghiệ

Vì sự nghiệp giáo dơc

p gi¸o dơc

p gi¸o dơc

p gi¸o dơc

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

) (

)(

)

(

)

(

) (

) (

)

(

)

(

)

Vì sự nghiệ

Vì sự nghiệp giáo dục

Vì sự nghiệ

Vì sự nghiƯ

p gi¸o dơc

p gi¸o dơc

p gi¸o dơc

(