on toan9 4

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Bài 2Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE, cắt nhau tại H. Trên HB và HC lần lượt lấy các
điểm M và N sao cho AMC = ANB = 90  0. Chứng minh AM=AN.

Bài 3Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết

AB 20
=

AC 21_{và AH=420. Tính chu vi tgiác ABC.}
Bài 4: Cho hình thang ABCD vng góc tại A và D. Hai đường chéo vng góc với nhau tại O. Biết AB=

2 13_{; OA = 6. Tính diện tích hình thang.}

Bài 5: Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết khoảng cách từ O tới mỗi cạnh hình
thoi là h; AC =m; BD = n. Chứng minh rằng: m2 +n2 = 4h2

1

1

1

<b> Ví dụ 2:</b> Cho tam giác ABC vng tại C, trong đó AC =0,9 m, BC =1,2 m. Tính các tỉ số lượng giác
của góc B, từ đó suy ra các tỷ số lượng giác của góc A.

<b>Ví dụ 3</b>: Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 450_{: sin 60}0_{; cos}
750_{; sin 52}0_{30' ; cotag 82}0_{; tan 80}0

Ví dụ 8 Chứng minh các hệ thức:

1

1

2

2

a, 1

tan

;

b, 1

cot

2

2

cos

sin

+

µ =

+

µ =

µ

µ

Ví dụ 9: biết tan =
5

12_{hãy tìm sin}__{và cos}_
<b>C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP</b>

<b>VÝ dô6: Cho </b> <i>Δ</i> ABC ( ^<i>_A</i> _{= 1v) ; AB = 3 ; AC = 4}

a) TÝnh tØ số lợng giác của <i>_C</i>^ _{b) Tõ KQ ( a)} <i>_⇒</i> _{các tỉ số lợng giác của góc B}
<b>Ví dụ7: Cho </b> <i>Δ</i> ABC ( ^<i>_A</i> _{= 1v) ; AB = 6 ;} <i>_B</i>^ ₌ <i>_α</i> _tg <i>_α</i> ₌ 5

12 . TÝnh

a) AC = ? b) BC = ?
Bµi tËp về nhà : Đơn giản biểu thức

1). 1 Sin2 <i>_α</i> _{= ? 2). (1 - cos} <i>_α</i> _{).(1+ cos} <i>_α</i> _{) = ? 3). 1+ sin}2 <i>_α</i> ₊
cos2 <i>_α</i> _{= ?}

4). sin <i>α</i> - sin <i>α</i> .cos2 <i>_α</i> _{= ? 5). sin}4 <i>_α</i> _{+ cos}4 <i>_α</i> _{+ 2sin}2 <i>_α</i> _.cos2 <i>_α</i> _{= ?}
6).Không dùng bảng số và máy tinh. Hãy so sánh các tỉ số LG theo thứ tự từ lớn đến nhỏ: Cotg250_;

tg320_{; cotg18}0_{; tg44}0_{; cotg62}0

<b>Ví dụ8: Tính S hình thang cân . Biết hai cạnh đáy là 12cm và 18cm . góc ở đáy bằng 75</b>0

<b>Ví dụ9: Cho</b> <i>Δ</i> ABC có góc A = 200_; <i>_B</i>_^ _{= 30}0_{; AB = 60cm . Đờng cao kẻ từ C đến AB cắt AB tại P}
( hình vẽ) . Hãy tìm a) AP ? ; BP ? b) CP ?

<b> Bài 1</b>:Cho tam giác ABC vuông ở A, đương cao AH. Biết AB = 20cm, HC = 9cm. Tính độ dài AH.
<b>Bài 2</b>: Cho tam giác ABC , <i>B</i> 600_{, BC = 8cm; AB + AC = 12cm . Tính độ dài cạnh AB.}

<b>Bài 3</b>: Cho tam giác ABC vng tại A có BD là phân giác. Biết rằng AD = 1cm; BD = 10cm. Tính độ
dài cạnh BC (nhập kết quả dưới dạng số thập phân)

<b>Bài 4</b>: Cho tam giác ABC vuông tại A; BD là phân giác. Biết AD = 4cm; BD = 4 10cm . Tính diện tích
tam giác ABC.

<b>Bài 5</b>: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo vng góc
với cạnh bên . Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó.

<b>Bài 6</b>: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm, đường cao ứng với
cạnh bên dài 12cm. Tính độ dài cạnh đáy BC.

<b>Bài 7</b>: Tính giá trị của biểu thức: A = cos2₁0_{+ cos}2₂0_{+ cos}2₃0_{+ . . . . + cos}2₈₇0_+cos2₈₈0_+cos2₈₉0_–
1
2
<b>Bài tập tương tự</b>: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) B = sin2₁0_{+ sin}2₂0_{+ sin}2₃0_{+ . . . . + sin}2₈₇0_{+ sin}2₈₈0_{+ sin}2₈₉0_–
1
2_.

b) C = tg2₁0_{. tg}2₂0_{. tg}2₃0_{. . . . tg}2₈₇0_{. tg}2₈₈0_{. tg}2₈₉0_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Bài 8</b>: Cho hcnhật ABCD có diện tích 108cm2_{. Biết AB – BC = 3cm. Tính chu vi của hcnhật ABCD ?}
Bài 1: Khơng dùng máy tính hoặc bảng số, tính nhanh giá trị các biểu thức sau:

a, M=cos2₁₅0_{+ cos}2₂₅0_+cos2₃₅0_+cos2₄₅0_+cos2₅₅0_+cos2₆₅0_{+cos 75}0
b, N= sin2₁₀0_-sin2₂₀0_+sin2₃₀0_-sin2₄₀0_-sin2₅₀0_-sin2₇₀0_+sin2₈₀0

Bài 2: Cho góc nhọn  biết sin  <tan  và cos  <cot 
Bài 3: Cho biết cos =0,4, hãy tìm sin ; tan  ; cot .
Bài 4. C minh các hệ thức:

2 2

cos

1 sin

(sin

cos )

(sin

cos )

a,

b,

4

1 sin

cos

sin .cos

µ

₌

+

µ

µ +

µ -

µ -

µ

₌

-

µ

µ

µ

µ

Bài 5:Biết cot =
8

15_{Hãy tìm sin}__{và cos}_

Bài 6Cho tam giác ABC. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C.

a, Cmr:

a b c

sin A=sin B=sin C _{b, Có thể xảy ra đẳng thức: sin A = sin B + sin C khơng?}
<b>Ví dụ 1: </b>Giải tam giác ABC vuông tại A, biết rằng:

a, b=10 cm , µ 0

C=30 _{; b, c = 21 cm ; b=18 cm}

<b>Ví dụ </b>Cho tam giác ABC, trong đó BC = 11 cm, ABC· =38 , ACB0 · =300. Gọi điểm N là chân đường
vng góc kẻ từ A đến BC. Hãy tính:

a, Đoạn thẳng AN b, Cạnh AC

<b>Ví dụ </b>1: Các tia nắng Mặt Trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 340_{và bóng của một tháp trên mặt đất}
dài 86 m. Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét)

VD 2: Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m. Hãy tính góc (làm trịn đến phút ) mà tia nắng Mặt
Trời tạo với mặt đất (góc )

VD 3: Một khúc sơng rộng khoảng 250m. Một chiếc đị chéo qua sơng bị dòng nước đẩy xiên nên phải
chèo khoảng 320m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đị lệch đi một góc bằng bao
nhiêu độ ?

<b>C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP</b>

Bài 1: Giải tam giác vuông ABC, biết Aµ =900_: _{a) a= 15 cm ; b = 10 cm} _{b) b = 12 cm ; c = 7 cm}
Bài 2: Tam giác ABC có B$=60 ; C0 µ =50 vµ AC0 =35cm. TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC

Bài 3Tứ giác ABCD có

A

µ

= =

D

µ

90 ,C

0

µ

=

40

0. Cho biết AB=4cm; AD=3cm, tính diện tích tứ giác ABCD
Bài 4Một cầu trượt trong cơng viên có độ dốc là 280_{và có độ cao là 2,1m. Tínhđộ dài của mặt cầu trượt}
Bài 5: Hãy xác định độ cao của một cột ăng-ten CH (hình vẽ) với a=8,5m ;  = 200 ;  = 240

<b>Bài tập tương tự</b>: Cho tam giác ABC vng tại A có diện tích 504 dm2_.
Biết AB – AC = 47dm. Tính độ dài AB và AC.

<b>Bài 9</b>: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 3 5cm. Hình vng ADEF cạnh bằng 2 cm có
D _{AB , E}_{BC , F}_{AC. Biết AB > AC và}

4
9

<i>ADEF</i> <i>ABC</i>

<i>S</i>  <i>S</i>

. Tính AB ; AC.

<b>Bài 10</b>: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB < AC; Gọi I là giao điểm các đường phân giác ,
M là trung điểm BC. Cho biết <i>BIM</i> 900_. _{Tính BC : AC : AB ?}

<b>Bài 11</b>: Tính độ dài cạnh AB của tam giác ABC vng tại A có hai đường trung tuyến AM và
BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm.

<b>Bài 12</b>: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 13cm ; BC = 10cm . Tính cos A .

<b>BT 2</b>: Cho tam giác ABC vng tại A, vẽ đường cao AH. Chu vi của tam giác ABH là 30 cm và chu vi
tam giác ACH là 40 cm. Tính chu vi tam giác ABC

<b>BT 3: </b> Cho tam giác ABC vuông tại A có dường phân giác trong AF. Biết BD = 3cm, DC = 4 cm. Tính
các cạnh của tam giác ABC ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>BT 5</b> : Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vng góc với AB, AC.
Chứng minh rằng: a)

3

<i>FB</i> <i>AB</i>

<i>FC</i> <i>AC</i>

 
 

  _{b) BC . BE . CF = AH}3

 <b>VẬN DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC KHƠNG VNG.</b>

<b>A- Lí thuyết</b>

Mọi tam giác nhọn đều có thể vẽ đường cao để tạo ra 2 tam giác vng . Mọi tam giác tù cũng có thể
kẻ đường cao để tạo ra 1 tam giác vuông hoặc 2 tam giác vuông .

Một số công thức cho tam giác không vuông ( Các kí hiệu như trong tam giác vng )
<b>+S = </b>

1

2<b>_{bc . sin A =}</b>
1

2<b>_{ca. sinB =}</b>
1

2<b>_{ab .sin C}</b>₍₁₎

<b>+S = </b> <i>p p a p b p c</i>(  )(  )(  ) (2) Công thức Heron ; p là nửa chu vi tam giác
<b>+S = </b> 4

<i>abc</i>

<i>R</i> ₍₃₎

+ <b>S = pr</b> (4) Trong đó R là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác, r là bán kính đường trịn nội tiếp
tam giác

+ <b>Nếu a2_{< b}2_{+ c}2_{thì góc A nhọn}</b>_{( HS tự chứng minh điều này như một bài tập )}
+ <b>a2_{= b}2_{+ c}2_{– 2bc.cosA ; b}2_{= a}2_{+ c}2_{– 2ac.cosB ; c}2_{= b}2_{+ a}2_{– 2ba.cosC}</b>

+<b>Chứng minh</b> : Hệ thức (1) Vẽ thêm đường cao AH thì trong <i>AHB</i> _{có AH = c.sin B. Do}
đó diện tích <i>ABC</i>_{là : S =}

1

2_{AH . BC =}
1

2_{c.sinB . a =}

1

2_{ac. sinB}

Hay S =

1

2_{ac.sinB . Đối với các góc khác thì tương tự}

<b>BT1</b>: Cho tam giác ABC có BC = 14 cm, đường cao AH = 12 cm,
AC+ AB = 28 cm.

a) Chứng minh các góc B và C nhọn ?
b) Tính AB, AC ?

<b>BT 2</b>: Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong AD và phân giác ngoài AE. Chứng minh:
a)

1 1 2

<i>AB</i> <i>AC</i> <i>AD</i>_b)

1 1 2

<i>AB</i> <i>AC</i> <i>AE</i>

<b>BT 4</b>: Cho tam giác ABC có <i>C B</i>   900_{, AH là đường cao kẻ từ A. Chứng minh AH2 = HB . HC ?}
BT 5: Cho tam giác ABC biết a = 3 + 3 , <i>B</i> 450_;<i>C</i> 600_.

a) Tính độ dài đườnh cao AH? B. Tính  ? độ dài cạnh b, c và diện tích tam giác ABC?
b) Từ các kết quả trên, tính cos 750_?

Bài 1. Chứng minh a/ sin2_{α + cos}2_{α = 1 b/ tgα =} sin<i>α</i>

cos<i>α</i> c/ cot<i>gα</i>=

cos<i>α</i>

sin<i>α</i>
d/ sin2<i>α</i>=tg

2

<i>α</i>

1+tg2<i>α</i> e/ cos

2

<i>α</i>= 1

1+tg2<i>α</i> f/ tgα . cotgα = 1
k/ 1

sin2<i>α</i> =1+cot<i>g</i>

2

<i>α</i> _l/ 1

cos2<i>α</i> =1+tg

2

<i>α</i> _{, . . . ( C/M các hệ thức nầy)}
Bài 2. Chứng minh các hằng đẳng thức:

a) (sinx + cosx)2_{= 1 + 2sinx.cosx b) (sinx – cosx)}2_{= 1 – 2sinx.cosx}

c) sin4_{x + cos}4_{x = 1 – 2sin}2_{x cos}2_{x d) sinxcosx(1 + tgx)(1 + cotgx) = 1 + 2sinx . cosx .}
e) Cho  là góc nhọn của một tam giác vuông. Chứng minh các hệ thức:

i) sin2 _{α =} tg

2

<i>α</i>

1+tg2<i>α;</i> ii) cos

2_{α =} 1

1+tg2<i>α</i>

c
b
c

<b>A</b>

<b>B</b> <b>C</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Bài 3. Dựng góc nhọn α, biết rằng: sinα = 1₂ ; cosα = 0,8 ; tgα = 1.

Bài 4 Đổi các tỉ số lượng giác của các góc nhọn sau đây thành tỉ số lượng giác của góc nhỏ hơn 45o_.
sin82o_{; cos47}o_{; sin48}o_{; cos55}o_.

Bài 5. Xếp thứ tự từ nhỏ đến lớn các tỉ số LG đã cho.

a)Cho tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc B,
C.

b) Xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn các tỉ số lượng giác sau: sin78o_{; cos14}o_{; sin47}o_{; cos87}o_.
Bài 6. Biết sinα<b> . </b>Tính cosα. . . .

1) Biết rằng sinα = 0,6. Tính cosα và tgα. 2) Biết rằng cosα = 0,7. Tính sinα và tgα.
3) Biết rằng tgα = 0,8. Tính sinα và cosα. 4) Biết cosx = 1₂ , tính P = 3sin2_{x +}
4cos2_x.

5) a) Cho góc nhọn  mà sin = 1₄ . Tính cos và tg.

b) Cho góc α mà cosα = - 1₃ . Tính sinα, tgα và cotgα . c) Cho tgx = 2

√

2 . Tính sinx và
cosx.

6) Hãy tính sinα, tgα nếu: a) cos<i>α</i>=12

13 b) cos<i>α</i>=
3
5

7) Biết rằng sin 15o₌

√

6<i>−</i>

√

2

4 . Tính tỉ số lượng giác của góc 15

o_.

Bài 7 Các biểu thức dạng chứng minh khi biết một số điều kiện của bài toán ( áp dụng các hệ thức để
chứng minh các đẳng thức khác).

1/ Cho các góc α,  nhọn, α<. Cmr: a.cos( -α)=coscosα + sinsinα b.sin( - α)=sincosα -
sinsinα.

2) Cho tam giác ABC nhọn. Cmrằng: a) sin <i>A</i>
2 sin

<i>B</i>

2sin

<i>C</i>

2 <i>≤</i>
1

8 b) cos<i>A</i>+cos<i>B</i>+cos<i>C ≤</i>
3
2 .

3) Cho tam giác ABC nhọn có ba cạnh là a,b,c. Cmr: c2_{= a}2_+b2_{–2ab.cosC (AB=c, BC=a,CA= b).}

4) a/ Cho tam giác ABC có AB = 6cm, BC = 10cm, AC = 8cm. Tính sinB, cosB, tgB.

b/ Cho tam giác ABC có AD, BE, CF là 3 đường cao. Cmr: AE.BF.CD =
AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC

Bài 8 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) Chứng minh rằng sin2_{α + cos}2_{α = 1, tgα =} sin<i>α</i>

cos<i>α</i> b)

1
1+tg<i>α</i>+

1

1+cot<i>gα</i>=1
c) sin4_{x – cos}4_{x = 2sin}2_{x – 1 d)} 1

sin2<i>x</i>+

1

cos2<i>x</i>=¿ tg

2_{x + cotg}2_{x + 2 e)}

1+sin2<i>α</i>

1<i>−</i>sin2<i>α</i>=1+2 tg

2<i>_{α ,}</i>_{.. .. .}

f) Cho α,  là hai góc nhọn. Cminh rằng: cos2α – cos2 = sin2 - sin2α = 1

1+tg2<i>α</i>

-1
1+tg2<i>β</i>
a) tgα = sin_cos<i>α_α</i> <i>,</i> _{cotgα =} cos<i>α</i>

sin<i>α</i> b) a2 – b2 = (a + b)(a – b) và sin2x + cos2x = 1.
c) Chứng minh rằng: 1

sin2<i>α</i>=1+cot<i>g</i>

2<i>_α</i>

và 1

cos2<i>α</i>=1+tg

2<i>_α</i>

Bài 9 Rút gọn biểu thức: 1) sin2₁₀o_{+ sin}2₂₀o_{+ sin}2₃₀o_{+ sin}2₈₀o_{+ sin}2₇₀o_{+ sin}2₆₀o_.

2) sin6_{x + 3sin}4_x.cos2_{x + 3sin}2_x.cos4_{x + cos}6_{x 3) (1 + cosα)(1 – cosα) – sin}2_{α. . . .}
4) Đơn giản các biểu thức:

A = cosy + siny . tgy B =

√

1+cos<i>b</i> .

√

1<i>−</i>cos<i>b</i> C =

sin<i>a</i>

_√

1+tg2<i>a</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

6) Đơn giản biểu thức: A = sin(90o_{– x)sin(180}o_{– x) B = cos(90}o_{– x)cos(180}o_{– x)}
Bài 10 Bài toán cực trị: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD và CE vng góc nhau.
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng _tgB1 + 1

tgC .

Bài 11<b>: </b>Giải các tam giác vuông ở C, biết rằng:

a) b = 10cm, A = 30o _{; b) c = 20cm, B = 35}o_{; c)a = 21cm, b = 18cm; d) a = 82cm, A = 42}o

<b> </b>Bài 12Tính khoảng cách -Tínhchiều cao - Tính diện tích tam giác - Tính độ dài đoạn thẳng - C /m các
hệ thức trong tam giác…. :Bằng cách áp dụng tỉ số LG góc nhọn.

<b>BT 1</b>: Cho tam giác ABC có AB = 26cm, AC = 25cm, đường cao AH = 24cm. Tính cạnh BC.
<b>BT 2</b>: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) và đường tròn tâm O tiếp xúc với hai cạnh AB và AC lần lượt
ở B và C. Từ điểm M trên cung nhỏ BC (M khác B và C) kẻ MD, ME, MF lần lượt vng góc với các
đường thẳng BC, CA, AB.

1/ Chứng minh các tứ giác MDBF, MBCE nội tiếp.
2/ Chứng minh các tam giác DBM và ECM đồng dạng.

3/ Cho góc BAC = 60o_{và AB = 2, tính bán kính đường trịn tâm O.}

<b>BT 3</b>: Một con sơng rộng 250m. Một chiếc đị chèo vng góc với dịng nước, vì nước chảy nên bơi 320m
mới sang được tới bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã giạt chiếc đị lệch đi một góc bằng bao nhiêu.

<b>BT 4</b>:Cho tam giác ABC có A nhọn. Chứng minh rằng: SABC = 1₂AB . AC . sin<i>A</i>.
a) Cho tứ giác ABCD có AC cắt BD tại O và AOB nhọn.Cmrằng: SABCD= 1

2 AC.BD.sin AOB.

<b>BT 5: </b>Cho điểm A nằm bên trong dãy tạo bởi hai đường thẳng song song d và m lần lượt tại B và C.
Xác định vị trí của B và C. Xác định vị trí của B và C để diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.
<b>BT 6: </b> Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Chứng minh rằng:

a) 1

AB+
1

AC=

√

2

AD b)
1
AB2+

1
AC2 <i>≤</i>

1
AD2 .

<b> BT 7: </b> Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên là AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vng góc

với cạnh bên BC. Biết AD = 5a, AC = 12a.

a) Tính sin_sin<i>B_{B −}</i>+cos_cos<i>B_B</i> b) Tính chiều cao của hình thang ABCD.

<b>BT 8: </b> Cho tam giác ABC. Biết AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông; b) Tính sinB, sinC.

<b>BT 9:</b> Cho hình thang ABCD. Biết đáy AB = a và CD = 2a ; cạnh bên AD = a, góc A = 90o
a) Chứng minh tgC = 1 ; b)Tính tỉ số diện tích tam giác DBC và diện tích hình thang ABCD ;
c) Tính tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác DBC.

<b>BT 10:</b>Gọi AM, BN, CL là ba đường cao của tam giác ABC.

a) Chứng minh:  ANL ~  ABC ; b) Cminh: AN.BL.CM = AB.BC.CA.cosAcosBcosC.
 <b>Vận dụng hệ thức lượng vào tứ giác</b>

Áp dụng cho hình thang. Ta có thể vẽ thêm đường thẳng song song hoặc đường thẳng vng góc
nhằm tạo ra tam giác vng hoặc chứng minh nó vng

<b>BT1</b> Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy là 3cm và 14 cm. Độ dài các đường chéo là 8cm và 15 cm.
Tính diện tích hình thang ABCD ?

<b>BT 2</b> : Cho hình thang ABCD có AB // CD , đường cao bằng 4 cm, đường chéo BD = 5 cm, hai đường
chéo AC và BD vng góc với nhau.Tính diện tích hình thang ABCD ?

<b>HD</b>: Như bài trên , vẽ thêm BE // AC thì tam giác BDE vng tại B

<b>BT 3</b>: Cho hình bình hành ABCD , AB = 25 cm, BC = 35 cm, góc BAD = 1250_{. Các đường phâb giác của}
góc A và B cắt nhau tại P, các đường phân giác của góc C và D cắt nhau tại Q.

a) Chứng minh <i>APB</i>_và<i>CQD</i>_{là những tam giác vng?}
b) Tính AP, BP , PQ ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>BT 5</b>: Cho hình thang ABCD có AB // CD Gọi AB=a, CD=b, AD=d , BC=c .CmAC2_+BD2_{= c}2_+d2_+2ab
MỘT SỐ VÍ DỤ

Bài 1: Cho 2 yếu tố trong 6 yếu tố của _{vuông ABC (a, b, h, b}’_{, c}’_{, c) thì có tính được các yếu tố cịn lại.}
Ví dụ: Cho _{vng ABC (}<i>A</i>ˆ_{= 90}0_{), h =48, a = 100. Tính b, c, b}’_{, c}’_.

Bài 2: Cho _{ABC. Kẻ hai đường cao BB}’_{và CC}’_{. Trên 2 đường cao lấy M}__BB’_{, N}__CC’_{sao cho}

AMC = ANB = 900_{Chứng minh :}<i>_{AM = AN}</i>

Bài 3: Cho _{vuông ABC :}A _{= 90}0_{. Kẻ đường cao Ah = h, AC = b; AB= c; HE}

_

_{AB ; HF}

_

_AC.
Cmcác hệ thức sau: 1/

3

m c

=

n b

 
 

  _{(m = BE ; n = FC ) 2/ 3h}2_{+ m}2_{+ n}2_{= a}2_{. 3/ amn = h}3_.
Bài 4:Cho hình vng ABCD cạnh a, một đthẳng d qua A cắt BC, CD ở I, J. Cminh : 2 2 2

1 1 1

+ =

AI AJ a 
Bài 5: Cho _{ABC kẻ các đường cao AD, BE, CF lần lượt cắt các đường trịn đường kính BC, CA,}

AB ở các điểm A’_,A’’_,B’_,B’’_{, C}’_,C’’_{. Cmcác hệ thức AB}’_=AB’’_=AC’_=AC’’_và

'

''

'

'

BA =BA =BC =BC

'

''

'

''

CA =CA =CB =CB







Bài 6: Cho_{ABC vuông cân (}A ₌₉₀0_{) điểm M bất kỳ}__{BC.Chứng minh:}<i>_2MA2_{= MB}2_{+ MC}2</i>_{. (1)}
Bài 7: Cho _{ABC (}A ₌₉₀0_{), kẻ đường cao AH. Gọi E và F là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng}
minh các hệ thức:

<i>a. BC2_{= 3AH}2_{+ BE}2_{+ CF}2_.</i> <i>_b.</i>

3

<i>BE</i>

2



3

<i>CF</i>

2



3

<i>BC</i>

2

<i>_{c. HB.HC = EA. EB + FA. FC}</i>
Bài 8: Cho _{ABC (}A ₌₉₀0_{) và có đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác CD đồng quy tại 1}
điểm. Chứng minh : BH _AC

Bài 9 : Cho (O) và đường thẳng d, M _{d; từ M kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB với (O). Gọi H là hình chiếu}
của O trên d. Gọi I _OH_{AB.Chứng minh: IO.OH = R}2_(*)

(III) – BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Cho 3 đểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đường trịn (O) đi qua A và B. Từ C kẻ 2 tiếp
tuyến CM và CN với (O). Gọi E là giao của MN với AB, gọi H là trung điểm của AB.

Chứng minh : <i>CE . CH = CA . CB</i>

Bài 2: Cho hình thang : ABCD (AB // CD) ngoại tiếp (O, R).Chứng minh : <b>2</b> <b>2</b> <b>2</b> <b>2</b>

<b>1</b> <b>1</b> <b>1</b> <b>1</b>

<b>+</b> <b>=</b> <b>+</b>

<b>OA</b> <b>OD</b> <b>OB</b> <b>OC</b>

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD, M là điểm tùy ý.Chứng minh : <b>MA2</b><b>MC2</b> <b>MB2</b><b>MD2</b>

Bài 4: Cho _{đều ABC có}<b>AOB</b>₌₁₅₀0_{(O ở trong}__{ABC).Chứng minh: OB}2_{= OA}2_{+ OC}2 ₍₁₎

Bài5:Cho_{vuông cân ABC(}<b>A 90</b> <b>0</b>_{)Điểm M ở trong}_{ABC sao cho}<b>AMB 135</b>  <b>0</b>_.Cm:MC2_=MB2_+2MA2_.
Bài 6: Cho 3 đường tròn (O1, r1), (O2, r2), (O3, r3) đơi một tiếp xúc ngồi nhau; tiếp tuyến chung ngoài của

(O1), (O3) và (O1), (O2) song song với nhau.Chứng minh rằng: r12 = 4r2r3.

Bài 7: Cho 3 đường tròn (O, r), (O’_{, r}’_{), (O}’’_{, r}’’_{) đơi một tiếp xúc ngồi nhau và cùng tiếp xúc với một}
đường thẳng d.Chứng minh rằng: <b>'</b> <b>''</b>

<b>1</b> <b>1</b> <b>1</b>

<b>=</b> <b>+</b>

<b>r</b> <b>_r</b> <b>_r</b> _{(1) (trong đó r nhỏ nhất)}

Bài 8: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng lấy AB, BC, CA vẽ 3 nửa đường tròn (O1, r1), (O2, r2), (O, r). Kẻ
tiếp tuyến tại B của <b>AB</b> _và<b>BC</b> _{, cắt}<b>AC</b> _{ở D. Gọi (I, r) là đường tròn tiếp xúc với}<b>AB, AC</b> _{, BD; (I,}

r’_{) là đường tròn tiếp xúc với}<b>AB , BC</b>  _{, BD.Chứng minh rằng: r = r}’

Bài9:Cho_{ABC nội tiếp (O,R) có pgiác trong và phân giác ngoài của}<b>B</b> _{là BM=BN.Cm:AB}2_+BC2_=4R2_.
Bài 10: Cho _{ABC (}<b>A 90</b> <b>0</b>_{) ; Dựng hình chữ nhật BCDE ra phía ngoài}_{ABC. Gọi M và N là giao của}

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Bài 11: Cho hình ABCD tâm O, cạnh a. Gọi (O1, r1) và (O2, r2) là đường tròn ngoại tiếp các ABC và
ABD. Chứng minh : <b>12</b> <b>22</b> <b>2</b>

<b>1</b> <b>1</b> <b>4</b>

<b>r</b> <b>r</b> <b>a</b> 

<b>1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC </b>

VD1.Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH. Cminh:

2

2 2 2

2 2

BC

a) AB

AC

2AM

2

b) AB

AC

2BC.MH











VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm.

a) Chứng minh AC vng góc với BD.

b) Tính diện tích hình thang.

VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15;



_ADC=70

0

_.

<b>3. bài tập cơ bản:</b>

1.Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD. Gọi I là hình chiếu của C trên BD, H là

hình chiếu của I trên AC. Chứng minh: AH = 3HI.

2.Qua đỉnh A của hình vng ABCD cạnh bằng a, vẽ một đường thẳng cắt BC ở E và cắt đường

thẳng DC ở F.

Chứng minh:

2 2 2

1

1

1

AE



AF



a

<b>II. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN:</b>

- Một số hệ thức lượng giác cơ bản:

2 2

sin

cos

sin

cos

1;

tg .cot g

1;

tg

;

cot g

cos

sin





 

 



 

 

 





- Chú ý:

+)

0 sin



 

1;

0 cos <1;





+) Khi góc



_{tăng từ 0}

o

_{đến 90}

o

_{thì sin}

_

_{và tg}

_

_{tăng cịn cos}

_

_{và cotg}

_

_giảm.

+) Nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng cos của góc kia, tg của góc này bằng cotg của

góc kia và ngược lại.

sin

 

cos ;



cos

 

sin ;



tg

 

cotg ;



cot g

  

tg

+) Tỉ số lượng giác của 3 góc đặc biệt.

<b>3. Bài tập:</b>

<b>Bài 1: </b>

Cho tam giác ABC vng tại A, AB=4cm; BC=6 cm. Tính các TSLG của góc B và góc C.

<b>Bài 2: </b>

Chứng minh rằng sin



_{< tg}



_{; và cos}



_{< cotg}



_.

<b>Bài 3:</b>

Không dùng MTBT hoặc bảng số, hãy sắp xếp cã TSLG sau theo thứ tự tăng dần.

Cotg40

o

_{, sin50}

o

_{, tan70}

o

_{, cos55}

o

_.

<b>Bài 4: </b>

Không dùng MTBT hoặc bảng số, tính nhanh gí trị các biểu thức sau:

a) M = sin

2

₁₀

o

_{+ sin}

2

₂₀

o

_{+ sin}

2

₄₅

o

_{+ sin}

2

₇₀

o

_{+ sin}

2

₈₀

o

_.

b) N = tg35

o

_{. tg40}

o

_.tg45

o

_.tg50

o

_{. tg55}

o

_.

<b>Bài 5: </b>

a) Biết sin



₌

5

13

_{, hãy tính cos}



_{, tg}



_{, cotg}



_.

b) Biết tg



₌

12

35

_{, hãy tính sin}



_{, cos}



_{, cotg}



_.

<b>Bài 6: </b>

Cho biểu thức

2 2

1 2sin cos
A

sin cos

  



</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

a) Chứng minh rằng

sin cos
A

sin cos
  


  

_{b) Tính giá trị của A biết}

1
tg

3
 

.

Bài 7. Tìm x biết tgx + cotgx = 2.

<b>4. Bài tập tự luyện:</b>

<b>Bài 1: </b>

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 20; AC = 21. Tính các TSLG của góc B và góc C.

<b>Bài 2: </b>

a) Biết cos



₌

3

4

_{, hãy tính sin}



_{, tg}



_{, cotg}



_.

b) Biết cotg



₌

8

15

_{, hãy tính sin}



_{, cos}



_{, tg}



_.

<b>Bài 3: </b>

Khơng dùng MTBT hoặc bảng số, tính nhanh gí trị các biểu thức sau:

a) M = sin

2

₄₂

o

_{+ sin}

2

₄₃

o

_{+ sin}

2

₄₄

o

_{+ sin}

2

₄₅

o

_{+ sin}

2

₄₆

o

_{+ sin}

2

₄₇

o

_{+ sin}

2

₄₈

o

_.

b) N = cos

2

₁₅

o

_{- cos}

2

₂₅

o

_{+ cos}

2

₃₅

o

_{- cos}

2

₄₅

o

_{+ cos}

2

₅₅

o

_{- cos}

2

₆₅

o

_{+ cos}

2

₇₅

o

_.

<b>Bài 4.</b>

Sắp xếp các TSLG sau theo thứ tự tăng dần: Sin49

o

_{, cotg15}

o

_{, tg65}

o

_{, cos50}

o

_{, cotg41}

o

_.

<b>Bài 5.</b>

Cminh rằng giá trị của các biểu thức sau khơng phụ thuộc vào giá trị của góc nhọn



_.

a) (cos



_{- sin}



₎

2

_{+ (cos}

_

_{+ sin}

_

₎

2

_{. b)}

2 2

(cos sin ) (cos sin )
cos .sin

      

 

<b>Bài 6:</b>

Cho tam giác nhọn ABC. Gọi a, b, c là lượt là độ dài các cạnh BC, CA, và AB.

a) Cminh răng:

a b c

sin A sin Bsin C

_{b) Có thể xảy ra đẳng thức sinA = sinB – sinC không ?}

<b>III. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VNG:</b>

1. Trong tam giác vng mỗi cạnh góc vng bằng:

a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos của góc kề.

b) Cạnh góc vng kia nhân với tg góc đối hoặc nhân với cotg góc kề.

b a sin B acosC ctgB ccot gC

c acosB asinC bctgB btgC

















<b>2. Bài tập:</b>

Bài1:Cho hình thang ABCD có

A D 90 ,C 50 .   o   o

_{Biết AB=2; CD=1,2.Tính diện tích hình thang.}

<b>Bài 2:</b>

Tam giác ABC có AB = 4; AC = 3,5. Tính diện tích tam giác ABC trong hai trường hợp:

a)

A 40  o

_b)

A 140  o

<b>Bài 3: </b>

Cho tam giác ABC với đường phân giác trong của góc BAC là AD. Biết AB = 6, AC = 9 và

 o

A 68

_{, tính độ dài AD.}

<b>Bài 4.</b>

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết HB = 9; HC = 16. Tính góc B và góc C.

<b>Bài 5:</b>

Giải tam giác ABC vuông tại A biết:

a) a = 18; b = 8. b) b = 20;

C 38  o

_.

<b>Bài 6:</b>

Tam giác ABC cân tại A,

B 65  o

_{, đường cao CH = 3,6. Hãy giải tam giác ABC.}

<b>4. Bài tập tự luyện:</b>

<b>Bài 1:</b>

Tam giác ABC vuông tại A, AB = 17cm;

C 62  o

_{. Tính độ dài đường trung tuyến AM.}

<b>Bài2:</b>

Cho hình thang cân ABCD (AB//CD), AB=2, CD=5 và

A 127  o

_{. Tính diện tích hình thang.}

<b>Bài 3:</b>

Hình bình hành ABCD có AD = 4,3; CD = 7,5 và

D 64  o

_{. Tính diện tích hình bình hành.}

<b>Bài 4:</b>

Độ dài hai đường chéo của một tứ giác là 9 và 13. Góc nhọn giữa hai đường chéo là 48

o

_.

Tính diện tích tứ giác.

Bài 5: Giải tam giác ABC vng tại A biết: a) a = 12;

_{B 42} o



. b) b = 13; c = 20.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Bài 7: Giải tam giác ABC biết: AB= 4,7; BC = 7,2;

A 66  o

<b>Bài 1</b>

Cho tam giác ABC, đường thẳng d// BC cắt AB tại M, cắt AC tại N. Gọi I, J lần lượt là trung

điểm của MN và BC.

a/ Chứng minh rằng: A, I, J thẳng hàng.

b/ Gọi P, Q, H lần lượt là hình chiếu của M, N, A lên BC, O = MP



NQ, R là trung điểm của AH.

Chứng minh rằng: J, O, R thẳng hàng.

<b>Bài 2</b>

Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong AD, phân giác ngoài AE. Cho biết AB <

AC. Chứng minh các hệ thức sau:

a/

 

1 1 2

AB AC AD

b/

 

1 1 2

AB AC AE

<b>Bài 3</b>

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM. Chứng minh các hệ thức

sau: a/

 

 _ _ 

 

2

MH BM

2 1

BH AB

_b/

  

2

2 2 2 BC

AB AC 2AM

2

<b>Bài 4</b>

Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC, một góc xOy = 60

0

_{có cạnh Ox, Oy ln cắt}

AB, AC tại M và N.

a/ Chứng minh rằng OB

2

_{= BM.CN}

b/ Chứng minh rằng tia MO, NO ln là phân giác của góc BMN và CMN

c/ Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường trịn cố định khi góc xOy quay

quanh O nhưng hai cạnh Ox, Oy vẫn cắt hai cạnh AB và AC của tam giác ABC.

<b>Bài 5</b>

Cho tam giác đều ABC, trên các cạnh BC, AB, AC lấy ba điểm bất kỳ O, M, N sao cho O

khác B, C và



MON = 60

0

.

Chứng minh rằng: BM.CN



BC

2

/4. Dấu bằng xảy ra khi nào?

<b>Bài 6: </b>

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là chân đường

cao vẽ từ A của



ABC. Chứng minh rằng:



2
BC
KH.KA

4

_.

<b>Bài 7: </b>

Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng:






ABC AC

tg

2 AB BC

<b>Bài 8:</b>

Cho hình thoi ABCD. Gọi R

1

, R

2

lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp



ABD và



ABC. Gọi a là độ dài cạnh hình thoi.

a/ Chứng minh rằng:

21  22  2

1 1 4

R R a

_{. b/ Tính diện tích hình thoi theo R}

1

và R

2

.

<b>Bài 9: </b>

Chứng minh rằng trong một tam giác bất kỳ ta có:

  

 _a 

b c a b c

m

2 2

<b>Bài 10: </b>

CMR trong tứ giác lồi ABCD ta có bất đẳng thức: AB + CD < AC + BD

<b>Bài 1: </b>

Cho tam giác ABC, kẻ đường cao AH, gọi C

1

là điểm đối xứng của H qua AB, B

1

là điểm

đối xứng của H qua AC. Gọi giao điểm của B

1

C

1

với AC và AB là I và K. Chứng minh rằng đường

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10></div>

<!--links-->