SKKN ky thuat lay nghiem cua pt luong giac co DK

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (197.1 KB, 12 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

A. ĐẶT VẤN ĐỀ

I. Lý do chọn đề tài.

Trong chương trình mơn Tốn lớp 11 nói riêng và trong bộ mơn Tốn nói
chung thì Lượng giác chiếm một phần quan trọng. Đặc biệt phương trình lượng giác là
phần kiến thức trọng tâm trong phần đại số lớp 11 của học kì I. Hơn nữa, phương trình
lượng giác bao giờ cũng có mặt trong các đề thi đại học mơn Tốn, là câu cũng khơng
phải là khó kiếm điểm.

Trong q trình dạy học mơn Tốn đại số lớp 11, khi dạy về phần phương trình
lượng giác, tơi thấy học sinh thường lúng túng trong việc lấy nghiệm của phương trình
lượng giác có điều kiện và rất hay mắc sai lầm trong việc này. Vậy, làm thế nào để
giúp các em có thể vượt qua trở ngại này? và từ đó giúp các em có thể làm tốt hơn khi
giải phương trình lượng giác, tự tin hơn trong học tập.

Chính vì những lý do trên mà tơi đã quyết định chọn đề tài “Kỹ thuật lấy
nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện ”, với hy vọng và mong muốn sẽ
đem đến cho các em những kỹ năng, những phương pháp nhằm giúp các em khắc
phục những trở ngại nói trên. Từ đó đem lại kết quả cao hơn trong học tập, giúp các
em u thích và có hứng thú hơn trong học Tốn.

II. Mục đích nghiên cứu.

Thực hiện đề tài này tơi muốn lấy đây làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho
q trình giảng dạy của bản thân, đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo cho các bạn
đồng nghiệp. Trong đề tài này tôi đề cập đến một số phương pháp lấy nghiệm của
phương trình lượng giác có điều kiện, qua đó cho học sinh thấy được sự sáng tạo và
linh hoạt trong giải tốn.Từ đó học sinh sẽ thấy thích thú và say mê hơn trong học tập,
do vậy sẽ đem lại kết quả cao hơn.

III. Đối tượng nghiên cứu.

Nghiên cứu về phương trình lượng giác có điều kiện.
IV. Phạm vi nghiên cứu.

- Làm tài liệu cho giáo viên.

- Áp dụng cho học sinh khối 11, 12. Đặc biệt là học sinh lớp 12 tham gia thi học
sinh giỏi, đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp.

V. Phương pháp nghiên cứu.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I. Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu.

1. Các hằng đẳng thức lượng giác
sin2x + cos2x= 1;

1 tan , ,

cos 2

x x k k

x




 

      

 



;
2

1
1 cot

sin

x

 



x k k ,  



;

tan .cotx x1.

2. Biểu diễn một cung lượng giác, một góc lượng giác trên đường tròn
lượng giác.

Khi biểu diễn một cung (góc) lượng giác bao giờ cũng chọn điểm đầu A, điểm
cuối M tuỳ thuộc vào độ lớn và dấu của cung (góc) để ta biểu diễn cho đúng.

+, x  k2 , k  được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi một điểm.

+, x  k k,   được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi hai điểm đối

xứng nhua qua gốc toạ độ.

+, 2 , , , 3

k

x k n n

n




   

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

3. Cơng thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

+,

sin sin ,

x k

 



  

 


   

  





;
+, cosxcos  x  k2 , k ;

+, tanxtan  x  k k,  ;

+, cotxcot  x  k k,  .

II. Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu.

Trong q trình dạy học mơn Tốn đại số lớp 11, khi dạy về phần phương trình
lượng giác, tơi thấy học sinh thường lúng túng trong việc lấy nghiệm của phương trình
lượng giác có điều kiện và rất hay mắc sai lầm trong việc này. Để giúp các em có thể
vượt qua trở ngại này? và từ đó giúp các em có thể tự tin hơn, làm tốt hơn khi giải
phương trình lượng giác. Từ đó đem lại kết quả cao hơn trong học tập.

III. Nội dung của các vấn đề nghiên cứu.

1. Phương pháp biểu diễn điều kiện và nghiệm thơng qua cùng một hàm số lượng
giác.

Ví dụ 1 : Giải phương trình:

2 3

cos cos 1

cos2 tan

cos

x x

x

 

 

(1)

Lời giải : ĐK: cosx0. Khi đó

 

2 2 2

1 2 cos 1 tan 1 cos 1 tan
2 cos cos 1 0

cos 1

cos

x x x x

x x

x
x

      

   







 



Đối chiếu với điều kiện cosx0, ta thấy cả hai giá trị đều thoả mãn.

Vậy phương trình (1) có nghiệm là x k2 , x 3 k2



k





  

     

* Nhận xét Trong phương trình (1), ta đã biến đổi ĐK và nghiệm tìm được thơng qua
h/s ycosx. Từ đó chuyển việc đối chiếu ĐK của x về đối chiếu ĐK của y đơn giản
hơn nhiều.

Ví dụ 2 : Giải phương trình:

 

1 1 2 2

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Lời giải : ĐK:

cos 0 sin 1

sin 2 0 sin 0

sin 4 0 2

sin
2
x x
x x
x
x
 

   
 
 
  
 
  
  

 

(2)





4sin .cos2 2 cos2 2
sin 2sin sin 1 0

1
sin 1;0;

x x x

x
  
   
 

   
 

Đối chiếu với ĐK, ta chọn được

1
sin

x

Vậy pt(2) có nghiệm là:





2 ; 2

6 6

x k  x  k  k 

.
2. Phương pháp sử dụng phép biến đổi lượng giác

Ví dụ 3 : Giải phương trình:





2 sin 2 sin3
tan 1
cos
x x
x
x

 
 (3).

Lời giải : ĐK: cosx 0 sinx1

Ta có: (3)

























4 4 2

2 2

3
3

sin cos 2 sin 2 sin3
1

1 sin 2 2 sin 2 sin3
2

2 sin 2 1 2sin3 0
1

sin3 (*) 2 sin 2 1,
2

1
3sin 4sin

4sin 6sin 1 0 **

x x x x

x x x

x x

x Do x x

x x
x x
   
   
   
    
  
   

Thay sinx1 vào (**) đều không thoả mãn, nên các nghiệm của phương trình (*)

chính là nghiệm của phương trình (3).

Vậy các nghiệm của pt (3) là:





2 ; 5 2 ,

18 3 18 3

k k

x   x    k 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Như vậy khơng phải tìm đk cụ thể, ta vẫn có thể đối chiếu nghiệm với đk và suy ra
nghiệm của phương trình.

3. Phương pháp thử trực tiếp.

Đối với phương trình mà ĐK và nghiệm khó đưa về cùng một hàm số lượng
giác, ta có thể tìm nghiệm cụ thể, rồi thay vào ĐK để kiểm tra lại.

Ví dụ 4 : Giải phương trình:

 

cos3 .tan 5x xsin 7 4x

Lời giải : ĐK: cos5x0. Khi đó

(4)





2sin 5 .cos3 2sin 7 .cos5
sin8 sin12

2
20 10

x x x x

x x
k
x
k
k
x


 

 



  
  



+, Với 2

k

x 

thì

cos5 cos 0 2 ( )

k

x    k  m m 

+, Với 20 10

k

x  

thì cos5 cos(4 2 ) 0. )

k

x       k

Vậy phương trình (4) có nghiệm là: x m , , 20 10

k

x   



m k,  



Ví dụ 5 : Giải phương trình:





 

2 sin cos

1 5

tan cot 2 cot 1

x x

x x x




 

Lời giải : ĐK:

cos 0

tan cot 2 0 sin2 0

cot 1 0 sin 0

sin cos 0

x

x x x

x x
x x
  
    
 

 
  

 
   


Khi đó (5)





sin 2 2 sin

sin . 2 cos 2 0
sin 0
2
cos
2
x x
x x
x
x

  




 


</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>





1
2
3 2
2 4
cos
3
2 2
4

x x k

x k

x x k






  

   
   



Dễ thấy ĐK cosx0, sinx0 thoả mãn. Thay trực tiếp các nghiệm x1, x2

Vào hệ:

sin 2 0
sin cos 0

x
x x



 

 ta thấy chỉ có nghiệm x1 thoả mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là:





3 2 ,

x  k  k 

.
4. Phương pháp biểu diễn trên đường tròn lượn giác.

- Trên đường trrịn lượng giác, những điểm khơng thoả mãn ĐK đánh dấu “x”, những
điểm nghiệm tìm được đánh dấu “o”

- Những điểm đánh dấu “ o ” mà không trùng với điểm đánh dấu “x” đó là nghiệm của
phương trình.

+, x  k2 , k  được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi một điểm.

+, x  k k,   được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi hai điểm đối

xứng nhua qua gốc toạ độ.

+, 2 , , , 3

k

x k n n

n




   

. được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi n
điểm cách đều nhau tạo thành n đỉnh của một đa giác đều nội tiếp đường trịn.

Ví dụ 6 : Giải phương trình:
sin sin 2 sin3 3
cos cos2 cos3

x x x

 



  (6).

Lời giải : ĐK:

cos cos2 cos3 0

4 2 ,

2
3

x x x

k
x
k
x k
 


  

 


  

  




. Khi đó

 

6  tan2x 3 x6 n2 ,n 

Biểu diễn trên đường trịn lượng giác, nghiệm của phương trình tìm được đánh dấu
“o”, ĐK của pt đánh đấu “x”. Qua biểu diễn, ta thấy nghiệm của phương trình là:





; 2 , ,

6 6

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

B'

A'

B

A

O

x

5. Bài tập vận dụng

Giải các phương trình sau:

1. cos2x – sin2x = tanx + cotx;
2. cosx sin3x0;

1 1

sin 2 sin 2 cot 2

2sin sin2

x x x

x x

   

;

2
cot tan 4sin 2

sin2

x x x

x

  

;

4 4

2 2

sin cos 1 sin

2 2 tan .sin tan

1 sin 2

x x

x

x x x

x



 

 ;

2 1 cos
tan

1 sin

x
x

x




 ;

cot 2 cot 3 0

sin .sin2 .sin3

x x

x x x

  

;

3 1

8sin

cos sin

x

x x

 

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>



2 3 cos



2sin2

2 4 0

2 cos 1

x



 

    

 



 ;

10.









cos cos 1

2 1 sin
sin cos

x x

x

x x



 

 ;

11.

2 cos4
cot tan

sin2

x

x x

x

 

;

12.





2 2 3

sin .cos2x xcos x tan x1 2sin x0
;

13.

1 cos4 sin 4 ;
2sin 2 1 cos4

x x






14.





3 cot 2 cos2

2sin2 0;
cot 2 cos2

x x

x

x x



 



15.

1 2sin 3 2 sin sin 2 1;
2sin .cos 1

x x x

x x

  

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

C. KẾT THÚC VẤN ĐỀ

I. Ý nghĩa của đề tài.

- Mục đích quan trọng nhất của đề tài này là tôi muốn lấy đây làm một cuấn
tài liệu phục vụ trong quá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời cũng là cuấn tài liệu
để các đồng nghiệp tham khảo trong giảng dạy.

- Giúp học sinh biết cách lấy nghiệm của bài tốn giải phương trình lượng giác
có điều kiện, đồng thời qua các phương pháp này nhằm phát triển tư duy linh hoạt cho

học sinh. Từ đó mang lại sự say mê và hứng thú trong học Toán, …

II. Kết quả nghiên cứu.

- Đề tài này tôi bắt đầu thực hiện từ năm học 2011 – 2012 trực tiếp trên lớp
11B1. Kết quả đa số các em đã biết lấy nghiệm của phương trình lượng giác có điều
kiện. Góp phần nâng cao kết quả học tập bộ mơn Tốn nói riêng, kết quả học tập của
các em trong nhà trường nói chung.

- Kết quả thi học kì I, thi thử đại học lần 1 và thi thử đại học lần 2 của lớp 11B1
với 42 em, đa số các em đều làm được phần phương trình lượng giác. Cụ thể như sau:
số H/S

Đợt thi

Số học sinh không đạt Số học sinh đạt

Thi HKI 0 100%

Thi ĐH L1 28,6% 71,4%

Thi ĐH L2 11.9 88.1%

- Những kết quả khả quan từ thực nghiệm sư phạm, cho phép tôi kết luận rằng
mục đích nghiên cứu của đề tài đã được hồn thành và đề tài có tính khả thi cao.

- Tơi hy vọng rằng, đây là cuấn tài liệu mà các thầy cơ giáo dạy Tốn u
thích, đồng thời giúp các em học sinh học tốt hơn phần giải phương trình lượng giác,
qua đó góp phần nâng cao kết quả học tập của các em.

II. Những kiến nghị làm tăng tính khả thi.

Đề tài này có ý nghĩa thiết thực cho học sinh, đặc biệt là dùng cho học sinh ơn
thi đại học. Vì vậy trong thời gian tới, tôi tiếp tục nghiên cứu và mở rộng hơn nữa để
đề tài được hoàn chỉnh hơn và thực sự là cuấn tài liệu bổ ích. Để đề tài được hiệu quả
hơn thì:

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

- Đầu tư thời gian, vật chất nghiên cứu thêm các chuyên đề khác có
liên quan.

- Cần có sự quan tâm, ủng hộ của các cấp lãnh đạo hơn nữa.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Trần Văn Hạo( Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn(chủ biên)- Đào Ngọc Nam- Lê Văn
Tiến-Vũ Viết Yên, Đại số và giải tích 11 ban cơ bản, NXBGD, 2010.

2. Trần Văn Hạo( Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn(chủ biên)- Doãn Minh Cường- Đỗ
Mạnh Hùng-Nguyễn Tiến Tài, Đại số010 ban cơ bản, NXBGD, 2006.

3. Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Mơn Bài giảng chuyên sâu toán THPT Giải Toán
Lượng Giác 11.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

LờI CảM ƠN

Trong quỏ trỡnh thc hin nghiên cứu và thử nghiệm Tơi đã nhận được sự
đóng góp ý kiến của các thầy cơ đồng nghiệp trong trường, trong tổ. Tôi xin chân
thành cảm ơn sự giúp đỡ chân thành đó.

Tơi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Ban chấp hành Cơng Đồn

trường THPT Gia Viễn C, các thầy cô trong hội đồng sư phạm nhà trường, các thầy cơ
trong tổ Tốn – Tin đã tạo điều kiện, động viên để tơi có cơ hội nghiên cứu khoa học,
trao đổi tri thức khoa học. Thầy cô trong ban giám hiệu đã tạo điều kiện cho chúng tôi
được thể nghiệm trên đối tượng học sinh. Từ đó hồn thành bản báo cáo sáng kiến
kinh nghiệm giảng dạy này.

Do thời gian nghiên cứu chưa nhiều nên đề tài bản báo cáo và những thử
nghiệm của tơi khơng tránh khỏi thiếu sót và những khía cạnh chưa đề cập đến. Rất
mong nhận được những ý kiến quý báu của quý bạn đọc để đề tài phát huy hiệu quả
sâu rộng hơn.

Xin chân thành cảm ơn !

Gia Viễn, ngày 20 tháng 4 năm 2012
 Tổ Toán – Tin

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

MỤC LỤC

A. Đặt vấn đề 1

B. Giải quyết vấn đề 2

I Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu 2
II Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu 4
III Nội dung của các vấn đề nghiên cứu 4

III.1.Phương pháp biểu diễn điều kiện và nghiệm thông qua cùng một

hàm số lượng giác. 3

III.2. Phương pháp sử dụng phép biến đổi lượng giác 4

III.3. Phương pháp thử trực tiếp. 5

III.4. Phương pháp biểu diễn trên đường tròn lượn giác. 6

III.5. Bài tập vận dụng 7

C. Kết thúc vấn đề 9

</div>

SKKN ky thuat lay nghiem cua pt luong giac co DK

<b>A. ĐẶT VẤN ĐỀ</b>

<b>B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ</b>





 





 









































 













 













 





<b>B'</b>

<b>A'</b>

<b>B</b>

<b>A</b>

<b>O</b>

<b>x</b>





















<b>C. KẾT THÚC VẤN ĐỀ </b>

<b>TÀI LIỆU THAM KHẢO</b>

LờI CảM ƠN

<b>MỤC LỤC</b>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về