pp giai quan he vuong goc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (261.64 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP QUAN HỆ VNG GĨC

 Để chứng minh đường thẳng vng góc với đường thẳng ta có thể theo các định lí , hệ quả sau :









;

90

a b

 

a b



.



/ /

b c

a b

a c













.



a b

 

a b

 

0  

.Nếu

a b

,



lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng

a

và

b

 Khi hai đường thẳng cắt nhau ta có thể dùng các kết luận đã có trong hình học phẳng như : tính chất

đường trung trực , định lí Pitago đảo … để chứng minh chúng vng góc .



( )

a

a b

b

















;

/ /

a

b a

b











 

 

'

a

hch a

b

a

b

a























 

'

a

hch a

b

a

b

a

























;

ABC a

AB

a

BC

a

AC

















 Để chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng ta có thể sử dụng một trong các định lí , hệ quả 
sau :

 a  a  b 

a

b

a

c

a

b

c O



 















  



a b

/ /







a







/ /



 

a







AB



  





M MA MB

|





(



là mặt phẳng trung trực của AB).

 

ABC

MA MB MC

MO

OA OB OC

























.

   

 

   

 

P

Q

a

P

a

Q

a c

P

Q

















 





 

   

 

P

R

Q

R

a

R

P

Q

a



















 

 Để chứng minh hai mặt phẳng vng góc với nhau ta có thể sử dụng một trong các định lí , hệ quả sau :



   

P



Q





   



P

,

Q





90

0

 

   

P

a

P

Q

a

Q

 















   

/ /

   

R

Q

P

Q

P

R

















 Tính góc giữa hai đường thẳng

Phương pháp : Có thể sử dụng một trong các cách sau: 
 Cách 1: (theo phương pháp hình học)

 Lấy điểm O tùy ý (ta có thể lấy O thuộc một trong hai đường thẳng) qua đó vẽ các đường thẳng lần
lượt song song (hoặc trùng) với hai đường thẳng đã cho

 Tính một góc trong các góc được tạo bởi giữa hai đường thẳng cắt nhau tại O .

 Nếu góc đó nhọn thì đó là góc cần tìm , nếu góc đó tù thì góc cần tính là góc bù với góc đã tính .
 Cách 2 : (theo phương pháp véc tơ)

 Tìm

u

,

u



</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

 Khi đó



1 2





1 2



1 2

cos

,

cos

u u

,

u u

u



 





 



.
 Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp :



 





,



90

a







a





;









/ /

,

0 a















;



 





,







, '



'

a

a a

a

hch a























o Để tìm

a

'



hch a

 ta lấy tùy ý điểm

M a



, dựng

MH



 



tại H , suy ra

 





'

,

hch a a





AH

A a

 







a



,







MAH



 Xác định góc giữa hai mặt phẳng

Phương pháp :

 Cách 1 : Dùng định nghĩa :

   





P

,

Q





 

a b



,

trong đó :

 

a

P

b

Q















 Cách 2 : Dùng nhận xét :

       

   





,







,



R

P

Q

R

P

p

P

Q

p q

R

Q

q

  

























.
 Cách 3 : Dùng hệ quả :

 

   





,





P

M

Q

H hch M

P

Q

MNH

HN

m

P

Q

























.

 Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng

Phương pháp : Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , ta phải đi tìm đoạn vng góc vẽ từ 
điểm đó đến mặt phẳng , ta hay dùng một trong hai cách sau :

 Cách 1 :

Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vng góc với (P) .
Xác định

m



   

P



Q

Dựng

MH



m



   

P



Q



MH



 

P

suy ra MH là đoạn cần tìm .
 Cách 2: Dựng

MH

/ /

   

d





o Chú ý :

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

 Nếu

MA



 





I

 





 





,

d M

IM

d A

IA







 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng:

 Khi

 



,

 



0 a

P

d a P

a

P















.

 Khi

a

/ /

 

P



d a P



,

 





d A P



,

 



với

A



 

P

.
 Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng :

 Khi

   



   

,



0 P

Q

d P

Q

P

Q















.

 Khi

 

P

/ /

 

Q

   



,





,

 



d P

Q

d M Q





với

A



 

P

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng

 Khi

   



   



'

,

'

0 '

d

  











  



.

 Khi

 



/ /

 

 

'

d



   



,



'





d M



,

 



'





d N



,

 





với

M

 

 

,

N

 

 

'

.
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :

 Đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

 



và

 



'

là đường thẳng

 

a

cắt

 



ở

M

và cắt

 



'

ở

N

đồng thời vng góc với cả

 



và

 



'

.

 Đoạn

MN

được gọi là đoạn vng góc chung của hai đường

thẳng chéo nhau

 



và

 



'

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn

vuông góc chung của hai đườngthẳng đó .
Phương pháp :

 Cách 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b .Tính khoảng cách từ b đến

mp(P) .

 Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng . Khoảng cách giữa hai mặt 
phẳng đó là khoảng cách cần tìm .

 Cách 3 : Dựng đoạn vng góc chung và tính độ dài đoạn đó . 
 Cách dựng đoạn vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau :

 Cách 1: Khi

a b



 Dựng một

mp P

 



b P

,

 



a

tại H .
 Trong (P) dựng

HK



b

tại K .

 Đoạn HK là đoạn vng góc

chung của a và b .
 Cách 2:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

 Dựng

a

'



hch a

 P , bằng cách lấy

M



a

dựng đoạn

MN



 



, lúc đó a’ là
đường thẳng đi qua N và song song a .

 Gọi

H

 

a

'

b

, dựng

HK

/ /

MN

HK



là đoạn vuông góc chung cần tìm .



Một số bài tập ơn tập chương

Bài 1. Cho hình chóp S ABCD. có đáy

ABCD là hình thang vng tại A và B,
, 2

AB BC a AD   a, các mặt phẳng



SAB



và



SAD



cùng vng góc với mặt phẳng



ABCD



.
a) Chứng minh SA



ABCD



b) Chứng minh



SAC







ABCD



c) Chứng minh các mặt bên của hình chóp S ABCD. đều
là các tam giác vuông .

d) Khi SA a 6 . Tính góc giữa SD với mặt phẳng



ABCD



và góc giữa hai mặt phẳng



ABCD



và



SCD



d) Tính các khoảng cách :









;





;





d A SCD d CD SAB d SD AC

Bài 2. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh

đáy là a , tâm O, cạnh bên bằng a.
a) Tính đường cao của hình chóp .

b) Tính góc giữa các cạnh bên và các mặt bên với mặt
đáy .

c) Tính d(O, (SCD)) .

d) Xác định và tính độ dài đoạn vng góc chung của BD

và SC .

e)Gọi () là mặt phẳng chứa AB và () vng góc với

(SCD) , () cắt SC, SD lần lượt C’ và D’. Tứ giác

ABC’D’ là hình gì? Tính diện tích của thiết diện .

Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCDcó

6, 3 3

AD AB . Lấy điểm M trên cạnh ABsao 
cho MB2MBvà N là trung điểm của AD. Trên 
đường thẳng vng góc với mặt phẳng ABCD tại M lấy
điểm S sao cho SM 2 6 .

a) Chứng minh AD



SAB

 

; SBC







SAB



;
b) Chứng minh



SBN







SMC



;

c) Tính góc giữa đường thẳng SN và mặt phẳng



SMC



d) Xác định vị trí điểm P SM sao cho





 





PNC , SMC



600


.

(Thi Học kì 2 Trường 
chuyên Lê Hồng Phong HCM) .

Bài 4. (*) Cho hình chóp S.ABC có đáy là

ABC đều cạnh a . I là trung điểm của BC, SA vng góc

với (ABC) .

a) Chứng minh (SAI) vng góc với (SBC) .

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, AB . BE, CF lần
lượt là đường cao của SBC. Chứng minh (MBE) vng

góc với (SAC) và (NFC) vng góc với (SBC) .
c) Gọi H, O lần lượt là trực tâm của SBC và ABC .

Chứng minh OH vng góc với (SBC) .

d) Cho () qua A và song song với BC và () vng góc

với (SBC). Tính diện tích của thiết diện S.ABC bởi ()

khi SA = 2a .

e) Gọi K là giao điểm của SA và OH .Chứng minh AK.AS

khơng đổi . Tìm vị trí của S để SK ngắn nhất .

a. Khi SA = a 3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC)

và (ABC) , (SAC) và (SBC) .

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là

hình vng SAB đều cạnh a, (SAB) vng góc với

(ABCD) .

a) Chứng minh SCD cân .

b) Tính số đo góc của hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) .
c) Tính đoạn vng góc với chung giữa AB và SC .

Bài 6. Cho OAB cân tại O . OA = OB =

a , AOB1200 . Trên hai nửa đường thẳng Ax , By vng
góc với (OAB) về cùng một phía , lấy M , N sao cho

AM x BN y .

a) Tính các cạnh của OMN theo a, x, y . Tìm hệ thức giữa

x, y để OMN vuông tại O .

b) Cho OMN vuông tại O và x + y = 2

3a

. Tính x, y ( x < y
) .

c) Với kết quả câu b) . Tính góc




OMN OAB,



.
d) Giả sử M , N lưu động sao cho y2x . Chứng minh

(OMN) quay quanh một đường thẳng cố định.

Bài 7. (*) Cho hình lập phương

ABCD.A’B’C’D’ cạnh a . Gọi I là điểm thuộc cạnh AB ; đặt





, 0

AI x  x a

a) Chứng minh khi x



4 15



a thì góc giữa DI và AC’

bằng 600 .

b) Xác định và tính diện tích thiết diện của hình lập phương
khi cắt bởi mặt phẳng (B’DI) . Tìm x để diện tích ấy nhỏ
nhất .

c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mp(B’DI) theo a và x .

Bài 8. Cho hình chóp tứ giác đều

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

đường thẳng MN vng góc với đường thẳng SP. Tính
khoảng cáh từ P đến



SAB



(CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 
2009) .

Bài 9. Cho hình lăng trụ đứng

. ' ' '

ABC A B C có đáy ABC là tam giác vng tại B ,
, ' 2 ,

AB a AA  a A C' 3a. GọiM là trung điểm của

đoạn thẳng A C' ', I là giao điểm của AM và A C' . Tính
theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng



IBC



(KHỐI D NĂM 2009) .

Bài 10. Cho hình lăng trụ tam giác

. ' ' '

ABC A B C có BB'a, góc giữa đường thẳng BB' và
mặt phẳng



ABC



bằng 600 ; ABC là tam giác vng tại

C và BAC600

. Hình chiếu vng góc của điểm B’ lên
mặt phẳng



ABC



trùng với trọng tâm của tam giác ABC.
Tính khoảng cách ttừ A'đến mặt phẳng



ABC



và diện
tích của tam giác ABC .

(KHỐI B NĂM 
2009).

Bài 11. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy

ABCD là hình thang vng tại A và D,
2 ,

ABAD a CD a , ; góc giữa hai mặt phẳng



SBC



và



ABCD



bằng 600. Gọi I là trung điểm của

cạnh AD. Biết hai mặt phẳng



SBI



và



SCI



cùng
vng góc với mặt phẳng



ABCD



, tính khoảng cách từ

S đến mặt phẳng



ABCD



và diện tích của hình thang

ABCD. (KHỐI A NĂM 2009).

Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy

ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình chiếu
vng góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H

thuộc đoạn AC, 4

AC

AH 

. Gọi CM là đường cao của tam
giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính

khoảng cách từ M đến mặt phẳng



SBC



theo a.

(KHỐI D NĂM 
2010) .

Bài 13. Cho hình lăng trụ tam giác đều

. ' ' '

ABC A B C có AB a , góc giữa hai mặt phẳng



A BC'



và



ABC



bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác

A BC. Tính koảng cách giữa hai mặt phẳng



ABC



và



A B C' ' '



. Tìm điểm M cách đều bốn điểm G A B C, , ,
tính khoảng cách từ M đến các điểm đó theo a.

Bài 14. Cho hình chóp S ABCD. có đáy

ABCDlà hình vng cạnh a. Gọi M và N lần lượt là

trung điểm của các cạnh AB và AD ; Hlà giao điểm của

CN và DM . Biết SH vng góc với mặt phẳng



ABCD



và SH a 3. Tính diện tích của CDNM và 
khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a .

Bài 15. Cho hình lăng trụ đứng

. ' ' '

ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông ,

, ' 2

AB BC a AA  a . GọiM là trung điểm của đoạn

thẳng BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng

AM và B C' . (KHỐI D NĂM 2008)

Bài 16. Trong mặt phẳng

 

P cho nửa

đường trịn đường kính AB2R và điểm C thuộc nửa 
đường trịn đó sao cho ACR. Trên đường thẳng vng
góc với

 

P tại A lấy điểm S sao cho





 





SAB , SBC



600



. Gọi H K, lần lượt là hình chiếu
của A trên SB SC, .Chứng minh tam giác AHK vng và
tính diện ABC và khoảng cách từ S đến

 

P .

Bài 17. Bài 1 : Hình chóp S.ABCD có

đáy ABCD là hình chữ nhật , AB = a , AD = 2a . SA =
a và SA vng góc (ABCD) .

1) Chứng minh (SBC) vng góc (SAB) và (SCD)
vng góc (SAD)

2) Tính góc giữa (SCD) và (ABCD)

Bài 2 : Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác 
vng tại C , mặt bên SAC là tam giác đều và vuông
góc (ABC) .

1) Xác định chân đường cao H kẻ từ S của hình chóp .
2) Chứng minh (SBC) vng góc (SAC) .

3) Gọi I là trung điểm SC , chứng minh (ABI) vng
góc (SBC)

Bài 3 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy
là a . Gọi I là trung điểm BC .1) Chứng minh (SBC)
vng góc (SAI) .

2) Biết góc giữa (SBC) và (ABC)là a. Tính chiều cao
SH cua hình chóp .

Bài 4 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên
và cạnh đáy cùng bằng a . 1) Tính độ dài đường cao
hình chóp . 1) M là trung điểm SC . Chứng minh
(MBD) vng góc (SAC) .

2) Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp .
Bài 5 : Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi 
cạnh a và. Có SA = SB = SD = a.1) Chứng minh (SAC)
vng góc (ABCD) và SB vng góc BC .2) Tính tang
của góc giữa (SBD) và (ABCD) .

Bài 6 : Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang
vng tại A và D ,

AB = 2a , AD = CD =a , cạnh SA vng góc với đáy và
SA = a .

1) Chứng minh (SAD) vng góc (SCD) và (SAC)
vng góc (SBC) .

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài 7: Tứ diện ABCD, AD  (BCD) Gọi E là chân

đường cao DE của tam giác BCD
a/Chứng minh (ADE)  (ABC)

b/Kẻ đường cao BF của tam giác ABC, đường cao BK
của (BCD)

Chứng minh (BFK) (ABC)

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình 
vng cạnh a,SA=SB=SC=SD=a

Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AD và BC

a/Chứng minh (SIJ) (SBC) b/ Tính khoảng

cách giữa AD và SB

Bài9: Tứ diện S.ABC có ABC là tam giác vng cân 
đỉnh B ; AC=2a. Cạnh SA vng góc với (ABC) và
SA=a

a/Chứng minh (SAB) (SBC) b/Tính khảng cách từ

A đến (SBC)

c/Gọi O là trung điểm AC .Tính khoảng cách từ O đến
(SBC).

B10/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vng cạnh a,

SA  (ABCD), SA = h. Gäi O lµ tâm hình vuông ABCD.
Tính khoảng cách:

a) T B đến (SCD) b) Từ O đến (SCD)

B11) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vng vạnh a,
mặt bên (SAB)  đáy và SA = SB = b. Tính khoảng
cách:

a) Từ S đến (ABCD) b) Từ AD đến (SBC).

c) Từ trung điểm I của CD đến (SHC), H là trung điểm
của AB.

B12) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vng cạnh a, SA  (ABCD), SA = a. Tính khoảng cách
giữa hai đờng thẳng:

a) SA vµ BD. b) SC vµ BD. c) AC vµ SD.

B13) Cho hai tam giác cân khơng đồng phẳng ABC và
ABD có đáy chung AB.

a) CM: AB  CD. b) Xác định đoạn vng góc chung
của AB và CD.

Bài14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình 
vng cạnh a,cạnh SA  (ABCD) ; SA=2a. Tính

khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Bài15: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình 
vng cạnh a,SA (ABCD) và SA=a Tính khoảng cách

giữa hai đường thẳng :

a/ SC và BD b/ AC và SD

Bài 16:Cho tứ diện OABC, trong đó OA ,OB,OC đơi 
một vng góc và OA=OB=OC=a. Gọi I là trung điểm
BC.Hãy xác định và tính độ dài đoạn vng góc chung
của các cặp đường thẳng :

</div>

pp giai quan he vuong goc

<b>PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP QUAN HỆ VNG GĨC</b>







<sub>;</sub>

<sub>90</sub>

<i>a b</i>

 

<i>a b</i>



/ /

<i>b c</i>

<i>a b</i>

<i>a c</i>













<i>a b</i>

 

<i>a b</i>

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<i>a b</i>

,

























































<i>a</i>

và

<i>b</i>

( )

( )

<i>a</i>

<i>a b</i>

<i>b</i>



