Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (460.32 KB, 4 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
<b>TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG </b> <b>ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNGNĂM HỌC 2020 – 2021</b>
<b>Mơn thi: Tốn - Lớp: 11 </b>
(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề)
2
2
1
2
5
2
1
1
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i> <i>u</i> <i>u</i>
<i>u</i>
<i>u</i>
<i>n</i>
<i>k</i> 1<i>uk</i>
1
lim
60 .
2
2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
<b>TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG </b>
<b>HƯỚNG DẪN CHẤM </b>
<b>KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG</b>
<b>NĂM HỌC 2020 – 2021</b>
<b>I. Hướng dẫn chung </b>
1. Nếu thí sinh làm bài khơng theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần
như hướng dẫn quy định.
2. Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo
không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Ban chấm thi.
3. Thang điểm được tính đến 0,25. Sau khi cộng điểm tồn bài, khơng làm tròn.
<b>II. Đáp án và thang điểm </b>
<b>Câu </b> <b>Đáp án </b> <b>Điểm </b>
<b>Câu 1 </b>
(5 điểm)
a) Với m = -3, phương trình có dạng: cos2
x – 2cosx – 3 = 0 0.5
cos 1 (N)
cos 3 (L)
<i>x</i>
<i>x</i> 0.5
Với cosx = -1
Vậy phương trình có họ nghiệm là:
b) Đặt t = cosx, x [0; /2] t [0; 1]. 0.5
Khi đó phương trình đã cho m = -t2 + 2t, t [0; 1] (*). 0.5
Xét hàm số: f(t) = -t2
+ 2t, t [0; 1].
1.0
Để phương trình đã cho có nghiệm x [0; /2] phương trình (*) có nghiệm t [0;
1] 0 <i>m</i> 1. Vậy m [0; 1]. 1.0
<b>Câu 2 </b>
(5 điểm)
a) 1.0
1.0
(vì qua gốc tọa độ O). 0.5
0.5
a) Gọi A là biến cố: “Chọn hai tam giác trong số các tam giác vuông tạo thành từ 3
đỉnh trong 18 đỉnh”. Giả sử đa giác đều đã cho nội tiếp đường trịn (C).
Vì tam giác vng tạo thành từ 3 đỉnh trong 18 đỉnh của đa giác đều nên tam giác
vng đó có cạnh huyền là đường chéo của đường tròn (C).
0.5
Suy ra số tam giác vuông tạo thành từ 3 đỉnh trong 18 đỉnh của đa giác đều là:
9.16=144 2
144
( )
<i>n</i> <i>C</i>
0.5
Vì hai tam giác vng bất kì trong 144 tam giác vng ln có cạnh huyền bằng nhau
nên hai tam giác này có cùng chu vi khi và chỉ khi chúng là hai tam giác bằng nhau.
Trong 144 tam giác vuông này chia đều thành 4 nhóm tam giác bằng nhau có chu vi
của mỗi tam giác ở hai nhóm khác nhau là khác nhau 2
36
( ) 4
<i>n A</i> <i>C</i>
.
0.5
2
36
2
144
4
( ) 35
( )
( ) 143
<i>C</i>
<i>n A</i>
<i>P A</i>
<i>n</i> <i>C</i>
0.5
<b>Câu 3 </b>
(5 điểm)
a) Ta có: <i>un</i> <i>un</i> (<i>un</i> 4<i>un</i> 4)0,<i>n</i>
2
1 2
1 Dãy không giảm.
Nếu có số M: <i>u</i>n M với mọi n, thì tồn tại limun = L. Vì un u1 L u1
0.5
Khi đó ta có: L =
2
1
L2 – L + 2 L = 2. (Vơ lý)
limun =
0.5
Ta có: <i>u<sub>n</sub></i>2 2<i>u<sub>n</sub></i> 42<i>u<sub>n</sub></i><sub></sub><sub>1</sub> <i>un</i>(<i>un</i> 2)2(<i>un</i>12)
)
2
(
2
1
)
<i><sub>n</sub></i><sub></sub>
<i>n</i>
<i>n</i> <i>u</i> <i>u</i>
<i>u</i>
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
1
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i>
<i>u</i> (<i>n</i><i>N</i>*)
0.5
Do đó:
2
1
2
1
1
1
1
1
<i>k</i> <i>uk</i> <i>u</i> <i>u</i>
<sub></sub>
<i>k</i> 1<i>uk</i>
1
lim = 2
2
1
1
<i>u</i> 0.5
b) Gọi Tn là số tiền vỗn lẫn lãi sau n năm, a là số tiền hàng tháng gửi vào ngân hàng
và r là lãi suất. Ta có:
- Sau 1 năm, có số tiền là: <i>T</i><sub>1</sub><i>a</i>(1<i>r</i>)
0.5
- Sau 2 năm, có số tiền là: <i>T</i><sub>2</sub> <i>T</i><sub>1</sub>(1 <i>r</i>) <i>a</i>(1 <i>r</i>) <i>a</i>(1 <i>r</i>) <i>a</i>(1<i>r</i>)2
- Sau 3 năm, có số tiền là: <i>T</i><sub>3</sub><i>T</i><sub>2</sub>(1 <i>r</i>) <i>a</i>(1 <i>r</i>) <i>a</i>(1 <i>r</i>) <i>a</i>(1<i>r</i>)2<i>a</i>(1<i>r</i>)3
….
0.5
- Sau n năm, có số tiền là:
2
(1 ) (1 ) ... (1 )<i>n</i>
<i>n</i>
<i>T</i> <i>a</i> <i>r</i> <i>a</i> <i>r</i> <i>a</i> <i>r</i> .(1 ).(1 ) 1
<i>n</i>
<i>r</i>
<i>a</i> <i>r</i>
<i>r</i>
1.0
Sau 18 năm người đó thu được số tiền là:
18
18
(1 0,06) 1
12.(1 0,06). 393,12
0,06
<i>T</i>
(triệu đồng) 1.0
<b>Câu 4 </b>
(5 điểm)
a) Đặt <i>AB</i><i>a AD</i>, <i>b AS</i>, <i>c</i> với
. . . 0
<i>a b</i><i>b c</i><i>c a</i> và <i>a</i> <i>b</i> <i>a c</i>, <i>a</i> 3
<i><b>N</b></i>
<i><b>A</b></i>
<i><b>B</b></i>
<i><b>C</b></i>
<i><b>D</b></i>
<i><b>S</b></i>
<i><b>H</b></i>
<i><b>K</b></i>
0.5
Ta có <i>SD</i> <i>b</i> <i>c</i> và 1
2
<i>AN</i> <i>a</i> <i>b</i> 0.5
Suy ra 2 2 2 , 2 1 2 5
4 2
<i>a</i>
<i>SD</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a AN</i> <i>a</i> <i>b</i> và
2
2
1
.
2 2
<i>a</i>
<i>SD AN</i> <i>b</i> 0.5
Vậy
2
1
2
cos , 0
5 2 5
2 .
2
<i>a</i>
<i>SD AN</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
. Suy ra cos
2 5
<i>SD AN</i> 0.5
b) + Ta có <i>SB</i> <i>a</i> <i>c</i> và 1
2
<i>DN</i> <i>a</i> <i>b</i> 0.5
2 2
<i>HK</i> <i>HB</i><i>BN</i> <i>NK</i> <i>xSB</i><i>BN</i> <i>yDN</i> <i>x a</i><i>c</i> <i>b</i><i>y a</i><sub></sub> <i>b</i><sub></sub>
2
<i>y</i>
<i>HK</i> <i>HB</i> <i>BN</i> <i>NK</i> <i>x</i> <i>y a</i> <i>b</i> <i>xc</i>
Vì <i>HK</i> <i>SB</i>
<i>HK</i> <i>DN</i>
<sub></sub>
nên
2 2
2 2
0
1
0
4
<i>x</i> <i>y a</i> <i>xc</i>
<i>y</i>
<i>x</i> <i>y a</i> <i>b</i>
<sub></sub>
2 2
2 2
3 0
1
0
4
<i>x</i> <i>y a</i> <i>xa</i>
<i>y</i>
<i>x</i> <i>y a</i> <i>a</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
1
4 0 <sub>16</sub>
4 5 1 1
4
<i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>y</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub> </sub>
0.5
Suy ra
2
3 3 1 3 3 1 3
16 8 16 16 8 16 4
<i>a</i>
<i>HK</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i><i>HK</i> <sub></sub> <i>a</i><sub></sub> <sub></sub> <i>b</i> <sub> </sub> <i>c</i><sub></sub>
Vậy 3
4
<i>a</i>
<i>HK</i> <b>. </b>
0.5
<b>Câu 5 </b>
(1 điểm)
Vì x2 + y2 = 1 suy ra x = sint, y = cost, với t [0; 2]. 0.25
Khi đó: A =
2 2
2 2
Xét phương trình:
(*) có nghiệm 2 2 2 2
0.25