DeDA Toan vao 10 chuyen BDinh0607

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (124.93 KB, 3 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH
Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
Năm học 2006 – 2007

Thời gian làm bài 150 phút
Ngày thi: 13/6/2006
Câu 1: (2 điểm).

Tìm số xyz biết rằng





4
3 xyz  x y z  n

với n N.

Câu 2: (2 điểm).
Chứng minh rằng:

1 1

. 1

1
1

x x x

x

x
x

     

 

   

     

    ,



0 x 1



.
Câu 3: (2 điểm).

Giải bất phương trình:  y  x x2y21 1 .
Câu 4: (3 điểm).

Trên nửa đường trịn đường kính AB ta lấy một điểm C. Hạ đường cao CH của tam giác ABC.
Gọi O1, O2 lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp tam giác ACH và BCH. Tìm vị trí của C để
O1O2 đạt độ dài lớn nhất.

Câu 5: (1 điểm).

Giả sử p là số nguyên tố lẻ, đặt

9 1
8

p

m 

. Chứng minh rằng m là một hợp số lẻ, không chia
hết cho 3 và 3m11 (mod m).

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

HƯỚNG DẪN CHẤM THI

Mơn: TỐN (Dành cho lớp chun tốn)

---Câu 1: (2 điểm).

Giả sử n  1. Vì x  1 nên nếu y = z = 0 thì 3 xyz 3100N. 
Trong khi đó





4n
x y z 

 N. Vơ lí! (0,5 điểm).

Nếu y + z  1 thì x + y + z  2. Suy ra





4n
x y z  

24 = 16 > 10 = 31000 3 xyz

Vậy n = 0. Ta có xyz = (x + y + z)3 (1) (0,5 điểm).

Mặt khác ta có 64 < xyz < 1000 hay 4 < x + y + z < 10 (2) (0,25 điểm).

Ta lại có: Nếu a N thì a3 chia cho 9 có số dư là 0, 1, 8.

Vậy (x + y + z)3 chia cho 9 có số dư là 0, 1, 8. (0,25 điểm).
Từ (1) suy ra xyz chia cho 9 có số dư là 0, 1 , 8

hay x + y + z chia 9 có số dư là 0, 1, 8 (3) (0,25 điểm).

Từ (2) và (3) suy ra x + y + z bằng 8 hoặc bằng 9.

 x + y + z = 8  (x + y + z)3 = 83 = 512 = (5 + 1 + 2)3
 x + y + z = 9  (x + y + z)3 = 93 = 729  (7 + 2 + 9)3

Vậy xyz = 512. (0,25 điểm).

Câu 2: (2 điểm).

Với 0 x 1 ta có:

1 1

.
1
1

x x x

x

x
x

     



   

     

    =

 



 



2
3

1 1

1 1 1

x x

x

x x x

    



    

      

   

  (1,0 điểm).









1
1

x x x

x

  



(0,5 điểm).









2
1
1

1
x

x




= 1 (0,5 điểm).

Câu 3: (2 điểm).

Ta có:  y  x x2y21 1 ⇔ x −|y|≥

√

x2+y2−1+1









2 2

2 2 2

1 0
0

1 1

x y

x y x y



   



   


     



(0,5 điểm).

2 2

2 2
1

x y

x y x y

  



  



   




(0,5 điểm).

Từ điều kiện x > y suy ra x > 0. Do đó x y  0. Từ đó ta được:

2 2

2 2
0
1

1 0
x y

x y x y

x y

 



     

  



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Do x > 0 nên từ (*) suy ra
1

0
x
y







 (0,5 điểm).
Thử lại ta thấy

1
0
x
y







 thoả mãn  hệ bất phương trình đã cho có nghiệm là 
1

0
x
y







 .

(0,5 điểm).

Câu 4: (3 điểm).

Gọi O là tâm, r là bán kính của đường trịn nội tiếp tam giác ABC và r1, r2 theo thứ tự là bán
kính của các đường trịn (O1), (O2).

Ta có:

ABC ACH CBH

r CH

r CB

 

;
2

r CH

r AC (0,5 điểm).
2 2

2
1 2

2 2 2

1 1

r r

CH

r CB AC

  

    

 





2 2 2 2

2 2

. .

CH AC CB CH AB

CB AC CB AC

  

   

  (0,5 điểm).

Suy ra r2 r12r22 (1) (0,5 điểm).

Mặt khác O1O2H vuông tại H nên O1O22 = O1H2 + O2H2 = 2r2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra O1O2 lớn nhất khi và chỉ khi r lớn nhất. (0,5 điểm).

Xét OAB ta có:

 1800



 



  

AOB OAH OBH

= 1350 . Suy ra O thuộc cung chứa góc 1350
dựng trên đoạn AB thuộc nửa mặt phẳng bờ AB cùng phía với nửa đường trịn đã cho.

(0,5 điểm).

Dễ thấy khi O là điểm chính giữa cung đó thì r lớn nhất. Lúc đó C là điểm chính giữa của nửa

đường trịn đường kính AB. (0,5 điểm).

Câu 5: (1 điểm).
Ta có:

3 1 3 1
.

2 2

p p

m      ab

    . Dễ thấy a, b đều nguyên dương lớn hơn 1 do đó m là hợp

số. (0,25 điểm).

Ta lại có m9p19p2... 1 . Suy ra m lẻ và chia 3 dư 1. (0,25 điểm).
Theo định lí Fecma nhỏ 9p – 9 p vì (p, 8) = 1 nên 9p – 9  8p hay

9 9
1

p

m   p

.
Vì m – 1 chẵn nên cũng có m – 1  2p.

Do đó:

1 2 9 1

3 1 3 1
8

p

m   p   m

(0,5 điểm).

</div>

DeDA Toan vao 10 chuyen BDinh0607

















 



 



















√













<sub></sub>

<sub></sub>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về