LTDHHinh hoc phan 2

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (423.42 KB, 25 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

VẤN ĐỀ II: CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ CHĨP TỨ GIÁC

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, SA⊥

(

ABCD

)

và ABCD là hình chữ nhật có
AB a,= AD=b, SA=2a. N là trung điểm SD.

1. Tính d A, BCN , d SB, CN .

(

)



(

)

2. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng

(

SCD , SBD

) (

)

3. Gọi M là trung điểm của SA. Tìm điều kiện của a, b để cos CMN

1 .
3

= Trong
trường hợp đó hãy tính VS.BCNM.

Giải:

Trọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho:

(

) (

)

(

)

A 0; 0; 0 , B a; 0; 0 , C a; b; 0 , D 0; b; 0 , S 0; 0;2 M 0; 0; a , N 0; ; a
2

a ⇒  

 

1. Tính d A, BCN , d SB, CN .

(

)



(

)

(

BCN

)

(

)

n =BC, BN=ab 1; 0;1

(

BCN : x z a

)

⇒ + − =

(

)

d A, BCN
2

 

⇒  =

(

)

2 2

SB,CN SC 2ab

d SB,CN

SB,CN 5b 4a

 

 

= =

  +

 

2. Tính cosin góc giữa hai mặt
phẳng

(

SCD , SBD

) (

)

(

)

1 2
n =SC,SD= 0; 2a ; ab

(

)

n =SC,SB= −2ab; 0; ab−

z

y

x

N

M

C

A

D

B

S

1 2

1 2 2 2

n .n b

cos

n . n 20a 5b

⇒ ϕ = ⇒

3. Tìm điều kiện của a, b

Ta có:

2 2

MC.MN b 1

cos CMN a b

MC.MN 2a b 3

= = = ⇔ =

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

(

)

(

)

S.BC

3
MN

1 BM a

V d S, BCN . BC MN

3   2 4

=   + =

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a 2 đường cao bằng
h. Mặt phẳng

( )

α qua A và vng góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại

B', C', D'.

1. Tìm điều kiện của h để C' thuộc cạnh SC.

2. Cho h=2a.
- Tính VS.AB' C' D'.

- Chứng tỏ B'C' D'∆ có một góc tù.
Giải:

Ta có: AC= 2 B 2aA =

Gọi O là tâm ABCD⇒SO⊥

(

ABCD

)

Trọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho:

(

) (

)

O 0; 0; 0 , A a; 0; 0 , B 0; a; 0 , C −a; 0; 0 , D 0; a; 0 ,− S 0; 0;h

1. SC= −

(

a; 0; h

) ( )

⇒ α : ax hz a+ − 2=0
Phương trình tham số của

(

)

x a at
SC : y 0 t

z ht
 = − +
 =


 =


∈

3 2 2
2 2 2 2
a ah 2a h

C' ; 0;

a h a h

 − 

⇒  

+ +

 

2
C C S 2 2

2a h

C' z h h a

SC z z

′< ⇔ <

< ⇔

⇔ >

∈

2. Cho h=2a.

Ta có S 0; 0; 2a , C'

(

)

3a; 0;4a

5 5

− 

 

 

( )

: x 2z a 0

⇒ α + − =

- Tính VS.AB' C' D'.
Ta có: SB a 0;1; 2=

(

−

)

Phương trình tham số của

(

)

x 0

3a a
SB : y a t t B' 0; ;

4 2
z 2t

 =

 

 = + ⇒

  

 

 =− ∈



(

)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Phương trình tham số của

(

)

x 0

3a a
SD : y a t t D' 0; ;

4 2
z 2t

 =

 

 = − + ⇒ −

  


 =



∈



AC'.B' D' 0= ⇒AC'⊥B' D' AB' C' '

2
D

1 3a

S AC'.B' D'
5

5
2

⇒ = =

2 2

S.AB'

3
C' D'

3a 6a 3a 1 3a 3a 3a

SC' V . .

5 5 5 3 5 5

5 5 5

   

= −  + −  ⇒ = =

    =

- Chứng tỏ B'C' D'∆ có một góc tù.
2

9a C' D'.C' B'

C' D'.C' B' 0 cos C' 0

80 C' D'.C' B'

= − < ⇒ = <

Vậy B'C' D'∆ tù tại C'

Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA⊥

(

ABCD

)

và SA=h. M thuộc cạnh AD sao cho AM=m 0

(

<m≤a

)

1. Tính d SB,CM , tìm M để

(

)

d SB,CM lớn nhất.

(

)

2. Cho h=a tính m theo a để cos SMC

1.
5
= −

3. Chứng minh VMSBC khơng phụ thuộc vào vị trí M.

4. Tính sin góc ϕ giữa SC và

(

SBD .

)

Giải:

Trọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho:

(

) (

)

(

) (

)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

+
1. Tính d SB,CM , tìm M để

(

)

(

)

d SB,CM lớn nhất.

(

)

SB,CM SC
d SB,CM

SB,CM

 

 

 

 

(

)

(

)

2 2
2 2 2 2

a h

a h h a m a a m
=

+ − + −

Ta có:

(

)

(

)

2
2 2 2 2 2 2
a h +h a m− +a a m− ≥a h

(

)

(

)

2
2 2 2 2

1
a h h a m

1
a a m ah

+ − +

≤
−

(

)

d SB,CM a

⇒ ≤

(

)

max

d SB,CM a m a M D

⇒ = ⇔ = ⇔ ≡

z

y

x

D

C

A

B

M

S

Cách 2:

Ta có d

(

S ,CMB

)

≤BC a= ⇔m= ⇔a M≡D

2. Cho h=a tính m theo a để cos SMC

1.
5
= −
Khi h a= ⇒S 0; 0;a

(

)

MS.MC 1

(

2 2

)(

2 2

)

cos SMC 5ma 5m m a 2a 2am m

MS.MC 5

= = − ⇔ − = + − +

4 24am3 11a m2 2 a m a3 4

m 0

12 − −

⇔ + + =

(

)

2 2

a a

m 3m 3am a 0 m

2 2

 

⇔ −  − − = ⇔ =

 

3. Chứng minh VMSBC khơng phụ thuộc vào vị trí M.
2

MSBC

1 a h

V MB,MC MS

6 6

 

=   =

4. Tính sin góc ϕ giữa SC và

(

SBD .

)

(

)

SC= a;a; h−

(

)

(

)

( )

(

)(

2 2

)

SBD

2
ah
n SB,SD a h; h; a sin cos SC, n

2a h 2h a

 

= = − ⇒ ϕ = =

+ +

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

vng góc với

(

ABCD tại D lấy điểm S sao cho SD a.

)

1. Các mặt bên của hình chóp S.ABCD là hình gì.

2. Tính d D, SAC , d AB,SC ,

(

)



(

)

góc ϕ giữa

(

SCD , SAC .

) (

)

3. Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu qua S, B, C, D.
Giải:

Chọn hệ trục tọa độ Dxyz sao cho:

(

) (

)

D 0; 0; 0 , A a; 0; 0 , B a;a; 0 , C 0; 2a; 0 , S 0; 0;a

1. Các mặt bên của
hình chóp S.ABCD là
hình gì.

Dễ thấy SAD, SCD∆
vng tại D

SA.AB 0= ⇒ ∆SAB
vuông tại A

SB.BC 0= ⇒ ∆SBC

vuông tại B

2. Tính d D, SAC ,

(

)



(

)

d AB,SC , góc ϕ giữa

(

SCD , SAC .

) (

)

z

y

x

C

D

A

S

B

(

)

(

)

SAD : 2x y 2z 2a 0 d D, SAC
3

 

+ + − = ⇒  =

(

)

AB,SC AS

d AB,SC a

AB,SC

 

 

= =

 

 

(

SAC

)

(

)

(

SCD

)

(

)

2
n 2;1; 2 , n 1; 0; 0 cos

= = ⇒ ϕ =

3. Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu qua S, B, C, D.

( )

S : x2+y2+z2− α − β − γ =2 x 2 y 2 z 0

( )

2
2

a 0

S 0 I 0; a;

2 a 0
S, B, C 2a 2 a 2

2
a 0

4a a

2
4 a 0



 α =

   



∈ ⇒ ⇒ β = ⇒

− γ =
− α − β =
− β

 

 

 

 γ =

 = 

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

I là trung điểm SC nên

2
2 a
R a
2
a 5
2

 
= +   =
 

Ví dụ 11: Cho hình chóp tứ giác đều cạnh đáy a 2 ,

ASB= α.

1. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp.

3. Tìm

( )

α để mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp trùng nhau.
Giải:

Ta có AC=BD=2a. Gọi SO là đường cao và SO=h
Trọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho:

(

) (

)

O 0; 0; 0 , A a; 0; 0 , B 0; a; 0 , C −a; 0; 0 , D 0; a; 0 , S 0; 0; h−

1. Xác định tâm và bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp.

Do hình chóp S.ABCD là tứ giác đều
nên I∈OS⇒I 0

(

; 0;z0

)

( )

2 2 2
0

S : x +y +z −2z z d 0+ =

( )

22

0
d 0
a

S
A,S

h 2z h d 0
+ =
−

⇒
=
∈
+



2
2 2
0
d
h a
z
2h
a
= −
−

⇒
=





2 2
h a
2
I 0; 0;

h
 
⇒  
 
−

2 2
h
R
2h
a
+
⇒ =

z

y

x

α

D

C

B

O

A

S

Mặt khác:
2 2
2 2

SA.SB h a cos

cos h

SA.SB a h 1 cos
α
α = = ⇒
− α
+

(

)

(

)

(

)

a 2 cos 1
a

R , OI

2 cos 1 cos 2 cos 1 cos
α −

⇒ = =

α − α α − α

2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp.
Ta có: J∈OS⇒J 0; 0; r ,

(

)

OJ=r

S.ABCD TP S.ABCD
2

r 2a h

V S , V

3 3

= =

(

)

XQ SAB 2 2
1

S 4S 4. SA.SB.sin 2 a h sin
2

∆

= = α = + α

(

)

TP ABCD XQ 2 2 2

S S S 2 a h sin 2a

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

(

)

(

)

a cos 1 cos a cos 1 cos

r OJ r

1 sin cos 1 sin cos

α − α α − α

⇒ = ⇒ = =

+ α − α + α − α

3. Tìm

( )

α để mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp trùng nhau.

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

a cos 1 cos a 2 cos 1

I J OI OJ

1 sin cos 2 cos 1 cos
sin cos

sin cos sin cos 1 45

sin cos 1 0

α − α α −

≡ ⇔ = ⇔ =

+ α − α α − α

 α = α

⇔ α − α α − α + ⇔ ⇔ α = °

α − α + >


Vậy I≡ ⇔ α =J 45°

BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Bài tập 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đáy là hình vng cạnh a đường cao
SO. Mặt bên tạo với đáy một góc 60 .° Mặt phẳng

( )

α chứa cạnh AB và tạo với đáy

một góc 30° cắt các cạnh SC, SD tại M, N.

1. Tính góc giữa AN với

(

ABCD

)

và BD.

2. Tính khoảng cách giữa AN và BD.

3. Tính thể tích hình khối ABCDMN.

Bài tập 2: Cho hình vng ABCD cạnh a 2 tâm O. Trên tia Oz⊥

(

ABCD

)

lấy
điểm S, mặt phẳng

(

SAD tạo với đáy góc .

)

1. Xác định và tính độ dài đoạn vng góc chung của SA và CD.

2. Mặt phẳng

( )

β qua AC và vng góc

(

SAD chia hình chóp thành hai phần.

)

Tính tỉ số thể tích hai phần đó.

Bài tập 3: Cho hình chữ nhật ABCD, AB a, AD= =b. Trên tia Az vng góc

(

ABCD lấy điểm S, SA

)

=h. Mặt phẳng

( )

α qua A và vng góc SC cắt
SB, SC, SD tại B'C' D'.

1. Chứng minh tứ giác AB'C' D' có hai góc đối diện vng.

2. Chứng minh

(

AB'C' D'

)

luôn đi qua đường thẳng cố định khi h thay đổi.

3. Chứng minh 7 điểm A, B, C, D, B', C', D' luôn thuộc một mặt cầu cố định khi h
thay đổi.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vng cạnh a, SA⊥

(

ABCD

)

và

SA=a 2. Mặt phẳng

( )

α qua A và

( )

α ⊥SC;

( )

α cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt
tại H, M, K.

1. Chứng minh rằng AH⊥SB, AK⊥SD.

2. Chứng minh BD

( )

α và BD HK.

3. Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của SAC.∆

4. Tính VS.AHMK.

Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật AB a, AD= =2a, đường cao
SA=2a. Trên cạnh CD lấy điểm M sao cho MD=x0

(

0≤x0≤a

)

1. Tìm vị trí M để S∆SBM lớn nhất, nhỏ nhất.

2. Tìm vị trí M để

(

SBM

)

chia hình chóp thành hai phần với VCSBM 1VS.ABCD.
3

3. Cho x0 a.
3

= Gọi K là giao điểm BM và AD. Tính góc giữa phẳng

(

ASK và

)

(

SKB

)

Bài tập 9: Cho hình chóp S, ABCD, đáy hình chữ nhật với AB a, AD= =b, SA=2a
vng góc với đáy. Trên cạnh SA lấy điểm M, AM=m 0

(

≤m≤2a .

)

1. Mặt phẳng

(

MBC cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì. Tính diện tích thiết

)

diện ấy.

2. Tìm vị trí điểm M để diện tích thiết diện lớn nhất.

3. Tìm vị trí điểm M để

(

MBC chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng

)

nhau.

Bài tập 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. SAB∆ đều
và

(

ABC

) (

⊥ ABCD .

)

H là trung điểm AD.

1. Tính d D, SBC , d HC, SD .

(

)



(

)

2. Mặt phẳng

( )

α qua H và vng góc với SC tại I. Chứng tỏ

( )

α cắt các cạnh
SB, SD và tính B,SC, D . 

Bài tập 11: Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥

(

ABCD

)

đáy ABCD là hình vng
cạnh a. Trên cạnh BC, CD lần lượt lấy các điểm M, N. Đặt

(

)

CM=x, CN=y 0 x, y a .< <

1. Tìm hệ thức giữa x, y để M, AS, N  = 45 .°

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bài tập 16: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a 2 , đường cao
SH=2a. M là điểm bất kì thuộc đoạn AH. Mặt phẳng

( )

α qua M song song với
AD và SH cắt AB, DC, SD, SA lần lượt tại I, J, K, L.

1. Xác định vị trí của M để thiết diện IJKL là tứ giác ngoại tiếp được.

2. Xác định vị trí của M để thể thích khối đa diện DIJKLH đạt giá trị lớn nhất.

3. Mặt phẳng

( )

α cắt DB tại N. Gọi E=MK∩NL. P, Q là trung điểm của AD, BC.
Tìm M để

PEQ 90 .= °

Bài tập 17: Trong mặt phẳng

( )

α cho hình vuông ABCD. Trên tia Az⊥ α

( )

lấy
điểm S. Đường thẳng

( ) (

∆ ⊥1 SBC

)

tại S cắt

( )

α tại M,

( ) (

∆2 ⊥ SCD

)

tại S cắt

( )

α
tại N. Gọi I là trung điểm MN.

1. Chứng minh A, B, M thẳng hàng. A, D, N thẳng hàng.

2. Khi S di động trên Az chứng tỏ I thuộc đường thẳng cố định.

3. Vẽ AH⊥SI tại H. Chứng minh AH là đường cao tứ diện ASMN và H là trực
tâm SMN.∆

4. Cho OS=2, AB 1.= Tính VASMN.

Bài tập 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh

(

)

a, SA⊥ ABCD và SA=h. Vẽ AE⊥SB tại E, AF⊥SD tại F.

1. Chứng minh

(

AEF

)

⊥SC.

2. Gọi P là giao điểm SC và

(

AEF . Tính h theo a để

)

VP.ABCD lớn nhất.

3. Với h tìm được ở câu 2 tính d BD, AEF ,

(

)

 ϕ =  S, BD,C .

Bài tập 19: Cho hình chữ nhật ABCD, AD=2a, AB a.= Trên tia Az⊥

(

ABCD

)

lấy
điểm S. Mặt phẳng

( )

α qua CD cắt SA, SB tại K, L.

1. Cho SA=2a, AK=k 0

(

≤ ≤k 2a

)

- Tính SCDKL. Tính k theo a để SCDKL lớn nhất, nhỏ nhất.
- Chứng tỏ d KD, BC khơng đổi.

(

)

- Tính k theo a để

( )

α chia hình chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng
nhau.

2. Gọi M, N là trung điểm của SC, SD. Tìm quỹ tích giao điểm I của AN, BM khi
S di động trên tia Az.

Bài tập 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với các đường chéo
AC=4a, BD=2a, chúng cắt nhau tại O. Đường cao hình chóp là SO=h. Mặt
phẳng

( )

α qua A vng góc với SC và cắt SB, SC, SD lần lượt tại B', C', D'.

1. Xác định h để B'C' D'∆ đều.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bài tập 21: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a 2 , đường cao SO,
cạnh bên bằng a 5.

1. Tính thể tích hình chóp. Xác định tâm I và bán kính R của hình cầu

( )

S nội tiếp
hình chóp.

2. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC. Mặt phẳng

(

MNP cắt

)

SB, SD tại Q và R. Tính diện tích thiết diện.

3. Chứng tỏ rằng mặt phẳng

(

MNP chia hình chóp ra thành hai phần có thể tích

)

bằng nhau.

Bài tập 1:

(

)

AN, ABCD ,

(

AN, BD

)

ϕ =  β =

(

)

(

)

ABCD 3
sin cos n , AN

ϕ = =

AN.BD 3
cos

AN.BD 13

β = =

(

)

AN, BD AB 3

d AN, BD a

22
AN, BD

 

 

= =

 

 

ABCDMN S.ABCD S.ABMN
3
5a

V V V

48
3

= − =

z

y

x

60°

K

J

M

N

I

C

B

A

O

D

S

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

y

x

z

α

M

I

C

B

A

O

D

S

Gọi I là trung điểm AD ta có OIS SO OI tan a 2tan
2

= α ⇒ = α = α

Trọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho:

(

) (

)

O 0; 0; 0 , A a; 0; 0 , B 0; a; 0 , C a; 0; 0 ,D a 2tan
2

0; a; 0 , S 0; 0; 

− − 

 α 

EF là đoạn vng góc chung với E∈SA,F∈CD
4 2 2

EF a 2 sin= α +2 sin αcos α =a 2 sinα

(

)

(

)

(

)

1 MADC S.ABCD

1
2 S.ABC

3 3
2

3 2
D 1

2
2
2

a 2 tan a 2 tan

V V , V

3
3 2 tan

a 2 tan 1 tan V

V V V cos

V
3 2 tan

α α

= = =

+ α

α + α

⇒ = − = ⇒ = α

+ α

Bài tập 3:

Trọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho:

(

) (

)

(

)

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

+
1. Ta có: AB'.BC 0

AB'.SB 0

 =






(

)

AB' SBC AB' B'C'

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

Tương tự AD'⊥C' D'

2. Gọi ∆ =

(

AB'C' D'

) (

∩ ABCD

)

( )

A∈ ∆ và n∆=

(

b; a; 0−

)

khơng
đổi vì vậy

( )

∆ cố định

3. Gọi I là tâm của

( )

S I a b; ; k
2 2

 

⇒  

 

( )

S : x2+y2+z2−ax by 2kz− − =0

( )

a b

B' S k 0 I ; ; 0 ,
2 2

 

⇒ = ⇒  

 

∈

z

y

x

D'

B'

B

C

A

S

D

C'

2 2

R= a +b , S.AB'C' D
S.ABCD

V 1

V =9

Bài tập 5:

Ch

ọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho:

(

) (

)

(

)

A 0; 0; 0 , B a; 0; 0 , C a; a; 0 , D 0; a; 0 , S 0; 0; a 2

1. Chứng minh rằng
AH⊥SB, AK⊥SD.
Ta có: SC a 1;=

(

1;− 2

)

( )

: x y 2z 0

⇒ α + − =

(

)

SB a 1;= 0;− 2

Phương trình tham số của

(

)

x a t
SB : y 0 t

z 2t
 = +


=

 = −


∈

( )

a t

(

)

SB∩ α ⇒ + − 2 − 2t =0

a 2a a

t ; 0;

3 3 3

 

⇒ = − ⇒ Η  

 

z

y

x

K

H

G

C

A

D

B

S

M

(

)

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Phương trình tham số của

(

)

x 0

2a a
SD : y a t t K 0; ;

3 3
z

2
2t
 =
 

= + ⇒  
  
 = −  

∈

AK.SD 0= ⇒AK⊥SD

2. Chứng minh BD

( )

α và BD HK.
Ta có:

(

) ( )

( )

BD.n

a; 0; 0
0
B
α
 ∉ α
 ⇒ α

=
 ,

(

)

(

)

BD a 1; 1; 0

BD HK BD HK

2a 2

HK 1; 1; 0
3
 = − −
 ⇒ = ⇒

= − −



3. Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của SAC.∆

Cách 1:

(

SAC

)

(

) (

)

n =BD= −a 1; 1; 0− ⇒ SAC : x y− =0

Phương trình tham số của

(

)

x t
2a
HK : y t t

3
3
z 2

 =

 = −



=


∈

Gọi

( )

G a a a 2; ;
3 3
K

G H ∩ α ⇒  



= 



Cách 2:

Gọi G là trọng tâm a a a 2; ;
3 3 3
SAC G 

 

∆ ⇒ . Do HG GK⇒G∈HK

4. Tính VS.AHMK.
Ta có:

(

)

(

)

HK / /BD

SAC HK AM

BD SAC

 ⇒ ΗΚ ⊥ ⇒ ⊥

 ⊥



SAC

∆ vuông cân tại A⇒M là trung điểm của SC
2

AHMK

a a 1 a

M ; ; S AM.HK

2 2 2 2

a 2
3 2
 
⇒  ⇒ = =
 

( )

AHMK
2
2a. 2
2
a
d
2

S, a V

9
1 1
−
 α = = ⇒ =
 
+ + −

Bài tập 6:

Trọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho:

(

) (

)

(

)

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

SBM
1

S SM,SB

∆ =  

0
2 2
0

a x 2ax 6a

= − +

Xét y=x20−2ax0+6a2
2 2

SBM a
a 5≤S∆ ≤ 6
⇒

CSBM S.ABCD
1

V V

3
=

(

)

2 3

2a a x 4a a

3 3 3

−

⇔ = ⇔ =

AI.BI 6
cos

AI.BI 7

ϕ = =

z

x

K

B

C

A

S

D

M

I

Bài tập 9:

Trọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho:

(

) (

)

(

)

A 0; 0; 0 , B a; 0; 0 , C a; b; 0 , D 0; b; 0 , S 0; 0;2a , M x ; 2a; 0

(

)

2ab mb

MBC N 0;
a

S ;

N D m

 −

= ∩ ⇒  

 

(

)

BCNM
MB

S MN BC

= +

2 2
4ab mb

a m
4a

−

= +

Ta có S

( )

m b

(

4a m

)

m2 a2
4a

= − +

Trên khoảng

(

0; 2a :

)

S' m

( )

(

)

a 2 2
m

2
−

⇔ = hoặc m a 2

(

)

2
+
=
Bảng biến thiên:

z

y

x

N

B

C

A

S

D

M

0 a 2

(

)

2
−

a 2

(

)

2
+

( )

S' m − 0 + 0 −

( )

S m

ab ab 71 8 2
8

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

ab 71 8 2
8

−

ab 5
2

Vậy: max

(

)

a 2 2
ab 71 8 2

S m

8 2

+
+

= ⇔ =

(

)

min

a 2 2
ab 71 8 2

S m

8 2

−

= ⇔ =

(

)(

)

(

)

S.BCNM A

2
S. BCD

4a m 2a m
1

V V a m 3 5 a

2 4

− −

= ⇔ = ⇔ = −

Bài tập 10:

Ta có:

(

)

SH ABCD

SH D a

SH 3
2

 ⊥


⊥ Α ⇒ 

=



Chọn hệ trục tọa độ Hxyz sao cho:

(

)

a a a a

H 0; 0; 0 , A ; 0; 0 , B ; a; 0 , C ; a; 0 , D ; 0; 0 , S 0; 0;

2 2 2 2

a 3
2

 

    −  − 

 

         

         

1. Tính d D, SBC , d HC, SD .

(

)



(

)

(

SBC

)

(

)

2
a

n SB,SC 0; 3; 2
2

 

= =

(

S C :B

)

3y+2z−a 3=0
⇒

(

)

d D, SBC a
7

 

⇒  =

(

)

HC,SD HS a 3
d HC,SD

19
HC,SD

 

 

= =

 

 

2.

- Chứng tỏ

( )

α cắt các cạnh SB, SD
Ta có: SC a

(

1; 2;

)

2 3

= − −

z

y

x

φ

C

B

D

H

A

S

I

N

M

( )

: x 2y 3z 0

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Phương trình tham số của

(

)

x t

3a 6a 5a

SC : y 2t t I ; ;

3
3

6 16 16
a

z t

2

 =

  

 = − ⇒ − 

  

  

 = +



∈


(

)

a
SB 1; 2;

2 3

= −

Phương trình tham số của

(

)

x t

SB : y 2t t
a

z
2

3
3t


 =
 = −



 = −



∈

Gọi

( )

a a a 3; ;
4 2 4

M SB∩ α ⇒ Μ  



= 

. Vì xS xM xB

< < nên M thuộc cạnh SB
- SD a

(

1; 2;

)

2 3

= −

Phương trình tham số của

(

)

x t

2
SD : y 0 t

z 3t


= − +



=

 =




∈

Gọi D

( )

3a; 0 a 3
8

S ;

= ∩ α ⇒ Ν − 

 . Vì xS<xN <xS nên N thuộc cạnh SB
Tính cos cos MIN

IM.IN

IM.IN
7
7

ϕ = = =

Bài tập 11:

Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho:

(

) (

)

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

+
1. Tìm hệ thức giữa x, y để

M, AS, N 45 .

  = °

 

(

)

AS AM

M,AS, N AM, AM
AS AN

 ⊥

⇒   =

 ⊥  



AM.AN
cos 45

AM.AN

° =

(

)

4 3 2 2
4a 4a x y 2axy x y 0

⇔ − + + − =

2. Tìm hệ thức giữa x, y để

(

SAM

) (

⊥ SMN .

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

SAM AMN

MN SAM
SAM SMN

 ⊥

 ⇒ ⊥



⊥


z

y

x

B

C

A

S

D

M

N

Để

(

SAM

) (

⊥ SMN

)

thì AM⊥MN ⇒AM.MN= ⇔0 x2−ax ay+ =0

Bài tập 16

Ta có H là tâm hịnh vuông ABCD và HA a=
Trọn hệ trục tọa độ Hxyz sao cho:

(

) (

)

H 0; 0; 0 , A a; 0; 0 , B 0; a; 0 , C− −a; 0; 0 , D 0; a; 0 , S 0; 0;2a

1. Xác định vị trí của M để thiết diện

IJKL là tứ giác ngoại tiếp.

Gọi M m; 0; 0

(

)

( )

(

)

nα =AD,SH= −2a 1;1; 0

( )

: x y m 0

⇒ α + − =

m a m a m a m a

I ; ; 0 , J ; ; 0

2 2 2 2

 + −   − + 

   

   

Phương trình tham số của

(

)

x a t

SA : y 0 t

z 2t
 = +
 =

 = −


∈
Phương trình tham số của

(

)

x 0
SD : y a t t

z 2t
 =

 = +


 = −


∈

z

y

x

I

J

E

K

N

L

Q

P

B

C

D

H

A

S

M

(

) (

)

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

IJKL ngoại tiếp được

(

)

(

)

KL IJ=IL+KJ m 2 a 2 9 a m m 9 2 a HM
9 2

−

+ = − ⇔ =

⇔ + ⇔ =

2. Xác định vị trí của M để thể thích khối đa diện DIJKLH đạt giá trị lớn nhất.
Đặt V=VDIJKLH=VD.IJKL+VH.IJKL

Ta có: LM / /IJ SIJKL LM.LK IJ

LK / /IJ 2

 ⇒ = +



 IJKL

(

)

2 2

S 2 a m

⇒ = −

( )

(

2 2

)

3 max 3

m a m 1 a

d H, , d D, V a a m V m 0

2 3 3 3

2 a

−

 α =  α = ⇒ = − ⇒ = ⇔ =

    ≤

Vậy M≡H

3. Mặt phẳng

( )

α cắt DB tại N. Gọi E=MK∩NL. P, Q là trung điểm của AD, BC.
Tìm M để

PEQ 90 .= °

Ta có: P a a; ; 0 , Q a; a; 0

2 2 2 2

  − − 

   

   

Dễ thấy MNKL là hình chữ nhật
E

⇒ là trung điểm MK E m m; ; a m
2 2

 

⇒  − 

 

Suy ra EP.EQ 0 a m 2a 2m 0 m a
3

= ⇔ − − + − = ⇔ =

Vậy HM a
3
=

Bài tập 17:

Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho:

(

) (

)

A 0; 0; 0 , B 1; 0; 0 , C 1;1; 0 , D 0;1; 0 , S 0; 0; h

1. Chứng minh A, B, M thẳng
hàng. A, D, N thẳng hàng.

(

)

u∆ =SB,SC= h; 0;1

(

)

u∆ =SC,SD= 0; h;1

( )

α z=0

Phương trình tham số của

(

)

x ht
: y 0 t

z h t
 =


∆  =

 = +


</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

'

Phương trình tham số của 2

(

)

x 0

: y ht t
z h t
 =


∆  =

 = +


∈

(

) (

)

2 2
2 2 h h
M h ; 0; 0 , N 0; h ; 0 I ; ; 0

2 2

 

⇒ − − ⇒ − − 

 

2
2
AM h AM
AN h AD

 = −




= −


. Vậy A, M, B và A, N, D thẳng hàng.

2. Khi S di động trên Az chứng tỏ I thuộc đường thẳng cố định.

(

)

u =AC= 1;1; 0

Phương trình tham số của

(

)

2 2
A
x t

h h

AC : y t t I ; ; 0
2 2
z

C
0

 =  

 = ⇒ − − 

  

 =  



∈ ∈

Vậy khu S di động trên Az thì I di động trên đường thẳng AC

3. Vẽ AH⊥SI tại H. Chứng minh AH là đường cao tứ diện ASMN và H là trực
tâm SMN.∆

Ta có: H∈SI⊂

(

SMN

)

⇒H∈

(

SMN

)

(

)

(

)

SMN

n =SM,SN = − h 1;1; h ,−

(

)

(

)

3
SAI h

n AS, AI 1; ;

2 1 0

 

= = − −

(

SMN

)

(

SAI

)

(

) (

)

n n SMN SAI

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

Mà

(

) (

SAI

)

(

)

AH S

SMN

A MN

I H S



⇒


⊥

 ∩

⊥

Vậy AH là đường cao hình chóp ASMN
Ta có:

(

)

(

)

( )

2
MN h 1; 1; 0

MN SI MN SH 1
h

SI h; h; 2
2

 = −

 ⇒ ⊥ ⇒ ⊥


= −



(

)

(

)

(

)

( )

2
2
SM h ; 0; h

AN SM SM AHN SM AH 2

AN 0; h ; 0

 = −

 ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥



= −




Từ

( ) ( )

1 , 2 ⇒ Η là trực tâm SMN∆

4. Cho OS=2, AB 1.= Tính VASMN.

Với OS=2, AB 1= ta có S 0; 0; 2 , M

(

)

(

−4; 0; 0 , N 0; 4; 0

) (

−

)

1 16

V AM,AN AS

6 3

 

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

+
Bài tập 18: Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho:

(

) (

)

A 0; 0; 0 , B a; 0; 0 , C a; a; 0 , D 0; a; 0 , S 0; 0; h

1. Chứng minh

(

AEF

)

⊥SC.
Ta có SB=

(

a; 0; h−

)

Phương trình tham số của

(

)

x a at
SB : y 0 t

z ht
 = +

 =

 = −


∈

(

) ( )

E a at; 0; ht SB

⇒ + − ∈

AE⊥SB⇔AE.SB 0=
2 2
2 2 2 2

ah a h

E ; 0;

a h a h

 

⇒  

+ +

 

Ta có SD=

(

0;a; h−

)

Phương trình tham số của

z

y

x

φ

P

B

C

A

C

D

E

F

(

)

x 0
SD : y a at t

z ht
 =

 = +


 = −


∈

2 2
2 2 2 2

ah a h
AF SD AF.SD 0 E 0; ;

a h a h

 

⊥ ⇔ = ⇒  

+ +

 

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 3
2
2 2

AEF a h AEF

n AE, AF a; a; h SC a;a; h SC n

a h
−

 

= = − ⇒ = − ⇒

 

Vậy

(

AEF

)

⊥SC

2. Tính h theo a để VP.ABCD lớn nhất.

Ta có: AP⊥SC⇒ thuộc đường trịn đường kính AC trong

(

SAC

)

Vẽ PH⊥

(

ABCD

)

tại H

3
P.ABCD ABCD

AC a 2 1 a 2

V PH.S

2 2 3

≤ = ⇒ = ≤

(

P.ABCD max

)

V PH 2

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

㔰΄

Vậy h=a 2

3. Với h tìm được ở câu 2 tính d BD, AEF ,

(

)

 ϕ =  S, BD,C .
Với h=a 2 ta có S 0; 0; a

(

)

, SC=a 1 1;

(

; − 2

)

(

AEF : x y

)

+ − 2z=0

(

AEF

)

(

)

(

)

(

)

BD.n 0 BD AEF d BD, AEF d B, AEF
2

   

= ⇒ ⇒  =  =

Gọi H là trực tâm ABCD H a a; ; 0
2 2

 

⇒  

 

HS BD HS.HC 1

SHC cos

HC BD HS.HC 2 5

 ⊥

⇒ ϕ = ⇒ ϕ = = −

 ⊥



Bài tập 19: Trọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho:

(

) (

)

A 0; 0; 0 , B a; 0; 0 , C a; 2a; 0 , D 0; 2a; 0 , S 0; 0; 2a

(

)

AK= ⇒k K 0; 0;k , 0≤ ≤k 2a

(

)

nα=KC,KD=a 0; k; 2a

( )

: ky 2az 2ak 0

⇒ α + − =

(

)

SB a 1; 0; 2= −

Phương trình tham số của

(

)

x a at
SB : y 0 t

z 2t
 = +
 =

 = −


∈

( )

SB L L a ; 0; k
2

 

∩ = ⇒  − 

 

1. Cho SA=2a, AK=k 0

(

≤ ≤k 2a

)

z

y

x

L

I

B

N

M

C

A

C

D

K

- Tính SCDKL. Tính k theo a để SCDKL lớn nhất, nhỏ nhất.

CDKL CKL CKD 2 2

1 4a k

S S S CK,CL CK,CD 4a k

2 4

∆ ∆     −

= + =  +  = +

 

Xét

( )

4a k 2 2

f k 4a k

4
−

= + , ta có:

( )

2 2
2 2

4ak 4a
2k

f ' k 0

a
4 k 4

+ −

+
−

= <

k 0 2a

( )

f ' k −
2

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

㔰΄

( )

f k

a2 2
Vậy Smax=2a2⇔ =k 0, Smin =a2 2⇔k=2a

- Chứng tỏ d KD, BC

(

)

không đổi.

(

)

KD, BC DC

d KD, BC a

KD, BC

 

 

= =

 

 

Vậy d KD, BC

(

)

không đổi.

- Tính k theo a để

( )

α chia hình chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng
nhau.

Ta có:

( )

2
2 2
4a 2ak
d S,

k 4a
−
 α =

 

( )

(

)(

)

S.CDKL CDKL

a 2a k 4a k
1

V d S, .S

3 6

− −

 

⇒ =  α  =

(

)(

)

(

)

S.ABCD A

3
CD

3
B

a 2a k 4a l

1 4a 4a

V SA.S k 3 a

3 3 6 6 5

− −

= = ⇒ = ⇔ = −

2. Gọi M, N là trung điểm của SC, SD. Tìm quỹ tích giao điểm I của AN, BM khi
S di động trên tia Az.

(

)

a s s

S s 0 M ; a; , N 0; a;

2 2
Az S 0; 0; s ,

   

> ⇒    

  

⇒



∈

(

)

(

)

1 1

BM a; 2a; s , AN 0; 2a; s

2 2

= − − − =

Phương trình tham số của

(

)

1 1
1
x a at
BM : y 2at t

z st
 = +
 = −

 = −


∈

Phương trình tham số của 2

(

2

)

x 0
AN : y 2at t

z st
 =
 =

 =


∈

(

)

I=AN∩ ⇒I 0; 2a; s
Ta có ID=

(

0; 0; s− ⇒

)

ID / /AS

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

㔰΄
Bài tập 20 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho:

(

) (

)

O 0; 0; 0 , A 2a; 0; 0 , B 0;a; 0 , C −2a; 0; 0 , D 0; a; 0 ,− S 0; 0; h

1. Xác định h để B'C' D'∆ đều.

Cách 1:

Ta có:

( )

(

)

(

)

SC BD SC BD SAC

 ⊥ α




⊥ ⊥



( )

BD B' D' BD

⇒ α ⇒

(

)

SC= −2a; 0; h−

Phương trình tham số của

(

)

x 2a 2t
SC : y 0 t

z ht
 = − +
 =

 =


∈

( )

α : 2ax hz 4a+ − 2=0

3 2 2
2 2 2 2
8a 2ah 8a h

C ; 0;

4a h 4a h

 − 

⇒  

+ +

 

(

)

SB 0; a; h −

x

y

z

D'

B'

I

K

B

C

D

O

A

S

C'

Phương trình tham số của

(

)

2 3 2
2

x 0

ah 4a 4a
SB : y a at t B' 0; ;

h
h

z ht

 =  

−

 = + ⇒  

  

 = −  



∈

Gọi

( )

2
4a
I OS I 0; 0;

h
= ∩ α ⇒  

 

D' B' DB⇒I là trung điểm của D' B'

Mặt khác D' B'⊥

(

SAC

)

nên D' B'⊥AC'⇒ ∆B'C' D' cân tại C'⇒ ∆IB'C' nửa đều
Để B'C' D'∆ đều thì

2 2 2

4 3

3 h 2a 3

4
IC' IB

a
'

h
h
=

⇔ = ⇔ =

Cách 2:

Gọi K=B'C'∩BC⇒ α

( ) (

∩ ABCD

)

=AK⇒AK / /DB⇒AK=2OB=2a
D' B'C'

∆ đều ⇔ ∆IB'C' nửa đều ⇔ ∆AC'K nửa đều ⇔AC'=AK 3
Mà

2 2
4ah

3 3 h 2a 3

AC' AK 2a

⇒ = ⇔ =

⇔

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

㔰΄

(

)

2 2
SC,SA 4ah
AC' d A,SC

SC 4a h

 

 

= = =

2. Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp theo a và h.
Ta có: VS.ABCD 1r.STP

= với STP là diện tích tồn phần hình chóp
2 2

SAB

1 a

S SA,SB

2 4a 5h
2

∆ =   = +

Mà SAB∆ = ∆SBC= ∆SCD= ∆SDA nên diện tích xung quanh SXQ =2a 4a2+5h2
2 2 2 2

2
S.ABC

ABCD T
D AB

P 2
P

T
D

1 4a

V h

S AC.BD 4a S 4a 2a 4a 5h

h 3V 2ah

r
.S

3 3 S 2a 4a 5h

= = ⇒ = + +

⇒ = =

+ +

Bài tập 21 Ta có AB a 2= ⇒OA a= ⇒OS=2a
Trọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho:

(

) (

)

O 0; 0; 0 , A a; 0; 0 , B 0; a; 0 , C −a; 0; 0 , D 0; a; 0 , S 0; 0;− 2a
S.ABCD D

3
ABC

1 4a

V SO.S

3 3

= =

Ta có SXQ =4S∆SAB=6a2
TP XQ ABCD 2

S S S 8a

⇒ = + =

S.ABCD TP

R a

V S R

3 2

⇒ = ⇒ =

MNRPQ MNR MRQ PQR
S =S∆ +S∆ +S∆

MN,MR MR,MQ
2

   

=   +  

2
1

PQ,PR a 2
2

 

+   =

SAMNRPQ SMNRPQ ASMN

V =V +V

S.A
3

BCD
4a 1

V
6 2

= =

z

x

y

Q

R

M

N

D

B

P

C

O

A

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25></div>

LTDHHinh hoc phan 2

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

) (

) (

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

<i><b>z</b></i>

<i><b>y</b></i>

<i><b>x</b></i>

<i><b>N</b></i>

<i><b> M</b></i>

<i><b>C</b></i>

<i><b>A </b></i>

<i><b>D</b></i>

<i><b>B</b></i>

<i><b>S</b></i>

(

)

(

)

( )

(

)

(

) (

) (

) (

) (

) (

)

(

) ( )

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)