De thi HSG Toan va huong dan cham 20112012 PGDCT

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (165.69 KB, 3 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

UBND HUYỆN CHÂU THÀNH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011 – 2012

Mơn thi: TỐN 9

Thời gian: 120 phút

(khơng kể thời gian phát đề)

Đề thị chính thức (Học sinh không phải chép đề vào giấy thi)

Bài 1: (4 điểm)

a) Chứng minh x4 + 6x3 + 11x2 + 6x chia hết cho 24 với mọi x nguyên
b) Tìm các hệ số a,b để đa thức x4ax2b chia hết cho đa thức x2 3x2

Bài 2: (4 điểm)

a) Chứng minh rằng:

2 2

a b a b



b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2
2

1
1
x
y

x






Bài 3:(4 điểm) Giải phương trình :

√

x −2 +

√

y+1995 +

√

z −1996 = 12 (x+y+z)

Bài 4: (4 điểm)

a) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Chứng minh hệ thức:

2 2 2 2

2
BC
AB AC  AM 

b) Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng:


tan

ABC AC

AB BC




Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm M trong tam giác kẻ MIBC; MJ
CA; MKAB. Tìm vị trí của điểm M sao cho tổng (MI2+MJ2+MK2) nhỏ nhất.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

---HẾT---HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011 - 2012

Mơn thi : TỐN 9

Bài Đáp án Điểm

1a 1/ x4 + 6x3 + 11x2 + 6x = x ( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 ) là tích của 4 số nguyên liên

tiếp nên chia hết cho 24 2đ

1b Chia đa thức x4 ax2 b

  cho x2 3x2 được thương là x23x a 7 dư là



3a15



x b  2a14

Ta có phép chia hết khi và chỉ khi:

3 15 0 3 15 5

2 14 0 2 14 4

a a a

b a b a b

   

  

 

  

     

  

2đ

+ Nếu a+b <0 thì

2 2

a b a b



( hiển nhiên đúng)
+ Nếu a b 0 thì ta có:

2 2

a b a b







2 2 2

2 2 2 2

2 2

4 2

2 2 2

2 0

a b a b

a ab b a b

a ab b
a b

 

 

 

    

 

   

  

 

    

   

  

Vậy:

2 2

a b a b



với mọi a,b.

2đ

2b 2 2

2 2 2

1 1 2

1 1 1

x x

y

x x x

 

  

  

2
2
1

x

 


Để y đạt giá trị nhỏ nhất thì 2
2

x  đạt giá trị lớn nhất
Muốn vậy x2 + 1 phải đạt giá trị nhỏ nhất

Vì x2 + 1 1 nên x2 + 1 đạt giá trị nhỏ nhất khi x2 + 1 = 1
Tức là x2 = 0  x = 0

Khi đó y = -1

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là y = -1

2đ

√

x −2 +

√

y+1995 +

√

z −1996 = 12 (x+y+z)
ĐKXĐ : x 2; y -1995; z 1996

Phơng trình (1) x+y+z = 2

√

x −2 + 2

√

y+1995 + 2

√

z −1996

⇔

√

x −2−1¿2

¿ +

√

y

+1995−1¿2

¿ +

√

z −1996−1
¿2
¿ = 0

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>



√

x −2=1

√

y+1995=1

√

z −1996=1
¿{ {



x=3

y=−1994

z=1997
¿{ {

( TMĐK).
4

a)Vẽ đường cao AH, ta có

2 2 2

AB AH HB

AC AH HC

 

2
BC
MB MC 

(AM là trung tuyến)













2 2 2 2 2

2 2

2.
2.

AB AC AH HB HC

AM HM BM HM HM MC

    

     

2 2 2 2 2 2

2.AM 2.HM BM 2.BM HM HM. HM 2.HM MC MC.

       

2 2 2 2

2. 2.

BC

AM BM MC AM

    

(đpcm)
b)Vẽ phân giác BD

ta có

 

2
ABC
ABD

xét ABD có A900
nên tan

ABD AD

AB



(1)
Mà BD là phân giác

AD DC AD DC AC

AB BC AB BC AB BC



   

  (2)

Từ (1) và (2) suy ra

tan

ABC AC

AB BC



 (đpcm)

2đ

Kẻ AHBC,MNAH

MJ2MK2 MJ2AJ2 MA2
MJ2MK2 NA2(Vì MANA)

Vì MI=NH nên :MI2MJ2 MK2 NH2MJ2MK2NH2NA2
Áp dụng bất đẳng thức:





2 2 1

2
a b  a b

Ta được





2 2 2 1 1 2

2 2

MI MJ MK  NH NA  AH

Dấu bằng xảy ra khi M là trung điểm của AH

</div>

De thi HSG Toan va huong dan cham 20112012 PGDCT

<b>ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011 – 2012</b>

Mơn thi: TỐN 9

Thời gian: 120 phút

√

√

√

<b>---HẾT---HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN</b>









√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√





















Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về