Tim so du

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>2. Tìm số dư trong phép chia số a cho số b:</b>

<i><b>Định lí: Với hai số nguyên bất kỳ a và b, b </b></i><i> 0, luôn tồn tại duy nhất một cặp số nguyên q và r sao cho:</i>

<i>a = bq + r và 0 </i><i> r < |b|</i>

* Từ định lí trên cho ta thuật tốn lập quy trình ấn phím tìm dư trong phép chia a cho b:
<i><b>+ Bước 1: Đưa số a vào ô nhớ </b></i> A <i> , số b vào ô nhớ </i> B

<i><b>+ Bước 2: Thực hiện phép chia </b></i> A <i> cho </i> B <i> {ghi nhớ phần nguyên q}</i>
<i><b>+ Bước 3: Thực hiện </b></i> A - <i> q </i>  B <i> = r</i>

<b>Bài 5:</b> a) Viết một quy trình ấn phím tìm số dư khi chia 18901969 cho 3041975
b) Tính số dư

c) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047. Tìm số dư đó.
<i><b>Giải:</b></i>

a) Quy trình ấn phím: 18901969 SHIFT STO A 3041975 SHIFT STO B

ANPHA A  _ANPHA _B ₌

(6,213716089)
SHIFT A - ₆  _B ₌

(650119)
b) Số dư là: r = 650119

c) Tương tự quy trình ở câu a), ta được kết quả là: r = 240

<b>Bài 6:</b> (Thi giải Toán trên MTBT lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2002-2003)

Tìm thương và số dư trong phép chia: 123456789 cho 23456

<i><b>Đáp số: q = 5263; r = 7861</b></i>

<b>Bài 7:</b> (Thi giải Toán trên MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004)
Tìm số dư trong phép chia:

a) 987654321 cho 123456789
b) 815_{cho 2004}

<i><b>H.Dẫn:</b></i>

a) Số dư là: r = 9

b) Ta phân tích: 815_{= 8}8_.87

- Thực hiện phép chia 88_{cho 2004 được số dư là r}

1 = 1732

- Thực hiện phép chia 87_{cho 2004 được số dư là r}

2 = 968

 Số dư trong phép chia 815 cho 2004 là số dư trong phép chia 1732 x 968 cho 2004
 Số dư là: r = 1232

<b>4. Một số bài tốn sử dụng tính tuần hồn của các số dư khi nâng lên luỹ thừa:</b>

<b>Định lí:</b> Đối với các số tự nhiên a và m tuỳ ý, các số dư của phép chia a, a<i>2_{, a}3_{, a}4_{... cho m lặp lại}</i>

<i>một cách tuần hồn (có thể không bắt đầu từ đầu).</i>

<i>Chứng minh. Ta lấy m + 1 luỹ thừa đầu tiên:</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

và xét các số dư của chúng khi chia cho m. Vì khi chia cho m chỉ có thể có các số dư {0, 1, 2, ..., m
- 2, m - 1}, mà lại có m + 1 số, nên trong các số trên phải có hai số có cùng số dư khi chia cho m. Chẳng
hạn hai số đó là ak_{và a}k + l_{, trong đó l > 0.}

Khi đó:

ak__ak + l_{(mod m) (1)}

Với mọi n  k nhân cả hai vế của phép đồng dư (1) với an - k sẽ được:

an__an + l_{(mod m)}

Điều này chứng tỏ rằng bắt đầu từ vị trí tương ứng với ak_{các số dư lặp lại tuần hoàn.}

<i>Số l được gọi là chu kỳ tuần hoàn của các số dư khi chia luỹ thừa của a cho m.</i>
Sau đây ta xét một số dạng bài tập sử dụng định lí trên:

<b>Bài toán:</b> Xét các luỹ thừa liên tiếp của số 2:

21_{, 2}2_{, 2}3_{, 2}4_{, 2}5_{, 2}6_{, 2}7_{, 2}8_{, 2}9_,...

Tìm xem khi chia các luỹ thừa này cho 5 nhận được các loại số dư nào ?
<i><b>Giải: Ta có: </b></i>

21_{= 2, 2}2_{= 4, 2}3_{= 8}__{3 (mod 5), 2}4_{= 16}__{1 (mod 5) (1)}

Để tìm số dư khi chia 25_{cho 5 ta nhân cả hai vế phép đồng dư (1) với 2 sẽ được:}

25_{= 2}4_.2__1x2__{2 (mod 5)}

26_{= 2}5_.2__2x2__{4 (mod 5)}

27_{= 2}6_.2__4x2__{3 (mod 5)}

...

Ta viết kết quả vào hai hàng: hàng trên ghi các luỹ thừa, hàng dưới ghi số dư tương ứng khi chia các
luỹ thừa này cho 5:

21 ₂2 ₂3 ₂4 ₂5 ₂6 ₂7 ₂8 ₂9 ₂10 ₂11 _...

<i><b>(2</b></i> <i><b>4</b></i> <i><b>3</b></i> <i><b>1)</b></i> (2 4 3 1) (2 4 3 ...

 hàng thứ hai cho ta thấy rằng các số dư lập lại một cách tuần hoàn: sau 4 số dư (2, 4, 3, 1) lại lặp lại

theo đúng thứ tự trên.

<b>Bài 10:</b> Tìm số dư khi chia 22005_{cho 5}

<i><b>Giải:</b></i>

* Áp dụng kết quả trên: ta có 2005  1 (mod 4)  số dư khi chia 22005 cho 5 là 2
<b>Bài 11:</b> Tìm chữ số cuối cùng của số: 234

<i><b>Giải:</b></i>

- Xét các luỹ thừa của 2 khi chia cho 10 (sử dụng MTBT để tính các luỹ thừa của 2, ta thực hiện theo
quy trình sau:

1 SHIFT STO A 2  ANPHA A

ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA A + ₁ = = _...)

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

21 ₂2 ₂3 ₂4 ₂5 ₂6 ₂7 ₂8 ₂9 ₂10 ₂11 _...

<i><b>(2</b></i> <i><b>4</b></i> <i><b>8</b></i> <i><b>6)</b></i> (2 4 8 6) (2 4 8 ...

 hàng thứ hai cho ta thấy rằng các số dư lặp lại tuần hoàn chu kỳ 4 số (2, 4, 8, 6)

ta có 34_{= 81}__{1 (mod 4)}__{số dư khi chia}234_{cho 10 là 2}

Vậy chữ số cuối cùng của số 234 là 2.

<b>Bài 12:</b> Tìm hai chữ số cuối cùng của số:

A = 21999_{+ 2}2000_{+ 2}2001

<i><b>Giải: </b></i>Xét các lu th a c a 2 khi chia cho 100 (s d ng MTBT ỹ ừ ủ ử ụ để tính các lu th a c a 2, th c hi nỹ ừ ủ ự ệ
theo quy trình nh b i 11), ta ư à được k t qu sau:ế ả

21 ₂2 ₂3 ₂4 ₂5 ₂6 ₂7 ₂8 ₂9 ₂10 ₂11 ₂12

2 <i><b>(4</b></i> <i><b>8</b></i> <i><b>16</b></i> <i><b>32</b></i> <i><b>64</b></i> <i><b>28</b></i> <i><b>56</b></i> <i><b>12</b></i> <i><b>24</b></i> <i><b>48</b></i> <i><b>96</b></i>

213 ₂14 ₂15 ₂16 ₂17 ₂18 ₂19 ₂20 ₂21 ₂22 ₂23 ₂24

<i><b>92</b></i> <i><b>84</b></i> <i><b>68</b></i> <i><b>36</b></i> <i><b>72</b></i> <i><b>44</b></i> <i><b>88</b></i> <i><b>76</b></i> <i><b>52)</b></i> (4 8 16

 các số dư lặp lại tuần hoàn chu kỳ 20 số (từ số 4 đến số 52). Ta có:

1999  19 (mod 20)  số dư khi chia 21999 cho 100 là 88

2000  0 (mod 20)  số dư khi chia 22000 cho 100 là 76

2001  1 (mod 20)  số dư khi chia 22001 cho 100 là 52

88 + 76 + 52 = 216  16 (mod 100)

 số dư của A = 21999 + 22000 + 22001 khi chia cho 100 là 16 hay hai chữ số cuối cùng của số A là 16.

<b>Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia </b> cho .
<i><b>Lời giải:</b></i>

Ta có:

. Suy ra:

.

Vậy số dư của phép chia cho là:
.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i><b>Lời giải:</b></i>

Ta tìm số dư của phép chia cho .
Kết quả là .

Tiếp tục tìm số dư của phép chia cho .
Kết quả là .

Vậy số dư của phép chia cho là .

<b>Ví dụ 3:</b> Tìm số dư của phép chia cho .

<i><b>Lời giải:</b></i>

Vì là số nguyên tố và .
Nên ta có:

. Suy ra:

. Suy ra:
.

Vậy số dư của phép chia cho là .

<b>Ví dụ 4: Tìm số dư của phép chia </b> cho .
<i><b>Lời giải:</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Ta có:

. Suy ra:

. Suy ra:
. Suy ra:

. Suy ra:
. Suy ra:

. Suy ra:
.

Vậy số dư của phép chia cho là .
<i><b>Cách 2:</b></i>

Ta có:

. Suy ra:

. Suy ra:
. Suy ra:

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

. Suy ra:
.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>Bài 13:</b> Chứng minh rằng





2004
8
14

+10 chia hết cho 11
<i><b>Giải:</b></i>

- Ta có: 14  3 (mod 11) 





2004

8
14



 

2004
8
3

(mod 11)
Do 38_{= 6561}__{5 (mod 11), nên}

 

2004
8
3

= 65612004_₅2004_{(mod 11)}

Xét s tu n ho n c a các s d khi chia lu th a c a 5 cho 11:ự ầ à ủ ố ư ỹ ừ ủ

51 ₅2 ₅3 ₅4 ₅5 ₅6 ₅7 ₅8 _...

(5 4 9 1) (5 4 9 1) ...

 52004 = (54)501 1501 (mod 11)  1 (mod 11) (1)

Mặt khác: 10  10 (mod 11) (2)

Cộng vế với vế phép đồng dư (1) và (2) có:
2004

8

14 ₊₁₀ 11 (mod 11)  0 (mod 11) 

2004
8

14 _{+10 chia hết cho 11.}

<b>Bài 14:</b> Chứng minh rằng số 222555_{+ 555}222_{chia hết cho 7.}

<i><b>Giải:</b></i>

1) Trước hết tìm số dư của phép chia 222555_{cho 7:}

- Vì 222 = 7 x 31 + 5, nên 222  5 (mod 7)  222555  5555 (mod 7)
- Xét s tu n ho n c a các s d khi chia lu th a c a 5 cho 7:ự ầ à ủ ố ư ỹ ừ ủ

51 ₅2 ₅3 ₅4 ₅5 ₅6 ₅7 ₅8 _...

(5 4 6 2 3 1) (5 4 ...

 5555 = 56.92 + 3 = (56)92.53  53 6 (mod 7) (1)

<i>Vậy số dư khi chia 222555_{cho 7 là 6.}</i>

2) Tương tự, tìm số dư của phép chia 555222_{cho 7:}

- Vì 555 = 7 x 79 + 2, nên 555  2 (mod 7)  555222  2222 (mod 7)

- Xét s tu n ho n c a các s d khi chia lu th a c a 2 cho 7:ự ầ à ủ ố ư ỹ ừ ủ

21 ₂2 ₂3 ₂4 ₂5 ₂6 ₂7 ₂8 _...

(2 4 1 2 4) (2 4 1 ...

 2222 = 23.74 = (23)74  174 1 (mod 7) (2)

<i>Vậy số dư khi chia 555222_{cho 7 là 1.}</i>

Cộng vế với vế các phép đồng dư (1) và (2), ta được:
222555_{+ 555}222__{6 + 1}__{0 (mod 7)}

Vậy số 222555_{+ 555}222_{chia hết cho 7.}

<i><b>7.1 Số có đi bất biến với mọi luỹ thừa:</b></i>

<i>1) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 1 ; 5 ; 6 (và chỉ những số ấy) đều có chữ </i>
<i>số tận cùng bằng 1 ; 5 ; 6 (có đi bất biến).</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<i>3) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (và chỉ những số ấy) đều có</i>
<i>chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (có đi bất biến).</i>

<i>4) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (và chỉ những số ấy) đều </i>
<i>có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (có đi bất biến).</i>

...

<b>Bài 31:</b> Tìm số dư khi chia số 133762005!_{cho 2000 (TH & TT T3/ 317)}

<i><b>Giải:</b></i>

- Giả sử A, B là hai số tự nhiên có tận cùng là 376, thì:

A.B = (1000.a + 376)(1000.b + 376) = 376000(a + b) + 106_{a.b + 376}2

= 2000t + 1376; với a, b t  N
 A.B chia 2000 có số dư là 1376.

Với k > 1 khi chia 13376k_{cho 2000 (thực hiện (k - 1) lần phép nhân 2 số đều có tận cùng là 376}

rồi chia cho 2000) thì được dư là 1376. Đề bài ứng với k = 2005!

<b>Bài 32:</b> Tìm 2 chữ số tận cùng của số:

A = 21999_{+ 2}2000_{+ 2}2001

<i><b>H.Dẫn:</b></i>

- Ta có: 21999_{+ 2}2000_{+ 2}2001_{= 2}1999_{(1 + 2 + 2}2_{) = 7 x 2}9_{x 2}10_{x 2}1980

= 7 x 29_{x 2}10_{x (2}20₎99

- Ta có (dùng máy): 29_{= 512}

210_{= 1024 ;}

220_{= 1048576}

<i><b>Nhận xét: số có 2 chữ số tận cùng là 76, luỹ thừa bậc bất kỳ cũng có 2 chữ số tận cùng là 76. </b></i>

Vậy (220₎99_{cũng có 2 số tận cùng là 76.}

 21999 + 22000 + 22001 = 7 x 512 x 1024 x (...76) = ...16.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>Bài 33:</b> Tìm bốn chữ số tận cùng của 51994_.

<i><b>Giải:</b></i>

- Ta có: 54_{= 625}

- Nhận thấy số có tận cùng là 625 luỹ thừa bậc bất kỳ vẫn có tận cùng là 625
- Do đó:

51994_{= 5}4k + 2_{= 25.(5}4₎k_{= 25.(625)}k_{= 25(...625) = ...5625.}

Vậy bốn chữ số tận cùng của số 51994_{là 5625.}

<i><b>7.2 Khai triển nhị thức Newton và bài tốn chia hết:</b></i>
-Ta có khai triển:





1 1 2 2 2 _... 1 1

<i>n</i> <i>_n</i> <i>_n</i> <i>_n</i> <i>_n</i> <i>_n</i> <i>_n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>a b</i> <i>a</i> <i>C a b C a b</i>  <i>C ab</i>  <i>b</i>

      

1 ( 1) 2 2 ( 1)( 2) 3 3 ( 1) 2 2 1

...

1.2 1.2.3 1.2

<i>n</i> <i>n</i> <i>n n</i> <i>n</i> <i>n n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>a</i> <i>na b</i>  <i>a b</i>   <i>a b</i>  <i>a b</i>  <i>nab</i> <i>b</i>

       

- Khi chứng minh về tính chia hết của các luỹ thừa, cần nhớ một số kết quả sau:
1) an_{- b}n_{chia hết cho a - b (a}__b)

2) a2n + 1_{+ b}2n + 1_{chia hết cho a + b (a}__-b)

3) (a + b)n_{= BS a + b}n_{(BS a: bội số của a)}

<i>Đặc biệt:</i>

(a + 1)n_{= BS a + 1}

(a - 1)2n_{= BS a + 1}

(a - 1)2n + 1_{= BS a - 1}

<b>Bài 34:</b> Tìm số dư khi chia 2100_cho:

a) 9 b) 5 c) 125
<i><b>Giải:</b></i>

a) Luỹ thừa của 2 sát với một bội của 9 là 23_{= 8 = (9 - 1)}

- Ta có: 2100_{= 2(2}3₎33_{= 2(9 - 1)}33_{= 2(BS 9 - 1) = BS 9 - 2 = BS 9 + 7}

Vậy số dư khi chia 2100_{cho 9 là 7.}

b) Luỹ thừa của 2 sát với một bội của 25 là 210_{= 1024 = (BS 25 - 1)}

- Ta có: 2100_{= (2}10₎10_{= (BS 25 - 1)}10_{= BS 25 + 1}

Vậy số dư khi chia 2100_{cho 25 là 1}

c) Dùng công thức Newton:
 

50

100 50 49 50.49 2

2 5 1 5 50.5 ... .5 50.5 1
2

       

Để ý rằng 48 số hạng đầu đều chứa thừa số 5 với số mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên chia hết cho
125, hai số hạng kế tiếp cũng chia hết cho125, số hạng cuối là 1.

Vậy 2100_{= BS 125 + 1}__{Số dư của 2}100_{khi chia cho 125 là 1}

<b>Tổng quát:</b> Nếu một số tự nhiên n không chia hết cho 5 thì chia n<i>100_{cho 125 ta được số dư là 1.}</i>

<b>Bài 35:</b> Tìm ba chữ số tận cùng của 2100_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

- Trước hết tìm số dư của phép chia 2100_{cho 125. Theo bài 34: 2}100_{= BS 125 + 1, mà 2}100_{là số}

chẵn, nên ba chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là (dùng máy tính để thử):
126, 376, 626 hoặc 876.

- Hiển nhiên 2100_{chia hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó phải chia hết cho 8. Bốn số trên}

chỉ có 376 thoả mãn điều kiện này. Vậy ba chữ số tận cùng của 2100_{là 376.}

<b>Tổng quát:</b> Nếu n là số tự nhiên chẵn khơng chia hết cho 5 thì ba chữ số tận cùng của n<i>100_là</i>
<i>376.</i>

<b>Bài 36:</b> Tìm ba chữ số tận cùng của 3100_.

<i><b>Giải: - Ta phân tích như sau: </b></i>





50

100 50 50.49 2

3 10 1 10 ... .10 50.10 1

2

      

= BS 1000 + ...500 - 500 + 1 = BS 1000 + 1.
Vậy 3100_{tận cùng là 001.}

<b>Tổng quát:</b> Nếu n là số tự nhiên lẻ không chia hết cho 5 thì ba chữ số tận cùng của n<i>100_{là 001.}</i>

<b>Bài 37:</b> Thay các dấu * bởi các chữ số thích hợp:
896_{= 496 9 * * 290 961.}

<i><b>H.Dẫn:</b></i>

- Ta có: (896_{- 1)}__{(89 - 1)}_₍₈₉6_{- 1)}_₁₁

(896_{- 1)}_₍₈₉3_{+ 1)}_₍₈₉6_{- 1)}__{(89 + 1)}_₍₈₉6_{- 1)}_₉

- Đặt A = (896_{- 1) = 496 9 x y 290 960. Ta có A chia hết cho 9 và 11.}

Ta có tổng các chữ số hàng lẻ (từ phải sang trái) của A bằng: 36 + y ; tổng các chữ số hàng chẵn
của A bằng: 18 + x

A chia hết cho 9 nên: 54 + x + y₉__{x + y}__{{0 ; 9 ; 18}}

A chia hết cho 11 nên: [(36 + y) - (18 + x)] ₁₁__{x - y}__{{-4 ; 7}}

+ Nếu x + y = 0 thì x = y = 0 (loại)
+ Nếu x + y = 18 thì x = y = 9 (loại)

+ Nếu x + y = 9 : chú ý rằng (x + y) và (x - y) cùng chẵn hoặc cùng lẻ nên:
x - y = 7  x = 8 ; y = 1.

Vậy 896_{= 496 981 290 961}

<i><b>7.3 Tìm chữ số thứ k (k </b></i><i><b> N) trong số thập phân vô hạn tuần hồn:</b></i>
<b>Định lí:</b> (Dấu hiệu nhận biết một phân số đổi được ra số thập phân hữu hạn)

Điều kiện cần và đủ để một phân số tối giản có thể viết được thành ra số thập phân hữu hạn
là mẫu số của nó khơng chứa những thừa số ngun tố ngồi 2 và 5.

* Từ định lí trên ta rút ra nhận xét sau:
Nếu phân số tối giản

<i>a</i>

<i>b</i>_{có mẫu b khơng chứa các thừa số nguyên tố 2, 5 hoặc ngoài thừa số}

nguyên tố 2, 5 còn chứa cả thừa số nguyên tố khác thì do các số dư trong quá trình chia bao giờ cũng phải
nhỏ hơn b nên các số dư chỉ có thể là các số trong:

{1; 2; 3;...;b-1}

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Từ đó để tìm chữ số thứ k sau dấu phảy của số thập phân vô hạn tuần hoàn, ta chỉ cần xác định
được chu kỳ lặp lại của các chữ số trong thương, từ đó dễ dàng suy ra được chữ số cần tìm.

<b>Bài 38:</b> Tìm chữ số thập phân thứ 2005 sau dấu phảy của số:

1 1 10 1

) ; ) ; ) ; )

37 41 51 49

<i>a</i> <i>A</i> <i>b</i> <i>B</i> <i>c</i> <i>C</i> <i>d</i> <i>C</i>

<i><b>H.Dẫn:</b></i>

a) Số
1

0,027 027 (027)...
37

<i>A</i> 

tuần hồn chu kỳ 3 chữ số 027.
Vì 2005  1 (mod 3) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy của A là:

b) Số
1

0, 0243902439(02439)...
41

<i>B</i> 

tuần hồn chu kỳ 5 chữ số 02439.
Vì 2005  0 (mod 5) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy của B là:

c) Số

10

0,(1960784313725490)
51

<i>C</i> 

TH chu kỳ 16 chữ số:1960784313725490
Vì 2005  5 (mod 16) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy của C là:

d) Số
1

0,(020408163265306122448979591836734693877551)
49

<i>D</i> 

tuần hồn chu kỳ 42 chữ số 020408163265306122448979591836734693877551
Vì 2005  31 (mod 42) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy của D là:

<b>Bài tốn 1.</b> Tìm 2 chữ số tận cùng của số A = 20072008_{+ 2008}2009

<b>Bài tốn 2: </b>Tìm số dư trong phép chia số: 17762010 _{cho 2000}

<b>Bài tốn 3:</b> Tìm số dư khi chia số 182008_{+ 8}2009_{cho 49}

<b>Bài tốn 4: Tìm 2 chữ số tận cùng của Tổng 39999_{+ 2}9999</b>

Đáp án

<b>Bài tốn 1.</b>

1. Ta tìm 2 chữ số tận cùng của 20072008_{= 2007}8_{. 2007}2000
20072

 49(mod 100)

(20072)4  494(mod 100)  01(mod 100)

20072000 _{= (2007}8₎250

 01(mod 100)

Vậy: 20072008

 01(mod 100)

2. Tìm 2 chữ số tận cùng của 20082009
Ta có: 20082009 _{= 2008 . 2008}8_{. 2008}2000
* 20082__{64(mod 100)}

(20082)4  644(mod 100)  16(mod 100)

20088

 16(mod 100) (20088)5  165(mod 100)  76(mod 100)

* 200840

 76(mod 100) do đó: 20082000 76(mod 100)
20088 .20082000 16.76(mod 100)  16(mod 100)

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>Bài toán 2.</b>

17761

 1776(mod 2000)

17762

 176(mod 2000)

17763 __{576(mod 2000)}

17764_{= (1776}2₎2 __{976(mod 2000)}

17765_{= 1776}2_{. 1776}3__{176 . 576(mod 2000)}__{1376(mod 2000)}
17766_{= 1776}_{. 1776}5

 176 . 1736(mod 2000)  1776(mod 2000)

17767

 976(mod 2000)

Vậy chu kỳ được lặp lại sau 5 bước mà: 2010 = 5 . 402 có dạng

5k.

Do đó số 17762010_{chia 2000 cho số dư là 1376.}

<b>Bài tốn 3.</b>

* Ta t ìm số dư khi chia 182008_{cho 49}
Ta có: 182008 _{= 18.18}2007

_{= (18}3₎669 _{. 18}

183 __{1(mod 49)}_₍₁₈3₎669 __{1(mod 49)}
18. (183₎669 __{18(mod 49)}

* Ta tìm số dư khi chia 82009_{chia cho 49}
Ta có 82009_{= (8}7₎287

87

 1(mod 49)

 (87)287 01(mod 49)

Kết luận: Vậy số dư khi chia số 182008_{+ 8}2009 _{cho 49 là 19.}

<b>Bài tốn 5:</b>

* Có 39999_{= 3}20.499_.319

319_{= 1162261467}__{67(mod 100)}

320_{= 3486784401}__{01(mod 100)}
 (320)499  01(mod 100)

Do đó (320₎499_.319

 67(mod 100)

* Có 29999_{= 2}20.499_.219

219_{= 524288}__{88(mod 100)}
220_{= 1048576}__{76(mod 100)}
 (220)499  76(mod 100)

Do đó (220₎499_.219

 76.88(mod 100)  88(mod 100)
39999 + 29999 (67+88)(mod 100) = 55(mod 100)

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>Thuật tốn tìm số chữ số của luỹ thừa:</b>

Ví dụ tìm xem có bao nhiêu chữ số.

Ta có làm trịn thành .

Như vậy gồm số.

Lưu ý: ở đây là logarit cơ số 10 của 2

<b>Tìm chu kì của phép chia có dư:</b>

Thí dụ

Ta nói phép chia có chu kì là . Nhận xét rằng, với phép chia trên, chu kì có thể
dễ dàng tìm ra bằng mtbt. Tuy nhiên với những số lớn ví dụ ; việc tìm ra chu kỳ khó
khăn hơn nhiều. Phương pháp chung, có lẽ ai cũng biết, là bấm 1*(10^8)/57 để tìm chu kì(
là phần nguyên), rồi lấy 1*10^8-phần nguyên vừa tìm được*57; lấy kết quả đó thế vào số
1.... cứ thế ta sẽ tìm ra chi kỳ.

Tuy nhiên cứ tìm 1 lượt như vậy phải bấm ko dưới 20 phím, để tiết kiệm sức, mình xin
nêu 1 cách bấm, sau 1 giải thuật ban đầu, cứ bấm 2 dấu = ta sẽ tìm được khoảng 8 số trong
chu kỳ.

cách bấm như sau:
A=1 B=57

(((A*10^8)/B)+9.5)*10^-11+1-1)*10^11-10{ĐỌC CHU KÌ}:A=A*10^8-ANS*B
C2:nhấn MODE MODE 3 (BASE), rồi nhấn fím x^2( chữ DEC màu xanh đó)
Chẳng hạn như tìm chu kì của

1 |shift| |sto| |A|

(chỉ 7 số 0 thôi)

Ax10000000-49 x |ans| |shift| |sto| |A|
ấn dấu mũi tên lên rồi nhấn |shift| |copy|
chỉ việc nhấn = = =... là ra chu kì của fép chia

ĐS: )

Lưu ý: cứ mỗi phép chia luôn cho ta 7 chữ số thập fân, nếu chỉ hiện 6 hay 5 chữ số, ta hiểu

ngầm có 1 hay 2 chữ số 0 ở trước!!!!!

<b>Tìm n chữ số tận cùng của một luỹ thừa:</b>

Để tìm n chữ số tận cùng của 1 luỹ thừa , ta tìm dư của luỹ thừa đó với 10^n
Heheh , có phải rất hay khơng nào .

Tuy nhiên . Nếu người ta kiu tìm từ 1 đến 3 chữ số tận cùng của một luỹ thừa mà ta làm
theo bài học trên thì thật là , q oải . Chính vì thế , tui xin post một bài như sau :

Tìm 1 chữ số tận cùng của :

* Nếu a có chữ số tận cùng là 0 , 1 , 5 hoặc 6 thì lần lượt có chữ số tận cùng là 0 , 1 , 5
hoặc 6 .

* Nếu a có chữ số tận cùng là 2 , 3 hoặc 7 , ta có nhận xét sau với k thuộc tập hợp số tự
nhiên khác 0 :

2^4k đồng dư 6 ( mod 10 )
3^4k đồng dư 1 ( mod 10 )
7^4k đồng dư 1 ( mod 10 )

Do đó để tìm 1 chữ số tận cùng của a^n với a có số tận cùng là 2 , 3 , 7 ta lấy n chia cho 4 .
Giả sử n = 4k + r với r thuộc { 0 , 1 , 2 , 3 }

Nếu a đồng dư 2 ( mod 10 ) thì a^2 dồng dư 2^n = 2^(4k+r) đồng dư 6.2^r ( mod 10 )
Nếu a đồng dư 3 ( mod 10 ) thì a^n = a^(4k+r) đồng dư a^r ( mod 10 )

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

2^20 đồng dư 76 ( mod 100 )
3^20 đồng dư 1 ( mod 100 )

6^5 đồng dư 76 ( mod 100 )
7^4 đồng dư 01 ( mod 100 )

Mà 76^n đồng dư 76 ( mod 100 ) với n >= 1
và 5^n đồng dư 25 ( mod 100 ) với n >= 2

Suy ra kết quả sau với k là các số tự nhiên khác 0 :

a^20k đồng dư 00 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 0 ( mod 10 )

a^20k đồng dư 01 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 1 ; 3 ; 7 ; 9 ( mod 10 )
a^20k đồng dư 25 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 5 ( mod 10 )

a^20k đồng dư 76 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 2 ; 4 ; 6 ; 8 ( mod 10 )
Vậy túm lại , để tìm 2 chữ số tận cùng của a^n ta lấy số mũ 2 chia cho 20
_ Ta có :

a^100k đồng dư 000 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 0 ( mod 10 )

a^100k đồng dư 001 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 1 ; 3 ; 7 ; 9 ( mod 10 )
a^100k đồng dư 625 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 5 ( mod 10 )

a^100k đồng dư 376 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 2 ; 4 ; 6 ; 8 ( mod 10 )

Túm lại , để tìm 3 chữ số tận cùng của 1 luỹ thừa , ta tìm 2 chữ số tận cùng của số mũ .
Nhưng dù sao đi chăng nữa thì cái nguyên tắc

<b>Để tìm n chữ số tận cùng của a^b thì ta tìm số dư của a^b với 10^n</b>
<b>Tìm số dư trong phép chia:</b>

Các dạng thường gặp:

1) Chia một số có nhiều hơn 10 chữ số cho một số có ít hơn 10 chữ số
Phương pháp: Chia để trị (divide and conquer)

chặt số có hơn 10 chữ số thành nhiều số nhỏ hơn có nhiều nhất 10 chữ số
Ví dụ:

Lấy từng số nhỏ chia cho số chia, sau khi có kết quả dư nhớ nhân với lũy thừa cơ số 10 đi
cùng với nó

2) Chia một số là một lũy thừa bậc cao cho số khác:

Phương pháp: quan sát xem có nằm trong dạng Fermat khơng?
Nếu khơng, hãy quan sát chu kỳ số dư

Nếu khơng có chu kỳ số dư hãy làm từng bước: lấy cơ số lũy thừa lên vài bậc (khơng tràn
máy), tìm số dư rồi tiếp tục lũy thừa lên cho đến khi số mũ nhỏ dần. Chú ý sử dụng tính

chất: phép chia cho b và phép cho b có cùng số dư với để làm nhỏ a lại, tạo

điều kiện tính nhanh hơn.

<b>Dạng 1:Tìm số dư khi chia số a cho số b.</b>

-Tuỳ vào số mũ của a để phân tích, tìm một số a’ thích hợp (Khơng làm tràn máy) rồi tìm
số dư của a’ cho b. Tiếp tục làm như vậy cho đến cuối cùng.

VD: Tìm số dư của 1112_{cho 2001.}
Giải:

116_{=1771561 khi chia cho 2001 dư là 676.}

Vì 1112₌₍₁₁6₎2_{chia cho 2001 dư là: 676}2_{:2001 dư là 748}
Vậy dư của phép chia trên là 784.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>Bài tập áp dụng: </b>

Tìm số dư trong phép chia a cho b:

1/ a=736_{; b=2003.} _{2/ a=72}18_{; b=2009.}

3/ a= 1318₊₁₃20_{; b=6954}
4/ a=1358₊₂₄₇5_{; b= 3311}

<b>Dạng 3: Tìm n chữ số cuối cùng:</b>

* Nếu là tìm 1 chữ số cuối cùng:

-Phát hiện quy luật lặp lại của chữ số cuối cùng.
-Hạ bậc của cơ số bằng cách áp dụng quy luật trên.

<b>Ví dụ 1:</b> Tìm chữ số cuối cùng của 3202_.

-Ta có

1
2
3
4

5

3 3

3 9

3 27

3 81

3 243

=
=
=
=
=

3202₌₃200_.32₌₍₃5₎40_.32₍₁₎

Vì 35_{có chữ số cuối cùng (chữ số ở hàng đơn vị) bằng 3 nên chữ số cuối cùng của}
(35₎40_{là 3}40_{; 3}40₌₍₃5₎8

Và chữ số cuối cùng là 38_{; 3}8₌₃5_.33_{nên chữ số cuối cùng của 3}8_{là 3}4_.

Kết hợp với 1 thì chữ số cuối cùng của bài tốn chính là chữ số cuối cùng của
32_.34₌₃5_{.3. Vậy chữ số cối cùng của biểu thức là 9.}

<b>Ví dụ 3:</b>

Tìm chữ số cuối cùng của biểu thức A= 3202₊₃203₊₃204_.
Ta có: A=3202_(1+3+9)=3202_.13

Theo ví dụ 1 chữ số cuối cùng của 3202_{là 9. Nên chữ số cuối cùng của A là chữ số cuối}
cùng của tích 13.9=27.

*Tìm hai hoặc ba chữ số cuối cùng: Theo ngun tắc, khơng có cách giải cụ thể, xong tuỳ
từng bài để vận dụng:

<b>Ví dụ 4:</b> Tìm hai chữ số cuối cùng của 3512_.

356_{=1838265625. Hai chữ số cuối cùng của 35}6_{là 25.}
Để tìm số dư an_{cho b ta làm như nhau:}

-Nếu a chia cho b thương là q; dư là r ta có: a=bq+r

(Công thức này không quan tâm đến hệ số của các số hạng khi khai
triển.

Vậy chỉ tìm xem rn_{chia cho b dư là mấy.}

Đáp số 892 Đáp số 918

Đáp số 170
Đáp số 2514

Phát hiện quy luật lặp lại của chữ số cuối cùng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Mà 3512₌₍₃₅6₎2_{nên hai chữ số cuối cùng của chúng là hai chữ số cuối cùng của (25)}2_=625.
Vậy hai chữ số cuối cùng là 25.

<b>Ví dụ 5:</b> Tìm hai chữ số cuối cùng của 3523_.
Ta có: 315_{=14248907. Hai chữ số cuối cùng là 07}
Và 3523₌₍₃15₎34_.513_{; và 5}13_=1594323.

Hai chữ số cuối cùng của biểu thức chính là hai chữ số cuối cùng của tích
Suy ra

Vậy hai chữ số cuối cùng là 27.

<b>Ví dụ 6:</b> Tìm ba chữ số cuối cùng của biểu thức 64501₊₆₄502_.
-Trước hết tính ba chữ số cuối cùng của 64501_.

Ta có:

645_{=1073741824. Và 64}501₌₍₆₄5₎100_{.64 nên ba chữ số cuối cùng là ba chữ số cuối cùng của}
tích: (824)100_.64.

 Vì 8243=559476224; (824)100.64={(824)3}33824.64

Þ _{ba chữ số cuối cùng là ba chữ số của tích( 224)}33_.52736.

 Vì 2244=2517630976 nên ba chữ số cuối cùng của tích ( 224)33.52736 là ba chữ số

cuối cùng của tích (224)4_}8_{.224.736 và là ba chữ số cuối cùng của (976)}8_{. 164864.}
 Vì 8963=719323136 nên Ba chữ số cuối cùng của (976)8. 164864. là ba chữ số cuối

cùng của (136)2_.8962_{.864=18496.802816.864}

 Vậy ba chữ số cuối cùng của chúng là ba chữ số cuối cùng của tích

496.816.864=349691904.

 Ba chữ số cuối cùng của 64501 là 904.
 A=64501(1+64)=65.64501.

Ba chữ số cuối cùng của A là ba chữ số cuối cùng của tích 904.65=58760.

<b>II. TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA SỐ NGUYÊN</b>
<b>a) Khi đề cho số bé hơn 10 chữ số:</b>

Số bị chia = số chia . thương + số dư (a = bq + r) (0 < r < b)
Suy ra r = a – b . q

Ví dụ : Tìm số dư trong các phép chia sau:
1) 9124565217 cho 123456

2) 987896854 cho 698521

<b>b) Khi đề cho số lớn hơn 10 chữ số:</b>
<b> Phương pháp: </b>

Tìm số dư của A khi chia cho B ( A là số có nhiều hơn 10 chữ số)

- Cắt ra thành 2 nhóm , nhóm đầu có chín chữ số (kể từ bên trái). Tìm số dư phần đầu
khi chia cho B.

- Viết liên tiếp sau số dư phần cịn lại (tối đa đủ 9 chữ số) rồi tìm số dư lần hai. Nếu cịn
nữa tính liên tiếp như vậy.

<b>Ví dụ</b>: Tìm số dư của phép chia 2345678901234 cho 4567.

Ta tìm số dư của phép chia 234567890 cho 4567: Được kết quả số dư là : 2203
Tìm tiếp số dư của phép chia 22031234 cho 4567.

Kết quả số dư cuối cùng là 26.

<b>Bài tập</b>: Tìm số dư của các phép chia:
a) 983637955 cho 9604325

(07)34_.23={(07)7_}4_.(07)6_.23

(07)7_{=823543; 7}6_=117649

(43)4 _{.49.23 . hai chữ số cuối cùng}

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

b) 903566896235 cho 37869.

<i>c) 1234567890987654321 : 123456</i>

<b>c) Dùng kiến thức về đồng dư để tìm số dư.</b>
<b>* Phép đồng dư: </b>

+ Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a đồng
dư với b theo modun c ký hiệu <i>a b</i> (mod )<i>c</i>

+ Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+
<i>a a</i> (mod )<i>m</i>

<i>a b</i> (mod )<i>m</i>  <i>b a</i> (mod )<i>m</i>

<i>a b</i> (mod );<i>m b c</i> (mod )<i>m</i>  <i>a c</i> (mod )<i>m</i>

<i>a b</i> (mod );<i>m c d</i> (mod )<i>m</i>  <i>a c b d</i>   (mod )<i>m</i>
<i>a b</i> (mod );<i>m c d</i> (mod )<i>m</i>   <i>ac bd</i> (mod )<i>m</i>
<i>a b</i> (mod )<i>m</i>  <i>an</i> <i>bn</i>(mod )<i>m</i>

<b>Ví dụ 1</b>: Tìm số dư của phép chia 126_{cho 19}
Giải:





2

3

6 2 3

12 144 11(mod19)

12 12 11 1(mod19)

 

  

Vậy số dư của phép chia 126_{cho 19 là 1}

<b>Ví dụ 2</b>: Tìm số dư của phép chia 2004376_{cho 1975}
Giải:

Biết 376 = 62 . 6 + 4
Ta có:
2
4 2
12 3
48 4
2004 841(mod1975)

2004 841 231(mod1975)
2004 231 416(mod1975)
2004 416 536(mod1975)


 
 
 
<b>Vậy </b>
60
62
62.3 3
62.6 2
62.6 4

2004 416.536 1776(mod1975)
2004 1776.841 516(mod1975)
2004 513 1171(mod1975)
2004 1171 591(mod1975)
2004  591.231 246(mod1975)

 

 

 

 

 

Kết quả: Số dư của phép chia 2004376_{cho 1975 là 246}

<b>Bài tập thực hành:</b>

Tìm số dư của phép chia :

<i>a)</i> 138_{cho 27}

<i>b)</i> 2514_{cho 65}

<i>c)</i> 197838_{cho 3878.}

<i>d)</i> 20059_{cho 2007}

<i>e) 715_{cho 2001}</i>

<b>III. TÌM CHỮ SỐ HÀNG ĐƠN VỊ, HÀNG CHỤC, HÀNG TRĂM... CỦA MỘT </b>
<b>LUỸ THỪA:</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>





2
1000

2 2000 1000

2
1000

2000

17 9(mod10)

17 17 9 (mod10)

9 1(mod10)
9 1(mod10)
17 1(mod10)

 




Vậy 172000.172 1.9(mod10)_{. Chữ số tận cùng của 17}2002_{là 9}

<b>Bài 2</b>: Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm của số 232005_.
Giải

+ <i><b>Tìm chữ số hàng chục của số 23</b><b>2005</b></i>

1
2
3
4
23 23(mod100)
23 29(mod100)
23 67(mod100)
23 41(mod100)




Do đó:





5

20 4 5

2000 100

2005 1 4 2000

23 23 41 01(mod100)

23 01 01(mod100)

23 23 .23 .23 23.41.01 43(mod100)

  

 

   

Vậy chữ số hàng chục của số 232005_{là 4 (hai chữ số tận cùng của số 23}2005_{là 43)}

<i><b>+ Tìm chữ số hàng trăm của số 23</b><b>2005</b></i>

1
4
5
20 4
2000 100
23 023(mod1000)
23 841(mod1000)
23 343(mod1000)

23 343 201(mod1000)

23 201 (mod1000)




 

5
100
2000

2005 1 4 2000
201 001(mod1000)
201 001(mod1000)
23 001(mod1000)

23 23 .23 .23 023.841.001 343(mod1000)





  

</div>

<!--links-->