DE THI HSG TOAN 9 KIM SON NAM 20112012

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (404.3 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN KIM SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCSNĂM HỌC: 2011 – 2012.

MƠN TỐN

Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1 (4đ). Cho biểu thức:

x 2 x 1 x 1

x 1
x x 1 x x 1

  

  



  

a) Rút gọn P.
b) Chứng minh

1
P



với x 0 và x 1 .

Câu 2 (4đ).

a) Cho đường thẳng (d): 4 m 1 x 3my 12







  . Tìm m để (d) tạo với hai trục
tọa độ một tam giác có diện tích bằng 3. Tính khoảng cách từ O(0; 0) đến (d) ứng với
m vừa tìm được.

b) Cho M(a; b) là một điểm nguyên bất kỳ trên đường thẳng 4x 5y 7  . Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q 5 a 3 b 

Câu 3 (4đ). Cho 0 t 3  . Tìm GTNN của biểu thức:





4t 9
A

t 3 t






Câu 4 (4đ)

a) Cho ABC cân tại A. Trên đáy BC lấy điểm D sao cho CD 2BD . So sánh

số đo BAD và



1
CAD
2

b) Từ một điểm A ở ngoài (O) dựng các tiếp tuyến AB, AC với (O). Gọi H là
giao điểm của OA với BC. Trên đường trung trực của AH lấy điểm M bất kỳ sao cho
M nằm ngoài (O) và dựng tiếp tuyến MF với (O). Chứng minh: MA MF .

(B, C, F là các tiếp điểm)
Câu 5 (4đ)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên



x, y



thỏa mãn: x2 



7 y x 6 2y 0



  
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương



x, y



thỏa mãn: x2010 y2010 20122010

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

---HẾT---Câu 1: a) Với x0;x1

P =



 





 





 



2 1 1

1 1

2 1 1

1 1

2 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1

x x x

x

x x x x

x x

x x x

x x x x

x x x x x x x x x

x x

x x x

x
x x
  
 

  
 
  
  
  
   
  
        


  


 

Vậy: P = 1

x

x x với x0;x1

b)Cách 1
xét hiệu:





1 1

3 1 3

3 1
1
1
1
x
P
x x

x x x

x x
x
x x

  
 
  

 
 

 

Vì x0;x1 nên:





1 0

x

  

và x x 1 0. Do đó: 
1

0
3

P 

. Vậy ta có điều phải
chứng minh:

Cách 2: Ta có : P = 1

x

x x =

1
1
1
x
x
 

với x0;x1

Áp dụng BĐT Co – si cho 2 số dương

1
;

x

x ta có:

1 1

2 . 2

x x

  

Vì x1 nên dấu "=" khơng xảy ra

Suy ra:
1
1 3
x
x
  
. Vậy
1
3
P
Câu 2:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Cho x = 0 suy ra y =

m (m khác 0) ta được A(0;

m) thuộc Oy

Cho y = 0 suy ra x =

3
1

m (m khác 1) ta được B(
3

m ;0) thuộc Ox

Khi đó: OA =

m ; OB =

3
1

m

Để đường thẳng d tạo với hai trục toạ độ Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 3 thì:
OA.OB = 6. tức là:

4 3

. 6

m m  giải phương trình ta được m = - 1 ; m = 2

Với m = -1 khi đó AB =

2 Suy ra khoảng cách từ O đến (d) bằng 
12

Với m = 2 khi đó AB = 13 Suy ra khoảng cách từ O đến (d) bằng

6
13

2) Vì M (a;b) là 1 điểm nguyên bất kỳ trên đường thẳng 4x +5y = 7 nên ta có:
4a + 5b = 7 suy ra





7 5 3

4 4

b b

a    b   Z

. Do đó 3 – b = 4k (k thuộc Z) hay

3 4

b  k

từ đó ta tính được a = 5k – 2
Khi đó: Q5 5k 2 3 3 4  k
Lập bảng xét dấu:

k

2
5 
3
4

5k - 2 - 0 + +
3 – 4k + + 0

-Xét TH1: k

2
5


mà k thuộc Z nên k  0. Ta có Q = (1 – 13 k)  1

TH2:

2 3

5k 4 mà k Z nên không tồn tại k

TH3:

3
4

k

mà k Z nên k1. Ta có Q = (13k – 1)  12

Gộp cả 3 trường hợp ta được: Q  1. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi k = 0. khi đó

M(-2;3).

Vậy biểu thức Q đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1. giá trị ấy đạt được khi M(-2;3).

Câu 3: Ta có









2 2

4 9 4 9 1
.

3 3

t t

A

t t t t t

 
 
  =





9 1
4 .
3
t

t t t

 



 



 

Tiếp đó ta dễ dàng chứng minh:

9
4t 12

t

 

 

 

  . Dấu "=" xảy ra khi t = 1,5





1 4

3 9

t  t  . Dấu "=" xảy ra khi t = 1,5

Suy ra

16
3

A

. Dấu "=" xảy ra khi t = 1,5. Vậy GTNN của A bằng

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Câu 4:

1)Cách 1:

Đặt AB=AC=a (a>0)BC =3m (m>0) suy ra: CD=2m,BD=m
Kẻ đường cao AH, phân giác AKcủa góc CAD, ta có DH =

1
2m

Ta tính được AH =

2 2

4 9

2 a  m ;AD = a2 2m2
Vì AKlà phân giác của góc CAD ta có:

DK AD

DC AC AD suy ra:

2 2

m a m

DK

a a m




 

Xét hiệu: DI-DK = m-DK=



2 2



2 2

0
2

m a a m

a a m

 



  vì a;m >0 nên a a2 2m2

Từ đó suy ra K nằm giữa Dvà I, hay I nằm giữa Kvà C. Do đó góc AKD > góc AIK
mà góc AIK = góc ADK nên góc AKD >góc ADK. Suy ra ADB > góc AKC

Vậy: góc BAD < góc DAK. Tức là góc BAD <

2góc CAD

Cách 2:

Gọi E là trung điểm của DC, ta có BD = DE = EC

 Khi đó tam giác ABD và tam giác ACE bằng nhau (c-g-c)

Suy ra góc BAD = góc CAE (1)

Trên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho EF = EA
Ta chứng minh được tam giác CAE = tam giác DEF
(c-g-c)

Từ đó: AC = DF; góc DFE = góc CAE
* Vì góc ADC = gócABD +gócBAD, nên
ADC >góc ABD mà góc ABD = góc ACD
Suy ra: góc ADC >góc ACD.Do đó AC>AD,

Mà AC = DF suy ra: góc DAE > gócDEF suy ra: DAE+CAE>2DEF
Hay: 1/2DAC>DE F. Vậy BAD<1/2DAC

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Gọi I là trung điểm của AH.

Dễ chứng minh AO là đường trung trực của BC
+ Trong các tam giác: FMO ;OMI,AMI,ABO ta có









2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

;

2 .
.

MF MO R OF R

MI IO R

MI HI OH R

MI IH OH IH OH R

MI IA OH HA R

MA OH BH R

MA R R

MA

  

  

   

    

   

  



Vậy: MF = MA
Câu 5

a) nếu với giới hạn của chương trình hiện tại là hết tuần 16 thì ta nênlàm như sau
+ Ta có : x2



7y x



 6 2y0  y x



 2



x2 7x6. Rõ ràng x = 2 không thể là
nghiệm. nên chia cả hai vế cho x – 2 ta được





2 7 6 4

2 2

x x

y x

x x

  

   

 

Do x, y là số nguyên nên x – 2 là ước của -4 mà U4    



1; 2; 4



Ta có bảng:

x-2 -1 -2 -4 4 2 1

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

y 0 -3 -6 0 -3 -6
đối chiếu với các điều kiện ở đề bài thì các cặp số sau thoả mãn

(x;y) =



1;0 ; 0;3 ; 2; 6 ; 6;0 ; 4; 3 ; 3; 6

 

 

 



 





2)Giả sử (x,y)là nghiệm ngun dương của phương trình:
Rõ ràng x,y<2012 (1). Khơng mất tính tổng quát giả sử x y .

Do x Z ; 2012 x 2012 x 1

Suy ra: 20122010 



x1



2010 x20102010x2009... 2010 x 1 x20102010x2009
Từ đó ta có x2010y2010 x20102010x2009 hay y2010 2010x2009 mà x y nên

2010 2010 2009 2010

x  x  x (2)

Tương tự ta có: y > 2010 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra 2010 < x, y < 2012. Từ đó chỉ có thể x = y = 2011

Nhưng cặp số (x, y) này khơng thoả mãn phương trình đã cho (vì vế phải chia hết cho
4 cịn vế trái khơng chia hết cho 4)

</div>

DE THI HSG TOAN 9 KIM SON NAM 20112012























 





 

 

 

 

 





 





























































 

 

 

 

 







Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về