Tài liệu: Động học tay máy

Chơng 2

Động học tay máy
Theo quan điểm động học, một tay máy (*) có thể
đợc biểu diễn bằng một chuỗi động học hở, gồm các
khâu đợc liên kết với nhau bằng các khớp. Một đầu của
chuỗi đợc gắn lên thân, còn đầu kia nối với phần công
tác. Thao tác trong quá trình làm việc đòi hỏi phần
công tác phải đợc định vị và định hớng chính xác
trong không gian. Động học tay máy giải quyết 2 lớp bài
toán:
- Lớp bài toán thuận căn cứ vào các biến khớp để xác
định vùng làm việc của phần công tác và mô tả chuyển
động của phần công tác trong vùng làm việc của nó;
- Lớp bài toán ngợc, xác định các biến khớp để
đảm bảo chuyển động cho trớc của phần công tác.
2.1. Vị trí và hớng của vật rắn trong không gian
2.1.1. Hệ toạ độ vật
Thế (Posture) của một vật rắn trong không gian
đợc coi là đợc xác định hoàn toàn nếu biết đợc vị trí
và hớng của nó trong một hệ quy chiếu cho trớc.
Trên hình 2.1, hệ toạ độ O-xyz với các vector đơn
vị là x, y, z đợc dùng làm hệ toạ độ gốc. Để mô tả vị
trí và hớng của vật rắn trong không gian, thờng phải
gắn lên nó một hệ toạ độ, gọi là hệ toạ độ vật, ví dụ
hệ O'-x'y'z. Gốc toạ độ O' đại diện cho vị trí của vật
trong hệ O-xyz, đợc xác định qua biĨu thøc:
o' = o'xx + o'yy + o'zz
trong ®ã o'x, o'y, o'z là các thành phần của vector o'
trong hệ toạ độ
O-xyz. Nh vậy, vị trí của điểm O'

đợc mô tả nhờ vector (3 1) sau:
(*)

Trong 7 chơng đầu chØ nãi vÒ robot nèi tiÕp.

1


 o' x 
 
o' = o' y 
 o' z

(2. 0)

Hớng của vật đợc đại diện bởi các vector đơn vị x', y',
z' của hệ
O'-x'y'z' và đợc mô tả bằng các quan hệ
sau:
x ' x 'x x  x 'y y  x 'z z 

y '  y 'x x  y 'y y  y 'z z 
(2. 0)

'
'
'
'
z  z x x  z y y z z z
Các thành phần của các vector đơn vị (x'x, x'y, x'z

) là cosin chỉ phơng của các trục của hệ O'-x'y'z' so với
hệ O-xyz.

Hình 2. : Vị trí và hớng của vật rắn trong không
gian
2.1.2. Ma trận quay
Để cho gọn, 3 vector đơn vị trong (2.2) có thể đợc biểu diễn dới dạng ma trËn (3  3), gäi lµ ma trËn
quay, ký hiƯu lµ R, nh sau:

2


R

=  x'

y ' z '

 x' x

=  x' y
 x' z

y' x
y' y
y' z

z'x 
z ' y 
z ' z 

 x 'T x
 T
=  x' y
 x 'T z


y 'T x
y 'T y
y 'T z

z 'T
z 'T
z 'T

x

y
z 

(2. 0)
PhÐp quay mét vËt quanh mét trôc toạ độ là trờng
hợp riêng của phép quay một vật trong không gian.
Chiều quay đợc quy ớc là dơng nếu ngợc kim đồng hồ.
Giả sử hệ O'-x'y'z' nhận đợc do quay hƯ O-xyz
quanh trơc z mét gãc  (h×nh 2.2), vector đơn vị của
hệ này đợc biểu diễn trong hệ O-xyz nh sau:
cos  
  sin  
0 





 
x' =  sin   ; y' =  cos   ; z' = 0 
 0 
 0 
 1

H×nh 2. : Quay hƯ O-xyz quanh trơc z
V× vËy, ma trËn quay quanh trơc z cđa hƯ O'-x'y'z' so
víi hƯ O-xyz lµ:
3


cos   sin  0


R(z, ) =  sin cos 0
(2. 0)
0
0
1
Tơng tự, các ma trận quay khi quay vËt quanh
trôc y mét gãc , R(y, ) vµ quanh trơc x mét gãc ,
R(x, ):
 cos  0 sin  

1

0 
R(y, ) =  0
(2. 0)
  sin  0 cos  
0
0 
1
0 cos   sin  
R(x, ) = 
(2. 0)

0 sin cos
Các ma trận quay trên sẽ rất hữu ích khi khảo sát
phép quay vật quanh một trục bất kỳ. Có thể thử để
xác minh rằng chúng có các tính chất sau:
R(k, -) = RT(k, )

(2. 0)

trong đó k = x, y, z,  = , ,  và RT là ma trận chuyển
vị của ma trận R.
2.1.3. Phép quay một vector
Ma trận quay không chỉ đợc dùng để biểu diễn
vị trí của một hệ toạ độ so với một hệ toạ độ khác mà
còn để mô tả sự quay của một vector.
Giả sử 2 hệ toạ độ O-xyz và O'-x'y'z', có gốc O và O'
trùng nhau (hình 2.3).

4

Hình 2. : Biểu diễn điểm P trong 2 hệ toạ độ
Điểm P trong không gian đợc mô tả lần lợt trong hệ Oxyz và
O-x'y'z' bằng các vector p và p':
 px 
 p' x 
p 
 
p =  y
vµ p' =  p ' y 
 p z
p' z
Vì p và p' biểu diễn cùng một điểm P và chú ý
đến biểu thức (2.3)(*) ta cã:
p = p' = p'xx' + p'yy' + p'zz' = [x' y' z']p' = Rp'
(2. 0)
hay:
p' = RTp
(2. 0)
Trong trêng hợp này, ma trận quay R chính là ma
trận chuyển ®ỉi to¹ ®é cđa mét vector tõ hƯ O-xyz

(*)

Chó ý r»ng 3 vector cđa R vu«ng gãc víi nhau tõng đôi
một và R là ma trận đơn vị. Nó có các tính chất:
RTR = I và RT = R-1
Từ biểu thức trên ta rút ra một kết luận quan trọng:
Nghịch đảo của ma trận quay bằng nghịch đảo của nó
[5].

5


sang hệ O-x'y'z', còn RT là ma trận chuyển vị của ma
trận R.
Ví dụ, nếu hệ O-x'y'z' nhận đợc bằng cách quay hệ
O-xyz quanh trục z một góc (hình 2. 4) thì ta có quan
hệ giữa toạ độ của ®iĨm P trong 2 hƯ lµ:
px = p'x cos  - p'y sin 
py = p'x sin  + p'y cos
pz = p'z.
Nếu viết gọn lại và để ý ®Õn biĨu thøc (2. 4)
th× ta cã:
cos   sin  0


p =  sin  cos  0 p' = R(z, )p'
0
0
1
Đó cũng chính là phơng trình mô t¶ phÐp quay
vector p quanh trơc z mét gãc . Biểu diễn hình học
của phép quay này nh trong hình 2. 5.
Tãm l¹i, ma trËn quay R cã 3 ý nghĩa tơng đơng
nhau:
- Biểu diễn hớng giữa 2 hệ toạ độ, trong đó các
cột của ma trận là cosin chỉ phơng giữa các trục của
hệ mới so với hệ gốc.
- Biểu diễn sự chuyển đổi tọa độ của một

vector giữa 2 hệ toạ độ có gốc trùng nhau.
- Là toán tư biĨu diƠn phÐp quay mét vector trong
cïng mét hƯ toạ độ.

6


Hình 2. : Biểu .diễn vector
trong 2 hệ toạ độ

Hình 2. : PhÐp quay mét
vector

2.2. PhÐp quay mét vector quanh một trục bất
kỳ
2.2.1. Tổng hợp các ma trận quay
Thông thờng mét vËt thĨ trong kh«ng gian cã thĨ
quay quanh mét trục bất kỳ. Trong trờng hợp đó, có
thể coi phép quay tổng quát là sự tổ hợp nào đó của
các phép quay đơn giản. Nếu làm đợc nh vậy thì ma
trận quay tổng quát sẽ là tổng hợp của các ma trận
quay đơn giản.
Giả sử có 3 hệ toạ độ chung gốc là O-x0y0z0, Ox1y1z1, O-x2y2z2. Vector p đại diện cho một điểm bất
kỳ trong không gian đợc biểu diễn trong mỗi hệ là p0,
p1, p2(*). Ký hiệu ma trận biĨu diƠn phÐp quay cđa hƯ i
so víi hƯ j là Rij.
Ta có mối quan hệ giữa các vector p1 và p2 nh sau:
p1 =R21 p2
(2.0)
Tơng tự, ta có:

p0 =R10 p1
(2. 0)
0
0
2
p =R2 p
(2. 0)
(*)

Từ đây về sau, chỉ số trên trong ký hiệu các vector
hoặc ma trận chỉ hệ toạ độ, trong đó vector hoặc ma
trận đợc mô tả.

7


Thay (2.10) vµo (2.11) vµ sư dơng (2.12), ta cã:
R20 = R10 R21 .
(2. 0)
Ma trËn quay R20 trong biÓu thức (2.13) có thể
hiểu là ma trận tổng hợp từ 2 ma trận quay R10 và R21.
Nó mô tả 2 phép quay liên tiếp nhau:
- Quay vật (đang trùng phơng với hệ O-x0y0z0)
theo R10 để nó trùng phơng với hệ O-x1y1z1.
- Tiếp tục quay vật (hiện đà trùng phơng với hệ Ox1y1z1) theo R21 để nó trùng phơng với hệ O-x2y2z2.
Phép quay nói trên là quay vật quanh hệ toạ độ
hiện thời (hình 2.6). Cũng có thể liên tiếp thực hiện
phép quay quanh hệ toạ độ ban đầu. Trong trờng hợp
này, các phép quay luôn luôn đợc thực hiện với hệ toạ
độ cố định (hình 2.7).

Hình 2. : Quay liên tiếp một vật theo hệ toạ độ hiện
thời

8


Hình 2. : Quay liên tiếp một vật theo hệ toạ độ cố
định
Có thể hình dung quá trình quay theo các bớc
sau:
Ban đầu có 2 hệ O-x0y0z0 và O-x1y1z1 lệch ph¬ng
nhau theo ma trËn quay R10.
- Quay hƯ O-x1y1z1 cho trïng víi hƯ O-x0y0z0 , t¬ng
øng ma trËn quay R01.
- Quay hệ O-x1y1z1 theo R21 để nhận đợc hệ Ox2y2z2.
- Bï phÐp quay ë bíc 1 b»ng phÐp quay ngỵc R10.
Quá trình trên đợc thể hiện bởi biểu thức sau:
R20 = R10R01R21R10
Vì R10R01 = 1, nên cuối cùng ta nhận đợc biểu
thức:
R20 = R21R10
(2. 0)
So sánh với (2.13), chúng ta nhận thấy phép quay
liên tiếp vật theo hệ toạ độ cố định cho kết quả
giống nh phép quay liên tiếp vật theo hệ toạ độ hiện
thời, nhng theo thứ tự ngợc lại. Điều đó cũng nói lên
9

rằng không thể tuỳ tiện thay đổi thứ tự quay vật.
Cũng có thể kiểm tra kết luận trên bằng cách so sánh
phép quay trong hình 2.6 và hình 2.7.
2.2.2 Phép quay quanh trục bất kỳ
Trờng hợp thờng xuyên gặp phải trong nghiên cứu
động học tay máy là mô tả phép quay mét vËt quanh
trơc bÊt kú.
Gi¶ sư r = [rx ry rz]T là vector đơn vị trong hệ Oxyz của trục quay. Ma trận quay R(r, ) mô tả phép
quay quanh trục r một góc đợc xác định bằng cách
tổ hợp các ma trận quay theo các trục toạ độ gốc
(hình 2.8). Góc đợc quy ớc là dơng nếu chiều quay
ngợc kim đồng hồ.

Hình 2. : Phép quay quanh một trục bất kỳ
Một trong những cách tổ hợp cã thĨ nh sau:
- Lµm trïng vector r víi trơc z b»ng c¸ch quay r mét
gãc - quanh trơc z, sau đó là - quanh trục y.
- Quay một góc  quanh z.
- Quay tr¶ gãc  quanh y, råi quanh z.
Mô tả bằng ma trận quay các phép quay trªn nh
sau:
R(r, ) = R(z, )R(y, )R(z, )R(y, -)R(z, -) (2. 0)
10


Từ các thành phần của vector r, có thể biểu diễn
các hàm siêu việt để tính các thành phần của ma trËn
quay trong (2. 15) nh sau:
sin =

ry

rx

; cos =
rx2  ry2

rx2  ry2

; sin =

rx2  ry2 ;

cos = rz
Thay chúng vào (2.15), nhận đợc ma trận quay
R(r,), mô t¶ phÐp quay quanh trơc bÊt kú nh sau(*)
 rx2 (1  c )  c
rx ry (1  c )  rz s rx rz (1  c )  ry s 


ry2 (1  c )  c
ry rz (1  c )  rx s  (2.
R(r,)=  rx ry (1  c )  rz s
 rx rz (1  c )  ry s ry rz (1  c )  rx s
rz2 (1  c )  c 

0)

Ma trËn quay R(r, ) cã tính chất sau:
R(r, ) = R(-r, -)

Điều đó có nghĩa là phép quay một góc quanh
trục r tơng đơng với phép quay một góc - quanh trục
-r.
Khi giải bài toán ngợc, nghĩa là tìm góc quay và
trục quay r khi biÕt ma trËn quay:
 r11 r12 r13 


R =  r21 r22 r23 
 r31 r32 r33 
th× cã thĨ sư dơng c¸c biĨu thøc sau:

 =

 r  r  r  1
;
cos-1  11 22 33
2



r

=

 r32 
1 
r13 
2 sin  
 r21 

r23 
r31
r12

(2. 0)
với sin 0.
(*)

Từ đây, cos sẽ đợc viÕt t¾t b»ng c; sin viÕt t¾t b»ng
s. VÝ dơ, cos -> c ; sin -> s .

11


Ta thấy (2.17) mô tả phép quay nhờ 4 thông số:
góc quay và 3 thành phần của vector r. Tuy nhiên, vì
r là vector đơn vị nên 3 thành phần của nó bị ràng
buộc bởi điều kiện:
rx2 + ry2 + rz2 = 1.
(2. 0)
NÕu sin = 0 th× (2.17) vô nghĩa. Khi đó, phải
xét trực tiếp các trờng hợp cụ thể, kể cả trờng hợp =
0 và = .
2.2.3. Mô tả tối thiểu của hớng
Ma trận quay dùng để mô tả hớng của vật có 9
thành phần, nhng các thành phần này không hoàn
toàn độc lập với nhau. Chúng phải vuông góc với nhau
từng đôi một, nên có 6 điều kiện ràng buộc. Ngay cả
phép quay quanh trục bất kỳ, tuy đợc mô tả bằng 4

tham số nh trong (2.17), thì vẫn có một ràng buộc nh
biểu diễn ở (2.18).
Điều đó có nghĩa là, để mô tả phép quay (hay
định hớng), chỉ cần dùng 3 tham số ®éc lËp. ViƯc
dïng 3 tham sè ®éc lËp ®Ĩ m« tả hớng đợc gọi là sự
mô tả
tối thiểu (Minimal Representation of
Orientation - MRO). Cã thĨ dïng c¸c bé ba tham số khác
nhau cho MRO, nhng thờng dùng nhất là góc Euler và
góc RPY.
2.2.3.1. Góc Euler
Góc Euler hình thành MRO bằng cách tổ hợp các
thành phần của ma trận quay trong hệ toạ độ hiện
thời. Tuỳ theo kiểu tổ hợp ma trận quay, có 12 bộ góc
Euler khác nhau. Sau đây là một kiểu, gọi là kiểu
ZYZ.
Giả sử ( ) là một tổ hợp của góc Euler. Phép
quay tơng ứng với nó đợc hình thành theo thứ tự sau
(xem hình 2.9):

12


Hình 2. : Sự hình thành góc Euler ZYZ
- Quay hệ toạ độ một góc quanh z, tơng ứng ma
trËn quay R(z, ), xem (2.4).
- Quay tiÕp hƯ to¹ ®é hiƯn thêi gãc  quanh y', t¬ng
øng R(y', ), xem (2.5).
- Quay tiếp hệ toạ độ hiện thời góc  quanh z'', t¬ng øng R(z'', ), xem (2.4).
Híng cđa hệ toạ độ cuối cùng là kết quả của sự tổ

hợp các phép quay trong hệ toạ độ hiện thời:
REUL = R(z, )R(y', )R(z'', ) =
 c c c  s s  c c s  s c c s 


=  s c c  c s  s c s  c c s s 
(2. 0)
 s c
s s
c

Bài toán ngợc đợc giải bằng c¸ch so s¸nh (2.19) víi
ma trËn quay cho tríc:
 r11 r12 r13 


R =  r21 r22 r23 
 r31 r32 r33 

13


Chú ý các phần tử [1, 3], [2, 3] và [3, 3] của (2.19)
với giả thiết r13 0 và r33  0, ta cã:

 = Atan2(r23, r13) vµ  = Atan2( r132 r232 , r33)(*)
Yêu cầu

r132 r232 > 0 (nghÜa lµ sin() > 0), gãc 

n»m trong khoảng (0, ). Để ý các phần tử [3, 1] và [3,
2], ta có:
=Atan2(r32, -r31)
Tổng hợp lại, nếu chọn trong khoảng (0, ) thì
ta có lời giải sau cho bài toán ngợc:
A tan 2( r23 , r13 )


  A tan 2( r132  r232 , r33 )
(2. 0)

  A tan 2( r32 ,  r31 )

NÕu chän  trong kho¶ng (-, 0), cã lêi giải tơng
tự:
A tan 2( r23 , r13 )


  A tan 2(  r132  r232 , r33 )
(2. 0)

  A tan 2(  r32 , r31 )

Lời giải bị suy thoái khi s = 0. Khi đó chỉ có thể
tính tổng hoặc hiệu của và . Nếu = 0 hoặc =
thì phép quay chỉ thực hiện quanh các trục toạ độ
ban đầu.
2.2.3.2. Góc RPY
Khác với góc Euler, góc RPY hình thành MRO bằng
cách tổng hợp các phép quay thành phần trong hệ toạ

độ cố định. RPY là các chữ tắt của các từ mô tả ba
chuyển động của con tàu: Roll - chòng chành, Pitch bồng bềnh và Yaw - chệch hớng (hình 2.10).
(*)

Atan2(y, x) là arctang(y/x), có tính đến dấu của các
đối số để xác định xem góc đang xét nằm ở góc phần t
nào.

14


(b)
(a)
Hình 2. : Mô tả góc RPY (a) và thể hiện của nó trên
tay máy (b)
Phép quay tơng ứng với góc RPY đợc thực hiện
theo trình tự sau:
- Quay hệ toạ độ gốc một góc quanh trục z.
Phép quay này đợc mô tả bằng ma trận quay R(z, )
và biĨu thøc (2.4).
- Quay tiÕp mét gãc  quanh trơc y, tơng ứng với
ma trận quay R(y, ) và biểu thøc (2.5).
- Quay tiÕp mét gãc  quanh trôc x, tơng ứng với
ma trận quay R(x, ) và biểu thức (2.6).
Ma trận quay tổng hợp là tích của các ma trận quay
thành phần. Chú ý rằng các phép quay đợc thực hiện theo
hệ toạ độ ban đầu (xem lại mục 2.2.1):
RRPY = R(z, )R(y, )R(x, ) =
c c c s s  s c c s c  s s 



=  s c s s s  c c s s c  c s 
(2. 0)
  s

c s
c c


Tơng tự nh trờng hợp góc Euler, bài toán ngợc đợc
giải bằng cách so sánh (2.22) với ma trận quay cho tríc:

15


 r11

R =  r21
 r31
§Ĩ

r12
r22
r32

r13 
r23 
r33 

r322  r332 0 thì nằm trong khoảng (-/2,

/2). Khi ®ã ta cã lêi gi¶i sau:
  A tan 2( r21 , r11 )



  A tan 2(  r31 , r322  r332 )
(2.0)

  A tan 2( r32 , r33 )

Víi  trong kho¶ng (/2, 3/2), cã lêi gi¶i sau:
  A tan 2(  r21 ,  r11 )


  A tan 2(  r31 ,  r322  r332 )
(2.0)

  A tan 2(  r32 , r33 )

Lời giải bị suy thoái khi c = 0. Khi đó chỉ có thể
tính tổng hoặc hiệu của và .
2.3. Phép chuyển đổi thuần nhất
Chuyển động tổng quát trong không gian của
một vật rắn gồm 2 thành phần: tịnh tiến (chuyển vị)
và quay (chuyển hớng).
Giả sử có một điểm P trong không gian (hình
2.11). Ký hiệu po là vector biểu diễn điểm P trong hệ
toạ độ O0-x0y0z0; p1 lµ vector trong hƯ O1-x1y1z1; o10 lµ
vector chun vị của gốc O1 so với O0, còn R10 là ma

trËn quay cđa hƯ 1 so víi hƯ 0. ThÕ của điểm P so với
hệ O0-x0y0z0 có thể đợc biểu diƠn b»ng biĨu thøc sau:
p0 = o10 + R10p1.
(2. 0)
0T
B»ng cách nhân 2 vế của (2.25) với R1 và chú ý
rằng R10T = R01, ta nhận đợc phơng trình biểu diễn
chuyển vị ngợc lại:
p1 = - R01o10 + R01p0
(2. 0)
16


Cả 2 biểu thức trên đều thể hiện rằng, phép
chuyển ®ỉi to¹ ®é cã thĨ biĨu diƠn díi d¹ng tỉ hợp của
phép chuyển vị và phép quay. Có thể biểu diễn phép
chuyển đổi kiểu trên nhờ một ma trận duy nhÊt A10
gåm 4 ma trËn con:
 R 10 O10 
A10 = T
(2. 0)

1
0
Trong đó R10 là ma trận quay dạng 3 3, o10 là
vector chuyển vị có dạng ma trận 3 1, 0T là vector
chuyển vị phối cảnh và đối với động học robot là
vector 0, 1 là giá trị của hệ số tỷ lệ. Ma trận trên đợc
gọi là ma trận chuyển đổi thuần nhất. Phép chuyển
đổi nhờ ma trận chuyển đổi thuần nhất đợc gọi là

phép chuyển đổi thuần nhất.
Bằng cách trên, ta có thể biểu diễn các phép quay
cơ bản:
c s 0 0
s
c 0 0


R(z, ) =
(2. 0)
0
0
1 0


0
0 1
0
 c
 0
R(y, ) = 
 s

 0
1 0
0 c

R(x, ) = 
 0 s


0 0

0 s

0
1 0 0
0 c  0

0 0 1
0 0
s 0
c 0

0 1

và phép tịnh tiến cơ b¶n:

17

(2. 0)

(2. 0)


1
0
T(dx, dy, dz) = 
0

0

0 0 dx 
1 0 d y 
.
0 1 dz 

0 0 1

(2. 0)

H×nh 2. : Biểu diễn điểm
Hình 2. : Hệ toạ độ
P trong các hệ toạ độ khác
trên bàn tay
nhau
Nhờ 4 ma trận cơ bản này có thể biểu diễn
chuyển động bất kỳ của một vật trong không gian.
Thông qua ma trận chuyển đổi thuần nhất, có
thể biểu diễn phép chuyển đổi toạ độ tổng quát
(2.25) dới dạng thuần nhất:
~
p 0 A10 ~
p1
trong ®ã:
1
 p0 
~
~p 1   p  .
p 0 ;

1
1
Tơng tự, chuyển đổi thuần nhất giữa hệ toạ độ 0
sang hệ toạ độ 1:
~
p 1 A01 ~
p 0 ( A10 )  1 ~
p0
hc:
 R10T  R10T o10   R01  R01o10 
1
A0  T
 
.
1   0T
1 
0
Chó ý r»ng, ®èi víi ma trận chuyển đổi thuần
nhất tính chất trực giao, nghĩa là A-1 AT không đợc
đảm bảo.
18


Nói tóm lại, phép chuyển đổi thuần nhất cho
phép biểu diễn dới dạng thu gọn phép chuyển đổi
giữa 2 hệ toạ độ. Rõ ràng, nếu gốc của 2 hệ toạ độ
trùng nhau thì phép chuyển đổi thuần nhất trở thành
phép quay. Ngợc lại, nếu góc quay bằng 0 thì nó trở
thành phép tịnh tiến.
Tơng tự với phép quay, ma trận của phép tịnh

tiến tổng hợp có thể đợc biểu diễn dới dạng tích các
ma trận tịnh tiến thành phần:
~
p 0 A10 A21 ... Ann 1 ~
p1
Trong đó, Aii-1 mô tả chuyển đổi thuần nhất toạ
độ một điểm từ hệ thứ i về hệ thứ i-1.
2.4. Bài toán thuận của động học tay máy
Trong đại đa số các trờng hợp, tay máy là một
chuỗi động hở, đợc cấu tạo bởi một số khâu (Links),
đợc nối với nhau nhờ các khớp. Một đầu của chuỗi nối
với giá (Base), còn đầu kia nối với phần công tác. Mỗi
khâu hình thành cùng với khớp phía trớc nó một cặp
khâu - khớp. Tuỳ theo kết cấu của mình mà mỗi loại
khớp đảm bảo cho khâu nối sau nó các khả năng
chuyển động nhất định.
Mỗi khớp (thực chất là cặp khâu - khớp) đợc đặc
trng bởi 2 loại thông số:
- Các thông số không thay đổi giá trị trong quá
trình làm việc của tay máy đợc gọi là tham số.
- Các thông số thay đổi khi tay máy làm việc đợc
gọi là các biến khớp.
Hai loại khớp thông dụng nhất trong kỹ thuật tay
máy là khớp trợt và khớp quay. Chúng đều là loại khớp có
một bậc tự do.
Bài toán thuận nhằm mô tả thế (vị trí và hớng)
của phần công tác dới dạng hàm số của các biến khớp.
Giả sử có một tay máy với n+1 khâu và n khớp (hình
2.13). Thế của phần công tác so với hệ toạ độ gốc O0x0y0z0 đợc mô tả bằng vector định vị p0 và hớng của
19

các vector chỉ phơng n, s, a. Phép chuyển đổi toạ
độ đợc biểu diễn bằng ma trận chuyển đổi thuần
nhất:
n 0 ( q) s 0 ( q) a 0 (q )
T ( q ) 
0
0
 0
0

p 0 (q) 

1

(2. 0)

Trong đó, q là vector n phần tử, gồm các biến
khớp; p là vector định vị; n, s, a là các vector chỉ phơng của phần công tác, cũng chính là vector đơn vị
của các trục toạ độ. Nếu phần công tác là tay gắp thì
gốc toạ độ đặt vào tâm quay; vector a đặt theo phơng tiến đến vật; s nằm trong mặt phẳng trợt của
hàm kẹp; n vuông góc với a và s theo quy tắc bàn tay
phải.
Một trong những phơng pháp giải bài toán thuận
là dùng trực tiếp hình học giải tích. Ví dụ, đối với trờng hợp cơ cấu 2 khâu phẳng (hình 2.14), ta cã(*):
0 s x0 a x0 p x0 


 n 0 s 0 a 0 p 0  0 s 0y a 0y p 0y 

T 0 (q ) 


0
0
0
 0 0 0 1  1 s z a z p z 


0 0 0 1 
0 s12 c12 a1c1  a2 c12 
0  c
s12 a1s1  a2 s12 
12

1

0
0
0


0
0
1
0

Ph¬ng pháp tính toán trực tiếp chỉ áp dụng đợc
cho các cơ cấu đơn giản. Để có thể giải các bài toán
tổng quát cần một thuật giải chung. Một trong những

thuật giải nh vậy xuất phát từ quy tắc DenavitHartenberg, đợc Denavit và Hartenberg xây dựng vào
năm 1955. Đó là quy tắc thiết lập hệ thống toạ độ trên
các cặp khâu - khớp trên tay máy. Dựa trên hệ toạ độ
(*)

Ký hiÖu si...j = sin(qi+...+qj); ci...j = cos(qi+...+qj).

20


này có thể mô tả các cặp bằng hệ thống các tham số,
biến khớp và áp dụng một dạng phơng trình tổng quát
cho bài toán động học tay máy.

Hình 2. : Mô tả thế của
phần công tác

Hình 2.: Chuỗi phẳng
2 khâu

2.4.1. Mô tả quy tắc Denavit-Hartenberg
Giả sử trong chuỗi động học của tay máy có n
khâu, khâu thứ i nối khíp thø i víi khíp thø i+1 (h×nh
2.15).

21


Hình 2. : Biểu diễn các thông số động học theo quy
tắc Denavit-Hartenberg

Theo quy tắc Denavit-Hartenberg thì hệ toạ độ
đợc gắn lên các khâu, khớp nh sau(*):
- Đặt trục toạ độ zi dọc theo trục của khớp sau (thứ
i+1).
- Đặt gốc toạ độ Oi tại giao điểm giữa zi và pháp
tuyến chung nhỏ nhất của trục zi và zi-1. Giao điểm
(*)

Đối với quy tắc Denavit-Hartenberg, có một số trờng
hợp đặc biệt, cho phép đơn giản hoá thủ tục tính toán:
- Đối với hệ toạ độ gốc chỉ có phơng của trục z0 là xác
định. Gốc O0 và trục x0 có thĨ chän t ý.
- §èi víi hƯ thø n, chØ có phơng của trục xn là xác
định. Trục zn có thĨ chän t ý.
- Khi 2 khíp liỊn nhau cã trục song song, vị trí của
pháp tuyến chung có thể lÊy bÊt kú.
- Khi trơc cđa 2 khíp liỊn nhau có trục cắt nhau, phơng của trục xi có thể chọn bất kỳ.
- Khi khớp thứ i là khớp trợt thì chỉ có phơng của trục zi-1
là xác định.

22


của pháp tuyến chung với trục zi-1 là gốc O'i của hệ O'ix'i y'i z'i.
- Đặt trục toạ độ xi theo phơng pháp tuyến chung giữa
zi-1 và zi, hớng từ khớp thứ i đến khớp thứ i+1.
- Trục yi vuông góc với xi và zi theo quy tắc bàn tay
phải.
Sau khi đợc thiết lập, vị trí của hệ Oi-xiyizi so với
hệ Oi-1-x i-1y i-1z i-1 hoàn toàn xác định nhờ các thông số

sau:
- ai = Oi O'i: khoảng cách giữa 2 khớp liên tiếp theo phơng xi.
- di = Oi-1 O'i: khoảng cách giữa 2 khớp liên tiếp theo phơng zi-1.
- i: góc quay quanh trục xi giữa zi-1 và zi.
- i: góc quay quanh trục zi-1 giữa xi-1 và xi.
Trong 4 thông số trên thì ai và i chỉ phụ thuộc
vào kết cấu của khâu thứ i. Nếu là khớp quay thì i là
biến, còn di = const. Với khớp trợt thì di là biến, còn i
= const.
Đến đây, có thể mô tả phép chuyển toạ độ giữa
hệ i và hệ i-1, nh sau:
- Tịnh tiến hệ Oi-1-x i-1y i-1z i-1 dọc theo trục zi-1 một
khoảng di, sau đó quay một góc i để nhận đợc hệ
O'i-x'i y'i z'i. Ma trận chuyển đổi thuần nhất tơng ứng
là:
c i  s  i 0 0 
s
c i 0 0 
i
i 1

Ai ' 
0
0
1 di 


0
0 0
0

- TÞnh tiÕn hƯ O'i-x'i y'i z'i vừa nhận đợc một
khoảng ai dọc trục xi, sau ®ã quay nã quanh trơc xi
23


một góc i để nhận đợc hệ Oi-xiyizi. Ma trận chuyển
đổi thuần nhất tơng ứng là
0
ai
1 0
0 c
si 0 
i
i'

Ai 
 0 s i c i
0


0
1
0 0
- Ma trận tổng hợp nhận đợc bằng cách nhân hai
ma trận trªn:
s  i s i
a i c i 
c i  s i ci
s
c i ci

 c i si a i s i 
i
i 1
i 1 i'

Ai (q i )  Ai ' Ai 
0
si
ci
di 


0
0
1 
0
(2. 0)
Chó ý r»ng, ma trận chuyển vị từ hệ i đến hệ i-1
là hàm của các biến khớp i (nếu khớp thứ i là khớp quay)
hoặc di (nếu khớp thứ i là khớp trợt).
Một cách tổng quát, quy tắc Denavit-Hartenberg
cho phép tổ hợp các ma trận chuyển vị riêng rẽ thành
một ma trận chuyển vị thuần nhất, biểu diễn vị trí
và hớng của khâu n so với khâu cơ sở.
n x0 s x0 a x0 p x0 
 0

n y s 0y a 0y p 0y 
0


Tn ( q )  0
 A10 ( q1 ) A21 (q 2 )... Ann  1 (q n ) (2. 0)
 n z s z0 a z0 p z0


1
0 0 0
Quy tắc này có thể đợc áp dụng cho chuỗi hở bất
kỳ trong kết cấu tay máy, nh biểu diễn trong hình
2.16.

24


Hình 2. : Sơ đồ chuyển vị của phần công tác so với
cơ sở
2.4.2. Một số ví dụ áp dụng quy tắc DenavitHartenberg
Cơ cấu 3 khâu phẳng
Cơ cấu có 3 khớp quay với các trục song song. Đặt
trục xi dọc theo phơng của các khâu, còn các tham số
di = 0. Các biến khớp là các góc quay i. Sơ đồ động
học và bảng tham số Denavit-Hartenberg nh trên hình
2.17.
Bảng thông số
DenavitHartenberg
Khâ
ai i di i
u

25

1

a1

0

0

1

2

a2

0

0

2

3

a3

0

0

3