CHUONG 2 HE LUC VA PHEP BIEN DOI TUONG DUONG

CHƯƠNG 2

HỆ LỰC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
NỘI DUNG:


Phân loại hệ lực



Véctơ chính và mơ men chính c ủa hệ lực



Các phép thu gọn hệ lực



Các đại lượng bất biến và biến thiên khi thu gọn hệ lực về một điểm



Các trường hợp xảy ra khi thu gọn hệ lực về một điểm

37


2.1. PHÂN LOẠI HỆ LỰC.
Như đã biết: Hệ lực là hệ thống gồm các lực cùng tác dụng lên một vật thể. Tùy thuộc
vào đường tác dụng của các lực m à người ta phân ra các hệ lực nh ư sau:
2.1.1. Hệ lực tổng quát (hệ lực không gian).

Là hệ lực có các lực phân bố trong khơng gian, bao
gồm các lực và ngẫu lực.
Hình 2.1 : Hệ lực khơng gian

2.1.2. Hệ lực đồng quy.

Là hệ lực có đường tác dụng của các lực gặp nhau tại
một điểm.
Hình 2.2 : Hệ lực đồng quy

2.1.3. Hệ lực song song.
Là hệ lực gồm các lực có đường tác dụng song song
với nhau.

Hình 2.3 : Hệ lực song song

2.1.4. Hệ lực phẳng.

Là hệ lực gồm các lực và mô men cùng nằm trên một
mặt phẳng.

Hình 2.4 : Hệ lực phẳng

2.1.5. Hệ ngẫu lực.
Hệ đơn thuần gồm các ngẫu lực.

Hình 2.5 : Hệ ngẫu lực

38

2.1.6. Hệ lực phân bố.
Hệ lực phân bố là hệ lực song song và phân bố theo một quy luật nào đó trên một
đường hay mặt phẳng.
Trong phần này chúng ta chỉ tìm hiểu về lực phân bố
trên một đường thẳng.
Xét một dầm thẳng chịu tác dụng của hệ lực song
song phân bố theo quy luật:
 
(2-1)
q  q ( x)
Giá trị của lực phân bố cũng theo quy luật:
q  q (x)

(2-2)

q  q (x) - gọi là cường độ của phân bố lực trên
dầm theo chiều dài.

Hình 2.6 : Lực phân bố

Ta chỉ xét hàm q  q  x  đơn trị. Để tìm véctơ chính và mơ men chính c ũng như hợp
lực của hệ lực phân bố ta chia nhỏ dầm thành n đoạn. Xét đoạn dầm xi . Hệ lực phân bố trên
đoạn xi xem như không đổi và tương đương với lực.
  ,
với xi  xi,  xi,1 .
(2-3)
Fi  q ( xi ).xi


Khi đó véctơ chính của hệ lực song song cùng chiều với Fi và có giá trị:
n

R '   q ( xi, ).xi

(2-4)

I 1

n

R '  lim  q ( xi, ).xi

Cho n  ta có:

n

(2-5)

I 1

l

R '   q ( x) dx

Hay :

(2-6)

0

Ta nhận thấy rằng: Giá trị của véct ơ chính của hệ lực phân bố chính bằng diện tích của
biểu đồ lực phân bố và đây cũng chính là giá trị của hợp lực.
Mơ men của lực phân bố trên đoạn xi với điểm O có thể tính bởi cơng thức:

(2-7)
mo ( F i )  q( xi )xi xi
Mơmen chính của hệ lực đối với điểm O (đầu mút của dầm) sẽ là:
n

l

i 1

i 1

M o  lim  q ( xi )xi xi   q ( x) xdx
n

(2-8)

Khoảng cách điểm đặt của hợp lực đến điểm O bởi công thức:
l

M
d o 
R'

 q( x) xdx
0

n

(2-9)

 q( x)dx
0

39


a. Cường độ lực phân bố đều: [q(x) = q 0]
Hợp lực của hệ lực:
R  q0 .L

l

R   q o dx  q o l

(2-10)
q0

0

Khoảng cách điểm đặt đến đầu dầm:
l

 q xdx
o

d

0
l



 qo dx

l
2

(2-11)

Hình 2.7 : Hệ lực phân bố đều

0

Vậy hợp lực đặt ra tại điểm giữa của dầm, có trị số bằng diện tích của hình chữ nhật phân bố
lực.

b. Cường độ lực phân bố hình tam giác: q ( x)  qo


x
l 

1
R q0L
2

Hợp lực của hệ lực có giá trị:
l

R   qo
0

x
l
dx  qo
l
2

q0
(2-12)

Và khoảng các từ điểm đặt của hợp lực đến đầu
dầm:
l

x
xdx
l

qo l 2
.
2
d  0l
 l 32  l
qo l
3

x
0 qo l dx l . 2

q

o

Hình 2.8 : Hệ lực phân bố tam giác

(2-13)

l
(Diện
2
2
tích của tam giác phân bố lực), và cách đỉnh của tam giác phân bố lực một đoạn bằng d  l
3
(qua trọng tâm của tam giác).

Vậy hệ lực phân bố theo quy luật tuyến tính (tam giác) có hợp lực bằng R  q0 .

c. Cường độ lực phân bố theo kiểu h ình thang:
Trong trường hợp này ta có thể phân hệ lực thành hai
hệ, một hệ có cường độ phân bố khơng đổi, một hệ có c ường
độ phân bố theo hình tam giác để tìm hợp lực của hai hệ này
sau đó hợp lại.

Hình 2.9 : Cường độ lực phân bố
hình thang

40


2.2. VÉCTƠ CHÍNH VÀ MƠ MEN CHÍNH C ỦA HỆ LỰC.
2.2.1. Véctơ chính.
Véctơ chính của hệ lực R' là tổng hình học của các véctơ biểu diễn các lực thuộc hệ
lực.

   


R '  F 1  F 2  F 3  ...  F n   F i





(2-14)

Chiếu lên các trục tọa độ ta được:

 Rx'  F1x  F2 x  ....  Fnx   Fix
 '
 Ry  F1 y  F2 y  ...  Fny   Fiy
 '
 Rz  F1z  F2 z  ...  Fnz   Fiz

(2-15)

2.2.2. Mơ men chính của hệ lực.


Mơ men chính của hệ lực M O đối với tâm O, là một véctơ bằng tổng hình học các véctơ
mơ men các lực đối với tâm O.

    
 
MO  mO(F1) mO(F2) ... mO(Fn)

(2-16)

Chiếu lên các trục tọa độ ta được:




 M Ox  mx ( F 1 )  mx ( F 2 )  ...  mx ( F n )  mx ( F i )





 M Oy  m y ( F 1 )  m y (F 2 )  ...  m y (F n )  m y (F i )





 M Oz  mz ( F 1 )  mz ( F 2 )  ...  mz (F n )  mz (F i )
Trong đó:

(2-17)


 mx ( F i )    yi Fiz  zFiy 



 m y ( F i )    zi Fix  xi Fiz 


m
(
 z F i )    xi Fiy  yi Fix 

(2-18)

Trọng lượng của các thành phần xe tải được biểu diễn trên hình vẽ. Thay thế hệ lực này
bằng một hợp lực và chỉ rõ vị trí của nó cách B bao nhiêu?
2.2.3. Ví dụ.
a. Ví dụ 1:
Trọng lượng của các thành phần xe tải được
biểu diễn trên hình vẽ. Xác định hợp lực của hệ
lực.
Giải:
* Đây là hệ lực phẳng song song.
* Độ lớn của hợp lực:

FR   Fi   1750  5500  3500   10750 lb
* Hợp lực này có phương song song với trục y.

41

Hình 2.10


b. Ví dụ 2:
Hệ lực tác dụng vào mái dàn như hình vẽ.
Hãy xác định hợp lực tác dụng vào mái dàn đó.
Giải:
* Đây thuộc dạng hệ lực phẳng.
* Độ lớn của hợp lực: FR  FRx2  FRy2
Trong đó:

FRx   Fx  200sin 300  100 lb
FRx   Fy  150  300  275cos 30 0  898.2 lb

300 F
Rx

 FR  F  F  (100)  (898.2)  904 lb
2
Rx

2
Ry

2

2

 100 
0
* Phương của hợp lực:   artg 
  6.35
898.2





 F
Ry
30
0

FR

2.3. CÁC PHÉP THU G ỌN HỆ LỰC.
2.3.1. Phương pháp h ình học.
Trong một số trường hợp hệ lực đơn giản người ta thường dùng phương pháp hình học
để tìm hợp lực của hệ lực. Cơ sở của phương pháp là tiên đề 3. Phương pháp này chỉ có hiệu
quả đối với hệ lực phẳng, và hệ khơng có ngẫu.
Trên hình 2.10, giới thiệu cách xác định hợp lực của một số hệ lực đ ơn giản 2 hoặc 3 lực
bằng phương pháp hình học:
* Hình 2.10a mơ tả cách hợp lực của hai lực cắt nhau tại một điểm, nếu hai lực khơng
cùng điểm đặt, trượt lực để có cùng điểm đặt rồi thu gọn (hình 2.10b).
* Để thuận tiện người ta thường dùng phương pháp tam giác l ực được trình bày trên
hình 2.10c. Theo phương pháp này, muốn tìm hợp lực của hệ lực cùng nằm trên mặt
phẳng có đường tác dụng cắt nhau tại một điểm ta cứ lần l ượt đặt gốc véctơ biểu diễn
lực sau, lên ngọn của véctơ lực trước cho đến hết, véctơ nối gốc véctơ lực thứ nhất đến

ngọn véctơ lực cuối cùng chính là hợp lực của hệ lực.
* Trên hình 2.10d biểu diễn cách tìm hợp 3 lực cùng trên mặt phẳng.
* Hình 2.10e giới thiệu cách tìm hợp lực của 2 lực song song tr ên cơ sở vận dụng tiên đề
2 và 3.
 Thuận tiện:
 Hệ lực đơn giản (hệ lực là đồng quy, phẳng).
 Số lực thuộc hệ khơng nhiều.
 Khó khăn:
 Gặp các bài tốn có nhiều lực nhiều khi đường tác dụng không thể gặp nhau trong
khuôn khổ bản vẽ miêu tả.
 Không phải bao giờ hệ lực cũng có hợp lực.

42


e

d

Hình 2.10 : Cách xác định hợp lực của hệ lực bằng ph ương pháp hình học

2.3.2. Phương pháp d ời lực song song.
Thu gọn hệ lực bằng phương pháp hình học gặp khá nhiều khó khăn, nên cần có một
phương pháp khác thuận tiện hơn, để có thể giải được các bài tốn thu gọn hệ lực phức tạp.
Đó là phương pháp dời lực song song dựa trên cơ sở định lý dời lực song song.
a. Định lý:

Lực F đặt
 tại A tương đương với chính nó đặt tại B v à ngẫu lực có mơ men bằng mơ
men của lực F đối với điểm B.


  
 
(2-19)
F A  F B  m B (F )
mB (F )
Chứng minh:
Định lý được chứng minh nhờ vận dụng
tiên đề 2. Cách chứng minh đ ược mơ tả trên

hình 2.11. Nếu tại B thêm cặp lực trực đối
 F và

 F , hệ lực vẫn tương đương với lực F đặt tại
A.

Hình 2.11 : Minh họa định lý dời lực song song


 

F ( A)  ( F ( A) , F ( B ) ;  F ( B ) )




F ( A) và  F ( B ) tạo thành một ngẫu đúng bằng mô men củ a F ( A) đối với B.


  

( F ( A) ,  F ( B ) )  M  m B ( F ( A) )





 

Suy ra : F A  F B  m B ( F ) , định lý được chứng minh.
b. Thu gọn hệ lực khơng gian về một điểm:
Bài tốn:

  



Giả sử ta có hệ lực gồm n lực ( F1 , F3 , F2 ,..., Fn ) đặt trong không gian, hãy thu gọn hệ
lực về tâm O.

43


Để thu gọn hệ lực này, trước hết ta thu gọn từng lực về tâm O, nhờ định lý dời lực song
song.



 
 F 1  F 1( O )  m O ( F 1 )


 
 
 F 2  F 2(O )  m O (F 2 )

 .................................

 
 
 F n  F n (O )  m O ( F n )

(2-20)

Cuối cùng ta được:






F O  F 1(O )  F 2(O )  F 3(O )  ...  F n (O ) đồng quy tại O

và

    
 
MO  mO(F1) mO(F2) ...mO(Fn)

(2-21)
(2-22)

Hình 2.12 : Minh họa thu gọn hệ lực về một điểm






Các lực ( F 1( O ) , F 2( O ) , F 3( O ) ,..., F n ( O ) ) là hệ lực đồng quy nên nó có hợp lực là R ' , sẽ
được xác định trên cơ sở vận dụng hệ quả của tiên đề 3:
 



  

R'  F1(O) F2(O) F3(O) ...Fn(O)  F1 F2 F3 ...Fn
(2-23)

R ' chính là véctơ chính của hệ lực.



 

   




 





Các mô men mO (F1 ), mO (F2 ),..., mO (Fn ) được xác định như sau :


   
 
M O  mO (F1)  mO (F2 )  ...  mO (Fn )



(2-24)

 Ta thấy :

- R ' không phải là hợp lực của hệ lực, vì nó khơng phải là lực duy nhất tương đương
với hệ lực đã cho nên được gọi là véctơ chính của hệ lực và bằng tổng hình học của các lực
thành phần thuộc hệ.

- M O được gọi là véctơ mơ men chính của hệ lực khi thu gọn về điểm O.
 Nhận xét:
- Hệ lực không gian thu gọn về một điểm sẽ tương đương với một véctơ chính và một
mơ men chính.
- Véctơ chính bằng tổng véctơ các lực thuộc hệ.
- Mơ men chính bằng tổng véctơ các ngẫu tập trung và các véctơ mô men của các lực
thuộc hệ đối với tâm thu gọn.

44


c. Ví dụ 1:
Một lực có giá trị 400 N tác dụng vào đầu tay quay của
cơ cấu điều khiển trục quay OB, xem h ình 2.13. Hãy cho biết
tác dụng của lực lên trục tại điểm O.
Giải:
Áp dụng định lý dời lực song song ta dời lực tác dụng
tại A về điểm đặt O (hình 2.13). Để tương đương với lực đặt


tại A ngoài lực F dời về O, ta phải thêm vào ngẫu lực M

bằng mô men của lực đặt tại A (ký hiệu F A ). Ngẫu này có
thể xác định bởi cơng thức:
    
M  mO F  OA  F

Hình 2.13

 

Ta có thể tính giá trị của ngẫu và phương chiều của nó
nhờ các mối quan hệ hình học được biểu diễn ở hình 2.14.
Khoảng cách từ lực F đến O là d:

d  52  82  9,43cm

Hình 2.14

Giá trị của ngẫu:
M = F.d = 9,43.400 = 377 N.cm
Véctơ ngẫu vng góc với mặt phẳng chứa lực v à đoạn OA nên nằm trên mặt phẳng
Oyz và hợp với chiều dương của trục Oz một góc θ bằng:

  artg

5
 320
8

d. Ví dụ 2:
Thay thế hệ thống lực trên dầm bằng một
lực và một ngẫu lực tương đương đặt tại A.
Giải:
* Đây là hệ lực phẳng.
* Xác định độ lớn của hợp lực :
- Tổng các lực theo phương x :
4
FRx   Fx  1.5sin 30 0  2.5     1.25 kN
5

Hình 2.15

 3
- Tổng các lực theo phương y : FRy   Fy   1.5cos 30 0  2.5    3   5.799 kN
5

- Tổng hợp lực: FR  FRx2  FRy2  1.252  5.7992  5.93 kN

* Xác định phương của hợp lực:

 FRy 
 5.799 
0
  artg 
  artg 
  77.8
F
1.25


 Rx 

y
FRx


A

FR
FRy

45

x


* Xác định mô men quay quanh A. Nếu chọn chiều d ương của mô men ngược chiều kim
đồng hồ, ta có :



3
M A R   M A F   2.5   (2)  1.5cos 30 0 (6)  3(8)
5
 34.8 kN.m

 

 

* Như vậy khi thu hệ lực về A ta đ ược một hợp lực có độ lớn FR  5.93 kN và một mơ

men quay quanh A và có độ lớn M A R  34.8 kN.m quay cùng chiều kim đồng hồ.

 

2.4. CÁC ĐẠI LƯỢNG BẤT BIẾN VÀ BIẾN THIÊN KHI THU GỌN HỆ LỰC VỀ
MỘT ĐIỂM.
2.4.1. Các đại lượng biến thiên.
Mơ men chính biến thiên đối với các tâm thu gọn và lượng biến thiên đó được thể hiện
qua định lý sau đây:
a. Định lý:
Biến thiên của mơ men chính với hai tâm th u gọn khác nhau bằng mô men của véct ơ
chính đặt tại tâm thứ nhất đối với tâm thứ hai.



 
M O2  M O1  m O2 (R ')O1

(2-27)

b. Chứng minh:

z

Giả sử ta có hệ lực gồm n lực khác nhau. Nếu thu gọn về tâm
O1 và O2, mơ men chính của hệ sẽ được xác định bằng công thức:

 
 
M O1   m O1 ( F i )   r1i  F i

 
 
M O2   m O2 ( F i )   r2i  F i
trong đó:

nên:


O2


O1


r1i


r2i

y

O
x

Hình 2.16


 
r2i  r1i  O1O2


 
 
  
 
M O 2  M O1   r2i  F i   r1i  F i   (r1i O1O2 )  F i   r1i  F i
  
   ,   ,
  O1O2  F i  O1O2   F i  O1O2  R  mO2 (R O1 )



  ,
Nghĩa là M O 2  M O1  mO 2 ( R O1 ) . Định lý được chứng minh.
2.4.2. Các đại lượng bất biến.
a. Đại lượng bất biến thứ nhất:

Khi thu gọn hệ lực về một điểm, véctơ chính ln là véctơ khơng đ ổi về phương, chiều
và cường độ (lưu ý điểm đặt của véctơ chính phụ thuộc tâm thu gọn).

(2-25)
R '  const
b. Đại lượng bất biến thứ hai:
Trong phép thu gọn hệ lực, tích vơ hướng giữa mơ men chính và véctơ chính ln là
hằng số.
 
(2-26)
R ' .M O  const

46


Chứng minh:
Điều này dễ dàng được chứng minh nhờ định lý biến thi ên của mơ men chính đối với
hai tâm thu gọn khác nhau vừa được đề cập ở trên.
 
Giả sử khi thu gọn về tâm O hệ lự c có ( R ', M O ) và khi thu gọn hệ lực về tâm O 1 hệ lực
 
sẽ tương đương với ( R ', M O1 ) . Áp dụng định lý biến thiên của mô men chính với tâm O 1 và
tâm O, ta có:


 

  
M O1  M O  m O1 (R ')  M O1  M O  m O1 (R ')
 


     
nên có thể viết: m O1 ( R ')  ( M O  m O1 ( R ')).R ' m O1 ( R ').R '
  
Hai véctơ R ', m O1 ( R ') vng góc với nhau, tích vơ hướng của nó bằng 0 nên:
   
m O1.R '  M O .R '  const
2.5. CÁC TRƯỜNG HỢP XẢY RA KHI THU GỌN HỆ LỰC VỀ MỘT ĐIỂM .

 R ,  0
 , 
nếu R .M O  0
→ Hệ xoắn
 
 M O  0


 R ,  0
 
 M O  0

 R ,  0
 
 M O  0

 R ,  0
 
 M O  0

 R ,  0

 
 M O  0

nếu

 , 
R .M O  0

→ Hệ lực có hợp lực

→ Hệ tương đương ngẫu

→ Hệ lực có hợp lực

→ Hệ lực cân bằng

2.5.1. Hệ lực có hợp lực.

 R ,  0
 , 
nếu R .M O  0
 
 M O  0

(2-28)

Có nghĩa là véctơ chính và mơ men chính vng góc v ới nhau và mặt phẳng tác dụng
của ngẫu chứa véctơ chính. Trong mặt phẳng chứa ngẫu và véctơ chính ta có thể thay tác



 
 ,
dụng của M O bằng cặp ngẫu lực ( R,  R) với véc tơ lực R có phương chiều giá trị giống R ,
 , 
và d = Mo/R’, khi đó hệ lực sẽ tương đương với ba lực trong đó có hai lực ( R ,  R ) trực đối

nhau, theo tiên đề 2 ta có thể bỏ qua, nên hệ còn lại tương đương duy nhất với lực R .

 , 
 ,   
( R , M O )  ( R , R, R)  R

(2-29)

47


Hình 2.17 : Trường hợp hệ lực có hợp lực

a. Định lý Varginon:
Trong trường hợp hệ lực có hợp lực, mô men của hợp lực đối với một điểm nào đó bằng
tổng mơ men của các lực thuộc hệ đối với c ùng điểm đó.
 
  
mO ( R )   mO ( F )  M O
(2-30)
b. Chứng minh:
Để chứng minh định lý này ta vận dụng định lý biến thiên mơ men chính với các tâm thu



gọn khác nhau. Rõ ràng nếu hệ lực có hợp lực R đặt tại O 1, điều đó có nghĩa là M O1  0 ,
định lý biến thiên mô men chính với hai tâm thu gọn O 1 và O có thể viết:
 
  
 
M O  M O1  mO ( R )  M O   mO ( F i )
c. Ví dụ:
Thay thế hệ lực tác dụng vào khung sườn như
hình vẽ bằng một hợp lực. Hãy cho biết độ lớn,
phương của hợp lực so với thanh AB và vị trí của
nó cách A bao nhiêu?
Giải:
* Đây là hệ lực phẳng.
* Độ lớn của hợp lực:
- Tổng các lực theo phương x:

FRx   Fx  35sin 30 0  25  42.5 lb
- Tổng các lực theo phương y:

FRy   Fy  35cos 300  20  50.31 lb
- Độ lớn của hợp lực:

FR  FRx2  FRy2  (42.5)2  (50.31)2  65.9 lb

 50.31 
0
* Phương của hợp lực:   artg 
  49.8
 42.5 

* Vị trí của hợp lực: Vì đây là hệ lực phẳng nên hệ lực có hợp lực. Do đó ta áp dụng
định lý Varginons như sau:


M A ( R )   M A ( F )  50.31(d )  35cos 30 0(2)  20(6)  25(3)
 d  2.10 ft

48


2.5.2. Hệ xoắn.
Hệ xoắn là hệ lực khi thu gọn về một điểm có:

 R ,  0
 , 
nếu R .M O  0
 
 M O  0

(2-31)

Có nghĩa là véctơ mơ men chính và véctơ chính khơng vng góc v ới nhau (hình

2-15a). Để đơn giản hóa hệ lực, ta phân tích véctơ mơ men chính thành hai thành ph ần: M 1

 ,
 ,

 ,  ,
song song với R , cịn M 2 vng góc với R . Ta cũng có thể thay thế M 2  ( R ,  R ) , với d

  ,
= M2/R’ (hình 2-17c). Có thể giản ước được hệ lực chỉ còn tương đương với hệ ( M 1 , ( R )) với
  ,
( M 1 //( R )) không thể giản ước được nữa nên được gọi là hệ xoắn.
Trục mà các điểm trên nó khi thu gọn hệ lực về ta được véctơ mơ men chính và véctơ
chính được gọi là trục xoắn. Nếu hai véctơ mơ men chính và véctơ chính cùng chi ều ta có
xoắn thuận, ngược lại là xoắn nghịch.

Xoắn thuận

Xoắn nghịch

Hình 2.17 : Hệ xoắn và các trường hợp
xoắn thuận và xoắn nghịch

2.5.3. Hệ ngẫu lực.

 R ,  0
(2-32)
 
 M O  0
Trong trường hợp này hệ lực tương đương với một ngẫu lực, không thể giản ước được.
2.5.4. Ví dụ.
Thay thế hệ lực phân bố bằng một hợp
lực. Cho biết phương và vị trí của nó cách
A.
Giải:
* Phân tích hệ lực phân bố hình thang
thành hai dạng: 1 dạng là phân bố đều và
một dạng là phân bố tam giác như hình vẽ.

* Xác định độ lớn và điểm đặt của các
hệ lực phân bố. Được thể hiện trên hình vẽ.

49


* Độ lớn của hợp lực:
FR   Fi  1600  900  600  3100 N
 3.1 kN
* Vị trí của hơp lực: Áp dụng định lý Varginons ta có:


M A (R)   M A (F )
 3100( x)  1600(1)  900(3)  600(3.5)
 x  2.06 m

1600N

900N
600N

A

1m

1.5m

1m
3m

2m

50


CÂU HỎI ƠN TẬP
1. Tại sao nói lực là véctơ trượt? Khi di chuyển lực khỏi đ ường tác dụng của nó, tác
dụng của lực có thay đổi khơng? Thay đổi tác dụng của lực trong trường hợp này được đo
bằng đại lượng nào? Có giá trị bằng bao nhiêu? Hãy chứng minh điều đó.
2. Ngẫu lực và mơ men giống nhau và khác ở điểm nào? Khi nào mô men và ngẫu lực
có thể cộng với nhau bằng phương pháp đại số? Lượng biến đổi của mô men của một lực đối
với hai điểm khác nhau?
3. Hãy chứng minh tổng mô men của các lực thuộc ngẫu với đi ểm bất kỳ đều không đổi
và bằng mô men của ngẫu.
4.Véctơ chính là gì? Sự khác nhau giữa véctơ chính và hợp lực.
5. Mơ men chính của hệ lực, sự biến đổi của mơ men chính với ha i tâm thu gọn khác
nhau? Mối quan hệ giữa mơ men chính v à mô men của hợp lực đối với tâm thu gọn.
6. Các trường hợp xảy ra khi thu gọn hệ lực về một điểm?
7. Sự khác nhau giữa mô men của một lực với một điểm v à mô men của lực đối với một
trục? Quan hệ giữa hai đại lượng này.
8. Véctơ ngẫu và véctơ mơ men có gì giống nhau và khác nhau?
9. Có thể hợp véctơ ngẫu lực và mô men của lực đối với điểm được không? Bằng
phương pháp nào? Véctơ t ổng của ngẫu và mơ men của lực đối với điểm có điểm đặt tại đâu?
Tại sao?
10. Khi thay đổi điểm đặt của lực tác dụng l ên vật rắn thì tác dụng của lực có thay đổi
khơng? Lượng thay đổi được đo bằng đại lượng nào?
11. Khi thu gọn hệ lực về một điểm, tr ường hợp nào hệ lực có hợp lực, cách xác định
hợp lực của hệ lực?
12. Khi thu gọn hệ lực về một điểm, trường hợp nào hệ lực tương đương với hệ xoắn,
định nghĩa trục xoắn, thế n ào là xoắn thuận và xoắn ngược? Cho biết ý nghĩa của trục xoắn?

13. Khi thu gọn hệ lực về một điểm, trường hợp nào hệ lực sẽ tương đương với hệ ngẫu?
Tính chất cơ bản của ngẫu trong trường hợp này?

51


BÀI TẬP

Bài 2-1:
Hiệu ứng của cánh quạt gây ra
một mô men M O = 6 N. Hãy xác định
cặp lực F và –F ở trên đế của cánh quạt
để cho tổng mô men tác dụng l ên quạt
bằng 0.
Đáp án: F  20 N

Bài 2-2:
Xác định độ lớn của lực F nếu
tổng mô men tác dụng l ên khung sườn
là 200 lb.ft.
Đáp án: F  221 lb

Bài 2-3:
Hai đĩa lau nhà bị mô men cản
của sàn nhà tác động lên là M A = 40 N
và MB = 30 N. Hãy tìm giá trị của lực
do người lau nhà tác động lên cánh tay
đòn của cần điều khiển để tổng mô
men tác động lên máy bằng 0. Lực F sẽ
bằng bao nhiêu khi bàn chổi B không

hoạt động (M B = 0).
Đáp án: F1  33.3 lb; F2  133 lb
Bài 2-4:
Hai cặp ngẫu lực tác dụng lên
dầm như hình vẽ. Hãy xác định độ lớn
lực F để tổng mô men tác dụng l ên
dầm bằng 0. Tổng mô men nằm ở đâu
trên dầm?
Đáp án: F  139 N

52


Bài 2-5:
Nếu góc  = 300, hãy xác định lực F
để tổng mô men ngẫu lực đạt 100 N.m,
quay cùng chiều kim đồng hồ.
Đáp án: F1  111 N

Bài 2-6:
Sợi dây vòng qua hai chốt nhỏ A và
B của tấm bảng hình lập phương và chịu
sức căng 100 N. Hãy xác định sức căng
của sợi dây vòng qua hai chốt C và D để
tổng mô men tác dụng lên tấm bảng là 15
N, quay cùng chiều kim đồng hồ. Cho 
= 150.
Đáp án: P  70.7 N

Bài 2-7:

Hai cặp ngẫu lực tác dụng vào dầm
như hình vẽ. Hãy xác định lực F để cho
tổng mô men tác dụng vào dầm là 500
lb.ft quay ngược chiều kim đồng hồ. Mô
men tổng hợp nằm ở đâu trên dầm?
Đáp án: F  167 N

Bài 2-8:
Hãy xác định tổng mô men tác
dụng lên dầm. Giải bằng hai cách:
a) Tổng mô men quay quanh điểm O.
b) Tổng mô men quay quanh điểm A.
Đáp án: M  9.69 kN.m

53


Bài 2-9:
Hai ngẫu lực tác dụng lên dầm công
xôn như hình vẽ. Nếu F = 6 kN, hãy xác
định tổng mô men ngẫu lực tác dụng l ên
dầm.
Đáp án: M  5.2 kN.m
Bài 2-10:
Như hình vẽ bài 2-9, hãy xác định F
để mô men ngẫu lực bằng 0.
Đáp án: M  14.2 kN
Bài 2-12:
Nếu lực F = 80 N, hãy xác định độ
lớn và hướng của mô men lực. Đ ường

ống nằm trong mặt phẳng x -y.
Đáp án: M R  40.8 N.m
  11.30
  1010
  900

Bài 2-13:
Thay thế hệ thống lực trên dầm
bằng một lực và một ngẫu lực tương
đương đặt tại B.
FR  5.93 N;   77.8 0

Đáp án: M RA  34.8 kN.m
M RB  11.6 kN.m

Bài 2-14:
Thay thế hai lực bằng một hợp lực
và một ngẫu lực tương đương đặt tại O.
Cho F = 20 lb.
Đáp án:

FR  29.9 lb;   78.4 0
M RO  214 lb.in

54


Bài 2-15:
Thay thế hệ lực trên cột chống bằng
một hợp lực và một mô men tương

đương đặt tại A.
Đáp án:

FR  542 N;   10.6 0
M RA  441 N.m

Bài 2-16:
Thay thế lực và mô men ngẫu lực
trên dầm công xôn bằng một hợp lực v à
một ngẫu lực ở A.
Đáp án:

FR  50.2 kN;   84.3 0
M RA  239 kN.m

Bài 2-17:
Thay thế hệ lực bằng một hợp lực
và một ngẫu lực ở O.
Đáp án:

FR  461 N;   49.4 0
M RO  438 N.m

Bài 2-18:
Thay thế hai lực trên máy mài bằng
một hợp lực và một mô men đặt tại O.
Biễu diễn bằng véc tơ tọa độ Đề các.
Đáp án:
FR   5i  35 j  70k  N
M RO   8.45i  4.90 j  5.125k  N.m

55


Bài 2-19:
Hai lực F1 và F2 trên cần điều kiển
của máy khoan điện. Thay thế hai lực
này bằng một hợp lực và một mô men đặt
tại O. Biễu diễn bằng véc t ơ tọa độ Đề
các.
Đáp án:
FR   6i  1 j  14k  N
M RO  1.30i  3.30 j  0.45k  N.m

Bài 2-20:
Trọng lượng của các thành phần xe
tải được biểu diễn trên hình vẽ. Thay thế
hệ lực này bằng một hợp lực và chỉ rõ vị
trí của nó cách B bao nhiêu?
Đáp án:

FR  10750 N
d  13.7 ft

Bài 2-21:
Một máy bay có 4 động c ơ phản
lực, sức đẩy mỗi động cơ là 90kN, gặp sự
cố một động cơ khơng hoạt động. Tìm
giá trị tổng lực đẩy và điểm đặt của nó.
Nếu cho lực cản lên máy bay có hợp lực

đi theo phương trục đối xứng dọc máy
bay và có giả trị bằng tổng lực đẩy của ba
động cơ. Hãy phân tích thử tình trạng bay
của nó khi đó.

Bài 2-22:
Hệ lực song song tác dụng vào một
dàn như hình vẽ. Hãy xác định hợp lực
của hệ lực và vị trí của nó cách A.
Đáp án:

FR  4.50 kN
d  2.22 m

56


Bài 2-23:
Thay thế hệ lực và ngẫu lực tác
dụng lên sườn như hình vẽ bằng một hợp
lực, cho biết phương của hợp lực so với
thanh AB và vị trí của nó từ điểm A.
Đáp án:

FR  197 lb;   42.6 0
d  5.24 ft

Bài 2-24:
Thay thế hệ lực và ngẫu lực tác
dụng lên dầm như hình vẽ bằng một hợp

lực, cho biết phương của hợp lực so với
thanh AB và vị trí của nó từ điểm A.
Đáp án:

FR  50.2 kN;   84.3 0
d  4.79 m

Bài 2-25:
Thay thế hệ lực và ngẫu lực tác
dụng lên dầm như hình vẽ bằng một hợp
lực, cho biết phương của hợp lực so với
thanh AB và vị trí của nó từ điểm A.
Đáp án:

FR  542 kN;   10.6 0
d  827 mm

Bài 2-26:
Một tấm cấu kiện xây dựng chịu tác
dụng của 4 lực song song. H ãy thay thế
hệ lực này bằng một lực hợp lực và xác
định vị trí của nó so với trục x, y. Lấy F 1
= 30 N, F2 = 40N.
Đáp án:

FR  140 kN; x  5.71 m
y  7.14 m

57

Bài 2-27:
Một hệ lực song song tác dụng v ào
khối hộp như hình vẽ. Hãy xác định hai
lực FC và FD để cho hợp lực của nó qua
O.
Đáp án: FC  600 N; FD  500 N

Bài 2-28:
Một hệ lực song song tác dụng v ào
tấm phẳng như hình vẽ. Hãy xác độ lớn
và vị trí của hợp lực so với trục x, z. Cho
FA = 200 N, F B = 100 N, FC = 400 N.
Đáp án:
FR  700 N; x  0.177 m
z  0.447 m

Bài 2-29:
Hãy xác định độ lớn của hai lực F A
và FB để hợp lực của nó qua điểm O của
cột. Độ lớn của hợp lực lúc đó.
Đáp án:

FA  18 kN; FB  16.7 kN
FR  48.7 kN

Bài 2-30:
Thay thế hệ lực phân bố bằng một hợp lực v à cho biết vị trí của nó từ điểm A ở các
hình vẽ sau:

Đáp án: FR  30 kN; x  3.4 m

Đáp án: FR  7.5 kN; x  1.2 m
58


Đáp án: FR 

1
5
w0 L ; x  L
2
12

Đáp án: FR  3.1 kN; x  2.06 m

Bài 2-31:
Hệ lực phân bố được cho trên hình
vẽ. Thay thế hệ lực nay bằng một hợp lực
và cho biết vị trí của nó cách O.
Đáp án: FR  3900 lb; d  11.3 ft
Bài 2-32:
Xác định mật độ phân bố của hai
thành phần w1 và w2 của hệ lực phân bố
bên dưới để cho hợp lực của nó bằng với
hợp lực của hệ lực phân bố phía tr ên.
Đáp án: w1  190 lb/ft; w2  282 lb/ft

Bài 2-33:
Hai hệ lực phân bố tác dụng lên dầm

như hình vẽ. hãy xác định chiều dài b của
hệ lực phân bố đều và vị trí của nó a để cho
hợp lực và ngẫu lực tác dụng lên dầm bằng
0.
Đáp án: b  4.5 ft; a  9.75 ft

Bài 2-34:
Thay thế hệ lực phân bố bằng một
hợp lực và một ngẫu lực tại A, B.
Đáp án:
FR  577 lb;   47.5 0
M RA  2200 lb.ft; M RB  2800 lb.ft

59