THE TICH KHOI DA DIEN

<span class='text_page_counter'>(1)</span>DAÏY BAØI TAÄP KHOÁI ÑA DIEÄN A. Nội dung nghiên cứu: I. Kiến thức cơ bản: 1) Cho ABC vuông ở A ta có : a) Định lý Pitago : BC 2  AB2  AC 2 b) BA2  BH .BC; CA2  CH .CB c) AB. AC = BC. AH d) e). A. 1 1 1   2 2 AH AB AC 2 AC CB AC sin B  , cosB  , tan B  AB AB CB. C. H. B. 2) Công thức tính diện tích tam giác : * Công thức chung: S. 1 .đáy x cao 2. * Đặc biệt : + ABC vuông ở A : S. 1 AB. AC 2. + ABC đều cạnh a: S . a2 3 4. 3) Công thức tính diện tích các tứ giác: * Diện tích hình vuông: * Diện tích hình chữ nhật * Diện tích hình thang * Diện tích hình bình hành * Diện tích hình thoi 4) Định lý đường trung bình, Talet.. 5) Cách chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng dựa theo định lý: d  a; d  b  d    a, b   ; a  b  . Muốn chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng chứa trong mặt phẳng  d  d a a  . 6) Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa theo định lý:  3.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng sẽ vuông góc với mọi đường thẳng chứa trong mặt phẳng đó. 7) Cách xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  : + Xác định hình chiếu d của a trên mặt phẳng  + Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa d và a 8) Lưu ý về công thức tỉ số thể tích Cho hình chóp SABC, A '  SA, B '  SB , C '  SC , ta có: VSA ' B 'C ' SA ' SB ' SC '  x x VSABC SA SB SC. (*). S. A'. A. B'. C'. B. C. II.Nội dung chính: 1) Bài tập dạng: Tính thể tích khối đa diện bằng cách xác định chiều cao và đáy của khối đa diện. Phương pháp: + Xác định đáy và dựng được chiều cao khối đa diện. + Tính chiều cao, diện tích đáy, thay vào công thức. Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy. Góc giữa SC và đáy bằng 60 . a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. b) Tính thể tích của khối chóp MBCD. Với M là trung điểm của SB Lời giải: S. a)Ta có V  M. B. A. 1 S ABCD .SA 3. + S ABCD  (2a)2  4a 2 + SAC có : SA  AC tan C  2a 6 1 2 8a3 6  V  4a .2a 6  3 3. H. D C. Yêu cầu: + Học sinh xác định được góc. + Xác định được công thức thể tích của khối, tính độ dài đường cao SA. b) Kẻ MH / / SA  MH  ( DBC) +Xác định được đường cao trong 1 1 Ta có: MH  SA , S BCD  S ABCD trường hợp chân đường cao có thể 2 2 không thuộc mặt đáy của khối. 3 1 2a 6 +Sử dụng được hệ thức trong tam giác  VMBCD  V  4 3 vuông Nhận xét: +Học sinh gặp khó khăn khi xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 4.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> +Học sinh gặp khó khăn khi tính SA vì không biết sử dụng hệ thức trong tam giác vuông. Bài 2: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC. a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD. b) Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC). Lời giải: a) Gọi. O. ABC  DO  ( ABC ). là. tâm. của. 1 V  S ABC .DO 3 + S ABC . a2 3 2 a 3 , OC  CI  3 3 4. + DOC vuông có : DO  DC 2  OC 2 . a 6 3. Yêu cầu: 1 a 2 3 a 6 a3 2  V  .  + Học sinh nắm cách vẽ khối tứ diện 3 4 3 12 đều và tính chất đặc biệt của khối. b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M +Xác định được đường cao và ghi thể đến mp(ABC) là MH tích của khối 1 a 6 MH  DO  +Sử dụng được định lý Pitago 2. 3. Nhận xét: + Học sinh đa phần quên tứ diện đều và tính chất các mặt, các cạnh của nó. + Còn yếu trong tính toán độ dài của các yếu tố có trong hình vẽ. + Bài tập này là bài 1/25 sgk cơ bản lớp 12 bổ sung thêm câu b Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB  a 3 , AD = a, AA’=a, O là giao điểm của AC và BD. a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’. c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’. Lời giải: a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V. Ta có : V  AB.AD.AA'  a 3.a 2  a3 3. B. A O M. D. c. ABD có : DB  AB 2  AD2  2a. . A'. D'. B'. * Khối chóp OA’B’C’D’ có đáy và đường cao giống khối hộp nên:. C'. 5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1 a3 3  VOA ' B 'C ' D '  V  Yêu cầu: 3 3 +Học sinh xác định công thức thể b) M là trung điểm BC  OM  ( BB ' C ') tích của khối hộp và khối chóp. 1 1 a 2 a 3 a3 3 +Biết khai thác tính chất của hình hộp  V .  O BB ' C '  S BB ' C ' .OM  . 3 3 2 2 12 đứng để làm bài: Chọn đáy của khối OBB’C’ là (BB’C’) (thuộc mặt bên c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ 3V hình hộp) diện OBB’C’. Ta có : C ' H  OBB 'C ' SOBB ' +Giải được câu b) tương tự như bài 1b ABD có : DB  AB 2  AD2  2a  SOBB ' . 1 2 a  C ' H  2a 3 2. + Bài tập này rèn kỷ năng làm toán trên khối lăng trụ đứng, khối hộp chữ nhật. + Học sinh khắc sâu cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng dựa theo thể tích. 2) Bài tập dạng: Phân chia hoặc lắp ghép khối đa diện để tính thể tích khối đa diện. Phương pháp: Phân chia hoặc lắp ghép khối đa diện theo nhiều khối dễ tính thể tích. (Trên cơ sở phát hiện những khối dễ xác định đường cao và diện tích đáy) Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’. Lời giải: A B Hình lập phương được chia thành: khối D ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC, C D’ACD, AB’A’D’. + Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích và chiều A' B' cao bằng nhau nên có cùng thể tích. D'. C'. 1 1 3 2. 1 6. Khối CB’D’C’ có V1  . a 2 .a  a3 + Khối lập phương có thể tích:. Yêu cầu: +Học sinh biết chọn đáy và chiều cao đối với khối nhỏ đang tính.  VACB ' D '. V2  a3 1 1  a3  4. a3  a3 6 3. Nhận xét: + Học sinh gặp nhiều khó khăn khi phân chia khối, giáo viên hướng dẫn + Bài toán này lấy từ bài tập 3/25 sách giáo khoa chỉ thay đổi giả thiết “hình hộp” thành “hình lập phương cạnh a” có số liệu cụ thể để học sinh dễ tiếp thu. Sau đó, yêu cầu học sinh tự giải bài 3/25 sách giáo khoa ở nhà. Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a. a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC. b) E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối CA’B’FE. 6.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> E. A. C. 1 VA ' B ' BC  S A ' B ' B .CI 3 1 a 2 a 3 a3 3  .  3 2 2 12. F I B. C' A' J. Lời giải: a) Khối A’B’ BC: Gọi I là trung điểm AB, Ta có:. b)Khối CA’B’FE: phân ra hai khối CEFA’ và CFA’B’. +Khối A’CEFcó đáy là CEF, đường cao A’A nên VA 'CEF . B'. 1 SCEF . A ' A 3 1 a2 3 S ABC  4 16 3 a 3  48. SCEF . Yêu cầu: + Học sinh biết cách tính khối A’B’  VA 'CEF BC +Biết phân khối chóp CA’B’FE +Gọi J là trung điểm B’C’. Ta có khối A’B’CF có đáy là CFB’, đường cao JA’ nên thành hai khối chóp tam giác. 1 + Biết được đường thẳng nào vuông VA ' B 'CF  SCFB' . A ' J góc với mp(CEF), ghi công thức thể 3 tích cho khối CEFA’. 1 a2 SCFB'  SCBB '  + Tương tự cho khối CFA’B’ 2 4  VA ' B 'CF . 1 a 2 a 3 a3 3  3 4 2 24. a3 3 + Vậy : VCA'B'FE  16 + Bài tập này lấy từ bài 10/27 SGK 12 cơ bản và thay đổi một số giả thiết. Elà trung điểm thay cho trọng tâm G để bài toán dễ hơn, phù hợp với khả năng của học sinh. +Sau khi gợi ý giúp học sinh tính thể tích khối A’CEF, học sinh tính được thể tích khối A’B’CF 3) Bài tập dạng: Tính thể tích khối đa diện bằng cách lập tỉ số thể tích của hai khối đa diện Phương pháp: + Tìm tỉ số thể tích giữa khối đa diện đã cho với một khối đa diện dễ tìm thể tích . + Rút ra thể tích của khối đa diện đã cho. + Lưu ý công thức tỉ số thể tích dùng cho khối chóp. Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC  a 2 , SA vuông góc với đáy, SA  a a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC. b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng  qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN 7.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Lời giải: S. a)Ta có: VS . ABC . 1 S ABC .SA 3. + SA  a + ABC cân có : AC  a 2  AB  a. N. 1 2 a 2 1 1 a3  . a 2 .a  3 2 6.  S ABC . G A. C M. Vậy: VSABC. I. B b) Gọi I là trung điểm BC. Yêu cầu: SG 2 +Học sinh ghi được thể tích khối G là trọng tâm,ta có :  SI 3 SABC và tính.  // BC  MN// BC +Biết dùng định lý Talet tìm tỉ lệ các SM SN SG 2 đoạn thẳng để lập tỉ số thể tích hai     SB SC SI 3 khối. V SM SN 4  SAMN  .  + Nắm được công thức (*) để lập tỉ số VSABC SB SC 9 thể tích đối với khối chóp 4 2a 3 Vậy: VSAMN  VSABC . 9. 27. Nhận xét: +Một số học sinh không nhớ tính chất trọng tâm tam giác, chưa thành thạo định lý Talet +Qua bài toán đơn giản này học sinh tiếp cận được cách tính thể tích khối thông qua khối khác để chuyển qua bài toán khó hơn trong sách giáo khoa. Bài 7: (Bài 9/26 Sgk) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60 . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. a) Hãy xác định mp(AEMF) b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF Lời giải: S a) Gọi I  SO  AM . Ta có (AEMF) //BD  EF // BD E. B. 1 S ABCD .SO 3  a2. b) VS . ABCD . M. + S ABCD. I C F. + SOC có : SO  AO.tan 60 . O A. Yêu cầu:. D. Vậy : VS . ABCD c) VS . AEMF : 8. a3 6  6. a 6 2.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> +Học sinh dựng được E, F dưới sự pháp vấn của giáo viên. +Tính được thể tích của khối S.ABCD sau khi đã làm qua nhiều bài tập. +Giáo viên gợi ý tính thể tích khối S.AMF. Từ đó học sinh biết cách tính thể tích khối S.AMF bằng cách lập tỉ số ( tương tự như bài 5). Xét khối chóp S.AMF và S.ACD Ta có : . SM 1  SC 2. SAC có trọng tâm I, EF // BD nên: SI SF 2    SO SD 3 V SM SF 1  SAMF  .  VSACD SC SD 3. 1 1 a3 6  VSAMF  VSACD  VSACD  3 6 36.  VS . AEMF. a3 6 a3 6 2  36 18. Nhận xét: +Học sinh gặp khó khăn khi xác định E,F. +Học sinh đã biết cách sử dụng định lý Talet +Sau khi làm bài 6, học sinh tiếp thu bài số 7 dễ dàng hơn Bài 8: (Bài 5/26 Sgk) Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB  a . Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD  a . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD. b) Chứng minh CE  ( ABD) c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF. Lời giải: D a)Tính VABCD Ta có: VABCD . F. 1 1 S ABC . AD  a3 3 3. b) Ta có: AB  AC, AB  CD C.  AB  EC. E B. DB  EC  EC  ( ABD). Ta có:. c) Tính VDCEF : A. Yêu cầu: +Học sinh chứng minh được đường thẳng vuông góc mặt phẳng. +Nắm được nhu cầu tính các tỉ số DE DF , . DA DB. Ta có:. Mà DE.DA  DC 2 , chia cho DA2 . DE DC 2 a2 1    2 2 DA DA 2a 2. Tương tự: DF DC 2 a2 1    2 2 2 DB DB DC  CB 3. +Biết dụng hệ thức trong tam giác vuông để suy ra. VDCEF DE DF  . (*) VDABC DA DB. DE DA. Từ (*)  9. VDCEF 1  . VDABC 6.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Vậy. 1 a3 VDCEF  VABCD  6 36. Nhận xét: + Kỷ năng chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng chưa được tốt. DE DC 2 + Giáo viên giúp học sinh rút ra tỉ số từ hệ thức DE.DA  DC 2 trong tam giác  2 DA DA. vuông và khắc sâu để sử dụng. Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, SA  a 2 . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b) Chứng minh SC  ( AB ' D ') c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Lời giải: S. a) Ta có: VS . ABCD. D'. b) Ta có BC  (SAB)  BC  AB ' Ta có SB  AB ' Suy ra: AB '  (SBC ). B'. C'. c) Tính VS . AB 'C ' D '. I B. A. C. D. AB '  (SBC ). biết. +Tính VS . AB 'C ' : VSA ' B 'C ' SB ' SC '  . (*) VSABC SB SC SC ' 1 SAC vuông cân nên  SC 2 SB ' SA2 2a 2 2a 2 2     Ta có: SB SB 2 SA2  AB 2 3a 2 3 V 1 Từ (*)  SA' B 'C '  VSABC 3. Ta có:. O. Yêu cầu: +Học sinh. 1 a3 2  S ABCD .SA  3 3. chứng. minh. + Biết phân thành hai khối chóp bằng nhau: S. AB ' C ', S. AC ' D ' + Sử dụng tỉ số để giải như bài 7.. 1 a3 2 a3 2  VSA ' B 'C '  .  3 3 9. + VS . AB 'C ' D '  2VS . AB 'C '. 2a 3 2  9. Nhận xét: + Bài toán này lấy từ bài tập 8/26 sách giáo khoa. Tuy nhiên, tôi thay đổi một số giả thiết để phù hợp với khả năng của học sinh: “Hình chữ nhật” được thay bởi hình vuông cạnh a, “Cạnh SA=c” được thay bởi " SA  a 2 " . Nếu giữ nguyên các kích thước như vậy thì việc tính toán quá nặng. 10.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> +Sau khi làm bài 8, học sinh tiếp thu bài toán 9 dễ dàng và nhẹ nhàng hơn. 4)Bài tập về nhà: Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy góc 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABC. Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là giác đều cạnh bằng a, SA vuông góc đáy, SA= a 2 . Gọi H là trực tâm tam giác ABC. a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Tính độ dài đường cao đỉnh A của SABC. Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có AB=a, BC= a 2 , góc giữa AC’ và mp(A’A’C’D’) bằng 30 . M là trung điểm AD a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật. b) Tính thể tích khối MACB’ Bài 4 : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có các cạnh bằng a. a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’, khối tứ diện A.A’B’C’. b) Tính thể tích khối CBA’B’ Bài 5: Cho hình chóp SABC có tam giác SBC và ABC đều cạnh a. Góc giữa mp(SBC) và mp(ABC) bằng 60 . Tính thể tích của khối chóp SABC. Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA  ( ABC ) , tam giác ABC vuông cân tại A, BC = a 2 , SA=2a. E là trung điểm SB, F là hình chiếu của A lên SC. a) Tính thể tích khối chóp S.ABC. b) Tính thể tích khối SAEF. c) Tính khoảng cách từ H đến mp(SAE) Bài 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên 2a, M là trung điểm SB. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính thể tích khối chóp S.DCM c) Mặt phẳng(MCD) cắt SA tại N. Tính thể tích khối chóp S.MNDC Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, ABCD là hình chữ nhật, AB = 2BC=a, SA= a. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) AH, AK là đường cao của tam giác SAB và SAD. Tính thể tích của khối S.AHK. 11.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>