De thi HSG truong lop 12 Mon Toan vong

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Së GD&§T nghÖ an Trêng THPT DTNT Kú S¬n. Kú thi chän häc sinh giái líp 12 N¨m häc: 2010 – 2011. M«n thi: To¸n - Thêi gian: 150. ____________________o00o____________________ Câu 1 (6.0 ®iÓm): y  x 1. 2. 2 x.    . 1) Khảo sát hàm số 2) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình 2. 2.  x 1  2  x   m  1  2  m  C©u 2 (2.0 ®iÓm): Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 1 1 x+ + y+ =5 ¿ x y 1 1 3 3 x + 3 + y + 3 =20 x y. {. C©u 3(2.0 ®iÓm): T×m sè nguyªn d¬ng n sao cho: . C12 n +1 − 2. 2C 22 n+1 +3 .22 C32n +1 − 4 . 23 C 42 n+1 +⋯+(2 n+1)22 n C22 nn +1 +1=2009 C©u 4(2.0 ®iÓm): Tìm m để bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định.. √(4+ x )(6 − x) ≤ x 2 −2 x+ m. C©u 5(2.0 ®iÓm): Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2. 3. 4. 2. 3. 4. sin x+ sin x +sin x+ sin x=cos x +cos x +cos x +cos x. C©u 6(6.0 ®iÓm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung ®iÓm cña SC. MÆt ph¼ng (P) qua AK vµ c¾t c¸c c¹nh SB , SD lÇn lît t¹i M vµ N. §Æt V1= VS.AMKN , V = VS.ABCD. 1) Khi mp(P)//BD, h·y tÝnh tû sè thÓ tÝch 2) §Æt x =. SM SN , y= . TÝnh SB SD. HÕt. V1 V. V1 . V. theo x vµ y..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> đáp án và hớng dẫn chấm C©u 1.1. Néi dung Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số * TX§: R y=∓ ∞ * Giíi h¹n: xlim → ±∞ *B¶ng biÕn thiªn: y’ = 2(x+1)(2-x) – (x+1)2 = (x+1)(3-3x) x=−1 y’ = 0 x=1 ⇔¿ x - ∞ + ∞. y’ y. -1. -. 0. + ∞. 0.5 0.5. 1 +. 0. -. 0.5. 4 0. - ∞. y. *Vẽ đồ thị: y’’= - 6x; y’’= 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = 2. Đồ thị nhận I(0; 2) làm tâm đối xứng. Giao víi Ox: (-1; 0) vµ (2 ; 0).. 4 2 -2. 1.2. §iÓm 3. -1 O. 0.5 1. 2. x. BiÖn luËn sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 3 Số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của đồ thị trên và đờng thẳng y = (m +1)2(2 – m) 0.5 Dựa vào đồ thị ta có: 0.5  Khi (m +1)2(2 - m) > 4 ⇔ m < -2 th× cã 1nghiÖm. 2 0.5  Khi (m +1) (2 - m) = 4 ⇔ m = -2 hoÆc m =1 th× cã 2 nghiÖm. 0.5 2 m + 1¿ ( 2 - m)< 4 ¿ m + 1¿ 2( 2 - m)> 0 Khi ¿ ⇔m ∈( −2 ; 2){−1 ; 1 th× ph¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm. ¿ ¿ ¿ ¿¿ Khi (m +1)2(2 - m) = 0 ⇔ m = -1 hoÆc m = 2 th× cã 2. . . 0.5 0.5. nghiÖm.  Khi (m +1)2(2 - m) < 0 ⇔ m > 2 th× cã 1nghiÖm. 2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh §Æt. {. 1 x+ =u x 1 y+ =v y. , §iÒu kiÖn: |u|≥ 2;|v|≥2 .. 2.0 0.5 0.5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> u +v =5 u − 3u+ v 3 −3 v =15 u=2 v=3 u=3 v=2 ⇔ u+ v=5 ⇔ ¿ uv =6. Tacã hÖ. {. 0.5. 3. { {. 0.5. {. Suy ra c¸c nghiÖm lµ:. ( 3+2√ 5 ; 1) ( 3−2√ 5 ; 1) (1 ; 3+2√5 ) (1 ; 3 −2√5 ) 3. T×m sè nguyªn d¬ng n XÐt hµm sè:. 2. 1+ x ¿2 n +1 f (x)=¿ 2n +1 = C02 n +1+C 12 n+1 x+C 22 n+1 x 2+C 32 n+1 x3 +C 42 n+1 x 4 +⋯+C 22 n+1 . n+1 x 2n 1+ x ¿ Ta cã = f ' ( x)=(2 n+1)¿ 2n = C12 n +1+ 2C 22 n+1 x +3 C 32n +1 x 2 +4 C 42 n+1 x 3+⋯+(2 n+ 1) C22 nn +1 . +1 x Do đó f ' (−2)=2 n+1=¿ = C12 n +1 − 2. 2C 22 n+1 +3 .22 C32n +1 − 4 . 23 C 42 n+1 +⋯+(2 n+1)22 n C22 nn +1 +1. Suy ra: 1. 2. 2. 3. 3. 4. 2n. 0.5. 0.5 0.5 0.5. 2 n +1. C2 n +1 − 2. 2C 2 n+1 +3 .2 C 2n +1 − 4 . 2 C 2 n+1 +⋯+(2 n+1)2 C2 n +1=2009 ⇔ 2n + 1 = 2009 ⇔ n = 1004. 4. Tìm m để bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định. √(4+ x )(6 − x) ≤ x 2 −2 x+ m §Æt √ (4+ x )(6 − x)=t t2 = -x2 + 2x + 24 ⇒ Do − 4 ≤ x ≤ 6 suy ra 0 ≤t ≤5 Khi đó ta có bất phơng trình: t2 + t – 24 m.(*) XÐt hµm sè g(t)=t 2 +t − 24 trªn ®o¹n [0 ; 5]. Cã b¶ng biÕn thiªn: t 0 5 g’(t) + g(t) 2. 2 0.5 0.5. 0.5. -24. 5. Để bpt đã cho nghiệm đúng mọi x thuộc TXĐ thì bpt (*) phải nghiệm đúng với mọi t thoả mãn 0 ≤t ≤5 . Tõ b¶ng biÕn thiªn suy ra: m≥ 2 .. 0.5. Gi¶i ph¬ng tr×nh:. 2. 2. 3. 4. 2. 3. 4. sin x+ sin x +sin x+ sin x=cos x +cos x +cos x +cos x (*) (*) ⇔ (sinx - cosx)[2 +2(sinx+ cosx) + sinxcosx] = 0 sin x − cos x=0(1) ¿ 2+2(sin x +cos x)+ sin x cos x=0 (2) ⇔¿. 0.5 0.5 0.5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> π (1)⇔ tan x=1 ⇔ x= +kπ (k ∈ Z) 4. 0.5 π 4. Gi¶I (2): §Æt t=sin x+ cos x=√ 2sin ( x+ )⇒|t|≥ √2 t 2− 1 . ⇒ sin x cos x= 2 Tacã t2 + 4t +3 = 0 ⇔ t = -1 v t = -3(lo¹i) Víi t = -1 ⇒ sin( x + π )=− √ 2 =sin(− π ) 4 2 4 π x=− + m2 π (m∈ Z) 2 x=π +n 2 π ¿(n ∈ Z ) ⇔¿. 6.1. Khi mp(P)//BD, h·y tÝnh tû sè thÓ tÝch. V1 . V. 3. Gọi O là giao điểm của 2đờng chéo. I lµ giao ®iÓm cña AK vµ SO. Do (P)//BD, qua I kẻ đờng song song với BD c¾t SB vµ SD t¹i M vµ M. Trong tam gi¸c SAC cã I lµ träng t©m Suy ra: SM 2 SN 2 = ; = . SB 3 SD 3. V× SABCD lµ hbh nªn Vs.ABC = Vs.ADC =. 1. S. 1 V. 2A. K. N I D. V S . AMK SM SK 2 1 1 1 = . = . = ⇒ V S .AMK = V V S . ABC SB SC 3 2 3 6 1 T¬ng tù ta cã V S . ANK= V 6. Ta cã. M O. B. 0.5 C 0.5 1. Mµ V = Vs.ABC + Vs.ADC vµ V1 = VS.AMK+ VS.ANK V1 1 = V 3 SM §Æt x = , y= SB V S . AMK SM Ta cã = V S . ABC SB. Suy ra 6.2. V1 SN . TÝnh theo x vµ y. SD V SK 1 x . = x ⇒ V S .AMK = V SC 2 4 y T¬ng tù ta cã V S . ANK= V 4 V 1 x+ y Suy ra (1) = V 4. 3 1 1 1.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>