Đề thi HSG trường lớp 12 Môn Toán vòng

Sở GD&ĐT nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12
Trờng THPT DTNT Kỳ Sơn

Năm học: 2010 2011.
Môn thi: Toán - Thời gian: 150
____________________o00o____________________
Cõu 1 (6.0 điểm):
1) Kho sỏt hm s
( ) ( )
2
1 2y x x= +
.
2) Da vo th bin lun theo m s nghim phng trỡnh

( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 2 1 2x x m m+ = +
Câu 2 (2.0 điểm):
Giải hệ phơng trình:








=+++
=+++
20
11

5
11
3
3
3
3
y
y
x
x
y
y
x
x
Câu 3(2.0 điểm):
Tìm số nguyên dơng n sao cho:

20092)12(2.42.32.2
12
12
24
12
33
12
22
12
1
12
=++++
+

+++++
n
n
n
nnnn
CnCCCC
.
Câu 4(2.0 điểm):
Tìm m để bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định.

mxxxx
++
2)6)(4(
2
Câu 5(2.0 điểm):
Giải phơng trình:

xxxxxxxx
432432
coscoscoscossinsinsinsin
+++=+++
Câu 6(6.0 điểm):
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung
điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AK và cắt các cạnh SB , SD lần lợt tại
M và N. Đặt V
1
= V
S.AMKN
, V = V
S.ABCD

.
1) Khi mp(P)//BD, hãy tính tỷ số thể tích
V
V
1
.
2) Đặt x =
SB
SM
, y=
SD
SN
. Tính
V
V
1
theo x và y.
Hết
đáp án và hớng dẫn chấm
Câu Nội dung Điểm
1.1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3
* TXĐ: R
* Giới hạn:
=

y
x
lim
*Bảng biến thiên:
y = 2(x+1)(2-x) (x+1)

2
= (x+1)(3-3x)
y = 0



=
=

1
1
x
x
x -

-1 1
+

y - 0 + 0 -
y +

*Vẽ đồ thị:
y= - 6x; y= 0

x = 0

y = 2.
Đồ thị nhận I(0; 2) làm tâm đối xứng.
Giao với Ox: (-1; 0) và (2 ; 0).
0.5

0.5
0.5
0.5
1.2 Biện luận số nghiệm của phơng trình 3
Số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của đồ thị trên và đ-
ờng thẳng y = (m +1)
2
(2 m)
Dựa vào đồ thị ta có:
Khi (m +1)
2
(2 - m) > 4

m < -2 thì có 1nghiệm.
Khi (m +1)
2
(2 - m) = 4

m = -2 hoặc m =1 thì có 2
nghiệm.
Khi
{ }
1;1\)2;2(
0 m) - (21) (m
4m) - (21) (m
2
2

>+
<+
m
thì phơng trình
có 4 nghiệm.
Khi (m +1)
2
(2 - m) = 0

m = -1 hoặc m = 2 thì có 2
nghiệm.
Khi (m +1)
2
(2 - m) < 0

m > 2 thì có 1nghiệm.
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
2 Giải hệ phơng trình 2.0
4
-

0
O
y

x
-1
1
2
4
2
-2
Đặt







=+
=+
v
y
y
u
x
x
1
1
, Điều kiện:
2;2

vu
.

Tacó hệ



=+
=+
1533
5
33
vvuu
vu









=
=



=
=

=
=+

2
3
3
2
6
5
v
u
v
u
uv
vu
Suy ra các nghiệm là:








+
1;
2
53

1;
2
53








+
2
53
;1

2
53
;1
0.5
0.5
0.5
0.5
3 Tìm số nguyên dơng n 2
Xét hàm số:
12
)1()(
+
+=
n
xxf
=
1212
12
44
12
33
12
22
12
1
12
0
12

++
++++++
++++++
nn
nnnnnn
xCxCxCxCxCC
.
Ta có
n
xnxf
2
)1)(12()('
++=
=
=
nn
nnnnn
xCnxCxCxCC
212
12
34
12
23
12
2
12
1
12
)12(432
+

+++++
++++++

.
Do đó
=+=
12)2(' nf
=
12
12
24
12
33
12
22
12
1
12
2)12(2.42.32.2
+
+++++
++++
n
n
n
nnnn
CnCCCC
Suy ra:
20092)12(2.42.32.2
12

12
24
12
33
12
22
12
1
12
=++++
+
+++++
n
n
n
nnnn
CnCCCC

2n + 1 = 2009

n = 1004
0.5
0.5
0.5
0.5
4 Tìm m để bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x thuộc tập
xác định.
mxxxx
++
2)6)(4(

2
2
Đặt
txx
=+
)6)(4(


t
2
= -x
2
+ 2x + 24
Do
64

x
suy ra
50

t
Khi đó ta có bất phơng trình:
t
2
+ t 24

m.(*)
Xét hàm số
24)(
2

+=
tttg
trên đoạn [0 ; 5].
Có bảng biến thiên:
t 0 5
g(t) +
g(t) 2
-24
Để bpt đã cho nghiệm đúng mọi x thuộc TXĐ thì bpt (*) phải
nghiệm đúng với mọi t thoả mãn
50

t
.
Từ bảng biến thiên suy ra:
2

m
.
0.5
0.5
0.5
0.5
5 Giải phơng trình:
xxxxxxxx
432432
coscoscoscossinsinsinsin
+++=+++
(*)
2

(*)

(sinx - cosx)[2 +2(sinx+ cosx) + sinxcosx] = 0




=+++
=

)2(0cossin)cos(sin22
)1(0cossin
xxxx
xx
)(
4
1tan)1( Zkkxx
+==


GiảI (2): Đặt
2)
4
sin(2cossin
+=+=
txxxt

2
1
cossin

2

=
t
xx
.
Tacó t
2
+ 4t +3 = 0

t = -1 v t = -3(loại)
Với t = -1
)
4
sin(
2
2
)
4
sin(

==+
x





+=
+=

)(2
)(2
2
Znnx
Zmmx



0.5
0.5
0.5
0.5
6.1
Khi mp(P)//BD, hãy tính tỷ số thể tích
V
V
1
.
3
Gọi O là giao điểm của 2đờng chéo.
I là giao điểm của AK và SO.
Do (P)//BD, qua I kẻ đờng song song với
BD cắt SB và SD tại M và M.
Trong tam giác SAC có I là trọng tâm
Suy ra:

3
2
=

SB
SM
;
3
2
=
SD
SN
.
Vì SABCD là hbh nên V
s.ABC
= V
s.ADC
=
2
1
V.
Ta có
VV
SC
SK
SB
SM
V
V
AMKS
ABCS
AMKS
6
1

3
1
2
1
.
3
2
.
.
.
.
====
Tơng tự ta có
VV
ANKS
6
1
.
=
Mà V = V
s.ABC
+ V
s.ADC
và V
1
= V
S.AMK
+ V
S.ANK
Suy ra

3
1
1
=
V
V
1
0.5
0.5
1
6.2
Đặt x =
SB
SM
, y=
SD
SN
. Tính
V
V
1
theo x và y.
3
Ta có
V
x
Vx
SC
SK
SB

SM
V
V
AMKS
ABCS
AMKS
42
1
.
.
.
.
===
Tơng tự ta có
V
y
V
ANKS
4
.
=
Suy ra
4
1
yx
V
V
+
=
(1)

1
1
1
S
C
A
B
D
N
K
M
O
I