ĐỀ THI HSG TRƯỜNG LỚP 12

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA
GV: Trần Đình Hiền
KỲ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG
NĂM HỌC : 2009 - 2010
MÔN THI : TOÁN - LỚP 12
Thời gian làm bài : 180 phút
Câu I:
1) Giải phương trình :
( )
1 1 sin 2
1 sin 2 cos sin
2 2 cos sin
x
x x x
x x
+
− − =
+ −
2) Cho x,y > 0 thỏa mãn
5
2
4
x y
π
+ <
. Chứng minh rằng :
.sin
cos( )
.sin
y x

x y
x y
+ <
.
Câu II:
1) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :
(
)
2
2
2 2 2 2
1 8
( 3) 1 16
mxy y y
y x y my y

+ − =


− + − − =


2) Tính tổng :
0 1 2 2007 2008
2008 2008 2008 2008 2008 2008
... ...
1.2 2.3 3.4 ( 1)( 2) 2008.2009 2009.2010
k
C C C C C C
S

k k
= + + + + + + +
+ +
,
(k ∈ N, 0≤ k ≤ 2008).
Câu III:
1) Cho x,y ≥ 0 và x
2
+ y
2
= 1 .Tìm GTNN, GTLN của
2 2
1 1
x y
P
y x
= +
+ +
2) Cho dãy số (u
n
) với u
1
= 1 và
1
1 2
2
n n
n
u u
u

+
 
= +
 ÷
 
, với n ∈ N, n ≥ 2 . Chứng minh dãy số (u
n
) hội
tụ và tính lim u
n
.
Câu IV:
1) Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(2; - 1) và
1 1
cos ;cos
2 10
A B= = −
. Tìm tọa độ đỉnh C.
2) Cho hình chóp S.ABC , M là một điểm bên trong tam giác ABC. Qua M vẽ những đường thẳng lần
lượt song song với các cạnh SA, SB, SC cắt các mặt SBC, SCA, SAB theo thứ tự tại A’, B’, C’.
a) Chứng minh rằng:
' ' 'MA MB MC
SA SB SC
+ +
có giá trị không đổi khi M thay đổi khi M di động trong
tam giác ABC.
b) Xác định M để MA’.MB’.MC’ có giá trị lớn nhất.
Câu V:
Cho hàm số f:
R R→

thỏa mãn điều kiện
( ) ( ) ( )
2, ,
3
f x f y f xy
x y x y R
−
= + + ∀ ∈
Hãy tính giá trị f(2009).
…………..Hết …………..
HD:
I.1) Đặt t = cosx - sinx,
| | 2t ≤
,
sinxcosx =
2
1
2
t−
; PT ⇔ t =0; ± 1
III.1) Đặt t = xy, 0 ≤ t ≤
1
2
. P
2
= f(t) = ?
I.2) BĐT ⇔
sin( 2 ) s
2
inxx y

x y x
+
<
+
Xét hs
sin
( )
x
f x
x
=
, hàm số nghịch biến trên
k’(0;+ ∞).
III.2) C/m: u
n
> 0 ∀ n ∈ N*, và c/m u
n+1
≥
2
.
C/m: u
n+1
- u
n
< 0.
Dãy số giảm bị chặn dưới suy ra hội tụ.
Giải sử L = limu
n
. Giải PT
1 1

2
L L
L
 
= +
 ÷
 
⇔
2L =
II.1) HPT chuyển về đt ∆ và đường tròn(C). HPT
có nghiệm ⇔
( , )d I R∆ <
IV.1) Tính SinA, sinB = ?, sin C = sin(A + B) = ?
Áp dụng ĐL sin . suy ra AC = ?, BC = ?
Gọi C(x;y). Giải HPT
II.2)
2
2008 2010
( 1)( 2) 2009.2010
k k
C C
k k
+
=
+ +
IV.2)
C1) Định lí Talet
C2: Tỷ số thể tích
' ' '
'. '. '

. .
SA B C
SABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
=
V. Cho x = y = 0 ⇒ f(0) = ?
Cho y = 0 ⇒ f(x) = ?
SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA
GV: Trần Đình Hiền
KỲ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG
NĂM HỌC : 2009 - 2010
MÔN THI : TOÁN - LỚP 12
Thời gian làm bài : 180 phút
Câu I:
1) Giải phương trình :
3 2
2 3 4 1xx x x x+ + − = + − −
2) Tìm m để phương trình :
( )
4 4
4 sin cos (3 2 ) cos2 1- 0x x m x m+ + − + =
có đúng 2 nghiệm thuộc
đoạn
;
6 4
π π
 

−
 
 
.
Câu II:
1) Tính tổng S =
( )
2010
2
2010
0
k
k
k C
=
∑
2) Gieo đồng thời 3 con xúc xắc. Người chơi thắng cuộc nếu có ít nhất 2 con xúc xắc xuất hiện mặt 6
chấm. Tính xác suất để trong 3 ván người chơi đó thắng ít nhất là 2 ván.
3) Cho a,b,c ≥ 0 thỏa mãn a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. CMR:
1 2
1 1 1
a b c
bc ca ab
≤ + + ≤

+ + +
Câu III:
1) Chứng minh rằng: a)
( )
sin tan , 0;
4
x x x
π
 
≥ ∀ ∈
 
 
; b)
2 2 2
1 1 4
1 , 0;
sin 2
x
x x
π
π
 
≤ + − ∀ ∈


 
2) Cho tam giác ABC có
3
2
a

a
h b c+ = +
. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
3) Cho phương trình:
1
... 1 0
n n
x x x
−
+ + + − =
. Chứng tỏ rằng với mỗi n nguyên dương phương trình
có đúng 1 nghiệm dương x
n
và tìm lim x
n
.
Câu IV:
1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi C’ là trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng
(α) qua AC’ cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B’ , D’ . Đặt
;
' '
D
D
SB S
x y
SB S
= =
. Chứng minh rằng:
4 1 1 3
3 2x y

≤ + ≤
2) Cho tam giác ABC đều cạnh a, trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại A lấy điểm S, đặt
SA = x, (x > 0). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC . Gọi P là giao điểm của hai
đường thẳng d và HK.
a) CMR: HK ⊥ (SBC).
b) Tìm x để thể tích khối tứ diện SBCP nhỏ nhất.
3) Cho hai đường tròn (C
1
): x
2
+ y
2
- 2x - 2y - 14 = 0, (C
2
): x
2
+ y
2
- 4x + 2y - 20 = 0. Viết phương
trình đường thẳng ∆ sao cho đường thẳng ∆ cắt (C
1
) tại A,B và cắt (C
2
) tại M,N thỏa mãn
2 7, 8AB MN= =
.
Câu V:
Tìm đa thức P(x) , biết
( )
[ ]

2
2
2 ( )xP x P x− =
, ∀ x ∈ R.
………… Hết ……….
SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA
GV: Trần Đình Hiền
KỲ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG
NĂM HỌC : 2009 - 2010
MÔN THI : TOÁN - LỚP 12
Thời gian làm bài : 180 phút
Câu I:
1) a) Lập công thức tính các tổng:
1 1
sin ; cosa
n n
k k
k k
A B a
= =
= =
∑ ∑
, trong đó (a
n
) là cấp số cộng với công
sai d. Từ đó tính
3 5
cos cos cos
7 7 7

P
π π π
= + +
.
b) Tính
2 2 2
2 3
sin sin sin
7 7 7
A
π π π
= + +
2) a) Giải phương trình: tanx + tan2x = - sin3x.cos2x.
b) Tìm m để phương trình m(sinx + cosx + 1) = 1 + sin2x có nghiệm thuộc đoạn
0;
2
π
 
 
 
.
3) a) Cho tam giác ABC có A > B > C. Tìm GTNN của hàm số
sin sin
1
sin sin
Ax x B
y
x C x C
− −
= + −

− −
.
b) Cho x,y,z > 0 thỏa mãn xz - zy - xy = 1. Tìm GTLN của
2 2 2
2 2 2
2 2 3
1 1 1
x zy
P
x y z
= − +
+ + +
Câu II:
1) a) Cho khai triển P =
2 2009 2009
0 1 2009
(1 ) (1 ) .... (1 ) ....x x x a a x a x+ + + + + + = + + +
. Tính a
10
.
b) Tính tổng
3 3 3 3
3 4 5 2010
2 3 .... 2008S C C C C= + + + +
.
2) Chọn ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số. Tính xác suất để số vé không có số 1 hoặc không có số
5.
3) Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 1 nghiệm: x
5
- x

2
- 2x - 1 = 0.
Câu III:
1) Cho hàm số
3
1
sin 0
( )
0 0
nÕu
nÕu
x x
f x
x
x

≠

=


=

. Tính f’(x) và chứng minh f’(x) liên tục tại điểm x = 0.
2) Cho dãy số (x
n
) với 0 < x
1
< 1 và
2

1
n
n n
x
x x
n
+
 
= +
 ÷
 
. Chứng minh rằng dãy số (x
n
) có giới hạn là a
và khi đó lim n(a - x
n
) = a
2
.
3) Cho hàm số y = f(x) = x
3
- 3x + 2 có đồ thị (C). Giả sử M,N,P là ba điểm thẳng hàng và cùng thuộc
đồ thị (C). Các tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M,N,P cắt đồ thị (C) lần lượt tại M’,N’,P’. Chứng minh
M’, N’, P’ thẳng hàng.
Câu IV:
1) Cho hai elíp:
2 2 2 2
1 2
2 2 2 2
( ) : 1; ( ) : 1

4 4

x y x y
E E
a b a b
+ = + =
, (a > b > 0). Từ điểm M trên (E
2
) kẻ hai tiếp
tuyến đến (E
1
) , hai tiếp tuyến này cắt (E
2
) tại N, P. Chứng minh đường thẳng NP là tiếp tuyến của
(E
1
).
2) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Dựng đoạn thẳng MN với M ∈ AC’, N ∈ B’D’ và MN// A’D.
3) Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC = a và SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau.
a) Xác định mặt phẳng (P) sao cho tổng diện tích hình chiếu của các mặt của tứ diện SABC lên mặt
phẳng (P) đạt GTLN.
b) Gọi α, β, γ lần lượt là góc tạo bởi mp(P) với (SBC), (SCB), (SAB). Chứng minh α+ β + γ < π.
Câu V: Tìm hàm số f , biết
1
( ) 1
x
f x f x
x
−
 

+ = +
 ÷
 
, với x ≠ 0, 1.
…………Hết………….