Bài toán chứng minh các đường thẳng đồng quy

1

Chủ đề

Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy

6

CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH
ĐỒNG QUY

F. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY
MỤC LỤC
F. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY ............................................................. 1
Bài tập có giải ............................................................................................................................. 2
Một số bài tập tự rèn: .............................................................................................................. 16

CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG

Cách 1. Lợi dụng định lí về các đường đồng quy trong tam giác
 Sử dụng định lí ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm
 Sử dụng định lí ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đó gọi
là trọng tâm của tam giác.
 Sử dụng các định lí: 1.Ba đường phân giác của tam giác đồng quy tại một điểm.
 Giao điểm của hai đường phân giác ngoài nằm trên đường phân giác trong của góc thứ
ba.
 Sử dụng định lí ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm.
Cách 2. Sử dụng tính chất các đường chéo cắt nhau tai trung điểm mỗi đường của của hình
bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng.
Cách 3. Lùi về quen thuộc, chứng minh ba điểm thẳng hàng hoặc giao điểm của hai đường
nằm trên đường thẳng thứ ba.

Chúc các em học sinh học tập tốt!

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.


2

Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy
Bài tập có giải
Sử dụng tính chất các đường chéo cắt nhau tai trung điểm mỗi đường của của hình
bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng.
Bài 1: Trên hình vẽ bên, cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng:
a) EFGH là hình bình hành.
b) Các đường thẳng AC , BD, EF , GH đồng quy.
Hướng dẫn giải
a) Chứng minh rằng
=
EG HF
=
; EH GF .
b) Gọi O là giao điểm của AC và EF . Tứ giác AECF

có AE = CF , AE / /CF nên là hình bình hành.. Suy ra O

là trung điểm của AC , EF .

ABCD là hình bình hành, O là trung điểm của AC

nên O là trung điểm của BD .

EGHF là hình bình hành, O là trung điểm của EF nên O là trung điểm của GH .

Vậy AC , BD, EF , GH đồng quy tại O .
Lợi dụng các đường đồng quy trong tam giác: đồng quy tại trực tâm, trọng tâm, tâm
đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Bài 2: Từ một điểm C ở ngoài đường tròn ( O ) kẻ

I

các tuyến CBA . Gọi IJ là đường kính vng góc
với AB . Các đường thẳng CI , CJ theo thứ tự cắt

M
A

đường tròn ( O ) tại M , N . Chứng minh rằng
IN , JM , AB đồng quy tại một điểm D .

B

C

D
O

Hướng dẫn giải
M thuộc đường trịn đường kính IJ nên
= 90° hay JM ⊥ CI
JMI

Tương tự IN ⊥ CJ
Tam giác CIJ có 3 đường cao CA, JM , IN đồng quy tại D .
Vậy IN , JM , AB đồng quy tại một điểm D .
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

N

J


3

Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường trịn (O)
có đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại. D. đường thẳng AD cắt
đường tròn (O) tại S.
1. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB.
3. Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng
BA, EM, CD đồng quy.
4. Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE.
5. Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE.
Hướng dẫn giải
C

C

2 1

12 3

D

3
2
1

S

F

H×nh a

O

O

S

M

E

1 2

2

3

A

1

D

2

M

F

E

1
1 2

B

1
2

A

3

1

2

H×nh b

B

 = 900 ( vì tam giác ABC vng tại A); MDC
 = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa
1. Ta có CAB
 = 900 như vậy D và A cùng nhìn BC dưới một góc bằng 900 nên
đường trịn ) => CDB

A và D cùng nằm trên đường trịn đường kính BC => ABCD là tứ giác nội tiếp.
= C
 ( nội tiếp cùng chắn cung AB).
2. ABCD là tứ giác nội tiếp => D
1
3
= C
 => SM
= C
 (hai góc nội tiếp đường tròn (O) chắn hai cung bằng
 => C
 = EM
D
1
3
2
3

nhau) => CA là tia phân giác của góc SCB.
TH2 (Hình b)


 (cùng phụ 
 (cùng bù 
 = CDS

ABC = CME
ACB ); 
ADC ) => CME
ABC = CDS
 =CS
 ⇒ SM
 =EM
 => SCM
 = ECM
 => CA là tia phân giác của góc SCB.
=> CE

3. Xét ∆CMB Ta có BA⊥CM; CD ⊥ BM; ME ⊥ BC như vậy BA, EM, CD là ba đường cao
của tam giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy.
=
 = EM
 => D
4. Theo trên Ta có SM
D2 => DM là tia phân giác của góc ADE.(1)
1

Tốn Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.


4

Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy
 = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) => MEB
 = 900 .
5. Ta có MEC
 = 900 ; MEB
 = 900 => MAB
 + MEB
=
Tứ giác AMEB có MAB
1800 mà đây là hai góc

.
đối nên tứ giác AMEB nội tiếp một đường tròn => 
A2 = B
2
 ( nội tiếp cùng chắn cung CD)
Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp => 
A1 = B
2

=> A1 = 
A2 => AM là tia phân giác của góc DAE (2)
Từ (1) và (2) ta có M là tâm đường trịn nội tiếp tam giác ADE.
Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H
khơng trùng O, B); trên đường thẳng vng góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngồi
đường trịn; MA và MB thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và.

D. Gọi I là giao điểm của

AD và BC.

1. Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I.
3. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội
Hướng dẫn giải

M
C

0
 = BDA=90

1. BCA
( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) ….

 + IDM
 =
=> MCI
1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác

MCID nên MCID là tứ giác nội tiếp.
2. AD, MC, MH là ba đường cao của tam giác BAM nên

K
I

A

O

H

D
B

đồng quy tại I.
3. Chỉ ra KCI là tam giác cân, từ đó



CIK
= HIB
= CAB
= 
ACO

 = 900 …. (tự chứng minh)

 = KCI
 + OCI
 = 900 . Từ đó chỉ ra OCK
ACO + OCI

Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Tiếp tuyến tại B và C của
đường tròn (O;R) cắt nhau tại T, đường thẳng AT cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D
khác A.
1.Chứng minh rằng ∆ABT ” ∆  .
BDT
2. Chứng minh rằng : AB.CD = BD.AC
3. Chứng minh rằng hai đường phân giác góc BAC; BDC và đường thẳng BC đồng
quy tại một điểm

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.


5

Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy
Hướng dẫn giải

1. Xét tam giác ABT và tam giác BDT có:
 chung
BTD

 = TBD
 (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp
BAT
tuyến và dây cùng chắn cung BD).
=> ∆ABT ” ∆  .
BDT (g-g)
2. Có ∆ABT ” ∆  .
BDT (g-g)
AB AT
=
>
= (1)
BD BT
Chứng minh được ∆ACT ” ∆CDT (g-g)
AC AT
=
>

=(2)
CD CT
Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại T nên BT = CT
(3)
AB AC
BD. AC
=
=
> AB.CD =
Từ (1), (2), (3) có
BD CD
3. Phân giác góc BAC cắt BC tại I, theo tính chất phân giác trong tam giác ta có:
IB AB
=
IC AC
AB BD
IB BD
>
==
>
=
Từ AB.CD = BD.AC =
AC CD
IC CD
=> DI là phân giác góc BDC
Do đó hai đường phân giác góc BAC và BDC và đường thẳng BC đồng quy.

Bài 6: Cho nửa đường trịn ( O) đường kính AB. Vẽ 2 tiếp tuyến Ax và By. Lấy M trên
đường tròn sao cho AM < BM. AM cắt By tại F, BM cắt Ax tại E.
a. Chứng minh: AB 2 = AE.BF

b. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt AE, BF tại C và D. Chứng minh C và D là trung
điểm của AE và BF.
c. Chứng minh các đường thẳng AB, CD, EF đồng quy.
Hướng dẫn giải

 = 90º (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ⇒ AM ⊥ BE
a. Ta có AMB
Xét ∆EAB và ∆ABF có:

)
  AEB
 = FAB
 (cùng phụ với EAM
EAB=ABF;
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.


6

Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy
Suy ra ∆EAB ~ ∆ABF ( g.g)
⇒

AB AE
⇔ AB2 = AE. BF
=
BF AB

b. CA = CM và CO là tia phân giác


của ACM

⇒ ∆AMC cân tại C và CO là đường cao ⇒ CO ⊥ AM

Do đó trong ∆ABE có OA=OB, OC//BE nên CA=CE.
c. Gọi giao điểm của AB và EF là S. Ta sẽ chứng minh
S, C, D thằng hàng.
Giả sử SC cắt BF tại D’. Vì AE // BF nên theo định lí Ta-let, có:
AC BD'
=
=1 ⇒ D’ là trung điểm của BF
CE D'F
⇒ D trùng với D’ hay S, C, D thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng AB, EF, CD đồng quy tại S.
Bài 7: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường trịn (O; R) . H là trực
tâm của tam giác ABC . Vẽ đường kính AD của đường trịn (O ) ; vẽ OM  BC tại M .
1
2

a) Chứng minh rằng OM  AH
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Chứng minh rằng H ,G,O thẳng hàng và
HG  2GO .
c) Gọi B ,C  lần lượt là trung điểm của các cạn CA, AB . Đường thẳng d1 qua M song
song với OA , đường thẳng d2 qua B  song song với OB , đường thẳng d3 qua C 
song song với OC .
Chứng minh rằng các đường thẳng d1, d2 , d3 đồng qui.

d1 A

Hướng dẫn giải

N

a) HB  AC ( H là trực tâm của ABC )
  900 BH  AC , DC  AC
AD là đường kính nên ACD
 BH  DC

Chứng minh tương tự có: CH  DB
Do đó tứ giác BHCD là hình bình hành
Tốn Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

H
B

G O
C

M
D


7

Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy
Ta có: O A  BC
 M là trung điểm của HD
OM là đường trung bình của AHD nên OM 

1
AH
2

2
3

b) ABC có AM là đường trung tuyến, G thuộc đoạn thẳng AM và AG  AM nên
G là trọng tâm của tam giác AHD . HO là đường trung tuyến nên HO đi qua G và
HG  2GO
Gọi N là giao điểm của d1 với AH
HAD có MN  AD , M là trung điểm của HD

 N là trung điểm của AH
1
2

Ta có: NH  OM ( AH ), NH  OM
Do đó HNOM là hình bình hành.
 d1 đi qua trung điểm I của OH

Chứng minh tương tự có d2 , d3 đi qua I
Vậy các đường thẳng d1, d2 , d3 đồng quy
Bài 8: Trên các cạnh AB, BC của tam giác ABC dựng ra phía ngồi tam giác các hình
vng ACA1A2 và BCB1B2 . Chứng minh rằng các đường thẳng AB1, A1B, A2B2 đồng quy.
B1

Hướng dẫn giải
Trường hợp 1: C  900 . Rõ ràng AB1, A1B, A2B2 đồng quy tại C .

A2

Trường hợp 2: C  900
Các đường trịn ngoại tiếp hình vng ACA1A2 và BCB1B2
Có điểm chung c sẽ cắt nhau tại M (khác C )

C
B2

A2
A

  450
(góc nội tiếp chắn cung một phần tư đường trịn)
Ta có: AMA
2


A
MC  A
AC  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
2
2
  450
Tương tự: CMB
1

Vì tia MA2 nằm giữa hai tia MA và MC ,tia MC nằm giữa hai tia MB và MA2
 A


  450  900  450  1800
MC  CMB
nên AMA
2
2
1

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

B


8

Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy
hay A, M , B thẳng hàng.
Chứng minh tương tự A1, M , B và A2 , M , B2 thẳng hàng
Vậy AB1, A1B và A2B2 cùng đi qua M
Hay AB1, A1B và A2B2 đồng quy.
Bài 9: Cho đường tròn (O; R) , đường kính BC , A là điểm trên đường tròn ( A khác B
và C ). Kẻ AH vng góc với BC ( H thuộc BC ). Đường trịn tâm I đường kính AH
cắt AB, AC và đường tròn (O) tại D, E , F
a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp
b) Chứng minh OA vng góc với DE
c) Chứng minh các đường thẳng AF , DE , BC đồng quy
d) Cho biết sđ 
AB= 60° . Tính theo R diện tích tứ giác BDEC
Hướng dẫn giải

A

E

F
S

D
B

I
H

O

C

a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp:
Ta có: 
ADH= 
AEH= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
ADE = 
AHE (góc nội tiếp cùng chắn cung AE )
Ta lại có: 

 )
AHE = 
ACB (cùng phụ với EHC

Vậy tứ giác BDEC nội tiếp (góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện)

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

9

Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy
b) Chứng minh OA ⊥ DE :
= OB
= R)
Ta có: ∆OAB cân tại O ( OA
=
 . Mà OBA
+
OBA
ACB =°
90 ( ∆ABC vuông tại A )
⇒ OAB


AHE = 
ACB
+
⇒ OAB
ADE =°
90 hay OA ⊥ DE

c) Chứng minh các đường thẳng AF , DE , BC đồng quy:
Gọi S là giao điểm của AF và BC
∆SAO có: AH ⊥ BC (gt)
OI ⊥ AS (tính chất đường nối tâm của 2 đtr cắt nhau)

⇒ SI ⊥ OA (đường cao thứ ba trong ∆SAO )

Mà OA ⊥ DE (câu b)
⇒ S , D, I , E thẳng hàng hay đường thẳng DE qua S .

Vậy các đường thẳng AF , DE , BC đồng quy
d) Tính theo R diện tích tứ giác BDEC :
sd 
AB 60°
Ta có: ∆ABC vng tại A , 
ACB=
=
= 30°
2

1
R.
R;
AB BC.sin=
30° 2=
=
2

2

3
=
AC BC.cos
=
R.

R 3
30° 2=
2

AB. AC R.R 3 R 3
=
=
BC
2R
2

AH .BC = AB. AC ⇒ AH=

Ta lại có: ∆ADE đồng dạng ∆ACB


2

S ACB  BC   BC 
2 R   4 R  16
=
⇒
= 
=
= 
= 
S ADE  DE   AH   R 3   R 3 
3



 2 
2

2

S ACB S ADE S ACB − S ADE S BDEC
13.S ACB 13 AB. AC 13 R.R 3 13R 2 3
⇒
=
=
=
⇒ S BDEC =
=⋅
=⋅
=
16
3
16 − 3
13
16
16
2
16
2
32

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.


10

Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A , I là một điểm trên cạnh AC . Đường trịn đường
kính IC cắt BC ở E và cắt BI ở D .
a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường trịn.
b) Chứng minh DB là phân giác của góc ADE .
c) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE .
d) Chứng minh AB, CD, EI đồng qui.
Hướng dẫn giải

a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường trịn.
Ta có

C

= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn).
BDC
= 90° ( tam giác ABC vng tại A ).
CAB

E

Mặt khác hai đỉnh D, A cùng nhìn BC dưới một góc

D

90° .

I

Vậy tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn.
b) Chứng minh DB là phân giác của góc ADE .

K

A

Do tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn.
Nên 
ADB = 
ACB (cùng chắn cung AB ).
=
IDE
ACB (cùng chắn cung IE của đường trịn đường kính IC ).
.
⇒
ADB =
BDE

ADE .
Vậy DB là phân giác của góc 

c) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE .
Chứng minh được tứ giác ABEI nội tiếp được trong đường tròn.
=
 (cùng chắn cung IE ).
⇒ CAE
CBD

Mặt khác vì tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường trịn.

Tốn Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

B


11

Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy
 = CBD
 (cùng chắn cung CD ).
Nên CAD
=
 ⇒ AC là phân giác của góc DAE .
⇒ CAE
CAD

Mà DB cắt AC tại I . Do đó I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE .
d) Chứng minh AB, CD, EI đồng qui.
Gọi K là giao điểm của AB và CD .
= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ⇒ BD ⊥ KC .
Ta có BDC
= 90° ( tam giác ABC vuông tại A ) ⇒ CA ⊥ KB .
CAB

∆CKB có BD và CA là hai đường cao cắt nhau tại I nên I là trực tâm của ∆CKB
⇒ KE là đường cao của ∆CKB ⇒ KE ⊥ BC (1) .
= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ IE ⊥ CE ⇒ IE ⊥ BC (2) .
Mặt khác IEC

Từ (1), (2) suy ra E , I , K thẳng hàng.

Vậy AB, CD, EI đồng qui tại K .
Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A . Trên cạnh AC lấy điểm M không trùng với A
và C . Vẽ đường trịn đường kính MC , cắt cạnh BC tại D . Các đường thẳng BM và
AD lần lượt cắt đường tròn tại các điểm E , F . Chứng minh rằng:

a) ∆ABC ∽ ∆DMC . Suy ra AB.MC = BC.DM .
b) Các tứ giác ABDM và AECB nội tiếp
c) AB //EF .
d) Các đường thẳng AB, CE , MD đồng quy.
Hướng dẫn giải

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.


12

Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy
B

D
F

A

C

M

E
I

= MDC
= 90° và BCA
 chung nên ∆ABC ∽ ∆DMC .
a) Vì BAC

Do đó

AB
BC
= ⇒ AB.MC =
BC.DM .
DM MC

 + MDB
=
b) Vì BAM
180° nên tứ giác AMDB nội tiếp.
= BEC
= 90° nên tứ giác AECB nội tiếp.
Vì BAC

ABM = 
ADM ( cùng chắn 
AM )
c) Ta có: 
=
)
MEF
ADM ( cùng chắn MF

 ⇒ AB //EF .
ABM
= MEF
Suy ra 

d) Giả sử AB cắt EC tại I . Ta có CA, BE là đường cao của tam giác BIC .
⇒ M là trực tâm của ∆BIC ⇒ IM ⊥ BC .

Mà MD ⊥ BC ⇒ I , M , D thẳng hàng. Vậy AB, EC , MD đồng quy tại M .

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.


13

Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy
Bài 12: Hai đường tròn ( O; R ) và ( O '; r ) tiếp xúc ngoài tại C ( R > r ) gọi AC và BC là hai
đường kính đi qua C của đường trịn ( O ) và ( O ') . DE là dây cung của đường trịn ( O )
vng góc với AB tại trung điểm M của AB. Tia DC cắt đường tròn ( O ') tại điểm thứ 2
là F
a) Tứ giác ADBE là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh ba điểm B, F, E thẳng hàng
c) DB cắt đường tròn ( O ') tại điểm thứ hai là G. Chứng minh DF, EG và AB đồng quy
d) Chứng minh MF là tiếp tuyến của ( O ')
Hướng dẫn giải

a) Tứ giác ADBE là hình thoi vì AM = MB; MD = ME và DE ⊥ AB

b) Ta có BE / / DA . Nối BF ta có 
ADF

= BFD
= 900 ⇒ BF / / DA . Như vậy BE / / DA và
BF / / DA mà qua B chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với DA do đó 3 điểm

B, F, E phải thẳng hàng
c) Ta có CG vng góc với DB, mặt khác EC vng góc với DB. Nhưng qua C chỉ tồn
tại duy nhất một đường vng góc với DB nên E, C , G phải thẳng hàng và DF, EG,
AB phải đồng quy tại điểm C, chính là trực tâm tam giác EDB
 +O


 mà MEF
=F
 và O
+F
=
d) Nhận thấy MEF
' BF =
900 nên F
' BF = F
900 , suy ra
2
1
1
2
' = 900 . Vậy MF là tia tiếp tuyến của đường trịn tâm O’.
MFO

Tốn Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

14

Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy
 = 900 ). Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AB,
Bài 13: Cho ∆ABC (AC > AB, BAC

AC. Các đường trịn đường kính AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai D; tia BA cắt
đường tròn (K) tại điểmt hứ hai E; tia CA cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai F
a) Chứng minh B, C, D thẳng hàng
b) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiép
c) Chứng minh ba đường thẳng AD, BF, CE đồng quy.
d) Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF, hãy
so sánh DH và DE.
Hướng dẫn giải

a) ) Áp dụng định lý góc nội tiếp chắn nửa đường trịn, ta có :
� = 900 .
� = 900 ; ADC
ADB

 + ADC
=
Suy ra ADB
1 800 .

Vậy B, D, C thẳng hàng.

b) Áp dụng định lý góc nội tiếp
chắn nửa đường trịn, ta có:

� = 900 ; CEA
� = 900 ;
BFA

 BEC

suy ra =
BFC
=( 90 0 ) . Khi đó E; F là hai đỉnh liên

tiếp cùng nhìn BC dưới một góc bằng nhau.
Vậy tứ giác BFEC nội tiếp.
c) Xét tam giác ABC có AD ⊥ BC ; BF ⊥ AC ; CE ⊥ AB .
Suy ra AD , BF , CE là ba đường cao. Vậy chúng cắt nhau tại một điểm S .
d) Ta có

AEHF

 = FAB
 mặt khác FAB
 = FDB
 ⇒ EHF
 = FDB

nội tiếp nên EHF

⇒ HE / / BC ⇒ AD ⊥ HE .

(1)





Vận dụng góc nội tiếp, tứ giác nội tiếp ta có: FDA
= FBA
= FCE
= ADE


⇒ DA là đường phân giác EDF

(2)

Từ (1) và (2) suy ra DEH cân tại D suy ra DE = DH .

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.


15

Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy
Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn
(O) đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn (O)
tại các điểm thứ hai là F, G. Chứng minh rằng :
a) Các tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp
b) AD.AB = AG.AE
c) AC//FG
d) AC, DE và BF đồng quy.
Hướng dẫn giải

0 
 90
a) CAD
=
=
, CED 90 0 ⇒ tứ giác ADEC nội

tiếp.
0 
 90
=
CAB
=
, CFB 90 0 ⇒ tứ giác AFBC nội tiếp.

b) Ta có ∆AED ” ∆ABG ( g.g ) ⇒
AE AD
= ⇒ AD. AB =
AE. AG.
AB AG
.
=E
c) Tứ giác ACED nội tiếp ⇒ C
1
1
.
Tứ giác DFGE nội tiếp ⇒ F1 = E
1
= F
 ⇒ AC / /GF .

Suy ra C
1
1

d) ∆BCD có CA , BF , DE là đường cao ⇒ CA , BF , DE đồng quy.

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.


16

Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy
Một số bài tập tự rèn:
Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và ( O') cắt nhau tại A, B. Kẻ đường kính AC của (O) cắt
đường trịn (O') tại F. Kẻ đường kính AE của ( O') cắt đường trịn (O) tạo G.
Chứng minh:
a) Tứ giác GFEC nội tiếp ;
b) GC, FE, AB đồng quy.
Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB, gọi I là trung điểm của OA, dây CD vng
góc với AB tại I. Lấy K tùy ý trên dây cung BC nhỏ, AK cắt CD tại H.
a. Chứng minh tứ giác BIHK nội tiếp.
b. Chứng minh AH.AK có giá trị khơng phụ thuộc vị trí điểm K
c. Kẻ DN  CB, DM  AC. Chứng minh các đường thẳng MN, AB, CD đồng quy.
Bài 3: Cho đường trịn (O) đường kính AB, gọi I là trung điểm của OA, dây CD vng
góc với AB tại I. Lấy K tùy ý trên dây cung BC nhỏ, AK cắt CD tại H.
a) Chứng minh tứ giác BIHK nội tiếp.
b) Chứng minh AH.AK có giá trị khơng phụ thuộc vị trí điểm K
c) Kẻ DN  CB, DM  AC. Chứng minh các đường thẳng MN, AB, CD đồng quy
Bài 4: Cho đường trịn (O) đường kính AB, Gọi I là trung điểm OA. Dây CD vng góc
với AB tại I. Lấy K tùy ý trên cung BC nhỏ. AK cắt CD tại H

a, Chứng minh tứ giác BIHK nội tiếp
b, Chứng minh AH.AK có giá trị khơng phụ thuộc vào vị trí điểm K .
c, kẻ DN  CB, DM  AC . chứng minh MN,AB, CD đồng quy .
d, Cho BC = 25cm . Hãy tính diện tích xung quanh hình trụ tạo thành khi cho tứ giác
MCND quay quanh MD.

Chúc các em học sinh học tập tốt!

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.