Tim ham so co do thi doi xung qua mot diem

<span class='text_page_counter'>(1)</span>I. Đặt vấn đề Trong ch¬ng tr×nh To¸n THPT nh÷ng bµi to¸n vÒ hµm sè rÊt ®a d¹ng vµ phong phú, đã có nhiều cuốn sách viết về các chuyên đề xung quanh hàm số. Tuy nhiên, với chuyên đề “Tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số cho tr ớc qua một điểm, qua một đờng thẳng” thì không đợc trình bày trong sách giáo khoa, ở rải rác các sách tham khảo, một số tác giả đã viết một số bài tập với lời giải dựa trên công thức đổi trục toạ độ, với phơng pháp này học sinh phải nhớ công thức đổi trục toạ độ, nhớ đợc tính chất của hai hàm số đối xứng nhau qua gốc toạ độ, qua trôc hoµnh, qua trôc tung. Với chuyên đề “Tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số cho trớc qua một điểm, qua một đờng thẳng”. Nếu chỉ dừng lại ở cách giải thông thờng nhờ phơng pháp đổi trục toạ độ thì đó là điều bình thờng. ở đây ta hãy nhìn vấn đề dới góc độ khác, cách giải quyết khác để giải quyết bài toán hiệu quả hơn và có thể mở réng sang c¸c bµi to¸n phøc t¹p h¬n. Trong bài viết này, tôi muốn trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp về “Sử dụng tính chất trung điểm để tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số đã cho qua một điểm, một đờng thẳng”. T«i hy väng ph¬ng ph¸p nµy sÏ gióp c¸c em häc sinh gi¶i quyÕt tèt c¸c bµi tập cùng dạng trong các kỳ thi vào Đại học, Cao đẳng và khích lệ tinh thần say mê s¸ng t¹o trong häc tËp cña c¸c em, gãp phÇn n©ng cao chÊt lîng cho häc sinh TØnh nhµ. II. Néi dung 1/ Lý thuyết: Xét trong hệ trục toạ độ Oxy. + Hai điểm: A(x1; y1) và B(x2; y2) đối xứng nhau qua I(x0; y0) ⇔ I lµ trung ®iÓm cña AB.. ⇔. ¿ x1 + x 2=2 x 0 y 1+ y 2=2 y 0 ¿{ ¿. + Hai điểm: A(x1; y1) và B(x2; y2) đối xứng nhau qua đờng thẳng x = a ⇔. ⇔. I lµ trung ®iÓm cña AB; víi I(a; y1) ¿ x 1+ x 2=2 a y 1= y 2 ¿{ ¿. + Hai điểm: A(x1; y1) và B(x2; y2) đối xứng nhau qua đờng thẳng y = b ⇔. ⇔. I lµ trung ®iÓm cña AB; I(x1; b) ¿ x1 =x2 y 1+ y 2=2 b ¿{ ¿. + Hai điểm: A(x1; y1) và B(x2; y2) đối xứng nhau qua đờng thẳng (d):.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> y = ax + b (a ≠ 0) (d).. ⇔. I là trung điểm của AB; I(x0; y0) là hình chiếu của A trên đờng thẳng ¿ x1 + x 2=2 x 0 y 1+ y 2=2 y 0 ¿{ ¿. ⇔. 2/ C¸c bµi to¸n. Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xøng víi (C) qua ®iÓm I(x1; y1). Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C). B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I ⇔. I lµ trung ®iÓm cña AB ¿ x 0+ x =2 x 1 y 0 + y=2 y 1 ¿{ ¿. ⇔. Mµ A. ¿ x 0=2 x1 − x y 0=2 y 1 − y ¿{ ¿. ⇔. ⇒ A(2 x 1 − x ; 2 y 1 − y ). (C) ⇔ 2y1 – y = f(2x1 – x) ⇔. y = g(x). KÕt luËn: y = g(x) lµ hµm sè cÇn t×m. VÝ dô 1: Cho y = x3 – 3x + 1 (C) Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua điểm I(1; 1) Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C). B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I ⇔. ⇔. Do A. I lµ trung ®iÓm cña AB ¿ x 0+ x =2 x I =2 y 0 + y=2 y I =2 ¿{ ¿. ⇔. ¿ x 0=2 − x y 0=2 − y ¿{ ¿. ⇒ A(2 − x ; 2− y). (C) ⇔ 2 – y = (2 – x)3 – 3(2 – x) + 1 ⇔. y = x3 – 6x2 + 9x - 1. KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ y = x3 – 6x2 + 9x – 1. VÝ dô 2: Cho y = 2 x +1 x −1. (C).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua điểm I(2; 1) Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C). B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I ⇔. ⇔. Do A. I lµ trung ®iÓm cña AB ¿ x 0 + x=2 x I =4 y 0 + y=2 y I =2 ¿{ ¿. ⇔. ¿ x0 =4 − x y 0=2 − y ¿{ ¿. (C) ⇔ 2 – y = 2(4 − x ) 4 − x −1. KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ y =. ⇒ A( 4 − x ; 2− y). ⇔. y=. 3 x −3. 3 x −3. * Ngay cả với những đờng cong không là đồ thị của một hàm số, ta cũng giải quyết bµi to¸n dÔ dµng nhê c«ng thøc trung ®iÓm; Ta xÐt vÝ dô sau: 2 2 VÝ dô 3: Cho (E): x + y = 1. 9. 4. Tìm phơng trình của đờng cong (C) mà (C) đối xứng với (E) qua điểm I(3;2). Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (E). B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I ⇔. ⇔. Do A. I lµ trung ®iÓm cña AB ¿ x 0 + x=6 y 0 + y=4 ¿{ ¿. (E) ⇔. ⇔. ¿ x 0 =6 − x y 0=4 − y ¿{ ¿. ⇒ A( 6− x ; 4 − y ). 6 − x ¿2 ¿ 4 − y ¿2 ¿ ¿ ¿ ¿. KÕt luËn: §êng cong cÇn t×m cã ph¬ng tr×nh. x − 6 ¿2 ¿ y − 4 ¿2 ¿ ¿ ¿ ¿. Bµi to¸n 2: Cho hµm sè y = f(x), (C) Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đờng thẳng y = b..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C). I(x0; b) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng y = b. ⇔. I lµ trung ®iÓm cña AB ¿ x0 =x y 0 + y=2 b ¿{ ¿. ⇔. Mµ A. ¿ x 0=x y 0=2 b − y ¿{ ¿. ⇔. ⇒ A(x ; 2 b− y ). (C) ⇔ 2b – y = f(x) ⇔. y = g(x). KÕt luËn: y = g(x) lµ hµm sè cÇn t×m. VÝ dô 1: Cho hµm sè y = x3 – 3x2 + 2 (C). Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đờng thẳng y = 1. Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C). I(x0; 1) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng y = 1. ⇔. I lµ trung ®iÓm cña AB ¿ x0 =x y 0 + y=2 ¿{ ¿. ⇔. Mµ A. ⇔. ¿ x 0=x y 0=2 − y ¿{ ¿. ⇒ A( x ; 2− y). (C) ⇔ 2 – y = x3 – 3x2 + 2 ⇔. y = -x3 + 3x2. KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ y = -x3 + 3x2. VÝ dô 2: (Häc viÖn kü thuËt qu©n sù – 1999). 2 Cho hµm sè y = x + x − 2. x −2. (C). Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đờng thẳng y = 2. Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C). I(x0; 2) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng y = 2. ⇔. I lµ trung ®iÓm cña AB.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ¿ x 0=x y 0 + y=4 ¿{ ¿. ⇔. Mµ A. ⇔. ¿ x0 =x y 0=4 − y ¿{ ¿. ⇒ A( x ; 4 − y). 2 (C) ⇔ 4 – y = x + x − 2. x −2. ⇔. 2 y = x −3 x+ 6. 2− x. 2 KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ y = x −3 x+ 6 .. 2− x. Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x); (C) Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đờng thẳng x = a. Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C). I(a; y0) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng x = a. ⇔. I lµ trung ®iÓm cña AB ¿ x 0+ x=2 a y 0= y ¿{ ¿. ⇔. Mµ A. ⇔. ¿ x 0=2 a − x y 0= y ¿{ ¿. ⇒ A(2 a − x ; y ). (C) ⇔ y = f(2a-x) ⇔. y = g(x).. KÕt luËn: y = g(x) lµ hµm sè cÇn t×m. VÝ dô 1: Cho hµm sè y = x3 – 3x2 + 2 (C) Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đờng thẳng x=-1. Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C). I(-1; y0) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng x = -1. ⇔. I lµ trung ®iÓm cña AB. ⇔. Mµ A. ¿ x 0+ x=−2 y0= y ¿{ ¿. ⇔. ¿ x 0=−2 − x y 0= y ¿{ ¿. ⇒ A(− 2− x ; y ). (C) ⇔ y = (-2 – x)3 – 3(-2 – x)2 + 2 ⇔. y = -x3 – 9x2 – 24x - 18.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ y = -x3 – 9x2 – 24x - 18. VÝ dô 2: Cho hµm sè y = 2 x +1. (C). x −2. Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đờng thẳng x = 1. Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C). I(1; y0) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng x = 1. ⇔. I lµ trung ®iÓm cña AB. ⇔. Mµ A. ¿ x 0+ x=2 y 0= y ¿{ ¿. ⇔. ¿ x 0=2 − x y 0= y ¿{ ¿. ⇒ A(2 − x ; y). (C) ⇔ y = 2( 2− x)+1 2 − x −2. ⇔. y = 2 x−5 . x. KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ y = 2 x − 5 . x. Bµi to¸n 4: Cho hµm sè y = f(x); (C) Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đờng thẳng (d): y = ax + b. (a ≠ 0). Bµi gi¶i: + Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C). + Viết phơng trình đờng thẳng (Δ) qua A và vuông góc với (d). y = − 1 (x – x0) + y0 (Δ) a. + Tọa độ giao điểm I của (Δ) và (d) là nghiệm của hệ: ¿ y=ax +b −1 y= (x − x0 )+ y 0 a ¿{ ¿. ⇔. ¿ x I =¿ y I =¿ { ¿. + B(x; y) đối xứng với A qua đờng thẳng (d) ⇔ I là trung điểm của AB..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> ⇔. ¿ x+ x 0 =2 x I y + y 0=2 y I ¿{ ¿. ¿ x 0=2 x I − x y 0=2 y I − y ¿{ ¿. ⇔. ⇒ A(2xI – x; 2yI – y).. (C) ⇔ 2yI – y = f(2xI – x).. + Do A. ⇔. y = g(x). KÕt luËn: y = g(x) lµ hµm sè cÇn t×m. VÝ dô 1: (§¹i häc l©m nghiÖp – 2001). Cho hµm sè y = 3 x +1 x −3. (C). Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đờng thẳng (d): x + y – 3 = 0. Bµi gi¶i: + Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C). + Phơng trình đờng thẳng (Δ) qua A và vuông góc với (d) là: y = (x – x0) + y0. (Δ). + Tọa độ giao điểm I của (Δ) và (d) là nghiệm của hệ: ¿ y=− x+3 y=x − x 0 + y 0 ¿{ ¿. ¿ 3+ x 0 − y 0 x I= 2 3 − x0 + y 0 yI = 2 ¿{ ¿. ⇔. + B(x; y) đối xứng với A qua đờng thẳng (d) ⇔ I là trung điểm của AB. ⇔. ¿ x+ x 0 =2 x I =3+ x 0 − y 0 y + y 0=2 y I =3 − x 0 + y 0 ¿{ ¿. ⇔. ¿ x 0=3 − y y 0=3 − x ¿{ ¿. ⇒ A(3-y; 3-x).. + Do A. (C) ⇔ 3 - x = 3 (3 − y )+ 1 = −10 +3 3 − y −3. ⇔. y = 10 x. KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ y = 10 . x. y.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> VÝ dô 2: Cho hµm sè y = x2 + 2x + 3 (C). Tìm phơng trình của đờng cong (P) mà (P) đối xứng với (C) qua đờng thẳng (d): y = x – 1. Bµi gi¶i: + Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C). + Phơng trình đờng thẳng (Δ) qua A và vuông góc với (d) là: y = - (x – x0) + y0. (Δ). + Tọa độ giao điểm I của (Δ) và (d) là nghiệm của hệ: ¿ y=x − 1 y=− x+ x 0 + y 0 ¿{ ¿. ¿ 1+ x 0+ y 0 xI= 2 − 1+ x 0+ y 0 yI = 2 ¿{ ¿. ⇔. + B(x; y) đối xứng với A qua đờng thẳng (d) ⇔ I là trung điểm của AB. ⇔. ¿ x+ x0 =2 x I =1+ x 0 + y 0 y + y 0=2 y I =−1+ x 0 + y 0 ¿{ ¿. ⇔. ¿ x 0= y+1 y 0=x −1 ¿{ ¿. ⇒ A(y + 1; x - 1).. + Do A. (C) ⇔ x - 1 = (y + 1)2 + 2(y + 1) + 3 ⇔. x = y2 + 4y + 6.. KÕt luËn: §êng cong cÇn t×m cã ph¬ng tr×nh x = y2 + 4y + 6 (P) * (C) là Parabol có đỉnh tại điểm M(-1; 2) và có trục đối xứng là đờng thẳng x = -1; (P) là Parabol có đỉnh tại điểm N(2; -2) và có trục đối xứng là đờng thẳng y = -2. Chú ý: Các bài toán 1, 2, 3 đều có thể giải đợc bằng phơng pháp đổi trục toạ độ; Ta lấy một ví dụ: (Học viện kỹ thuật quân sự – 1999). 2 Cho hµm sè y = x + x − 2 (C). x −2. Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đờng thẳng y = 2. Bµi gi¶i: + §æi hÖ trôc Oxy vÒ hÖ trôc IXY gèc I(0; 2) theo c«ng thøc: ¿ x= X y=2+Y ¿{ ¿.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> + Hàm số đã cho trở thành 2 + Y = ⇔. Y=. X 2 − X +2 X−2. X 2+ X −2 X−2. = F(X).. + Do hàm số cần tìm đối xứng với (C) qua đờng thẳng y = 2 (trục hoành đối víi hÖ IXY) nªn hµm sè cÇn t×m cã d¹ng: Y = - F(X) X 2 − X +2 X−2. ⇔. Y=-. ⇔. 2 y – 2 = - x − x+ 2. ⇔. 2 y = x −3 x+ 6. x −2. 2− x. 2 KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ: y = x −3 x+ 6 .. 2− x. Nhận xét 1: Bạn đọc tự so sánh cách giải này với cách giải dùng tính chất trung điểm (Bài toán 2 – ví dụ 2) để thấy đợc tính ngắn gọn trong việc trình bày; sử dụng tính chất trung điểm, học sinh không phải dùng đến các tính chất khác của hµm sè. Nhận xét 2: Sử dụng phơng pháp đổi trục toạ độ còn có hạn chế thứ 2 đó là: chỉ giải quyết đợc khi (C) là đồ thị của hàm số; khi đờng cong đã cho không là đồ thị của một hàm số mà muốn sử dụng phơng pháp đổi trục toạ độ ta phải tách đờng cong ra từng phần sao cho đờng cong trong mỗi phần đó ứng với một hàm số xác định sau đó mới áp dụng công thức đổi trục. 2 2 Ta xÐt mét vÝ dô: (E) x + y = 1 (1). 9. 4. Rõ ràng đơng cong (E) không là đồ thị của hàm số (vì tồn tại đờng thẳng song song với Oy mà cắt (E) tại hai điểm). Để tìm một đờng cong đối xứng với (E) qua một điểm hay qua một đờng thẳng theo phơng pháp đổi trục toạ độ ta phải làm nh sau: + (1) ⇔ y = ± 1 √36 − 4 x 2 3. Khi đó ta có hai hàm số: y = f(x) = 1 √ 36− 4 x 2 3. y = g(x) = − 1 √ 36 − 4 x 2 3. Sau đó ta áp dụng công thức đổi trục toạ độ cho từng hàm số, cuối cùng hợp lại ta đợc đờng cong cần tìm. Vậy phơng pháp đổi trục toạ độ đối với những đờng cong không là hàm số thì lời giải rõ ràng dài dòng và phức tạp. Trong khi đó nếu sử dụng tính chÊt trung ®iÓm ta cã lêi gi¶i qu¸ ng¾n gän vµ hiÖu qu¶ (xem bµi to¸n 1 – vÝ dô 3)..

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 3/ Bµi tËp luyÖn tËp. Bµi 1: Cho hµm sè y = x2 + 2x – 5 (P) 1, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (P) qua điểm I(-1; 1). 2, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (P) qua đờng thẳng x=3. 3, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (P) qua đờng thẳng y = -1. 4, Tìm phơng trình đờng cong đối xứng với đồ thị (P) qua đờng thẳng x + y + 2 = 0. Bµi 2: Cho y = x +. 1 x −1. (C). 1, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua điểm I(2; 1). 2, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đờng thẳng x = -1. 3, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đờng thẳng y = 2. 4, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đờng thẳng y = x + 3. Bµi 3: Cho (E). x2 y2 + =1 16 9. Tìm phơng trình các đờng cong (E1), (E2), (E3), (E4) sao cho. 1, (E1) đối xứng với (E) qua điểm I(4; 5). 2, (E2) đối xứng với (E) qua đờng thẳng x = 5. 3, (E3) đối xứng với (E) qua đờng thẳng y = -3. 4, (E4) đối xứng với (E) qua đờng thẳng x – y = 0. III. KÕt luËn. + Nếu nhìn nhận bốn bài toán trên theo cách nhìn thông thờng (đổi trục toạ độ) thì đó là 4 bài toán riêng biệt: Đối xứng qua gốc toạ độ, đối xứng qua trục hoành, đối xứng qua trục tung (xét trong hệ toạ độ mới). Xong nếu sử dụng tính chất trung điểm thì bốn bài toán trên đợc xem nh là một, nh vậy tính chất trung điểm đã là phơng pháp chung cho cả bốn bài toán đó, học sinh vận dụng dẽ dàng và đạt hiệu quả tốt trong quá trình làm bài. Hơn nữa phơng pháp trung điểm còn khắc phục đợc những khó khăn của phơng pháp đổi trục toạ độ đối với các đờng cong cha là đồ thị của hàm số. + Trong quá trình giảng dạy ngoài việc đổi mới phơng pháp giảng dạy, giáo viªn còng ph¶i thêng xuyªn lµm giµu thªm chi thøc cña m×nh th«ng qua c¸c ho¹t động chuyên đề, dự giờ v.v. Mỗi nét thông minh sáng tạo của học trò, những lời giải hay, những câu hỏi tởng trừng ngớ ngẩn v.v… Tất cả những điều đó đều giúp ngời thày tự điều chỉnh phơng pháp cũng nh nội dung để kết quả giảng dạy ngày mét cao h¬n. + Chuyên đề này tôi đã áp dụng giảng dạy trong nhiều năm, nhất là các em häc sinh líp 12, c¸c em tá ra rÊt hµo høng tiÕp thu – vËn dông tèt vµ gi¶i quyÕt cã hiÖu qu¶ c¸c bµi tËp d¹ng nµy; Tuy nhiªn t«i kh«ng bá qua viÖc giíi thiÖu ph¬ng pháp đổi trục toạ độ để kiến thức của các em hoàn chỉnh hơn ở mọi phơng diện; qua đó các em cũng thấy đợc tính t duy mềm dẻo và sáng tạo trong toán học là điều rÊt cÇn thiÕt vµ t¨ng thªm tÝnh say mª, t×m tßi, s¸ng t¹o trong häc tËp cña c¸c em. + Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp đã đọc và góp ý cho chuyên đề này..

<span class='text_page_counter'>(11)</span>