Ôn luyện phương trình lượng giác

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC. LỜI NÓI ĐẦU: Kính thưa các đồng nghiệp cùng bạn đọc: Tôi viết chuyên đề giải PTLG này nhằm trao đổi cùng đồng nghiệp để tham khảo. Bên cạnh đó giúp cho các em học sinh đã học xong chương trình THPT tự học để có thể tự ôn luyện vào các trường đại học theo nguyện vọng của mình. Nếu nói một chuyên đề PTLG thì phải giới thiệu tất cả các dạng phương trình và cách giải hoặc thuật toán của từng dạng.Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu cách cho đề của các đề thi đại học từ những năm gần đây bản thân tôi rút ra được kinh nghiệm: +Số chuyên đề của một học sinh phải học quá nhiều, do vậy vấn đề về thời gian dành để ôn luyện cho mỗi chuyên đề phải được tính đến. +Dạy và ôn như thế nào để phù hợp với xu thế ra đề của Bộ Giáo dục. Do vậy tài liệu này tôi đã tích lũy từ nhiều năm, các bài tập được biên soạn chỉ ngang tầm với các đề thi đại học đã diễn ra hoặc mức độ chênh lệch nhau không đáng kể.Tài liệu này được viết theo các nội dung chính say đây: A.Ôn lý thuyết:Không trình bày phần lý thuyết nhằm tránh tài liệu quá dài. B.Sơ đồ hệ thống cách giải các phương trình lượng giác trong các đề thi đại học. (Sau mỗi bài giải hoặc ví dụ,bạn hãy thử xem đối chiếu lại với sơ đồ !) C.Ôn tập cách giải các phương trình thường gặp đã nâng cao.Trong phần này có ví dụ và có lời giải hoặc hướng dẫn cách giải.Cuối của mỗi mục có phần bài tập hoàn toàn tương tự , do vậy tôi không ghi cách giải. Riêng phần PTLG đẳng cấp bậc n tôi đã biên soạn các ví dụ theo hai cách giải để bạn đọc thấy được ưu điểm của mỗi cách.Số bài tập tương tự mục này nhiều hơn so với những nội dung khác. D.Phần bài tập để rèn luyện chung cho chuyên đề-phần này tôi biên soạn tương ứng với mức độ các đề thi đại học từ 2002-2009 . Các em học sinh có thể nghiên cứu đáp án các đề thi đại học từ 2002-2009 để giải nó (nếu không giải được).(Nếu các em là học sinh có yêu cầu bài giải phần này thì có thể liên hệ theo email: hoặcsố điện thoại: 0984-003114. E.Nội dung các đề thi đại học các khối từ 2003-2009 để dễ so sánh với các bài tập ở phần D. F.Nghiên cứu thêm những gợi ý về cách giải các phương trình lượng giác. Tôi hy vọng rằng, nếu đọc kỹ về cách giải PTLG cùng với sơ đồ hệ thống các em học sinh có thể tự học tốt về chuyên đề này. Chúc tất cả chúng ta thành công và cũng mong đồng nghiệp và các em học sinh thông cảm cho bản thân tôi trong quá trình biên soạn tài liệu này không sao tránh khỏi những sai sót. Chào thân ái!. ÔN LUYỆN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A. ÔN LÝ THUYẾT:  Ôn :giá trị lượng giác các góc đặc biêt, giá trị lượng giác của các cung góc có liên quan đặc biêt. Các công thức cơ bản, công thức lượng giác…  Ôn : Phương trình lượng giác cơ bản và cách giải. DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC. 1 Lop12.net. Nguyễn Công Mậu.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC. B. SƠ ĐỒ HỆ THỐNG CÁCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002- 2009. PTLG cho trước . PT còn một cung. Còn 1 HSLG. PT còn hai cung. Còn 2 hàm sin và côsin. Áp dụng: (asinu + bcosu). PTcơ bản Sinf(x)=sing(x) Hoặc cosf(x)=cosg(x). P.T.Tích. (ẩn phụ) Cần chú ý sự xuất hiện các biểu thức: a.sinx +b.cosx với: a,b =  1; 3; 2. PTĐẠI SỐ. PTLG cơ bản. PTLG THƯỜNG GẶP. C.ÔN TẬP CÁCH GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP. VÍ DỤ-CÁCH GIẢI –GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN VÀ BÀI TẬP. I. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lương giác:  Phương trình dạng : a.f2(x) + b.f(x) + c = 0 , trong đó f(x) là hàm số lượng giác. Vaø a, b, c laø caùc heä soá a  0.  Cách giải: + Đặ t = f(x) ( nếu f(x) là sinx hoặc cosx thì t  1 ) + Giải phương trình at2 + bt + c = 0 và chọn t thoả mãn điều kiện. + Giaûi phöông trình f(x) = t. 2 cos 4 x  6co s 2 x  1  3cos 2 x  0 (1) Ví dụ 1) Giaûi phöông trình : cos x 1  cos x(2 cos x  1)  2 sin x  1 (2) Ví dụ 2) Giaûi phöông trình : 1  cos x Ví dụ 3) Giaûi phöông trình : 3cosx  2  3(1  cosx).cot 2 x (3). Ví dụ 4) Giaûi phöông trình : sin 6 x  cos 6 x  2cos 2 x  1 DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC. 2 Lop12.net. (4) Nguyễn Công Mậu.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC. Ví dụ 5) Tìm các nghiệm trên khoảng  0;   của phương trình :  sin 3 x  cos 3 x  7  cosx   4  cos 2 x (5)  2sin 2 x  1  Ví dụ 6) Cho phöông trình : cos 2 x  (2m  1) sin x  m  1  0 (*) .. a) Giaûi phöông trình khi m = 2. b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng  ; 2  . HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ:  Ví dụ 1) +Đk x   m .. 2 (1)  2 2 cos 2 2 x  1  3(1  cos 2 x  1  3 cos 2 x  0. . . k  x cos 2 x  1  2  2 cos 2 2 x  3 cos 2 x  1  0    1 cos 2 x   x     k 2   6 k Họ x  thỏa ĐK khi k = 2h  x  h 2. Vậy (1) có 3 họ nghiệm là: x  h ; x  . . 6.  k ; h, k  Z .. Ví dụ 2) + ĐK : cos x  1  x  m2 (2)  1  2 cos 2 x  cos x  2 sin x  1  cos x  2(1  sin 2 x)  2 sin x  0  2 sin 2 x  2 sin x  2  0  sin x  . 2 2.  sin x  2 (loại).   x    k 2  2   4 sin x    sin      2  4  x  5  k 2  4 Ví dụ 3) +ĐK : x  m cos 2 x cos 2 x  (3)  3 cos 2 x  2  3(1  cos x) 2  3 cos 2 x  2  3(1  cos x) sin x 1  cos 2 x 3 cos 2 x  3 cos x  2    6 cos 2 x  cos x  2  0 1  cos x  1    x   3  k 2 cos x  2   (Thỏa các ĐK)  x   arccos( 2 )  k 2 cos x   2 3 3  . Ví dụ 4) +Biến đổi:. . . 3. sin 6 x  cos 6 x  sin 2 x  (cos 2 x) 3  3  (sin 2 x  cos 2 x) 3  3 sin 2 x cos 2 x(sin 2 x  cos 2 x)  1  sin 2 2 x  4 3 1  cos 2 2 x  4 4 DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC. 3 Lop12.net. Nguyễn Công Mậu.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC. 3 1  cos 2 x  3 cos 2 2 x  4 cos 2 x  1  0 4 4 cos 2 x  1  x  k    cos 2 x  1  x   1 arccos 1  k 2 3 2 3  . (4)  cos 2 2 x . Ví dụ 5) *Giải PT(5): 5  x  m2  1  12 +ĐK : sinx    2  x    m2  12. +Ta có sin 3 x  cos 3 x  3 sin x  4 sin 3 x  4 cos 3 x  3 cos x  3(sin x  cos x)  4(sin x  cos x)(1  sin x cos x)  (sin x  cos x)(4 sin x cos x  1)  (sin x  cos x)(2 sin 2 x  1) sin 3 x  cos 3 x   sin x  cos x 2 sin 2 x  1 (5)  7(sin x  cos x  cos x)  4  cos 2 x  7 sin x  4  (1  2 sin 2 x) 1  2 sin 2 x  7 sin x  3  0  sin x   sin x  3 (loại) 2   x   k 2  1 6 sin x    2  x  5  k 2  6 *Chọn nghiệm trên khoảng 0;   ta được hai nghiệm của phương trình là:  5 x ; x 6 6 2 Ví dụ 6) (*)  1  2 sin x  (2m  1) sin x  m  1  0  2 sin 2 x  (2m  1) sin x  m  0  f (t )  2t 2  (2m  1)t  m  0 ; t  sin x ; t   1;1 1 a)Khi m=2: f (t )  2t 2  5t  2  0  t   t  2 (loại) 2    x  6  k 2 1 1 t   sin x    2 2  x  5  k 2  6 b)Tìm m để PT (*) có nghiệm trên khoảng  ; 2  :. Khi x   ;2   1  t  0 ..   1  t1  t 2  0 Vậy ta phải có :  1  t1  0  t 2  t1  1  t 2  0  m   1; 0  DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC.   0; af (0)  0; af (1)  0    1  S  0   2  f (0). f (1)  0  f (1)  0 . 4 Lop12.net. m    1  m  0 . Nguyễn Công Mậu.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC. BAØI TẬP TƯƠNG TỰ : 4sin 2 2 x  6sin 2 x  9  3cos 2 x 0 cos x. 1) Giaûi phöông trình :. . . cos x 2 sinx  3 2  2cos 2 x  1. 2) Giaûi phöông trình :. 1 1  sin 2 x 3) Giaûi phöông trình : 5sinx  2  3(1  sinx).tan 2 x 17 4) Giaûi phöông trình : sin 8 x  cos8 x  cos 2 2 x 16 5 Tìm các nghiệm trên khoảng  0; 2  của phương trình : cos 3 x  sin 3 x   5  sinx    3  cos 2 x 1  2sin 2 x   6) Cho phöông trình : cos 2 x  (2m  1) cos x  m  1  0 (*) .. a) Giaûi phöông trình khi m = 3/2..   3 b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng  ; 2 2 II. Phöông trình baäc nhaát theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:.  . . Phương trình dạng : asinx + bcosx = c , với a.b  0 + Ñieàu kieän phöông trình coù nghieäm : a2 + b2  c2. + Caùch giaûi : - Chia 2 vế phương trình cho a 2  b 2 ta được : asinx a 2  b2. -. . Ñaët cos . b cos x a 2  b2 a a b 2. . 2. c a 2  b2.  sin  . b a b 2. 2. vaø ñaët sin  . c a  b2 2. ta coù phöông. trình:. sin( x   )  sin . Ví duï 1: Giaûi phöông trình : 4 cos 3 2 x  3 sin 6 x  2 cos 4 x  3 cos 2 x. (1). Ví duï 2: Giaûi phöông trình : 8sinx . 3 1  cosx sinx Ví duï 3: Giaûi phöông trình : sin 2 x  cos 2 x  cos x  sin x  0 Ví duï 4: Giaûi phöông trình : 9 sin x  3 cos x  3 sin 2 x  cos 2 x  8 Ví duï 5: Giaûi phöông trình : 2cos 3 x  cos 2 x  sinx  0 Ví duï 6: Giaûi phöông trình : sin 3 x  cos 3 x  sinx  cosx Ví duï 7: Giaûi phöông trình : 4 (sin 4 x  cos 4 x)  3 sin 4 x  2. (2). Ví dụ 8: Giải phương trình : 3 (sin 3x  cos x)  cos 3x  sin x. (3) (4) (5) (6) (7) (8). HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ: DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC. 5 Lop12.net. Nguyễn Công Mậu.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC. Ví dụ 1: (1)  4 cos 3 2 x  3 cos 2 x   3 sin 6 x  2 cos 4 x  cos 6 x  3 sin 6 x  2 cos 4 x . 1 3 cos 6 x  sin 6 x  cos 4 x 2 2.    cos 6 x    cos 4 x . 3  sin x  0 m Ví dụ 2: + ĐK :   sin 2 x  0  x  2 cos x  0. m  Z . + (2)  4 sin 2 x sin x  3 sin x  cos x  2(cos x  cos 3x)  3 sin x  cos x 1 3   . cos x  sin x  cos 3 x  cos x    cos 3 x 2 2 3  2 Ví dụ 3: (3)  (2 sin x cos x  sin x)  2 cos x  cos x  1  0  sin x(2 cos x  1)  (2 cos x  1)(cos x  1)  0  (2 cos x  1)(sin x  cos x  1)  0 1   cos x   2 sin( x  )  1 2 4 Ví dụ 4: (4)  9 sin x  6 sin x cos x   3 cos x  2 cos 2 x  9  0  3 sin x(3  2 cos x)  (2 cos x  3)(cos x  3)  0  (2 cos x  3)(cos x  3 sin x  3)  0  cos x  3 sin x  3  0 1 3 3  cos x  sin x    cos  cos x  sin  sin x   sin  10 10 10 1 3    cos( x   )  cos    ; cos   ; sin   10 10 2  3 2 2 Ví dụ 5: (5)  2 cos x  2 cos x  1  sin x  0  2 cos x(cos x  1)  (1  sin x)  0  2(1  sin x)(1  sin x)(cos x  1)  (1  sin x)  0  (1  sin x)2(1  sin x)(1  cos x)  1  0  (1  sin x)(2 sin x  2 cos x  sin 2 x  1)  0  (1  sin x) 2(sin x  cos x)  (sin x  cos x) 2  0 1  sin x  0  (1  sin x)(sin x  cos x)(sin x  cos x  2)  0   sin x  cos x  0 Ví dụ 6: (6)  (sin x  cos x)(1  sin x cos x)  sin x  cos x  sin x  cos x  sin x cos x(sin x  cos x)  sin x  cos x  2 cos x  sin x cos x(sin x  cos x)  0  cos x(2  sin 2 x  sin x cos x)  0 1  cos 2 x 1  cos x(2   sin 2 x)  0  cos x(3  cos 2 x  sin 2 x)  0 2 2  cos x  0 1 1 3 1 Ví dụ 7: + Biến đổi : sin 4 x  cos 4 x  1  sin 2 2 x  1  (1  cos 4 x)   cos 4 x 2 4 4 4 1 3 1 sin 4 x   + (7)  3  cos 4 x  3 sin 4 x  2  cos 4 x  2 2 2  2   cos 4 x    cos 3 (sin 3 x  cos x)  cos 3 x  sin x 3 3 . . . . . . DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC. . 6 Lop12.net. Nguyễn Công Mậu.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC. Ví dụ 8: (8)  3 sin 3x  cos 3x  sin x  3 cos x       sin  3 x    sin  x   6 3  . 3 1 1 3 sin 3 x  cos 3 x  sin x  cos x 2 2 2 2. BAØI TẬP TƯƠNG TỰ : 1) Giaûi phöông trình : 3 sin 3x  3 cos 9 x  2 cos 3x  4 sin 3 3x 3 1  sin x cosx sin 2 x  2sin x  1  4 sin 2 xcosx  cos 2 x  2sin x cos 2 x sinx  4 cos x  sin 2 x  2 cos 2 x  1 2sin 3 x  cos 2 x  cosx  0 sin 3 x  cos 3 x  sinx  cosx 8 sin 6 x  cos 6 x  3 3 sin 4 x  2. 2) Giaûi phöông trình : 8cosx . 3) Giaûi phöông trình : 4) Giaûi phöông trình : 5) Giaûi phöông trình : 6) Giaûi phöông trình :  7) Giaûi phöông trình :  8) Giải phương trình : 3 (cos 3x  sin x)  sin 3x  cos x. III. Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát theo sin vaø coâsin cuøng moät cung: 1) Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát baäc hai theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:  Phöông trình coù daïng : asin2x + bsinxcosx + ccos2x + d = 0. (1)  Caùch giaûi 1: (Dùng công thức hạ bậc đưa về PT bậc nhất theo sin và côsin cùng cung) 1  cos 2 x b 1  cos 2 x  sin 2 x  c d 0 2 2 2  b sin 2 x  (c  a ) cos 2 x  (2d  a  c) .. (1)  a.  Caùch giaûi 2: (Đưa về PT bậc hai đối với hàm tanx) Xét hai trường hợp :  + Neáu x =  k ; k  Z coù laø nghieäm phöông trình hay khoâng. 2. + Neáu x .  2.  k ; k  Z , chia hai vế phương trình cho cos2x ta được:. atan2x. + btanx + c + d(1 + tan2x) = 0  (a + d)tan2x + btanx + c + d = 0. Ví duï 1: Giaûi phöông trình cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x Ví duï 2: Giaûi phöông trình 4sin2x – 3sinxcosx + 3  4 cos2x = 4. (1) (2). Ví dụ 3: Giaûi phöông trình : 10cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4 Ví dụ 4: Giaûi phöông trình : cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3.. (3) (4). . . HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC. 7 Lop12.net. Nguyễn Công Mậu.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC. Ví dụ 1: (1)  cos 2 x  sin 2 x   3 sin 2 x  1  cos 2 x  3 sin 2 x  1 1 3 1    . sin 2 x   cos 2 x    cos 2 2 3 3  2 Ví dụ 2: +Xét cosx = 0 thì sin x  1 nghiệm đúng phương trình (2). 2. cos 2 x . Vậy (2) có nghiệm x . . 2.  k .. +Xét cos x  0 . Chia hai vế PT(2) cho cos 2 x và thay. 1  1  tan 2 x và đặt ăn 2 cos x. phụ t = tanx : Ta có : 4t 2  3t  3  4  4(1  t 2 )  t  Vậy PT (2) có hai họ nghiệm là : x .  2. 3    tan x  tan  x   k 3 6 6.  k ; x . . 6.  k. ; kZ. 5 3 2 2  7 cos 2 x  5 sin 2 x  7 Ví dụ 4: +Xét cosx = 0 thì sin 2 x  1 nghiệm đúng phương trình (2).. Ví dụ 3: (3)  5(1  cos 2 x)  sin 2 x  (1  cos 2 x)  3. Vậy (2) có nghiệm x . . 2.  k .. +Xét cos x  0 . Chia hai vế PT(2) cho cos 2 x và thay. 1  1  tan 2 x và đặt ăn 2 cos x. phụ t = tanx : Ta có : 1  t  3t 2  3(1  t 2 )  t  2  tan x  2  x  arctan 2  k BAØI TẬP TƯƠNG TỰ: 1) Giaûi phöông trình : 3sin2x - 5 3 sinxcosx – 6cos2x = 0 2) Giaûi phöông trình : sin2x + (1  3) sin x cos x  3cos 2 x  0 3) Giaûi phöông trình : 2sin2x + sinxcosx – 5cos2x = 1 4) Giaûi phöông trình : cos2x – 3sin2x – 4sinxcosx = 0 2) Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát baäc cao theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:  Đây là loại phương trình được mở rộng từ PT đẳng cấp bậc hai dựa trên cơ sở sau: + Một biểu thức theo sinx hoặc cosx có bậc k có thể biến đổi thành một biểu thức theo sinx và cosx có bậc k + 2n nhờ đẳng thức : sin 2 x  cos 2 x  1 . (k , n  N ) Chẳng hạn : sinx (bậc 1) = sinx. (sin 2 x  cos 2 x)  sin 3 x  sin x cos 2 x (bậc 3). Hoặc sinx = sinx. (sin 2 x  cos 2 x) 2  sin 5 x  2 sin 3 x cos 2 x  sin x cos 4 x (bậc 5). + Chú ý : i) Số 0 không có bậc. Một hằng số khác 0 có bậc là 0. ii) Xác định bậc của mỗi hạng tử trong PTLG chứa sin và côsin là khi chúng đã cùng một cung ( ví dụ với cung 3x thì sin3x có bậc 1, với cung 1x thì sin3x có bậc 3)  Từ những ý tưởng trên ta có thể nêu định nghĩa về PTLG đẳng cấp bậc n theo sin và côsin của cùng một cung như sau: DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC. 8 Lop12.net. Nguyễn Công Mậu.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC. “ PT đẳng cấp bậc n theo sinx và cosx là PT có bậc các hạng tử hơn, kém nhau 2k, k  N ”  Cách giải 1: ( tương tự đẳng cấp bậc 2) (Cách giải này thường phát hiện được cách giải ngay từ ban đầu và có thuật toán, nhưng nhược điểm dài hơn cách giải thứ hai) +Bước 1: Xét cosx = 0 có nghiệm đúng PT không. (nếu đúng ghi nhận kết quả) k. . . k  1  2   1  tan x . 2  cos x . +Bước 2: -Xét cosx  0. Chia hai vế PT cho cos n x và thay . -Đặt ẩn phụ t = tanx và thu gọn thì được PT đa thức bậc n theo t. -Giải tìm nghiệm t = t0 rồi giải PT tanx = t0 để tìm x.  Cách giải 2 : (Biến đổi về PT tích theo sin và côsin) ( Cách giải này thường ngắn gọn nhưng không định hướng được kết quả biến đổi. Đòi hỏi kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử của mỗi học sinh).Không có thuật toán như cách 1. Sau đây là một số ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: tan x  sin x cos x  cos 2 x (1) Giải cách 1:  +ĐK: x   m . 2 +(1)  sin x  sin x cos 2 x  cos 3 x (*). (đẳng cấp bậc 3). +cosx = 0 không nghiệm đúng PT. (vì  1  0 ; vô lý) +cosx  0, chia hai vế (*) cho cos3x được : tan x(1  tan 2 x)  tan x  1  t 3  1  t  1  tan x  1  x  . Giải cách 2: (*)  sin x(1  cos 2 x)   cos 3 x  sin 3 x   cos 3 x  tan 3 x  1  tan x  1  x    k.  4.  k (t = tanx). (**). 4. Chú ý:Theo cách giải 2 đã nêu là biến đổi về PT tích nên tôi minh họa lại như sau: (**)  sin 3 x  cos 3 x  0  (sin x  cos x)(1  sin x cos x)  0  (sin x  cos x)(2  sin 2 x)  0   sin x  cos x  0  tan x  1  x    k . 4. Ví dụ 2: Giải phương trình: cos 3 x  sin x  cos x (2) (đẳng cấp bậc 3) Giải cách 1: + cosx = 0 không nghiệm đúng (2) + cosx  0, chia hai vế (2) cho cos3x được : 1  tan x(1  tan 2 x)  (1  tan x) (với t = tanx )  t (t 2  t  1)  0  t  0  tan x  0  x  k Giải cách 2: (2)  cos x(cos 2 x  1)  sin x  cos x sin 2 x  sin x  0  sin x(sin x cos x  1)  0  sin x(sin 2 x  2)  0  sin x  0  x  k Ví dụ 3: Giải phương trình: 3 sin 3 x  2 cos 3 x  sin 2 x cos x  2 cos x  0 (3) (đẳng cấp bậc 3) Giải cách 1: + cosx = 0 không nghiệm đúng (3) + cosx  0, chia hai vế (3) cho cos3x được : DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC. 9 Lop12.net. Nguyễn Công Mậu.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC. 3 tan 3 x  2  tan 2 x  2(1  tan 2 x)  3t 3  3t 2  0  3t 2 (t  3 )  0.  x  k t  0  tan x  0     x     k t   3  tan x   3 3 . Giải cách 2: (3)  3 sin 3 x  sin 2 x cos x  2 cos x(1  cos 2 x)  0. . . . .  sin x( 3 sin x  cos x)  2 cos x sin 2 x  0  sin 2 x 3 sin x  3 cos x  0 2.  x  k sin x  0  x  k     x     k sin x  3 cos x  0  tan x   3 3 . (4) (đẳng cấp bậc 4). Ví dụ 4 : Giaûi phöông trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0. Giải cách 1: + cosx = 0 thì sinx =  1 không nghiệm đúng ptrình . Vậy cosx  0 + Chia hai vế (2) cho cos4x rồi đặt ẩn phụ t = tan2 x thì được: t 2  4t  3  0  t  1  t  3. Giải cách 2: (4)  (3 cos 4 x  3 sin 2 x cos 2 x)  (sin 2 x cos 2 x  sin 4 x)  0  3 cos 2 x(cos 2 x  sin 2 x)  sin 2 x(cos 2 x  sin 2 x)  0 cos 2 x  0  cos 2 x(3 cos 2 x  sin 2 x)  0    tan x   3 Ví dụ 5: Giải phương trình : sin 6 x  cos 6 x  cos 2 2 x  sin x cos x (5). Giải cách 1: Nếu biến đổi : sin 6 x  cos 6 x  (sin 2 x  cos 2 x)(sin 4 x  cos 4 x  sin 2 x cos 2 x) = = sin 4 x  cos 4 x  sin 2 x cos 2 x Và biến đổi : cos 2 2 x  (cos 2 x  sin 2 x) 2  cos 4 x  sin 4 x  2 sin 2 x cos 2 x Thì PT (5)  sin 2 x cos 2 x  sin x cos x  0 (*) Khi đó PT (*) giải tiếp theo cách giải 1 hoặc cách giải 2 đã nêu trên là đơn giản + Nếu từ PT: sin 6 x  cos 6 x  (cos 2 x  sin 2 x) 2  sin x cos x (đẳng cấp bậc 6) Làm theo cách giải (1) sau bước 2 đã thu gọn ta được phương trình: (Với t = tanx ) t  0 t 5  t 4  2t 3  t 2  t  0   4 3 2 t  t  2t  t  1  0 (5.1) 1 1 1   1  Khi đó PT (5.1)  t 2  t  2   2  0   t 2  2    t    2  0 (5.2) t t t   t  1 PT (5.2) đặt ẩn phụ u  t  thì được PT bậc hai u 2  u  0  u  0  u  1 . t. Trở lại với ẩn t thì các PT này vô nghiệm. + Với t = 0  tan x  0  x  k . Chú ý: Khi xét cosx = 0 thì nó nghiệm đúng PT đẳng cấp bậc 6 nên:  k x   k cũng là nghiệm PT. Kết hợp nghiệm thì được x = . Phù hợp với mọi 2. 2. cách giải. DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC. 10 Lop12.net. Nguyễn Công Mậu.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC. BAØI TẬP TƯƠNG TỰ: Cĩ thể giải lại các bài trong các ví dụ và bài tập tương tự ở phân PT đưa về PT bậc nhất theo sin và côsin cùng một cung như : 1) Giaûi phöông trình sinxsin2x + sin3x = 6cos3x (đẳng cấp bậc 3) 2) Giaûi phöông trình sin3x + cos3x + 2cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3) 3 3) Giaûi phöông trình sinx – 4sin x + cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3) 3 3 4) Giaûi phöông trình : sin x  cos x  sinx  cosx (đẳng cấp bậc 3) 6 6 5) Giaûi phöông trình : 8sin x  cos x   3 3 sin 4 x  2 (đẳng cấp bậc 6) 6) Giải phương trình : 3 (cos 3x  sin x)  sin 3x  cos x (đẳng cấp bậc 3) 7) Giaûi phöông trình : sin 3 x  cos 3 x  sinx  cosx (đẳng cấp bậc 3) 4 4 8) Giaûi phöông trình : 4 (sin x  cos x)  3 sin 4 x  2 (đẳng cấp bậc 4) 9) Giải phương trình : 3 (sin 3x  cos x)  cos 3x  sin x (đẳng cấp bậc 3) 17 cos 2 2 x 16 11) Giaûi phöông trình : sin 6 x  cos 6 x  2cos 2 x  1. 10) Giaûi phöông trình : sin 8 x  cos8 x . (đẳng cấp bậc 8). (đẳng cấp bậc 6) IV. Phương trình chứa tổng (hoặc hiệu) và tích của sin và côssin cùng một cung: 1) Phương trình chứa tổng và tích (còn gọi là phương trình đối xứng theo sin và côsin)  Dạng phương trình: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c  R) (1)    Cách giải : Đặt t = sinx + cosx = 2 sin  x    t  2 4  t 1  t 2  1  2 sin x cos x  sin x cos x  (*) 2 t 2 1  c  0  bt 2  2at  2c  b  0 (1.1) . (1)  at  b. 2 Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn t 0  2 . 2. Thay giá trị t0 vào PT (*) và giải PT sin2x = t 02  1 để tìm x. 2) Phương trình chứa hiệu và tích ( còn gọi là phương trình phản xứng)  Dạng phương trình: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c  R) (2)    Cách giải : Đặt t = sinx - cosx = 2 sin  x    t  2 4  2 1 t  t 2  1  2 sin x cos x  sin x cos x  (**) 2 1 t2  c  0  bt 2  2at  2c  b  0 (2.1) . (1)  at  b. 2 Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn t 0  2 .. Thay giá trị t0 vào PT (**) và giải PT sin2x = 1- t 02 để tìm x. Ví dụ 1: Giải phương trình sin x  cos x sin 2 x  12(cos x  sin x)  12 cos 2 x  0 DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC. 11 Lop12.net. (1). Nguyễn Công Mậu.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC.  . Ví dụ 2: Giải phương trình 8 cos 2 x  3 sin 2 x sin x  3 sin 2 x cos x  7 2 sin  x  Ví dụ 3: Giải phương trình Ví dụ 4: Giải phương trình Ví dụ 5: Giải phương trình Ví dụ 6: Giải phương trình. .  (2) 4. sin 3 x  sin 2 x  2 cos x  2  0 (3) 2 2 sin x cos x  12(sin x  cos x  sin 2 x)  sin x cos x  12 (4) (5) sin 2 x  sin x cos x  cos x  2 sin 2 x(sin x  1)  1 (sin x cos x  1) cos 2 x  cos x  sin x  0 (1). HƯỚNG DẪN CÁC VÍ DỤ: Ví dụ 1: (1)  sin x  cos x sin 2 x  12(sin x  cos x)  12  0 (1a ) sin x  cos x  0  12(sin x  cos x)  sin 2 x  12  0 (1b). (1a)  x . . 4.  k. t  1  t  1 t  13 k  t  1  sin 2 x  0  x  2. (1b)  t 2  12t  13  0  . + Vậy (1) có 2 họ nghiệm là x . . t  sin x  cos x .  k ; x . 4 Ví dụ 2: (2)  cos x  sin x 8(cos x  sin x)  3 sin 2 x  7  0 ( 2a ) sin x  cos x  0  8(cos x  sin x)  3 sin 2 x  7  0 (2b). k 2. (k  Z ). .  k 4 (2b) : Đặt t = cos x  sin x ; ( t  2 )  t 2  1  sin 2 x  sin 2 x  1  t 2. (2a)  x  . (*). t  2 2  t   , thay t = -2/3 vào (*): (2b)  3t  8t  4  0   2 t   3 3  1 5  x  arcsin  k  5 2 9 Sin2x =    9  x   arcsin 5  k  2 9 Ví dụ 3: (3)  (1  cos x)(sin x  cos x  sin x cos x  1)  0 2.  x  k 2 cos x  1    x  k sin x  cos x  sin x cos x  1  0  2  Ví dụ 4: (4)   sin x  cos x sin x cos x  12(sin x  cos x)  12  0 sin x  cos x  0  sin x cos x  12(sin x  cos x)  12  0 DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC. 12 Lop12.net. Nguyễn Công Mậu.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC.   x  4   x  k  2 2 Ví dụ 5: (5)  sin x  1  (sin x cos x  cos x)  2 sin 2 x(sin x  1)  0  sin x  1sin x  1  cos xsin x  1  2 sin 2 x(sin x  1)  0. . .  sin x  1sin x  cos x  2 sin 2 x  1  0. sin x  1  sin x  cos x  2 sin 2 x  1  0 Ví dụ 6: (6)  sin x cos x  1 cos 2 x  sin 2 x  cos x  sin x   0  sin x cos x  1cos x  sin x cos x  sin x   cos x  sin x   0  (cos x  sin x) sin x cos x  1cos x  sin x   1   0 (6 a ) cos x  sin x  0  (6b) (sin x cos x  1)(cos x  sin x)  1  0. . (6a)  x . . 4. .  k. (6b): Đặt t = sinx +cosx ( t  2 ) ; t 2  1  sin 2 x  sin 2 x  t 2  1 (*)  t 2 1   1.t  1  0  t 3  3t  2  0  (t  1)(t 2  t  2)  0 2  . (6b)  . t  1 k   t  1 thay vào (*) thì sin2x = 0  x  2 t  2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:. Giải các phương trình sau :   1) 2 sin 2 x(sin x  cos x  1)  2 cos x    2 . . 4. 1 2 3 2 cos x  cos x  2 sin x  2  0 3  sin x  3  sin 2 x  8(2  cos x) cos 2 x(1  sin x cos x)  cos x  sin x  0 sin 3 x  3 sin 2 x  6 cos x  6  0. 2) sin 4 x  cos 4 x  sin 4 x  sin x  cos x 3) 4) 5) 6). . . D. PHẦN BÀI TẬP NÀY ĐƯỢC BIÊN SOẠN TƯƠNG TỰ CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2003-2009 (Không hướng dẫn-bạn tự nghiên cứu đáp án các đề thi đại học) Baøi 1:Giaûi caùc phöông trình sau :  . a) 4 sin 2 x . sin 3 x    3  cos 2 x 1  2 cos x . c) sin 3x  4 cos 2 x  3 sin x  4  0. DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC. ; b) sin 2 2 x  cos 2 3x  sin 2 x  cos 2 4 x 1 2. ; d) sin 3x  cos 2 x  sin x  sin 2 2 x  1  0. 13 Lop12.net. Nguyễn Công Mậu.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC. e). cos 6 x  sin 6 x  sin 2 x cos 2 x  sin x cos x 2 cos x  2.  0 ; g) cos x. cot 2 x . 1 4  sin x cos x  cos x sin x. Baøi 2:Giaûi caùc phöông trình sau :   4 4.   2 sin x  cos x  2 sin  x   cos x    3 4  4  a) 0 2  2 sin x b) sin x  cos x  cot x  cos 2 x. cos x  2 sin 3 x  cos 3 x  sin 2 x. cos x. . . c) 10 cos 2 x  cos x  2  3(cos x  cos 2 x). cot g 2 x d) 2 cos x  3 2 sin x  cos x   sin 2 x  3 sin x. . . Baøi 3:Giaûi caùc phöông trình sau : a) 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  sin 3 x  cos 3 x  0 ; b) 1  sin x  cos x. cot 2 x  c) 1  (1  sin 2 x) cos x  sin 2 x  sin x(1  cos 2 x) d) tan 2 x  2 tan x  cot 2 x  2 cot x  2  0. ;. 1 tan 2 x. Baøi 4 : Giaûi caùc phöông trình :. . . 8 sin 6 x  cos 6 x sin x  cos x   sin 2 x  1  0 4  3 sin 2 2 x sin 6 x  cos 6 x  sin 4 x  cos 4 x  2 cos 2 x 0 c) 5 cos 2 x  3 e) 1  (1  sin 2 x) cos x  sin 2 x  sin x(1  cos 2 x). a). ; b) sin 2 3x. cos 2 x  sin 2 x  0 ; d) sin x. tan x  sin 2 x  tan x ; g) 2 cos 2 x  cos x  1  cos 7 x. Baøi 5 : Giaûi caùc phöông trình : 2. a) (1  sin x) cos x  (1  cos x) sin x  sin 2 x  1. x x  ; b)  sin  cos   3 cos x  1  2 2 2 . c) 3 cos x(1  cos 2 x)  2 sin 2 x  sin x  cos 2 x  0 1 1 5   d)   4 cos x    4    3  . ;. 2. 2. cos x   sin   x 2   2  e) 3 cos x(1  cos 2 x)  2 sin 2 x  sin x  cos 2 x  0. f) sin 3 x  3 cos 3 x  cos 2 x  sin x cos 2 x  3 sin 2 x cos x Bài 6: a) Giải phương trình b) Giải phương trình :. 1  2 cos x sin x (1  2 cos x)(1  cos x).  3. 2 cos x  2 cos 3 x  3 sin 3 x  cos x  2 cos 2 x. DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC. 14 Lop12.net. Nguyễn Công Mậu.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC. c) Giải phương trình. 3 cos 3 x  4 sin x cos 2 x  3 cos x. E. CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2003-2009. Baøi 1:Giaûi caùc phöông trình sau : cos 2 x 1  sin 2 x  sin 2 x 1  tan x 2 2 b) (KB-2003) cot x  tan x  4 sin 2 x  sin 2 x x x  c) (KD-2003) sin 2   . tan 2 x  cos 2  0 2 2 4. a) (KA-2003) cot x  1 . Baøi 2:Giaûi caùc phöông trình sau : a) (KB-2004) 5 sin x  2  3(1  sin x) tan 2 x b)(KD-2004) (2 cos x  1)(2 sin x  cos x)  sin 2 x  sin x c) (KA-2004) Cho ABC không tù thoả điều kiện : cos 2 A  2 2 cos B  2 2 cos C  3 . Tính ba goùc cuûa ABC . Baøi 3:Giaûi caùc phöông trình sau : a) (KA-2005) cos 2 3x. cos 2 x  cos 2 x  0 b) (KB-2005) 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0   3 c) (KD-2005) cos 4 x  sin 4 x  cos( x  ). sin(3x  )   0 Baøi 4:Giaûi caùc phöông trình sau : a) (KA-2006). . 4. . 2 cos 6 x  sin 6 x  sin x cos x 2  2 sin x. 4. 2. 0. x 2 c) (KD-2006) cos 3x  cos 2 x  cos x  1  0. b) (KB-2006) cot x  sin x(1  tan x. tan )  4. Baøi 5:Giaûi caùc phöông trình sau : a) (KA-2007) (1  sin 2 x) cos x  (1  cos 2 x) sin x  1  sin 2 x b) (KB-2007) 2 sin 2 2 x  sin 7 x  1  sin x 2. x x  c) (KD-2007)  sin  cos   3 cos x  2 2 2 . Baøi 6:Giaûi caùc phöông trình sau : a) (KA-2008). 1  sin x.  7   4 sin   x 3    4  sin  x   2   1. b) (KB-2008) sin 3 x  3 cos 3 x  sin x cos 2 x  3 sin 2 x cos x DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC. 15 Lop12.net. Nguyễn Công Mậu.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC. c) (KD-2008) 2 sin x(1  cos 2 x)  sin 2 x  1  2 cos x Baøi 7:Giaûi caùc phöông trình sau : a) (KA-2009) Giải phương trình b) (KB-2009) Giải phương trình. 1  2sin x  cos x  1  2sin x 1  s inx . 3.. sin x  cos x sin 2x  3 cos 3x  2(cos 4x  sin 3 x). c) (KD-2009) Giải phương trình 3 cos5x  2sin 3x cos 2x  sin x  0 .. F. MỤC THAM KHẢO THÊM VỀ CÁCH GIẢI PH.TRÌNH LƯỢNG GIÁC. * Việc giải PTLG là vấn đề thường gặp trong các đề thi đại học .Phương pháp thường sử dụng khi giải phương trình lượng giác là thực hiện một số phép biến đổi lượng giác thích hợp kể cả việc biến đổi đại số để đưa PTLG về dạng phương trình lượng giác cơ bản hay các phương trình lượng giác thường gặp hoặc đưa về dạng phương trình tích hoặc đặt ẩn phụ để đưa về phương trình đại số bậc hai,bậc ba…;hoặc đôi khi còn phải sử dụng đến phương pháp đánh giá hai vế của phương trình. Để đạt được kết quả cao trong việc giải PTLG yêu cầu học sinh cần nắm vững các yêu cầu tối thiểu sau đây : 1)Học thuộc (hoặc thông qua suy luận) các công thức lượng giác,các cung, góc có liên quan đặc biệt,giá trị lượng giác của các cung(góc) đặc biệt. 2)Cần nắm vững cách giải PTLG cơ bản và các trường hợp đặc biệt.Cách giải các phương trình lượng giác thường gặp . 3)Phải có thói quen là đề cập đến TXĐ của phương trình (lấy điều kiện) trước khi tiến hành phép biến đổi và đối chiếu điều kiện khi có kết quả. * Tại sao đề cập đến việc biến đổi thích hợp:Vì các đồng nhất thức lượng giác thường raát ña daïng.Chaúng haïn : -Nếu cần biến đổi cos2x thì tuỳ theo đầu bài ta sẽ sử dụng một trong các đồng nhất sau: Cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x -1 = 1-2sin2x. Ví duï : Giaûi phöông trình : a) cos2x = sinx- cosx → biến đổi Cos2x = cos2x – sin2x b) cos2x = cosx → biến đổi Cos2x = 2cos2x -1 c) cos2x = sinx → biến đổi Cos2x = 1-2sin2x -Nếu cần biến đổi cos4x-sin4x thì tuỳ theo đầu bài ta sẽ sử dụng một trong các đồng nhất sau: cos4 x-sin4x = cos2x – sin2x = Cos2x = 2cos2x -1 = 1-2sin2x. *Cần chú ý đến các đồng nhất lượng giác thường gặp khi giải toán như: 1  sin2x = (sinx  cosx)2 3 Cos3x.sin3x+sin3x.cos3x = sin4x 4 1 1  cos 2 2 x 3  cos 4 x cos 4 x  sin 4 x  1  sin 2 2 x   2 2 4 2 3 1  3 cos 2 x 5  3 cos 4 x cos 6 x  sin 6 x  1  sin 2 2 x   4 4 8 DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC. 16 Lop12.net. Nguyễn Công Mậu.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC. *Cần chú ý đến các số hạng có chứa thừa số (cosx+sinx) là: cos2x ; cos3x+sin3x ;   Cos4x-sin4x ; cos3x-sin3x ; 1+tanx ; cotx-tanx ; 2 sin  x   ….Tương tự đối với các 4  số hạng có chứa thừ số cosx-sinx.. *Các phép biến đổi lượng giác thường được tiến hành theo các hướng sau: +Haï baäc phöông trình(neáu coù). +Ñöa veà cuøng cung: -Neáu cuøng haøm vaø cuøng cung thì tieán haønh ñaët aån phuï. -Nếu cùng cung nhưng còn hai hàm sin và côsin thì thường biến đổi về ph. trình tích (Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử như: đặt nhân tử chung,dùng hằng đẳng thức,nhóm hạng tử,nghiệm tam thức bậc hai) -Nếu cùng cung và còn hai hàm sin ; côsin với bậc các hạng tử hơn,kém nhau 2n (với n là số tự nhiên) thì ta có thể chia hai vế của phương trình cho coskx hoặc sinkx (k là bậc lớn nhất trong phương trình) để đưa phương trình đã cho về dạng còn chứa duy nhất hàm tang hoặc côtang của một cung rồi tiến hành đặt ẩn phụ. *Khi đánh giá hai vế của phương trình thì các bất đẳng thức thường được dùng để ước lượng như: sin x  1 ; cos x  1 ; a sin x  b cos x  a 2  b 2 ; sin m x  cos n x  sin 2 x  cos 2 x  1 (với m, n  N ; m, n  3 ) sin ax  1 -Đối với phương trình sinax  sinbx =  2   (dấu  lấy tương ứng)  sin bx  1. Tương tự đối với các phương trình : cosax  cosbx =  1 ; sinax  cosbx =  2 CHÚ Ý: Vì trong tài liệu này tôi biên soạn theo nhiều thời điểm khác nhau, sau đó gộp lại nên có hai phông chữ đó là Times New Roman và VNI-Times . Vậy khi sử dụng có gì trở ngại bạn tự đổi phông chữ!. DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC. 17 Lop12.net. Nguyễn Công Mậu.

<span class='text_page_counter'>(18)</span>