Tải bản đầy đủ (.pdf) (11 trang)

ôn luyện đại học chuyên đề Phương trình lượng giác không mẫu mực

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (214.73 KB, 11 trang )

CHƯƠNG VIII
PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

Trường hợp 1: TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM

Áp dụng Nếu
A
0B0
AB0
≥∧ ≥


+=

thì A = B = 0

Bài 156 Giải phương trình:

22
4cos x 3tg x 4 3cosx 2 3tgx 4 0 (*)+− + +=

Ta có:
()
(
)
⇔−++

=






=−


π

=± + π ∈





=−


π
⇔=−+ π ∈


22
(*) 2 cos x 3 3tgx 1 0
3
cos x
2
1
tgx
3
xk2,k
6

1
tgx
3
xk2,k
6
=


Bài 157
Giải phương trình:

(
)
2
8cos4x.cos 2x 1 cos3x 1 0 *+− +=

Ta có:
() ( )

+++−* 4cos4x 1 cos4x 1 1 cos3x 0=
()
()
⇔+++−
⇔++−=
⎧⎧
=− =−
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎪⎪

==π∈
⎩⎩

2
2
4cos 4x 4cos4x 1 1 cos3x 0
2cos4x 1 1 cos3x 0
11
cos 4x cos 4x
22
cos 3x 1 3x k2 , k
=


=−




π

=∈



1
cos 4x
2
k2
x , k (có 3 đầu ngọn cung)

3


=






= = = +



= +


1
cos 4x
2
22
x +m2hay xm2hayxm2,m
33
2
xm2,m
3

(ta nhaọn
=
k1 vaứ loaùi k = 0 )


Baứi 158 Giaỷi phửụng trỡnh:

()
()
2
233
sin 3x
sin x cos 3xsin x sin 3x cos x sin x sin 3x *
3sin4x
++=
2

Ta coự:
33
cos 3x.sin 3x sin 3x.cos x+
()
(
)
()
= +
= + =
==
33 33
33 2
4cosx 3cosxsinx 3sinx 4sinxcosx
3cos x sin x 3sin x cos x 3sin x cos x cos x sin x
33
sin 2x.cos 2x sin 4x
24

2

()
()
+ =

+=



+ =


22 2
2
242
2
222
1
Vaọy: * sin x sin 3x sin x sin 3x vaứ sin 4x 0
4
111
sin 3x sin x sin 3x sin 3x 0 vaứ sin 4x 0
244
11
sin 3x sin x sin 3x 1 sin 3x 0 vaứ sin 4x 0
24





+=






=


= =


2
22
2
11
sin 3x sin x sin 6x 0 vaứ sin 4x 0
216
sin 4x 0
1
sin 3x sin x
2
sin3x0cos3x0









==


=

=



sin 4x 0
sin 4x 0
1
sin 3x 0 sin x
2
sin x 0 (VN)
sin 3x 1





=



=


3
sin 4x 0
1
sin x
2
3sinx 4sin x 1







=






ππ

=+ π∨ + π∈


ππ
⇔=+π∨= +π∈


sin 4x 0

1
sin x
2
sin 4x 0
5
xk2 k2,k
66
5
xk2x k2,k
66


Trường hợp 2 Phương pháp đối lập
Nếu
A
MB
AB
≤≤


=

thì
A
BM
=
=

Bài 159 Giải phương trình:
−=+

44
sin x cos x sin x cos x (*)


Ta có: (*)
⇔−=+
22
sin x cos x sin x cos x


⇔− = +





=+







⇔⇔
⎨⎨
=

−=




⇔=−
π
⇔=+π∈
2
2
cos 2x sin x cos x
cos 2x 0
cos 2x 1 2 sin x cos x
cos 2x 0
cos 2x 0
sin 2x 0 (cos 2x 1)
sin 2x 2 sin 2x
cos 2x 1
xk,k
2

Cách khác
Ta có
−≤ ≤≤+
44 4
x cos x sin x sin x sin x cos xsin

Do đó
=


⇔⇔=


=


4
cos x 0
(*) cos x 0
sin x sin x
π
=+π∈xk,k
2



Bài 160: Giải phương trình:
()

2
cos 2x cos 4x 6 2sin 3x (*)−=+

Ta có: (*)
22
4 sin 3x.sin x 6 2sin 3x⇔=+
• Do: và
2
sin 3x 1≤
2
sin x 1


nên

22
4sin 3xsin x 4


• Do nên
62≥−sin 3x 1 sin3x4
+


Vậy
22
4 sin 3x sin x 4 6 2sin 3x≤≤+
Dấu = của phương trình (*) đúng khi và chỉ khi

=


=
=⇔
⎨⎨
=



=−

2
2
2
sin 3x 1

sin x 1
sin x 1
sin 3x 1
sin 3x 1


π

=± + π ∈
π

⇔⇔=+


=−


π∈

xk2,k
xk2,k
2
2
sin 3x 1


Bài 161 Giải phương trình:
33
cos x sin x
2cos2x(*)

sin x cos x

=
+

Điều kiện:
si

n x 0 cos x 0≥∧ ≥
Ta có: (*)
()( )
(
)
(
)
22
cos x sin x 1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x⇔− + = − +

()
()
−=



+=+ +


cos x sin x 0 (1)
1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x (2)


Ta có:

(1)
π
⇔=⇔=+π∈

tgx 1 x k , k
4



Xét (2)
Ta có: khi
si
thì
n x 0≥
≥≥
2
sin x sin x sin x
Tương tự ≥≥
2
cos x cos x cos x
Vậy
si

n x cos x 1+≥
sin x cos x 1
+

Suy ra vế phải của (2) thì 2≥

Mà vế trái của (2):
13
1sin2x
22
+≤

Do đó (2) vô nghiệm
Vậy: (*)
π
⇔=+π∈

xk,k
4


Bài 162: Giải phương trình:
3 cos x cos x 1 2(*)−− +=


Ta có: (*) 3cosx 2 cosx1⇔− =+ +

()
3cosx 5cosx4cosx1
2cosx 1 4 cosx 1
⇔− =+ + +
⇔− + = +

Ta có:
(
)

2cosx 1 0 x−+≤∀

mà 4cosx 1 0x+≥∀
Do đó dấu = của (*) xảy ra
cos x 1

=−



=π+ π ∈

xk2,k




Bài 163: Giải phương trình:

(
)
22
cos3x 2 cos 3x 2 1 sin 2x (*)+− = +

Do bất đẳng thức Bunhiacốpski:

222 2
A
XBY A B.X Y+≤ + +


nên:
(
)
222
1cos3x 1 2 cos 3x 2. cos 3x 2 cos 3x 2+− ≤ +− =

Dấu = xảy ra
2
cos3x 2 cos 3x⇔=−


22
cos3x 0
cos 3x 2 cos 3x
cos3x 0
cos3x 1
cos3x 1




=−



⇔⇔



=

Mặt khác:
()
2
21 sin 2x 2+≥
dấu = xảy ra
sin 2x 0⇔=
Vậy:
(
)
22
cos3x 2 cos 3x 2 2 1 sin 2x+− ≤≤ +
dấu = của (*) chỉ xảy ra khi:

=∧ =
=




π
=∈


⇔= π ∈


cos 3x 1 sin 2x 0
cos 3x 1
k
x,k(có4đầungọncun

2
x2m,m
g)


Bài 164: Giải phương trình:
22 5
tg x cotg x 2sin x (*)
4
π
⎛⎞
+= +
⎜⎟
⎝⎠


Điều kiện:
sin 2x 0


• Do bất đẳng thức Cauchy:
22
tg x cotg x 2
+

dấu = xảy ra khi tgx cotgx
=

• Mặt khác:
sin x 1

4
π
⎛⎞
+

⎜⎟
⎝⎠

nên
5
2sin x 2
4
π
⎛⎞
+≤
⎜⎟
⎝⎠

dấu = xảy ra khi
sin x 1
4
π
⎛⎞
+
=
⎜⎟
⎝⎠

Do đó:
22 5

tg x cotg x 2 2sin x
4
π
⎛⎞
+≥≥ +
⎜⎟
⎝⎠

Dấu = của (*) xảy ra
tgx cotgx
sin x 1
4
=



π

⎛⎞
+
=
⎜⎟

⎝⎠




=




π
=
+π∈


π
⇔=+ π∈


2
tg x 1
xk2,k
4
xk2,k
4


Trường hợp 3:
Áp dụng: Nếu
A
MvàB M A M
thì
A
BMN BN
≤≤
⎧⎧
⎨⎨
+= + =

⎩⎩
=


=

+=⇔

=

sin u 1
sin u sin v 2
sin v 1


=

−=⇔

=


sin u 1
sin u sin v 2
sin v 1


=



+=−⇔

=


sin u 1
sin u sin v 2
sin v 1

Tương tự cho các trường hợp sau

±=± ±=±sin u cos v 2 ; cos u cos v 2

Bài 165: Giải phương trình:
()
3x
cos 2x cos 2 0 *
4
+−=

Ta có:
()
3x
*cos2xcos
4
⇔+ 2=

3x
Do cos 2x 1 và cos 1
4




nên dấu = của (*) chỉ xảy ra
()
=π ∈
=


⎪⎪
⇔⇔ ⇔=π
π
⎨⎨
=∈
=
⎪⎪


π
π= ⇔ =
=∈Ζ =




xk,k
cos 2x 1
x8m,m
8h
3x

x,h
cos 1
3
4
8h 8h
Do : k k
33
để k nguyên ta chọn h 3m m ( thì k 8m )

Cách khác
==π∈
⎧⎧
⎪⎪
⇔⇔=π∈
⎨⎨
π
==
⎪⎪
⎩⎩


cos 2x 1 x k , k
x8m,m
3x 3k
cos 1 cos 1
44


Bài 166:
Giải phương trình:

()
cos2x cos4x cos6x cosx.cos2x.cos3x 2 *++= +


()
2
cos2x cos 4x cos6x 2cos 3x cos x 2 cos 3x 1
2cos3x cosx cos3x 1
4 cos 3x.cos 2x.cos x 1
++ = + −
=
+−
=−

Vậy:
()
1
cos3x.cos2x.cos x cos2x 6cos4x cos6x 1
4
=
+++

Do đó:
() ()
()
⇔++= ++
⇔++=
19
* cos 2x cos 4x cos 6x cos2x cos 4x cos6x
44

39
cos2x cos4x cos6x
44
+



++=
==π∈
⎧⎧
⎪⎪
⇔=⇔=
⎨⎨
⎪⎪
==
⎩⎩

cos2x cos4x cos6x 3
cos 2x 1 2x k2 , k (1)
cos 4x 1 cos4x 1 (2)
cos 6x 1 cos 6x 1 (3)

⇔ = π∈⇔=π∈

2x k2 ,k x k ,k

( Thế (1) vào (2) và (3) ta thấy hiển nhiên thỏa)
Bài 167:
Giải phương trình:
(

)
cos2x3sin2x3sinxcosx40*−−−+=

Ta có:
()
⎛⎞⎛
⇔=− + + +
⎜⎟⎜
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
13 31
* 2 cos2x sin 2x sin x cos x
22 22






ππ
⎛⎞⎛
⇔= − + +
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
2sin2x sinx
66





⎧π
⎛⎞
ππ

−=

=+ π∈
⎜⎟


⎪⎝ ⎠ ⎪
⇔⇔
⎨⎨
ππ
π
⎛⎞
⎪⎪
+=+ π∈
+=
⎜⎟



⎝⎠

π

=+π∈

π


⇔⇔=+π

π

=+ π∈








sin 2x 1
2x k2 ,k
6
62
xh2,h
sin x 1
62
6
xk,k
3
xh,h
3
xh2,h
3

Cách khác


⎧π
⎛⎞
⎧π
⎛⎞
−=
−=
⎜⎟

⎜⎟

⎪⎝ ⎠ ⎪
⎝⎠
⇔⇔
⎨⎨
π
ππ
⎛⎞
⎪⎪
+=
+
=+ π∈
⎜⎟
⎪⎪

⎝⎠


sin 2x 1
sin 2x 1

6
6
(*)
sin x 1
xh2,h
6
62

⎧π
⎛⎞
−=
⎜⎟

π

⎝⎠
⇔⇔=+

π

=+ π∈


π∈


sin 2x 1
6
xh,h
3

xh2,h
3


Bài 168: Giải phương trình:
()
4cosx2cos2xcos4x1*−−=

Ta có:
()
(
)
(
)

−−−−
22
* 4 cos x 2 2cos x 1 1 2sin 2x 1=

⇔− + =
⇔= −+ =
222
2
4cosx 4 cos x 8sin x cos x 0
cos x 0 hay 1 cos x 2sin x cos x 0

(
)
⇔= + −=
⇔= − =

2
cos x 0 hay 1 cos x 2 sin x 1 0
cos x 0 hay 1 cos x cos 2x 0 ( * *)

()
⇔= − + =
⇔=∨ +=
1
cos x 0 hay 1 cos 3x cos x 0
2
cos x 0 cos 3x cos x 2

=

⇔=∨

=

cos 3x 1
cos x 0
cos x 1

=

⇔=⇔


=

⇔=∨=

π
⇔=+π∨= π∈
3
cos x 1
cos x 0
4cos x 3cosx 1
cos x 0 cos x 1
xkxk2,k
2

Cách khác
⇔= =( * *) cos x 0 hay cos x cos 2x 1



==
⎧⎧
⇔=∨ ∨
⎨⎨
=
=−
⎩⎩
cos x 1 cos x 1
cos x 0
cos2x 1 cos2x 1


=π∈ =π+ π∈
⎧⎧
π

⇔=+π∈∨ ∨
⎨⎨
==−
⎩⎩


xk2,k x k2,k (loại
xk,k
cos 2x 1 cos 2x 1
2
)


π
⇔=+π∨= π∈

xkxk2,k
2

Bài 169: Giải phương trình:

()
1
tg2x tg3x 0 *
sin x cos 2x cos 3x
++ =


Điều kiện:
sin 2x cos 2x cos 3x 0



Lúc đó:
()
⇔++
sin 2x sin 3x 1
*0
cos2x cos 3x sin x.cos2x.cos 3x
=
+=
=



()
⇔+
⇔++
sin2xsinxcos3x sin3xsinx.cos2x 1 0
sin x sin 2x cos 3x sin 3x cos 2x 1 0

()
⇔=−
⇔− − =−
⇔−=
==
⎧⎧
=

⎪⎪
⇔⇔−=⇔−

⎨⎨ ⎨
=−

⎪⎪
=
−=−
⎩⎩
33
2
sin x.sin 5x 1
1
cos6x cos4x 1
2
cos 6x cos4x 2
tcos2x tcos2x
cos6x 1
4t 3t 1 4t 3t 1
cos4x 1
t0
2t 1 1
=

Do đó: (*) vô nghiệm.
Cách khác
=
=−
⎧⎧
⇔=−⇔
⎨⎨
=

−=
⎩⎩
sin x 1 sin x 1
sin x.sin 5x 1 hay
sin 5x 1 sin 5x 1

ππ
⎧⎧
=+ π∈ =−+ π∈
⎪⎪

⎨⎨
⎪⎪
=− =
⎩⎩
xk2,k x k2,k
hay
22
sin 5x 1 sin 5x 1

x⇔∈∅



Bài 170: Giải phương trình:
(
)
22
cos 3x.cos2x cos x 0 *−=



Ta có:
() () ()

+−+
11
* 1 cos 6x cos2x 1 cos 2x 0
22
=


()

=

+=
⇔+=
=



=


−=


=



=


=

⇔=
⇔=π∈
π
⇔= ∈


2
2
cos 6x cos 2x 1
1
cos 8x cos 4x 1
2
cos 8x cos 4x 2
cos 8x 1
cos 4x 1
2cos 4x 1 1
cos 4x 1
cos 4x 1
cos 4x 1
cos 4x 1
4x k2 ,k
k
x,k
2


Cách khác

⇔=cos 6x cos 2x 1

=
=−
⎧⎧

⎨⎨
=
=−
⎩⎩
cos2x 1 cos2x 1
hay
cos6x 1 cos6x 1

=π∈ =π+π∈
⎧⎧

⎨⎨
==−
⎩⎩
2x k2 , k 2x k2 , k
hay
cos 6x 1 cos 6x 1

π
=∈

k

x,k
2

Cách khác
==
⎧⎧

⎨⎨
==π∈
⎩⎩
cos8x 1 cos8x 1
cos 4x 1 4x k2 , k


π
⇔= ∈

k
x,k
2


Trường hợp 4: DÙNG KHẢO SÁT HÀM SỐ
y = a
x
là hàm giảm khi 0< a <1.
Do đó ta có

sin sin , ,
cos s , ,

mn
mn
xxnmxkk
xcoxnmx kk
π
π
π
π
<⇔>∀≠+∈
<⇔>∀≠+
2
2




sin sin ,
cos s ,
mn
mn
x
xnmx
x
co x n m x
≤⇔≥
≤⇔≥





Bài 171: Giải phương trình:
()
2
x
1cosx
2
−= *

Ta có:
()
2
x
*1 cos
2
⇔= + x

Xét
2
x
ycosxtrên
2
=+ R

Ta có:
y'

x sinx=−

y'' 1 cosx 0 x R
=

−≥∀∈

Do đó y’(x) là hàm đồng biến trên R
Vậy
()
(
)
(
)
x0,:x0nêny'xy'0∀∈ ∞ > > =0


()
(
)
(
)
x,0:x0nêny'xy'0∀∈−∞ < < =0

Do đó:

Vậy :
2
x
ycosx1x
2
=+ ≥∀∈R

Dấu = của (*) chỉ xảy ra tại x = 0
Do đó

()
*x0

=•


Bài 172: Giải phương trình

sin sin sin sin
x
xx+=+
46810
x
(*)
Ta có

sin sin
sin sin
2
2
và dấu=xảy ra khi và chỉ khi sin x = 1hay sinx = 0
và dấu=xảy ra khi và chỉ khi sin x = 1 hay sinx =0
xx
xx








48
610

sin
2
x = 1 sinx = 0 ∨

x =
±
,kxkk
π
ππ
+
∨= ∈22
2


Cách khác
(*)
sin sin sin sin
x
ha
y
xx x⇔= +=+
4246
01

sin sin
x

ha
y
x⇔=
2
01=


BÀI TẬP
Giải các phương trình sau
()
−+ =
π
⎛⎞
−=+ −
⎜⎟
⎝⎠
+=
23
22 2
1. lg sin x 1 sin x 0
2. sin 4x cos 4x 1 4 2 sin x
4
1
3. sin x sin 3x sin x.sin 3x
4

()
π=
+=+
−=+

sin x
2
4. cos x
5. 2cos x 2 sin10x 3 2 2cos 28x.sin x
6. cos 4x cos 2x 5 sin 3x

(
)
()(
() ()
+= −
−++−
+=−
=
a2
7. sin x cos x 2 2 sin 3x
8. sin 3x cos 2x 2sin 3x cos 3x 1 sin 2x 2cos 3x 0
9. tgx tg2x sin 3x cos 2x
10. 2 log cot gx log cos x
)
=

()
π
⎡⎤
=∈
⎢⎥
⎣⎦
+=
−+ +

sin x
13 14
11. 2 cos x với x 0,
2
12. cos x sin x 1
13. cos 2x cos 6x 4 sin 2x 1 0=

(
)
+= −
+=−
−− ++
33 4
22
14. sin x cos x 2 2 cos 3x
15. sin x cos x 2 sin x
16. cos x 4 cos x 2x sin x x 3 0=

+=+
+− −+
sin x
2
22
17. 2 sin x sin x cos x
18. 3 cot g x 4 cos x 2 3 cot gx 4 cos x 2 0=


Th.S Phạm Hồng Danh (TT luyện thi Vĩnh Viễn)

×