HSG Toan 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề 4: Chứng minh một số bất đẳng thức đơn giản Phơng pháp 1: Dùng định nghĩa 1. KiÕn thøc: §Ó chøng minh A>B ta ®i chøng minhA-B>0 Lu ý dùng hằng bất đẳng thức M 2> 0 ∀ M 2. C¸c vÝ dô: * VÝ dô 1: x,y, z chøng minh r»ng a, x 2  y 2  z 2  2 xy  2 yz  2 xz b, x 2  y 2  z 2  3 2( x  y  z ). Gi¶i: a. Ta xÐt hiÖu x 2  y 2  z 2  ( 2 xy  2 xz  2 yz )  x 2  y 2  z 2  2 xy  2 yz  2 xz ( x  y  z ) 2 0 x 2  y 2  x 2 2 xy  2 yz  2 xz. b.Ta xÐt hiÖu x 2 + y 2+ x2 +3 −2( x+ y + z ) x 2 −2 x +1+ y 2 − 2 y +1+ z 2 − 2 z +1 z −1 ¿2 ≥0 ¿ y −1 ¿2 +¿ x − 1¿ 2+ ¿ ¿. DÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z=1 * VÝ dô 2: Chøng minh r»ng 2 2 a. a +b ≥ a+ b. b.. 2. ( ) (. 2 2 2 2 2 a +b +c a+ b+c ≥ 3 3. 2. ). c. H·y tæng qu¸t bµi to¸n Gi¶i:. a. Ta xÐt hiÖu.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2. 2. 2. a +b a+b − 2 2 ¿ 2(a 2+ b2) a2 +b2 +2 ab − 4 4. ( ). 1 (2 a2 +2 b2 −a 2 − b2 − 2 ab) 4 a − b ¿2 ≥ 0 1 ¿ 4 2 2 2 VËy a +b ≥ a+ b 2 2. ( ). DÊu b»ng x¶y ra khi a=b b. Ta xÐt hiÖu a2+ b2 +c 2 a+b+ c − 3 3. (. 2. ). 1 [ ( a − b )2 + ( b − c )2 + ( c − a )2 ] ≥ 0 9 a2 +b2 +c 2 a+ b+c 2 ≥ 3 3. (. VËy. ). c.Tæng qu¸t 21. a + a2 +.. . .+ an a + a +.. .+a n ≥ 1 2 n n 2. 2. (. 2. ). Tóm tắt các bớc để chứng minh A B theo định nghĩa Bíc 1: Ta xÐt hiÖu H =A-B Bớc 2: Biến đổi H=( C+D) ❑2 hoặc (C+D) ❑2 +…+(E+F) ❑2 Bíc 3: KÕt luËn A B Bµi tËp n©ng cao 1. Cho abc=1 vµ a>36 chøng minh r»ng a2  b 2  c 2  ab  bc  ca 3. 2. Chøng minh r»ng : Víi mäi sè thùc x,y,z ta cã 4. 4. 2. 2. a. x  y  z  1 2 x( xy  x  z  1) b. x 2+5 y 2 −4 xy +2 x −6 y +3> 0 Gîi ý 2. a.Ta xÐt hiÖu H=x ❑4 +y ❑4 +z ❑2 +1-2x ❑2 y ❑2 +2x ❑2 -2xz-2x =(x ❑2 -y ❑2 ) ❑2 +(x-z) ❑2 +(x-1) ❑2 H>0 ta cã ®pcm b.VÕ tr¸i cã thÓ viÕt H=(x-2y +1) ❑2 +(y-1) ❑2 +1.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Suy ra H >0 ta cã ®pcm. Phơng pháp 2: Dùng phép biến đổi tơng đơng 1. Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng. Chú ý các hằng đẳng thức sau:  (A ± B) ❑2 = A ❑2 ± 2AB +B ❑2  (A+B+C) ❑2 = A ❑2 +B ❑2 +C ❑2 +2AB +2AC +2BC  (A ± B) ❑3 = A ❑3 ± 3A ❑2 B +3AB ❑2 ± B ❑3  A ❑3 ± B ❑3 =(A ± B)(A ❑2 +AB+B ❑2 ) 2.C¸c vÝ dô *VÝ dô1: Cho a,b, c d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng: 2. a. a2 + b ≥ ab 4. b. a2 +b 2+1 ≥ ab+a+ b 2 2 2 2 2 c. a  b  c  d  e a(b  c  d  e) Gi¶i: a. b2 ab 4  4a 2  b 2 4ab  4a 2  4ab  b 2 0 a2 .  (2a  b) 2 0. ( Bất đẳng thức này luôn đúng) 2. ( DÊu b»ng x¶y ra khi 2a=b suy ra a= b ).. VËy a2 + b ≥ ab. 2. 4. b.. 2. 2. a +b +1 ≥ ab+ a+b ⇔ 2 ( a2 +b2 +1 ) ≥ 2 ( ab +a+b ) ⇔ a2 − 2ab+ b2 +a2 −2 a+1+b 2 − 2b +1≥ 0 ⇔ ( a −b )2+ ( a −1 )2 + ( b −1 )2 ≥ 0. Bất đẳng thức cuối đúng VËy a2 +b 2+1 ≥ ab+a+ b DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=1 c. 2. 2. 2. 2. 2. a +b + c d +e ≥ a( b+c +d +e ) ⇔ 4 ( a2 +b2 +c 2 d 2+ e2 ) ≥ 4 a(b+ c+ d+ e) ⇔ ( a2 − 4 ab+4 b2 ) + ( a 2 − 4 ac +4 c 2) + ( a2 −4 ad+ 4 d 2 ) + ( a2 − 4 ae+ 4 e 2) ≥ 0 2 2 2 2 ⇔ ( a− 2 b ) + ( a −2 c ) + ( a −2 d ) + ( a −2 e ) ≥ 0. Bất đẳng thức đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh. * VÝ dô 2: Chøng minh r»ng (a10 +b 10) ( a2 +b2 ) ≥ ( a 8+ b8 ) ( a 4 +b 4 ) Gi¶i. (1).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ( 1 ) ⇔a12 +b12 +a10 b2 +a 2 b10 ≥ a12+ a8 b4 + a4 b 8+ b12 ⇔ a10 b 2 − a8 b4 + a2 b10 − a4 b 8 ≥ 0 ⇔ a 8 b 2 ( a2 − b2 ) −a 2 b 8 ( a2 − b2 ) ≥ 0 ⇔ ( a2 − b2 ) a2 b2 ( a6 −b 6 ) ≥0 2 ⇔ a2 b 2 ( a2 − b2 ) ( a4 + a2 b2 +b 4 ) ≥0. Bất đăng thức cuối cùng đúng, vậy ta có điều phải chứng minh * VÝ dô 3: Cho xy=1, x>y . Chøng minh r»ng 2. 2. x +y ≥ 2 √2 x− y. Gi¶i:. x2 + y2 v× x>y nªn x-y>0 ≥ 2 √2 x− y ⇔ x2 + y 2 ≥2 √ 2 ( x − y ) ⇔ x 2 + y 2 − 2 √2 x+ 2 √ 2 y ≥ 0 ⇔ x 2 + y 2 − 2 xy+ √22 −2 √ 2 x +2 √ 2 y ≥0 2 ⇔ ( x − y −√ 2) ≥ 0. V× xy=1 nªn 2xy=2. Điều này luôn đúng. Vậy ta có điều phải chứng minh. Phơng pháp 3: Dùng bất đẳng thức đã biết 1.Một số bất đẳng thức hay dùng: 1. x 2+ y 2 ≥ 2 xy 2. x 2+ y 2 ≥|xy| 3. ( x+ y )2> 4 xy 4. x+ 1 > 2 x 2.C¸c vÝ dô * VÝ dô 1: Cho a,b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m, chøng minh r»ng: ( a+b ) ( b+c ) ( c+ a ) ≥ 8 abc. Gi¶i: Dùng bất đẳng thức phụ ( x+ y )2> 4 xy Ta cã ( a+ b )2 ≥ 4 ab ( b+ c )2 ≥ 4 bc ( c+ a )2 ≥ 4 ac 2 2 2 ⇔ ( a+b ) ( b+c ) ( c+ a ) ≥64 a2 b2 c2 ⇔ ( a+b )( b +c )( c+ a ) ≥8 abc. VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. * VÝ dô 2: Cho a,b,c,d >0 vµ abcd =1. Chøng minh r»ng 2. 2. 2. 2. a +b + c + d + a ( b+c ) +b(c+ d)+d ( c+ a)≥ 10. Gi¶i:.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> a 2+ b2 ≥ 2 ab 2 2 c + d ≥ 2 cd. Do abcd=1 nªn cd= 1 ab Ta cã. ( Dïng x+ 1 > 2 ). 1 >4 (1) ab a ( b+ c ) +b (c +d )+ d (c +a) ¿(ab+ cd)+(ac+ bd)+(bc +ad) MÆt kh¸c 1 1 1 ¿ ab+ + ac+ + bc + ≥ 2+2+2=6 ab ac bc a2 +b 2+ c 2+ d2 + a ( b+c ) +b(c+ d)+d ( c+ a)≥ 10. (. ). )(. )(. a2 +b 2+ c 2+ d2 ≥ abcd=2 ab+. (. VËy. x. ). Ph¬ng ph¸p 4: sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu 1. KiÕn thøc:  A>B vµ B>C th× A>C  0<x<1 th× x ❑2 <x 2. C¸c vÝ dô * VÝ dô 1 : Cho a,b,c,d >0 tho¶ m·n a>c+d, b>c+d Chøng minh r»ng ab>ad+bc Gi¶i: Ta cã a> c+ d ¿ b>c + d ⇔ ¿ a− c ≥d >0 b − d ≥ c >0 ¿ ⇒(a− c)( b −d )> cd ¿ ⇔ab − ad − bc+ cd> cd { ¿ ¿¿ ¿. Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. * VÝ dô 2: Cho a,b,c >0 tho¶ m·n a ❑2 +b ❑2 +c ❑2 = 5 3 Chøng minh 1 + 1 − 1 < 1 a b. Gi¶i:. c abc.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> ( a+b +c )2=a 2+ b2 +c 2+ 2(ab −ac − bc)> 0 1 2 2 2 ⇒ac + bc − ba< (a +b + c ) Ta cã 2 5 ⇒ac +bc − ab< <1 6 (V× a ❑2 +b ❑2 +c ❑2 = 5 ) 3 1 1 1 1 + − < Chia c¶ hai vÕ cho abc>0 ta cã (®pcm) a b c abc. * VÝ dô 3: Cho 0< a,b,c,d <1. Chøng minh r»ng: (1-a)(1-b)(1-c)(1-d) >1-a-b-c-d Gi¶i: Ta cã (1-a)(1-b)=1-a-b+ab Do a>0, b>0 nªn ab>0 . Suy ra (1-a)(1-b) >1-a-b (1) Do c<1 nªn1-c >0 ta cã (1-a)(1-b)(1-c) >(1-a-b )(1-c) = 1-a-b-c+ca+cb Do a,b,c,d>0 nªn ca+cb>0 . Suy ra (1-a)(1-b)(1-c) > (1-a-b-c) (2) ⇒ (1-a)(1-b)(1-c)(1-d)> (1-a-b-c) (1-d) = 1-a-b-c-d +ad+bd+cd ⇒ (1-a)(1-b)(1-c)(1-d)> 1-a-b-c-d . (§iÒu ph¶i chøng minh) * VÝ dô 4: Cho 0 ≤ a , b , c ≤ 1 . Chøng minh r»ng 2 a3 +2 b3 +2 c 3 ≤ 3+a2 b+b 2 c+ c2 a. Gi¶i: Do a ≤ 1⇒ a2 ≤ 1 vµ b2 ≤1 Ta cã ( 1− a2 ) ( 1 −b ) ≥ 0 (1). ⇒ 1+a2 b ≥ a2 +b Mµ 0 ≤ a , b≤ 1 ⇒a2 ≥ a3 ; b2 ≥ b 3 (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra a3 +b 3 ≤ 1+a2 b 3 3 2 T¬ng tù ta cã b +c ≤1+b c 3 3 2 c +a ≤1+ c a. Cộng các bất đẳng thức ta đợc 3. 3. 3. 2. 2. 2. 2 a +2 b +2 c ≤ 3+a b+b c+ c a. (®iÒu ph¶i chøng minh) * VÝ dô 5 : So s¸nh 31 ❑11 vµ 17 ❑14 Gi¶i : 11 Ta thÊy 3111 <3211 =( 25 ) =255<256 MÆt kh¸c 256=24 . 14=1614 <17 14 VËy 256< 1714 hay 31 ❑11 < 17 ❑14 Ph¬ng ph¸p 5: Dïng tÝnh chÊt cña tØ sè.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 1. KiÕn thøc: * Cho a,b,c lµ c¸c sè d¬ng th× a. NÕu a ≥ 1 th× a ≥ a+c b. NÕu. b a ≤ 1 th× b. b b+c a a+c ≤ b b+c a c ≤ th× b d. a a+ c c ≤ ≤ * NÕu a,b,c,d >0 vµ b b +d d 2. C¸c vÝ dô * VÝ dô 1: Cho a,b,c,d >0 chøng minh r»ng 1<. a b c d + + + <2 a+b+ c b+c +d c+ d+ a d +a+ b. Gi¶i: Theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã. a a a+ d <1 ⇒ < (1) a+b+ c a+b+c a+b+ c+ d a a MÆt kh¸c > (2) a+b+ c a+b+ c+ d a a a+ d Tõ (1) vµ (2) ta cã < < a+b+ c+ d a+b+ c a+ b+c +d. T¬ng tù ta cã. (3). b b a+ b < < b+c +d +a b+c +d b+c +d +a. (4). c c c+ b < < a+b+ c+d c +d +a a+b+ c+d. (5). d d d+ c < < a+b+ c+ d d +a+b a+ b+c +d. (6). Céng vÕ víi vÕ cña (3), (4), (5),(6) ta cã 1<. a b c d + + + <2 a+b+ c b+c +d c+ d+ a d +a+ b. (§iÒu phaØ chøng minh) * VÝ dô 2: Cho a < c. Gi¶i:. vµ b,d >0 chøng minh r»ng. b d a ab+cd c < < b b 2+ d 2 d. ab cd a ab+cd c a c ⇒ 2< 2 ⇒ < < < b b 2+ d 2 d b d b d a ab+cd c < < VËy (§ã lµ ®iÒu cÇn chøng minh). b b 2+ d 2 d. Tõ. *VÝ dô 3: Cho a,b,c,d lµ c¸c sè nguyªn d¬ng tho¶ m·n a+b=c+d=1000 .T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña a + b c d.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Gi¶i Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö a ≤ b c. Tõ. a b ≤ c d. a a+b b a ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤1 c c+ d d c. d. V× a+b=c+d. + Trêng hîp 1: NÕu b ≤ 998 th× b ≤ 998⇒ a + b ≤ 999 d c d + Trêng hîp 2: NÕu b=999 th× a=1 a b 1 999 ⇒ + = + c d c d. §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi d=1 , c= 99 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña a + b =999+ 1 c d. 999. đạt đợc khi a=d=1; c=b=999. Phơng pháp 6: Dùng bất đẳng thức trong tam giác 1. KiÕn thøc:  NÕu a,b,c lµ sè ®o 3 c¹nh cña tam gi¸c th× a,b,c>0 vµ |b − c|<a<b +c 2. C¸c vÝ dô * VÝ dô 1: Cho a,b,c lµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c. Chøng minh r»ng. a. a2 +b 2+ c 2<2 ( ab+ bc+ ca ) b. abc> ( a+b − c )( b+ c − a ) ( c +a −b ) Gi¶i: a. V× a,b,c lµ sè do ba c¹nh cña tam gi¸c nªn ta cã ¿ 0<a< b+c 0<b< a+c 0<c <b+ a ⇒ ¿ a2 <a (b+ c) b 2< b(a+c) c 2< c(a+b) ¿{{ ¿. Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có a2 +b 2+ c 2<2(ab+ bc+ac) .(§iÒu ph¶i chøng minh) b. Ta cã.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> b − c ¿ 2> 0 ¿ a − c ¿ 2> 0 ¿ a − b ¿2> 0 ¿ a>|b −c|⇒a 2> a2 − ¿. Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc a2 b2 c 2> [ a2 − ( b − c )2 ][ b2 − ( c − a )2 ] 2 2 2 ⇒ a 2 b2 c 2 > ( a+b − c ) ( b +c − a ) ( c+ a −b ) ⇒abc > ( a+ b −c ) ( b+c −a )( c + a− b ). §ã lµ ®iÒu ph¶i chøng minh. Ph¬ng ph¸p 7: §æi biÕn sè VÝ dô: Cho a,b,c >0. Chøng minh r»ng: a + b + c ≥ 3 b+c c +a a+b 2 Gi¶i: §Æt x=b+c; y=c+a ; z=a+b ta cã:. y+z − x z+x − y x+ y −z ; b= ; c= 2 2 2 y + z − x z + x − y x+ y − z 3 ⇔ + + ≥ 2x 2y 2z 2 y z x z x y 3 Ta cã (1) ⇔ + −1+ + − 1+ + − 1≥ x x y y z z 2 y x z x z y ⇔ + + + + + ≥6 x y x z y z Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì x + y ≥ 2 y x a=. (. )( )(. VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. ). (1).

<span class='text_page_counter'>(10)</span>